（流体力学专业论文）康托洛维奇方法的杂交推广及其在连续介质力学中的应用.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 本文的研究对象为求数理方程高精度近似解析解的新方法及其对力学的应 用，主要包含对康托洛维奇方法的三种改进形式。 1 ) 康托洛维奇法的改进法i ：在经典的康托洛维奇方法的基础上，吸收里 茨法优点，建立了一种新的改进方法一康托洛维奇里茨杂交法。此改进法的 主要思想是在设定的近似函数里加入自由参数，从而消除了近似函数单方向选 定的盲目性，增加了人的主观能动性；同时采用逐项求解待定函数，避免了求 解高阶微分方程或者微分方程组：通过求解p o i s s o n 方程对本文方法进行了数值 验证，突出了此改进法的优越性。 2 ) 康托洛维奇法的改进法i i ：在前一种改进法的基础上，提出了第二种改 进法。两种改进法的区别在于康托洛维奇里茨杂交法是从一个方向加入自由参 数求解，而改进法i i 则交替地从两个方向加入自由参数求解。计算结果表明， 第二种改进法的精确度更高，计算结果与精确解吻合得更好。 3 ) 康托洛维奇法的改进法i l h 结合g a l e r k i n 方法从控制方程直接出发求解 的思想，利用康托洛维奇里茨杂交法和康托洛维奇方法分别求解非线性的偏微 分方程，主要以粘性流体的模型方程b u r g e r s 方程为例进行了数值求解，与康 托洛维奇方法相比，康托洛维奇里茨杂交法精确度更高；与其他一些差分方法 相比，本文改进法精度虽不如某些差分方法，但是本文方法计算简单，大大减 少了计算量，特别是它能给出形式比较简单且便于用于构造更复杂问题的解析 模型的封闭解析近似解，例如，可用于构造有限单元内部的解析近似解。 关键词：康托洛维奇方法，待定函数，自由参数，变分方法，b u r g e r s 方程 v i 上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n tt h e s i sc o l l c l m l r a t e so nt h er e s e a r c ho nn e wh i g h p r e c i s i o n a p p r o x i m a t ea n a l y t i c a l s o l u t i o nm e t h o d sf o rm a t h e m a t i c a le q u a t i o n sa n di t s a p p l i c a t i o n si nm e c h a n i c s i tc o n s i s t s o ft h r e en e wa m e l i o r a t i v ek a n t o r o v i c h m e t h o d s 1 1a m e l i o r a t i v ek a n t o r o v i c hm e t h o di ：an e wh y b r i dm e t h o di sp r o p o s e db y c o m b i n i n gt h ec l a s s i c a lk a n t o r o v i c ha n dr i t zm e t h o d s t a k i n gt h et w o - d i m e u s i o n a l p r o b l e mf o re x a m p l e ，ap r e s c r i b e ds e r i e se x p a n s i o ni sc h o s e nt oa p p r o x i m a t et h e s o l u t i o na l o n go n ea x i si nt h ee l a s s i c a lk a n t o r o v i c hm e t h o d 1 e a v i n gt h eo t h e ro n e d e t e r m i n e db yt h es p e c i f i cf e a t u r eo f t h ep r o b l e mt os o l v e t a k i n gt h ea d v a n t a g e so f t h er i t zm e t h o d , w ea d df l e ep a r a m e t e r si n t ot h ep r e s c r i b e dp a r to f t h ea p p r o x i m a t e f u n c t i o n , w h i c hi sas i g n i f i c a n ti m p r o v e m e n tt ot h ec l a s s i c a lk a n t o r o v i c hm e t h o d a sar e s u l t , t h ea c c u r a c yi s g r e a t l yi m p r o v e d i nt h et r a d i t i o n a lk a n t o r