（工程力学专业论文）复杂几何形状及边界条件钢筋混凝土薄板非线性有限元极限分析.pdf

西安建筑科技大学硕士学位论文 复杂几何形状及边界条件钢筋混凝土薄板 非线性有限元极限分析 专业：工程力学 研究生：韩选民 指导教师：童中家 摘要 本文在传统的钢筋混凝土弹性理论、非线性理论和极限理论以及在简单支承 条件下的钢筋混凝土板理论的基础上，以复杂几何形状、边界条件及配筋形式的 钢筋混凝土薄板为研究对象，对其在静力分配梁加载下的加荷试验的全过程进行 分析，并对其在静荷作用下的受力性能进行分析。 然后根据钢筋混凝土有限元理论，采用分离式模型，混凝土采用三角形薄板 弯曲单元，钢筋采用杆件单元，用双弹簧模型模拟钢筋与混凝土之间的粘结渭移， 考虑混凝土为各向异性材料在双向应力作用下的本构关系，采用d a r w i n 和 p e c t m o l d 的混凝土材料模型和k u p f e r 与g e r s t l e 等人研究的混凝土破坏准则，用 m a t l a b 语言编制了“复杂几何形状及边界条件钢筋混凝土薄板非线性有限元极 限计算程序”。 最后针对本文研究对工程设计提出一些合理化建议。 关键词：钢筋混凝土板极限理论分离式模型非线性有限元m a t l a b 语言 论文类型：应用基础 西安建筑科技大学硕士学位论文 n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tu l t i m a t e a n a l y s i so fr e i n f o r c e d c o n c r e t et h i np l a t e sw i t hc o m p l e xg e o m e t r y & b o u n d a r y c o n d i t i o n s p e c i a l t y ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s n a m e ：h a i lx u a n m i n i n s t r u c t o r ：t o n gs h e n j i a a b s t r a c t o nt h eb a s i so ft h et r a d i t i o n a le l a s t i c i t yt h e o r y , n o n l i n e a rt h e o r y , u l t i m a t et h e o r y a n dt h e o r yo fr e i n f o r c e dc o n c r e t ep l a t e sw i ms i m p l e s u p p o r t e dc o n d i t i o n t h i sp a p e r a n a l y z e st h ew h o l ep r o c e s so fr e i n f o r c e dc o n c r e t et h i np l a t e si nt h el o a d i n gt e s to f d i s t r i b u t i n gs m i l el o a d o nt h eo b j e c t so fr e i n f o r c e dc o n c r e t et h i np l a t e sw i t hc o m p l e x g e o m e t r y , c o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o na n dd i s t r i b u t i n go fr e i n f o r c eb a r s a n dt h e n a n a l y z e st h el o a dc a p a c i t yu n d e rt h ee f f e c t i n go f s t a t i cl o a d a n d t h e n ，a c c o r d i n gt of i n i t ee l e m e n tt h e o r yo f r e i n f o r c e dc o n c r e t e ，t h ep r o g r a mo f n o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n tu l t i m a t ea n a l y s i so fr e i n f o r c e dc o n c r e t et h i np l a t e sw i t l l c o m p l e xg e o m e t r y & b o u n d a r yc o n d i t i o n ”i sm a d eb yu s i n gt h es e p a r a t i o nm o d e l i n t h i ss e p a r a t i o nm o d e l ，t h ec o n c r e t ee l e m e n ti st h em a n g l