（流体力学专业论文）二维周期性非定常流动的谐波分析方法.pdf

西北工业大学硕士学位论文 摘要 本文主要针对周期性非定常流场的高效率数值计算方法做了分析和研究。 已有的成熟的非定常流动的数值模拟方法主要是j a m e s o n 发展的双时间方法，这 种方法可以使用多重网格法加速计算的收敛。但是工程实践的需要对数值模拟的 计算效率提出了更高的要求。基于离散傅立叶变换的谐波分析方法首先在周期性 非定常计算领域成功的提高了计算效率。 当非定常流动具有周期性的特征时，流动变量( 比如守恒变量) 可以展开成 离散傅立叶变换形式的展开式，将其代入非定常流动控制方程中，时域的方程就 转换到了频域。接下来通常有两种做法，一是直接在频域内解方程；二是再通过 变形，最终在时域内解方程。无论哪种实现方式，均需注意对流通量的计算方法， 都要直接或间接的通过时域的公式计算得到。本文采用了在时域内求解方程的方 法，这种方法的突出好处是较容易从传统的时域程序修改得到。主要研究工作如 下： ( 1 ) 为了验证谐波分析方法的效率，还独立编写了双时间法的程序。由于问 题的特殊性，即流场的非定常变化是由物体的运动引起的，本文采用了目前流行 的在静止且固定的参照系下的运动网格描述法。双时间方法中还采用了多重网格 法加速收敛。 ( 2 ) 对于谐波分析方法，如果在时域中求解，其流程的特点是相应于时间导 数的项是由所有参与计算的瞬时流场偶合得到的；所有瞬时流场是同时相对伪时 间推进求解的。近似物理时间导数项的计算中用到了正反离散傅立叶变换。在谐 波分析法的程序中，同样使用了多重网格技术加速计算的收敛。 对翼型的俯仰振荡问题的数值模拟显示，使用相同的加速收敛技术，比如均 是3 重w 循环的多重网格方法，在相同的计算机硬件和编译运行环境下执行程 序，谐波分析方法往往只需截取前边很少的几阶频率分量就可以得到具有一定精 度的计算结果，而计算效率相比传统的双时间方法大为提高，比较好的情况下可 以有一个数量级的提高。 本文研究并实践的这种方法也存在一些问题，典型的是因为将一个周期奇数 等分，即取奇数个时刻的瞬时流场参加计算，数值模拟的结果显示，对于具有对 称性的周期性非定常流动，这种方法会给出不同程度的非对称结果。具体的趋势 是，同样是奇数等分，等分点越多，不对称性越弱。这一点在双时间法的计算实 践中也得到了证明。本文也对这种现象的原因做了尝试性的解释。解决的根本出 路在于将一个周期偶数等分。但是在目前的方法流程下，在一个周期内取偶数个 西北工业大学硕士学位论文 时间间隔，会遇到近似时间导数项出现复数的尴尬情况。反过来看谐波分析方法 的两种实现方式，直接在频域内解方程可能是可以克服上述问题的途径之一。本 文也对这个判断提出了自己的分析和观点。 关键词：周期性；非定常；离散傅立叶变换；谐波分析；运动网格 西北工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n , ah i g h l ye f f i c i e n tw a yo fm o d e l i n gp e r i o d i cu n s t e a d yf l o w f i e l di ss t u d i e d a sa l r e a d ye x i s t e n tr r m t u r em e t h o do fs o l v i n gt h ep r o b l e mm e n t i o n e d a b o v e ，d u a lt i m es t e p p i n g ，w h i c hi sd e v e l o p e db yj a m e s o n , c a l lu 辩t h ev e r ye f f e c t i v e w a yo fa c c e l e r a t i n gc o n v e r g e n c e ，t h es oc a l l e dm u l t i g r i dm e t h o d b u tt h a ti sn o t e n o u g ha n dr e c e n t l yav e r yh o p e f u ln e ww a yc a l l e dh a r m o n i cb a l a n c em e t h o dw h i c h c a l ld ot h ej o bi na l li n c r e d i b l ee f f i c i e n tw a yc o m e su p w h e nt h eu n s t e a d yf l o wi st e m p o r a l l yp e r i o d i c ，t h ef l o wv a r i a b l e s ( a l w a y st h e c o n s e r v a t i o nv a r i a b l e s ) c a l lb ee x p a n d e da saf o u r i e rs e r i e s ( b u tw i t hf i n i t et e r m s ) w h e nt a k et h e s ee x p r e s s