o v i c h a p p r o a c h , ah i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ram o r ec o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s e th a st ob es o l v e d i nc o n t r a s t , t h i si sc i r c u m v e n t e di nt h i sn e wm e t h o dt h r o u g ha s e q u e n t i a le a l c u l a t i o np r o c e s s a san u m e r i c a lt e s t , t h ep o i s s o ne q u a t i o nh a sb e e n s o l v e d , a n dt h er e s u l t sj u s t i f yt h ea d v a n t a g eo ft h en e wm e t h o do v e rt h et r a d i t i o n a l k a n t o r o v i c hm e t h o d 。 2 ) a m e l i o r a t i v ek a n t o r o v i c hm e t h o di i ：a n o t h e rm o d i f i e dk a n t o r o v i c hm e t h o d b a s e do nt h ef i r s to n ei sp r o p o s e d t h ed i f i e r e n c eb e t w e e nt h et w oi m p r o v e d m e t h o d si st h a t f r e ep a r a m e t e r sa r ea d d e di n t ot h ea p p r o x i m a t ef u n c t i o ni no n e d i r e c t i o ni nt h ek a n t o r o v i c h - r i t zm e t h o d b yc o n t r a s t , f r e ep a r a m e t e r sa r ea d d e di n t w od i r e c t i o n si nt h es e c o n di m p r o v e dm e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t sa g r e ew e l lw i t l lt h e a n a l y t i c a ls o l u t i o na n ds h o wt h a tt h et w om o d i f i e dm e t h o d sc a l li m p r o v et h e p r e c i s i o n h i g h e ra c c u r a c yc a nb eo b t a i n e du s i n gt h es e c o n di m p r o v e dk a n t o r o v i c h m e t h o d 3 ) a m e l i o r a t i v ek a n t o r o v i c bm e t h o d ：1 kt h i r da m e l i o r a t i v ek a n t o m v i c h m e t h o di sp r o p o s e db yc o m b i n i n gt h ek a n t o r o v i e h - r i t za n dg a l e r k i nm e t h o d s t h e n o n l i n e a rp a r t i a ld i f i e r e m i a l e q u a t i o n i s s o l v e d ，r e s p e c t i v e l y , b yu s i n gt h e k a n t o r o v i c h - r i t za n dt h ec l a s s i c a lk a n t o r o v i c hm c t h o 凼a so n eo f t h ev i s c o u sf l u i d m o d e le q u a t i o n s ，b u r g e r se q u a t i o nh a sb e e ns o l v e du s i n gt h ea b o v et w om e t h o d s n 地k a n t o r o v i c h - r i t zm e t h o dc a i lo b t a i nh i g h e rp r e c i s i o nt h a nt h ek a n t o r o v i c h m e t