（流体力学专业论文）自由射流界面稳定性的伪谱分析.pdf

摘要 射流稳定性问题与许多工程实际过程息息相关，如内燃机中的喷射雾化，工 业冶金中的喷射成形，喷墨打印等。作为射流稳定性研究工作的一部分，本文用 伪谱法研究了自由射流界面的流动稳定性问题，文献中还未见到这方面的研究。 首先，根据流体力学基本原理建立了外边界为无穷远的同轴液体射流和气体 射流模型，并推导了分别以流函数和以原始变量为未知量的轴对称小扰动方程。 其次，本文研究了针对不同速度剖面特点的两种坐标变换( 线性坐标变换和 非线性坐标变换) 对计算收敛性的影响。结果发现当剪切层较薄时，非线性变换 收敛速度更快；而对于剪切层很薄的情况，为了保证剪切层上有足够的配置点， 从而得到收敛的结果，必须采用非线性变换。 另外，在工程实际中，不同实验测量得到的速度剖面往往有一定的差异，因 此在数学模型中使用何种剖面进行稳定性分析是值得研究的问题。本文针对两种 速度剖面进行研究，分别讨论了气液速度差、粘性比、密度比、表面张力等对射 流稳定性的影响。本文还重点比较了两种剖面在相同物理参数下，特别是相同速 度差下对射流稳定性的影响。结果发现对于不同的速度剖面，在相同参数和相同 速度差下，当它们的形状接近时，褥到比较接近的不稳定模态：而当速度剖面形 状差别较大时，即使所取参数和速度差相同，不稳定模态的差别也会较大。因此 射流稳定性模型中速度剖面的形状是十分重要的。 关键词：自由射流坐标变换界面稳定性伪谱法 a b s t r a c t j e ti n s t a b i l i t yh a sm a n ya p p l i c a t i o n s ，s u c ha ss p r a yc o m b u s t i o n ，s p r a yf o r m i n g i n p o w d e r m e t a l l u r g yp r o c e s s e s ，i n kp r i n t e re t c i nt h i st h e s i s ，t h ea u t h o ri n v e s t i g a t e dt h e i n t e r r a c i a ls t a b i l i t yo ff r e ej e tb yp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d ，w h i c hh a sn o t b e e nt o u c h e d i nl i t e r a t u r e s i nt h et h e s i s ，a tf i r s tat w o - f l u i dm o d e l ，w h i c hi sal i q u i dj e ti nac o a x i a lg a s s f f e a mw a sc o n s t r u c t e da n dt h ea x i s y m m e t r i ce q u a t i o n so fs m a l lp e r t u r b a t i o nb o t hi n p r i m i t i v ev a r i a b l e sa n d i ns t r e a m f i m c t i o nw e r eg i v e n t h e nt w ok i n d so fc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n s ( 1 i n e a ra n dn o n l i n e a t ) a p p l i e dt o t w od i f f e r e n tb a s i cv e l o c i t i e sw e r ei n v e s t i g a t e d t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ec o n v e r g e n c e w h e nu s i n gn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ni sf a s t e rt h a nu s i n gl i n e a rt r a n s f o r m a t i o ni ft h e s h e a rl a y e ri st h i n i f t h es h e a rl a y e ri