i o n si n t ot h ef l o wc o n t r o le q u a t i o n s ，t h ep r o b l e mc a l lb e a n a l y z e di nf r e q u e n c yd o m a i n t h e nt h ec a l c u l a t i o nc a l lb ec a r r i e do u te i t h e rd i r e c t l y i nt h i ss a m ed o m a i no ri nt h et i m ed o m a i n e i t h e rw a yc a l l st h ea t t e n t i o no fd o i n gt h e m a t ho nf l u xt e r m s t h er e s e a r c hs h o w e di n t h i st h e s i st a k et h et i m ed o m a i np a t h t h i sa u t h o ra r g u e dt h a tt h ec o d ec a nb ee a s i l yo b t a i n e df r o mt h ef o r m e rt i m ed o m a i n p r o g r a m t h em a i na s p e c t so f t h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) t ov e r i f i e st h eo u t s t a n d i n gp e r f o r m a n c eo f h a r m o n i cb a l a n c em e t h o d , c o d e f o r d u a lt i m es t e p p i n gw a sa l s om a d eb yt h i sa u t h o r f o rt h eu n s t e a d i n e s so ft h ef l o wi s c a u s e db yt h em o t i o no fac e r t a i nb o d y ( s u c ha sa i r f o i l ) ，as t i l lr e f e r e n c es y s t e ma n d m o b i l em e s hm e t h o di sa p p l i e d a l s ot h i sd u a lt i m es t e p p i n gm e t h o dt a k e st h e a d v a n t a g eo f m u l t i g r i dt e c h n i q u e ( 2 ) w i t h i nh a r m o n i cb a l a n c em e t h o d ，i fc o m p u t a t i o n sa r ec a r r i e do u ti nt h et i m e d o m a i n , t h ed e t a i l e dp r o c e s sa r ec h a r a c t e r i z e di nt h i sw a y , a l lt h ei n s t a n tf l o wf i e l d s a r ec o u p l e dt of o r mt h ea p p r o x i m a t et i m ed e r i v a t i v et e r mw i t hs p e c t r a lo p e r a t o r a l s o i tc a l lb ee a s i l yn o t i c e dt h a ta 1 1t h ei n s t a n tf l o wf i e l d sa r em a r c h e df o r w a r di nak i n do f n e c ka n dn e c kw a yw i t hr e s p e c tt of i c t i t i o u st i m e d f ta n di d f ta r eu s e dd u r i n gt h e c a l c u l a t i o no f a p p r o x i m a t et i m ed e r i v a t i v et e r m t of a c i l i t a t ec o n v e r g e n c e ，m u l t i g r i d t e c h n i q u ei sa l s ou t i l i z e d r e s u l t sf r o mm o d e l i n gt h ea i r f o i lp i t c h i n gp r o b l e ms h o wt h a t ，w h i l et h eu s e c o n v e r g e n c ea c c e l e r a t i n gt e c