h o d 1 1 1 ek a n t o r o v i c h - r i t zm e t h o dc a n n o to b t a i nh i 【g h e rp r e c i s i o nt h a no t h e r d i f f e r e n c em e t h o d s n e v e r t h e l e s s i ti sm u c hs i m p l ea n dc a ns i g n i f i c a n t l yd e c r e a s e t h ew o r kl o a di nc a l c n l a t i o n p a r t i c u l a r l y , i th a ss i m p l ee x p r e s s i o na n de a r lb eu s e dt o c o n s t r u c tc l o s e da n a l y t i c a l a p p r o x i m a t es o l t i t i o n s f o r t h ea n a l y t i c a lm o d e lo f c o m p l e xp r o b l e m s f o re x a m p l e ，i tc a nb eu s e dt o c o n s t r u c tt h ea n a l y t i c a l a p p r o x i m a t es o l u t i o nw i t h i naf i n i t ee l e m e n t i 上海大学硕士学位论文 k e y w o r d s ：k a n t o r o v i e hm e t h o d ，u n d e t e r m i n e df u n c t i o n , f r e ep a r a m e t e r , v a r i a t i o n a l a p p r o a c h , b u r g e r se q u a t i o n v i i l 上海大学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他入已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：塞：重堡：日期：2 固3 3 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：二鍪纽导师签名：妞日期：竺；乒i _ 乙j i 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 变分法及变分直接解法 1 1 1 变分法 变分法的诞生要追溯到1 6 9 6 年，约翰伯努利( j o h nb e r n o u l l i ，1 6 6 7 1 7 4 8 ) 向全欧 洲数学家挑战，提出一个难题：“设在垂直平面内有任意两点，一个质点受地心引力 的作用，自较高点下滑至较低点，不计摩擦，问沿着什么曲线下滑，时间最短”， 即著名的“最速降线”问题( t h eb r a c h i s t o c h r o n ep r o b l e m ) 。它的难处在于和普通的 极大极小值求法不同，它是要求出一个未知函数( 曲线) 来满足所给的条件。这个问 题的新颖和别出心裁引起了很大兴趣，罗比塔( g u i u a u m ef r a n c o i sa n t o n i ed e l h o s p i t a l ，1 6 6 1 1 7 0 4 ) ，雅可比，伯努利( j a c o bb e r n o u l l i ，1 6 5 4 1 7 0 5 ) ，莱布尼茨( g o u f r i e d w i l h e l m l e i b n i t z , 1 6 4 6 - 1 7 1 6 ) 和牛顿( i s a a c n e w t o n , 1 6 4 2 - - 1 7 2 7 ) 都得到了解答。约翰的 解法比较漂亮，而雅可比的解法虽然麻烦与费劲，却更为一般化。后来欧拉( e u l e r i 舢h a r d ，1 7 0 7 1 7 8 3 ) 和拉格朗e l ( l a g r a n g ej o s e p hl o u i s ，1 7 3 6 1 8 1 3 ) 发明了这一类问 题的普遍解法，从而确立了数学的一个新分支变分学。 变分原理是以求泛函极值的特殊数学形式表述的物理定律。数学物理问题中存 在着大量变分原理。物理学中最早发现的变分原理是f e r m a t 于1 6 5 7 年提出的“光 线沿着最短的路径传播”的f e r m a t 原理，力学中著名的变分原理有“l a 9 1 a n g e 最 小作用量原理”，“最小势能原理”，“最小余能原理”等。如果获得了一个数学物理 闯题的变分原理，则可以借助予变分法求解。在自然科学中，变分法的应用极为广 泛。一方面，变分法常被用来推导描述自然现象的控制微分方程；另一方面，物理 和力学中的各种变分原理的发展使变分法本身已成为某些学科理论的组成部分。