（应用数学专业论文）具有hardy项和hardysobolev临界指数椭圆方程解的存在性和多重性.pdf

具有h a r d y 项和s o b o l e v - h a r d y 临界指数椭圆方程解 的存在性和多重性+ 学科专业t 应用数学 指导教师t 唐春雷教授 研究方向：非线性分析 研究生；丁凌( $ 2 0 0 4 0 8 0 9 ) 摘要 本论文主要研究一类半线性椭圆方程 卜a u - p 许= 吒笋u + m ，u ) ，zc a o ) iu ( z ) = 0 ， z 鼬 用变分法和一些分析技巧研究其解的存在性和多重性这一类问题带有h a r d y 项和临界 s o b o l e v - h a x d y 指数其中。是r n ( n 3 ) 中的有界光滑区域，0 s 卢 2 ，使得0 p f ( x ，t ) f ( x ，t ) t ，z 孬，r + o ，方程所对应的能 量泛函的( p s ) 序列进行了仔细的讨论。给出了局部紧性结果，进而利用这一结果和山 路引理证明了该方程正解的存在性另外，在一定条件下给出了方程的多重性结果 其次，本文利用了s o b o l e v - h a r d y 临界时的达到函数，e k e l a n d 变分原理和山路引理 证明了如果，满足条件。f c ( 孬胪，r ) ，。婚丛= + m ，。当喾等= o ，。丽 以及，关于第二个变量非减或在适当的范围内非减，则存在一个常数”，当 ( 0 ，”) 时方程两个正解的存在性 最后，把方程推广到p l a p l a c i a n 方程并证明了在一定条件下方程有非平凡解 关键词半线性椭圆方程，h a r d y 项，s o b o l e v o h a r d y 临界指数，解的存在性和 多重性，次临界增长，( p s ) 条件，山路引理 国家自然科学基金资助项目( 批准号t1 0 4 7 1 1 1 3 ) ；教育部高等学校优秀青年教师教学科研奖励计划项 目；西南师范大学博士基金( n os w n u b 2 0 0 5 0 2 1 ) e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s f o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t h h a r d yt e r m sa n ds o b o l e v h a r d yc r i t i c a l e x p o n e n t s l 一 m a j o ria p p l i c a t i o nm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t yl n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o ri p r o lt a n gc h u n - l e i a u t h o ri d i n gl i n g ( $ 2 0 0 4 0 8 0 9 ) a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e sac l a s so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s j 一一p 1 昂= 恒 ；兰“+ a ，( 毛u ) ，z n o iu ( z ) = 0 ， z a n e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n sa r es t u d i e db yt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d sa n d8 0 m e a n a l y s i st e c h n i q u e s t h ea b o v ee q u a t i o n sh a v eh a r d yt e r m sa n dc r i t i c a ls o b o l e v - h a r d y e x p o n e n t s w h e r eni sa uo p e nb o u n d e dd o m a i ni nr 。