sv e r yt h i n ，u s i n gn o n l i n e a rt r a n s f o r m a t i o ni st h e o n l ym e t h o d t h e v e l o c i t yp r o f i l e si nv a r i o u se x p e r i m e n t sa r ed i f f e r e n t ，s oi t i sm e a n i n g f u lt o i n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo f d i f f e r e n tv e l o c i t yp r o f i l e si nm a t h e m a t i c a lm o d e lo nt h e i n s t a b i l i t yo f t h ej e t i nt h et h e s i s ，t h ee f f e c t so fv e l o c i t yd i f f e r e n c eb e t w e e ng a sa n d l i q u i d ，t h ed y n a m i cv i s c o s i t yr a t i o ，t h ed e n s i t yr a t i oo fg a sa n dl i q u i d ，t h es u r f a c e t e n s i o n ，e t c w e r ei n v e s t i g a t e d t h es i t u a t i o no ft w od i f f e r e n tv o l o c i t yp r o f i l e sw i t h t h es a m ep h y s i c a lp a r a m e t e r s ，e s p e c i a l l yt h es a m ev e l o c i t yd i f f e r e n c ew a sa l s o d i s c u s s e d 。t h er e s u l t ss h o wt h a t ，i ft h es h a p eo fv e l o c i t yp r o f i l e sa r es i m i l a r , t h e u n s t a b l em o d e sf r o mt w od i f f e r e n tv e l o c i t yp r o f i l e sa r ea l s os i m i l a r o t h e r w i s e ，t h e u n s t a b l em o d e sw i l lb em u c hm o r ed i f f e r e n t s ot h es h a p eo fv e l o c i t yp r o f i l ei nt h e m o d e l o f j e ts t a b i l i t yi sv e r yi m p o r t a n t k e yw o r d s ：f r e ej e tc o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o n i n t e r f a c i a ls t a b l l i t yp s e u d o s p e c t r a lm e t h o d 第一章绪论 射流稳定性问题与许多工程实际过程息息相关，如内燃机中的喷射雾化、工业冶金中的 喷射成形、喷墨打印等。人们对于射流稳定性问题的研究已经有一个多世纪的历史了，随着 实验手段的不断进步和理论研究的日趋成熟，虽然人们对射流破碎的物理机制有了一定的认 识但由于其演化和破碎机理相当复杂，影响稳定性的参数较多，对射流破碎的物理机制还 有待更进一步的研究和认识。 1 1 射流稳定性的实验研究 对于射流稳定性的实验研究，人们基本上都是以雷诺数作为研究的一个重 要参数，讨论的往往是看雷诺数在哪些范围内取值使得射流不稳定。而早期的实 验研究表明，人们对轴对称的射流不稳定发生的i l 缶界雷诺数以及射流的不稳定性 随雷诺数的变化情况很难得到一致的结论。 射流的稳定性研究最早要追溯到十九世纪七十年代，p l a t e a u ( 18 7 3 ) 观察到 在静止空气中的圆柱形液体射流会破碎成长度为半径丸倍的渡段( s e g m e n t s ) ，由 这些液段形成的球形液滴的表面能最小。 