二 十世纪初开创的变分法的直接解法是近似计算的有效方法，在此基础上的进一步发 展，又形成了新的更加通用和有效的数值方法有限元方法。有限元方法的数学 基础之一就是变分法。 上海大学硕士学位论文 1 1 2 变分直接解法 1 9 0 8 年，里茨( 础访提出了直接从泛函求相应偏微分方程近似解的简单而有效 的方法，称为里茨变分近似法( 通称里茨法) 。几乎同时，瑞莱( r a y l e i g h ) 也从力学 方面提出了同样的方法。里茨法开创了弹性力学利用变分直接求解诸问题的近似解 法。这种近似解法对求整体量( 例如扭转刚度，振频等) 有较高准确性，但对局部 量( 如应力分布) 则精度差，然而此方法使用方便从而大大促进了弹性理论在工程 上的推广使用。但是里茨法在应用上受到较大限制，首先，如果有一问题，它的微 分方程已知，泛函却不知道，那么里茨法就在使用上遇到了困难；另外，如果求解 域形状复杂或边界条件复杂，则很难，甚至无法构造出适当的近似解的坐标函数。 1 9 1 5 年，伽辽金( g a l e r k i n ) 提出了在应用上更为一般和通用的解边值问题的方 法，此方法可以使我们直接利用微分方程而不需要有一个泛函存在，不局限于求解 与变分有关的问题。所以此方法比里茨法的应用更为普遍。 里茨法和伽辽金法的一个最大的缺点就是所得的结果在很大程度上依赖于坐 标函数的选取，因此许多研究者对此提出了一些改进方法来消除这一缺点。 1 9 3 3 年，康托洛维奇( k a n t o r o v i c h ) 、克雷洛夫提出了目前大家称之为康托洛维 奇法的变分直接解法【1 】。康托洛维奇法可以减少所得结果和坐标函数的选取之间的 依赖性，因而使得这个方法更有效。不过要达到这个效果需要花费额外多的计算工 作量。同时康托洛维奇方法是一种半解析法，所以解析方向上的精度要比近似方向 上的精度高。 1 9 6 8 年，凯尔( k e r r ) 提出了一种方法【2 j ，是康托洛维奇方法的一种推广，它在 各坐标之间进行轮换逼近，此法可以更有效的消除坐标函数对结果的影响，从而使 我们获得的解答具有更高的精度。但是这个方法也给我们带来了更多的计算工作 量，而且其效果随着轮换次数的增多而急速弱化。k e r r 首先将延拓康托洛维奇方法 用于解决固支矩形板的应力分析问题【3 1 ，接着又将延拓康托洛维奇法用于解决两个 特征值问题1 4 j ：矩形薄膜的自由振动问题和固支矩形薄板的弹性稳定问题，都取得 了较衰的精度。 2 上海大学硕士学位论文 近几十年来，有一些文献进一步改进了康托洛维奇方法，并用来解决固体力学 问题，也有些文献直接利用k e r r 推广的k a n t o r o v i c h 法求解固体力学闯题。 w e b b e r 5 ，6 将k a n t o r o v i c h 法应用于解决矩形区域上的热弹性平面应力问题， 采用先求得一项近似解作为已知，再求含有两项的近似函数，避免了求解常微分方 程组，降低了计算难度。 1 9 8 9 年，浙江大学的丁浩江、张涛提出种新推广的康氏方法【7 1 ，其主要思想 是：求解时逐次的增加项数，以避免求解高阶微分方程，从而降低计算难度。即在 求解第疗级近似解时，采用1 到n - 1 级中已经得到的解，“：，au n - i 作为拧级近似中的 已知函数，因此在求刀级近似函数时只要确定未知函数。，在每一项的计算中，变 量可轮换也可不轮换。显然，此方法可以避免求解阶数高一倍的常微分方程，而把 解题的难度仍然控制在原康氏法的水平上；同时，克服了单项逼近的不足，随着项 数的增加，能在各阶导数上逼近真实解。弥补了k e r r 法的不足，随项数增多，精度 逐渐提高，而且首次将康托洛维奇法用于求解扁壳问题。 1 9 9 2 年，清华大学的袁驷和张亿果利用常微分方程求解器c o l s y s t 。1 ，首先使 用多项试探函数，求解了弹性扭转问题和薄板弯曲问题。与文献 7 中新推广的康 氏法的不同之处在于这里使用常微分方程求解器c o l s y s 进行计算，可以求解复杂 的常微分方程组，而丁浩江、张涛则是采用逐次的增加项数，以避免求解高阶微分 方程。1 9 9 8 年，金炎、袁驷用k e r r 法求解薄扁壳弯曲问题州，文中取多项试探函 数。由相应的变分原理导出了该问题的常微分方程及其边值条件。数值结果表明， 各种边界条件下的精度极高。袁驷和金炎结合k e r r 法对康托洛维奇方法作了改进 l l o l ，采用k e r r 法轮换求解( 随着轮换次数的增加，消除了各个方向上的假设) 的思想， 但是试探函数取多项来计算，与文献 7 】( 采用的是逐次增加近似函数项数计算) 对 比，这里是直接求解由于取多项试探函数所产生的微分方程组，这对k e r r 法的单项 逼近来说是一个重大的改进，从而打破了k e r r 法解决问题的局限性，将改进法用于 解决各种各样的矩形薄板弹性稳定的特征值问题。原来一些用一项近似函数不能解 决的问题可以解决了。用此文方法求解精度大大提高，对一些特殊问题例如临界纵 3 上海大学硕士学位论文 向载荷问题的求解尤其精确，比当时现有文献给出的结果都要精确。 