（流体力学专业论文）复杂油藏斜井试井分析方法研究.pdf

摘要 摘要 随着钻井技术的发展和开采的深入，采用斜井和水平井等复杂井型进行开采 的油井也越来越多，相对于水平井试井的迅速发展及应用，斜井试井压力响应研 究较少。国内外学者早期对斜井并底压力研究给出的解析解公式，都存在计算量 犬，不适合以样板曲线为基础的现代试井解释计算的问题，直到2 0 0 0 年，国外 学者给出了对l a p l a c e 变换经典压力解进行一系列数学变换的方法，给出适用于 试井分析的计算公式，但计算效率不够高，并且压力解基于无限大平板油藏，若 考虑其他边界或双孔介质等情况( 复杂油藏) ，l a p l a c e 空间中压力解不仅推导过程 复杂，实际应用中计算量也难以接受，有的甚至在l a p l a c e 空间上不存在解析解。 鉴于此，有必要开展斜井试井分析的基础理论研究，建立斜井试井的数学模型， 找出适合于现代试井分析和复杂油藏条件下的压力响应计算公式，实现斜井压力 资料的解释应用。 本文采用源函数n e w m a n 乘积法，由基本瞬时源函数出发，把斜井当作产 量沿井长均匀分布的点源构成的线源进行处理，对于不同边界条件只需改变基本 瞬时源函数的类型，同时变换和简化的处理只需对瞬时源函数进行处理，得到斜 井压力的乘积解计算公式，该方法计算过程比现有方法简洁，并解决了复杂边界 压力响应的理论问题。通过l a p l a c e 变换，得到考虑表皮和井筒的斜并压力以及 双孔情况下的斜井压力。 论文的主要成果如下： 1 建立了适合复杂边界和理论图版拟合的数学模型； 2 给出了采用源函数n e w m a n 乘积法各种边界条件及双孔介质情况下相 应的计算公式； 3 给出了各种边界条件及双孔介质情况下的模板曲线并进行了分析： 4 通过编写斜井试井分析软件与现有算法进行对比，和实测资料的解释分 析，验证了方法的正确性和可靠，对油田生产解释有实际意义。 关键词：斜井试井分析源函数n e w m a n 乘积解双孔介质曲线拟合 a b s t r a c t a b s t r a c t a st h ed e v e l o p m e n to fd r i l l i n gt e c h n o l o g ya n dr e s e r v o i rp r o d u c i t o n m o r ea n d m o r ei n c l i n e dw e l l sa n dh o r i z o n t a lw e l l sh a v eb e e nu s e di nt h ef i e l d s w h i l et h er a p i d d e v e l o p m e n ta n da p l l i c a t i o n so fh o r i z o n t a lw e l l 。t e s ta n a l y s i s ，t h e r ea r eo n l yaf e w r e s e a r c h so fi n c l i n e dw e l l s 。t h ea n a l y t i c a lt r a n s i e n t - p r e s s u r es o l u t i o n sf o ri n c l i n e d w e l l sg i v e db ye a r l ys t u d i e sa l lh a v et h ep r o b l e m so fl a r g ec a l u l a t i n ga m o u n t sa n d d o n tf i tw i t ht h et y p e c u r v ec a l u l a t i o n i n2 0 0 0 ，s o m ea b o a r dr e s e a r c h e r sd e d u c e da c o m u p a t i o n a ls o l u t i o nu s i n gas e r i e sm a t h e m a t i c a lm a n i p u l a t i o nb a s e do ft h ec l a s s i c a l s o l u t i o n si nt h el a p l a c es p a c e t h es o l u t i o n sc a nb eu s e di nt y p e c u r v ec