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虚拟激励法的工程应用及参数研究 摘要 我国是一个多发地震国家，确保桥梁在地震荷载下的安全运营具有十分重要的意 义，以往的经验表明进行科学合理的抗震设计是减轻因地震造成损失的有效途径。目前 国内外的桥梁抗震设计规范中反应谱方法是采用的最基本的方法，但它不能考虑地面运 动的空间变化，这对于跨度不大的桥梁是可以的，但是对于跨度达数百米甚至更大的桥 梁就未必合适了。对于大跨度结构地震分析必须考虑由于地面变形而导致桥梁支座之间 的相对运动，即多点激励问题。时间历程法可以处理这类问题，但它的主要缺点是计算 结果严重依赖于所选取的地震动时程曲线，并且计算量非常大。随机振动方法在处理多 点激励问题时具有极大的优越性，但由于以往算法的复杂性，随机振动方法并没有在国 内外地震工程中获得实际应用。目前这一状况已因随机振动的高效算法一虚拟激励法 的出现将被改观。本文采用虚拟激励法进行了桥梁随机振动分析研究。研究工作包括： ( 1 ) 运用k a u l 方法和迭代修正方法将新规范中规定的反应谱转化为功率谱曲线，以便 采用随机振动法进行同反应谱法一致设防水准的结构地震响应分析。在目前缺乏实测地 面加速度功率谱数据的情况下是有一定实用价值的。( 2 ) 对行波效应下大跨度桥梁动力 响应规律研究。考虑或不考虑行波效应，计算结果可以相差一倍甚至更远。这表明行波 效应之重要性。规范反应谱方法难于反映这种影响，对大跨度桥梁可能产生不安全的设 计。在此情况下使用随机振动方法是适宜的。当视波速难于确定时，可以取若干个可能 值分别进行计算，取最不利情况作为设计的参考。( 3 ) 对于考虑地震空间效应时大跨度 桥梁有效频率区间的下界、上界的确定问题，本文通过大量计算和比较，给出了合理的 取值。( 4 ) 以实际桥梁为例，对三种抗震方法的比较研究：计算结果进行了多方面的比 较( 包括均匀地面激励、行波效应和部分相干效应) 。对于我国工程设计和相关规范的 编制有一定的参考价值。 近一个世纪以来，将建筑物与由强震产生的激烈地面运动分离开来的思想吸引着许 多人，为了达到这个目的，近年发展了很多工程抗震新技术。大部分隔震技术采用的都 是底部设置的由橡胶隔震支座和阻尼器等部件组成的隔震层。在强烈地震作用下，减 隔振支座会进入弹塑性状态而表现滞迟特性，通过这种强烈耗能的特性实现了对大震的 抵御，最终达到预期防震要求。在进行减隔振结构随机地震响应分析时，本文采用 b o u c w e n 微分方程模型描述进入非线性支座的滞变特性，以虚拟激励法代替习用的 l y a p u n o v 方程法，结合等效线性化技术进行结构非线性随机振动分析。与传统的求解李 亚普诺夫方程法相比，计算精度保持一致，但是计算效率得到很大提高。 关键词：桥梁，随机振动，虚拟激励，行波效应，隔振，等效线性化 虚拟激励法的工程应用及参数研究 a b s t r a c t l o n gs p a nb r i d g e s a r eu s u a l l y i m p o r t a n tp u b i c f a c i l i t i e sa n ds om u c ha t t e n t i o nh a sb e e n g i v e nt oe v a l u a t i n gt h e i rs a f e t yd u r i n ge a r t h q u a k e s t h ec u r r e n t 0 t j 0 0 4 8 9 ) a p p l i e so n l yt ob r i d g e sw i t h1 5 0 mo rs h o r t e rs p a n s ， t h a th a sn o tf i t t e dt h ec u r r e n tr e q u i r e m e n t s f o re x a m p l e ，t h es e i s m i cs p a t i a le f f e c t sm u s tb e t a k e ni n t oa c c o u n td u r i n gt h e i rd e s i g n s oag r e a td e a lo ft h e o r e t i c a lr e s e a r c ha n dn u m e r i c a l c o m p u t a t i o n s c o m p a r i s o n sm u s t b ec a r r i e do u t i nc u r r e n tp r a c t i c e ，d y n a m i c a n a l y s i sf o rs u c h s p a t i a l l yv a r y i n gi n p u tm o t i o n s i sp e r f o r m e d m a i n l yb y t h et i m eh i s t o r ym e t h o d ，w h o s ec h i e f d i s a d v a n t a g