（基础数学专业论文）两类非线性偏微分方程全局吸引子问题的研究.pdf

摘要 这篇博士学位论文主要是研究如下两类非线性发展方程所对应的解半群 的全局吸引子的存在性： 瓦0 u = 乱一a 札一 ( u ) 一。( z ) ，2 ( “) + ， ( z ，。) r r + ， ( o o 1 ) i “( z ，0 ) = “o ( z ) ； ( z ) ，( x ，t ) f 2 r + ( 0 0 2 ) 在第二章中，首先证明了系统( 0 0 1 ) 在一定条件下弱解的存在唯一性，然 后运用【1 l 、【2 】中的方法证明了其弱解所诱导的解半群的( l 2 ( r ) ，l 2 ( 剐”) ) 、 ( 三2 ( r ) ，驴( r ) ) 以及( l 2 ( r r ) ，明( r ) ) 一全局吸引子的存在性与 3 中的结果相比较，我们的条件( 见前言或第三章引言中所列条件( r ) 或( f 1 ) + 以及( 尼) ，( a ) ) 更一般，得到的结果更好；与空间区域是有界的类似问题相比 较，系统( 0 0 1 ) 在验证解半群满足u 一极限紧性时更为困难 在第三章中，讨论了问题( 0 0 2 ) ( 其中qcr ，是有界光滑区域) 的解的 适定性及其长时间行为由于含有混合导数项击世。，从而( 0 0 2 ) 较通常 的波方程更为复杂，但我们仍然分别在一维和三维情形下得到了解所对应的 半群全局吸引子的存在性 m 咄 + “ 肌 = + 卫觚姒。!匿巩 o “ 卜 钍 u = n i f 旷k u 札 ，l，、i、 兰州大学博士学位论文 i i a b s t r a c t t i l ea i mo ft h i st h e s i si st os t u d yt h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rt i l e b i l l o w i n gt w oc l a s s e so fn o n l i n e a re v o l u t i o n a x ye q u a t i o n s ： j 象= v a u a u f l ( u ) 一a ( x ) f 2 ( u ) + g l “( ，o ) = 钍。( z ) ； ( z ，。) r r + ，( 0 肌) h ( 3 2 ) ，( 3 2 ，t ) n r + ( 0 0 2 ) i nc h a p t e r2 ，w ef i r s tp r o v et h es y s t e m ( o 0 1 ) h a sau n i q u ew e a ks o l u t i o n u ( t ) f o re a c hi n i t i a ld a t au o l 2 ( r n ) ，t h e na p p l y i n gan e wm e t h o dd e v e l o p e d i 1 1f 1 a n d 2 】 c a l l e d o l i m i tc o m p a c t n e s sm e t h o d ”，w ep r o v et h ee x i s t e n c e o ft h e ( l 2 ( r 。) ，l 2 ( r ) ) ，( l 2 ( r ) ，驴( r ) ) a n d ( l 2 ( r ) ，础( r 。) ) 一g l o b a l a t t r a c t o r sf o rt h es e n f i g r o u pa s s o c i a t e dw i t ht h es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 0 01 ) r e s p e c t i v e l y c o m p a r i n gw i t ht h er e s u l t si n 3 1 1o u ra s s u m p t i o n sa b o u t t h en o n l i n e a rt e r m sa r em o r eg e n e r a la n dm o r en a t u r a l ，a n dt h er e s u l t sa r eb e t t e r ；c o m p a r i n gw i t ht h es i m i l a rp r o b l e m si nb o u n d e dd o m a i n s ，s y s t e m ( 0 0 1 ) i sm o r ed i f f i c u l ti nv e r i f y i n gt h en e c e s s a r yc o m p a c t n e s so ft h es e m i g r o u p i nc h a p t e r3 ，w ec o n n d e rt h el o n g - t i m eb e h a v i o r so ft h es o l u t