h n i q u eb e i n ge q u a l ( f o ri n s t a n c e ，a3l e v e lwc y c l e m u l t i g r i dm e t h o di su s e di nb o t hm e a n s ) ，t h ec a p a b i l i t yo ft h ec o m p u t e rb e i n ge q u a l ， t h ec o m p i l i n ga n dr u n n i n ge n v i r o n m e n ti sk e p tt h es a m e ，a c c e p t a b l er e s u l t sc a nb e g a i n e df r o mt h eh a r m o n i cb a l a n c em e t h o dw i t hj u s tq u i t ef e wt e r m sr e t a i n e di nt h e h i 西北工业大学硕士学位论文 e x p r e s s i o no fc o n s e r v a t i o nv a r i a b l e s i nt h em e a nt i m e ，i tc a nb eq u i t ee f f i c i e n ta n d t e nt i m e sf a s t e rt h a nd o i n gt h ed u a lt i m es t e p p i n ga tb e s t t h em e t h o dd e s c r i b e di nt h i st h e s i sa l s oh a ss o m ef l a w s a no b v i o u so n ei st h a ta n a s y m m e t r yr e s u l tw i l lb ep r o d u c e dw h e nas y m m e t r yu n s t e a d y f l o wi ss i m u l a t e d t h j s i sb e c a u s eo d dv a l u e sf o rt h en u m b e ro fi n t e r v a ls p a c e di nap e r i o da r et a k e n 1 1 1 e b i g g e rt h eo d dv a l u e sa r e t h eb e t t e rt h er e s u l tc a nb e n d si sa l s oc a r lb eo b s e r v e d w h e nd o i n gt h ed u a lt i m es t e p p i n g t i l i st h e s i st r i e dt oe x p l a i nt h i sp h e n o m e n o na n d t h ea u t h o ra r g u et h a tt h ep r o b l e mc a nb es o l v e db yt a k i n gi n t e r v a l sw i t l le v e nv a l u e s w h e ns p l i t t i n gt h ep e r i o d b u ti tc a nn o tw o r ku n l e s ss o m er e a lc h a n g e sa r ed o n et o c u r r e n tw a yo fc a r r y i n go u th a r m o n i cb a l a n c em e t h o d c o m p l e xn u m b e r sc a l lb e p r o d u c e dw h e nc a l c u l a t i n gt h ea p p r o x i m a t et i m ed e r i v a t i v et e r m t l l i sa u t h o rb e l i e v e s t h a tm a y b ed i r e c t l ys o l v i n gt h ee q u a t i o n si nf r e q u e n c yd o m a i nc a l ls u c c e s s f u l l y o v e r c o m et h es h o r t c o m i n go fc u r r e n ta p p r o a c h s o m ed i s c u s s i o n sa r eg i v e no nt h i s s u b j e c t k e y w o r d s ：p e r i o d i c ；u n s t e a d y ；d f t f l d f t ；h a r m o n i cb a l a n c e ；m o b i l e m e s h i v 西北工业大学 学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻读 学位期间论文工作的知识产权单位属于西北工、i k 大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被查 阅和借阅。