（基础数学专业论文）dirichlet级数的增长性.pdf

摘要 本文的第二章研究了全平面收敛的慢增长的有限级随机d i r i c h l e t 级数，在新的级和型 的定义下，得到了其系数，最大模，最大项以及最大项指数之间的关系式第三章研究了在 半平面收敛的b 一值d i r i c h l e t 级数，结合无限级d i r i c h l e t 级数的增长性，将无限级d i r i c h l e t 级数的结果推广了到无限级b 值d i r i c h l e t 级数上，得出了型函数和指数之间的关系式 关键词：随机d i r i c h l e t 级数；级；型；最大模；最大项；型函数；值d i r i c h l e t 级数 ab s t r a c t i nt h i sp 印e r ，c h 印t e rt w di n v e s t i g a t et h er a n d o md i r i c h l e ts e r i 船o f 丘n i t eo r d e ri n t h ep l a n e ，i n t r o d u c i i l gt h em e wd e 丘1 1 i t i o no fo r d e r 觚d 咖e ，0 b t a i nt h er e l a t i o n s h i pb 咖e e n t h ec o e 伍c i e n t 8a n dt h em a x i i n u mm o d l l l u s ，t h em 嬲i n m mt e r m ，a n dt h ei n d e xo fm a 菇m u m t e r md e 缸e db yr a n d o md i r i d d e t8 e r i e so fs l o w 口。毗h c h 印t e rt h r e ei n 、r e s t 蟾a t et h eb 、赳u e d d i r i c b l e t8 e r i e s0 fi n 丘n i t e0 r d e ro nt h eh 排p l a n e ，c o m b 毗t h eg r o w t ho fd i r i c h l e ts e r i 鹤耐t h i n 丘n j t e0 r d e r 僦e n dt h er e s l l l to fd i r i c h l e ts e r i e sw i t hi n 丘n i t e0 r d e rt ot h eb - 、赳u e dd i r i d l l e t 8 e r i e s ，o b t a i l lt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et y p ef u n c t i o na n dt h ei 1 1 d e xd 商n i e db y & 、砌u e d d i r i c h l e ts e r i e s k e y w o r d s ： r a n d o md i r i c h l e t8 e r i 髑；o r d e r ；蛳e ；m a 菇m mm o d u l u s ；m 嬲血：m mt e r m ；咖e f 【l n c t i o n ：b 一d u e dd i r i c h l e ts e r i e s d i r i c h l e t 级数【1 】是形如； 前言 ( 0 1 ) 其中 cc ，0 = a o a 1 k 下+ 。，s = 盯+ 让( 吼t 勿) d i r i c h k t 级数所定义的整函数的值分布是由s m 口竹d e z 6 r 卿，z g e 憎e 礼( 1 9 3 1 ) 【2 ，3 】及 g y o 衙帆( 1 9 3 4 ) 【4 】首先研究的余家荣先生于1 9 8 4 年及1 9 4 9 年先后承g y 口渐伽( 1 9 3 4 ) 及s m 口竹d e z 酚。