（应用数学专业论文）bloch空间上的复合算子差分的本性范数.pdf

中文摘要 本文主要对单位圆盘上b l o c h 空间上复合算子差分郇一q 的本性范数进行 了估计并给出了判断b l o c h 空间上复合算子差分紧性的条件全文共分为三部 分： 第一部分，简要介绍了本文需要用到的一些基本概念，并指出了近些年在这 个领域内的一些主要工作，相当于是一个前言同时，还在本部分给出了主要的 结果 第二部分，给出了本文所需要的一些引理及证明 第三部分，给出了本文主要定理的详细证明 定理1 1 ：设6 0 ，令毋= 名d ：m a x ( 1 妒( 名) i ，i 妒( z ) 1 ) 6 ) 若妒，妒：d _ d ，且o ，郇：b b 都不是紧算子，则： 。l i 。m 。：s u p ( 1 一矿( 妒( 名) ，妒( z ) ) ) ( x ) ( z ) i 妒拳( z ) i + x 磋。) ( z ) l 妒社( 名) i ) p ( 妒( z ) ，妒( 名) ) 剑。一钏e 8 0 删l i m ：s u p p ( v ，( 名) ，妒( z ) ) 其中x 西，( 名) = 6 】- ， 2 ) = z d ：i 妒( z ) l 6 ) 关键词：b l o c h 空间； 复合算子；差分；紧性 a b s t r a c t t h i sp a p e rg i v e ss o m es i m p l ee s t i m a t eo ft h ee s s e n t i a ln o r mf o rt h ed i f f e r e n c e o fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so c 知f r o mb l o c hs p a c e st ob l o c hs p a c e si nt h eu n i t d i s k m o r e o v e rt h ec o m p a c t n e s so fd i f f e r e n c ei sa l s oc h a r a c t e r i z e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w h i c hi n c l u d e st h eb a c k - g r o u n da n ds o m en o t i o n so ft h i sp a p e r ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r eg i v e nh e r et o o n e x ts e c t i o no ft h ep a p e r ，s o m ei m p o r t a n tl e m m a s ，w h i c ha r er e l a t e dt ot h em a i n t h e o r e m s ，a r ep r o v e d t h el e f tp a r ti st h ed e t a i l e dp r o o fo ft h em a i nt h e o r e m t h e o r e m1 1 ：l e t60a n d 毋= z d ：m a x ( i 妒( z ) i ，i 妒( z ) 1 ) 6 】- i f 妒，妒：d _ da n dn e i t h e r 郇n o rc 0 ：b _ ba r ec o m p a c to p e r a t o r s ，t h e n ： l i m 弛s u p ( 1 一矿( 妒( 名) ，妒( 名) ) ) ( 嘲- ) ( z ) 杪( z ) | + x 酵( z ) 矿( 名) 胁妒( 名) ，妒( 名) ) 剑一c 妒1 1 es 8 0 6 l i 。m 。：s u 玩p 1 9 ( 妒( 名) ，妒( z ) ) w h e r ex 订( z ) = 1 z z 岳e 砭e 5 旬i ) i = l ，2 ，e 6 = d - 毋，曩1 ) = 名。：i 妒( z ) i 6 】， 砭2 ) = z d ：i 妒( 名) i 卧 k e yw o r d s ：b l o c hs p a c e ；c o m p o s i t i o no p e r a t o r ；d i f f e r e n c e ；c o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或 撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：栩免贵签字日期：2 8 年，月2e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定。