a l u l a t i o n ，b u t t h ee f f i c i e n c yi sn o tg o o de l l o u g h a l s ot h es o l u t i o n si sb a s e do ni n f i n i t ef l a t f o r m a t i o n ，c o n s i d e r i n go t h e rb o u n d a r yc o n d i t i o no rd u a lp o r o s i t yr e s e r v i o r ( c o m p l e x r e s e r v i o r ) ，t h em e t h o di st h e o r e t i c a lc o m p l e xe v e nc a n n tg i v et h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n s s o ，i ti sn e c e s s a r yt od e v e l o pt h et h e o r i e so fw e l l t e s tf o ri n c l i n e dw e l l s ，c r e a tt h e m a t h e m a t i cm o d e lt oc a l u l a t et h et r a n s i e n t p r e s s u r et h a tc o u l db eu s e di nt y p - c u r v e e a l u l a t i o na n dc o m p l e xb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n dm a k ea p l l i c a t i o ni n p r a c t i c a l a n a l y s i so fi n c l i n e dw e l l s t h i sp a p e re m p l o y st h es o u r c ef u n c t i o na n dn e w m a nm e t h o d ，t h ew e l li s a s s u m e dt ob eal i n es o u r c ea n dp r o d u c t i o nm a yt a k eo v e ri t se n t i r e l e n g t h t h e s o l u t i o n sc o n s i d e r i n gd e f f e r e n tb o u n d a r i e so n l yn e e d st oc h a n g eb a s i cs o u r c ef u n c t i o n ， i sm o r es i m p l yt h a ne x s i t i n gr e s e a r c h s ，t h ep r o b l e m so f t r a n s i e n t p r e s s u r eo fr e s e r v i o r w i t hc o m p l e xb o u d a r i e sh a v eb e e ns o l v e d t h es o l u t i o n sc o n s i d e r e dt h es k i nf a c t o r a n dw e l l b o r es t o r a g ea n dd u a l - p o r o s i t yr e s e r v o i ra l s ob e e ng i v e du s i n gl a p l a c e t r a s f o r m a t i o n t h ec h i e fr e s u l t sa r ea sf o u o w s ： 1 b u i l dt h em a t h e m a t i c a lm o d e l st h a ta r es u i t e df o rc o m p l e xb o u n d a r i e sa n d t y p e - c u r v ec a l u l a t i o n 2 p r o v i d et h ec o m p u t a i o n a le q u a t i o n sb a s e do ns o u r c ef u n c t i o na n dn e w m a n m e n t h o di n c l u d et h ec o n d i t i o n so fv a r i e sb o u n d a r i e sa n dd u a lp o r o s i t y 。 