（通信与信息系统专业论文）光子晶体光纤的模场与色散特性研究.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 光子晶体光纤与传统光纤在结构上有着本质的区别，在传输特性方面具有很 多显著的优点，近几年成为光通信领域的一个研究热点。论文主要从理论上分析 了全内反射型光予晶体光纤的模场和色散特性。 在分析方法上，采用了有限差分法。目前应用有限差分法分析光子晶体光纤 都是从标量或半矢量近似波动方程出发进行求解。本文首次从精确的矢量波动方 程出发，将半矢量有限差分算法推广到了矢量有限差分算法。用矢量有限差分法 计算光子晶体光纤的有效折射率和模场分布，较原来的半矢量方法在精度上有了 很大的提高。 利用矢量有限差分法，文章分析了光子晶体光纤的模场分布特点，计算了光 纤的有效模场面积、模斑直径和数值孔径。光子晶体光纤的这些参数主要是由光 纤的结构决定，即空气孔的直径和孔间距，论文分析了光子晶体光纤的结构对这 些光纤参数的影响。 光子晶体光纤的色散特性具有很强的可控制性，调节光纤的结构参数，可以 设计出传统光纤所不具有的色散特性。本文首次使用矢量有限差分法计算了光子 晶体光纤的色散，计算结果能与实际测量结果很好的吻合。论文还研究了光纤结 构对色散特性的影响，并对光子晶体光纤异于传统光纤的一些新奇色散特性，如 8 0 0 h m 波长附近零色散特性和1 5 5 0 h m 波长附近平坦色散特性，进行了分析和设 计。 关键词：光子晶体光纤、有限差分法、模场分布、色散 第1 页 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t p h o t o n i cc l y s t a lf i b e r ( p c f ) i sq u i t ed i f f e r e n tf r o ms t a n d a r do p t i c a lf i b e r si n s t r u c t u r ea n d p r e s e n t sm a n ya d v a n t a g e si no p t i c a lp r o p e r t i e s ，i th a sa t t r a c t e dm u c h m o r ea t t e n t i o n si nr e c e my e a r s m o d a lf i e l da n dd i s p e r s i o np r o p e r t i e so f t o t a li n t e r n a l r e f l e c t i o np c f h a v eb e e n t h e o r e t i c a l l ys t u d i e d i nt h i sp a p e r f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o di sa d o p t e dt oa n a l y z et h ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e r t h e p m v i o u s f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o dw a sb a s e do ns c a l a ro rs e m i - v e c t o r i a lw a v ee q u a t i o n a p p r o x i m a t i o n i nt h i sp a p e r , w ep r e s e n taf u l l v e c t o r i a lf i n i t e d i f f e r e n c em e t h o dt o m o d e lt h ep h o t o n i cc r y s t a lf i b e r , t h ec a l c u l a t i o nr e s u i t so ff i e l dd i s t r i b u t i o na n d e f f e c t i v ei n d e xa l ep r o v e dt ob em o r ea c c u r a t et h a nt h ep r e v i o u sm e t h o d s t h ef i e l dd i s t r i b u t i o nc h a r a c t e r i s t i c so fp c fa l e a n a l y z e db yu s i n g t h e 如1 1 v e c t o r i a l f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ；t h ee f f c c t i v ea r e a , m o d a ld i a m e t e ra n d n u m e r i c ma p e r t u r eo fp c f a r ec a l c u l a t e d t h o s ep a r a m e t e r sa r em a i n l yd e c