( 3 ) w i t hs m o o t hb o u n d a r y 触a n d0 n ，0 芦 耳= a 业等2 上，0 掌 0 1 s u p p o s e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ( n o1 0 4 7 1 1 1 3 ) ，b yt h et e a c h m ga n d r e s e a r c ha w a r dp r o g r a mf o ro u t s t a n d i n gy o u n gt e a c h e r s nh i g h e re d u c t i o ni n s t i t u t i o n so fm o e prc h i n aa n db yd o c t o rf o u n d a t i o no fs o u t h w e s tn o r m a lu n i v e r s i t y ( n o s w n u b 2 0 0 5 0 2 1 ) 2 a tl a s t ，w eg e n e r a l i z ee q u a t i o nt op - l a p l a c i a na n dp r o v et h ee x i s t e n c eo fu o n t r i v i a l s o l u t i o n su n d e rs u i t a b l ec o n d i t i o n s k e y w o r d s s e m i l i n e a xe l l i p t i ce q u a t i o n ，h a r d yt e r m s ，s o b o l e v - h a r d yc r i t i c a le x p o - n e n t s ，e x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s ，s u b c r i t i c mg r o w t h ，( p s ) c o n d i t i o n ，t h em o u n - t a i np a s sl e m m a ；e q u a t i o n s 3 独创性声明 学位论文题目：墨萄d 幽亟担d 趟二进垃笾屏e 数致抽 圃耋撞鲤盟查主性墅查瞠： 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西南大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者：丁泛 签字日期：如。1 年彳月五日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院可以将学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：回不保密， 口保密期限至年月止) 。， 位黻懈鲐丁皮锄挠确栉， 签字日期：上研年4 月2 _ 2 日签字日期：钐矿年垆月歹日 茎辖蕈袤r 堂趱型兰苎电毒刖亟五抄 通讯地址： 泣目盐囊燮蓥塾睦空投区 邮编：丝也量 一，前言 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题以证明解的存在性， 解的个数及求近似解的方法，即将研究方程 一u = ，忙，u ) ，“聊( n ) ， 的解转化为分析微分方程所对应的能量泛函z 1， o ( ) = 言- | w 1 2 d x ff ( x ，“) 出， ，i f， 其中f ( x ，t ) = 后，( 毛r ) 打那么微分方程在掰( n ) 上的临界点，就是对任意的” 础( n ) ，使得 ( ( “) ，口) = ，v u v v d r , ：一f ( x ，n ) d = 0 j i j i l 成立的“于是寻找泛函的临界点成为解决问题的关键所在迄今为止，经过许多数学 家的努力的工作，逐渐形成了个解决非线性问题的数学分支学科一变分法 近几十年来，近代变分法( 又称为大范围变分方法) 逐渐完善地发展起来，近代变 分法主要包括极小极大理论和m o r s e 理论这两种理论都是依靠拓扑方法，研究一般 的、未必是极值点的临界点 1 9 7 3 年，a a m b r o s e t t i 和p r a b i n o w i t z ( 1 ) 的山路 引理( m o u n t a i np a s sl e m m a ) 可以说是临界点理论发展史上的一个重要里程碑，随后 的鞍点定理( s a d d l ep o i n tt h e o r e m ) 和环绕定理( l i n k i n gt h e o r e m ) 是对山路引理的进 一步推广这些抽象的定理被广泛用于寻求椭圆问题非平凡解的存在性和多重性以及 h a m p t o n 系统的周期轨道和波的受迫振动等，只要与其相应的e u l e r - l a g r a n g e 泛函满 足紧性性质( 通常称为( p s ) 条件) 但是在一些实际问题的研究中，失去紧性条件的现 象大量存在，诸如有界区域上包括临界s o b o l e v 指数和临界s o b o l e v - h a r d y 指数的半线 性椭圆方程和无界区域上半线性椭圆方程 1 9 8 3 年，b r e z i s 和n i r e n b e r g 的文章【3 l 可以说是临界点理论研究的又一个突破，他们首次选择特殊的山路和能量估计，证明 了如果泛函满足局部的( p 回条件，那么存在个山路型的临界点 本文研究了具有h a r d y 项和s o b o l e v - h a r d y 指数的椭圆方程解的存在性和多重性， 由于嵌入础( n ) 一驴。