ei s t h a tt h er e s u l t sr e l yh e a v i l yo nt h es e l e c t e dt i m eh i s t o r i e s t h er e s p o n s e s p e c t r u mm e t h o d ( r s m ) a d o p t e d a st h em o s t i m p o r t a n t t o o lb yt h ec o d ei su n a b l et od e a lw i t h s u c hp r o b l e m s t h er a n d o mv i b r a t i o na p p r o a c hi st h e o r e t i c a l l ys u p e r i o ri nd e a l i n gw i t l ls u c h m u l t i p l ee x c i t a t i o np r o b l e m s ，h o w e v e ri t h a s h a r d l y b e e np r a c t i c a l l y a p p l i e dd u et o i t s c o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t y ，i na d d i t i o nt ot h ep r o b l e m sr e l a t i n gt oi t si n p u ta n do u t p u t t h e p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d ( p e m ) h a s b r o c k e ni t s e f f i c i e n c y - b o t t l e n e c k ，a n da p p e a r st o b e q u i t ee f f e c t i v ei nc o p i n gthewith s u c hm u l t i p l ee x c i t a t i o nr a n d o ma n a l y s e sm a i nr e s e a r c h w o r kc o v e r st h e f o l l o w i n ga s p e c t s ： f o rt h es e i s m i cr e s p o n s ea n a l y s i so f l o n g - s p a ns t r u c t u r e s ，t h er e s p o n s es p e c t r u mm e t h o d ， t h er a n d o mv i b r a t i o nm e t h o da n dt h et i m eh i s t o r ym e t h o da r ec o m p a r e d i ti sf o u n dt h a tt h e s p a t i a l l yv a r y i n g e f f e c t so ft h eg r o u n dm o t i o n s ，e s p e c i a l l yt h ew a v e p a s s a g e e f f e c th a v eg r e a t i n f l u e n c e so nt h e d y n a m i cr e s p o n s e s o f l o n g - s p a nb r i d g e s f o r s e i s m i c a n a l y s i s o f m u l t i d e g r e e o f - f x e e d o m ，m u l t i p l ys u p p o r t e ds t r u c t u r e ss u b j e c t e dt os p a t i a l l yv a r y i n gg r o u n d m o t i o n s ，t h er e s p o n s es p e c t r u mm e t h o dm a y l e a dt os e r i o u se r r o r s ，t h et i m eh i s t o r ym e t h o d n e e d se x t e n s i v ee f f o r t ，w h i l et h ep r o p o s e dp s e u d oe x c i t a t i o nr a n d o mv i b r a t i o nm e t h o dh a s g r e a ta d v a n t a g e s b a s e i s o l a t e db u i l d i n gs t r u c t u r e sa r ew i d e l ya c c e p t e di nt h ee a r t h q u a k ee