i d e d b y t h e s t m c t u r a ic h a r a c t e r i s t i c so fp c f , t h a ti st os a yt h eh o l ed i a m e t e ra n dt h es p a c i n g b e t w e e nt h eh o l e s t h ee f f e c t so ft h es t r u c t u r a lp r o p e r t i e so nt h o s ef i b e rp a r a m e t e r s a r es t u d i e d , a n da l s ot h eo p t i m a ld e s i g na r em a d et og a i ne x p e c t e df i b e rp a r a m e t e r s t h ed i s p e r s i o np r o p e r t i e so fp c fa l eq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a lo p t i c a l f i b sa n do a rb ec o n t r o l l e df l e x i b l yb ya d j u s t i n gt h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r s i nt h i s p a p e r , t h ed i s p e r s i o no fp c fi sc a l c u l a t e du s i n gt h e f u l l - v e c t o r i a lf l n l t cd i f f e r e n c e m e t h o d t h ec a l c u l a t e dr e s u l t sa r ei ng o o da g r e e m e m 、v i mt h em e a s u r e dr e s u l t s t h e e f f e c t so fs t r u c t u r a lp a r a m e t e r so rt h ed i s p e r s i o np r o p e r t i e sa r es t u d i e d s o m es p e c i a l d i s p e r s i o np r o p e r t i e so f p c f ，s u c h a sz e r od i s p e r s i o na ts h o r tw a v e l e n g t ha n du l t r a f l a t t e n e dd i s p e r s i o na t1 5 5 0 n m ，a r ea n a l y z e da n dd e s i g n e d k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l f i b e r , f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，f i e l dd i s t r i b u t i o n ， d i s p e r s i o n 第1 i 页 原创性声明 本人声明；所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表 或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 本论文使用授权说明 期兰! 丝：三堕 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借溷；学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：至丝日期； 上海大学硕士学位论文 光子晶体光纤的模场与色散特性研究 1 1 引言 第一章绪论 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l ) 这一概念可以追溯到1 9 8 7 年f l j 。当时人们发现， 与晶体或半导体具有周期性的点阵结构，电子在点阵间运动形成电子带隙相类似， 在周期性变化的介电结构中光子运动也形成某种限制，也具有光子带隙，故称之 为光子晶体。光子带隙的存在有可能改变光在其中的传播，因而人们提出光子晶 体可以应用于光纤技术，这种光纤被称为光子晶体光纤( p h o t o n i cc r y s t a lf i b e r ， p c f ) 。世界上第一根p c f 于1 9 9 6 年在英国南安普敦大学拉制成功1 2 1 。它在s i 0 2 基体中沿光纤轴向有规律的分布着许多气孔，从光纤端面看，是一个带缺陷的周 期性二维光子晶体结构，光能够在该缺陷内传播。 p c f 与传统光纤在结构上有着根本的区别，在传输特性方面具有很多显著的 优点。目前使用的光纤是在石英玻璃的芯子中添加掺杂而在截面内形成一定的折 射率分布而制成的，光纤光学特性的设计主要是通过对截面内的折射率分布加以 各种改良。