r e y n o l d s ( 1 9 6 2 ) 进行了轴对称的染色的水射流进入水槽的实验，他根据雷 诺数变化而引起的流动特征变化将流动分为四种不同类型：当1 0 r e 3 0 时， 流动将保持原有的状态；当3 0 r e 1 5 0 时，会产生轴对称的挤j e k , ( c o n d e n s a t i o n ) 现象，但是后来m o l t e n d o r f 和g c b h a r t ( 1 9 7 3 ) 的进一步研究发现。这种轴对称的 挤压是由于实验仪器本身所产生的扰动造成的；当1 5 0 2 3 0 0 时，这种 第1 页 扰动不再出现。 c r o w 和c h a i n p a 朗e ( 1 9 7 1 ) 在对染色的水进行的实验中观察到，当雷诺数从 1 0 0 增加到1 0 0 0 的过程中，射流开始出现的是正弦状( s i n u o u s ) 的扰动，然后逐渐 变为螺旋状( h e l i x ) 的扰动，最后会形成轴对称的扰动波。 h u e r r e 和m o n k e w i t z ( 1 9 8 5 ) 认为，对于各向同性射流。不可压缩、空间演 化的混合层具有对流不稳定性的特征，因此，射流很容易受到周围各种扰动的干 扰而产生不稳定。而外界的干扰随实验条件的差别面不同。这就可以用来解释为 什么当雷诺数较低时很难得到一致的实验研究结论。然而，从已有的实验结果我 们可以得出在低雷诺数( r e 1 0 0 0 ) 下，射流不稳定性演化的两个重要特征： ( 1 ) 雷诺数和我们所关心的最不稳定的模态是相关的；( 2 ) 随着雷诺数的增加， 导致射流不稳定性的扰动将从螺旋状( h e l i c a l ) l 句轴对称状的转变。 实验研究还发现，较大的雷诺数会使得影响射流不稳定性的外界机制削 弱。当雷诺数在5 5 0 0 r e 1 0 范围内时，能观察到静脉曲张型( v a r i c o s e ) 的不稳 定波，并且不稳定演化的早期阶段看起来并不依赖雷诺数：由喷嘴处产生的剪切 层将引起无粘的k e l v i n h e l m h o l t z 不稳定( h o & h u e = e ( 1 9 8 4 ) ) ；不稳定的波会向 下游发展并逐渐卷起形成涡环( y u l e ( 1 9 7 8 ) ) ：当这些涡环被传送到下游时他们会 合并，从而引起剪切层的扩散( h o h u a n g ( 1 9 8 2 ) ) 。流向的涡结构通过在两个相 邻涡环之间的薄层( 涡辫) 产生二次三维不稳定性而得到发展( l i e p m a n n g h a r i b ( 1 9 9 2 ) ) a 以上实验研究的结果表明，雷诺数是研究射流稳定性的一个重要参数，也 是判断不稳定波是何种类型的标志当雷诺数较小时，射流会产生正弦状的不稳 定波；随着雷诺数的增加，正弦状的不稳定波逐渐变为螺旋状；当雷诺数较大时。 射流将会产生轴对称的不稳定波。 1 2 射流稳定性的理论研究 关于射流稳定性的理论研究分为四部分介绍。首先介绍的是关于射流稳定性 的经典理论的研究：然后是近代理论研究的进展：第三我们介绍射流稳定性研究 第2 页 的一个特例，关于冶金工业中的喷射雾化机理的研究概况；最后简要介绍射流稳 定性研究的一般方法。 1 2 1 经典的理论研究 对于考虑表面张力的射流主要有两种不稳定模式，一种就是由表面张力引起 的p o y l e i g l l 模式，另一种是由惯性力引起的t a y l o r 模式。p l a t e a u ( 1 8 7 3 ) 观察到在 静止空气中的圆柱形液体射流会破碎成长度为半径九倍的液段( s e g m e n t s ) ，由这 些液段形成的球形液滴的表面能最小。r a y l e i g h ( 1 8 7 9 a j b ) 认为在较小的r e y n o l d s 数下，由表面张力引起的水动力学不稳定性导致了射流的破碎，他的研究说明在 忽略射流粘性、重力和周围流体的情况下，对于波长大于射流周长的扰动会不稳 定，而且在这些不稳定的扰动中，最不稳定的是波长为射流周长1 4 3 7 的扰动。 这与p l a t e a u 所观察到的相吻合。此后r a y t e i 还研究了粘性射流在无粘气体中 ( 1 8 9 2 a ) 和无粘气体射流在粘性液体中( 1 8 9 2 b ) 的情形，如果忽略气体质量，对于 第一种情况，最不稳定波的波长可以大到无穷，雨对于第二种情况，最不稳定波 的波长为射流周长的2 0 6 5 。