歹亡先生指导进行了有关研究，并在r e a d p 口f 叼及a z 如m 乱佗d 【5 】的启 发下对随机d i r i c h l e t 级数作了初步探讨z e l 僦f e 伽d d d 及a c 0 ，卯d 【6 1 关于随机t a y l o r 级数所定义的整函数的重要成果也是承g y o 协帆先生于1 9 5 0 年提出的 2 0 世纪7 0 年代，开始了对d i r i 出l e t 级数在收敛半平面内值分布的研究，并受到 z p k n 玩礼e 【7 】及l a r 仃d f d 【8 ，9 ，1 0 ，1 1 】工作的启发，对随机d i r i c h l e t 级数的值分布，作 了进一步的探讨余家荣f 1 2 】先生后来详细讲述了d i r i c h l e t 和随机d i r i c h l e t 级数的函 数性质，包括它们的收敛性，增长性与值分布，并且开始对只在半平面收敛的d i r i 出 l e t 级数的值分布的研究【1 3 1 后来孙道椿 1 4 ，1 5 1 ，高宗升【1 6 | ，刘全升【1 7 】等教授对随机 d i r i c h l e t 级数所定义的随机整函数或半平面内随机解析函数的值分布也了一些显著的 成果b 叮p 历s k ，k 0 p o 计g p 和j 札粥歹0 0 p 1 1 8 】给出了快速增长的整函数关于最大模， 最大项及最大项系数之间的一些等式关系，更加完善了级数的理论 随后k 印d d r g 只，讹t 可口f 【1 9 】定义了关于慢增长的级数的一种特殊的级和型，精确 刻画了慢增长级数的增长性在d i r i c h l e t 级数的增长性上，国内外许多学者都做出了相 当重要的成果，为级数的发展做出了相当大的贡献后来孔荫印教授在此基础上，得 出了慢增长的d i r i c h l e t 级数关于级和型的一些关系式本文的第一章就是将该慢增长 的d i r i c h l e t 级数的结果推广到随机d i r i c h l e t 级数，得出了随机d i r i c h l e t 级数在这种特 殊的级和型的定义下的等量关系 随着级数的不断发展，田范基【2 1 1 教授将d i r i c h l e t 级数推广到了巴拿赫空间上，即 b 一值d i r i c h l e t 级数并且得出了一些类似d i r i c h l e t 级数的性质和定理对于该级数的研 究，还拓展到b 一值随机d i r i c h l e t 级数【2 2 】和b 值双随机d i r i c h l e t 【2 3 】级数文章矧研 究了全平面上有限级b 值d i r i c h l e t 级数的增长性本文的第二章总结了b 一值d i r i c h l e t 级数的一些基本理论，为今后b 值d i r i c h l e t 级数的学习提供了基础依据，研究了在半平 面收敛的无限级b 一值d i r i c h l e t 级数，引进型函数 2 5 ，2 6 1 ，得到了其关于型函数与系数的 关系，进一步完善了b 一值d i r i c h l e t 级数的理论 nc e 佃 l 第一章d i r i c h l e t 级数的增长性 设d i r i c h l e t 级数是( 0 1 ) 所定义的级数，则关于他们的收敛性有如f 的定理 定理1 1 【1 】设级数( 0 1 ) 的收敛，绝对收敛，一致收敛横坐标为叮。，吼，仃d 。则 百掣c r c 吼既亘掣+ 互警 竹_ + o o a n n _ + 一、nn 一十o o 馆 定理1 2 【2 0 】s u p p 。t h a td i r i c h l e t 跎r 妇( o 1 ) s a t i s 鼢j 再云警= d ，j 弹 掣2 一o o ， h a st h eg e n e r a l i z e d0 r d e rp ( 1 ，o o ) t h e n r2 瓦锩轳2 戛煮 定理1 3 【2 6 1 设无限级d i r i d l l e t 级数( o 1 ) 的型函数为u ( ，) ，r = 吾，若 甄鬻 1 n + + 。ol o g a 们 则 蓦晋= 1 兮蓦锴嘶= 争 定理1 4 【2 6 】设无限级d i r i c h l e t 级数( o 1 ) 的型函数为【厂( 7 ) ，r = 吾，若 戛鬻“ n + o ol o g a ” 则 蓦等一。兮磊美貉2 j 第二章随机d i r i c h l e t 级数的增长性 考虑随机d i r i c h l e t 级数 + m ，u ) = ( u ) e 枷， ( o 2 ) n = 1 其中s = 仃+ 记( 吼t 留) ，【o n 是复常数列又) ) 是概率空间( q ，p ) 上的随机变量 序列，o = 入o a 1 k 下+ 。o 若 1 i 訾：d ，百i 业掣：一o o ， ( o 3 ) n _ + 。