n g i n e e r i n gd u e t ot h ee f f e c t i v e n e s so fv i b r a t i o nr e d u c t i o n a tp r e s e n t ，m o s tb a s e i s o l a t e dt e c h n o l o g yu s e s r u b b e rc u s h i o n s u n d e rs t r o n gr a n d o ms e i s m i ce x c i t a t i o n s ，r u b b e rc u s h i o n sw i l ll o c a l l ye n t e r t h e n o n l i n e a r ( e l a s t o - p l a s t i c ) r e g i o n s t oc o m p u t e s u c h p r o b l e m s ，c o n v e n t i o n a l l y t h e e q u i v a l e n tl i n e a r i z a t i o ns c h e m ec o m b i n e d 、v i t l lt h es o l u t i o no fl y a p u n o ve q u a t i o ni su s e d w h i c hi sv e r yi n e f f i c i e n t i nt h ep r e s e n tt h e s i s ，t h es o l u t i o no f l y a p u n o ve q u a t i o ni sr e p l a c e d b yt h e u s eo fp s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d t h a tr e m a r k a b l yr a i s e st h ee f f i c i e n c yw h i l et h e a c c u r a c y r e m a l n s u n c h a n g e d k e y w o r d s ：b r i d g e s ，r a n d o mv i b r a t i o n ，p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d ，w a v ep a s s a g ee f f e c t ， b a s e i s o l a t e d ，e q u i v a l e n t l i n e a r i z a t i o n i i 虚拟激励法的工程应用及参数研究 1概论 1 ，1 引言 大跨度桥梁作为重要而昂贵的公共设施，它们的安全性受到了格外的重视。如何在 设计和建造阶段就使它们具有足够的抗震能力和合理的安全度，始终是各国工程界、学 术界十分关心的问题。近二十年来，欧美许多国家都投入很大力量进行相关的研究。我 国作为地震多发国家也不例外。如何确保桥梁在可能发生的地震作用下安全可靠地运 行，最大限度地避免人员伤亡，减轻震灾带来的经济损失，且设计又不过于保守，成为 工程界极其关注的问题。 1 2 研究背景及意义 改革开放二十多年来，我国桥梁建设事业迅猛发展，自1 9 9 1 年交通部门蓠次在长 江上设计建设黄石长江大桥后，又陆续建成了铜陵长江大桥、江阴长江大桥、大佛寺长 江大桥等一大批结构新颖、技术复杂的特大型桥梁。这些特大型桥梁，无论是设计水平， 建筑材料，还是施工工艺和展量控制，都标志着我国桥梁建设技术进入世界先进水平。 目前我国己建成主跨2 0 0 米以上的桥梁2 1 0 0 座，主跨4 0 0 米以上的桥梁3 0 座，主跨6 0 0 米以上的大跨度桥梁1 2 座。眼下在我国经济一体化的推动下，沟通不同区域之间跨海 工程也显得越来越迫切。目前我国计划( 设想) 建设的就有六个跨海工程渤海海峡 跨海工程，长江口越江工程，杭娜湾跨海工程，伶仃洋跨海工程，凉州海峡跨海工程和 台湾海峡跨海工程。其中，目前世界上最长的跨海大桥宁波杭州湾跨海大桥已于 2 0 0 3 年6 月8 日破土动工，这项工程的意义不仅在于横跨杭州湾天堑大大缩短沪甬之间 的交通距离，缓解上海、宁波、杭州之间交通拥挤的状况，更在于大桥所带来的经济效 应。跨越大江( 河) 、海峡( 湾) 的长大桥梁的相继修建对于我国的经济、社会发展有 着深远和重大的战略意义。我国是一个多地震的国家，许多大跨度桥梁桥址处于多发地 震区( 如琼州海峡工程地质条件十分复杂，桥址处地震、台风等自然灾害频繁) ，桥梁 的抗震防灾工作显得极为重要。如何确保生命线工程在可能发生的媳震作用下安全可靠 运行，最大限度避免人员伤亡、减轻震灾带来的经济损失，而且使抗震设计又不过于保 守，已成为桥梁工程师非常关心的重大技术难点问题。就目前来讲，同大跨度桥梁建设 的发展速度相比，大跨度桥梁的抗震设计理论及减振控制研究还远不够完善，尤其一些 相关理论、技术缺乏试验研究的有力支持。