特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：杨屯灰 导师签名 溷渤峰 签字日期：加驴易年占月2 目 签字日期：谚年多月2 ，匿 第一章背景知识简介 第一章背景知识简介 在这篇文章里，我们用d 表示复空间c 上的单位开圆盘；用h ( d ) 表示 d 上解析函数的全体用b 表示b l o c h 空间用s ( d ) 表示d 上解析自映射 的全体 对于任意的f 日( d ) ，我们说f b ，如果它满足： lj f l l b = s u p 。( 1 一汗) i ，) i 0 ，令f 6 = z d ：m a x ( 1 妒( z ) i ，l 妒( z ) 1 ) n 若妒，妒：d d ，且c 易，q ：b _ b 都不是紧算子，则： 。l i 。r a 。名s u 毋p ( 1 一矿( 妒( z ) ，妒( z ) ) ) ( x 巧- ，( z ) i 妒书( z ) i + x 磅z ，( z ) i 妒半( z ) i ) p ( 妒( z ) ，妒( z ) ) 剑郇一钏e 8 0 汹l i m ：s u 历pp ( 妒( 名) ，妒( z ) ) 其中x 硝，( 名) = 。1 z ze 岳e q 5 i 。) t = l ，2 ，助= 。一毋，u = 1 ( z ed ：ic p ( z ) l 5 ) ， 砭2 ) = 名d ：l 妒( 名) l 吼 2 第二章基本概念和定理 第二章基本概念和定理 为了证明这篇文章所得出的结论，我们需要给出下面一些定义、性质 及引理，并对部分引理给出证明 定义2 1p s e u d o - h y p e r b o l i c 度量： 单位圆盘上的全纯自同构协定义为对任意的p d 吻( z ) = 巧p - - z ； 对于任意的名，叫d ，z ，伽的p s e u d o - h y p e r b o l i c 度量是指 比川= i 以酬= l 篙l 且 譬墼1 芦一比川i 一虿叫i 。 一7 定义2 2 h y p e r b o l i c 度量： 眦川刮n f 品中1g 糍 其中7 ： 0 ，1 】一d 是一条连接z ，伽的分段光滑曲线，且，y ( 0 ) = 名，7 ( 1 ) = 伽 定义2 3( 有界线性算子) 设x ，y 是赋范线性空间，称线性算子t ： x y 是有界的，如果存在常数m 0 ，使得 i | t xj | y mi fzi i x ( 协x ) 定义2 4 ( s c h w a r z p i c k 型导数) 对任意的妒s ( d ) ，妒的s c h w a r z - p i c k 型 导数矿定义为。 双加端似z ， 妒孝( z ) = 粤妒k ) 3 第二章基本概念和定理 由s c h w a r z - p i c k 引理我们知道，l 妒社( 名) i 1 若妒是单位圆盘上的全纯自映 射，则对任何z d 等式成立且当妒s ( d ) 时有 c o f i i = s u p ( 1 一汗) i 妒他) ii ，7 ( 妒( z ) ) i = d 、 ，。一 = ：s u 。pl l ，o 群( 名) l ( 1 一l 妒( 名) 1 2 ) i f ( 妒( 名) ) 定义2 5 如果q 的子集g 满足：( i ) 否cq ；( i i ) 否是紧的，就称g 相对于 q 是紧的，记为gc cq 定义2 6( 紧算子) 设x ，y 是b a n a c h 空间称线性算子t ：x y 是 紧的，如果对任意有界点列 。n ) cx ， t x n ) 中存在收敛的子列 紧算子还有如下等价定义： 设x ，y 是b a n a c h 空间称线性算子t ：x y 是紧的，如果对于x 中 的任意有界集b ，丽两在y 中是紧集 定义2 7设b 空间上的紧算子全体构成的集合为q ，那么一个线性算 子t 的本性范数定义为算子t 与q 中紧算子的距离，即为： i i t l l 。= i n f l i t k i l ，k q 注意到算子t 为紧算子的充分必要条件是归0 。= 0 从而通过对算子t 本性 范数的估计就可以得出t 为紧算子的充分必要条件 定义2 8设f = ，】是域qc 俨的全纯函数族如果它的任意序列 ) cf 中一定包含一个在q 上内闭一致收敛的子列，就称f 是q 上的正 规族 定义2 9 设f = ，】是域qc 伊的全纯函数族如果对任意紧集kcq ， 存在常数m ( k ) ，使得i ，( 名) i m ( k ) 对任意的z k 及f f 都成立，就称f 是局部一致有界的 4 第二章基本概念和定理 定义2 加对任意的z ，狮d ，我们定义 6 ( 名，加) ：s u pi ( 1 一i z l 2 ) f ，( 名) 一( 1 一i 伽1 2 ) f ，( 伽) i l f l l b 1 为了估计劬一。