3 ，t h et y p e c u r v e so ft h ed i f f e r e n tc o n d i t i o n sw e r eg i v e da n da n a l y z e d 。 4 t h er e s u l t so ft h i sp a p e ra r ec o n p a r e dw i t ho t h e rr e s e a r c h e r s s o l u t i o n s ，t h e w o r ka l s op r o v i d e df i e l dd a t aa n a l y s i s t h ea l g o t i t h mi se x a m i n e dt ob e c o r r e c ta n dc o n t i r b u t e dt oo i lp r o d u c t i o n k e yw o r d s ：i n c l i n e d w e l l ，w e l lt e s t ，s o u r c ef u n c t i o n ，n e w m a nm e n t h o d ，d u a lp o r o s i t y , 够p e - c u r v e i i 符号说明 p 油藏压力，m p a p w 升底压力，m 一p a，w 升底压力， 只地层原始压力，m p a p 1 d 一油藏无量纲压力 a p 压力筹，m p a h 地层厚度，朋 0 井筒半径，m z 口井壁射开段顶深，研 6 升肇射开段底深，m k 渗透率，i z m 2 鼍一x 向渗透率，m 2 k ，y 向渗透率，m 2，y 向渗透率，m k z 向或垂向渗透率，z m 2 毛水平方向或径向渗透率，t m 2 t 时间，h f j ) 无量纲时间 “一拉普拉斯算子 s 表皮系数 s 总表皮系数 氏机械表皮系数 s p 拟表皮系数 c 井筒储集系数，聊3 m p a 符号说明 i i i 符号说明 油藏孔隙度 c ，一流体压缩系数，1 m p a g 综合压缩系数，1 m p a q 油井产量或注入井注入量，m 3 d b 地层体积系数 流体牯度，m p a s p 流体密度，豫m 3 v 流体流速，m s r e 雷诺数 g 重力加速度，m s 2 o 裂缝半长，朋 毛地层静温梯度，k m 丁地层温度，k l 井筒温度，k u 综合热传导系数，m k 兄热导率，m k 甲拟压力 山，“o 阶贝塞尔函数 厶。k o 阶虚宗量贝塞尔函数 互幂积分函数或指数积分函数 论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除己特另j j j n 以标注和致谢的地方外，论文中不包含任 何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究 所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即：学 校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进行检 索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 年月 日 第 章绪论 第1 章绪论 11 背景和研究意义 石油是近代以来人类社会的主要能源，同时也是重要的加工原材料，石油相 关产业一直具有战略意义。虽然我国石油产业的发展较晚，但随着我国经济的高 速发展对石油的需求量不断增加。目前，我国已成为世界第二大石油消费国， 根据国家统计局的数据，2 0 0 8 年中国油品消费量为38 6 亿吨，掘海关总署的统 计数据，2 0 0 8 年中国石油( 包括原油、成品油、液化石油气和其它石油产品) 净进口量达2 0 0 6 7 万吨，油净进口量在国内油品消费量中的比重已升至接近 5 2 ，石油紧缺严重威胁着我国的战略安全。 油瓶开采般通过钻直并实现，对于渗透率高地质条件适宜的油减，直井是 经济有效的开采方法。