因此，深入研究大跨度桥梁抗震领域的一些 基本问题，使我国大跨度桥梁的安全运营有可靠的理论基础和技术保障，既有较高的理 虚拟激励法的工程应用及参数研究 论价值，又有明确的实际意义。 近半个多世纪以来，人们对地震的破坏机理已有了日益深入的认识，并基于这种科学 的认识而制定了相应的设计规范，使结构抗震设计水平得到有效的提高【卜5 1 。圣费南多 地震成为美国桥梁抗震设计规程研究与发展的一个重要转折点。经过十年的研究，1 9 8 1 年出版了桥梁抗震设计指南，又经过十年的应用与修改，1 9 9 2 年，桥梁抗震设计规 程被正式收入美国各州公路运输工作者协会( 从s h t o ) 编辑的美国公路桥梁标准规 范( 又称a a s h t 0 规范) 。这次震害使人们从阻往单纯强度抗震设计转入强度与延性 双重设计的研究，并进一步开展了结构减震和隔震的研究。唐山地震造成桥梁巨大灾害 的教训也极大推动了我国桥梁抗震研究工作的迅速展开。自1 9 8 6 年起交通部公路规划 设计院协同有关设计、科研单位和高等院校对1 9 7 7 年颁布的公路工程抗震设计规范 进行修订，1 9 9 0 年正式施行了公路工程抗震设计规范( j t j 0 0 4 8 9 ) 【6 j 。近年来，随 着我国经济的加速发展，大、中型桥梁的建设迅猛发展，对公路桥梁抗震规范又提出了 更高的要求。有鉴于此，由交通部规划设计院和重庆交通公路科学研究院负责，国家地 震局工程力学研究所、长安大学、大连理工大学、同济大学、清华大学、云南省交通厅 和辽宁省交通厅等单位组成的规范编写组已经开展了对j t j 0 0 4 8 9 规范的修订工作。 大跨度桥梁越造越长，越造越柔，基本自振周期现已达到十几至二十秒之多，传统 抗震分析方法日显难以应付。特别是因为大跨度桥梁抗震分析对应该考虑地面不均匀运 动( 空间效应) 。它大体包括以下三种因素：( 1 ) 行波效应( w a v e p a s s a g e e f f e c t ) 。实际 地震波速是一有限值，通常在几百米，秒几千米秒的范围。当桥梁支承间距离很大时， 必须考虑地震波到达各支承的时间不同。( 2 ) 部分相干效应( i n c o h e r e n c e e f f e c t ) 。由于 在不均匀土壤介质中地震波的反射和折射，以及由于从一个大的震源的不同位置传到不 同支承的波叠加方式的不同，各支承所受到的激励之间并不完全相干。( 3 ) 局部场地效 应( s i t ee f f e c t ) 。不同支承处土壤条件不同，它们影响基岩振幅和频率成分的方式亦有 差别。而且，由于大部分地震的强震持时只有二三十秒，实际上还应该考虑地面激励的 非平稳效应。这些都给大跨度桥梁的抗震设计带来了不同程度的困难。作为重要生命线 工程的大跨度桥梁，在桥梁设计阶段就使它们具有足够的抗震能力和安全度是桥梁工程 界十分关心的重要力学问题。世界闻名的旧金山海湾大桥在1 9 8 9 年的洛马普里埃塔地 震中东段遭到严重损坏。1 9 9 7 年，美国加州政府决定拨巨资重建。在国际招标中，加州 大学伯克利分校提出的弧型斜拉桥十分美观新颖，被认为是夺标的大热门。但是由于很 难对这种形状新颖的桥型的抗震性能提供有力的分析验证，最终还是被加州政府组织的 专家组否定了。美洲星岛日报报道了代表政府的都市交通委员会发言人对此所作的评 论：“对于这座桥要考虑的大事是其防地震能力，而不是美学问题。我们要再造一座桥， 不是因为现有的桥梁很丑陋，而是为了提高防震能力。”。由于在洛马普里埃塔地震中 旧金山海湾地区许多主要桥梁表现出的无法让人接受的震害，加州运输部( c a l t r a n s ) 投入了大量的科研经费要求其应用技术委员会( a t c ) 对设计标准和设计步骤进行彻底 2 虚拟澈励法的工程应用及参数研究 的修改【7 l 。此次修改已经完成，并且其最终报告中许多建议已被加州运输部采纳。此外， 美国科学基金会也分别对伯克利加州大学和普林斯顿大学给予了强有力的资助以对此 类问题进行更深入的研究。日本抗震设计要求是由日本道路协会作为道路设计规范中的 第五部分“耐震设计篇”中提出的，最近的版本为1 9 9 0 年，但由于在1 9 9 5 年阪神地震 中许多桥梁不能令人满意的表现，这个版本也在修订中。在完成修订前，日本道路协会 的下属公路桥梁抗震措施委员会已经发表了一些试验性的修订设计准则，这些准则发表 于1 9 9 6 年6 月，题为“阪神地震毁损公路桥梁的重建及修复指导说明”。我国交通部1 9 9 0 年公布的公路工程抗震设计规范( 指导全国公路桥梁的建造) 仅适用于跨径不超过 1 5 0 m 的钢筋混凝土和预应力混凝土梁桥、圬工或钢筋混凝土拱桥，不包括大跨度桥梁。 其已远远不能满足大跨度桥梁建设的发展需要。因此，通过研究大跨度桥梁抗震防灾过 程中遇到的一些基本力学问题，以指导我国大跨度桥梁进行科学的抗震设计具有重要现 实意义。 随机振动方法由于较充分地考虑了地震发生的统计概率特性，被广泛地认为是一种 较为先进合理的分析工具，并已经被国外一些抗震规范所采用，例如1 9 9 5 年颁布的欧 洲桥梁规范【8 】a 由于它在实际应用上以频域分析法( 它以功率谱密度作为分析的核心) 较为成熟方便，所以通常亦称之为功率谱法。