的本性范数，我们介绍一些文章的结论以及一些自己 得到的结果： 在本文中我要用到下面这个关于紧算子的引理： 引理2 1设q 是伊中的域，日( q ) ，如果紧集k 及其邻域g 满足 条件kcgc cq ，那么有不等式 s u pl ( d 口，) ( z ) i c 么s u pl ，( z ) i z e kz e g 这里q 是与k ，g 以及口有关的常数 引理2 2算子k 是口空间上的紧算子的充分必要条件是对任意序列 厶) cb ，若 ，竹】内闭一致收敛于0 ，则有0 k 厶| | _ 0 引理2 3 ( s c h w a r z p i c k ) 引理：若妒是d 上的全纯自映射，则： 妒( 叫) 一妒( z ) = = = = = = = = 一 1 一妒( 叫) 妒( 名) iw z i _ = 1 一w z 假如等式对任意的z w 成立，那么妒是d 上的全纯自同构 引理2 4( m o n t e l ) 引理：设q 是伊中的域，q 上的全纯函数族f 是q 上的正规族的充分必要条件是f 在q 上局部一致有界 引理2 5若妒是d 到d 的解析自映射，那么q ：b b 是有界算子 5 第二章基本概念和定理 证明：因为 ( 1 一i ( ，。妒) ) i 从而引理得证 ( 1 一i f ( 妒( z ) ) ( 名) i 高躲i ( 1 咄1 2 ) l 九俐 s u 。p ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) i ，7 ( 妒( z ) ) i 潞( 1 一i i ，) l s u 。p ( 1 一1 名| 2 ) l ，协) i 叭硎( 1 + 丢一n 南) 忖“ 证明：根据的定义，我们知道i f ( o ) i l ，且： 化) 叫o ) - 0 1 掣班= f 0 1 2 ；他) 砒 从而有 i ，( z ) l i f ( o ) i + l f 7 ( t z ) j d t ，上 一0 钏z i z 1 背出 钏州+ i f hz o k l 南出 - l | 州吲1i 刘l n 剖 ( - + 三h 南) 盯u 引理得证 ， _ 、。 引理2 7 设 ) 是b 上的一个有界序列，则存在 ) 的一个子列 f k 。) 内闭一致收敛于全纯函数，且f b 6 l i = 一 一 一 第二章基本概念和定理 证明： ) 是b 上的一个有界序列，即i i | i c 由引理2 6 可知 ) 在d 上 局部一致有界因此由m o t e l 引理，我们可以找到 ) 的子列 。】在d 上 内闭一致收敛于全纯函数，则由引理2 1 知危( z ) 也在d 上内闭一致收敛 于，7 ( z ) 那么： ( 1 一i z l 2 ) i ，) l = 熙( 1 一i 兄( 名) i _ s u 。p i l f k 。忙c 这就说明了，b 定理得证 引理2 8若妒是d 到d 的解析自映射，且 1 ，那么郇：b _ b 是紧算子 证明：因为1 1 。 0 ，使得i 。 ， 1 ，从而对于任意的 名d ，有i 妒( z ) i 0 和w e = r z ：z 面) cd ，有 i 形。( 伽) 一，7 ( 伽) i g 所以 i i o 乃。一c 0 刘 = s u p ( 1 一1 名1 2 ) l 彰。( 妒( z ) ) 妒7 ( z ) 一，7 ( 妒( z ) ) 妒7 ( z ) 1 + i s j 。( 妒( o ) ) 一，( 妒( o ) ) i = ：s u 。p 了兰彳孑专导产i 妒7 ( z ) l ( 1 一i 妒( z ) 1 2 ) i 形。( 9 ( 名) ) 一，7 ( 妒( z ) ) i + i 乃。( 妒( 。) ) 一，( 妒( 。： 骝i l j ( v ( z ) ) 一，( z ) ) i + 眦妒( o ) ) 一m ( 0 ) ) | ! ! 已i 矗( 叫) 一，7 ( 叫) i + i 办。( 妒( o ) ) 一，( 妒( o ) ) l _ 0 伽t 匕 当s _ 0 0 时这也就说明了 郇办。) 收敛于c 0 ，b 从而郇是b 上的紧算 子 在文章 9 】中证明了下面的结论； 引理2 9若妒是d 到d 的解析自映射，那么：b b 的本性范数有。 下面的估计式： e = 。l i 。m 。j 器。”名) l 7 第二章基本概念和定理 从这个引理可以知道，若郇，：b _ b 中有一个算子是紧算子，那么 i | o 一劬l l 。的估计就转化为引理2 9 ，所以这篇文章中假设了，郇都不是 紧算子，从而根据引理2 8 我们知道m l = 1 ，i i 妒1 1 。