光子晶体光纤是带有空气孔的光纤，由于引入空气孔可以得到在石英 玻璃中掺杂所无法实现的大折射率差，所以可以获得常规光纤所没有的各种新的 特性【3 1 ，包括宽波段单模特性、色散平坦特性、短波长零色散特性、非线性特性、 高双折射特性等。而且光子晶体光纤是通过改变空气孔的排列、间隔与孔的大小 来控制其光学特性，在设计方面更具灵活性。 新一带光网络技术的发展对传输用光纤和光器件提出了更高性能的要求，光 子晶体光纤作为一个新生事物，鉴于其具有很多传统光纤所无法比拟的特点，吸 引了世界各国研究机构和大学的关注，近几年成为光通信领域的一个研究热点。 目前，光子晶体光纤在降低传输损耗等面向实用化的研究已经取得成果。在2 0 0 3 年的o f c 会议上，日本n t t 公司接入网业务系统实验室研制的单模p c f 在 1 5 5 0 n m 波长的损耗达到0 3 7 d b k m ，色散为7 6 p s n m k m ，零色散波长为9 5 0 n m 。 成功地进行了8 波长d w d m 系统的传输实验，每波长速率1 0 g b s ，传输距离 1 0 k r n 。主要创新为改进了抛光和腐蚀技术，使微孔表面粗糙度所造成的瑞利散 射大为减小，这为p c f 将来用于长途通信铺平了道路。利用光子晶体光纤的优 第1 页 上海大学硕士学位论文 光子晶体光纤的模场与色散特性研究 异性能，如短波长零色散、大模场面积、高非线性等己研制出许多新型光纤器件， 包括光纤激光器、放大器、光开关、滤波器、波长变换器、孤子发生器等。随着 光子晶体光纤研究的进一步深入和制作工艺的成熟，它很有可能成为未来传输用 光纤和许多光器件的核心部分。 1 2 光子晶体光纤的导光原理 光予晶体是折射率在空间周期性变化的介电结构，其变化周期是光波长数量 级。之所以称这种材料为光子晶体，是因为它与一般晶体的类似性。一般晶体是 由原子规则有序地排列而成，光子晶体也是由有序排列的微结构组成的。折射率 在空间的周期性分布使得在其中传播的光子形成禁带结构，即产生光子带隙 ( p h o t o n i cb a n dg a p ，p b g ) 。相应于光子禁带区域频率的光波不能在这种晶体 中传播，而被全部反射出去。这种折射率的周期性变化起到了多维布拉格光栅的 作用。当在光子晶体中引入缺陷时，造成破坏周期结构的局部区域，在光子带隙 内会出现频率极窄的缺陷态，使得光子晶体能够控制光在其中的传播。 从光子晶体的概念出发，光子晶体先纤( p c f ) 是一种带有线缺陷的二维光子 晶体。这种结构实际上是在s i 0 2 基体中沿光纤轴向周期性地分布着许多空气孔， 光纤的纤芯就是破坏了这种周期性结构的缺陷，这种缺陷可以是空气，也可以是 s i o ：。根据纤芯引入缺陷的不同，形成了两种导光机制完全不同的光子晶体光纤 “1 ：光子带隙p c f 和全内反射p c f 。 图1 1 光子带隙p c f图1 2 全内反射p c f 光子带隙p c f 的纤芯为空气，光纤截面的电子显微镜扫描图如图1 1 。1 所示。 三角形的晶格结构存在完全的二维光子带隙，即在一定频率范围内光无法在横向 第2 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 传播。在纤芯处引入了一个大空气孔作为缺陷，就会在光子带隙中产生缺陷态， p c f 就可以利用这个缺陷态沿着光纤方向导光。这种光子晶体光纤利用光子带隙 方式导光，因而被称为光予带隙光予晶体光纤”( p h o t o n i cb a n dg a pp c f ) 。 光子带隙p c f 对空气孔的大小和排列都有很高的要求。理论分析表明，只有空 气孔相当大( 孔直径不小于孔间距的4 0 ) ，并且空气孔按照严格的周期性排列 时，光子带隙才会出现。虽然最初提出p c f 概念的时候，是希望利用光予带隙 效应来导光，但这种p c f 由于制作难度问题一直没有得到广泛的研究和应用。 全内反射p c f 的研究和应用更为普遍：它的包层也是周期性二维光子晶体结 构，但形成周期结构缺陷的纤芯不是空气而是s i 0 2 ( 或搀杂的s i 0 2 ) 。光纤截面 的电子显微镜扫描图如图1 2 州所示。光纤的纤芯折射率高于包层平均折射率， 传输机理与传统光纤的全内反射导光相类似，因而叫做全内反射p c f 。如果包层 中的空气孔不是周期性分布，而是随机不规则的，这样的光纤有时被叫做多孔光 纤( h o l e yf i b e r ) 。虽然这种p c f 的导光机制与传统光纤相类似，但由于在包层 中引入了空气孔，可以更灵活的控制纤芯与包层的折射率差。传统光纤截面内的 折射率变化至多为1 2 ，而光子晶体光纤中的折射率变化最大可达3 6 ，从 而可以实现很多新的特性。全内反射导光的光子晶体光纤对空气孔排列的精确程 度要求较低，也不要求大直径的空气孔，因此实现起来相对简单，容易得到推广。 下一节讨论p c f 的特性将主要以这种为主。 1 3 光子晶体光纤的特性和应用 光子晶体光纤引人注目的一个特点是，结构合理设计的p c f 具备在3 3 7 n m 至超过1 5 5 0 r i m 波长范围内都支持单模的特性【9 1 ，它的这个特性被称成为无尽的 单模特性( e n d l e s s l ys i n g l e m o d e ) 。