韩式方提出一种改进的康氏法【l l j ，将近似解扩充为多项，用逐次增加项数的方 法来提高其精度，并且吸收了g a l e r l o n 方法的思想，可以直接利用控制方程来求解。 刘高联、李范春则建议在保持( 以对二维的为例) 一个坐标方向为未知函数( 例如 ，( x ) ) 的情况下【1 2 1 ，在另一坐标方向则采用r i t z 法的思想，将近似解选定为一些坐 标函数的线性组合，从而达到以增加自由度来提高近似解精度的目的。 2 0 0 3 年，a g h d a m ，m m a n d f a l a h a t g a r ，s i 乙用k e r r 法求解厚层积板弯曲问题1 ”1 ， 取多项试探函数进行计算，得到了精度比较高的结果。 e l b e s p a l o v a a n d a b k i t a y g o r o d s k i i 也对康托洛维奇方法做了改进1 ，其改进思想 为：以二维问题为例，所取的近似函数形式为西= 置( 善澎( y ) ，他们选取的近似函 数在两个方向均为未知的待定函数，即置( 力和鬈o ) 都是未知的待定函数，是通过 迭代的方法来确定的，在迭代过程中选择初始p0 ，) ( k = 1 ，am ) 时，可选择任意独 立的线性函数，不要求满足边界条件。迭代过程可以很快的收敛，且不依赖于初始近 似函数的选择。膨往往只需要取1 就可以了，就可以达到很高的精确度。文中以求解 双调和方程问题为例，对此方法进行了详细阐述。计算了一些实际例子，验证了此改 进法的有效性。 目前，也有些文献用k a n t o r o v i c h 法求解流体力学问题，例如：1 9 9 8 年，r s r g o r l a , m s c a n t e r , p j p a l l o n e 在h e a ta n dm a s st r a n s f e r 上发表的一篇文章中j ，曾 用k a n t o r o v i c h 法求解管道中的非定常流动及传热问题，比差分方法能够更快更好的得 到此问题的解，而且精度很高。 从上世纪五十年代起，首先由结构力学家引入，接着又有许多数学家做了大量 工作，创立了有限单元法，更加丰富并发展了变分法的直接解法。 1 2 变分有限元的发展 自然界的许多物理现象和过程，除了通常用直接表示相应的物理定律的数理方 4 上海大学硕士学位论文 程组( 微分方程组，微分一积分方程组，积分方程组等) 以及定解( 包括初值和边值) 条件组来表述外，还可以间接的用一定的变分原理( 即某一泛函的极值条件) 来表述， 自从七十世纪末以来，近三百年间，各个领域( 特别是力学) 的科学家们对于探索各 种变分原理表现了极大的兴趣和重视。经过相当艰巨的长期努力，取得了许多进展。 但是，除个别领域( 例如刚体力学，弹性力学) 外，探索变分原理的工作还远没有完 成，特别是流体力学领域的变分原理理论尚有很多工作要做，其原因在于：对于一 个具体的流体力学问题，要反推它的泛函表达式，这在变分学中是一类反命题，比 变分学通常研究的正命题( 即已知泛函，导出其欧拉方程和自然驻值条件) 要困难的 多。变分原理是许多数值解法和近似解法的理论基础，包括有限元法，变分一差分 法1 “】，各种变分直接解法。变分原理能够很自然的把一个原来求解数理方程组的问 题转化为一个泛函极值( 通过离散化以后，又转化为一个函数的极值) 问题，从而很 自然的又同新近发展起来的最优控制论方法和数学规划方法直接联系起来。 直接方法虽然成功的解决了数学、物理、力学中的很多问题，但是，对于复杂 区域、复杂边界条件的变分问题来说，由于选取坐标函数的困难性，因而限制了它 对这些问题的应用，为了克服这一困难，就产生了有限元法。有限元方法的计算思 想早在2 0 世纪4 0 年代就提出了1 1 7 1 。1 9 4 3 年，c o u r a n t 在一篇论文中就提出用一组 三角形单元和最小位能原理研究了s t v e n a n t 的扭转问题，但5 0 年代电子计算机出 现以后，有限元法才真正用于解决工程问题中的数值计算问题。1 9 5 6 年，t u r n e r 、 c l o u g h 、m a r t i n 、t o p p 发表了在结构力学中采用有限元方法的第一篇论文，但当时 并没有“有限元方法”这个名称。1 9 6 0 年，c l o u g h 在一篇结构分析的计算论文中 首次明确提出“有限元方法”( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) 这个名称。在我国，6 0 年代 初期冯康等人独立地建立了有限元方法的数学理论并应用于工程实际问题。自那时 起，不论国际上还是国内，随着高速电子计算机日益广泛的应用，有限元技术得到 迅速的发展。1 9 6 5 年两位固体力学工作者z i e n k i e w i e z 和c h e u n g 提出用有限元方法 解决位势流问题的可能性，被认为是流体力学中有限元方法的起点。但自那时以后 的3 0 多年中，有限元方法已被广泛应用于流体力学的各个领域，理论研究和实际 应用的文献资料大量涌现。 有限元方法为一向无法( 或者极难) 求解的极其复杂的各种工程和物理问题提 5 上海大学硕士学位论文 供了广泛和切实可行的求解途径，显示了旺盛的生命力。