= l ： 在文章 5 】中，由命题2 2 知； 引理2 1 0 对任意的2 ， d ，有矿( 彳，w ) b ( z ，伽) s2 0 p ( z ，叫) 参考文章【1 0 】中引理3 3 的方法可以证明下面一个引理： 引理2 1 1设妒，砂：d d 是单位圆盘上的解析自映射：则 l 妒孝( z ) 一妒齐( 名) j 等s u p p ( 妒( 伽) ，妒( t u ) ) ：p ( z ，t u ) r ) 证明：设( z ) = 一z ) l ( 1 一砚) 是单位圆盘上的全纯自同构，下来我们估 计下面的不等式； ( 2 1 ) i ( 名) 一，g 7 ) i 2 p ( 名，z 7 ) + 8 p ( t t ，叫7 ) 其中z ，z 7 ，w ，伽7 d 首先由p s e u d o - h y p e r b o l i c 测度在全纯自同构下的不变性 p ( 妒们( z ) ，妒 ( 名7 ) ) = p ( z ，2 ，) 知i 妒 ( z ) 一妒叫( z 7 ) i 2 p ( z ，7 ) 又可设厶( 伽) = 妒仰( z ) 则有瓦厶( ) = 1 ( 1 一面名) 和岛丘( ) = ( 2 ) z ( 1 一面z ) 很容易看出它们的 模均小于等于l ( 1 一) 则有i w z ( w ) l 2 ( 1 - ) s4 ( i 1 w 1 2 ) 那么取，y 是连接叫，的任意一条分段光滑曲线，且7 ( 0 ) = 伽7 ，y ( 1 ) = 伽，则 妒硼( z ) 一妒伽，( z ) i = i 厶( 伽) 一厶( 伽，) | = i 厶( 7 ( 1 ) ) 一厶( 7 ( o ) ) i = i f z ( 7 ( 1 ) ) 一厶( 7 ( o ) ) i 启i ( 厶。，y ) 7 ( t ) id t = 詹j v 厶( ，y ( ) ) ij y ( t ) l d t = ，l v 厶( f ) ji d o l 1 4 1 品 由于，y 是任意取得，从而 眦，一等尚一g 等黯 当p ( w ，) s ，则很容易估计出上面的式子小于等于8 p ( w ，w ) 假如p ( w ，) 互1 ，那么由于l ( 三) j 王，可得i ( z ) 一，( z ) j 2s4 p ( w ，镏，) 从而我们得到 8 第二章基本概念和定理 i v ( z ) 一v w ，( 名) i 8 p ( w ，w ，) 那么我们应用三角不等式, - r l i p 就可以得到( 2 1 ) 式 我们注意到对任意的名d ，妒i p ( 名) o 妒。慨在0 点的导数等于妒襻( z ) 对任 意的r 【0 ，i l 运用对导数的c a u c h y 积分公式有 以牡点t 盟等幽必 对妒带( z ) 也有同样的结果下来我们运用( 2 1 ) 得到下面的估计： i ( 妒妒( 名) ov ov z ) ( e ) 一( 蛳( 彳) o 妒。妒。) ( ( ) i 冬2 p ( v ( 妒；( e ) ) ，妒( 妒z ( ) ) ) + 8 p ( 妒( 名) ，妒( z ) ) 当e 取遍蚓= r 集合时，运用s c h w a r z - p i c k 定理很容易验证t t ，= 亿( e ) 取遍 p s e u d o - h y p e r b o l i c 圆p ( z ，w ) = r 令 s = s u p p ( v ( w ) ，妒( 伽) ) ：p ( 名，w ) r ) 我们得到下面的估计； i v # ( 沪矿( 之) 1 0 , 两鲁l d ( i = 了1 0 s 定理得证 下面我再给出一个必备引理的证明： 引理2 1 2设固定的7 _ ( 0 ，1 ) ，0 r c ( 6 ) 当占_ 1 时，c ( 占) 也单调递增趋于l ，且c ( 6 ) 6 证明：由s c h w a x z - p i c k 定理我们知道p ( v ( z ) ，v ) ) p ( 彳，删) ，那么当t ，t 时， 有矿( 妒( z ) ，v ( 伽) ) r 2 ，即： i 竺! 型1 2 l 妒( z ) 1 2 铲 r 2 ，从而得 铲一r 2 + ( 1 一r 2 ) i 妒( w ) 1 2 2 ( 1 一r 2 ) i 妒( 叫) f 6 _ l i 妒( 伽) i c ( 6 ) 一1 ，且c ( 6 ) 6 在文章【4 】中，通过简单的计算可以得到下面的引理： 引理2 1 3 若f b ，且i i f l l b 1 ，则有下列估计式： 懒一c , p ) f l l b 靛卅群( z ) 一扩( z ) i + ”名) ( 名) ，州) ) 在文章 9 】中，介绍了如下一个算子： k i n f ( 名h ( 等名) 下面引理2 5 介绍了的一些已经证明过的性质 引理2 1 4如上形式定义，则有如下两条性质： ( a ) 是b 到b 上的紧算子 ( b ) 对任意的，b ，当m _ ，有( f 一) ，在紧集上一致趋近于0 ，因 此【( ，一) ，】，( z ) 也在紧集上一致趋近于0 在下面的定理证明中我们要反复运用这几个引理 1 0 第三章定理1 1 的证明 第三章定理1 1 的证明 首先我们对本性范数的上界进行估计，通过引理2 1 4 我们知道o 和 瓯是紧算子，因此： i i 郇一吼l i 。