传统阶跃光纤导波模数是由归一化频率v 确 定的： 矿：孚( 2 一2 ) “2 ( 1 3 1 ) 其中，a 为纤芯半径，和分别为纤芯与包层的折射率。在y 2 0 4 5 的范围 光纤为单模。由于材料折射率相对于波长的变化较缓慢，因此传统光纤的v 值与 波长差不多成反比，如果缩短工作波长，就出现多模化。普通单模光纤的截止波 第3 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 长一般大于l 朋。对于图1 2 所示的全内反射光子晶体光纤，在较长波长下工 作时，光场分布的边缘扩展到纤芯附近的气孔区域。如果工作波长缩短，光场向 空气孔的渗出就减小，也就是说光场更集中于纤芯位置，所以包层的有效折射率 上升，从而接近于纤芯的折射率。其结果是，随着波长变短，纤芯和包层的折射 率差减小，v 值的波长依存性减弱，从而可以在更宽的带宽内实现单模工作。单 模工作扩展的意义在于，对普通单模光纤而言，目前正在使用和开发的c 波段 ( 1 5 3 0 - 1 5 6 5 n n a ) 、l 波段( 1 5 7 0 1 6 2 0 r i m ) 和s 波段( 1 4 5 0 1 5 2 0 r i m ) 总带宽只 有约1 5 0 n m ，丽光子晶体光纤使单模工作波段向短波方向扩展了6 0 0 7 0 0 h m ，这 为波分复用增加信道数提供了充足的资源。 p c f 的另一个重要特点是其可以灵活控制的色散特性。就光子晶体光纤的特 征来说，它对波导色散有较高的控制性。常规光纤是在石英玻璃中掺杂而在截面 内形成一定的折射率分布制成的。由于材料不匹配会造成光纤损耗，因此纤芯和 包层的折射率差不能过大。光子晶体光纤由单一材料( 纯二氧化硅) 构成，它不 存在常规光纤的材料不匹配现象。通过合理调节空气孔的尺寸和间距，可以获得 较大的折射率差，从而更有效的控制波导色散。因此，通过设法改进p c f 的波 导结构就可以实现各种期望的色散特性。光子晶体光纤的一个重要特点是零色散 点可以向短波长大大推进。传统常规单模光纤的零色散点通常在1 3 1 0 n m 处。而 通过合理的调节p c f 的气孔大小和间距，可以将零色散点移至8 0 0 h m 左右【1 0 】。 零色散点向短波长移动，使得p c f 能够在波长低于1 3 a , m 获得反常色散( 正色 散) ，这是传统阶跃光纤无法做到的。该反常色散特性第一次为短波光孤子传输 提供了可能【i l 】。另外，包层中的空孔直径较细的pcf ，通过将空气孑l 直径与间 隔最优化，可以在1 5 5 0 n m 附近较宽波长范围实现正的，接近零的和负的平坦色 散特性 1 2 , 1 3 1 ，因而可望用于w d m 传输系统。 p c f 的无休止单模特性并不依赖于光纤的绝对尺寸，光纤放大或缩小照样可 以保持单模传输，这表明可以根据特定需要来设计光纤模场面积【l 。当需要传 输高功率光时，可以设计大的模场面积，而无须担心出现非线性效应，这样的光 纤可以用于高功率激光器【h 】。当需要强的非线性效应时，可以减小光纤的模场 面积。具有强非线性的p c f 可用于超宽连续光谱的产生、波长转换、全光开关、 光放大器等方面幡1 9 1 。 第4 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 高双折射是光子晶体光纤的一个重要特点口o j “。普通单摸光纤具有弱的双折 射特性，由于受到扭转、弯曲、拉伸等外界的影响，当输入一个俯振光时，输出 端的偏振态是随机的、不可控的。制作高双折射的常规光纤需要引入形状双折射 或者应力双折射，从而大大增大工艺的难度和制作成本。但是在p c f 中则比较 容易实现高的双折射，只需将p c f 横截面上的圆对称性破坏，比如，在对称方 向上减少一些空气孔或者改变空气孔的尺寸。2 0 0 0 年o r t i g o s a 等人设计制作的 高双折射p c f l 2 2 1 ，其拍长为o 5 6 m m ，远小于传统工艺制作的保偏光纤的拍长 ( 3 m m 左右) 。 - 光子晶体光纤具有许多优于传统光纤的新特性。目前人们已经利用它的色 散、非线性、双折射以及超宽单模传输等特性制作出各种用途的光纤。丹麦的 c r y s t a l f i b e r 公司更率先将这种光纤推向市场。随着对其研究的深入和制作技术 的成熟，光子晶体光纤将在未来的光通信中发挥重要作用。 1 4 光子晶体光纤的制作工艺 1 光子晶体光纤的一般制造方法是将用石英玻璃管束在一起而形成的预制棒 进行拉丝的方法( 图1 3 ) 。它与传统光纤相比，具有制作工艺简单，成本低，不 需大型预制棒制作设备的特点。 蚓1 3p c f 的制作 典型的制作工艺过程如下： 1 先按照设计结构制作预制棒。选择合适管径与厚度的纯石英管，在其中规则 排列一定数量的毛细管，毛细管的尺寸是事先按照设计要求拉制的。中心可 以用实心石英棒，也可以通过抽除几根毛细管作为空气纤芯。 2 制棒的拉丝。利用普通的商用拉丝塔，在大约2 0 0 0 。c 高温下将预制棒熔化并 拉制成光纤，并涂覆紫外固化保护涂层。对不同结构的p c f 结构应采用相应 第5 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 的熔棒温度，以防止结构中空气孔的变形。 