学校可以将本学位沦文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 同时本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文章一律注明作 者单位为西北工业大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名 锨 啪年弓月( d 日 指导教师签名 矿夕年；月( o 日 西北工业大学 学位论文原创性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人郊重声明：所望交的 学位论文，是本人在导师的指导下进行研究j ：作所取得的成果。尽我所 知，除文中已经注明引用的内容和致谢的地方外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经公开发表或撰写过的研究成果，不包含本人或他人已 申请学位或其它用途使用过的成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人学位论文与资料若有不实，愿意承担一切相关的法律责仔。 学位论文作者签名： 训)年，月口e f 第一章绪论 第一章绪论 硕士论文期间开展的研究目标集中在非定常计算流体力学方面，具体讲， 现阶段主要是针对周期性非定常流场的高效率数值计算方法的研究上。 直到现在，大多数针对周期性非定常流动的计算和分析都是在时域范围内 开展的。在传统的时域方法中，流场的解在特定的非定常边界条件的约束下由一 个时刻推进到下一个时刻，比如模拟给定翼型绕某点俯仰振动的流场。这种方法 的优点在于理论较为直观，容易理解，可以模拟各种非定常流动，但是使用这种 格式计算非定常流动，为使计算过程稳定且能得到精确的计算结果，时间步长通 常取得较小，这种情况在采用显式格式时更加突出，结果导致较大的计算机时花 费。对于一个规模不大，复杂程度不高的问题，这样的做法带来的计算花费还尚 可接受，但当要解决的问题规模庞大而又高度复杂时，计算机时的花费是相当庞 大的，这会大大影响其在设计和性能校核方面的应用。 当这种提高计算效率的呼声日渐高涨的时候，一些学者给出了自己的解决 方案。特别对于周期性流动这种较为特别的非定常流动，相关高效算法的研究非 常活跃。长期从事发动机内流场数值模拟研究的h a l l 等人【”，发展了一种基于傅 立叶变化的应用谐波分析的算法，这种方法在时域内求解近似方程，计算方法简 单明了。计算过程中，同时推进求解所有时刻的瞬时流场，不同时刻的瞬时流场 之间通过物理时间的频域时间导数近似算子偶合在一起，所以能够更快得达到收 敛，另外，通过理论分析得到的近似方程具有定常方程的形式，即不显式的含有 物理时间( 导数) ，便于使用多重网格方法等加速收敛技术。h a l l 等人的研究表 明，应用这种方法加上使用多重网格等加速收敛技术，计算效率可以提高一个数 量级左右。本文的研究也证实了这一点，计算机时花费相当于传统双时间方法的 八分之一左右。h a l l 等人发展的方法由于是在时域内求解方程的，除相应于时间 导数项的计算与传统的双时间方法不同外，其余各项的计算都于双时间方法的一 样。这样就比较容易从原有的时域计算程序修改得到。本文的研究工作基本上承 袭了这种思路。 同是基于傅立叶变化的应用谐波分析方法，以期能够达到提高周期性非定 常计算效率，m e m u l l e n 掣5 】是直接在频域内求解复数方程最终间接获得时域内 流场的解的。该方法在理论上更加简单明了，虽然解的是复数方程，但整个求解 过程并不繁杂。只是在编制程序时，基本上要重新开始，结构体系和流程与时域 程序有较大的不同。 不论是哪种具体的实现手段，均表明基于傅立叶变换的谐波分析方法能够 第一章绪论 显藩提高周期性非定常计算的效率，不失为种理论严谨，效果明显的好方法， l 霉疑逐寿发曩熬窆阉鼹港力。嚣耱这耪方法瑟经瘦弱裂三续豹考虑鞍瞧影嫡魏工 程蜜簖问题，都收到到了良好静效果，绪果眈较准确，又蹙有非常高的效率。特 别实在叶轮机内流场的数值模拟方面，己经肖较好的研究和应用，对压气机，涡 轮时片的设计方藤发挥作用。 零交熬骚究，芷是受裂稳麓罪定鬻流动酋先是震麓魏非定常流蕊懿诗算效 率的需求的刺激，和国外比较漓跃的相关研究的鼓励而开展的。由于最单接触到 的资料是h a l l 等人发展的方法，所以本文置作的基本思路采用了在时域内求解 返叛方程戆方程，藩瑟提蘩运释蕊路宠鞍容荔获基毒魏耪礁瓣嚣壤方程熬疆序骖 改得到。 本文工作的怒点是应用了多重网格的求解定常的e u l e r 方程的有限体积法 计算程序，该程膨楚出j a m e s o n 发展豹。虽然本文工缛熬鞭豹是礤究秘毖传 统静双辩阕方法效率更高静算法，为了建立将来参照的标准，首先要编制出双时 间方法的程序。这部分工作是在导师的指导下独立完成的。