a 们 n _ + o 。 t l 则级数( o 2 ) 定义了一个全平面上的随机整函数令 m ( 仃，u ) = s u p ( 1 ，( 盯+ 衍，u ) i ；t r ) ，m ( 仃，u ) = m a x ( i - 0 ( u ) i e a n 口，礼n + ) ， 定义2 1 级数( o 2 ) 在全平面的最大项指数定义为( 盯，u ) = m a x k ；( u ) i e h 口= m ( 口，u ) ，n n + ) 定义2 2 设是a 满足下列条件的函数集合： ( i ) h ( z ) 是定义在ko o ) 上的正的，严格递增的，连续可微的，且h ( z ) _ 。扛_ 。) ( i i l 。秽端= 惫( o ，。o ) ， p 芝l ，p + ，则有危( z ) = 七抚嘲z + c ，取c o 这里l n 【o z = z ，1 1 1 【1 】z = l n z ，l n m 。= l i l 囟一1 】1 1 1 z 易证明 。铬_ 1 i 。皇错- 1 ( 0 4 ) 定义2 3 令口( z ) a ，定义级数( o 2 ) 的级为p = j d ( q ；，u ) = 疆毛塑铲，若 p ( o ，+ 。) ，则再定义级数( o 2 ) 的型为 丁刮町川= 磊篙铲= 甄帮， 这里p ( 1 n z ) = a ( z ) 引理2 1 设 ( u ) ) 是概率空间( q ，p ) 上的独立的随机变量序列，如果满足 s u p e i 墨。1 4 何) = 薹刚1 4 一薹号笋骝e i 1 4 薹去 何) = p ( i 1 4 n 2 ) 号磐e i 1 4 嘉 伺= o ， n + + 对u q ，a 8 ，存在1 ( u ) ，当n 1 p ) 时，有i l 何 薹刑i - 1 确薹里乒骝e i | - 1 薹嘉 佗2 ) = o ， n - + + 。 对u q ，a s ，存在她( u ) ，当n ) 时，有i i 嘉，选取p ) = m a x 1 ( u ) ，2 ( u ) ) ， 当礼 ) 时，有 嘉i l 何 引理2 2 若级数( o 2 ) 满足画譬= d ，百型气兰坐盟：一o 。，则 n 一十一n _ + 。 7 燕帮= 磊帮风( 0 ，删 证明：情况( 1 ) ：由( o 3 ) ，v o ，存在整数，当n 时，有 警 d + 三鲫， 即 e 。” ( 去) 南， 由定义2 1 有 ：( + 1 ) m ( 叫) + m ( 口+ d 托u ) 壹( 三) 奄 竹= + 1 k ( ，u ) m ( 仃+ d + e ，u ) ，这里k ( ，u ) 是与，u 有关的正常数，则 燕掣磊 矿1 + 【a 【j 。 一盯一+ ” a ( 1 n k ( ，u ) + l n m ( 盯+ d + ， 陋( 仃+ d + ) 】e u ) )陋( 盯+ d + e ) 】e 3 【q ( 盯) 】e + d 一+ d + k o 卅 + ， o l 一 uko 脚 0 ，( 0 5 ) 推论2 1 【2 0 】设q ( 盯) a ，其反函数为a 一1 ( 仃) ，则 l i m 竺丛三二j 兰芎! = 掣a + l ， a o ，b o ， 口，o o 口【盯j 推论2 2 【2 0 】令p ( 1 n 盯) = 口( 仃) a ，卢( 盯) 的反函数为p 一1 p ) ，则 熙堂瑞铲弛a 啪 帅 1 ， 引理2 4 若级数( o 2 ) 满足条件( o 3 ) ，则 l n m ( 吼u ) = l i l m ( 口，u ) + ( 盯，u ) 缸，口- 。， 证明：令m ( 仃，u ) = i 乩蜀| e ( 叫p ，这里k = ( 以u ) 是满足最大项指数定义的常数，在每 个开区问厶：= ( 吼，吼+ 1 ) 中，满足m 7 ( 仃，u ) = ( 仃，u ) i 蜀i e ( 叫) 盯= ( 盯，u ) m ( 吼u ) ，则 l n 咖+ 1 ，小h ( 驯) = 器拈e + 1 脚肭 l n m ( 吼+ 1 ，u ) 一1 1 1 m ( ，u ) = 三糌防= ( 叽u ) 出， j 吼 、。一， o 吼 对协( 仃l ，+ ) ，存在后，使盯，仃知+ 1 ) ，综合上述等式，有 = 小叫肌霎，脚肛脚 t ，仃k 彳= 1 ，a 了 - ，口1 定理2 1 若级数( o 2 ) 满足条件甄絮= d ，戛必掣= 一o o ， ( u ) ) 是概 率空间( q ，p ) 上的独立的随机变量序列，满足s u pe i 1 4 1 1 。