ee l e m e n to fe l a s t i ct h i n p l a t e ；t h er e i n f o r c i n gb a ri s t r e a t e da sb a re l e m e n t ，a n du s i n g d o u b l e s p r i n gm o d e l s i m u l a t e st h es l i p p a g eb e t w e e nt h er e i n f o r c i n gb a ra n dt h ec o n c r e t e d u r i n gt h ea n a l y s i s ， t h es t r e s s s t r a i nr e l a t i o nb yc o n s i d e r i n gc o n c r e t ea sa n i s o t r o p i cm a t e r i a lu n d e r e f f e c i l n g b yt w o w a ys t r e s s ，a n dt h ec o n c r e t em a t e r i a lm o d e lp r e s e n t e db yd a r w i na n dp e c h n o l d ， a n dt h ey i e l dc r i t e r i o no fc o n c r e t ep r e s e n t e db yk u p f e ra n dg e r s t l ea r ec o n s i d e r e d f i n a l l y , a c c o r d i n gt ot h er e s e a r c h ，s o m ef e a s i b l ea d v i c ei sp u tf o r w a r df o r e n g i n e e r i n gd e s i g n k e y w o r d s ：r e i n f o r c e dc o n c r e t ep l a t e s u l t i m a t et h e o r yn o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n t s e p a r a t i o nm o d e l m a t l a bl a n g u a g e t y p eo f t h e s i s ：a p p l i c a t i o nf u n d a m e n t 声明 x970 623 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的同 志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名： 关于论文使用授权的说明 日期：9 舌、乡、谬 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此规定) 论文作者签名：字节惶乳 注：请将此页附在论文首页。 翮硌卸缘蹶 西安建筑科技大学硕士学位论文 第一章前言 1 1 引言 钢筋混凝土板在现代建筑中被广泛地使用，而现代建筑为了满足使用功能的要 求和外观上的美观，其立面造型和平面形状都变的很复杂，这样就产生了大量几 何形状、边界条件、配筋等都比较复杂的钢筋混凝土板。同时钢筋混凝土是由两 种性质不同的材料混凝土和钢筋组合而成的，它的性能明显地依赖于这两种 材料的性能，特别是非线性阶段，混凝土和钢筋本身的各种非线性性能，都不同 程度地在组合材料中反映出来，传统的分析方法，即弹性分析法与塑性极限分析 法已难以甚至无法解决。随着计算机与有限元理论的发展，钢筋混凝土板的有限 元分析在该方面的应用日益广泛起来。 1 - 1 1 板的弹性分析和板的极限分析 ( 1 ) 古典弹性平板理论，以板的平衡条件和应变协调条件为基础推导出板的 双协调方程。它利用古典弹性理论，将板在外荷载作用下的性能看成是线弹性的， 则在板发生小挠度变形时，通过求解双调和方程求得板的挠度，进而求得板的内 力。之后，n a v y 提出用二重三角级数( f o u r i e r ) 求解任意荷载作用下简支矩形板 的挠度，l e v y 2 】采用单无限双曲正弦级数求解两平行边简支，另两边为任意支承矩 形板的通解等。但因为双调和方程数学上求解的困难，它只能对极有限的规则板 求得闭合解，远远无法满足解决实际工程问题的需要。 1 9 2 0 年，n i e l s e n t 3 】提出差分法，即通过对平面上有限点的挠度，建立一联立 的线性方程组来代替双调和方程，将偏微分方程求解转化为了代数方程组的求解。 之后，z i e n k i w i c z ：4 1 于1 9 4 6 年提出有限单元法，1 9 7 6 年y k c h e u n g l 5 1 提出有限条法， 它们均为数值分析的近似法。 采用弹性理论设计复杂，解决问题有限，而且无法利用材料延性，对某些板 的设计不能做到经济合理，使其应用受到限制。 ( 2 ) 钢筋混凝土板的极限分析法，即假设材料为刚塑性的，忽略弹性变形的影 响，按塑性变形规律研究结构达到极限状态时的性状，它可分为下限法与上限法。 屈服线理论是极限分析中一种常用的上限解法。该法由a i n g e r s l e v 首创，并 由k w j o h a n s e n 发展和推广。在应用屈服线法求解极限荷载时，首先要假定种 破坏模式，它忽略了板的弹性变形，所求得的极限荷载大于理论上的破坏荷载。 我国目前的钢筋混凝土规范中也采用了屈服线理论。 五十年代，h o o p k i n s 等人首次提出下限解法。1 9 5 6 年h i l l e r b o r g 根据极限分 析下限定理提出的板带法是最常用的下限解法，随后提出改进板带法”1 ，并将它 推广到有柱支承的无梁板和有凹角的板的设计中。1 9 7 5 年，f e m a n d o 与k e m p 。1 西安建筑科技大学硕士学位论文 提出广义板带法，解决了简单板带法荷载的安全分配问题并适用于有集中荷载与 点支承的板。 极限分析理论忽略了板的弹性变形，使问题求解大为简化，它的缺点是无法 得知极限状态前板的应力、应变分布发展规律。 1 1 2 钢筋混凝土板的非线性有限元分析 众所周知，一般钢筋混凝土结构承载后的工作状态是十分复杂的，这是因为【1 8 】： ( 1 ) 这种结构是由两种材料即钢筋和混凝土组合而成的； ( 2 ) 混凝土在承载前，在骨料与沙浆之间交界面上业已存在着大量的微裂 缝，在加载后，这些微裂缝在低应力水平上就表现出非线性性质； ( 3 ) 钢筋在弹性以外的非线性特征，特别是近年来更多采用的高强钢筋或高 强钢丝，由于没有明显的屈服台阶，其非线性特征不容忽略； ( 4 ) 钢筋与混凝土之间的粘结滑移是一种十分复杂的交互效应。 钢筋混凝土板除了材料的影响外，在使用荷载作用下经常且允许出现开裂， 而裂缝的产生将引起结构刚度的变化，致使结构内力重新分布，实质上是各向异 性的非线性体。 正由于存在着这些原因，钢筋混凝土结构的非线性分析就显得特别重要，成 为结构工程领域研究的一个热点。用传统的解析方法分析钢筋混凝土结构的非线 性问题，只能解决一些非常简单的结构或构件的计算，对于大量的钢筋混凝土结 构的分析问题，只能用数值分析方法解决。有限元方法作为一个强大的数值分析 工具，在钢筋混凝土结构的非线性分析中起到了越来越大的作用。 利用有限元法对钢筋混凝土板进行非线性分析的主要优势在于“全过程仿真” 1 ，这里包含两层含义，一层是仿真性，它可以反映钢筋混凝土板下述材料特征： ( 1 ) 混凝土的非线性本构关系；( 2 ) 多轴状态下材料的破坏准则；( 3 ) 混凝土开 裂及裂后表现；( 4 ) 混凝土与钢筋的交互作用。第二层意思是“全过程分析”，如 果采用非线性弹性增量型的本构关系模型，在计算中用逐级加载的方式，即从零 荷载开始逐级加载，直至板破坏，可反映板材料处于弹性、塑性、开裂、钢筋屈 服和板破坏的完整过程，给出不同阶段的位移和应力的丰富的响应信息，用来改 进试验研究工作并代替部分试验研究。通过合理布点，输入随机参数，可提供大 量的电算结果资料，为制定设计规范和标准提供依据。 尽管钢筋混凝土非线性有限元方法在理论方面取得了长足的发展，但是仍有一 些问题尚待深入研究，这主要表现在以下几个方面”： ( 1 ) 混凝土的本构关系，由于在复杂应力状态下的实验数据还不够充分， 加上试验方法不同，混凝土材料性质在很大范围内波动，所以已有的 各种本构关系模型对同一结构的计算结果差异较大，说明本构关系模 西安建筑科技大学硕士学位论文 型尚待进一步完善。 ( 2 )数值方法的精度，钢筋混凝土的非线性因素很多，为此需要引入不少 参数。有的难于靠材料实验确定；有的由于混凝土材料本身的复杂性 和离散性或断裂机理尚不清楚，提供的参数也给分析结果带来较大的 误差。另外，网格划分的疏密也给开裂区分析带来较大影响； ( 3 ) 混凝土与钢筋之间的粘结破坏的机理尚待深入研究； ( 4 )混凝土的温度应力、徐变、干缩等依时性问题的复杂性： ( 5 ) 裂缝宽度计算一直是非线性分析的难题； ( 6 )混凝土应变软化现象的数学处理困难。 7 0 年代以来国外学者开始了钢筋混凝土板的非线性有限元的研究，j c j o f r i e t 和g m m c n e i c e 【l0 】用双线性弯矩一曲率关系，即二折线的m 中关系来研究钢筋混 凝土板的弯曲问题；b a s h u r 和d a r w i n i l l 利用多折线修正刚度法计算了三种不同形 式的板；f r a n k r h a n d t l 2 1 等人则用分层法对钢筋混凝土板进行全过程分析。 自八十年代以来，对板的分析主要集中于板的正常使用性能( 挠度，裂缝) 问题，非线性分析，考虑薄膜力作用下板的极限荷载以及钢筋混凝土板的非线性 有限元分析。 国内对钢筋混凝土板的极限研究不多。白文炳，赵组武，蔡绍怀等的研究均 主要集中于屈服线理论在规则板设计中的应用；9 0 年代童岳生教授对钢筋混凝土 异形板进行了试验研究，并提出了实用板条法对其进行设计“3 ；而钢筋混凝土板 有限元分析的研究在同期也有所发展。 