w e b e r ( 1 9 3 1 ) 和c h a n d r a s e k h a r ( 1 9 6 1 ) 在r a y l e i g h 的 基础上考虑了液体的粘性和重力，研究发现液体的粘性使得射流的破碎率降低、 破碎粒径增大，因此认为粘性对射流起稳定作用。c h a n d r a s e k h a r 还提出液体射 流的r a y l e i g h 模式的破碎是由于表面张力引起的。r a y l e i 曲和c h a n d r a s e k h a r 的 理论研究与d o n n e l l y 等人( d o n n e l l y g l a b e r s o n ( 1 9 6 6 ) ，g o e d d e y u e n ( 1 9 7 0 ) ) 的 实验研究结果吻合。 t a y l o r ( 1 9 4 0 ) 于1 9 4 0 年提出了风吹水面产生波的模型。在1 9 6 3 ( t a y l o r ( 1 9 6 3 ) ) 年利用线性稳定性理论对低密度气体的时间增长模式进行了分析，发现波长小于 表面张力波波长的扰动是稳定的。之后他又将研究扩展到高密度气体的空间增长 模式上，并发现周围气体的密度对射流的破碎有很重要的影响。当气体的惯性力 ( 与气体密度成正比) 足够大时，会在气液界面产生比射流半径小得多的液滴。这 种能得到很小液滴的t a y l o r 模式的破碎就是所谓的“雾化”。 b r a d l e y ( 1 9 7 3 ) 年u 用t a y l o r 的二维模型考虑了气体速度、气体的可压缩性、液 体的表面张力、重力、粘性等因素，得出当气体速度超过某一临界值时扰动将增 第3 页 长的结论，并得到了波数与频率的特征关系式，研究了与最快增长波的波数相关 的无量纲数厶= 筹与密度、气体的可压缩性、液体的表面张力和粘性问的关 系，给出了液滴尺寸随气体速度变化的通用曲线。之后他又将一些假设条件放宽， 得到了超音速下射流破碎的一些结论，并与实验进行校合，使通用曲线延伸到超 音速区域。这是喷射雾化机理研究的里程碑，它给人们继续研究喷射雾化的机理 提供了正确的方向，给人们利用流体力学流动稳定性理论研究喷射雾化的机理带 来了希望。 1 2 2 近代的理论研究 到八十年代以后，人们对射流稳定性的机理进行了更加深入和细致的研究。 l e i b 和g o l d s t e i n ( 1 9 8 5 ) 研究了轴对称具有不同速度剖面的无粘不可压流体射流 的稳定性问题，得出速度剖面变形和非线性作用可以使得中性波增长起来的结 论。同时两入还研究了粘性对表面张力不稳定性的影响，发现粘性也可以使无粘 情况下的中性波增长起来。另外他们还研究了对流不稳定性转化为绝对不稳定性 过程中剖面形状因子及表面张力所起的作用。 l i 和k e l l y ( 1 9 9 2 ) 建立了周围是可压缩气流、中间为圆柱形液体射流的双流 体模型，在流体没有粘性、平均流是常数且气体速度大于液体速度的假设下，用 线性稳定性理论研究了界面稳定性问题。研究发现，时间和空间的最大增长率都 是在气体马赫数接近1 的时候得到：当气体速度达到超音速时，对流不稳定性转 变为绝对不稳定性。 s h e n 和l i ( 1 9 9 7 ) 针对静脉曲张( v a r i c o s e ) 的扰动，研究了周围是不可压缩粘性 液体、中间为圆柱状可压缩无粘气体的线性稳定性问题。研究发现，如果气液速 度不相同，当韦伯数( w e = 2 吼玎) 较小时，表面张力使得射流的时间不稳定 性加强；当韦伯数较大时，气液之间的气动力学作用使得射流的时间不稳定性加 强，这时，表面张力对射流起稳定作用。增加液体的粘性使得不稳定波的增长率 及其对应的波数减小，说明液体的粘性对射流起稳定的作用。研究还发现影响时 间不稳定性的是气体和液体的相对速度、而不是它们的绝对速度i 当气液速度相 第4 页 同时，表面张力对射流起稳定作用，而气体密度也总是对射流起稳定作用。 l i l l 等人对射流稳定性的理论研究做了大量的工作。l i n 和k a n g ( 1 9 8 7 ) 研究 了轴对称粘性不可压流体喷射到无界的无粘不可压流体中的射流问题。通过建立 数学和力学模型得到了波数与频率的特征关系式。l i n 和l i a n ( 1 9 9 0 ) 利用该模型 及特征方程研究了空间模式下波数与增长率轨迹，认为射流的稳定性取决于三个 独立的无量纲参数( 雷诺数r e 、韦伯数w e 、气液密度比q ) 的取值范围。