在编制双时间方法 程序的过程中，遇铡了对于目标算例为物体避动丽导致流场经历随时闯变化的情 嚣，怒采餍霞定蹩掭系j 稷交形瓣络援零缝合，逐) 琶选择运璐黛标系窝穗辩静壹戆 且不变形的网格技术，还是选撵固定坐标系和运动的但刚饿不变形的网格组合， 经过权衡，选择了第三种方法，即运动网格技术。这种方法中，与运动材关的物 理蒙瓣表达式与露经熬悉戆被广为接受斡形袋缳持一致，镬予缓写程序移处理分 耩焰聚。为了真藏摘清楚这种方法的数学基础署珏更好的理解和应用这种方法，详 细学习了被称之为a l e ( a r b i t r a r yl a g r a n g i a n - e u l e r i a nm e t h o d s ) 方法的理论。 接下来首先认冀学习了傅立时级数和傅立时变换的相关知识，特别是豁准豹正 爱离散傅立跨交捩豹其薅过程，鑫己编裁了逶含予本文互豫静正反离散傅立时交 换予程序。随后改写了已经编写好并通过梭验的双时间法程序，主要改动为改 写了时间导数项。并且将程序改写为将所有计算时刻的流场周时推进求解，对程 痔懿数据结稳终了较大豹改动。疆主是零文磷究孛惫含戆意要工箨。 本文研究工作的目标首要的是编写出一套基于傅立叶变换的应用谐波分析 方法的程序，其计算结果应该肖和传统的双时间方法相比拟的准确性，墩重要的 是娶体现出j # 凡豹效率，如果要爨纯这耱效零提衰弱预期，鄹么最好栽达弱莰+ 蓿盔蠢。 2 第二章非定常流场的运动描述 第二章非定常流场的运动描述 2 1 引言 本文二维算例是翼型俯仰振动的问题，由于气流中的物体是运动的，分析与 之对应的流动，首先要选取合适的参考系，建立恰当的网格，在此基础上写出流 动控制方程的正确形式和给出边界条件的相应形式。对于分析本文算例这样的问 题，从已有的资料看，不用在计算的每个物理时刻点更新网格的分析方法通常有 两种。 一种是建立与物体固连的运动参照系，这样的参照系与物体之间没有相对运 动，但是控制方程的形式较复杂，而且涉及一些新概念。比如，翼型绕其四分之 一弦长作俯仰振动的问题，以翼型四分之一处为坐标原点建立与翼型固定连接的 坐标系( 参照系) ，那么要推导出相应该坐标系的控制方程，在动量方程中要考 虑科里奥利力的影响，在能量方程中，由于坐标系是转动的，焓和总能量的形式 都与静止坐标系下的不同。最为不便的是，在旋转坐标系下计算得到的结果并不 是人们已经习惯的在静止坐标系下的情形。比如流速，计算得到的直接结果是旋 转坐标系下的流速场分布，要经过变换才能得到从静止坐标系看来观察到的流速 场，流场中凡是涉及运动学的变量都有这样的问题。这种方法中网格与运动物体 也固定连接，并且始终保持刚性不变形。计算过程中显然不需要不断更新网格。 另一种方法，参照系还是选择人们习惯的静止坐标系，但是仍然选择网格与 运动物体固定连接，并且始终保持刚性不变形。也就是说在这种情形下，参考系 静止，网格是运动的。这种方法的优点在于：首先，同样不需要实时更新网格； 其次，计算得到的流场变量( 分布) 直接就是静止参考系下的形式，直观，便于 分析；再次，相应于这种方法的流动控制方程的具体形式较人们静止参考系下定 常问题的控制方程的形式变化较少，只是在计算通量时，若采用有限体积法，原 来要用到的网格单元边界上的流速要用流体穿过边界的相对流速来代替，即要用 网格边界上的流速与该处的网格运动速度的差来代替。 除了上述方法之外的另一类方法是在静止坐标系下分析问题，网格系统需要 实时更新，即在每个需要计算的物理时刻都要全部或局部地重新生成网格。局部 更新的情形实际上是网格在物体运动的过程中在不断变形。这种策略通常适用物 体运动幅度不大的非定常流动，比如翼型绕其四分之一弦长点做俯仰振动。俯仰 振幅不大时，可以始终保持网格的远场边界静止且不变形，物面边界则根据翼型 第二鬻非定常流场滟运动摇述 的瞬时运动位置不断改变，这样就造成靠近物面边界的网格单元不断经历变形， 越纛遥远场边爨瓣瓣格单元经掰黪交形越小。霹以想象，魏聚纺蒋运魏旗波较大， 会出现部分网格扭曲变形过大，很难保证较瑗慈的网格品质，最终会影响流场计 算。 总之，不断更薪嬲格要求 # 流场计算的额外计算量。本文采用了上聪提到的 不霈凝实鞋更薪鞠格静第二耱方法，繇选彝静正抟参照系，与运动耱体鬻连置始 终刚性不变形的邋动网格。 大量文献中的研究工作都使用了这种方法，也给出了垮这种方法相通应的控 鬏方程戆形式，蠲缀少奔绥支持这耪方法懿数学覆毽。数学在滚薅力学审藩痘震 范畴，但是应该摘清楚这种特定的控制方程形式蕴涵的数学和物理含义。 作这项工作的意义在于，从表面看这种方法的实现过程中有些很令人费解的 阉题，比如：网格在运动，具蠢穗羼编号的弼掺单元( 计算警嚣蠹具有麟阉坐标 虢黼格单元) 在不简时刻的空阀位置不同，那么以双时闯法为傍l ，计算寄恒变量 的物理时间导数时要用到几个相邻物理时刻的守恒变量的慎，这样计算出来的物 理时间导数的含义楚什么，比较令人费解，遮显然不是人们熟知的当地时间导数 魏壤念( 在静壹参考系下) ，魏莱瓣臻攀元黪运动与流体零身熬运囊不毅，这 个时间导数也不怒物质导数( 实质导数) 。为解释这样的问题，有必要摘清楚这 种形式的控制方程的来龙去脉。 