i o n so f p r o b l e m ( 0 0 2 ) ，w h e r eqc r ni sas m o o t hb o u n d e dd o m a i n w ef i r s tp r o v e p r o t ) l e m ( 0 0 2 ) i sg l o b a lw e l l p o s e du n d e r c e r t a i na s s u m p t i o n s ，a n dt h e np r o v e t h ee x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o rt h es e m i g r o u pa s s o c i a t e dw i t ht h es o l u - t i o n s s i n c ec o n t a i n i n gs o m em i x e dd e r i v a t i v et e r m s 石0 ，( 0 0 2 ) i sm o r e t = 1 c o m p l e xt h a nt h eu s u a lw a v ee q u a t i o n s “巩 + “ 肌 i l + 吨。 旦缸 地 嘻枞 u w i | m u | | r k u “ ，lll-，、li【 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归 属兰州大学。本人完全了解兰州大学有关保存、使用学位论文的规定， 同意学校保存或向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版， 允许论文被查阅和借阅；本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用任何复制手段保存和 汇编本学位论文。本人离校后发表、使用学位论文或与该论文直接相 关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大学。 保密论文在解密后应遵守此规定。 论文作者签名：避导师签名疆每碰日期： 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立 进行研究所取得的成果。学位论文中凡引用他人已经发表或未发 表的成果、数据、观点等，均已明确注明出处。除文中已经注明 引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研 成果。对本文的研究成果做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。 本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：趔生日期： 前言 我们知道，许多数学物理问题可以归结为无穷维动力系统的问题，这又可 等价地用适当的函数空间上的半群来描述。无穷维动力系统( 特别是非线性动 力系统) 研究中所关心的一个主要问题是系统的长时间行为( 即时间t o 。 时系统的演化状态) ，而反映这种长时间行为的一个重要概念就是系统所对应 的( 解) 半群的全局吸引子，它是一个紧的不变集，且吸引相应相空间上的一 切有界集( 详见定义1 1 4 ) 一直以来，全局吸引子的存在性成为人们首先关注的问题与吸引子密 切相关的一个概念是吸收集( 定义1 1 2 ) ，有界吸收集的存在性是全局吸引子 存在的一个必要条件，也几乎是所有全局吸引子存在性定理中的一个基本假 设，应用中往往也较容易得到全局吸引子存在性判定的难点在于紧性和吸引 性的得到，这归结为半群的某种紧性研究者们已经得到了几种不同的且已被 广泛应用的方法，我们在下一章将要给出这些方法依照紧性的不同形式，我 们将其分为四种，分别是r t e m a m 在他的著作f 4 】中给出的“一致紧方法”、 由o a l a d y z h e n s k a y a 首先提出的，( 可参见 5 】，也见r t e m a m 的著作 4 】) “渐近紧方法”和以j k h a l e 为代表的一些研究者所使用的“集压缩方法” ( 见f 6 ) ，以及本文所应用的，由兰州大学的钟承奎教授在2 0 0 1 年访美期间与 i n d i a n a 大学的汪守宏教授等人合作研究出的最新方法一“u 一极限紧方法” ( 见文献f 1 1 ) 四种方法的主要定理见下一章定理1 1 5 、定理1 1 6 、定理 1 1 7 、定理1 2 6 以及定理1 2 7 每一种方法各有其特点和适用性：应用“一 致紧方法”，人们往往需要借助于紧的s o b o l e v 嵌入定理( 适用于有界域和某 典特殊的加权空间) ，才能保证半群的一致紧条件成立，为此需要系统对应的 解半群 s ( t ) ) 。