1 1 3m a t l a b 语言 虽然国际上一些较为流行的大型通用有限元分析软件，如s u p e rs a p 、 m a r c 、n a s t r a n 、a d i n a 等程序采用v i s u a l c + + 、v i s u a l b a s i c 、m a t l a b 等语言与f o r t r a n 进行混合编程，但是这要涉及很多混合编程的知识以及其他 专业的知识，存在着很多不确定的困难。而m a t l a b 本身语句书写简单，表达式 的书写如同在稿纸中演算一样，与人们的手工计算一致，而且m a t l a b 语言和其 它高级语言一样，都是相通的。将f o r t r a n 计算程序很容易变为m a t l a b 程序， 作者本人前期就是用f o r t r a n 程序编写，后发现后面图形处理很复杂，而在一 天内将f o r t r a n 程序变为了m a t l a b 程序，同时m a t l a b 的方便而强大的图 形处理功能是其它高级语言而无法与其媲美的。 1 2 本文的主要内容 本文的内容主要包括四个方面： ( 1 ) 在传统的钢筋混凝土弹性理论、非线性理论和极限理论以及在简单支 西安建筑科技大学硕士学位论文 ( 2 ) ( 3 ) 承条件下的钢筋混凝土板理论的基础上，以复杂几何形状、边界条件 及配筋形式的钢筋混凝土薄板为研究对象，对其在静力分配梁加载下 的加荷试验的全过程进行分析。并对其在静荷作用下的受力性能进行 分析，主要包括： ( a ) 阐述钢筋混凝土板的设计及制作、边界条件、加荷方案、加载装置、 测试内容、测点布置等； ( b ) 详细描述了各级荷载作用下板裂缝的开展、分布情况，板的破坏特 征与屈服线形式，各测点的挠度，支座反力以及钢筋应变及应变特 征； ( c ) 板开裂荷载、屈服荷载、破坏荷载的大小； ( d ) 通过数据，分析几何形状、配筋、边界约束形式对板受力性能的影 响。 根据钢筋混凝土有限元理论，采用分离式模型，混凝土采用三角形薄 板弯曲单元，钢筋采用杆件单元，用双弹簧模型模拟钢筋与混凝土之 间的粘结滑移，考虑混凝土为各向异性材料在双向应力作用下的本构 关系，采用d a r w i n 和p e c h n o l d 的混凝土材料模型和k u p f e r 与 g e r s t l e 等人研究的混凝土破坏准则，编制了“复杂几何形状及边界 条件钢筋混凝土薄板非线性有限元极限分析”程序。 最后针对本文研究对工程设计提出一些合理化建议。 西安建筑科技大学硕士学位论文 第二章板的非线性分析和极限分析的基本理论 2 1 板的非线性分析 2 1 1 非线性闯题 在钢筋混凝土结构的分析中，遇到的非线性问题主要有三类1 1 7 1 ：( 1 ) 几何非线 性问题；( 2 ) 材料非线性问题；( 3 ) 边界非线性问题。 1 几何非线性问题 几何非线性问题通常是由于结构的位移己相当大，以至必须按照变形后的 几何位置建立平衡方程。严格地说，所有平衡问题都应采用变形后的几何位置 写出其平衡方程。不过，如果位移是很微小，使得变形或位移对平衡条件影响 可以忽略时，则可利用变形前的集合位置来建立平衡方程。但由于变形后的几 何位置是预先尚未知道的，这就给处理几何非线性问题带来一定的复杂性。 2 材料非线性问题 材料非线性问题是由于材料本身的非线性应力一应变关系引起的。在钢筋 混凝土结构中，存在着许多的非线性因素，如：受压区混凝土的弹塑性变形、 受拉区混凝土的开裂、钢筋的屈服和硬化，以及收缩、徐变、粘结滑移等。对 于这类非线性问题，若要进行微分方程的精确求解，是很难实现的，而用有限 元方法来处理这类问题却十分有效。 3 边界非线性问题 若材料是弹性的，且为小变形，但由于边界条件的变化同样会产生非线性 问题。边界非线性问题最多的是接触问题。 2 1 2 板的非线性【1 6 1 1 1 8 】 众所周知，钢筋混凝土板是目前工业与民用建筑中最主要的结构形式。它的非 线性性质主要表现在以下两个方面： 在材料方面： ( 1 ) 这种结构是由两种不同性质的材料即钢筋和混凝土组合而成的； ( 2 ) 混凝土在承载前，在骨料与沙浆之间交界面上业已存在着大量的微裂 缝，在加载后，这些微裂缝在低应力水平上就表现出非线性性质； ( 3 ) 钢筋在弹性以外的非线性特征，特别是近年来更多采用的高强钢筋或高 强钢丝，由于没有明显的屈服台阶，其非线性特征不容忽略； ( 4 ) 钢筋与混凝土之间的粘结滑移是一种十分复杂的交互效应。 在结构计算分析方面： ( 1 ) 由于钢筋和混凝土的抗拉强度相差很大，钢筋混凝土结构在正常使用状 西安建筑科技大学硕士学位论文 态下，大部分受弯构件都已经开裂而进入非线性状态，但钢筋并未屈服 仍在弹性状态下工作，因此，作为一个结构或构件来说，必然是在非线 性状态下工作，这时用弹性分析方法求得的结构内力和变形就不能反映 结构的实际工作状态。 ( 2 ) 混凝土和钢筋在一个结构中共同工作的条件是二者之间的变形协调，没 有相对滑移，但实际上，这种条件并不能完全满足，特别是在反复荷载 下，光圆钢筋与混凝土之间的粘结往往会被破坏，某些情况下，会导致 变形过大，而传统的线弹性结构分析丕能反映这些现象。 ( 3 ) 在钢筋混凝土结构的设计中，在内力分析时，往往按弹性计算，而在构 件截面设计时，却按极限状态精心计算，其结果是内力分析和截面设计 的结果都不能反映结构的实际受力状态，造成了钢筋混凝土结构内力分 析和截面设计的严重脱节。 ( 4 ) 与其他任何形式的结构一样，节点和连接是保证钢筋混凝土结构能作为 一个复杂体系承受外力的基本条件，而传统的弹性结构分析时将节点理 想化为刚接或者铰接均不能反映节点的复杂受力状态和变形情况，从而 难以为设计提供正确的信息。 ( 5 ) 在长期荷载作用下，混凝土会产生一定的徐变变形，这时，结构的内力 和变形就发生了变化，按弹性分析求得的内力和变形就不能反映实际情 况了。 正由于存在着这些问题，钢筋混凝土结构的非线性分析就显得特别重要，成 为结构工程领域研究的一个重点。 2 2 板的极限分析 结构的极限荷载是指结构所能承受的最大荷载。当外荷载达到这一极值时，结 构变成几何可变机构，变形将无限制地增长，从而丧失承载能力，达到破坏，这 种状态称为结构承载能力的极限状态“”。 为了确定钢筋混凝土板的极限承载力，通常采用两类方法： 一类方法叫弹塑性分析法，即研究随着荷载的不断增加，钢筋混凝土板由开裂 前的弹性状态过渡到开裂后的非线性状态，随后发展到局部屈服的弹塑性状态， 最后达到极限状态，使板丧失承载能力而告破坏的过程。利用这一方法解决实际 问题，往往会遇到材料破坏准则、本构关系以及一些数学上的困难，因此至今许 多问题尚无满意的解答。 另一类方法为极限分析法，即假设材料为刚塑性的，忽略弹性变形的影响，按 塑性变形规律研究板达到极限状态时的性状。极限理论忽略了弹性变形，使问题 西安建筑科技大学硕士学位论文 的求解大为简化，而得到的极限荷载能够较好地反映出板实际的极限承载能力。 2 2 1 板的极限分析的基本假定和条件 在板的极限分析中，一般采用以下的基本假设：n ( 1 ) 刚塑性假设，即假设材料是理性刚塑性，采 用刚塑性变形模型。如图2 1 所示： 6 ， ( 2 ) 小变形假设，即变形前后都能使用同一平衡 方程，而且材料变形的几何关系是线性的。 ( 3 ) 比例加载假设，即所有外荷载按同一比例增” 加，满足简单加荷的条件。 图2 - 1 刚塑性模型 ( 4 ) 结构性能假设，即板在达到极限荷载前，不会失去稳定性，也不会发生混 凝土压溃、剪切和钢筋的锚固粘结破坏等脆性破坏。 在板的极限分析中，首先要确定板在极限荷载下的破坏机构图形，一个真实 的破坏机构必须满足以下4 个条件： ( 1 ) 极限条件，即当板达到极限状态时，板任一截面的内力都不能超过该截面 的承载能力； ( 2 ) 机动条件，即在极限荷载作用下板丧失承载能力时的运动形式，此时整个 板应是几何可变体系； ( 3 ) 平衡条件，即外力( 包括支座反力) 和内力处于平衡状态； ( 4 ) 几何条件，即应变与位移之间的关系。 2 2 2 常见的板极限分析的理论 2 2 2 1 屈服线理论 屈服线理论是钢筋混凝土板极限荷载分析的一种常用方法，它研究板可能出现 的各种破坏图形，确定可能的机动容许的位移场。根据结构的极限分析方法的上 限定理，可求出钢筋混凝土板的极限荷载值，按照屈服线理论所求得的极限荷载 为其上限值。屈服线法在分析板的极限承载力时，把板看成是一个弯曲构件，荷 载仅由板截面的抗弯强度承担。试验结果表明，屈服线理论能够比较准确地给出 钢筋混凝土板的极限承载能力，而且实际破坏图形与计算给定的破坏机构也比较 一致。但作为一种上限法，该法求得的极限荷载大于板的真实极限荷载。 根据屈服线理论，当给出破坏机构后，一般可以采用两种方法确定极限荷载。 一种是机动法，即建立虚功方程来求解；另一种是平衡法，即研究由屈服线所分 割的各块板的平衡，建立平衡方程来求解。 1 机动法 根据机动法求解板的极限荷载，首先应假定一个几何可变的破坏机构图形， 并给破坏机构以虚位移，然后根据机动位移场分别计算内功和外功。按照内功与 西安建筑科技大学硕士学位论文 外功相等的条件，就可以确定在给定破坏机构下板的极限荷载。 ( 1 ) 内功 0 y i o r ! ! 、 o x 图2 - 2 板块屈服线与转角 由于屈服线两边的板块作相对转动，但不能发生错动和扭转，因此塑性绞线 上的内力只有弯矩做功。如图2 2 ，为相邻两板块问屈服线长度，两板块相对于m 、 n 轴产生转动，其转角为九与或，该屈服线上产生的相对转角为口= 氏+ 幺。取 直角坐标x 、y 轴与板中两个配筋方向相一致，“为垂直于屈服线方向与x 轴的夹 角。 在正屈服线上，单位长度上的极限弯矩为： m a = 聊jc o s 2 口+ vs i n 2 口 ( 2 1 ) 式中：m ，、m 。分别为x 、y 方向上单位长度内钢筋所能承担的正极限弯矩。 一条正塑性绞线上所做的内功为： 珑= 聊。1 0 = m ，0 ，+ 坍，t 以 ( 2 2 ) 同理，条负塑性绞线上所做的内功为： 噬= m j o = m ；l ，o y + 脚j ，见 ( 2 3 ) 式中：m ：是单位长度内屈服线截面所能承担的负极限弯矩值。 m ：、m ：，分别为x 、y 方向上单位长度内钢筋所能承担的负极限弯矩。 因此，板中全部屈服线所做的总的内功为： d = m 。t e + m o f l ，只= ( m ，。