戛掣铲一甄意，p 乩 口叶+ 口i 盯)n 一+ o o ，1 nj ni _ 亡、 2 。百f 埤i 业娑姿业1 i 堕! + 1 ，p ：2 ，3 ”1 十q ( 1 1 1i n 。i 一盍) 矿。+ a ( 盯j n 一十o 。a ( 1 i li o 。l 一寿) 4 ” u 町 仇h 一 乃 mh h 触 十u 吼m h u p mh = p mh u p mh 证明：分两步采证明此定理： 情况( n 当p = 1 ，q ( 盯) = 七l i l 盯+ gc o ，当盯c r 0 时，有 业掣 c ( k ) 万岛一2 d 则 l n l n 川一击c + ；与l n a ( 1 n 川一击) 搿托 于是有 a 一1 1 矿亟查 ”十。口( 1 ni o n i 一焉) 当p = 2 ，3 ，假设a o o 由上面的证明，有 l n m ( 盯，u ) n p l 一2 d + ) 由( 钇) ，当p 充分大时，有a ( 盯一1 2 d ) = ( 1 + d ( 1 ) ) q ( 仃) ，因此 口( 1 ni o 。l 一点) ( 1 + o ( 1 ) ) q ( 盯) = ( 1 + d ( 1 ) ) 六q ( a 。) 】，或 a ：a + 兰蜱( 1 + 。( 1 ) ) 5 a 百竺( 查! ! ； ”。+ a ( 1 nl n 竹i 一意) 当a = 。o 时，上述不等式显然成立 情况( j n 令 百竺( 生! ；：b n 。+ a mi 广专) 假设b o 和所有的佗珊( e ) ，有 些! _ ； b + e ：b a ( 1 nl i _ 意) 或a ( h ) 0 ，当佗 几。时 川 o ，使 入n r l n 扎 或 e 嘉 另外，当口充分大时，存在s 佗o ，使 a s 口一1 b + a ( 叮+ 三) 】入s + 1 ( o 7 ) r 选取盯= 仃( k ) 满足下述等式 盯= a 一1 击a ( k ) 】- 瓯，瓯o 有 n o s” m ( 口，u ) l o 。( u ) i e k 叮+ i n 。( u ) 眇仃+ k ( u ) 眇矿= + a 1 + a 2 a - 佃e 枷。塞，m 型j ) 擂唧t 盯a 1p 卅知n 毫。唧t k n 。c 击m 捌， 擂嘶q 1 脚勃。烹。志 6 一一 = 佰嘶a 1 阢c 口咖n 烹。志 口一1 陋+ 口p + ；) j 则 盯 口一1 【击螂n ) 卜昙 由( o 6 ) 和上述不等式，有 如何。互，唧 一h 口。1 击哪n ) 】) e x p q 一- 【去a ( 】h 一半 n = 占+ 1 u 。侈 。 = 佤一争妻何嘉 0 ，当盯，有 q ( 1 n 仃l ( 盯，u ) ) ( a + ) 口( 盯) 由引理2 4 ，有 q ( q 训( 1 + 。( 1 ) ) q 2 ( 训 a 旺叶2 ( z ) 捌口 1 nm p + 2 ，u ) + + 。( 1 ) ) a ( 吐 7 则 1 i 竺坐缝趔 o ，当盯盯1 ，有 ( 盯，u ) o 使 l n 吣，u ) 乩嘶川= 脚，u ) 打( 盯一a 【- ) q 。1 【( b + ) 巾) 】 由引理2 2 和推论2 1 ，定理证毕 定理2 3 级数( o 2 ) 满足条件( o 3 ) ， 墨。) ) 满足引理2 1 中的条件，且级p ( 1 ，。) ， 则 丁2 甄锩轳2 燕蒜， 证明：分两步来证明些定理 情况( n 由引理2 2 赢帮= 甄帮一 假设7 o ，存在印( e ) o ，当口印，有 磐粪掣 r + ：亍， 旧( 酬p 一一 q 或 l n z ( 口，u ) p p 一1 2 d ) 由( 税) ，当? 充分大时，有卢( 盯一l 一2 d + ) = ( 1 + d ( 1 ) ) p ( 盯) ，因此 陋( 1 1 1l n n 广焘) 】p ( 1 + d ( 1 ) ) 归( 盯) 】p = ( 1 + o ( 1 ) ) 【毒p ( a 。) ，或 f = 丁+ 历器( 1 + 。( 1 ) ) 【p ( 1 ni a 。l 一石) 】p 8 丁 1 孑垒! 查竺2 ； “。+ ” p ( 1 ni n 佗i 一专) 】p 当丁= 。o 时，上述不等式显然成立 情况( j n 令 甄而群希姐 ( 0 8 ) n 。+ o 。归( 1 ni i - 石) 】p 假设b o 和所有的佗伽( ) ，有 壁! 