，o 在具有更高正则性( 更强的范数) 的空间中有有界吸收集； “渐近紧方法”往往用起来较为复杂，但由于渐近紧性是u 一极限集存在的充 要条件，因此在应用上对一些深刻问题的研究，如带有弱耗散的k d v 方程， 某些无界域上的方程的全局吸引子的存在性问题，还是十分有效的；“集压缩 方法”从应用角度上看，主要适用于半线性发展方程，其中线性主部算子是耗 散的，而非线性部分是紧的 作为全局吸引子存在性研究的最新方法一“u 一极限紧方法”，是利用非 紧性测度的概念，得到了能保证吸引子紧性的较弱条件一u 一极限紧性，由 此得到了判定全局吸引子存在的一个充要条件，且给出了一个易于验证的条 件( c ) ( 见下节定义1 2 4 ) 其主要定理有以下的 兰州大学博士学位论文 2 定理0 0 1 设 s ( t ) 唧是完备的度量空间m 中的c o 半群或强弱连续半 群那么 s ( ) ) e o 有全局吸引子，当且仅当 ( 1 ) t s ( t ) 垃。是u 一极限紧的； ( 2 )( s ( t ) ) 创在m 中存在有界吸收集 定理0 0 2 设 s ( t ) l ，o 是b a n a c h 空间x 中的e o 半群或强弱连续半群 如果 s ( t ) ) ，o 满足条件r 叨，则 s ( f ) ) t o 是u 一极限紧的进一步，如果x 是一致凸b a n a c h 空间，特别是h i l b e r t 空间，则 s ( t ) f o 满足条件r c 当 2 - 4 x 当 s ( z ) ) t ! o 是u 一极限紧的 由于在应用中我们通常考虑的函数空间是h i l b e r t 空间或一致凸的b a n a c h 空间，因此定理0 0 2 和定理0 0 2 给出了半群存在全局吸引子的充要条 件，并且给出了验证这一条件的方法，即对条件( c ) 的验证这一方法的一个 主要优点在于；在实际应用中，验证条件( c ) 所需的估计与验证存在有界吸 收集的能量估计在形式上几乎是相同的( 见文献 1 ，8 ，9 】等，以及本文后面几 章的具体运用) ，这使得我们有可能不需要去作更高正则性空间的估计( 特别 是当这种估计无法得到时) ，从而有可能在哪个空间上能得到吸收集，就能在 这个空间上得到吸引子，进一步还有可能在解存在的各个空间上都能得到吸 引子另一方面，由于不再依赖于紧嵌入，使得这一方法在处理无界域上的问 题时也非常有效正是由于“u 一极限紧方法”的上述优越性，本文应用它， 并且注意将它与其它几种方法巧妙地结合起来，研究了几类用其它几种方法 难以完全解决的非线性偏微分方程全局吸引子的存在性问题 全文共分三章：第一章是预备知识。给出全文所要涉及到的有关基本概 念、需要引用的一些主要定理、引理、结论、公式等 第二章讨论r 上非线性反应扩散方程全局吸引子的存在性众所周知， 在无界域上，由于s o b o l e v 嵌入不再是紧的，使得“一致紧方法”或“集压缩 方法”不再适用，为此，一些作者使用“渐近紧方法”研究全局吸引子的存在 性，其主要思想是用有界域逼近无界域：在用来逼近无界域的有界域上验证 半群的渐近紧性，在所余的无界域上证明解可一致小但用起来较为复杂， 且需增加一些较强的条件( 参见 3 ，4 ，l o j 等) ；另一种解决办法是在加权的 s o b o l e v 空间中考虑问题，或借助于加权的s o b o l e v 空间作为中间工具，这也 已被一些作者成功应用于他们的文章中( 见 11 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ，1 5 】等等) ，这确是 处理无界域上问题的一种很自然而有效的方法然而我们知道，加权s o b o l e v 空间中的理论和计算都比正常s o b o l e v 空间中的要复杂得多，而且这样做时 还可能要求外力项、初值等也属于加权的s o b o l e v 空间我们摒弃以上做法中 兰州大学博士学位论文 3 的繁杂之处，但借鉴其中有益的思想。以一类非线性反应扩散方程 芸= v a u a u + f ( x ，钍) 4 - g ，。r ( 0 0 3 ) u l 为例，给出了个新的模型方程，这里v ，a 是正常数，g 是驴( r n ) 中给定 的函数，非线性项 ，( z ， ) = ，( “) + n ( z ) 1 2 ( 札) ， 这样做相当于对非线性项做了部分加权( a ( x ) 相当于一个权函数) ，而我们只 需在通常的s o b o l e v 空间中工作，使计算和证明变得不再那么复杂 在这一章中，关于 ，2 和系数o ( z ) ，我们总假设以下条件成立： ( f 1 ) 1 i u l 9 - 一岛m 2 ( 札) 札，y 1 i u l 9 + 6 1 i u l 2 ， ( u ) “兰0 ，p 2 ，且 爿( u ) - - c ； 或者 ( f 1 ) + n l i 札l ”一1 i u l 2s ( “) 札1 1 i i ”+ 6 1 1 u 1 2 ，p 2 ，卢1 o ；上述条件中的；，危，m ，以，i = l ，2 ； 以及c 均为正常数 在这里值得一提的是，这类问题虽然已有许多作者讨论，但一般方程中非 线性项只有，l ，其中【1 1 ，1 2 】等是在加权的s o b o l e v 空间中研究问题； 3 】是 在通常的s o b o l e v 空间中讨论问题，但要求 满足 沁) 0 ， ( o ) = 0 ，一( 札) 一c ， 以及 i 爿( u ) i c ( t + 沁1 1 ) ， 这里当n 冬2 时，72o ；当n 3 时，1 m i n 4 g ，2 ( y 一2 ) ) 我们认 为上述对非线性项的要求太严格，且与有界域上的不相一致我们的模型增加 了o ( 。) ，2 项，不仅在模型上比 3 ，1 1 ，1 2 1 等无界域中方程更一般，而且一方 面使得我们能够在通常的s o b o l e v 空间中讨论问题，我们去掉了对非线性项 的增长指数限制，结果( 在l 2 ( r 。) 