我国近年来出现的虚拟激励法陟”】作为 种新的随机响应分析方法，可以对上述被认为很困难的多点激励问题作精确高效的计 算，在普通微机上方便、快速而精确地计算有数千自由度、几十个地面支座的大跨度结 构多点地震激励问题。本文以多座桥梁为例，对常规的反应谱方法，时间历程法与随机 振动虚拟激励法的计算结果进行了多方面的比较( 包括均匀地面激励、行波效应和部分 相干效应) 。对于我国工程设计和相关规范的编制有一定的参考价值。 地震发生时，按常规抗震设计方法建造的房屋会把基础传来的地震振动放大几倍， 使房屋产生较大的变形，房屋的承重构件承受很大的地震作用。产生较大的塑性变形， 这样，即使房屋不倒塌，房屋的内部设备和装修也将受到严重破坏。 基础隔震是在房屋的基础顶面设置柔性的隔震层。在风荷载或小地震时，隔震层有 足够的刚度，几乎不产生什么位移；而当强地震发生时，隔震层作为一个低频系统，阻 隔了地震振动往上部结构传递，同时隔震垫也消耗系统振动的部分能量。强震时隔震房 屋的上部结构发生缓慢的刚性平移，房屋的层间变形较小，承重构件基本上处于弹性状 态，由于基础隔震技术的优越性，近十几年来发展很快。本文对地震作用下具有减隔 振支座的结构进行了功率谱分析。 1 3 本文主要工作 本文主要工作是研究地震空间效应在中大跨度桥梁抗震分析中的重要性，以及各种 参数变化对分析结果的影响。课题主要是为修订公路工程抗震设计规范提供依据。 虚拟激励法的工程应用及参数研究 1 按照我国公路桥梁抗震设计规范( 编写大纲) 中的反应谱曲线确定地震加速度当量 功率谱曲线。 运用k a u l 模型和迭代修正方法将新规范中规定的反应谱曲线转化为功率谱曲线，以 便采用随机振动法进行同反应谱法一致设防水准的结构地震响应分析。在目前缺乏实测 地面加速度功率谱数据的情况下是有一定实用价值的。 2 研究各参数变化时，对不同跨度桥梁地震响应的影响。 ( 1 ) 考虑行波效应下大跨度桥梁动力响应规律研究。 ( 2 ) 考虑地震空间效应时大跨度桥梁有效频率区间的下界、上界的确定。本文 通过大量计算和比较，给出了合理的取值。 ( 3 )以实际桥梁为例，对三种抗震方法的比较研究。计算结果进行了多方面的 比较( 包括均匀地面激励、行波效应和部分相干效应) 。对于我国工程设计 和相关规范的编制有一定的参考价值。 3 、地震作用下具有减隔振支座结构动力行为的功率谱分析 大部分隔震技术采用的都是底部设置的由橡胶隔震支座和阻尼器等部件组成 的隔震层。在强烈地贬作用下，减隔振支座会进入弹塑性状态而表现滞迟特性， 通过这种强烈耗能的特性实现了对大震的抵御，最终达到预期防震要求。在进行减 隔振结构随机地震响应分析时，本文采用b o u c w e n 微分方程模型描述进入非线性 支座的滞变特性，以虚拟激励法代替习用的l y a p u n o v 方程法，结合等效线性化技 术进行结构非线性随机振动分析。与传统的求解李亚普诺夫方程法相比，计算精度 保持一致，但是计算效率得到很大提高。 4 虚扭激励法的工程应用及参数研究 2 结构抗震分析的确定性分析方法 2 1 引言 反应谱法：1 9 3 1 年，美国开始进行地震观测网的布置。1 9 4 0 年，在帝国峡谷( i m p e r i a l w i e y ) 地震中成功地采集了包括埃尔森特罗( e l c e n 订o ) 地震记录在内的大量地震记录 资料，为以后抗震方法的发展提供了宝贵的数据资料。1 9 4 1 年m a b i o t 提出了反应谱 的概念，并给出了第一条反应谱曲线。1 9 4 7 年g w h o u s n e r 提出了基于反应谱理论的抗 震计算方法，在1 9 5 8 年第一届世界地震工程会议之后，反应谱方法相继被世界上许多 国家所接受，并被纳入结构抗震设计规范。反应谱方法的基本原理是，作用于结构的实 际地震波是由含有一定卓越频率的复杂波组成，当地震的卓越频率和结构的固有频率相 一致时，结构物的动力反应就会变大。不同周期单自由度振子在某一地震记录激励下， 可得到体系周期与绝对加速度、相对速度和相对位移的最大反应量之间的关系曲线，即 加速度反应谱、速度反应谱和位移反应谱。由于客观存在的随机因索影响，使得不同地 震记录得到的反应谱具有很大随机性、离散性，实际应用的规范反应谱是大量地震记录 输入后得到众多反应谱曲线经统计平均和光滑后而得到的。 时间历程法作为反应谱方法的补充，也是各国规范普遍应用的方法。当结构受平稳 随机地震激励时，若将地震激励看作单源同相位激励，此时结构的运动方程右端的女。o ) 应该以地震加速度记录的离散形式给出。方程的求解则可以采取各种成熟的逐步积分方 法。积分格式一般分为显式积分和隐式积分两类。常用的n e w m a r k w i l s o n - 0 法u 叫是隐 式积分格式，精细积分法【1 7 4 8 己黾显式积分格式。由于是在离散时间点上一步一步地求响 应的数值解，所以该法可以在任一时间点上随时修改结构参数，很适合于处理参数随时 间变化的非线性问题，例如弹塑性分析问题【1 9 1 。在利用时间历程法进行结构的地震响应 分析时，只选取一条地震波是难以说明问题的，我国在这方面还没有明确规定。工程中 有时选取三条实测地震波和一条人工地震波。 