计算表 明射流破碎存在两种不同的机制，首先表面张力作用使得射流表面生成表面张力 波，之后气体压力脉动与表面张力波发生共振使得液滴直径远小于喷射直径。其 结果与实际得到了一定程度的吻合。同时l i i l 和l i a n ( 1 9 8 9 ) 还发现了绝对不稳定 性的现象，并研究了绝对不稳定存在的液体粘性、表面张力、密度比取值范围。 k a n g 和l i n ( 1 9 8 9 ) 又研究了非轴对称情况下的射流稳定性问题用于解释实际中 经常遇到的涡旋问题。计算表明气液密度比是涡旋产生的重要因素，而涡旋一般 使得射流破碎增强，但这种增强是以很宽的液滴尺寸分布为代价。z h o u 和 l i n ( 1 9 9 2 ) 研究了非轴对称的无粘可压缩流体的射流问题。 1 2 3 关于冶金工业中喷射雾化机理的研究 工业冶金中的喷射成形( s p r a y f o r m i n g ) 是射流稳定性研究的一个重要应用。 喷射成形是指利用喷射雾化( s p r a ya t o m i z a t i o n ) 技术使得液态金属破碎并直接沉 积到模具上从而形成产品或半成品的工艺过程。七十年代初期由s i n g e r 教授提 出理论模型，并由o s p r e y 金属有限公司首先开发研究成功。由于其具有制得产 品性能好、制材范围广、成本消耗低等诸多的优势，近年来受到世界的普遍关注。 因此，人们开始了针对喷射雾化机理的实验和理论研究。 从实验观察到的现象发现气体雾化具有比较简单的基本原理，即连续的液态 金属流被亚音速或超音速的气体流冲击破碎成为液滴，其中雾化气体的能量转移 给了液态金属，导致了金属射流的破碎。一般来说，气体压力增加、气体流量增 加、气流喷嘴到金属流的距离减小将导致平均的粒径减小。r 。d r e i t z 和 f v b r a e c o ( 1 9 8 2 ) 完成了一系列高速液体通过环形喷嘴喷射到静止气体中产生破 碎的实验，目的在于搞清射流雾化的原因以及如何控制雾化达到预期的效果。他 第5 页 们首先总结了许多学者对雾化机理的假说。 ( 1 ) 湍流假说：d e j u h a s z 提出射流的破碎产生在喷嘴的内部，因而液体的湍 流将起到很重要的作用。s c h w e i t z e r 认为管道湍流流动的径向分量将导致射流在 喷嘴出口迅速破碎。支持这一观点的还有h o l r o y d 和s i t k e i 等。 ( 2 ) 压力脉动假说：g i f f e n 和m u r a s z e w 发现液体的压力脉动将对雾化产生 影响；b e r g w e r k 认为在有效的雷诺数范围内湍流的速度分量并不足以解释雾化 现象，而喷嘴内部气泡产生较大的压力脉动将导致雾化的产生。 ( 3 ) 边界条件变化假说：这一假说认为在喷嘴处边界条件突然发生变化导致 了雾化的发生，s h k a d o v 认为由于界面的切应力的突然变化导致了短波长波的增 长。r u p e 观察到高速层流比完全发展湍流更不稳定的现象后认为在喷嘴处速度 截面的变形及能量从新分配使得流动更加不稳定。 r d r e i t z 和e v b r a c c o ( 1 9 8 2 ) 通过实验发现了这些观点的不足之处，认为液 体流的雾化并不是荜一原因造成的，而是诸多因素共同的结果。 j b s e e 和g h j o h n s t o n ( 1 9 7 8 ) 在利用高速摄像技术观察气液流量比以及气 液流的自然属性对雾化的影响的一系列实验中发现金属的雾化可化分为三个阶 段：( 1 ) 射流的初始破碎即大液滴的形成；( 2 ) 液滴的二次破碎即小液滴的形成； ( 3 ) 液滴的飞行与固化阶段。关于第一阶段的机理，c a s t l e m a n ( 1 9 3 2 ) 提出的不稳 定波增长到一定程度后破碎的提法得到普遍的公认。之后液体( 液滴) 已经与气体 完全混合，因此以后的过程已不再适合用液体射流表面波的发展来进行描述。 人们还发现如果超音速雾化增加了h a r t m a n 激波装置，可使得高压气体加速 成为伴有高频脉动的超音速气流，气体马赫数为2 - 2 ，5 ，脉动频率为1 0 5 左右。这 种应用h a r t m a n 原理的雾化喷嘴在瑞典设计完成，在近年来得到了广泛的应用。 这种设计可使得铝粉粒径为2 2 k t m 左右，铜粉粒径为2 0 a m 左右。