( n ) ，嘲( n ) 一工2 ( n ，川一2 出) 和础( n ) 一l 2 ( 。( n ，h s 如) 不具 有紧性，于是本人主要采用了文献【3 】3 中满足局部( p s ) 条件的山路引理 考虑如下半线性椭圆方程问题 二文献综述 = - 他 吐：i 掣 2 这里l ( x ，) 满足某些特殊的假设条件，ncr ( n 3 ) 是有界的光滑区域 长期以来，方程( i ) 一直受到人们的广泛关注，其原因是因为许多数学物理问题， 如源于非线性源的非线性扩散理论【4 2 】，热力学中气体燃烧理论【3 1 4 1 】，量子场论和 统计力学【4 1 【6 】【5 5 】以及星系的重力平衡理论 3 1 4 1 1 都于方程( 1 ) 有着极大的渊源而 且，数学内部的许多分支，如几何中的y a m a b e 问题【3 | 和等周不等式 a o l ，调和分析 中的h a r d y - l i t t l e - s o b o l e v 不等式 如】，人e l 动力系统【2 2 1 等问题都与方程( 1 ) 有着深刻 的联系 对于方程( 1 ) 的研究，重点之一是研究其在s o b o l e v 空间础( n ) 中正解及多解的 存在性其研究方法主要是非线性分析中度理论【4 2 】和变分理论【2 1 【4 9 】【5 4 3 ，而且变分 理论被越来越多的实例证明是一种最为有力的工具之一可以参考【1 2 3 1 1 2 2 1 1 2 5 】 4 9 】及 后面所列的文献其具体过程为，当，( 毛t ) 对( z ，f ) 满足连续性条件，对t 满足某些增 长性条件即当i t i 一+ 有 ，( z ，t ) = d ( 一1 ) ，孬，( 2 ) 这里，1 z 2 ( 8 ) ：= 1 5 茅( o s 2 ) ，寻求方程( 1 ) 在珊( n ) 中非平凡解等价于寻 求下列变分泛函的非零的l l 缶= 界点 1 1 ( “) 2 ；厶刚2 如- f ( z , u ) d x ，u 扁( n ) ， 这里f ( 毛u ) = 如f ( x ，r ) d r 为了寻求l l ( u ) 在础( n ) 中的非零的i l 缶= 界点，一种典型的方法是按照p a l a i s - s m a l e 的方法【4 7 】进行如下过程； ( i ) 利用 ( u ) 的几何结构导出p a l a i s - s m a l e 序列( 简称( p s ) 序列) t ，l 怒l ，即：当 n _ o 。时， ( ) 一c ，正( ) 一0 ( i i ) 证明( p s ) 序列 t ，i ) 怒l 收敛 如果每一个( p s ) 序列在某一个水平c 收敛，我们称，( “) 满足( p s ) 条件 在( 2 ) 中如果f 2 ，我们称f ( x ，t ) 为次临界增长这时，由于嵌入础( n ) 一( n ) 是紧的，1 1 ( u 。) 的任何( p s ) 序列满足( p s ) 条件，因此任何( p s ) 序列都收敛到方程 ( 1 ) 的一个解这一方面著名的工作是 2 1 1 4 0 ，也可参阅p l l i o n s 的综述文献 4 2 1 在( 2 ) 中如果f - 2 ，我们称，( z ，t ) 为临界增长，这时嵌入础( n ) 一驴( q ) 的非 紧性使得泛函1 1 ( u ) 的( p s ) 序列可以不满足( p s ) 条件，因而问题变得复杂得多克 服这种。