现在，它已经迅速的席卷 固体力学诸分支，并正在大力向传热学，流体力学等领域扩展i l ”，特别是它同交分 原理的密切联系被揭示和发挥后，变分原理已成为有限元法的主要理论支柱之一， 因为变分原理可以通过它特有的自然边界条件大大简化各类边界条件和间断面条 件的处理，并可以使导数降阶，而极值原理对误差和收敛性的分析起关键性作用， 且对求解离散化后的代数问题也有利。另一方面，有限元法由于它具有能对求解区 域任意剖分，分片插值的特点，也就成功消除了原先变分直接解法在处理复杂边界 条件上的困难以及求解分布场时不够准确的缺陷。有限元方法已经成为流体力学进 行理论研究和解决工程问题强有力的数值计算工具。 1 3 课题研究的目的及意义 很多力学问题都归结为求解偏微分方程的问题，而偏微分方程除了极少数可以 求出解析解外，都要借助于数值求解方法，例如有限差分法，有限元法等。 k a n t o r o v i c h 法是一种半解析法，在求解过程中可使微分方程降阶，可使求解偏微分 方程问题变为求解常微分方程的问题，随着现在求解常微分方程技术的提高，有必 要对k a n t o r o v i c h 法进行研究，提高此方法的计算精度，拓宽其应用范围，用于解 决更多的力学问题。本文的研究目的是对k a n t o r o v i c h 方法进行改进，提高计算精 度，拓宽应用范围将其用于解决流体力学问题。本研究更深远的意义在于可将改进 的k a n t o r o v i c h 方法用于构造小单元上的近似函数，用此方法构造近似函数时，由 于将控制方程的特性考虑进去，所以得到的近似函数比传统的有限元方法中小单元 上近似函数的精确度要高，从而最后所得到的控制方程近似解的精度也会比传统的 有限元法高，这在求解湍流问题时具有重大意义。 1 4 论文的主要研究内容 本文的内容主要包括三个方面： 第一，在经典的康托洛维奇方法的基础上，吸收里茨法优点，建立了一种新的 改进方法一康托洛维奇里茨杂交法。此改进法的主要思想是在近似函数里加入自 6 上海大学硕士学位论文 由参数，从而消除了近似函数单方向选定的盲目性，增加了人的主观能动性；同时 采用逐项求解待定函数，避免了求解高阶微分方程或者含更多微分方程的方程组。 通过求解p o i s s o n 方程对本文方法进行了数值验证，突出了此改进法的优越性。 第二，在前一种改进法的基础上，吸收k e r r 等对康托洛维奇方法提出的交替方 向法的优点，提出了第二种改进法。两者的区别在于康托洛维奇里茨杂交法是从一 个方向加入自由参数求解，第二种改进法则从两个方向交替加入自由参数求解。计 算结果表明，两种改进法都能够大大提高计算精度，使得计算结果与精确解对比吻 合很好，尤其是第二种改进法，精确度更高。 第三，结合g a l e r k i n 方法从控制方程直接出发求解的思想，利用康托洛维奇一 里茨杂交法和康托洛维奇方法分别求解非线性的偏微分方程，主要以粘性流体的模 型方程b u r g e r s 方程为例进行了数值求解，关于b u r g e r s 方程的求解意义重大，也有 很多关于求解此方程的方法都达到了很高的精度。与康托洛维奇方法相比，康托洛 维奇一里茨杂交法精确度更高；与其他一些差分方法相比，本文改进法精度上提高 不大，不如某些差分方法精度高，但是本文方法计算简单，大大减少了计算量。验 证了本文改进法适用于求解精确度要求不太高的非线性偏微分方程。 7 上海大学硕士学位论文 第二章康托洛维奇改进法i 引言 自从康托洛维奇( k a n t o r o v i c h ) 提出他的变分直接解法以来，已有许多文献和专 著介绍这一方法，并将该方法用于多种工程问题 3 , 1 , 1 9 , 2 0 】。但是，由于种种原因限制 了该方法的应用：例如，它受到求解区域形状的限制，在求解局部量场分布时精度 不高以及求解方法有待改进等问题。以往所见应用示例多见于求解一些整体量，如： 求解固有频率、扭转刚度等。而对于一些问题的局部量( 即求场分布) ，如：流速或 应力的求解，精确度不高。如何拓展康托洛维奇法的适用范围，提高计算精度就成 了需要迫切解决的问题。 通常的k a n t o r o v i c h 法中，解的初始表示式中有一部分是预先选定的，而另一部 分则为待定，然后，由问题的性质来决定。为了提高待求函数的精度，k e r r 于1 9 6 8 年提出一种重大改进方法豫”，文献 1 】称之为变量轮换法。但是此方法受到只用一 项逼近待求函数的限制，精度改进至一定程度，即无法再提高。本章是将里茨( r i t z ) 法和k a n t o r o v i c h 法适当结合，对k a n t o r o v i e h 法的近似函数中预先选定的部分加入 自由参数，即构造近似解时，在某一方向( 例如j ，向) 仿照r i t z 法保留若干自由参数 c v ( f ，- ，= 1 , 2 , a ) ，而在另外方向( 例如工方向) 则设置待定函数石( 工) ，然后由变分原 理( 或其它加权余量法等变分方法) 来求出这些待定的g 和石( 力。