垒堡! ； b + ：b 陋( 1 nl o n i - 石) 】p 或p ( k ) 0 ，当佗 佗。 川 o ，使k r 1 i l 竹，或e k 伽，使 a s 卢一1 b + 【p ( 盯+ 三) 】p ) 入s + 1 ( 1 o ) 有 m ( 吼u ) ( u ) 眇矿+ i ( u ) 眇盯+ i ( u ) 眇仃= a o + a 1 + 如 a 。佤枷壹蚓佤耐盯p - 1 酬p p + 要) h 壹e x p 一k 卢1 击卢( 】；) 】 风咖矿桫麒卅卯。烹。万南 = 话唧仲1 矽帅+ 细n 塞，南 p 一1 b 。眵( 口+ ；) 】p ，则 盯 卢一1 击p ( w 卜；。 由( o 9 ) 和上述不等式，有 o 。 _ a 2 何e x p 一入。p 一1 “击卢( k ) 】锄唧p 一1 【 击p ( k ) 向) e _ 争 ，l = s + 1 一一 相应地， = 何e 一争而去 d 仃= s + 1n = s + 1 ” m ( 盯，u ) ( 1 + d ( 1 ) ) ce ) 【p 盯p 一1 【b 咿( 盯+ 三) 】p ) 则 卢( 1 nm ( 仃，u ) ) ( 1 + d ( 1 ) ) p 盯卢一1 b 【p ( 仃+ 三) p ) 因些，由推论2 2 ，有 磊掣外 口+ 十i d l 仃i l y 定理证毕 1 0 第三章半平面上的无限级b 值d i r i c h l e t 级数 3 1 引言 设b 一值d i r i c h l e t 级数 ，( s ) = k e 以n 8 ( s = 仃+ i t ) ( 1 1 ) 设 k 】cb ，b 是b 姐a c h 空间，满足o 入1 a 2 kt 其中1 1 i l 为b 空间中 的范数若 戛芈= 0 ；甄警_ 0 ( 1 2 ) ，l _ 十 ，、们n _ + o 。 们 则级数( 1 1 ) 的收敛坐标及绝对收敛坐标均是零令 m ( 盯) = s u p 删，p + i t ) i i ；一 o ) 定义2 1 级数，( s ) 在右半平面r e s o 的增长级j d 定义为： p = 蓦堕篙掣o ( 1 3 ) 矿一o + 1 0 9 圭 。 、一。7 若p = + o o ，我们称级数( 1 1 ) 是无限级的 定义2 2 【2 5 】对无限级的级数( 1 1 ) ，引进型函数u ( r ) = r p ( r j ，其中p ( r ) 连续可微，随 单调趋于无穷，且满足 ，墨鬻乩r 丽赫，蓦帮- 1 ( 盯= b 我们称u ( r ) 是级数( 1 1 ) 的型函数，j d ( r ) 为级数( 1 1 ) 的精确级 引理3 1 如果b 一值d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 在s o = 印+ 处收敛，那么 1 ) 地( o ，考) ，在集合 玩= o 内收敛，而且在其中的任何紧集上一致收敛 证：先证1 ) ，把级数( 1 1 ) 改写为 + k e 8 0 e _ h ( 8 ”。) t l = l 1 1 并且令 a 砌= k e k 8 。+ 十k 钾e a 时j 5 。 由文献 1 】中的引理1 1 1 ，对于任意自然数后和住， 七 七一1 k 啊e k 5 = a 叮( e a n + j o 一8 。) 一e h + j + l ( 矗一8 。) + a 让e a 叶k ( 口一) 因此 知七一1 l f k 钾e k 8 | | i f a 力j | | ( e a 计j p s 口) 一e a n 钾十- o 一# 。) i + i j a 塘忙一k + t p 一) j = 1j = 1 由文章 1 】中的引理1 1 2 ，当s 凰时， l ( e 以州。- 8 0 ) - e 以州扣叫d ) ) l 告掣( e 。州p 嘞) _ e 以州p 咱怄去( e p ) - e 以州p 嘶) ) 因为级数( 1 1 ) 在s = s o 处收敛，所以v e o ，j o ，使得 i i a 力0 ，巧n ) 于是由上面两个不等式，v 仡 ，v 克n ，v s 玩都有 七 七一l ， 囔6 州以神 ( e 以州俨- e _ k 卅加毗) 。去+ 1 】( 1 + 去) e 结论1 ) 得证结论2 ) 不难由1 ) 得出 引理3 2 对于b 一值d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 1 ) 如果它在s 0 = 印+ 饥处绝对收敛，那么它在闭半平面庇s 口。