失紧”困难的经典方法源于h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 的著名文章 3 1 在【3 1 中 h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 首先证明了如果c 斋s 譬，( 这里s 是最佳s o b o l e v 常数) ，则 此( p s ) 序列满足( p s ) 条件，这时泛函i i ( u ) 存在非零的临界点，然后通过r 中最佳 3 常数s 的达到函数证明了满足条件c 斋s 譬的( p s ) 序列是存在的 1 9 8 4 年，pl l i o n s 给出了著名的集中紧性原理f 4 3 4 4 4 5 4 6 ，这一原理对更为广泛的椭圆方程( 包 括p - l a p l a c i a n 方程) 给出了其对应的能量泛函满足( p s ) 条件的充分条件同年，经过 对( p s ) 序列的仔细分析之后，m s t r u w e 5 3 】获得了比集中紧性更强的结果，即( p s ) 序列的全局紧性结果该结果不但给出了( p s ) 序列失紧的原因，而且对失紧序列的 能量分布和序列的渐进行为也作出了深刻的刻划次后，近二十年来，依据他们的方 法( 山路引理和集中紧性) ，对临界增长的椭圆方程，包括d i r i c h l e t 边界条件，n e u m a n n 边界条件，混合边界条件，以及正解，变号解，无穷多个解的存在性。无论是在有界区 域还是无界区域，都出现了精彩的结果此方面的结果可查阅【2 】，【3 】，1 5 】，【9 】，【1 3 l ，【1 4 ， 【1 5 】， 1 9 1 ，【2 4 】，【2 6 】， 4 s 】，【5 2 】和【5 8 1 考虑问题( 1 ) 的另外种情形，即如下的带有临界h ”d y 和s o b o l e v 指数的半线 性椭圆方程问题 j 一“一p 嚣仁= i u l 2 一2 “+ a u ，z n o ) ，叭 1u = o ，一 舶， p 7 这里n 是r n ( n 3 ) 中包含原点的有界的光滑区域，0 p 0 近几年来，形如( 3 ) 的方程引起了人们的广泛关注，如吲，【2 2 l ，【2 3 j ，f 2 7 j ，( 3 2 l ，【5 l j 等在文献【3 2 】中，e j a n n e l l i 通过变分法，证明了如果p 面一1 ，则对任意a ( 0 ， l ( p ) ) ， 在础( n ) 中方程( 3 ) 至少存在一个正解；如果万一1 弘 0 ，使 得当a ( k ( p ) ，a l ( p ) ) 时，在琊( n ) 中方程( 3 ) 至少存在个正解这里k ( p ) ，a 1 ( p ) 是仅依赖于p 的常数其主要方法正是h b r e z i s 和l n i r e n b e r g 所给出的经典方法 同样利用这种方法， a f e r r e r o 和f g a z z o l a 在【2 3 】中研究了方程( 3 ) 在 属于 更大范围时解的存在性，1 e k e l a n d ，n g h o u s s o u b 2 2 】和n g h o u s s o u b ，c y u a n 2 z l 也给出了另一类奇异系数椭圆问题的正解及变号解的存在性结果，还有一些结果参阅 【8 j 1 0 j f l l j f l 2 j 【1 6 j 【1 7 j 【1 8 j 2 3 j 【2 5 i 2 9 】c 3 4 i 【5 l j 等等白此以后，人们在 2 7 l 后就把方程由( 3 ) 的s o b o l e v 临界指数推广到含s o b o l e v - h a r d y 临界指数以及对后面的a u 给出了很多另 外的形式，此方面的结果可查阅【7 】【2 7 】【2 8 】【3 2 1 【3 3 】【3 4 】【3 5 1 【3 6 】【3 7 1 【5 7 】【5 6 1 但是人们对方程 既具有h a r d y 项，又具有s o b o l e v - h a x d y 临界指数和一般形式，( 甄t ) 的解的存在性和 多重性研究的很少 显然，p 0 的情形比p = 0 时更为复杂，因为当p = 0 时，方程( 3 ) 所对应的极 限方程既具有平移不变性，又具有伸缩不变性，而当p 0 时，方程( 3 ) 所对应的极限 方程只有伸缩不变性在某种意义下，只有伸缩不变性的情形更困难一些 本文主要研究比方程( 3 ) 更为一般的带有h a r d y 项，s o b o l e v - h a r d y 临界指数项及 4 一般项，( z ，t ) 的半线性椭圆问题 - a u - p 许= 吒芋u + a m ，u ) ，z n 0 ，f 4 1 【= 0 ， z 勰， 、 这里f 2 是r ”( 23 ) 中包含原点的有界的光滑区域，0ss 2 ，2 ( s ) = ! g ；茅是 s o b o l e v h a r d y 临界指数，当s = 0 ，f ( x ，t ) = t 时，( 4 ) 就变为( 3 ) 具体地讲，我们主要 讨论给定了适当范围的“s ，a 及满足一定条件，( 墨t ) ，方程解的存在性与多重性 与，i = 0 ，8 = 0 不同的是，当肛，s 0 时，不但嵌入础( n ) 一l 2 ( n ) 础( n ) 一 l 2 ( n ，- 2 如) 和础( n ) 一l 2 ( ( n ，一- d 2 ) 不具有紧性而且上面这些方程的解在z = 0 处具有奇性，我们在选择特殊的山路和能量估计证明泛函满足局部( p s ) 条件的同时 需要克服解的奇异性所带来的困难，来得到方程解的存在性结果 肛| f = v u l 2 - 卢品) 矿 i i t l i ，= u 9 如) 5 训啦一i n f n 。