当然，直井并不是最有效的开采方法，随着技术的发展， 越柬越多的水平井和斜井( 定向井1 开采方案在油气田中得到应用，这一方面是因 为水平井和斜井方案能提高油气田产量，另一方面对于特殊的油藏如低渗油藏、 有天然垂直裂缝或垂向渗透率远大于水平渗透率的油藏、有严重水锥或气顶及薄 层的油藏，或者是地理条件较差的油藏如海上油气用等不适台进行直井开采方 案。 图1 - 1 一般定向井图示 图1 - 2 井斜示意图 我国目前的石油开采，陆地主要集中在东部地区，老油田都已进入高含水、 高采出的双高阶段，石油产量逐年下降实现老油田的稳产十分困难。为了实现 老油闭的稳产挖潜，必须对摒弃原来的粗放式开发方式，对油田进行精细开发， 而采用水平井和斜井开采方案是油气阳精细开发的重要措施之一。对于新发现的 油田，采用斜井丛式井开采，可加快油田勘探开发速度，节约钻井成本；便于完 井后油井的集中管理，减少集输流程节省人、财、物的投舞。我国的海上油田 粤 第1 章绪论 虽然发展较晚，但中国近海蕴藏着丰富的油气资源，根据勘探预测，在渤海、黄 海、东海及南海北部大陆架海域，石油资源量达到2 7 5 3 亿吨，天然气资源量达 到1 0 6 万亿立方米，中国国内石油产量在未来将更多地依赖于海上丌采。海上 油罔的丌采主要通过建造少量的海上平台，伴随着陆上主力油田地面条件的复杂 化及海上勘探开发规模的不断扩大，斜井、定向井越来越多。 无论是直井、斜井还是水平井，试井分析都是科学开发油甬的重要手段。试 井分析也简称试井，是获取油藏物性参数的重要措施，如地层渗透率、液流传导 率、边界和断层的方位和距离、原始与平均油藏压力、钻井和完井过程中油层污 染状况等，而这些信息为准确描述油藏动态特性和预测各种生产方式下的生产趋 势提供依据。直井试井研究最早，应用广泛，水平井和斜井研究较晚，相对于水 平井试井的迅速发展及应用，斜井试井压力响应虽然有学者进行研究，但能用于 实际生产的较少，研究主要局限于理论公式方面，给出的公式大都建立在简单的 边界情况下，且都存在计算量大、不适合以样板曲线为基础的现代试并解释计算 的问题。由上所述，随着斜井在油田中越来越多的采用，斜井试井分析研究对油 田的生产具有重要意义，同时也具有巨大的经济效益。 1 2 国内外研究现状 由于早期钻井技术的局限性，钻斜井比较困难，在油田中采用较少，同时由 于斜井具有三维不对称性，不能给出简单的压力响应公式，在计算机未成熟时使 用人工计算不现实，早期的研究主要局限于通过直井压力公式来计算斜井压力， 可以看作是当钻直井出现倾角时的修正，而随着现代钻井技术的发展和合理开发 油阳的需要，斜井越来越多的出现，同时随着计算机的进步，数值计算的发展， 斜井试井分析才得以发展。 1 9 7 5 年c i n c ol e y h t l 2 】最早研究有限大圆形油藏中的斜井不稳定压力，给 出一种计算方法，认为完全穿透斜井相对于直井产生了一个负表皮，这个负表皮 由斜井的倾角和地层厚度决定，这种修正直井的计算方法有一定局限性，文章也 讨论了该计算方法适用的条件。 1 9 9 0 年，a b b a s z a d e h ，m ，h e g e m a n ，p s 【3 l 采用源函数和g r e e n 函数方法对无 限大板状地层中的斜井压力响应进行了研究，考虑了有气顶或底水的斜井压力响 应解析解，并且采用非线性回归算法对这些情况进行试井分析和讨论，同时讨论 了气顶或底水对斜井压力响应的影响及其显示出的特性。 1 9 9 1 年，k h a t t e b ，h a ，y e h ，n s ，a g a r w a l ，r g t 4 l 研究了多层油藏条件下的 斜并压力响应，文章采用三维有限元法对多层油藏斜并压力响应进行求解，这是 一种数值方法，在简单的油藏边界条件下容易应用，文章对数值方法得到的结果 2 第1 章绪论 与解析解进行了对比分析和相关分析。 19 9 3 年，z h a n g ，l ，d u s s e a u l t ，m b ，f r a n k l i n ，j a 【5 j 采用l a p l a c e 变换法，对 地层渗透率各向异性对斜井压力的影响进行了研究，对渗透率各向异性作出了处 理，说明了它对结果的影响。 19 9 9 年，o z k a n ，e ，y i l d i z ，t - ，r a g h a v a n ，r 【6 】讨论了射孔对水平井和斜井压力 在井底内分布和井底响应的影响，通过解析的三维模型对不均匀射孔和具有不同 表皮和射开长度条件下的射孔进行了研究，并讨论了射孔对产量的影响。