目前光子晶体光纤的制作工艺还不成熟，需要解决的问题是有效抑制o h 含量， 改善空气孔内壁的粗糙度以降低散射损耗等，它们是造成光子晶体光纤损耗的主 要原因。 1 5 光子晶体光纤的分析方法 为了能够更好的分析和设计光子晶体光纤的特性，必须有一个有效准确的分 析方法。目前对光子晶体光纤的分析方法主要有两大类：解析、半解析的方法和 数值分析方法。解析和半解析的方法包括有效折射率法、平面波分解法和局域化 函数分解法。数值分析方法包括有限差分法和有限元法。下面依次介绍这几种方 法。 1 有效折射率法吲由英国b a t h 大学的j c k n i g h t 等人提出，是最早应用于 光子晶体光纤模场分析的方法。其基本思想是用一恰当的折射率来代替包层的周 期性变化的折射率分布，得到包层等效折射率后就可以将光子晶体光纤等效为传 统阶跃光纤进行分析和计算。具体作法如下：首先考虑当纤芯缺失时的包层周期 性结构，将它扩展为无限大。在此无限大光子晶体包层中的最低模式被称为空间 填充基模( f u n d a m e n t a ls p a c e f i l l i n gm o d e f s m ) 。包层等效折射率由空间填充 基模的传播常数决定： 懒= 陆 ( 1 5 1 ) 其中k o 是自由空间波数。屏。可以用标量近似的方法求得。因为空间填充基模 和无限大光子晶体结构一样具有周期性和对称性，只需在周期性结构的一个元胞 中解标量波动方程，就可以求得空间填充基模的传播常数屏。元胞边界的场 满足边界条件掣：o 和连续性条件，s 代表垂直于元胞边界的方向。 然后将p c f 粗略的等效为阶跃折射率光纤： n c o , e = ( 1 - 5 2 ) 竹蚴= 竹女蜘 ( 1 5 3 ) 第6 页 上海大学硕士学位论文 光子晶体光纤的模场与色散特性研究 据此可以计算出光纤的有效归一化频率： ：孕( 一：蝴) ( 1 5 4 ) 这种方法简单直观，可以对p c f 的单模运行机制做出很好的解释，但是由于它 忽略了p c f 截面的复杂折射率分布结构，不能精确预测p c f 的模式特征如色散 和偏振。 2 平面波分解法1 2 4 考虑了p c f 的复杂包层结构。该模型将模场分解为平面 波分量的叠加，同时将折射率展开为傅立叶级数，将以上分解代回电磁场的全矢 量方程，求解本征值问题从而可以得到模式和相应的传播常数。这种方法可以精 确模拟p c f ，但效率不高，因为将场用平面波分解后会有很多项，影响了计算效 率。 3 局域化函数分解方法【2 5 ，2 6 1 是将模场和中间折射率缺陷部分都分解为局域 化很强的h c r m i t e g a u s s i a n 函数，将空气孔网格由周期性余弦函数表示。利用这 种分解，既可以用矢量法也可以用标量法对模场进行求解。应该说对于局域化很 强的场，该方法可以较精确预测p c f 的模式特征和传播常数，但对于场分布较 大的模式精确性较低。另外，这个特殊函数的运算很复杂，尤其是积分运算使得 计算公式很烦琐。 4 有限元法 2 7 - 2 9 1 是一种有效而精确的方法，特别适合分析折射率分布比较 复杂的光波导。它以变分法为基础，把所要求解的边值问题首先转化为相应的变 分问题，即泛函数求极值问题，然后利用剖分差值，离散变分问题为普通多元函 数的极值问题，即最终归结为一组多元的代数方程组，解之即可得待求边值问题 的数值解。该法比较适合求解像光子晶体光纤这样折射率分布复杂的光波导，但 是这种方法的计算程序一般复杂、冗长。而且采用变分公式和有限元展开求解电 磁场问题时，往往会有虚模即非物理解，它们与真正的物理解混在一起，干扰了 对物理解的寻求。 5 有限差分法f 3 0 j 是以差分原理为基础的一种数值分析方法，它首先将待求 解场域进行离散化处理，通常是用矩形或正方形网格划分待求解场域，接下来在 各离散点将偏微分方程用差分形式表示，从而将偏微分方程转化成代数方程，然 后结合边界条件进行计算。有限差分法适用于折射率任意分布的光波导，因此可 以用来分析光子晶体光纤，而且该法简单、直观，易于编程实现。 第7 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 1 6 论文研究内容 本文将主要研究应用更为普遍、制造较容易的全内反射型光子晶体光纤。这 种光纤具有很多常规光纤所没有的新特性，若要对其性能进行优化和设计，就要 从理论上分析其场分布、传输特性与光纤结构参数之间的详细关系。根据上节对 各种分析方法的对比，我们将采用有限差分法分析全内反射型光子晶体光纤。目 前应用有限差分法分析光子晶体光纤多是从标量和半矢量波动方程出发进行求 解。标量和半矢量近似适应于空气孔直径较小的光子晶体光纤，因为这时光纤的 纤芯和包层的折射率差不是很大，p c f 可视为弱导从而忽略x 和y 方向的偏振以 及它们之间的偏振耦合。但当空气孔直径增大时，偏振独立和偏振耦合效应增强， 标量和半矢量方法的精确性就会下降，因此用矢量的方法求解更为全面和准确。 根据标量法和半矢量法存在的问题，本文首次将近似的半矢量有限差分法推广到 精确的全矢量方法，对光子晶体光纤的传播常数和模场分布进行计算和分析。 在用全矢量有限差分法得到光纤的模场分布以后，就可以计算出光子晶体光 纤一些参数包括模场面积、模斑直径、数值孔径等。