中) 包含了文 3 】中的结果( 取n ( z ) = 0 即可) 另一方面，我们的模型能统一地处理无界域和有界域的问题：实际上 对有界域上的情形，只要取 = 0 ，o ( 。) = 1 ，即为文献闭等中的结果 因为我们所研究的模型没有现成的存在性结果可以引用，我们首先证明 了方程( 0 2 3 ) 满足初始条件 u ( z ，0 ) = “o ( 。) l 2 ( r 1 )( o04 ) 兰州大学博士学位论文4 的解的存在性，得到了这一问题存在唯一的弱解 “el 2 ( o ，t ；l 2 ( r ) ) nl 2 ( o ，t ；日1 ( r ) ) nl 9 ( o ，丁：l p ( r ) ) 且u 够( o ，明；l 2 ( r ) ) 的结果 在此基础上，我们首先在l 2 ( r ) 、驴( r ) 以及1 ( r 1 ) 中分别得到 弱解所对应的半群有有界吸收集相对来说，像其它几种全局吸引子存在性 方法一样，在三个空间上得到吸收集并不十分困难，在l 2 ( r 2 v ) 中，与文f 3 1 那里除了由假设条件不同引起的差异之外，做法是一样的( 见引理2 3 1 ) ；但 在( r 。) 与h 1 ( r ) 中得到吸收集，我们需要巧妙地运用一致g r o n w a l l 引 理，特别是在日1 ( r ) 中，在我们的条件下，由于n ( z ) 的影响，在得到l i w l l 2 的一致估计时，不能像以往常见的那样用一u 去作用方程两端，经过试验，我 们最终用 l t 。去作用方程两端，并利用一致g r o n w a l l 引理( 详见引理2 5 1 ) ， 使问题得以解决 为了避开了无界域上由于s o b o l e v 嵌入不再是紧的所引起的使半群的一 致紧性难以得到的困难，我们用“u 一极限紧方法”并结合“渐近紧方法”研 究解所对应的半群在l 2 ( r n ) 、l p ( r n ) 以及日1 ( r ) 中全局吸引子的存在 性，证明了解所对应的半群在l 2 ( r ) 、p ( r ) 以及日1 ( r 。v ) 中分别有全 局吸引子的结论 当然，与其它几种全局吸引子存在性方法一样，“u 一极限紧方法”研究 解所对应的半群全局吸引子的存在性的主要困难仍在于u 一极限紧性的验证。 在l 2 ( r n ) 中我们验证s ( t ) 是u 一极限紧的基本思想是t 选取r 充分大，将 解( 半群) 作适当的分解， s ( t ) u o = u 0 ) = ) ( ) 札( t ) + ( 1 一x 扣) ) 钍( t ) 垒u l ( ) + u 2 0 ) 这里x ( z ) 是一个光滑函数，满足0 墨) ( ( 曼1 ，1 ( z ) i 墨c ，定义为 x c 。，= ：z x 隹e b b 置r + , 。， 则 f “( t ) 札( ) = o 【x ( z ) “( t ) x b r ， o 岳b r + 1 ， 其它，蹦牡0 ；髫x e b r r + 对任意有界集bc 上2 ( r ) ， s ( t ) b 。o = s ( t ) oi oeb ) ) f 0 可分解 兰州大学博士学位论文 5 为 s ( t ) b = ) ( ( o ) s ( ) b + ( 1 一x ( o ) ) s ( f ) b 由非紧性测度的性质( 引理1 2 2 ) ， k ( s ( t ) b ) sk ( x ( x ) s ( t ) b ) + k ( ( 1 一x 湎) ) s ( ) b )( 0 0 5 ) 而 x ( z ) s ( t ) b = x ( x ) s ( t ) u o = 札l ( t ) iu o b ) ( 1 一) ( ( z ) ) s ) b = ( 1 一) ( ( 石) ) s 0 ) “o = u 2 ( t ) iu o b ) 这样，借鉴f 3 】中的方法，我们采用有界域逼近无界域：在所余无界域上证 明解可一致小( 即估计u 2 ( t ) 的范数可一致小) ，由非紧性测度的性质( 引理 1 22 ) ，即得k ( ( 1 一x ( z ) ) s ( t ) b ) 可一致小，这一部分的做法与对应的空间上 估计吸收集时有方法上的某种类似，但需要更加的精细和技巧性的计算；在用 来逼近无界域的有界域上，证明半群的u 一极限紧性( 即证k ( z ( x ) s ( t ) b ) 可 一致小) ，这一点可由日1 ( r ) 中得到吸收集，利用紧嵌入即可( 而不是象文 3 j 那里一样去利用半群的弱连续性验证渐近紧性，这一过程通常是很繁的， 因此大大简化了论证过程) 而在l 9 ( b r ) 上，上面的方法却不髓使用，因为首先的困难是在用有界域 逼近无界域所余无界域上无法证眠解可一致小，其次，在用来逼近无界域的有 界域上，也不能用紧嵌入或用验证条件( c ) 的方法得到u 极限紧性我们最后 引用了一种称之为“渐近先验估计”的新的估计方法( 这一方法是孙春友、王希 营博士和我的导师钟承奎教授在证明有界域上反应扩散方程在护( r ) 中全 局吸引子的存在性时首先采用的，见参考文献 2 】) ，在此过程中，结合l 。( r ) 中已有全局吸引子的结果，使问题得以成功解决 在1 ( r n ) 中，由于我们已得到了l 2 ( r ) 和口( r ) 中有全局吸引子 的结果，因此可直接验证半群在日1 ( r ) 中是渐近紧的，见引理2 5 3 具体证明中，在l 2 ( r ) 上对应的半群是强连续的，我们用“u 极限紧 方法”的定理1 2 ，6 ；在打1 ( r ) 上对应的半群不是强连续的，而是强弱连续 半群，我们用强弱连续半群“渐近紧方法”的定理1 2 1 2 ；在l p ( r n ) 中，难 以得到半群的连续性，我们用了全局吸引子的定义及u 极限集的构造 这一章我们所做的工作除了前面所说的一些与以往同类工作的不同之处 以外，还表现在以下几点： 1 我们对方程模型的改进使其既适合无界域，也适合有界域；在无界域 兰州大学博士学位论文 6 上，在我们的模型中取n ( z ) = 0 即包括了文献【3 】中的结果；在有界域上，取 f l = 0 ，n ( o ) = 1 即为文献【7 等中已有结果。 2 我们去掉了文【3 】中对非线性项指数的增长所作的限制( 通常为保证 某些s o b o l e v 嵌入成立) ，或对非线性项所加假设，( “) u 0 ，f ( o ) = 0 这 样我们的结果( 在l 2 ( r ) 中) 包含了文 3 1 中的结果( 取n ( z ) = 0 即可) 3 在驴( r v ) 、h 1 ( r t 。v ) 中的全局吸引子的存在性尚未见同类结果 4 这一部分既是难点所在，同时也是“w 一极限紧方法”的优越性及应用 上的有效性的集中体现 第三章证明了一类含有混合导数项的弱耗散波方程( 这类含有混合导数项 的波方程研究结果尚不多见) 在一维和三维情形下全局吸引子的存在性对于 如下的含有混合导数项的一维波方程的初边值问题： u 托一钍。+ a u 红+ p “t + ，( “l = 扛) ，z ( 0 ，f ) ，t r + ，( 0 0 6 ) ( z ，0 ) = 牡o ( z ) ，u t ( 。，0 ) ：= ? 2 1 ( 。) ，z ( 0 ，f ) ，( 0 0 7 ) u ( o ，t ) = 让( c ，t ) = 0 ，t r + ，( 0 0 8 ) 这里u o v = 瑶( o ，1 ) ，u 1 ，h h = l 2 ( o ，f ) ，_ 8 是正常数，f 留1 ( r ) 文 献 1 7 1 中证明了初边值问题问题( 0 0 6 ) 一( o 0 8 ) 的弱解所确定的半群 s ( t ) ) 。，o 在e o = v h 中有吸收集，但这篇文章中对吸引子未作任何探讨究其原因 可能是按照以往的吸引子存在性定理，要得到半群的某种紧性( 一致紧性或渐 近紧性等) ，通常是需作出在更高的正则性空间的估计，再利用紧嵌入得到。 在所考虑的问题中，由于波方程解没有更高的正则性，因此难以用上述方法 我们用“u 一极限紧方法”避开了这一困难，得到了初边值问题( 0 0 6 ) 一( o ，0 8 ) 的弱解所确定的半群p ( t ) t ) o 在e o 中全局吸引子的存在性另外，为完整 起见，我们还考虑了这类问题解的存在性在本章第三节，我们将这类含有混 合导数项的波方程初边值问题推广到三维情形 一x u + a 觑让t + 触t + ，( 部) = 危( z ) ，z q ，r + ，( o 0 9 ) i = 1 ( 茁，0 ) = “o ( 。) ，u t ( x ，0 ) = “1 ( 。) ， z q 训a n = 0 ，t ”， 这里x 一( x l ，。2 ，x 3 ) ，n 为r 3 中有界光滑区域，u o v = 硎( q ) ，“】 ，卢是正常数，d l = 老，i = 1 ，2 ，3 ，够1 ( r ) 满足l i p s h i t z 条件 ( 0 0 1 0 ) ( 0 , 0 1 1 ) h h 由于方程中含有“项或d f 让。项，致使用含。或u 的函数作用于方 兰州大学博士学位论文 7 程( 0 0 6 ) 时，在用分部积分公式中零边界条件不能满足，从而还难以得到强 解的吸收集或吸引子。 