2 0 0 0 年，o z k a n ，e ，r a g h a v a i l ，r i 】对l a p l a c e 空间下的无限大板状油减斜井压力响应 经典解析公式给出了一系列的数学变换及简化，得到效率较高的斜井压力计算公 式，计算公式适用于曲线拟合计算，并对简化后的公式计算结果和以前的结果进 行了对比，并讨论了不同井筒条件下的斜井压力响应特征。 f i g 1 0 - e f f e c to fw e l l b o r es t o r a g eo np a r t i a l l yp e n e t r a t i n g ， i n c l l n e d - w 嚼l lr e s p o n s e s ，h a = ，o a n d 冉，口2 釉，w e l la tt h e t o o k 图1 - 3o k z a n 等计算的无限大平板地层中的部分射开斜井压力双对数图 国内的斜井试井分析研究较晚，主要也是在国外相关文献方法的基础上进行 改进。 1 9 9 8 年，张继芬、李和全、夏青【lo 】提供了一种计算斜井流压和井筒中压力 分布的方法，该方法首先把斜井修正成直井，然后应用三段法，依据环空及井筒 的流体特性多数和井柱及地层参数计算出井筒压力分布和流压。 1 9 9 8 年，廖新维 1 l j 2 对无限大板状地层中双重介质拟稳态油藏斜井压力响 应进行了理论研究，采用点源解和g r e e n 函数方法推导了无限导流斜井压力响应 的理论解，对其压力响应进行了分析研究。 2 0 0 5 年，王德山、张立、聂立新、李兆敏 1 3 , 1 4 采用l a p l a c e 变换法，对多 井斜井压力响应进行了研究，给出了解析计算公式，讨论了邻井对测试井压力响 应的影响。2 0 0 6 年，王德山，聂立新，李兆敏 i s , 1 6 对o z k a n 等【7 】的计算方法进行 了进一步研究，推导出了一组新的计算公式，对测压点进行了理论研究，提出了 等效压力点的算法。 3 一点pj。a膏塞l哪o 2叠互卜叠o 第1 章绪论 综合国内外的研究，可以发现，斜井试井分析的研究仍然处于理论建立和分 析阶段，目前给出的斜井压力计算解析公式大都存在计算量大，不适合曲线拟合 的现代试井分析的缺点，同时对于复杂边界的情况尚未发现相关研究，这是因为 采用l a p l a c e 变换法，l a p l a c e 空间中压力解不仅理论过程复杂，实际应用中计算 量也难以接受，有的甚至在l a p l a c e 空间上不存在解析解。因此，复杂边界斜井 的压力响应仍需进行研究，压力计算公式也需要改进以用于现代试井分析。 1 3 本文研究内容及结构安排 本文采用源函数n e w m a n 乘积法对斜井试井分析方法进行了研究，得到斜 井压力的乘积解计算公式，该方法计算过程比现有方法简洁，并解决了复杂边界 压力响应的理论问题，通过l a p l a c e 变换，给出了考虑表皮和井筒、双孔介质等 条件下的斜井压力响应。采用该方法对斜井压力响应进行了讨论，验证了方法的 j 下确性，并对实测资料进行解释分析。本文题目中的复杂油藏指的是考虑均质双 孔等介质，考虑各种边界条件的情况。 全文分为六章，第一章是绪论，介绍研究背景及国内外研究现状。第二章是 试井分析理论和方法，主要介绍试井分析的基本概念和压力求解的方法，为斜井 试井分析方法提供理论基础。第三章是斜井试井分析方法，给出两种斜井试井分 析方法，l a p l a c e 变换法和本文研究的源函数n e w m a n 法，并给出考虑表皮和井 筒及双孔条件下的压力计算公式。第四章是采用本文方法得到计算结果及分析， 给出各种条件下的典型曲线及分析，并和现有算法进行验证，同时对实测数掘进 行解释分析。第五章是总结和展望。 4 第2 章试井分析理论及方法 第2 章试井分析理论及方法 试井分析也简称试井，是获取油藏物性参数的重要措施，如地层渗透率、液 流传导率、边界和断层的方位和距离、原始与平均油藏压力、钻井和完井过程中 油层污染状况等，而这些信息是科学开发油田的重要依据。本章主要介绍试井分 析的概念和方法，为下一章斜井试井分析方法提供理论基础。 2 1 试并分析原理 2 1 1 信号分析问题 试井分析为获得油藏中的未知参数，需要在油藏中加入一个信号源( 或信 号) ，各种不同条件下的油藏由其特性相应地得到不同的响应信号，信号可以是 流量、压力、温度、电压等等，一般我们说指的试井分析都是压力试井，无论如 何，试井分析是一个典型的信号分析问题【 】。 