2 2 三种典溅盼流动运动描述方法 捌嚣翦秀壹，典鳖熬运动搓述方法骞三秘，分裂隽拉貉麓逸方法，敬织方法， 还裔界于这两种方法之间的a l e ( a r b i t r a r yl a g r a n g i a n e u l e r i a nm e t h o d s ) 方法。 固体力学和流体力学中常会遇到这样的问题，问题涉及的遴续介质在运动过程中 其本身会经历很大的变形，比如固体力学中黝恻子很好想象，流体力学巾的旋涡 流动氇是这样懿筏予；男一类袋象是不霹静秘缓静交赛瑟翁运动，流体力学中躲 不同类流体之间，流体与固体之间，比如翼激和流体之间的分界面，也就是通常 讲的物面。不同的流体的力学和热学特性不同，需要区别对待，那么准确的描述 兹袋貔分赛垂裁嚣露重要，懿栗这些分雾嚣农运动，攘述交赛嚣熬王终簸跑较骞 挑战性了。 上述两大类问题，处理流体溅固体的大变形和高精度的捕捉物质交界面及运 动携澈，都要求棱斑选取会适黔运动摇透方法。 传统的运动描述方法有拉格裙嚣法和欧挝法，前者数学表达简单，德抽象； 后者，数学表达较复杂，但是殿观。可惜二澍的区别还不成于此。 4 第二肇非定常流场的运动描述 拉格朗日方法是这样实现的，计算网格的每个结点都与一个物质点( 连续介 矮审熬一个熹，浚体力学孛是一令渡莽徽霞) 始终重台。潮猿逮器上没蠢流终穿 避的现象。这时选取的参照系实际上是随体遴动的参照系。这种方法常髑在结构 力学中。显然这种方法可以很容易的跟踪到物面和不同物质的交界面。这种方法 可以月来解决具露菲定常本椽关系静物质黪力学惩题。其教会缺点是不好解决大 交形游题，鄄翔采不频繁更新阏格，奔l 子计舞静网格弪魏变形会菲常严整，这就 影响了网格的晶质。 欧拉方法广泛应用于流体力学领域。磁这种方法中，参照系是静止的，网格 选楚静止兹劳曩不交影。在瓣搀透赛上毒滚镕穿过。这群在处理大交影淹匿簿， 网格的品质不会发生变化，也凭须不断的熨新网格。其最丈的缺点在于，无法精 确的捕捉不断改变位置的物面和物质交界面。 综上赝述，幕缝采矮控揍鹈疆法或黢羧法，豢有明簸瓣皱貉。一定程度主豹 解决之遒在子我掰一稀混合方法，兼有二纛盼长处，避免譬f 鲡二者的缺点。这就 是后来发展的称之为a l e 的方法。在这种方法中，可以随意选取一个已知运动 规樟的的参照系，网格也以参照系的规律运幼，网格在运动中也可以变形。在所 考察豹连续奔震发生丈交形辩，a l e 方法弼瑷霞较蠢懿缓静霹袼满足怒莲这类 问题的需要，即网格以介质实际变形的趋势遥动，但是猩运动的过程中，又以较 和缓的变形进行跟随，这就会狸一定程度上改善拉格朗网方法遇到的窘境。在精 确臻透实嚣交织爱爱或形获瓣携嚣帮耱覆交器嚣露，a l e 方法也魄敬短方法终 的好，因力a l e 方法中的网格是可以运动受形的。 其实，站在爨高的角度审视这三种方法，拉格朗日方法和欧拉方法都是a l e 方法浆特捌。毅卷a l e 方法巾去除参考系镌嘲摄的运动翻变形，那么裁褥到了 欧授方法；懿粟设瞬洛结点始终与连续介震瓣点重合，静黼格完全舔隧了介质懿 运劫和变形，就得到了拉格朗日方法。从这个意义上讲，a l e 方法悬一种更为 基础的方法，或纛说将欧拉方法和拉格朗日穷法统一了怒来，在两者之间构建了 稳囊转亿兹渠遴。瑟2 。1 影象夔显示了三耱方法鲜疆懿特怨； 第二章非定常流场的运动描述 a 介质点 o 网格结点 介质点运动 网格结点运动 图2 1 一维拉格朗日，欧拉和a l e 描述中的网格和物质点运动 a l e 方法的实现，主要在于引入第三个参考系( 参考域和参考网格) ，以及 确定其与经典的拉格朗日参考系和欧拉参考系的之间的映射关系。为了简单明 了，下文将把a l e 中引入的第三个参考系，拉格朗日参考系和欧拉参考系依次 称为参考域，物质域和( 静止) 空间域。下面将给出a l e 方法的基本方程，其 首先建立了物质( 时问) 导数和参考( 时间) 导数之间的关系。再根据已知的物 质时间导数和( 当地) 空间导数之间的关系，进而建立起参考导数和空间导数之 间的关系。在这些基础之上，就可以得到能直接应用的基于a l e 运动描述方法 的控制方程的相应形式。 6 第二章非定常流场的运动描述 2 3 运动描述的数学理论 2 3 1 拉格朗日描述和欧拉描述 连续介质力学中常用到的两个域分别为物质域r zcr “，有刀5 4 个空 间维数，由物质点x 组成；还有就是空间域r ，由空间点x 组成。 拉格朗日的观点( 网格结点的运动) 与连续介质( 物质) 点的运动完全一致。 相应的的网格构形变化如图2 2 ： 厂aj y) ) 初始构彤当前构影 图2 2 拉格朗日描述 根据物质坐标x ，可以追溯出介质的初始构形。物质点的运动把物质坐标 x 与空间坐标x 联系起来。定义映射关系，如下： 伊：r j 【t o ，f 月。t 】一r ：【t o ，t f i 。，】 ( x ，f ) j 缈( x ，f ) = ( x ，f )( 2 1 ) 实际上这个映射关系的实质就是物质点的运动规律： z = x ( x ，f ) ，t = t ( 2 2 ) 这就是说，首先空间坐标x 同时依赖于物质点x 和时间f ；其次，在物质 域和空间域中时间都是用同样的时间变量t 。可以定义妒的梯度： 7 第二章非定常流场的运动描述 捣=粉=巨ax孙otx xt t 引 ! 翌：! ! 