，两磊1 1 1 , 1 1 2 产， 嘶) - 意鬻昂v - 2 。 蚓疖一厕l + 川r ) 一“一啼= l u l 2 ( j 。) - 2 u ，z r o ) g ：f 型生磐型) 啊，嘶) ：掣 、肛l o 定义截断函数妒c 富。( n ) 使得妒( z ) = 1 ，h r ；_ p ( z ) = 0 ，2 r ，0 s 妒( z ) 1 ， 这里岛r ( o ) cn 令( z ) = 妒( z ) 昵( z ) ，( z ) = 。( z ) ( 如i u 。i 2 ( s i z i s 如) 1 7 2 。“，则有 ，nk 1 2 ( 5 ) 一5 出= 1 我们可以用文献1 2 7 1 中类似的方法得到如下的结论； 和 a p 一+ q 二筝暑s i i 1 1 2 a 。+ c s 筹，( 6 ) i 岛e 琶9 曼，n l v , 1 4 如s q 5 磐4 ，1 g 刁为再， 仍e 髦4 1 1 n 型如- 出a s 鬯e ! 口= 而为薜， 【鼯黼鲥帕鲰黼，亲0 2 【岛【扣，面一如k l 锻f s a ( 2 - ”诈，盈宰等言= 口( 。 还可得到 ni v e l 7 c 5 ( 2 a p ，。) 鹊，s o + ( 8 ) 悟嚣翳盖i 篡：魄n - s q 小 1 监业= ! ；：业q芷亘【苎= ! ；盐丑 、叫 l 岛( 弘。】耳一“ ，n1 吨j 9 h 叫出仍s ( 2 叫j 瓶，z 干z = 2 + ( 3 ) ， 在本文中我们就利用这些达到函数来研究方程当s o b o l e v - h a x d y 临界时解的情况 在整篇文章中我们始终有f ( x ，0 ) ；0 而当 0 时，显然f ( x ，) 的值对下面的定 理l ，3 ，4 ，5 ，6 没有影响我们不妨定义 ，扛，) = 0 当z n ，so f 为了证明正解的存在性，我们先考虑下面的问题 也一喑= 咩等川f ( x ，, d , - i - n 叭斜川班吣e 抛0 0 ) 的非平凡解的存在性问题( 1 0 ) 相应的能量泛函为 m ) = ；正( 陬h 2 砰u 2 ) 如一丽1 上譬如一- 上脚恤，“咄n ) 四、 主要结果 4 1 具有h a r d y 项和s o b o l e v h a r d y 临界指数半线性椭圆方程解的存在性和 多重性 6 定理1 1 2 0 l 假定n 3 ，0 sp _ ，0 s 2 ，使得0 p f ( z ，t ) f ( x ，t ) t 对任意的z 克，t r + o 成立 假定 a x 。，而n 而，学 ( 1 1 ) 则问题( 4 ) 至少有一个正解 推论1假定n 4 ，0 p 蔓耳一1 ，0 s 2 ，a = i 假定( ，1 ) 和( f 2 ) 成立则问 题( 1 ) 至少有一个正解 定理2 1 2 0 假定n 23 ，0 肛 耳，0 s 2 ，使得对任意z 孬和t r ( o ，都有0 p f ( x ，t ) f ( x ，t ) t 设( 1 1 ) 成立则问题( 4 ) 至少有两个非平凡解 推论2 设n 24 ，0 p 芦一1 ，0 s 2 ，a = 1 假定( ，3 ) 和( ，4 ) 成立则问题 ( 4 ) 至少有两个非平凡解 注记1定理1 推广了【3 6 1 中的定理1 1 ，【3 f i j 中作者只研究了当f ( z ，t ) = a l t l a 一2 t 且r o 0 且7 0 l o 2 + 4 2 具有h a r d y 项和s o b o l e v - h a r d y 临界指数的半线性椭圆方程正解的存在 性和多重性 定理3 假定n 3 ，0 兰p 面一1 ，0 s 0 ，当a ( o ，”) ，问题( 4 ) 至少有一个正解 定理4 假定n 3 ，0 j 芦一1 ，0 s 0 ，当a ( 0 ，r ) ，问题( 4 ) 至少有两个正解 注记2 定理4 推广了【1 1 1 中的定理1 3 【1 1 】中作者只研究了当s = 0 ，f ( x ，f ) = 一 且0 q 1 以及n 3 ，0 p 芦一l 的特殊情况注意到，( z ，t ) = t q 且0 q 0 ，0 s 叩 1 ，1 扩 2 + ( s ) 一1 定理5 假定n 3 ，0s p d 在孬一致地成立， 这里f ( 。