信号的加入，通常是通过产量的变化得到，实际操作中有压力降落( 开井) 、 压力恢复( 关井) 与定产量或变产量的组合。压力的响应信号，一般是由位于并筒 内开采段的压力计采集得到，也称井底流压。 显然由于试井中，压力分布的这种性质，可以知道： 1 压力响应主要反映油藏的平均特性，而不是部分区域的性质。因此，试 井分析很难取得各区域性质的数据，而对于区间间断，如断层、裂缝、 复合油藏的交界处等能够反映。 2 由于压力传播的瞬时性，理论上，一旦有输入，从压力响应中就能够得 到整个油藏的特性。 3 距离井筒越远的点在压力响应得到明显反映的时间越长。 2 1 2 反演问题 试井分析通过压力响应来得到油藏参数，通常是通过建立适合油藏特性的模 型来实现。可见从压力响应来求得模型及其参数实质上是一个反演问题，这就带 来理论上的多解问题。因此，我们最终得到的是最接近于实际压力响应的模型和 参数，这个过程也可以通过非线性拟合等方法来实现。 5 第2 章试井分析理论及方法 2 2 试并解释方法 2 2 1 常规试井 常规试井建立在不同时间段，井底压力有着不同的渐进表达式的基础上，表 现在不同坐标系中的压力时间曲线，会形成一条直线段，因此常规试井也称作 直线段分析法。可以使用常规试井的参数包括井储、表皮、渗透率、原始地层压 力、断层距离等。一般来说，采用常规分析方法得到的地层参数是有限的，且只 能作为一种初步的估算结果【1 8 2 0 1 。 翻 o i 因 f _因 a p ( m p a ) i 囟 0 1 1 o z 00 0 50 10 1 50 2 f ( h ) 图2 1 压著与时间的直角坐标图 日 砭 因 0e 00 0 5 0 1 0 1 50 2 f ( h l 图2 - 2 压差与平方根时间的直角坐标图 2 2 2 现代试井 l g ( 1 + t ，d 1 t t d ) 图2 3 压差与时间的半对数坐标图 前一节讨论的常规试井解释方法是较早被广泛使用的方法。但如果试井时间 较短，实测压力在半对数或直角坐标图上尚未形成直线段，则无法使用。对这类 资料可以采用图版拟合方法求得某些近似结果，若中晚期数据齐全，则可以得到 更多更准确的结果。该方法是2 0 世纪7 0 年代发展起来的，一般也称为现代试井。 该方法的基本思想是：先针对各种不同模型，包括地层介质类型( 均质、复合、 6 第2 章试井分析理论及方法 双孑l 、双渗、多层等) 、流体类型、井和内边界类型( 垂直井、垂直裂缝井、均匀 流量水平井、无限传导水平井、斜井等) 以及外边界类型( 无限大地层、有限地层 封闭或定压、断层、矩形等) 计算出无量纲压力对无量纲试井的曲线并绘制在双 对数坐标上，这种曲线图称为样板曲线或理论图版【2 1 1 。然后将实测压力数据在 同样尺寸的双对数坐标图上绘成压力对时间的有量纲的曲线，再将这种实测曲线 与理论图版进行拟合。若实测曲线与理论图版中某一条曲线完全重合，就标明该 实测曲线反映哪一种模型及其对应的参数。随着计算机的发展，由计算机绘图， 使得现代试井成为试井解释的主要手段，也是本文的试井解释方法。 。暑 星 黾 舂 2 2 3 其他试并 l g ( t oi c d ) 图2 4 无限大地层直井c o e 2 s 的理论曲线 上述的试井分析方法，都是建立在已知产量条件下由数学模型给出的井底压 力解基础上，除此之外还出现了d s t 段塞流试井、间歇采油试井、早期试井、 非线性回归等试井解释方法。 2 3 基本方程 2 3 1 达西定律 通过孔隙介质的流动符合达西定律，它反映了压力梯度与流体流速的关系。 这个定律首先是法国工程师达西( d a r c y ) 从实验中总结出来的，他利用水通过 砂过滤层的实验，得到水压头梯度与流速的定量关系。这个定律后来被推广到一 7 第2 章试井分析理论及方法 般多孔介质渗流。达西定律的般形式是指通过多孔介质的流体的流量与压力梯 度成f 比，而与流体的粘度成反比。即： k = 一k f l s 汐p s 。一p g 豇n 臼) c 2 j ，k 2 一l 汐s 。一p gs 1 n 曰j ( 2 j 如果不考虑重力项、则达西定律的微分形式方程为【2 2 】 瑶：一墨即 ( 2 2 ) 其中： ，。一渗流速度 0 s 正方向与水平面的夹角 渗流速度是通过在多孔介质中引进连续性假设而得到的。