这样就可以在求 解工作量增加不多的条件下，显著改善单纯k a n t o r o v i c h 法和r i t z 法的精度，同时 也弥补了k e r r 法的不足。 本章应用这个改进的康托洛维奇方法，并结合数学软件m a t h e m a t i c a 进行了一 些算例的求解，包括固体扭转问题，扁壳弯曲问题，结果表明，此方法不但简单可 行，并且对整体量和局部量都有较高的精度。 8 上海大学硕士学位论文 2 1 传统的康托洛维奇方法 2 1 1 康托洛维奇方法简介 康托洛维奇方法实质上是里茨法的推广，主要被用来处理多变量的函数的泛函 变分问题。可把原来是以多自变量的偏微分方程为欧拉方程的问题，变成更少个自 变量的偏微分方程直至单自变量的常微分方程的问题。关于此方法，以下列形式的 二维泛函为例： j ( ) = j p ( x ，y ，m ，吐，) d x d y ( 2 1 ) 设未知函数的近似解可表示为如下形式： = 鼠o ，j ，) + c p ( x ) h ，似力 ( 2 2 ) p i 其中h ，为已选定的坐标函数，c v 为待定函数a 日。应当满足国的边界条件，同时函数日，( x ，y ) 在全部或部分边界上为零；但是 在砟不为零的这些边界上，系数c ，必须为零。 将( 2 2 ) 式代入方程( 2 1 ) 中的函数脚，由于，是给定的函数而且日，为已知， 所以泛函j ( ) 经对) ，积分后就成为以c ，为未知函数，x 为积分变量的泛函，于是 可得到： j ( ) = jf ( x ，c l ( x ) ，kq ( 工) ，kq ( 曲，c 1 ( 力，kc v ( x ) ，kc n ( 工) ) 疵 然后通过变分过程来建立c ，( x ) 的欧拉一拉格朗日方程使得这些函数成为泛函 ，( ) 的极值函数。求解这些方程后，所得到的函数就是康托洛维奇方法对问题 所求得的近似解。 2 1 2 康托洛维奇方法存在的缺陷 首先，康托洛维奇方法作为一种半解析方法，以二维问题为例，康氏法由于是 先在某一方向( 例如y 方向) 根据边界条件选定近似函数的形式，而在另一方向( 例 9 上海大学硕士学位论文 如工方向) 则由控制方程本身来决定，很显然解在x 方向精度高，而在y 方向精度低。 其次，康托洛维奇方法目前的求解区域也仅限于矩形区域，圆形区域，环形区域和 扇形区域；求解的多是整体量问题，对于局部量的求解精度较低；最后，如果近似 函数取多项，就要解高阶微分方程或者求解含有更多方程的方程组，造成计算难度 和计算量均很大。为了克服这些缺陷，文献中已提出了各种改进，例如文 2 1 4 。 下面我们将提出新的改进方法。 2 2 康托洛维奇改进法 2 2 1 康托洛维奇一里茨杂交法 现以下列偏微分方程边值问题为例来具体推导： 工0 ) = o i r = g ( j ) q ) ( r ：x = n ，y = 曲) ( 2 3 ) ( 2 4 ) 通常的k a n t o r o v i c h 法，取下列近似解形式： = p ，( ，砂g ) ( 2 5 ) j 其中只( y ) 为选定的已知函数系，而石g ) 待定，从而保证了在x 向具有更高的精度。 由于在上述公式中，只( ，) 是单纯从满足) ，向边界条件来选定的，并未能很好地反映 出( 2 3 ) 式( 即算子) 的特性，具有相当大的盲目性，所以往往需要在( 2 5 ) 式中取较 多的项数，才能充分好地反映出“在y 向的分布特性，这就要求增加求解的复杂性 和计算量。为了克服这一缺陷，我们这里提出一种改进方法：康托洛维奇里茨杂交 法( k r ) 。 为此，我们建议将( 2 5 ) 式改造为如下形式： “= p ，( ) ，c ，k g ) ( 2 6 ) 其中在函数p ，中增加了自由参数c d ，通过它们来改善在y 向的分布特性，同时保 持在工方向由待定函数z 来确定。只的构造形式类似于纯r i t z 法，可以选择某 1 0 上海大学硕士学位论文 种具有完备性的函数系列，例如代数多项式或者三角函数多项式。以上述偏微分方 程( 2 3 ) 为例，近似解可构造如下： a ) 当边界条件( 2 4 ) 式中g ( s ) = o 时，可取： 或者， 其中各待定函数石和自由参量c f 由( 2 3 ) 和( 2 4 ) 式所对应的泛函的驻值条件来确 定。 以近似函数( 2 7 a ) 式为例说明确定自由参数和待定函数的求解方法，设： = ( 6 2 一y 2 x i + c 。y 2 k g )( 2 8 ) 暂先令c l 。= o ，得到： = ( 6 2 - y 2 ) 工o ( 功( 2 9 ) 将( 2 9 ) 式代入( 2 3 ) 式所对应的泛函，由康氏法可求得石”( x ) 。 再取 n 0 1 = p 2 一y 2 ) ( 1 + c 1 i y 2 m ( 曲( 2 1 0 ) 将( 2 1 0 ) 式代入( 2 3 ) 式所对应的泛函，积分然后关于c l 。变分即可求得c 1 ，的值；将 求得的q 。