这一章是“u 一极限紧方法”的一个简单而有效的应用 ( 本章第一、二节的部分工作以e x i s t e n c eo fg l o b a la t t r a c t o r sf o ran o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n 为标题，发表在a p p l i e dm a t l _ 】e n i a t i c sl e t t e r s ，1 8 ( 2 0 0 5 ) 7 7 8 4 见 1 6 ) 本文所研究的，特别是关于无界域上的问题，只是做了一点开端性的工 作，有许多值得关一5 - 的问题，象对反应扩散方程所给出的新模型方法是否适 用于其它方程( 如波方程等) ，非自治方程的一致吸引子、半一致吸引子、p u l l b a c k 吸引子，以及吸引子维数等问题，还有待于进一步探讨和研究 第一章预备知识 本章中我们给出全文所要涉及到的有关基本概念，并将所要引用的一些 主要定理、引理、结论以及公式等列举出来，以便后面应用 1 1 全局吸引子基本概念及其存在性理论 定义1 1 1 设m 是完备的度量空间，t s ( 亡) t o 是m 上的一族算子，即 s ( t ) ：m m ，t 0 我们说 s ( t ) ) 晓。是m 上的c o 半群( 强连续半群) ，如 果 ( 1 ) s ( o ) = i d 是吖上的恒等映射； ( 2 ) 对任意的t ，s 0 ，s ( t + 5 ) = s ( f ) s ( 5 ) i ( 3 ) 函数s ( 咖b 在每一点( t ，z ) 【0 ，。) m 是连续的 定义1 1 2 设( s ( f ) 唧是完备度量空间吖上的c o 半群，风是m 的有界 子集如果对m 的任意有界子集b ，存在t o = t ( b ) 0 ，使得当t t o 时， 有s ( t ) bcb o ，则称玩是半群 s ( t ) ) f 0 在m 中的有界吸收集 定义1 1 3 设 s ( t ) ) 。2 0 是完备度量空间m 的伊半群，对任意bcm ，集 合w ( b ) 定义为 u ( b ) _ nu ，。s ( t ) s ， 称为集合b 的u 一极限集 据此定义易得： 咖u ( b ) 甘存在序列曲。b ，序列t 。一o 。( 当n 一 。，使 s ( 。) 九一咖，当几一o 。时( 1 1 1 ) 定义1 1 4 我们说cm 是半群 s ( o ) ，脚在m 中的全局吸引子，如果 满足： 1 ) 在m 中是紧的； 2 ) 是不变的，即对v t 20 ，s ( t ) w = ； 8 兰州大学博士学位论文 9 3 ) 吸引m 中的有界集，即对m 的任意有界子集b ， 如( s ( t ) b ；) 一0 ，当札一。时，( 1 1 2 ) 这里d h ( s ，a ) 是两个集合b 与a 之间的h a u s d o f f 半距离，定义为( 下 式中d 为m 中距离) d 日( 且，a ) = 。s u b p g i n fd ( z ，可) ( 1 1 3 ) 上述几个定义在1 ，4 ，7 1 等文献中均可找到 由定义1 1 4 和定义1 1 2 ，不难得出半群 s ( t ) t ，o 有全局吸引子的一个 必要条件是它有有界吸收集事实上，定义1 1 4 的三个条件中，最难得到的 是紧性条件在寻找保证紧性的条件的进程中，人们得到了判定全局吸引予存 在的几种已被广泛应用的方法： 首先是r t e m a m 在他的的著作| 4 1 中给出的一种方法，这种方法是用半 群的一致紧条件保证定义l t l 4 中所需的紧性条件，我们称之为“一致紧方 法”，概述为如下定理： 定理1 1 5 设h 是完备的度量空间， s ( t ) ) t o 是珂中的g o 半群，并且存 在有界吸收集风，则当下面条件之一成立时， s ( t ) ) 垃。有全局吸引子 ( i ) 当t 充分大时，半群 s ( t ) h o 是一致紧的，即对任意有界集b ，存在t ( b ) o ，使得us ( t ) b 在日中相对紧； t ( 日) ( i i ) 对每个t 0 ，半群s ( t ) 可分解为s ( t ) = s l ( t ) + 岛( t ) ，并且满足： n ) 当t 充分大时，算子& ( t ) 是一致紧的； b ) 算予岛( t ) ：h 一日连续，并对每个有界集bch ，当t 一。时， r b ( t ) = s u pi i 岛( t ) 洲h o 该定理是全局吸引子的一般性存在定理直到现在，仍然有许多作者应用 这个定理处理具体的动力系统，见文献f 1 8 ，1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 ，2 5 1 等在 具体应用中，为了验证半群的一致紧条件，人们往往需要借助于紧的s o b o l e v 嵌入定理( 适用于有界域或某些特殊的加权空间) ，为此需要系统对应的解半群 s ( ) 。