上绝对收敛 2 ) 如果它在直线觑s = a r d 上一致收敛，那么它在闭半平面r e 8 之上一致收敛 证：与文章【l 】中的定理1 1 2 的方法类似 引理3 3 设伯竹】- cb ，令d5 甄等 c r c ，有 k 百墼必 因h e k 收敛，故j m o ，使 l l k e a n “i | m z a r d 对于f = + o 。，一o o 显然成立，下面设一o 。 o ， 使得 1 1 6 n i | e a n ( + ) ；n e a n ( d + ) ，m m ) t ，i仇mm i | k e 咄( ：+ d + 3 e ) 恪恻i e 咄( 邶+ 3 c ) e 咄( d + 2 ) ( 丢) 锩 尤= ：n席= ，l 辟= ，l胃= n 由此可见级数( 1 1 ) 在f + d + 3 e 处绝对收敛，由e 的任意性，故证得由条件( 2 ) ，有 c r c = 既= = o ，则级数( 1 1 ) 定义了一个半平面上的b 一值d i r i d 山t 级数 注明关于m ( 盯) 和m ( 口) 的存在性 证：由于级数( 1 1 ) 在闭半平面冗e s a r o ( 协。 o ) 上一致收敛，则对 o ， o ，| o ，当竹 时，对v 8 = 盯+ 行 s i 觑s a r o 】有 故 o ，( s ) i i i i 6 。e h 8 l i + l i k e k 8 i | i i k i i e k + e 则m ( 盯) 被有限项所控制，存在性证得肌( 口) 的存在性显然 定理3 1 设无限级的b 一值d i r i c h l e t 级数( 1 1 ) 的型函数为矿( r ) ，r = 吾，若 甄鬻 o ，| 6 ( o ，1 ) ，当莎( o ，6 ) 时 有 l o g + m ( 盯) ( 1 + 5 ) ( u ( 寺) ) ( 1 5 ) 令 y l 口l o g u p ) l 0 9 2 l o g 矿p ) = 一= 。= 。一 一 r 1 0 9 u ( r ) l 0 9 2 l o g u ( r ) + l o g r m ( 盯) e 而n = 蚓一”x e 埘 口 3 ，使得当死k 时， 有 l o g 礼 ( 1 0 9 佗) 1 + 口1 l o g 礼 ( 1 7 ) 结合( 1 6 ) ，( 1 7 ) ，m ( 盯) t 时，e ( 1 0 9 n ) 口 2 ，于是 脚) a 时，结合( 2 o ) ，( 2 1 ) 有， 1 0 9 + l “e 以一鳊磊专而) m 高吖) 忽- d g j + i i “l il a j + 8 ) = a n ( i ：i i j ；i 毫j ：；j i 熟一口) = 入ni i ；i 吾i i ；三；i i 。 结合( t ) ，( 1 i ) 有l o g m ( 盯) u j + 拓( 吾) 由定理3 3 及的任意性，有 戛锴戛器2 z 另一方面，若 面堕墨曾掣：l o ， l o g 枷6 洲e 以矿l o gm ( 盯) u ( 三) ，( 2 2 ) 且存在子序列 z n p ) 】，使 l o g + o ) i i 卜气南) ( 2 名) 取序列_ 【z 。( p ) ) 使 俨c 扣砥鬻寒一一 结合( 2 2 ) k，g+”6np，“eati(p)盘n(p)i：；_i；i；iiii；：；ii：2；!：illk 兮去s 蔫叶瓦囊雾霸， 删去脚c 鼢u t 南”瓯毫蒿瓣， o 充分小时 l o g 刈圳 ( 1 刊卜3 伊础( 害南) 旷钴( 害尚) 与( 2 3 ) 矛盾 参考文献 【1 】余家荣，丁晓庆，田范基d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数的值分布皿压】武汉大学出 版社，2 0 0 4 2 m a n d e l b r o j t ，s s 6 r i e sa d h 6 r e n t 鹤雕叫砒a t i o 璐d 鹤s u i t e s 蚓俐t 础i 肌s p o r 妇：g a u t h i e r - v m a r s 1 9 5 2 3 】一d i r i c h l e ts e r 慨s e z e d n ，p 口r 话：g a u t h i e r - v i u a 碍，1 9 8 1 【4 】一e n t i