假想流体充满着全 部颗粒及孔隙所占的空间，而通过任一截面的流量仍假定保持原来的实际流量不 变，从而可以像通常流体力学那样去定义流体在每一点的速度，这个速度即为渗 透速度k ，它与真实速度1 ，关系为k = 印。 对各向异性介质，达西定律可表示成 弓= 一鲁睁户g 寿) 仁3 ， 其中： x i ，x j 直角坐标的坐标轴 k _ i i - 一渗透率张量 达西定律表明：多孔介质中，流体流动现象类似于一些驱动力与力场梯度的 物理问题。流体在多孔介质中的流动，在特征上纯粹是耗散性的，流体粘度允许 力场在单位体积孔隙介质的巨大表面积上耗散掉( 例如孔隙度为0 2 体积为1c m 3 的砂岩，其内部面积为1 5 1 0 4 c m 2 ) 。因此，力的分布是符合扩散原理而不是传 播机理。由于流体相提供了扩散的介质，那么势函数即为压力p 。所以，试井中 测量出井筒中压力随时间的变化关系以及流量后，再通过达西定律，就得到了压 力数据和油藏物性之间的一种定量关系。 2 3 2 连续性方程 流体在多孔介质中流动，它的质量既不会增加也不会减少，即保持质量守恒。 8 第2 章试井分析理论及方法 这个质量守恒所满足的微分方程即为连续性方程。 。：、 na 卜一7 一， 1 、 、一7 图2 - 5 多孔介质中任一体元 在多孔介质中，取一体元，其体积为西，边界为仃( 如图2 5 所示) ，假 设中有强度为g ( x ，y ，z ，t ) 的源或汇，这样在r 到f - i - a t 时刻内流进内的流体质 县二l 基月： r 钉咖_ f 孵p 由= 一f 弼p v i c 。s ( 门，v ) 拟 ( 2 4 ) 由于源或汇的作用在内生成的质量为： 堋g ( x ，y , z , t ) d v 在f 到f + 缸时间内质量的增加量为： ( 妒咖卜( 妒吐 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 根据质量守恒定律司以得到： 净流入量+ 生成量= 总的增加量 于是，根据式( 2 4 ) 、( 2 5 ) 和( 2 6 ) 有： 柏外l cos(n,v)da+jjjg(x,y,z,t)dvl _ ( 妒卜小2 刀 口 jf + f，o 当出斗0 时，有： 驱一v ( p v ) + g ( x , y , z , t ) d v = 丢咖咖 ( 2 - 8 ) 由于是任一单元体。因此，最后得到： 掣冉( p v ) = g ( w ( 2 9 ) 方程( 2 9 ) 即为单相流体的连续性方程。 9 第2 章试井分析理论及方法 2 3 3 状态方程 状态方程是指流体在压缩或膨胀过程中，其所受的压力p 、密度p 、温度r 或其它热力学参数之间的关系。 对于不可压流体，有： d p a p = 0 ( p = 常数) ( 2 1 0 ) 微可压缩流体的压缩性可用类似于胡克( h o o k e ) 定律来描述，即对于承受一 定压力的液体，液体体积的相对变化率与压力变化成正比，即 c ，a p = 一咖1 ， ( 2 1 1 ) 或 c ，a p = d p p ( 2 1 2 ) 对式( 2 。1 2 ) 积分得到 p p = pe x p _ c r ( 所一p ) 1 ( 2 1 3 ) 2 p lc t ，( 所一) j j j 其中： p 液体在压力p i 下的密度( 堙m 3 ) c ，流体压缩系数( 1 m p a ) 2 3 4 液体渗流方程 对各向同性的均质地层，描述多孔介质和流体共同存在时的状态方程： d 牵pf 审p = c td p 其中： c 。一综合压缩系数( 1 m p a ) 假定矽、c 。是常数，g c 。很小，方程( 2 1 4 ) 可近似写成： 咖= 谚辟+ 痧肛c rp - p 。) 由连续性方程得到： 撕。挈+ v ( p v ) = g ( x , y , z , t ) d t 根据达西定律，得到： l o ( 2 1 4 ) ( 2 。1 5 ) ( 2 1 6 ) 第2 章试井分析理论及方法 阳e 瓦d p + v 僻印卜x , y , z , t ) 仁 由于液体的压缩性较小，因而p 可以认为不变，如果假定k 、为常数，则 式( 2 17 ) 变成： v 2 p - 丝g ! 苎! 些熊一# p c , 一d p ( 2 1 8 ) k p kd t 如果研究区域内无源，方程( 2 1 8 ) 可化简成： v 2 p = 警鲁 亿 方程( 2 1 9 ) 是微可压缩流体在多孔介质中所满足的渗流力学方程。很明显， ：d - 程( 2 1 9 ) 是扩散型或热传导方程，其中z = k , u q 称为导压系数。 