，o 在具有更高正则性( 更强的范数) 的空间中有有界吸收集 另一种是从u 一极限集的定义出发，验证系统的解半群是渐近紧的( 这 是u 一极限集存在的充分必要条件) ，证明有界吸收集的u 一极限集( 即为全局 兰州大学博士学位论文 1 0 吸引子) 的存在性，我们称之为“渐近紧方法”据我们所知，这个方法是由 0a l a d y z h e n s k a y a 首先提出的，可参见1 5 ，q 主要定理也见r t e m a m 的 著作【4 】中如下： 定理1 1 6 设日是完备的度量空问， s ( f ) ，o 是口中的g o 半群，并且 存在有界吸收集b o ，则当半群 s ( t ) 晓。是渐近紧的，即下列条件成立时， s ( t ) ) c o 在h 中有全局吸引子 对任意有界列 z ch ，和任意列 k 当t k o o 时， s ( 如) 鲰) k n 在h 中相对紧 由于渐近紧性是u 一极限集存在的( 因而是全局吸引子存在的) 充要条 件，因此在应用上对一些深刻问题的研究，如带有弱耗散的k d _ v 方程，某些 无界域上的方程的全局吸引子的存在性问题，是十分有效的；但这种方法用起 来往往比较复杂，可参见 4 】中第四章第8 节， 3 】等中的应用 第三种方法是j k h a l e 等人的工作这种途径的主要思想是借助于非线 性泛函分析中的集压缩概念，考虑集压缩半群映象，证明了如果系统半群是集 压缩的，则该系统一定有全局吸引予我们称这种方法为“集压缩方法”，这 方面的主要理论性成果是如下的定理： 定理1 1 7 设 s ( ) ) 晓。是完备度量空间h 上的连续半群，并且满足； “， s ( t ) ) t o 有有界的吸收集； 俐 s ( t ) ) t 兰。是集压缩的，即对任意有界集b ，当t o o 时，按照h 中度量的非紧性测度f 定义见下节扎( s ( ) 日) 一0 ， 则 s ( t ) ) t o 在h 中有全局吸引子 从应用角度上看，这个结果主要适用于半线性发展方程，其中线性主部算 子是耗散的，而非线性部分是紧的 上述三种方法，虽然已得到广泛应用，但用来判定全局吸引子存在，第一 和第三两种只是充分条件，第二种方法用起来往往较为复杂，因而也都难以普 遍适用所以，迄今为止，人们仍没有放弃继续寻求新的证明吸引子存在性的 方法，( 见文献【1 ，2 ，z 6 1 ) 寻找新方法的个十分明确的思路就是减弱上述已 有的方法中用来保证紧性的条件( 半群的一致紧性，集压缩性) ，并使得条件尽 量易于验证正是沿着这一思路，2 0 0 1 年，兰州大学数学系的钟承奎教授访 美期间与i n d i a n a 大学数学系的汪守宏教授等合作，得到了一种新的判定全局 吸引子存在的方法，我们称之为“u 一极限紧方法”、他们应用非紧性测度的 兰州大学博士学位论文 概念，找到了保证紧性的较弱条件一u 一极限紧性由此得到了判定全局吸引 子存在的一个充要条件，且给出了个易于验证的条件( c ) ( 定义觅下节) 之 后又将这一方法在应用上作了进一步发展我们将在下一节专门介绍这一方 法的有关概念及主要结果以备后用 1 2 “u 一极限紧方法”的有关概念及主要结果 定义1 2 1 ( 参见 1 ) 一个完备的度量空间m 中的c o 半群 s ( t ) c 0 称为 u 一极限紧的，如果对任意s 0 和m 中的任意有界子集b ，存在t ( b ) 0 ， 使得 圪( 9 。、s ( t ) b ) e ， 、t t f b 、 一1 其中一是非紧性测度，定义为 k ) = i n f ( 5 o l b 可被m 中有限个直径不大干6 的集合覆盖 在下面两个引理中我们给出非紧性测度的一些性质； 引理1 2 2 伶见圳设m 是一个完备的度量空问，b 、蜀、岛是m 的任意有界子集，k ( ) 是m 上的非紧性测度，则 ，j j 托( 口) = o 当且仅当且是紧的； r 缈若b 1cb 2 ，则尤( 日1 ) s 斤( b 2 ) i 俐k ( b 1u 岛) m a x 片( b 1 ) ，尤( 岛) ) ? “jk ( b ) = 尤( b ) i 俐当m 是b a n a c h 空间时，尤( 最+ b 2 ) 托( b 】) + k ( 岛) j f 纠若b ( ) 是b a n a c h 空间m 中半径为e 的球，则k ( b ( ) ) = 2 引理1 2 3 陆见口设时是一个完备的度量空间，k ( ) 是m 上的非紧性 测度若 r 是m 中一列有界闲集，满足 ，j ，r 以n = l ，2 ， 俐r + 1cr ，n = 1 ，2 ， ，砂k ( r ) 一0 ，当仃一。时， 则f = n 黑1 r 是非空紧集 定义1 2 4 ( 参见 1 j ) b a n a c h 空间x 中的c o 半群 s ( t ) ) t o 称为满足条件 ( c ) ，如果对任意e 0 和任意的有界集b ，存在t ( b ) 0 和有限维子空闻x ， 兰州大学博士学位论文 1 2 使得 | i p s ( t ) zj 忪b ，2t ( b ) 有界，且当( b ) ，。