人们还发现这 种装置雾化并不分为三个阶段，而是瞬时完成的( g a ie r e 1 9 8 5 ) 。为了搞清这种增 加h a r t m a n 激波装置的超音速雾化的物理机制，汤晓东( 1 9 9 9 ) 建立了在高频压力 脉动作用下的单流体模型及外部高频速度脉动气流与内部液体流体作用的双流 第6 页 体模型，发现了强迫共振”和“参数共振”两种共振破碎机制，且计算结果与 实验基本一致。 由实验观测到，在喷射雾化的主要破碎阶段初期，射流表面在气流挤压作用 下变形，然后才开始破碎。针对以往人们只考虑圆柱形射流的模型，胡明海( 2 0 0 1 ) 研究射流梅花状截面对金属射流稳定性的影响，建立了无粘、不可压的单流体模 型，将外部气体的作用看作一种外载。利用正则模态法导出频率与波数的特征关 系，研究了各参数对稳定性的影响，对实验中出现的现象进行了解释，得到一些 新的结果。另外还刹用弱非线性理论研究了小振幅扰动随时间的演化，导出了 l a n d a u 型幅值方程并进行了分析。 马峥( 1 9 9 8 ) 针对射流的主要破碎阶段，建立了轴对称的外部可压缩气体与内 部粘性液体相互作用的双流体模型。证明了界面波失稳引起的不稳定波增长是喷 射雾化中液流破碎形成液滴的主要原因。另外还研究了液滴直径随表面张力、气 体的速度和可压缩性、液体粘性和速度的变化规律。 电磁场和熔融金属可以通过非接触而进行作用，将磁场应用于喷射雾化开始 于二十世纪六十年代初，最初人们也是对生产发现的一些规律进行总结，获取一 些经验性结论。直到六十年代初，由c h a n d r a s e k h a r ( 1 9 6 1 ) 首次对该课题进行理论 上的研究。以后，有很多科研工作者对该方向做了大量的工作。对该方向实验和 理论成果的总结见文献( 郑晓娟( 2 0 0 2 ) ) ，在此，作者不再一一叙述。 1 2 4 射流稳定性问题研究的一般方法 对于射流的线性稳定性问题，根据线性稳定性理论：将基本流加小扰动带入 控制方程和边界条件，去掉基本流满足的那些项，然后对小扰动满足的方程线性 化，就得：n d - , 扰动满足的线性偏微分方程组和边界条件。对小扰动我们用正则模 态( n o r m a lm o d e ) 方法，在柱坐标系下，可将小扰动写作，( z j f ) = f ( r k 陋”j 的 形式，带入方程和边界条件，就会得到一组常微分方程和边界条件。求解上述常 微分方程的数值方法通常有差分法、打靶法和正交函数展开法。目前基于 c h e b y s h e v 多项式展开的正交函数法因其具有精度高、速度快、收敛性好、不必 第7 页 预估特征值等优点而被普遍采用。而正交函数法按照离散方程的方法不同分为 g a l e r k i n 方法、t a u 方法和配点法( c o l l o c a t i o nm e t l l o d ) ，详细叙述可参见 o r s z a g ( 1 9 7 1 ) 和c a n u t o e ta 1 ( 1 9 8 8 ) 。对于本文涉及的两相界面问题，用c h e b y s h e v 配点法求解的文献尚不多见，l i n 等人在1 9 9 8 年( l i n & c h e n ( 1 9 9 8 ) ) 用该方法研 究了管道内同轴粘性液体射流和粘性气体的界面剪切稳定性的物理机制，他分别 对内外两层流体作c h e b ) ，s h e v 展开，并利用线性坐标变换将物理变量变换到 c h e b y s h e v 变量，最后形成广义特征值问题。而对于本文中的无穷域界面问题， 作者还未查到用配点法求解的文献报道。 本文将用c h e b ) r s h e v 配点法研究外边界为无穷远的同轴粘性液体射流和气 体的界面稳定性问题，并针对两种不同的速度剖面采用合适的坐标变换，使得它 们的计算收敛性更好。 1 3 本文工作 本文利用流体力学基本原理对液体射流和外围气体建立了双流体模型，用 c h e b y s h e v 配点法研究了两种速度剖面对射流稳定性的影响。本文的主要工作可 以分为三个部分： 1 模型建立与扰动方程的推导 用流体力学基本原理建立外边界为无穷远的同轴液体射流和气体射流的双 流体力学和数学模型，在基本流为轴对称柱状流的假设下，推导了分别以原始变 量和以流函数为未知量的轴对称小扰动方程。 2 讨论坐标变换对数值收敛的影响： 对于c h e b y s h e v 谱配置法，往往需要进行坐标变换，将物理空间变换到 c h e b y s h e v 计算空间。