l | 郇一劬一+ 印忆 从而有： i i 郇一劬一郇+ 峙 5 l i 耀1i i ( c 妒一一o + c c k m ) f i e b s u ps u p ( 1 一i z l 2 ) i ( j k m ) 卅7 ( 妒( z ) ) ( z ) 一【( j k m ) ，】7 ( 妒( z ) ) 妒( z ) i +sups u p ( 1 一i z l 2 ) i ，7 ( 妒( 名) ) ( z ) 一，7 ( 妒( z ) ) 妒7 ( z ) 1 1 5 1 1 1z e e 6 、 7 一( 1 - 去) ，7 ( ( 1 一去) 妒( z ) ) ( z ) + ( 1 一去) ，7 ( ( 1 一去) 妒( z ) ) 妒7 ( z ) i 由定义2 4 和引理2 1 4 ( b ) 可知，我们可以选择充分大的m 使得上边最后一 个式子的第一部分小于任意给定的e ，下边用，表示第二部分则： i s u ps u p ( 1 一1 名1 2 ) i ，7 ( 妒( 2 ) ) 妒7 ( z ) 一，( 妒( z ) ) 妒7 ( 名) i 。 l l f l l 6 ) 2 ) = 【z d ：i 妒( 名) i 占) 定义 口2 丢鹄恶( 1 一p 2 ( 比) ，北) ) ) ( x 西“z ) i 妒孝( 名) l + x 砭。心) i p 带( z ) 胁比) ，北) ) 其中x o ( z ) 是关于得特征函数，即： w 心) = 。1 z z6 岳e 掣5 d ) ，江l 2 令如= 1 一示1 ，那么当m _ o o 时，一1 因为定理假设郇和c 移都不是紧算子，从而根据引理2 8 我们有忪i l o 。= 1 以及= 1 从而对充分大的m ，有圣从而存在z m 助。，使得 n = 丢熙( 1 一矿( 妒( ) ，妒( ) ) ) g 砭，( ) i 妒群( ) l + x 醪，( z m ) i 妒拳( ) i ) p ( 妒( ) ，妒( ) 又因为z r a ，所以有i 妒( ) l 或者i 妒( 钿) i 如不失一般性我们假 设l 妒( ) i _ 1 ，令 ( z ) = 蝾) ( 名) 一妒2 ( ) 很明显由全纯自同构的性质，当m _ o o 时， ) 在d 的紧集上一致趋近 于0 ，且对m = 1 ，2 ，有i l ，m i | 2 那么若k 是b 上的紧算子，则当m _ o o 1 2 第三章定理1 1 的证明 时，i i k 厶i l _ 0 从而有s i | 一c 知一k | i b ；l i m s u pl i ( 郇一q k ) ，m i i b l i m s u p ( 1 1 ( o 一劬) 峙一i | k 岫 = 1 l i m s u p i i ( g c 0 ) ，m l i b = l i m s u ps u p ( 1 一i z l 2 ) i ( 妒( 名) ) ( 名) 一( 妒( 名) ) 妒7 ( 名) l l i r a s u p ( 1 一i 1 2 ) i 瑞( 妒( ) ) ( z m ) 一岛( 妒( 锄) ) 妒7 ( ) l = l i r a s u p ( 1 一l 1 2 ) i 妒妒( 跏) ( 妒( ) ) 屹( 轨) ( 妒( ) ) ( ) 一i p 妒( 轴) ( ) ) 妒0 ( 锄) ( 妒( ) ) 妒7 ( ) i = 曾( 1 一川2 ) l 啬赫黠l 蔗揣渺( 训 = l i m s u p ( 1 一p 2 ( 妒( z , m ) ，妒( ) ) i 矽襻( ) ip ( 妒( z m ) ，妒( 钿) ) 9 m ( 名) = 妒荔( 轨) ( z ) 一妒2 ( ) 与上边的步骤一样可得 i l o q g l l b l i m s u p ( 1 一矿( 妒( ) ，妒( 锄) ) l 矿( ) ip ( 妒( ) ，妒( ) ) m d o 。 综合可得 职( 1 一i p 2 ( 妒( ) ，妒( ) ) ) ( x 露) ( ) i 妒孝( ) i + x 酵( ) i 矿? ) | ) p ( 妒( ) ，妒( ) ) 一驰s u , 1 1 一加( z ) ，州) ) 州z ) 朋z ) i + x 酬名) 忱名) 吵妒( z ) ，州) 从而求得本性范数的下界： “葛蛩卅北) ) ( x eo (z)lira s u p ( 1 杪| + x 秒饰岫北) 6 。功 一矿( 妒( 名) ，妒( z ) ” 一i 妒拳( 名) l + x 磋2 ) ( z ) l 妒孝( z ) i ) p 妒( z ) 砂( 名) ) 推论3 1若妒，妒是d 上的解析自映射，且，劬都不是紧算子，则有 下面的两个结论： ( a ) 若；i 碑s u pp ( 妒( z ) ，妒( z ) ) = 0 则一劬是紧算子 d _ u 二e 6 1 3 第三章定理1 1 的证明 ( b ) 若劬一吼是紧算子，则： 。l i m 。s u 助p ( 1 一p 2 ( 妒( z ) ，妒( z ) ) ) ( x 砭- ，( z ) i 妒孝( 名) l + x 磁。