巳+ m ，t ，以，) + ( 珊：，l y i * + m y j 。巳) ( 2 4 ) ( 2 ) 外功 板的破坏机构因有虚位移使荷载作用点发生位移而做功。若板的微单元面积 出咖上作用有分布荷载q ，其虚位移为占，集中力为只，相应的在集中力作用点处 的虚位移为w ，则外功为： = g a ( x ，y ) a x a y + g g w , ( 2 5 ) ( 3 ) 虚功原理 令w = d ，则由虚功原理得到： 伽艿( x ，y ) d x d y + 2 p w ，= e r a 。只十m 二b ( 2 6 ) r 参尸 西安建筑科技大学硕士学位论文 破坏机构中可能包含有n 个几何参数口、卢、y 、，才能确定屈服线的最 危险位置，即相应于荷载值为最小的位置。则其极限条件为： 罢= o ，嚣2 o ， 害= o ，求n 个联立代数方程组，即可得到极限荷载值。 a ， 2 平衡方程法 平衡方程法以屈服线模式下板的各个独立分块在其外力、弯矩、扭矩与剪力作 用下的平衡求解。因其是分块考虑的，必须先知道作用在屈服线上的力。为简化 计算，将沿屈服线作用的剪力和扭矩用垂直于板平面并作用于屈服线两端结点的 两个集中力代替，称为结点力。 ( 1 ) 结点力 阻刁 图2 - 3 各分块屈服线与屈服线上的力和等效 如上图2 - 3 ，作用在a 板块e 处的结点力为巴。= q 。+ g 盯。由平衡条件，任 何情况下板的平衡条件要求见。+ q 。+ 如+ = 0 。 网1 网l 图2 4 两条屈服线结点处的等效剪力图2 - 5 沿8 e 的等效力矩 图2 - 4 ，2 - 5 中采用网l ，网2 代表钢筋网，即为布置在两个方向上的配筋。沏。) 。 与( 聊。，) ，是指沿路线e a 作用的由网1 引起的弯矩和扭矩。( 坍。) ，垂直作用于第二 屈服线b a 方向上，( m 。) ，则作用在b a 方向上。同理，( m 。) ，与( 肌。) ：是指沿路线 a b 的实际弯矩和扭矩引起的作用在路线a e 上的弯矩与扭矩，它由网2 控制。则沿 单元a 的线段a c ，e c ，a e 弯矩合成的影响是沿路线a e 的一个弯矩( 聊。) 。一( m 。) ， 和一个扭矩( 聊。，) ：一( 所。，) 。a b 、a c 是屈服线，屈服线间的夹角从a c 起以逆时 针方向量度。 当三角形平衡时，则对轴e c 取矩得： 西安建筑科技大学硕士学位论文 ( 吼。+ q o 。) a e s i n ( # + 却) = ( ，k ) 2 一( ，o ) 1 a e c o s ( 痧+ 形) + 【( ) 2 一( 。) 1 a e s i n ( 矿+ 影) ( 2 7 ) 当彩一o 时，则：q a j = q 。+ q 。= ( 聊。) 2 一( m 。) 1 c o t “( m 。) 2 一( 埘。) 1 ( 2 8 ) 采用平衡法的一般步骤为： 假定板的破坏机构图形；一确定所要的结点力；一对每一块板块写出平衡方程， 求出极限弯矩与荷载的关系；一联立求解平衡方程，确定未知尺寸进而求解极限 荷载。 3 综述 屈服线法对于整个板只是一个平衡方程或功能方程，一般采用均匀配筋方式解 决。虽然按照屈服线法设计也可采用非均匀配筋，但这时须拟定各区域配筋及纵 横方向配筋的一些比值，这就引入很多人为主观因素，所拟定值一般难以合适。 屈服线法不考虑板的薄膜效应、板在较大变形时的钢筋硬化以及钢筋穿过屈服 线时产生扭矩对极限抵抗弯矩的提高，尽管它作为一种上限法在理论上是不安全 的，但实验证实，在使用荷载作用下该种板的承载力与正常使用性能得到了保证。 而屈服线理论在遇到复杂情况时不易判断和确定正确的破坏机构图形，且板中内 力除屈服线截面外其它各处截面的受力性能均不清楚，给实际设计带来一定困难。 2 2 2 2 板带法 1 9 5 6 年，h i l l e r b o r g 提出钢筋混凝土板的下限法为：假如在给定外荷载作用时 能求得满足平板平衡方程以及边界条件的弯矩分布，且平板上每个点都能承担这 些弯矩的话，则该处外荷载就是平板承载能力的下限【7 1 。 作为下限解法，其求出的极限荷载是偏于安全的，而且下限解可得到板内可 能安全的弯矩与剪力分布以及支座结构的荷载资料。 一般下限极限分析的控制方程仍为： 等+ z 瓮+ 等叫 q ， 缸2 舐却加2 1、7 平衡方程对板处于弹性域强陛域均适用，其荷载可烘等，2 与等 各项之间按任意比例分配。 1 一般下限法 对于给定荷载、边界条件和配筋的板，除了弹性理论弯矩解以外，只有很少的 一般下限解。下限解可以求得整块板的弯矩分布和扭矩分布以及板支承体系的反 力，并可找到使钢筋减至最少的方法。尽管确定设计弯矩m ，、m ，和m 。，是困难的， 西安建筑科技大学硕士学位论文 对部分简单情况下的板仍可得到较为满意的解答。 在求各向异性板下限解时最常用的屈服准则即为乔汉生屈服准则，如图2 - 6 所 示，即假定当荷载产生的弯矩聊，、m ，和m 。所引起的法向弯矩等于极限法向弯矩 时，板单元达到其极限强度： m ，c o s 2 口+ m ，s 拥2 口+ m 肿s i n2 a t m c o s 2 口+ m 。s i n 2 a ( 2 1 0 ) 其中，简支矩形板弯矩场、一般情况板弯矩场、连续各向异性矩形板弯矩场 的m 。