针对本文研究的两种速度剖面，讨论了两种坐标变换 线性坐标变换和非线性坐标变换对计算收敛性的影响。 3 各种参数变化及不同速度剖面对射流稳定性的影响 在工程实际中，不同实验测量得到的速度剖面往往有一定的差异，因此使用 第8 页 何种剖面进行稳定性分析是值得研究的问题。本文针对两种速度剖面进行研究， 分别讨论了气液速度差、粘性比、密度比、表面张力等对射流稳定性的影响。并 比较了两种剖面的形状在相同参数下对稳定性的影响。 第9 页 第二章模型建立与扰动方程的推导 本章通过流体力学基本原理建立了外边界为无穷的气体中圆柱形液体射流稳定性问题 的模型。假设基本流为定常、轴对称圆柱状流利用线性稳定性理论，将基本流加小扰动分 别带入原始变量和流函数形式的控制方程并关于扰动进行线性化，得到关于轴对称小扰动的 控制方程和边界条件。再将小扰动用正则模( n o r m a l - m o d e ) 展开，得到一组关于径向坐标r 的 常微分方程及其边界条件。 2 1 理论模型的建立 jl r 厂根悻射流 一一， t 。 i _ h 7 l 一 ij ，一- k 、- l - p ， 一雾化气体 图2 1 ：理论模型示意囝 z 我们考虑无穷域轴对称的内部为圆柱形液体射流而周围是气体射流的模型 ( 如图2 1 所示) ，假设液体和气体均有粘不可压，则控制方程为： 嘏坼v 露 谢嘞堋7 牙亿， 【甲巧= d f = 1 , 2 分别代表液体和气体。 旷、n 、且、鸬( f = 雎) 分别代表液体和气体的速度矢量、密度、压力和 动力学粘性系数；f 表示时间；g 表示重力加速度；j 表示轴向单位矢量。 边界条件为 1 ) r = 0 处，满足轴对称边界条件： _ ，：掣：a p _ z i ：0 ， o ro r 2 ) 在r = 口处的边界条件为 相容条件：鲁巩叱警 切向速度连续：= 匕， 法向速度连续：_ ，= 匕， 动力学边界条件 切向平衡：h ( 警+ 錾o r ) = 胁( 警+ 墼o r ，、也， 法向虢a 一饥警一 讹刳一仃( 砉+ 舟。 3 ) 在，= m 处，满足以下边界条件 巧，：挚：挚：d o ro r 其中，、圪o = j ，2 ) 分别为液体和气体在径向、法向的速度分量；r 、z 分 别为径向、轴向坐标；f 为时间：叩为界面的径向坐标；d 为表面张力系数；r ，、 r 。为界面上的主曲率半径。 令液体的初始速度渺为特征速度、液体射流半径口为特征长度，将时间、压 力、速度矢量、坐标分别无量纲化： t w 无量纲参数有 舻劳矿= 导忆刁) = 可) ，a 胁譬n = 墅耽= 学q = 鲁肚n r e g a= 等 弘l a 1 p l f r u j 这里，r e 为雷诺数，f r 为弗罗得数，阡0 为韦伯数，q 为气液密度比r 为 雷诺数与弗罗得数之比，n 为气液动力学粘性系数比。 无量纲化后方程为： 去j 一印，+ 面1 v 2 只 j 鲁+ 吃v 只= 寺；一言勖。+ 去詈v 2 丘 f v n = 0 边界条件为 ，= 匕， ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 第1 2 页 嘎 昏卸 争呱 盟西 塑 一 坠加 一 一 ， j j 卜 i i 一一 d 苟 却百 孥+ 掣：f 丝+ 丝 瑟a r l 出静j 一瓦2 i a v , , 一( 旷等刳+ 去( 刁+ 割= 。 3 ) 在r = 处 一，；华：挚：d o ro r 2 , 2 扰动方程的推导 将流动变量写成基本流加小扰动的形式，即 一 =。 _ = 巧+ y p i = 磊+ p ；，7 = 可+ 矿i = 1 , 2 分别代表液体和气体 假设基本流为定常、轴对称柱状流，可表示为： 巧= ( d ，仉彤( r ) ) 将基本流加小扰动代入控制方程( 2 3 ) 、( 2 4 ) 和边界条件( 2 5 ) ，并关于小扰动 线性化，得轴对称小扰动满足的方程： j 鲁坼v 雳+ 矿呻吲+ 去v 2 曰 【v 吖= 0 j 警谚v 疙厦v 忙扣+ 去詈v 。忍 【v 一巧= 0 边界条件 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 第1 3 页 纠i一争 u 2 1r = j 处： 百8 1 1 = 嘭一警 y ；：= y ；： + _ d w , 矿：+ 华玎 d rd r 警+ 警+ 争杜 警+ 警+ 争印? 小去警一( 小等警) + 去卜剀= 。 