光子晶体光纤的这些参数主 要是由光纤的结构决定，即空气孔的直径和孔间距。本文将分析光子晶体光纤的 结构对光纤参数的影响，并对光纤结构进行优化设计，以获得所期望的光纤参数。 光子晶体光纤的色散特性具有很强的可控制性，调节光纤的结构参数，可以 设计出常规光纤所不具有的色散特性。本文将首次使用矢量有限差分法计算光子 晶体光纤的色散特性，研究光纤结构对色散特性的影响，并对光子晶体光纤异于 传统光纤的一些新奇色散特性，如8 0 0 n m 波长附近反常色散特性和1 5 5 0 h m 波长 附近平坦色散特性，进行分析和设计。 1 7 论文结构安排 本文其他部分的内容安排如下： 第二章，首先介绍有限差分法的基本原理，然后根据光子晶体光纤的结构特 征推导出改进的有限差分算法，使用这一改进的算法对半矢量波动方程进行离散 化，并在此基础上推导出了矢量波动方程的差分表达式。接着采用矢量有限差分 法计算光子晶体光纤的有效折射率，并与半矢量有限差分法和矢量平面波分解法 第8 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 得出的结果进行对比。 第三章，使用矢量有限差分法分析光子晶体光纤的模场分布，计算光纤的模 场面积、模斑直径和数值孔径，并讨论光纤结构参数对这些传输特性的影响。 第四章，首先用矢量有限差分法计算p c f 的色散，著与测量值进行对比。 然后分析光纤结构参数对波导色散的影响，从用波导色散补偿材料色散的思路出 发，分别分析波导色散和材料色散两方面因素对总色散的贡献和影响，并对 8 0 0 r i m 波长附近反常色散特性和1 5 5 0 r i m 波长附近平坦色散特性进行分析和设 计。 最后，在前面几章的基础上，对本文的工作进行了总结并对以后的工作做了 展望。 第9 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 第二章有限差分法及其在光子晶体光纤分 析中的应用 有限差分法是以差分原理为基础的一种数值计算方法，它很适合计算像光子 晶体光纤这样具有复杂折射率分布的光波导。本章首先介绍了有限差分法的基本 原理，然后根据光子晶体光纤的特征对有限差分法所涉及的微分方程的确定，网 格划分，差分方程建立和线性方程组求解等问题作了详细的分析和理论推导。根 据目前使用有限差分法分析光子晶体光纤存在的问题，将半矢量有限差分算法推 广到了矢量有限差分算法，用矢量有限差分法计算了光子晶体光纤的有效折射率 并与矢量平面波分解法和半矢量有限差分法得出的结果进行了对比，证明了矢量 有限差分法分析光子晶体光纤的精确性。 2 1 有限差分法的基本原理 在电磁场数值计算方法中，有限差分法是应用最早的一种方法。早在本世纪 五十年代，有限差分法以其简单、直观的特点，在电磁场数值分析领域内取得了 广泛的应用。近代科学的发展，使方法本身经历了由手到计算机运算的变革，与 此相应，方法涉及的方面也由线性场扩展到非线性场；由恒定场扩展到时变场。 虽然现阶段电磁场数值计算方法发展很快，即使是在有限差分法与变分法相结合 的基础上形成的有限元法日益得到广泛的应用，有限差分法以其固有的特点仍然 是一种不可忽视的数值分析方法。 将有限差分法引入光波导模式分析中是近十几年的事。目前分析光波导的主 要方法有有效折射率法，有限元法和有限差分法。有效折射率法简单直观，但它 忽略了波导的复杂结构，不能计算模式特性，如传播常数和色散。有限元法和有 限差分法克服了有效折射率法的缺点，它们充分考虑了波导的复杂结构，适于计 算截面折射率任意分布的光波导。与有限元法相比，有限差分法更简单，易于编 程实现。 有限差分法是把电磁场连续场域内的问题变换为离散系统的问题来求解，也 就是说，通过网格状离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实 第l o 页 上海大学硕士学位论文 光子晶体光纤的模场与色散特性研究 解，因此是一种近似的计算方法，但现阶段计算机在存储容量和运算速度方面的 发展水平，已能充分保证它的计算精度。有限差分法以差分原理为基础，它用各 离散点上函数的差商来近似替代该点的导数，这样微分方程和边界条件的求解就 可归结为求解一线性代数方程组，从而得到数值解。对微分方程进行离散化可以 采用泰勒级数法、积分法和变分法，本文采用泰勒级数法建立差分方程【3 。 厂【xj 正 ， ， lh 0 z lx 0x 2 t 幽2 1 一兀函数_ ，【x ) 下面以一个一元函数为例用泰勒级数推导函数一阶和二阶导数的中心差商 表达式。假设，( x ) 为x 的连续函数( 如图2 1 所示) ，在x 轴上每隔a x = | l ，长取一 个点，其中任一点用表示，与相邻的左边点为而= x 0 - h ，右边点为 屯= 而+ 。点的函数值_ ，应用泰勒公式，通过点的函数值五可表示为： z = f o 叫参+ 扣等) o _ 击 3 謦 ( 2 ) 屯点的函数值五，应用泰勒公式，通过点的函数值矗可表示为： 五= f o + 厅尝。+ 击 2 謦n 扣磐 ， 由( 2 1 1 ) 可得： ( 套= 华竭 ( 2 1 3 ) 由( 2 1 2 ) 可得： 第l l 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 套= 华州 ( 2 1 - 4 ) 以上两式中的焉( 厅) 和马( ) 称为余数项，它们包含了增量厅的一次项与高次项。 