，t ) = 露f ( x ，r ) 打， ( ，8 ) 存在一个常数p 0 使得，：n 【o ，纠一r 关于第二个变量非减 则存在” 0 ，当a ( o ，”) ，问题( 4 ) 至少有两个正解 注记3 定理5 推广了文献( 5 6 】中的定理1 1 ，在文献【5 6 中作者只研究了8 = 0 且p = 0 的特殊情况 4 3 具有h a r d y 项和s o b o l e v - h a r d y 临界指数p - l a p l a c i a n 方程解的存在性 和多重性 定理o 2 1 1 设n 3 ，1 p 0 ，z n o ， ( 1 4 ) iu = 0 茁 ，q ， 注记4 定理6 推广了文献【2 4 1 定理3 2 ， 2 4 中定理3 2 只研究了特殊情况p = 0 ， = 1 ，s = 0 ，( z ，t ) = i t i q 一2 t 且p g 矿和1 0 ，p m e t 如 p + ( s ) 定理7 1 2 1 】假定n 3 ，0 p 瓦f l c 彤是具有光滑边界的有界区域，如果( 1 2 ) ， ( 1 3 ) 成立假定 。哥掣= o ，i j 骢参器= 。在z e 矗一致地成立 则问题( 1 4 ) 至少有两个非平凡的解 注记5 在问题( 1 4 ) 中，因为f ( x ，) 在零点是超线性的，实参数a 一+ o 。在能量 估计中起了很重要的作用，它不同与文献【1 1 】中，( 。，t ) 在零点是超线性的但参数a 是 有界的并且因为a 一+ o o ，使得在定理6 的证明中不需要在证明局部的( p s ) 条件 五，主要结果的 证 明 引理1假定n 3 ，0 p - 0 s 2 ，a = 1 假定( ，1 ) 和( ，2 ) 成立对任意 的c e ( 。，茹南孝) ，则，满足( p s ) 条件 证明假定 在n o c n ) 是一个( p s ) 序列由) ，我们有 c + l + 。( 1 ) 1 1 “。i i j ( ) 一；( ，( “。) ，t h ) = ( i 1 一跏训2 + ( ；一雨1 ) o 譬如 一上( f ( 以“。) 一；，( ) ) 出 ( ；一跏u 洲2 ， 9 u - - , u 豢= fl ，( f t ) ， t ) t ls ( ) + 丽1 胛，( z ，t ) 而( o ，佃) 取6 = 南，当e c n ，m e s e j ，得到 l r e - f ( z ，砖) 如i 上l ，( 霸砖) 脚 s l e a ( s ) 如+ 丽1e 上i t t i l 2 如 a ( e ) m e s e + 去5 a 四此 j nf ( x ，“：) 如，n n ，是寻度绝盯连j 实明，田v i t a u 收敛足理1 5 0j 易让 f n ( 霸砖) 如一上，( z ，u + ) u d x ，n o 。 用同样的方法推出 正m ，u + ) d x i n f ( 叩+ ) 如n o o 令v n = u n 一“，因为，( ) 一0 在( 础( n ) ) ，得到 洲2 一上譬出一五m 磁) 如- 0 ( 1 ) 根据b r e z i s - l i e b 引理【4 】和( 1 5 ) ，我们推出 2 州卜上警出一上华如一z m ，洫训， 和 u m 以吣扣1 1 训2 一上喾如一ff ( x , u + ) 讹扎 由( 1 8 ) 得到 m ，= ( ；一高) 上譬如+ ：二m “如一上m ，“肚 ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 从( ，2 ) 推出 i ( u ) 0 因为，( t ，i ) 一c ( n o o ) ，b r e z i s - l i e b 引理f 4 】和( 1 6 ) ，推出 地) = 扣n 扣卜高二掣出 一南上华出一二脚恤俐2 ( j ) j o 。一如一7 刈u ) + 融1 2 - 高上警如+ d ( ) = c + d ( 1 ) 凼们硐 m 呻训2 一高上譬如= c - i - o 根据( 1 7 ) 和( i s ) ，得到 2 一上譬如= d ( 1 ) ， 则当n o o 有i h 0 2 0 另外，存在一个子列仍记为v n ，使得 l i r a i l v n l l 2 砘拽上譬如：h ， 这里h 是一个正常数由( 5 ) 推出 2 地。池华) 南对憾一触 则l a “， f 裔，i e ，l ( ，) 酱，它与( 2 0 ) ( 2 1 ) 表明了 m ) - c 一扣1 + 去呸c 一赫a 荸 。