e rf u n c t i o 璐a n db o r e l sd i r e c t i o l l s p r 6 c n a t a d s 西u s a ，1 9 3 4 ，2 0 ：2 1 1 2 1 5 5 】p a l e yr ea c ，z y g n u l n da o ns o m e8 e r i e so f f u n 锄n s ( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) p r d c c n 仇6 p 胤s d c ，1 9 3 0 ，2 6 ： 3 3 7 - 3 5 7 ；4 5 8 4 7 4 ；1 9 3 2 ，2 8 ：1 9 m 2 0 5 6 】l i t t l e w o o dje ，o 肋r da c o nt h ed i s t m u t i o n0 fz e r 锄da 广v a l u e so far a n d o m 砒e 口a 1 f u n t i o n a n 凡d ，m 耐危，1 9 4 8 ，4 9 ：8 8 5 - 9 5 2 ；1 9 4 9 ，5 0 ：9 9 0 9 9 1 【7 】k a h a n ej p s o m er a n d o ms e r 硫o ff 毗i o n 8 2 n de d d z ，d r d ：d z ，卯d u 疵u p r e s s ，1 9 8 5 8 a n d e r 8 0 njm ，b i 皿o r ekg c o e m c i e n te d t i m e t 鹤f o rl a c l m a r yp o e r 剃鹤a n dd i r i c h l e t 8 e r i e sia n di i 3 r ds e r b 钍r l 帆d d 扎m 口玩s o c ，1 9 6 8 ，1 8 ：3 6 6 8 9 】a r n o l dl u b e rd i ek o n v e r g e n ze i n e rz u 脚l i g e np o t e n z r e m e j r e i n e 卸伊w m 越 ，1 9 6 6 ，2 2 2 ： 7 9 _ 1 1 2 【1 0 卜k 咖g e n z p r o b l e mb e iz u 俗1 u g e np o t 帆z r e i h em i tl d c k e n a 彳缸 z ，1 9 6 6 ，9 2 ：3 5 昏3 6 5 1 l 卜w 列h t u n e i g e n s c h 疵e nz u 跚l i g e rg a n z e rf u n k t i o n e n ，2 w 础一t h e o r i cw ，e r w g e b i e t e ，1 9 6 6 ，5 ： 3 3 6 - 3 4 7 1 2 】余家荣狄里克莱级数和随机狄里克莱级数 m 】北京：科学出版社，1 9 9 7 【1 3 】余家荣随机狄里克莱级数的一些性质 j 】，数学学报，2 1 ( 1 9 7 8 ) ，9 7 - 1 1 8 【1 4 】孙道椿，余家荣s u rl ad i s t r i b u t i o nd e s 谳e u r sd ec e r t a i n e 88 6 r i e 8a 1 6 a t o i r 锶d ed i r i 出 1 e t ( i i ) j 】，c ，r s c i p a r i s ，3 0 8 ( 1 9 8 9 ) ，s 白i ，2 0 5 2 0 7 【1 5 】孙道椿，余家荣o nt h ed i s t r i b u t i o no fv a l u 髑o fr a j l d o md i r i c h l e ts e r 妇( i ) j 】，l e c t l l r 镪o n c o m p a n a l ，s i i l g a p o r e ，w r o r l ds c i e n t i 丘c ，1 9 8 8 1 6 】高宗升d i r i c h l e t 级数表示的整函数的增长性 j 】，数学学报，1 9 9 7 ，4 4 ：7 4 1 - 7 4 6 17 】刘全升o nt h e 舒。吼ho fs o 玎1 eh y p e r d i r i c h l e ts e r 妇c 胁a 佗n d 厂m 口忱，1 9 8 9 ，s