如果在式( 2 1 3 ) 中舍去余项置( ) ，即得一阶向后差商： ( 参。= 华 ( 2 1 5 ) 同理，由式( 2 1 4 ) 可得一阶向前差商： ( 参= 华 ( 2 1 6 ) 因为用式( 2 1 5 ) 或( 2 1 6 ) 的单侧差商来替代所求的一阶导数( 为。，将存在 较大的误差，所以，应寻求较为精确的差分关系式，方法是：( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 两式相减： 五一z 蚴套+ 扣磐) o + ( 2 t 7 ) 若忽略厅的三次项与更高次项，便得到一阶导数( 辜) 。的差分表达式为： ( 参。= 筹 ( 2 1 8 ) 显然，这就是与一阶中心差分相应的中心差商表达式。由推导过程可知，用节点 处的中心差商互磊五来近似替代该点的导数) 。，其误差将大致和增量 的 二次方成正比，这比用前述单侧差商近似替代的逼近度要好得多。 现继续推导和二阶偏导数相对应的差分表达式。将( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 式相加： 一+ = 2 矗槲( 軎) o + ( 2 ) 若忽略 的三次项与更高次项，便得到二阶导数( 害) 。的中心差商表达式为： ( 警) o - 牮( 2 1 1 0 ) 有限差分法中正是用( 2 1 8 ) 和( 2 1 1 0 ) 的一阶和二阶中心差商代替偏微分方程中 的一阶和二阶偏导数来建立差分方程的。 。 阳右阳姜分法求解电磁场问题可以归结为以下四个步骤： 第1 2 页 上海大学硕士学位论文 光予晶体光纤的模场与色散特性研究 1 确定所要研究问题的微分方程表达式和相应的边界条件。 2 选择适当的网格对计算区域进行划分，决定离散点的分布方式。 3 基于差分原理的应用，通过离散点上的函数值及其相邻离散点上的函数值来 表达该点处的偏导数。也就是说，用差商近似替代相应的偏导数，将给定的 电磁场基本方程和边界条件予以离散化，最终得到一组线性方程组。 4 选择适当的代数解法，求解线性方程组。 2 2 网格划分 对于所给定的边值问题，应用差分法，首先需从网格划分着手决定离散点的 分布方式。原则上，可以采用任意的分布方式，但这将直接影响所得差分方程的 具体内容。为简化问题，通常采用完全有规律的分布方式，这样在每个离散点上 就能得出相同形式的差分方程，有效地提高解题速度。因此，通常利用有规律分 布的网格节点来给定离散点。由于能够填满平厦域的正规多边形只有三角形、正 方形和六边形，故也只有这三种相应的规则网格。在差分法中，经常使用的是正 方形网格，偶尔也使用正三角形网格。为了求得与边界的更佳的拟合度，当场域 在x 和y 方向缺乏同等的结构因素时，有时也应用矩形网格；而对于圆形边界所 构成的域场，则另一类不规则网格极网格也有应用。本文是在直角坐标系下 求解光子晶体光纤的模场，并且是在一个矩形的区域内进行计算，即外边界为矩 形，因此采用矩形网格划分。 在本文中，我们采用一个矩形的计算窗口( c o m p u t a t i o nw i n d o w ) ，只考虑计 算窗口内光子晶体光纤的场。计算区域是矩形，四边分别平行于x 轴和y 轴。在 差分法中通常把网格线的间距h 称为步距，x 方向步距以，y 方向步距方向步距 h 。网格线的交点称为节点。在计算场域是矩形的情况下，采用矩形网格划分 更简便合理。通常划分网格有两种类型：均匀划分和非均匀划分。均匀划分的网 格具有相同的尺寸，即步距吃和 ，为定值。非均匀划分的网格步距按一定的规 律变化，常用的有线性变化和双线性变化。在线性变化中，网格的尺寸按照一定 的比率线性变化。在双线性变化中，网格尺寸从计算区域的两侧，例如x 轴的左 第1 3 页 上海大学硕士学位论文 光子晶体光纤的模场与色散特性研究 端和右端同时按规定比率线性变化。本文采用的是均匀网格划分方式。 根据2 1 节的分析，有限差分法基于一个三点公式： 掣= 盟业等业型a 使用这个公式时要注意二阶导数学必 须在区间o 一 ，工+ 办) 内连续。但当此区间介质出现不连续分界面时，例如阶跃 折射率分布介质中，就不能盲目使用这个公式。通常的解决方法是：将介质不连 续的分界面置于两个相临计算点中间a 这样，旦婺粤就在区间。一i h ，x + 尹h 内 连续。采用这种方法划分网格时，应该保证每个网格内只有一种介质，即网格划 分线应该尽量位于两种介质交界的地方，并选择每个网格的中心点作为计算点。 图2 2 和图2 3 分别显示了正确的和不正确的网格划分方式。 图2 2 正确的网格划分图2 3 不正确的网格划分 另外一个要考虑的问题是介质分界面为曲线时的近似化处理。光子晶体光纤 空气孔与石英基底的分界面是圆形，有限差分法所使用的网格是矩形，当用矩形 网格处理圆形的分界面时，通常要对圆形分界面作阶梯状近似化处理( 图2 4 ) 。 图2 4 曲线界面的阶梯状近似处理 第1 4 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 2 3 矢量h e l m h o l z 方程的推导 式中的否、面、一d 、一b 、了、p 各代表电场强度、磁场强度、电位移、磁感应 强度、电流密度以及标量电荷密度。