， 这与( 1 9 ) 矛盾因而推出 一 i l 0 2 0 当n o o ， 这就证明了当n o o 时一u 在础( n ) 从匕面的讨论知i 满足( p s ) 条件 ( 1 9 ) ( 2 0 ) ( 2 1 ) 引理2假定0sp u p o g ( o 在某个“ o 可以 达到因为 o = m ) = t o i v i 1 2 _ t 掣一一丢上胞t e v e ) v e d z ) ， 我们有 1 1 1 1 2 = t 。2 + 去厶m ，t e v c ) v e d z2 t 掣 吒j i l 因此得到 如s 1 1 9 5 弗垒露 根据( ) ，易证 i ，( z ，t ) is - i - d ( e ) t ，d ( e ) 0 因此 1 1 1 1 2 t = 2 ( , ) - 2 + e l i k l 2 4 2 如+ d 忙) 上i 1 2 如 从( 1 6 ) 一( 1 8 ) 得到当充分小时有 掣4 等 ( 2 2 ) 另一方面，由( 1 6 ) 我们断言 掣sa 荸+ 6 9 ：商j r - 2 ( 2 3 ) 为了证明这个结论，我门首先证明下列不等式一 ( o + 6 ) o + ( 口+ 1 ) a - 1 6 ，口 0 ，0 sb 1 ，a 1 ( 2 4 ) 事实上，令 h i ( 功= ( 口- i - z ) 一口一a 扣+ 1 ) a - i z ，a 0 ，0 z 1 ，1 显然，m ( 功 黼 选s 充分小，我们得到 。 s 。u pi c t v r ) = g ( t 小寿南a 可 定理1 的证明 令x = n j ( n ) 从h a r d y 和s o b o l e v - h a r d y 不等式，易得t i i 刍- 0 使得i i ( z ，t ) l 6 1 ； 对任意e 0 ，存在o 南 6 l ，使得i f c z ，t ) l 酣其中0 0 使得1 0 , ) 卢对任意的u a 毋= u 嘲( n ) ，l = r ) ，这里r 0 充 分小根据引理2 存在u 0 础( n ) ，t o 0 ，使得 s 伽u p ( 0 使得l l t o u o l i r 和r ( t o t o ) 0 应用1 4 9 1 中的山路引理存在序列f t f i ，c x 满足 j ( t i ，1 ) 一c 卢和r ( ) 一0 ， 这里 ”i n fm 删o xm ( 魄 r = t ( ( o ，1 】，x ) l h ( 0 ) = 0 ， ( 1 ) = t o t o 注意到 o 口一枷i n f m a x l m m ) s 鼢m “u o ) 0 使得i f ( z ，) i 如，t ( 0 ，如】， 对任意的z 而 0 因而 + 2 ( 0 ) 帅t ) l + 赤研 对任意的t r 和对z 孬 o ) 再由( 3 4 ) ，得 m ，= 扣卜赤二譬如一a 上即，u + ) d x ；0 训1 2 一c l z l l u l l 2 ( 。) 一a i n f ， 对任意的a ( o ，1 】和某个c 1 3 = 希，故存在p 0 和”( o ，l 】使得 j ( u ) 0 ，l i 1 i = p 和j ( u ) 一a 4 ，l l u l l p 对0 a 0 使得 i f ( z ，t ) i t m 3 m i i t l 以 因此 附呦= 扣酽一岩上簧孚如一a 上脚如 勃酬z i a 尬挑i i 批( n ) = 翱u 3 1 1 2 o ， 其中0 a ”和0 r m i n p ，a 4 l l u j - i i 。 因此存在“充分小使得，( “) 0 则 i ! 一，( u ) 0 0 ，当0 0 定理得证 问题( 4 ) 的正解坝在定理3 中已获得，我们用平移的方法得到第二个正解如【2 j 2 中一样固定a ( o ，”) ，问题( 4 ) 第二个正解的形式如“= “ + 口，这里 0 在叭 0 关于”的相应的方程为 定义 - ”一【许= 学一簪+ a m ，u 。+ v ) 一a m ，“。) ，z 叭 0 ， i = 0 ， z 舰 ( 2 9 ) 柑) ：咩一簪+ 枷m + c ) 叫( 刚a ，( 3 0 ) 10，t o 在o 这里“= h - i - t j 是( 4 ) 的正解且“ 我们将用反证 法证明( 4 ) 的正解的存在性假定 = 0 是j 在础( 1 ) 上的唯一临界点 引理3 ”= 0 是t ，在础( n ) 的局部极小 证明对任意”础( n ) ，写”= 一一”一由j 的表达式直接计算，得 j f f ) = ；l i 一1 1 2 + j ( u + + ) 一j ( “ ) ( 3 1 ) 因为姒是j 在础( n ) 的局部极小，有 ，( ) 如v - 1 1 2 当且仅当i i v l f r 对s 任意小 引理4 假定，满足( ，5 ) ，( ，6 ) 如果 = 0 是，唯