b 时， 1 i ( i p ) s ( t ) z i l x o 在m 中存在有界吸收集 定理1 2 7 孓见口7 ) 设 s ( t ) ) 舢是b a n a c h 空间x 中的伊半群如果 s ( ) ) t o 满足条件，印，刖 s ( ) ，o 是u 一极限紧的进一步，如果x 是一 致凸b a n a c h 空间，特别是h r b e r t 空间，则 s ( t ) o 满足条件r 叨当且仅 当p ( t ) ) t 2 0 是u 一极限紧的 由于在应用中我们通常考虑的函数空间是h i l b e r t 空间或一致凸的b a - n a c h 空间，因此定理1 2 6 和定理1 2 7 给出了半群存在全局吸引子的充要条 件，并且给出了验证这一条件的方法，即对条件( c ) 的验证更值得一提的 是，在实际应用中，验证条件( c ) 所需的估计与验证存在有界吸收集的能量 估计在形式上几乎是相同的( 见文献【1 ，8 ，9 】等，以及本文后面几章的具体运 用) ，这使得我们有可能不需去作更高正则性空间的估计( 以往常借此用紧嵌入 得到紧性) ，从而有可能在哪个空间上能得到吸收集，就能在这个空间上得到 吸引子，进一步还有可能在解存在的各类空间上都能得到吸引子 然而，众所周知，几乎所有与全局吸引子的存在性相关的结论都需要这 样一个基本的前提条件，即系统对应的解半群是强连续的或弱连续的( 特别用 “渐近紧方法”时通常需要用半群的弱连续性) 但是，在实际问题中象非线性 反应扩散方程，当非线性项是多项式增长性条件时，其强解对应的半群就不是 强连续半群，针对这一问题，钟承奎教授等人在文献f 2 中提出了强弱连续半 群的概念，并由此给出了全局吸引子存在性的一个充分必要条件，其主要抽象 结论为： 兰州大学博士学位论文 1 3 定义1 2 8 ( 参见 2 】) 设x 是b a n a c h 空间， s ( t ) ) c o 是从爿到x 的一 族映射，称 s ( z ) ) t ! o 是从x 的强拓扑到x 的弱拓扑的强弱连续半群，简称 “强弱连续半群”，如果 s ( ) ) 脚满足： ( i ) s ( o ) = i d 是x 上的恒等映射； ( u )s ( ) s ( s ) = s ( t + s ) ，vt ，s o ； ( i i i ) 当t 。一t ，x 。一z 时，有s ( t 。) o 。一s ( t ) x 定理1 _ 2 9 r 参见劬设x ，y 是两个b a n a c h 空问，x + ，y + 分别为其对应 的共轭空间，满足： xqy = y 4qx 4 其中所有的嵌入都是连续且稠的，并假设 s ( t ) ) t o 是y 中的强连续半群或 弱连续半群则 s ( o ) k 2 0 是x 中从强拓扑到弱拓扑的强弱连续半群当且仅 当 s ( t ) ) t o 精x r + 中的紧集映为x 中的有界集 定理1 2 1 0 f 参见驯设x 是b a n a c h 空问， s ( t ) h o 是从x 的强拓扑 到x 的弱拓扑的强弱连续半群则 s ( ) ) t o 在x 的强拓扑下有全局吸引子 的充分必要条件是t ( i ) s ( t ) ) t o 在x 的强拓扑下有有界的吸收集b o ； 、 ( i i ) 当s 一+ o 。时，有k ( 。芝s ( ) 岛j 一0 在( x ，i i 恢) 中成立 定理1 2 1 1 陪见趔j 设x 是b a n a c h 空间， s ( t ) ) t o 是从x 的强拓扑到 x 的弱拓扑的强弱连续半群贝1 j s ( t ) ) z ! o 在x 的强拓扑下有全局吸引子， 如果下面的条件成立t ( i ) s ( t ) ) t o 在x 的强拓扑中有有界的吸收集b o ； ( i i ) s ( t ) ) 伽满足条件f 印 且x 当是一致凸b a n a c h 空间时，上述条件也是必要的 显然，除了对半群的连续性要求不同外，定理1 2 1 1 与定理1 2 6 ，定理 1 2 7 在证明全局吸引子的存在性时所需的条件完全相同，而且，如果半群是 强连续的或弱连续的，那么它也是强弱连续的，因此定理1 2 1 1 具有普遍的 应用价值总之，无论从理论上还是从应用上，定理1 2 11 又为证明全局吸引 子的存在性提供了新的更有效和更方便的途径此外，在半群是强弱连续的条 件下，其它几种方法的主要定理也可作相应推广，下面我们仅给出本文要用到 的关于“渐近紧方法”的推广定理： 兰州大学博士学位论文 1 4 定理1 2 1 2 设日是b a n a c h 空间， s ( ) ! o 是h 中的强弱连续半群， 并且存在有界吸收集b o ，如果半群 s ( t ) ) 眨。是渐近紧的，即对任意有界序列 z k ) ch ，和任意一列 ) ，当t k 一。时， s ( “) z k 女n 在h 中相对紧， 则半群 s ( t ) ) t ! o 在h 中有全局吸引子 应用“u 一极限紧方法”，验证条件( c ) 是得到u 一极限紧性的一个非常重 要的有效途径，但我们有时仍然难以得到它，为此，一种新的，称为“渐近先 验估计”的方法被发展，用来得到u 一极限紧性( 这一方法的详细论证可参见 孙春友博士的毕业论文) 以下几个引理是“渐近先验估计”方法的主要理论依 据，我们在此列出以便后面运用 引理1 2 1 3 设q 为r “中区域p 苛界或无界