其中： 一d = 6 一e ( 2 3 5 ) 一b = 耳( 2 3 6 ) 其中占和分别是物质的介电常数和导磁率。 对于一般问题，必须解波动方程吲。所谓波动方程就是m a x w e l l 方程的联列方 程，并利用关联方程( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 。 对( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 作旋度运算可以得到： v 2 _ + v ( 盖争- v ( 争导v 五= 胪警+ 警 ( 2 3 7 ) u o lu t v 2 霄+ v ( 霄詈) + 孚印两= 肛挚+ 孚x 了_ v 了( 2 - 3 8 )usd i 在很多情况下，光波导材料的导磁率等于真空导磁率硒。此外，在所研究的区 域往往无源，物质又无导电率盯，则了，户均为零。( 2 3 7 ) ( 2 3 8 ) 可以简化为： v 2 吾川雹争= 舻警 ( 2 3 9 ) 第1 5 页 v 2 万十_ v e x ( v x 西) = 胁萼o t ( 2 - 3 1o ) 。、 7 在这里要注意，占并不是常数，它随地点而改变。在直角坐标系里，s 是x 和y 的函数，并假定占沿z 方向是均匀的，即它不随z 变化。如果电磁场作简谐振荡， 即杀= 徊，豢删2 ，贝| j ( 2 3 9 ) ( 2 3 1 0 ) 变为： v 2 西+ v ( 面粤) ：一z 硒占霹 ( 2 3 1 1 ) 5 v 2 再+ v e x _ ( v _ x h ) ：一国2 胁占耳 ( 2 3 1 2 ) 令2 l f 2 0 e = 2 = 玎2 k 0 2 ，2 = 国2 鸬岛，”2 = ，和一为相对介电系数和折射 率。一2 x自由空间的波数量，五为工作波长。则( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 2 ) 变为： v z 云+ v ( 菅! 三) + 2 2 面：o( 2 3 1 3 ) 占 v 2 霄+ 翌华塑+ 七0 2 n 2 再：o ( 2 3 1 4 ) ( 2 3 1 3 ) 和( 2 3 1 4 ) 称为矢量h e l m h o l t z 方程。 以下主要在直角坐标系( x ，y ，z ) 下讨论电场强度西满足的h e l m h o l t z 方程 ( 2 3 1 3 ) 。分析光波在光子晶体光纤中的传输时，电磁场分量在空间变量三方向 的变化可以表示为e - 肚的形式，其中为光波在光子晶体光纤中的传播常数。 因此，光子晶体光纤中电场在x ，) ，z 三个方向的分量可以表示为： e ( x ，弘z ) = t ( 工，y ) e 7 “皿( 2 3 1 5 ) 髟( x ，y ，z ) = 弓( z ，y ) e 似一肛 ( 2 3 1 6 ) t ( x ，y ，z ) = e ( x ，y ) e 7 “一川( 2 3 1 7 ) 电场可以表示为： 罾= j e + 7 e + 石- e( 2 3 1 8 ) 将( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 8 ) 代回( 2 3 1 3 ) ，得到( 2 3 1 3 ) 左边第一项： 第1 6 页 上海大学硕士学位论文光子晶体光纤的模场与色散特性研究 v 2 五= i v 2 e + j v 2 e y + j v 2 e 。可a 2 e , + 等驴孔可a 2 e s , + 等驴“等+ 等助 ( 2 3 1 3 ) 的左边第二项： v ( 西显) ：v 一( 巨宴+ e ，彗) 】 占s良o y = i 裂ai 1 ( 也瓦a e + b 考) 】+ 了+ 万c o 警1 也瓦& v + e 考) 】+ i 瓦a 【i 1 ( t 面a e + b 雾) 】 f 2 3 1 3 ) 1 拘左边第三项：k 2 西：j k 2 e + 了2 e 。+ i 七2 e 。x k 将上面3 项代回( 2 3 1 3 ) ，可得： 等+ 等讹2 胸e + 蒯c o1 也瓦c o c 屿2 。 等+ 等+ ( 2 竹2 一2 ) 髟+ 万c o 1 【瓦c o s + q 考) 】_ 。 r 2 3 1 9 ) f 2 3 2 0 ) 进一步整理( 2 3 1 9 ) 和( 2 3 2 0 ) ，并代入s = e , n 2 ，可以得到矢量h e l m h o l z 方程： ；i c o 匆2 e ：。+ 缸r 。l 。苏a _ - t 、n 2 e 1 1 + t 、k 。2 n z - ，n z ， * e = c o 缸z e 咖y 一丢【1 以：l 砂( ”2 b ) 】( z z ) t lc o 矿l e y + * 驯蝴：肾器一瓣w 3 z z ， 定义差分算子： 巳e = 等+ 面c o 【1 瓦c o ( ，z 2 e ) + 2 矿e ( 2 3 2 3 ) 岛q = 百c q 2 e - y + 万c o 字1 万c o ( r 1 2 e y ) 】+ 2 2 b ( 2 3 2 4 ) e ，y e s = 瓦c o 【_ 1 面c o ( n 2 b ) 卜丽c 0 2 e y 匕t = 面c o 【1 瓦c o 驴驯一器 第1 7 页 f 2 3 2 5 ) ( 2 3