、m ，和m 。可以直接拟定。但是这些直接拟定弯、扭矩函数表达式的方法在 求解时要同时满足平衡方程与边界条件困难较大，所以只能解决有限的几种板问 题。 my 咄mx y 图2 - 6 钢筋混凝土板的屈服准则 2 简单板带法 h i l l e r b o r g 在求取设计弯矩时消除了考虑扭矩的必要，提出简单板带法，即 将板分解成单独在x 方向与y 方向工作的一系列梁，同时将作用于板上的荷载q 也分解到x 与y 两个方向上吼，q y ，将设计弯矩用简单的静力学方法计算。板带的 平衡方程为： 磐+ 要- _ g ( 2 1 1 ) 虿+ 蒂一g ( 2 1 1 ) 荷载全部由x 、y 方向上的弯矩承担，就是把板视为在x 与y 方向上延伸的两个板 带体系的组合： ( ，取值为0 1 )( 2 1 2 ) y 可以在全板范围或部分区域内任意波动而不影响其有效性。如y = 1 ，所有荷载 均由x 方向的板带弯曲承担：如y = o ，则全部由y 方向板带弯曲承担，的选取由 板的形式及边界条件决定。 力 增 0 i i = 1 1 = = 垫酽垫旷 西安建筑科技大学硕士学位论文 简单板带法与屈服线理论一样，由设计人员安排正负弯矩截面间的弯矩分配以 及两个跨度方向问的弯矩分布。因此，在使用该法时，需要按照相当接近弹性理 论所给出的分布比例来分配弯矩。尽管符合方程( 2 9 ) 的弯矩分布均可作为设计的 依据，但在实际中还要满足其他一些设计、使用方面的条件。 3 改进板带法 1 9 5 9 年，h i l l e r b o r g 在简单板带法的基础上提出改进板带法( a d v a n c e ds t r i p m e t h o d ) “，将板带法推广到有柱支承，带内凹角的板或其它点支承形式的板。 该法将截面弯矩的计算简化为普通钢筋混凝土粱的计算，同时考虑合理的弯矩分 配与钢筋截断，实际设计中，改进板带法比屈服线理论更安全。一般，板带被划分 为三种类型： l 型：矩形，支承在一条边上，荷载在一个方向上分散； 2 型：三角形，支承在一条边上，荷载在一个方向上分散； 3 型：矩形，支承在一个角上，荷载在两个方向上分散。 改进板带法最关键的部分就是划分出3 型角支承单元。 h i l l e r b o r g 建议正弯矩钢筋应均匀布置在整个单元上，负弯矩则在与柱紧邻 的半个单元宽度内用两倍的m 。来配筋，其余半个宽度内不配筋，这样的分布在一 定程度上考虑了负弯矩在整块板上的实际弹性理论分布。h i l l e r b o r g 后来又提出 了一种较好的分布就是在整条柱线上，板负弯矩在靠近柱的半个单元宽内为 1 5 m 。，而在其余的半个单元宽内为0 5 m 。 改进板带法与屈服线法相e b 较，具有经济、可靠的优点，而且将板的复杂分 析转化为梁的分析与设计，同时板内配筋不再均匀，而是随着弯矩场的变化而变 化，显示出其独特的优点。 不均匀配筋板的跨中裂缝宽度减小，板的挠度也减小，如果合理的划分板带即 合理的分配荷载，板在设计使用荷载作用下基本处于开裂初期。但改进板带法尚 未经过广泛实验研究，对板的长期变形以及自由边下板的挠度与裂缝等问题都需 要进一步研究。 4 广义板带法 简单板带法将板视为两个方向上互成直角的组合体系，是一种简便的静力学方 法。改进板带法则将其应用到有内凹角、柱及其它点支承的板，并且已有实验证 明当钢筋布置正确并与板带弯矩相一致时，板带法的结果即为精确解，但它有 大缺点：就是设计者可能采取与弹性理论弯矩分布差别较大的分配形式，导致板 无法满足使用性能的要求。基于h i l l e r b o r g 的板带法以及r a n k i n e g r a s h o f 的方 法，1 9 7 5 年，f e r n a n d o 和k e m p 。1 提出广义板带位移法。它能保证设计不远离弹性 工作状态并可处理集中荷载与点支承的情况。 西安建筑科技大学硕士学位论文 如图2 7 ，将板划分为矩形网格，假定 每一格子上荷载是均匀的，每个格子上x 方向上的荷载为( q x ) 。，格子中点产生的位1 2 移为毛，y 方向的荷载为( 可，) 。，格子中 点产生的位移为】：；，每一网格上的荷载 为q = ( 吼) 。+ ( g ，) ，其分配原则是在每 个( 吼) 。与( g ，) 。作用下，板在各个格子中 点产生的弹性挠度相等。 k a x f = x ：( 吼) 。 、一 ： 。， ：2 ：葛 ： ： l 一 一k 、 图2 7 矩形板的1 6 个单元 ， 巧= 喵( g - q ，) 。 ( 2 1 3 ) m = 1 其中k 为x 方向划分的单元数，z 为y 方向的划分的单元数。 在点i = 2 ，j ：2 处变形方程为： j t 2 2 2 ( g 。) 1 2 + 。y 署( g ，) 2 2 + 玉 ；( q ，) 3 2 + r 君( 日，) 4 2 = k 2 2 2 9 1 2 + e 2 2 2 q 2 2 + e 2 2 2 9 3 2 + 2 2 2 9 4 2 一墨2 2 2 ( q ，) 1 2 一y 署( g ，) 2 2 一孑( g ，) 3 2 ? ( g ，) 。