2 2 反应谱法 反应谱方法是当前世界各国应用得最广泛的抗震分析方法。我国和其他许多国家的 抗震设计规范都采用反应谱理论确定地震作用。其中以加速度反应谱用得最多。 单自由度体系受到均匀站面激励时的运动方程为： 或表为 彤p + 毋+ 砂= 一树。( f ) ，+ 2 f 砜 + 国；y = 一戈g ( f ) ( 2 - 1 ) ( 2 2 ) 虚拟激励法的工程应用及参数研究 其中聊、c 、k 分别是质量、阻尼和剐度，f = c ( 2 m o j o ) 和c o o = 撕磊是结构的临界阻 尼比和自振圆频率。y 的稳态解可以表示为如下杜哈曼积分形式 y ( ，) = 一f e 。9 0 1 童p ( f ) s i n c o d o r ) d v ( 2 3 ) ，nd o 。 式中吼= 4 1 一f 2 0 3 是有阻尼圆频率。 按照基于包络线控制的反应谱方法，其解为 。y=鸭|盛(2-4) 其中口是由规范给出的地震影响系数，g 是重力加速度。 三维结构受到来自任意方向的地震作用时r 0 1 ，其运动方程为 瞰】侈) + 【c 】侈 + k 】 y = 一】 e 膏。( f ) ( 2 5 ) 其中【m 】、【c 】、k 】为结构的n g l 阶质量、阻尼与刚度矩阵；仁) 为结构非支座节点惯 性力指示向量。当前的规范必须假定结构的跨度不大，以至于结构所有地面节点均按同 一加速度量。( f ) 同相位地运动。方程( 2 5 ) 一般用振型迭加法求解。先求出结构的前g 阶自振圆频率q ( 一1 ，2 ，g ) 及相应的露g 质量规一振型向量矩阵睁】。然后令方程 ( 2 4 ) 的解按这些振型进行分解 y ：脚妇( f ) = 至“，移 ，( 2 - 6 ) - 1 将p r 左乘以方程( 2 5 ) 各项，并以( 2 - 6 ) 式代入。在正交阻尼假定下得q 个单自由 度方程： 女，+ 2 9 f o s f i - ，+ 司h j = 以置g o ) ( 2 - 7 ) 其中旬为第，阶振型阻尼比，丽乃为第歹阶振型参与系数： 巧= 移巧阻忙 ( 2 8 ) 方程( 2 - 7 ) 与( 2 2 ) 只在右端相差一个乘数，所以( 2 - 7 ) 的解答可由( 2 4 ) 式乘 以乃而得到 “= 巧a ，g 印 ( 2 - 9 ) 由于“，并非( 2 - 7 ) 式的严格解，所以不能简单地将它们代入( 2 - 6 ) 式来求p ，而应 先对于每一个叶求出相应的移l = u 彩l 。然后，若只对 y 的第t 个元素几感兴趣，则 将所有 y ) ，中的第七个元索取出，组成一个有q 个元素的向量k ，再代入下式组合出 该元素的值： 儿= y 羟c d 】( y k( 2 - l o ) 虚拟激励法的工程应用及参数研究 这里l ，i 是表示各阶振型分量之间相关性的“相关矩阵”，其对角元全为1 ；w i l s o n 和 k i u r e g h i a n 2 l 】按随机振动理论推导出其非对角元的下列计算式 胪帝裂蒜筹岛 丹2 面7 汀毫历面7 污面万 q 1 1 ) 这就是当前被广泛应用的反应谱c q c ( 完全二次组合) 算法。如果忽略振型间的耦合， 即将所有这些岛，取为0 ，则l p l 成为一单位阵，而按( 2 1 0 ) 的计算就成为反应谱s r s s ( 平方和开平方) 算法。上述扳应谱方法使用简便，是当前应用得最广泛的抗震设计方 法。但由于它是基于一致地面运动建立的，难实际用于大跨度结构多点地震激励问题。 2 3 反应谱曲线 2 3 1 中国公路工程抗震设计规范( j t j 0 0 4 - 8 9 ) 阻1 中国公路工程抗震设计规范中的反应谱是以动力系数表示的。反映谱的加速度可 表示为口= 豫，其中七为水平地震系数，g 为重力加速度，为动力系数，表示单质 点体系在地震作用下的最大反应加速度与地面加速度之比。 1 0 0 0 t 1写 5 0t ( s ) 图2 - 1 公路工程抗麓规范中规定的反应谱 f i g 2 - 1c u r v e o f a c c e l e r a t i o no f 由于该规范给出的反应谱偏于保守，本文采取文献 2 3 】给出的修正反应谱曲线，其中 的值由式( 2 1 2 ) 确定，式中参数按表2 - 1 选取。 虚拟擞励法的工程应用及参数研究 8 = 1 + ( 风。- 1 ) r t 正 风。 儿伍r ) 尾。亿五) 4 ( i t ) h 0 t z 王s t 正 正s t 五 t 五 表2 1 地震反应谱动力放大系数( 修正值) t a b l e2 - 1d y n a m i ca m p l i f i c a t i o nf a c t o r so f s e i s m i cr e s p o n s es p e c t r u m ( 2 1 2 ) 场地土类型 。“正l五k i尼2 i2 ，2 5 0 1 00 2 01 5 01 0 02 0 0 i i2 z 50 1 00 3 03 4 3o 9 82 0 0 i 2 2 50 1 00 4 55 6 70 9 5 2 0 0 2 2 5o 1 00 7 0 6 5 70 9 02 0 0 2 ，3 2 公路桥梁抗震设计规范( 编写大纲) i 。