，( z ) i 妒带( z ) 1 ) j d ( 妒( z ) ，妒( z ) ) = 。 1 4 第四章结束语 第四章结束语 我在这篇文章中估计出了郇一c 0 这两个复合算子差分的本性范数并 从本性范数和算子紧性的关系得到了推论3 1 ，即关于。一劬这两个b l o c h 空间上复合算子差分是紧的的条件和结论 在文章中我只研究了不加权b l o c h 空间上的复合算子差分的本性范数， 加权b l o c h 空间上的复合算子差分的本性范数的问题还需要继续研究 1 5 参考文献 参考文献 【1 】j h s h a p i r o ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r sa n dc l a s s i c a lf u n c t i o nt h e o r y , s p r i g e r - v e r l a g ，1 9 9 3 【2 c c c o w e na n db d m a c c l u e r ，c o m p o s i t i o no p e r a t o r so ns p a c eo fa n a l y t i c f u n c t i o n s ，c r cp r e s s ，b o c ar a t o n ，f l ，1 9 9 5 3 b m a c c l u e r ，s o h n oa n dr z h a o ，t o p o l o g i c a l s t r u c t u r eo ft h es p a c e o fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so n 日i n t e r g r a le q u a t i o n so p e r a t o rt h e o r y 4 0 ( 4 ) ( 2 0 0 1 ) ，4 8 1 4 9 4 【4 】t h o s o k a w aa n ds o h n o ，t o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo ft h es e to fc o m p o s i t i o no p - e r a t o r so nt h eb l o c hs p a c e ，j m a t h a n a l a p p l 3 4 ( 2 0 0 6 ) ，7 3 6 - 7 4 8 【5 】t h o s o k a w aa n ds o h n o ，d i f f e r e n c e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c h s p a c e j o p e r a t o r t h e o r y , 5 7 ( 2 0 0 7 ) 2 2 9 - 2 4 2 【6 】c a r lt o e w s ，t o p o l o g i c a lc o m p o n e n t so ft h es e to fc o m p o s i t i o no p e r a t o r si n 日。( b n ) ，i n t e g r a le q u a t i o n so p e r a t o rt h e o r y48 ( 2 0 0 4 ) ，( 2 ) ，2 6 5 - 2 8 0 7 】m i k a e l l i n d s t r b ma n de l k ew o l f ，e s s e n t i a ln o r mo ft h ed i f f e r e n c eo fw e i g h t e d c o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，m o n a t s h m a t h ( 2 0 0 7 ) 8 k m a d i g a na n da m a t h e s o n ，c o m p a c tc o m p o s i t i o no p e r a t o r so nt h eb l o c h s p a c e ，t r a n s a m e r m a t h s o c ，3 4 7 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 9 2 6 8 7 a m o n t e s r o d r i 7 9 u e z 。