2 ( 2 1 4 ) 图中矩形板共有1 6 个板块，因此共有1 6 个独立的变形方程，连续的板块问题最 终简化为1 6 个连续线性方程，可通过编程用计算机解决。 广义板带位移法应用很广泛，可以解决所有边界条件类型与分配荷载作用下 的板甚至包括支撑梁的复合作用，每个板块布局上有很大的自由度，并且不会偏 离弹性状态，从而保证了板裂缝的开展。 5 综述 利用板带法对板进行划分后，双向板变成单向板。同时，板内为不均匀配筋， 符合板内荷载传递与分配的原则。对于正常使用极限状态的板，一个板带的使用 性能便能影响整个板的使用性能，一处开裂过大，整个板就不符合要求，所以确 定正常使用荷载用板带法比较合理。而一个板带的屈服、极限荷载却不能反映整 个板的屈服和极限荷载，因此板带法更适合作为设计方法。实际配筋时，许多板 带按照构造配筋就比理论的弯矩场大许多，板带法无法考虑其它板带屈服后产生 的塑性内力重分布，往往估计出一个保守的极限荷载值，因此采用屈服线法能更 准确的反映板的极限承载能力。 西安建筑科技大学硕士学位论文 2 3 钢筋混凝土板的薄膜效应“ 钢筋混凝土板在支承边受到水平约束作用时，它的极限承载力将数倍于边界未 受约束板的极限承载力，其原因为：低配筋率的钢筋混凝土板纯弯曲截面中性轴 的位置在临近破坏时非常接近于板表面，因而在纯弯矩作用下，板的中平面位于 受拉区，它将产生受拉变形。这样，中性轴只有移向截面高度的中央才能使板的 中平面不变形而与边界条件相协调，这就需要有较大的薄膜压力才能达到这种状 态，它是由板的各分块的边界条件和几何形状变位而造成的。 经典的薄板理论忽略了弯矩与扭矩引起的弯矩场在板中平面内的应变，而这种 应变将导致平面内产生轴力。极限理论所做的刚塑性假设同样忽略了几何形状改 变的影响。薄板作为一种较柔的结构，几何形状的改变有时会对极限承载力产生 明显的影响，即薄膜效应，它分为压力薄膜效应( 当板挠度较小时) 和拉力薄膜 效应( 大挠度时) 。当板在大挠度工作阶段，即对处于无水平约束的简支板同样产 生薄膜效应，其工作机理为悬挂在板边缘的网索结构。板实际的破坏荷载值超出 刚塑性解的程度与板内配筋率有关，低配筋率的板的薄膜效应更明显。 实验结果表明，薄膜效应对承载力的影响与许多因素有关，首先是边界的约束 程度。边界的约束程度包括板区域外的边缘水平构件的刚度和板本身的边缘刚度， 对板的承载力有显著影响；其次，板内配筋率的多少，板内配筋率决定了截面中 性轴的位置；第三，板的跨厚比大小。随着跨厚比的减小，薄膜效应随之增大。 此外，加载形式和配筋方式等因素对薄膜效应也有不同程度的影响。薄膜作用力 可大大增加钢筋混凝土板体系的极限承载力，但在实际设计中考虑薄膜效应还有 一定困难。 西安建筑科技大学硕士学位论文 第三章钢筋混凝土板考虑粘结滑移非线性有限元分析 3 1 引言 计算机技术突飞猛进的发展，使有限元这一将力学理论、计算数学和计算机 技术结合在一起的数值分析技术得到了广泛应用。钢筋混凝土结构非线性有限元 分析的目的，就是利用有限元分析的一般原理并结合钢筋混凝土的力学特性，认 识钢筋混凝土结构在各类荷载作用下的受力性能和破坏机理，同时为钢筋混凝土 结构的合理设计提供依据。 把有限元法应用于钢筋混凝土上始于1 9 6 7 年，当时d n g o 和a c s c o r d e l i s 用二维矩形单元分析了简支梁。他们按平面应力问题和线弹性理论分析钢筋和钢 筋的应力，并用粘结弹簧分析钢筋和混凝土之间粘结应力的变化和“离散裂缝” 模式。随后n i l s o n “”将钢筋和混凝土之间的非线性粘结关系和混凝土本身的非线 性应力一应变关系引入有限元分析中。随着钢筋混凝土基本理论的深入研究，一 些复杂的因素如钢筋混凝土的开裂模式、材料的非线性、混凝土的多轴受力性能 及钢筋与混凝土结合面的性质现在都得到较为合理的模拟，这些研究极大促进了 钢筋混凝土有限元方法的发展。 钢筋混凝土有限元的理论研究，主要集中于数学模型的建立和改进，包括以 下各方面n 7 ”： 一、混凝土材料的本构关系模型 混凝土的本构关系有各种理论模型，如线弹性理论、非线性弹性理论、弹塑 性理论、内时模型、粘弹性理论以及塑性断裂理论和连续损伤理论等。很多固体 力学或结构分析中应用过的理论都用于建立混凝土的本构关系，然而由于缺乏足 够的理论基础，至今没有一种可以广泛应用于各种条件下的混凝土结构分析，混 凝土本构关系是钢筋混凝土有限元分析中很重要的影响因素。 二、混凝土有限元分析中的裂缝模型“ 混凝土的重要特征之一是它的抗拉强度很低，在很多情况下混凝土结构是带 裂缝工作的。裂缝引起周围应力的突然变化和刚度降低，这是混凝土非线性分析 的重要因素。裂缝处理的适当与否是正确的分析钢筋混凝土结构的关键问题，同 时也是较难处理的复杂问题。目前混凝土裂缝模型主要有三种类型：( 1 ) 单元边 界裂缝( 分离式裂缝) ；( 2 ) 弥散式裂缝；( 3 ) 单元内部内嵌裂缝，如图3 1 。 ( 1 ) 单元边界裂缝( 分离式裂缝) 单元边界裂缝( 分离式裂缝) 模式最初由n g o 和s c o r d e l i s 提出，该模式假定 裂缝置于单元之间，一旦出现新的裂缝就增加新的结点，重新划分单元，使裂缝 总处于单元和单元边界与边界之间。这样，由裂缝引