( 5 s t i t g + o ，4 5 ) t o 1 s s = s o 1 s _ t 毛 o - 1 乙 图2 - 2 地震影响系数曲线 f i g 2 - 2c u r v e o f c o e f f i c i e n to f s e i s m i ce f f e c t 8 1 0 0 t ( s ) 虚拟撒励法的工程应用及参数研究 其中设计加速度反应谱最大值氏。由下式确定 瓯。= 2 5 c , 一e q af 2 1 4 ) 式中，c 为重要性系数，按表2 3 取值；e 为场地系数、o 为阻尼系数、a 为设计基 本地震加速度值，分别按表2 - 4 、表2 5 取值。各类桥梁的抗震构造措施，按表2 2 规定 的标准采用。 表2 - 2 各类公路桥梁构造措施等级 t a b l e 2 2c o n s t r u c t i o nm e a s u r e m e n tl e v e l s 地震基本 6789 烈度构造 为分类 0 0 50 10 1 50 20 ，30 4 a899 更高，专门研究 b788999 c677889 d677889 表2 - 3 各类桥梁的重要性系数 t a b l e 2 3f a c t o r so f i m p o r t a n c ef o rv a r i o u sb r i d g e s 桥梁类别 设计地震e l ( 多遇地震)设计地震e 2 ( 罕遇地震) a 类 0 5 01 8 b 类 0 4 31 3 c 类 0 3 41 o d 类 o 2 30 7 表2 4 场地系数的数值 t 曲l e 2 - - 4s i t ec o e 伍c i e n t s 强度 场地囊k 0 0 50 1o 1 50 20 2 50 3o 4 i1 21 00 9o 90 90 90 9 i i1 01 0 1 01 01 01 01 0 i - i f1 11 31 21 21 11 ，01 o 1 2 1 4l f 31 31 21 ，00 9 虚拟激励法的工程应用及参数研究 表2 - 5 设计地震峰值加速度a t 如l e 2 5p e a ka c c e l e r a t i o n 地震基本烈度 678g 地震危险特征 o 0 5o 10 1 50 2o 30 4 明显以小震为主 o o lo 0 2 一般 0 ，0 2o 0 4 明显以大麓为主 0 0 2 5 2 4 时间历程法 时间历程法作为反应谱方法的补充，也是各国规范普遍应用的方法。例如中国建筑 结构抗震设计规范( g b j i 卜8 9 ) 中规定，对于特别不规则的建筑、甲类建筑和高层建筑， 宜采用时程分析的方法进行补充计算。 如果考虑多点( 个地面节点) 不均匀地震激励问题，运动方程( 2 - 4 ) 成为下列形 式 2 5 , 2 6 】 瞄铡驯乏q j 肛l 2 d l + 隐k 钏, o i i 圹x 4 鼢口嘲 其中向量) 代表 个支座的地面强迫位移，墨) 代表结构系统所有非支座节点位移， r ) 代表地面作用于个支座的力；通常采用集中质量离散化模型，【 岛】为零。 求解方程( 2 1 5 ) 时，可将绝对位移 墨) 分解为拟静位移 e 和动态相对位移 聊之 和 鼢卧黝 p 峋 其中拟静位移满足 识 = 一kr l 随舰) ( 2 - 1 7 ) 将式( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 代入( 2 1 5 ) ，得到 阻。僻) + 【c 。肛 + k ，m ) = 阻，】k ，】“k 。】阮 + 噼，】k ，】- l 【& 卜h 】肛0 ( 2 - 1 8 ) 方程( 2 1 8 ) 在一致地面运动条件下不能退化为广泛应用的方程( 2 5 ) ，这是因为在方 程( 2 1 5 ) 中假定了阻尼力与绝对速度成正比。为了避免这种不协调，应假定阻尼力与 相对速度成正比，即在( 2 1 5 ) 式中以戤 与 o ) 代替怯 与协。) ，则( 2 1 8 ) 式成为 阻，】职) + 虹豫 + 阮m ) = 帆】k 】_ 1 【j 匕】忙0 ( 2 1 9 ) 对于均匀地面运动 1 0 虚拟激励法的工程应用及参数研究 p 。 = 溉坟 ( 2 2 0 ) 将式( 2 - 2 0 ) 代入式( 2 1 9 ) ，并利用( 2 1 7 ) 式，就可导出方程( 2 - 5 ) 。 当需要考虑行波效应时，可以利用同一个地面运动加速度记录曲线在地面不同节点处以 一定的时间差输入，由此而产生( 2 1 9 ) 式右端的戡 。如果爱进一步考虑各地面节点 加速度之间的部分相干性，则产生戳 的过程较为复杂。时间历程法在进行非线性地 震响应分析时，具有它的优越性。这种方法的一个重要缺点是计算量过于庞大；而且由 于是用确定性的时间历程来模拟尚未发生的地震，理论上应取许多条地面运动加速度曲 线作为样本分别进行计算后进行统计分析较为合理。但受到计算效率低的制约，目前在 工程上只能用3 5 条曲线进行结构分析及统计。