代入( 2 8 ) 式，结合( 2 3 ) 式所对应的泛函，由康氏法可确定待定函数z ( 力， 记( 2 8 ) 式为q ，称为一级近似( 记作k s ) ，然后设( 参照( 2 7 a ) 式) ： = m + ( 6 2 一y 2 ) 2 0 + g l y 2 + c 2 2 y 4 + a ) 五( x )( 2 1 1 ) 可用同样的方法求得五( 曲和c 2 = 1 ，2 , 3 a ) 的值，于是有二次近似解= 机+ 2 ( 记 作盂，- 劫，以此类推，可求得n 次近似解封= 材。+ 毪+ 码+ a + ( 记作肛鼬，一般每 认 妒 “卅耋| 擞 妒 聊 里拍 巾小峨 似 争蚋 删 从 坞堕孙 磅 蚂堕筋 浮幼| ； 洳 q 牡 上海大学硕士学位论文 项m o = 1 ，2 ，3 a ) 取一个或两个自由参数即可。 另外，在求解第n ( n 2 2 ) 次近似解时，可以灵活选择求解自由参数的顺序，例 如可以先求出，( x ) ( f = 1 ，2 ，人，一一1 ) ，再通过变分得到求解自由参数的方程组，解方 程组得到c z ，g ，a ，u = l ，2 , 3 a ) ，然后利用前面所述办法求解正 ) 和 g j u = 1 , 2 , 3 a ) b ) 当边界条件( 2 4 ) 式中g ( j ) 0 时，则可将甜分拆为两部分之和： u ( x ，y ) = ( x ，y ) + 以五力 ( 2 1 2 ) 其中，如力是只满足边界条件( 2 4 ) 式的任一函数，显然，以t 力就只须满足 g ( s ) = 0 的边界条件，而它所满足的场方程则由( 2 3 ) 式得出： 三= - l ( u 。) ( 2 1 3 ) 至于的构造法，当g ( s ) 沿各边均为多项式分布或可用多项式逼近时，可很简单地 利用有限元法中常规形状函数j ( x ，力来构造之如下叫； 力= m o ，y ) 嘶 ( 2 1 4 ) t = l 当群沿r 的各边均为线性分布时，可取用4 节点线性单元的插值函数，即上式 中的打应取为4 ；若“沿r 的各边为二次分布，则应取用8 节点单元的插值函数，郎 应取栉= 8 ；以此类推。 当“沿r 的各边为其它任意分布时，则可用n 次多项式逼近之如下。建议首先 在边界上均匀取点( t ，m ) ( f = l ，2 , 3 ，a ， ) ，由( 2 4 ) 式可求出对应的“的值，然后利用 拉格朗日插值公式： 蜀( 曲= 瓦( i x - x 瓦o ) ( x 二- x 而o a 百( x - i x , _ 顶, ) ( x 再- x i + o a 瓦( x 两- x ) 显然有 e ，= 器 x 事x l 茗= 工， 上海大学硕士学位论文 构造( 五力如下： u o ( x ，力= q ( 石) f o ) u j i f f i l 2 2 2 康托洛维奇一里茨杂交法的优势 ( 2 1 5 ) 康托洛维奇一里茨杂交法结合了康托洛维奇方法和里茨法的优点，在传统的康 托洛维奇方法中适当加入自由参数，一方面克服了单方向选定近似函数的盲目性， 另一方面提高了计算精度。由于康托洛维奇方法采用逐渐增加近似函数的项数，在 已求出前述各项待定函数的基础上依次求解未知的待定函数，从而避免了求解高阶 微分方程或者含更多微分方程的方程组，达到了降低求解难度的耳的。 2 3 算例及结果分析 例一：对于矩形截面柱体( 截面如图2 1 所示) 的扭转问题，扭转应力函数满足的方程 为： 窘+ 雾= _ 2 y ) d - - 口，- 6 y 边界条件：“= o ，工= 口；= o ，y = 6 应当指出这个边值问题也可以看作矩形管内秸性流体流场的数学描述2 ”。 此问题的总余能泛函可以表示为如下形式： 石= g 。c t 2 , 、i g u r ) 2 + 陪) 2 4 “卜 g ， 其中，g 为剪应变弹性模数，口是对于单位长的扭转角。 上海大学硕士学位论文 图2 1 矩形截面 对此例分别取近似函数为代数多项式和三角函数多项式来求解，同时给出相 应的里茨法和康托洛维奇法近似函数表达式，但不再写出此两种方法具体的求解过 程，只将它们的计算结果与康氏改迸法放在一起进行对比。 近似函数取代数多项式 r i t z 法： 瓦。= ( 口2 一工2 x 6 2 一y a ) - 1 康氏伥t ) 法：玎矗= ( 6 2 一y z ) 9 1 ( 工) k r 法： 玩”= ( 6 2 y 2 x l + c 1 i y 2 ) 磊1 ( 力 _ i 2 = p 2 一y 2 ) ( 1 + 瓦l y 2 + - 1 2 _ ) ，4 ) 磊2 ( x ) 其中，( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) q b 所取自由参数个数不同。 由k r 法可求出： 3 ( - 4 1 0 b 一2 0 a e 9 + 4 1 0 b e 2 9 1 q1b2610aep-165a(i+e2p)-47、-6b(1-ezp) 其中，p ：芈。 蚕1 ( 功应满足的微分方程如下： i b 2 ( 2 1 + 6 b 2 q 1 + 6 4 c l l 2 ) 蔚1 ( 功一 j 3 ( 3 5 + 1 4 b 2 q i + l l b 4 c l l 2 ) 铲( x ) + 2 1 ( 5 + 6 2 c i l ) = o 旧”( = 0 【科”( - 口) = o 1 4 印 叻 ” l l i 上海大学硕士学位论文 从而求得： 其中，