如果流动是定常的或流体和地层等不可压缩，方程( 2 1 9 ) 变成l a p l a c e 方程： v 2 p = 0 ( 2 2 0 ) 在各向异性介质中，如果取坐标轴x ；与介质的主轴一致，这时渗透率的张量 是对角线型的，于是渗流力学方程可写成： 昙( 疋塞) + 专( 巧考) + 丢( k 考) 一号= 加q 害 c 2 引， 如果鼍、k ，、k ：和都是常数，且在研究区域上无源或汇，令 谚= 蜀k ( i = 1 ，2 ，3 ) ，于是方程( 2 2 1 ) 可写成： 等+ 鬻+ 鬻= 毒鲁 偿2 2 ， 2 4 压力求解方法 通过上述两节，可以看出，试井分析的核心问题在于压力响应的求得，而渗 流问题可以分为稳态渗流和非稳态渗流，稳态渗流是指多孔介质的流场中各个空 问点上的物理量如压力、流速等均与时间无关。稳态渗流理论是研究和发展较早， 对于一维平行流、平面径向流和球形向心流，方程非常简单，其中平面径向可以 用于无限大地层中定产量开采较长时间稳定后的情况。对于均质地层平面稳态渗 第2 章试井分析理论及方法 流，还可以通过建立势函数，利用复变函数理论使问题大为简化。非稳态渗流与 稳念渗流情况相反，在实际问题中一般都是非稳态渗流，因此本文讨论的是非稳 念渗流问题的压力求解方法。 2 4 1 分离变量法 分禺变量法是解线性偏微分方程的一种常用方法，这种方法处理齐次问题或 只有一个边界条件的非齐次问题非常方便；对非齐次边界条件问题，可分解成几 个简单问题进行求解。它先求满足边界条件的特解，然后利用叠加原理给出这些 特解的线性组合，得到定解问题的解，而求解特解常归结为求某些常微分方程边 值问题的特征值、特征函数和范数。同时分离变量法为源函数法求解基本源函数 提供了一个有效的途径。 下面用一个简单的渗流问题说明分离变量法的求解步骤。设区域0 z l 的 一维平行流动。在x = 0 处为第一类边界，在x = l 处为一般的齐次边界。该非稳 态渗流的定解问题如下： 粤：土至o f 任意时刻，( 单位厚度) 介质中流体的质量增量为 d m2 j ：上( 多一p ，) r d o c t r ( 2 3 7 ) 将式( 2 3 5 ) 代人上式得 胁等f 唧 - 上4 z ( t - r ) p 亿3 8 ， 作变量变换，令 1 5 第2 章试井分析理论及方法 ，z 】【f = 一 4 z ( t - r ) ( 2 3 9 ) 土，、d r 2 = 2 z ( t r ) a u 代入式( 2 3 8 ) ，得 8 m = 4 x f k z ae x p ( 一u ) a u = 4 ：f e z 1 ( 2 4 0 ) 定出系数彳= 8 m 4 ：r 眵z 。将其代入式( 2 ，3 5 ) ，得瞬时点源诱导的密度痧为 声c x ，y ，= 尼+ 丽8 me x p i 一羔三二! 掣 c 2 4 - ， 由密度与压力之间的关系p 一辟= 肛c ，( p 一只) 及质量关系8 m = 胪v ，得到 瞬时点源压力p 为 声c x ，y ，r ，= 只+ 南e x p 一羔三二# 掣 c 2 4 2 ， 以上讨论的是瞬时点源解，若点源是在m ( ，) ，) 处从t = 持续注入到 ，= 毛，对单位厚度地层而言体积流量为q ( r ) ，即： 艿y ：半d r ：g ( f ) d r ( 2 - 4 3 ) 称为持续源，其源函数解由瞬时源解对时间f 从ly ：1 r 2 积分给出 m 幽归”赤f 等唧 鼍袋卜9 4 4 ， 上面给出了无限大平面瞬时点源的源函数解，并给出了持续点源作用下的压 力公式，下表给出了简单情况下一维及二维基本瞬时源函数解，使用这些基本瞬 时源函数再利用n e w m a n 乘积法可以构成各种复杂多维情况的源函数。 表2 - 2 基本瞬时源函数 序 地层源 【b p ( r ，f ) 】够双包括d l ，d v , d s ) 备注 号 i无限大平面点源 唧嚆伽 1 6 第2 章试井分析理论及方法 i i 无限人平面直线源 e x p 一簪 序 x w 为井的 位置 i i l 无限人平面条带源 圭 已( 。胆专丢等h + e 矿 。2 亏丢i h ) 2 0 2 为 条带宽度 i v 无限人平面圆周源 4 矿1 i 慨( r r o - j e ) x p ( 警) ，0 为圆周 、| ，径 圆面源 乃扣( 一等胁h 豺 为倒周 v 无限人平面 ( r ) 半径r 圆面源 1 唧卜警 荆”邯fr 万r 。 为圆周 v l 无限火平面 ( r r