研究表明【2 5 矧，用经过调整后达到“等 效”的若干条具有同样控制参数的地面加速度历程曲线计算出的响应有可能相差许多 倍。所以使用很少几条曲线有时候难于保证得到可靠的统计量。但如何才能达到计算精 度和计算量之间的合理平衡，迄今仍是一个未完全统一的问题。 2 5 加速度时程曲线 地面加速度时程曲线的获得通常有三个途径口7 】： ( 1 ) 直接记录到的地震波： ( 2 ) 选用类似场地条件的实测地震波记录通过调整加速度幅值和时间尺度修正 其频谱，以适应实际场地处的抗震要求； ( 3 ) 按一定的准则生成的人工地震波。 由于地震记录受震源、传播介质、场地条件等各种因素的影响，具有很大的不确定 性。本文通过数值模拟的方法生成人工合成地震波，采用三霜级数模型f 2 8 。9 1 。 均值为零，谱密度函数为& ) 的一维单变最平稳高斯随机过程五( x ) 可表示为余弦 函数的级数 ，( x ) = 2 4 c o s ( o ) i f 一9 i ) ( 2 2 1 ) 其中，吼为0 到2 万之间的随机相角， -1 l 4 = b ? ( ) 彩f 如果& 劬) 是单边谱密度函数t 则 甜( c o ) = s o ) 如果s o ( 0 0 是双边谱密度函数，则 s ? ) = 2 r ( c o ) 而 = ( 叫 l l ( 2 - 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 虚拟激励法的工程应用及参数研究 吼叫m 一争国，忌= 1 ，2 ( 2 _ 2 6 ) q 和。为截止频率下限和上眼 2 6 小结 当前国内外的桥梁抗震设计规范，反应谱方法仍然是最基本的方法它假定所有的 支座按完全相同的规律运动( 亦即假定所有支座之间是剐性连接) 。这对于跨度不大的 结构还是可以的，但是对于跨度达数百米甚至更大的桥梁就未必合适了。时间历程法可 以考虑空间效应，在数学原理上比较简单，直截了当。只要输入地面运动加速度时间历 程曲线，就可以计算出在一系列离散时间上的结构响应。时间历程法的主要缺点是计算 效率很低，而且计算结果过分依赖所选取的加速度时间历程曲线。用在同一地震中相隔 不远处的几个观测站记录到的若干条地震记录曲线进行时程积分计算，得到的响应可能 相差若干倍。因此需要用多条地震波才可以得到结构响应的统计特性，计算量很大。工 程中一般选取3 5 条地震波进行结构的分析和统计。在考虑多点地震输入时，时问历程 法是通过结构不同支座的加速度时程来考虑地面变化空间效应的。因计算量太大，工程 中一般情况下不用时间历程法，只对非常重要的结构才使用。 1 2 虚拟激励法的工程应用及参数研究 3 平稳随机地震作用下的虚拟激励法 3 1 引言 功率谱分析是随机振动理论在工程应用中最重要的内容，即由输入功率谱求出结构 响应功率谱。线性随机振动分析中这方面理论已相当成熟，计算公式也十分简洁。但这 些已建立的理论成果在工程领域中并没有得到充分应用，例如，在地震工程领域中，普 遍认为按照概率性的随机振动理论进行结构的抗震分析比较合理( 特别是对于大跨度结 构) ，分析理论也早已建立，但在工程抗震设计中还是很少被应用。究其原因，计算的 复杂性是造成这一现象的根本原因，为避免计算的复杂性，在以往的随机振动分析中往 往将计算模型取得十分简单或借助精度颇成问题的近似，从而大大限制了随机振动理论 在工程中的应用。虚拟激励法是近十几年来发展起来的一套精确、高效的随机振动计算 方法。该方法将平稳随机振动的计算转化为稳态简谐响应计算，将非平稳随机振动的计 算转化为普通逐步积分计算，从而实现了用最基本的结构动力学方法来处理一般的平稳 和非平稳随机响应分析问题虚拟激励法以其高效和精确为随机振动理论更广泛地进入 工程领域提出了一条新的、有效的途径。 3 2 虚拟激励法 3 2 1 平稳随机激励 线性时不变系统在平稳随机激励扛( ，) 的作用下，设其功率谱矩阵为i s 。 ) 】，为计 算任意响应( f ) ) 的功率谱矩阵i s ，( ) j 及它与激励间的互功率谱矩阵i 艮( 国) j 和 陋，( 国) l ，传统计算公式为 p 。( ) 】_ 陋】k ( 国) 】旧1 7l 陋， ) 】- 旧】k ( 曲) 】 ( 3 1 ) k ( ) 】_ 随 ) 】旧】7| 旧】为频率响应矩阵，上标表示求复共轭，上标r 表示求转置。以上公式形式简洁， 被认为是线性随机振动分析的核心理论成果【3 0 】，成为平稳随机理论工程应用的基础。但 如果工程结构具有很高的自由度时，即使采用振型迭加法降阶处理，计算量也十分庞大。 虚拟激励法将上述基本算法做了进一步推进，使随机振动问题的计算效率得到了极大的 提高，为工程界应用这些理论成果提供了极其有效的手段。 垒塑塑壁堡塑三堡蜜旦墨童墼婴塞 ( a ) ( b ) x = e i = 0 s 。e 4 s ，= l h l 2 s 。 y = h e 。“ = 0 s 。h e i 。 = 弦 三二詈： 图3 - 1 虚拟激励法的基本原理 f i g 3 1b a s i cp r i n e i p l eo f p s e u d oe x c i t a t i o nm e t h o d 单点激励或单源多点同相位激励 虚拟激励法的基本原理司用图3