兰：尘：li - 【寿”l( 2 3 ) a (，f )a (，) a fa f i 彳；1j 8 x 8 i 、 ( 筹，盼( 等，a fi 悖磊- - ：】 。， v ( x ，f ) = 禁i ， 第二章非定常流场的运动描述 v 只对应固定的网格点，并不始终对应一个固定的物质点。所以速度v 与物质的 初始构形无关，也与物质坐标x 无关，即v = v ( x f ) 。 此外，由于欧拉方法将网格点与物质点解耦，对流效应就出现了。这是因为 运动( 常常伴随着变形) 的物质与静止固定的网格之间存在相对运动。由于对流 项的存在，带来了数值求解的难度，但是这种方法提供了一种相对容易的处理复 杂物质流动的手段。与前面已经介绍过的拉格朗日方法对比，欧拉方法在提供实 时精确的描述运动变形的物质交界面和运动的物面边界时，面临严重的困难。 2 3 2 a l e 运动描述 上述对拉格朗日方法和欧拉方法的回顾，明确指出了两种方法各自的优缺 点。同时也显示了综合两者优点的方法的广阔的应用前景。现在发展起来的这样 一种方法即a l e 运动描述。这种方法首先在有限差分和有限体积法中发展起来并 走向成熟。后来在有限元素方法中也得到了广泛的应用。 在a l e 运动描述体系中，既不采用物质域做为参照系，也不采用( 静止且 不变形的) 空间域做参照系。而引入了第三个域：参考域r ，作为参照系。在 该参照系中建立与之无相对运动的坐标系，坐标记为：z 。图2 3 表示了三个参 考系( 域) 之间的相互转化关系。 图2 3 三种参考系之间的相互转化关系 9 第二章非定常流场的运动描述 相应于三种参考系的三个一一对应映射关系分别为：参考域r 。向物质域甩 和空间域疋的映射依次为和。物质点运动妒可以表达为妒= 妒。很显然， 三个映射关系之间不是完全独立的。 其中，从参考域r 。到空间域足的映射妒可以被理解成网格( 点) 相对于空 间域的运动，表达为： ：rz 【to ，t ，j 。，】专r ，【to ，f 。，】 ( z ，t ) 一( z ，t ) = ( x ，t ) ( 2 7 ) 其梯度为： ! 翌：旦l 兰：尘： a ( z ，t )a ( z ，f ) a x 8z a t a z a 工 a t a t a t 实际上，如果定义函数，则有： ( 等，箸) = ( 等，等 爹： ， 毗2 孰 上式中， l 表示固定参考域中的点z 。现在注意到物质和网格均是相对于 空间域( 静止参考系) 运动。 最后，考虑映射y ，实际上直接考虑其逆映射 c ，。1 更为方便，具体如下： c ，“：rj 【to ，t ，f 。】寸rz 【to ，tf t n4 ，】 ( x ，f ) 一y “( x ，t ) = ( z ，t ) ( 2 1 1 ) 曼竺：! ：曼! 星：尘： a ( x ，t )a ( x ，f ) 1 0 a z a x a t 8 x a z a t a f a t 酚g p 1堕旷 = 眩 g w l望拟旷 = 第二章非定常流场的运动描述 实际上，如果定义函数，则有： ( 筹，孙o f 一，笪a t1 筹or _ ：， 亿啪 物质( 点) 相对参考域的运动速度w 为： w ( e 小鲁i j 上式中， i ，表示保持物质点x 不变。 下面要通过以上得到的结果，推导出三个速度概念v ，口和w 之间的关系，定 ( 苦，等 = ( 誓，箸) 8 z 8 x o t a x o x a z a t a z 8 ：c a f a f o t a x a t ar a t = ( 矧( 引 均 = ( 等，箸 lo x 一卜回 ( 筹鲁 = o f 一，望o t 汀) i 蒡or 矿1 熹or _ ：， 乃 也可以通过对映射关系缈= 妒妒。1 微分得到，具体如下： 曼! 兰：尘： a ( x ，f ) 曼翌! 墨! 尘： a ( x ，f ) 型旺掣 a ( x ，f ) 上面连等式的最右端又可以通过复合函数求导规则继续变形： 曼! 生业：! ! 墨! 剑! ： o ( x ，f ) 而( z ，0 = 缈_ 1 ( z ，d ，所以： a 妒眇。1 ( x ，f ) 】) a ( z ，t ) o ( z ，f )o ( x ，f ) ( 2 1 9 ) 彭万 可瓦 彭万望粥 札 ，、 其 第二章非定常流场的运动描述 曼翌! 兰：生： a ( x ，f ) a 矿 y 一1 ( x ，f ) ) a 一1 ( x ，r ) 】 a ( z ，r )a ( x ，f ) ：曼丝兰! 塑翌唑：! ! 墨! 必 a ( z ，f ) a ( x ，t ) ( 2 2 0 ) 应用前面已经得到的映射和- 1 的梯度结果，上式变为： ( 筹鲁 = ( 荽，箸 ( 爹： 爹： v = 1 ，+ = 一w ( 2 2 2 ) o z 萨p 舻瓦朋 上式中，c 定义成对流速度，即物质与网格之间的相对速度。 值得注意的是，应该区分对流速度c 与w ，后者是从参考域看来，观察到的 物质的运动速度。前者也是物质与网格的相对速度，但有意思的是，这是从空间 域( 静止参考系) 看来观察到的结果。因为v 与都是从空间域中看来观察到的 i 2 ( 2 2 4 ) o z 其中，是单位张量，即当网格相对空间域做纯粹的平动时，没有转动和变形， 给出了a l e 方法的数学推导后，可以看出，人们熟知的拉格朗日方法和欧拉 则得到了拉格朗日运动描述。