t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p e r a t o ro n b l o c hs p a c e s ，”p a c i f i cj o u r n a lo fm a t h e m a t i c s ，v 0 1 1 8 8 ，n o 2 ，p p 3 3 9 3 5 1 ， 1 9 9 9 1 0 】p e k k aj n i e m i n e n c o m p a c td i f f e r e n c e so fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s o nb l o c h a n dl i p s c h i t zs p a c e s c m f t7n o 2 ( 2 0 0 7 ) ，3 2 5 3 4 4 11 】j s h a p i r oa n dc s u n d b e r g ，i s o l a t i o na m o n g s tt h ec o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，p a - c i f i cj m a t h ，1 4 5 ( 1 9 9 0 ) ，1 1 7 - 1 5 2 1 6 参考文献 【1 2 】j e n n i f e rm o o r h o u s e ，c o m p a c td i f f e r e n c eo fc o m p o s i t i o no p e r a t o r s ，j o u r n a l o ff u n c t i o n a la n a l y s i s2 1 9 ( 2 0 0 5 ) ，7 0 9 2 【1 3 k h z h u ，o p e r a t o rt h e o r y i nf u n c t i o ns p a c e s ，p u r ea n da p p l i e dm a t h e m a t - i e s1 3 6 ，m a e c e ld e k k e r ，i n c ，n e wy o r k - b e s e l ，1 9 9 0 【1 4 w r u d i n ，f u n c t i o nt h e o r yi nt h eu n i tb a l lo fc n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 9 8 0 1 5 z h o uz e h u aa n ds h ij i h u a i ，t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p e r a t o ro n t h eb l o c hs p a c e si np o l y d i s e s c h i n e s ej o u r n a lo fc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t - i c s v o l2 4n o 2 ，2 0 0 3 1 6 】r m t i m o n e y , an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rb l o c hf u n c t i o n s ，p r o c a m e r m a t h s o c 7 1 ( 1 9 7 8 ) ，2 6 3 2 6 6 【1 7 】r m t i m o n e y , b l o c hf u n c t i o n si n s e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s ，i ，b u l l l o n d o n m a t h s o c 1 2 ( 1 9 8 0 ) ，2 4 1 2 6 7 【1 8 】r m t i m o n e y , b l o c h f u n c t i o n si ns e v e r a l c o m p l e xv a r i a b l e s ，i i ，j r e i n e a n g e w m a t h 3 1 9 ( 1 9 8 0 ) ，1 - 2 2 【1 9 k h z h u ，t h e b e r g m a ns p a c e s ，t h eb l o c hs p a c e ，a n dg l e a s o n sp r o b l e m ，t r a n s a m e r m a t h s o c 3 0 2 ( 1 9 8 7 ) ，6 1 7 - 6 4 6 2 0 】j h s h a p i r o ，t h ee s s e n t i a ln o r mo fac o m p o s i t i o no p e r a t o r ，a n n a l sm a t h ， 1 2 5 ( 1 9 8 7 ) ，3 7 5 4 0 4 【2 1 z h z h o