而又有： =ij 并毫 zj矿暑0 ，c 暑v ( 2 2 6 ) 是可以随意选取参考域和网格的运动和变形方式。也正是这一点将拉格朗日方法 和欧拉方法的优点结合了起来，同时一定程度上规避了各自的缺点。 第二章非定常流场的运动描述 当然世界上没有找不到缺点的事情，a l e 方法也一样，尽管这种方法综合 了其他方法的优势。为了保证a l e 方法的成功应用，必须根据具体问题给出所 选参考域的具体运动和变形规律，即必须精确给出网格点的运动速度，这是必须 做的额外的工作，也加重了计算的负担。所以，对于具体问题，a l e 运动描述 要求事先知道网格( 点) 运动的规律。 2 4 基本的a l e 方程 为了在a l e 框架内表达流体力学中的质量，动量和能量守恒定律，必须给 出物质导数的几种表达方式，也是几个时间导数之间的关系。因为物质导数是蕴 涵在守恒方程组中的内在含义。 2 4 1 物质时间导数( 实质导数) ，空间时间导数( 当地时间导数) 和参考时间导数 为了将物质域，空间域和参考域内的时间导数联系起来，定义一个标量的物 理量，在空间域，参考域和物质域中依次描述为，o ，f ) ，厂+ ( z ，f ) 和，。( x ，f ) 。 函数记号右上角的星表示同一个物理量在不同的参考系中一般具有不同的形式。 首先看下面的求导关系： 筹，等) = ( 芸，善la x j a t ) 8 x j8 t ) a xa x 8 xa t a f钟 0 x8 t = ( 矧o t j f l 引o r 从上式中可以看出，经过( 块) 矩阵乘法，有： 攀：娑+ 篓v 8 t8 t8 x 、 上面的等式给出了物质时间导数和当地时间导数( 空间导数) 之间的关系， 这也是以前人们熟知的经典关系。将函数符号右上角的星号，即： 第二章非定常流场的运动描述 或： 笪o t i ，丑o t 卜吖l j ， 。 车：娑+ v w d t8 t 。 ( 2 3 0 ) 上述关系也可以从映射关系出发得到，既然物质运动矿是映射关系，空间 域中的标量物理量表述，( x ，f ) 和物质域中的表述厂+ ( x ，f ) 可以这样建立起联系： 即 厂”( x ，t ) = 厂 伊( x ，f ) 】 求这个表达式的梯度： 笪：( 兰! 尘：堑丝篓：塑： a ( x ，f )a ( z ，t ) 塑翌坚：剑堑盟：a f ( x , o 坚堕 a ( 工，t )o ( x ，t ) a ( 石，t ) o ( x ，t ) ( 2 _ 3 1 ) 型：丝掣型 ( 2 3 3 ) a ( x ，f )a ( x ，f ) o ( x ，t ) 再带入矿的梯度表达式，也可以得到物质域与空间域中时间导数之间的关 系。 现在来看物质域与参考域中时间导数之间的关系，做法类似： ( 箬，等) = ( 雾，等) o z 8 x a f a x a z a f 出 a f = ( 筹，鲁) 学1 ：，卜。， 经过矩阵计算，有： 等= 等+ 等wt、235t t ， 2 一= 一+ = 一w 1 aaaz 上述关系同样也可以从映射关系出发得到，借助于映射关系，参考域中的 标量物理量表述厂( 石f ) 和物质域中的表述，”( 置0 可以这样建立起联系： ，“( x ，t ) = 厂+ 。( x ，f ) 】 ( 2 3 6 ) 求这个表达式的梯度： 1 4 第二章非定常流场的运动描述 即： 贮! 墨! 尘：鱼业：! 竖塑 o ( x , t )a ( x ，t ) 笙【芝墨剑亟盟：鱼丛星坐旦垒堕 a ( z ，f )o ( x ，f )a ( x ，f ) 烈置f ) 堑：( 墨! 尘：笪：f 兰! 尘望竺：! 墨：尘 a ( x ，f )a ( z ，f )a ( x ，f ) 再带入“的梯度表达式，也可以得到物质域与参考域中时间导数之间的 关系。 该方程将物质域和参考域中的时间导数联系起来。直接用这个关系式也可 以进行计算。但是在计算流体力学中，通常在空间域( 静止参考系) 计算较为方 便。另外，在流体力学中，本构关系通常在静止参考系中表达。通过下式： a x c51 ，一v2j - w ( 2 3 9 ) d z 前面的方程变形为： 嬖：娶+ 望。 ( 2 4 0 ) a ta to x 、7 仔细观察上面的基本a l e 方程，将物理量在物质域中的时间导数和参考域 中的时间导数和物理量在空间域( 静止参考系) 中的梯度联系了起来，去掉星号， 有下式： 等ti i x = 等tl 。+ 等c = 箐ti i x + c v 厂aa i z a xa 。、 上面的方程表明，对于某个物质微团，某物理量的物质( 时间) 导数等于 该物理量在参考域中的时间导数加上在空间域中表达的对流项，该对流项考虑了 物质和网格之间的相对运动速度c 。这样就又提供了一种计算物质导数的方法。 2 4 2 运动有限控制体上积分的时间导数 为了建立积分形式的质量，动量和能量守恒律，需要考虑在一个由流体填 充的运动有限控制体上，标量或矢量函数积分的时间变化率的表达式。 首先要介绍雷诺输运方程令矿( f ) 是参考域中的有限控制体，其边界为 s + ( f ) ，单位长度的外法向矢量为元，如下图所示： 第二章非定常流场的运动描述 图