3 ) 在r = o o 处： ：娶：d o r 2 3 以原始变量用正则模方法形成的方程 用正则模( n o m a lm o d e ) 方法，可将轴对称扰动量写作 k 饥乙，l p j ( ，毛f l 刁g ，f ) 】：瞳( ，1 只( 厂l 刁】e m + “ ( 2 9 ) 其中，厉o l p ，( 厂) 是扰动的特征函数，k 、分别是我们将要讨论的轴向波 数和时间频率，c o 的实部q 为扰动放大率，虚部吼为相速度。如果c o 是实数， 而女是复数，称为空间模式( s p a t i a l m o d e ) ；反之，称为时间模式( t e m p o m l m o d e ) 。 将( 2 9 ) 式带入控制方程： 第1 4 页 毗r e l 盟d r 2 + ；誓一( h 吾e 彬h 一誓 毗一譬”去降+ ；警一仁2 + i k r e k ：卜 亿， 。= 警+ 匆+ i k r , ： 巩= 去詈 争弓警一 n 吾e 屹，h 警 毗一等”去茜黟弓警一仁2 + i k r e 哆k ：h 砌一， d = d r f y , + ；巧，+ 腩匕。 边界条件 1 ) r = 0 处： ”警= 誓= od rd r 2 ) r = j 处： 出叩= 巧，一腩1 7 巧，一匕，= 0 ”睁一等= 。 峨+ i d v , z 一| ( 蚶刳+ 眵一簪 倒 旷面2 了d g , ，一( 矿罢警 + 去( ，巧) 7 = 。 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 第1 5 页 3 1 在，= o o 处 匕，= 匕：= 挈= 0 咿 ( 2 1 8 ) 这样，我们就得到了一组由原始变量形成的方程和边界条件( 2 1 0 ) ( 2 1 8 ) 。 2 4以流函数作为变量用正则模展开形成的方程 则 同样，用正则模方法，可将流函数办o ，z ，t ) 、办( r f ) 写作 办五f ) = 伊，o k “+ “；办( ，毛f ) = 伊：( ，) p “+ “ = 三妥生= 捕兰纯o k “+ “ r r ：一! 挚：一! 掣产“ ，o rrd r ：三娑：琅! 仍( r 扣m r r ：一! 娑：一三掣产“ 将( 2 1 9 ) 带x ( 2 6 ) ( 2 8 ) ，并消去压力项，得到关于流函数的方程 ( 2 1 9 ) 棚锄o ) = 去e 谚仍( r ) 一璃e 锄( ，) + 争一；刳妒肭 ( z z o ) 劬胁去苦胞训硼跏朋+ 北降一；譬 亿z ， 舰船嘉 杀 胞。= 参一吾多+ 悟一抽2 ) 嘉+ ( 等一爿昙埘 第1 6 页 边界条件 c o r l = i k j o ) 一腩，7 妒，( ，) 一妒：( ，) = 0 蝴d r 一趔d r 一降d r 一剥d r 删 lj 。 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) f 2 2 5 ) 生d r 2 d 枷m 降7 d 卟”降一剥删 ( 掣一q 掣 = 去( 嘉一尘d r 2 + ( ，锄2 ) 期吼( ，) 一献掣+ ( 等+ 腩警 卅) 一薏( 参一生d r 2 + ( ，埘2 ) 期咖) + 蛔掣一( 等+ 哟等卜( ，) 一百1 。, k ( 1 一女2 ) 7 3 ) 在，= 处： 仍o ) ：塑掣：d 甜 这样，就得到一组由流函数形成的方程和边界条件( 2 2 0 ) ( 2 2 8 ) 。 ( 2 2 7 ) f 2 2 8 ) 第1 7 页 ： o一， 燃掣地 p 扣 f p 怍 一 2 5 本章小结： 本章通过流体力学基本原理建立了建立了外边界为无穷的气体中圆柱形液 体射流稳定性问题的双流体模型，在基本流为定常、轴对称柱状流的假设下，利 用线性稳定性理论，将基本流加小扰动带入方程和边界条件并关于小扰动进行线 性化，得到了一组关于轴对称小扰动的方程和边界条件。分别推导了基于流函数 和基于原始变量的方程和边界条件。最后采用正则模( n o r m a l m o d e ) 方法，得到一 组轴对称小扰动关于径向坐标，的常微分方程及其边界条件。 第1 8 页 第三章c h e b y s h e v 配点法及坐标变换 本章主要介绍c h e h y s h e v 配点法，为下一章运用该方法分析射流的稳定性分析作准备。 3 1 节我们首先介绍函数的c h e b y s h e v 多项式展开，并介绍两种求函数导数的方法和公式。 在求解实际问题时。我们经常需要进行坐标变挟，将物理空间的变量转换到计算空闻的变 量，因此在3 2 节介绍了两种针对不同实际情况的坐标变换线性变换和非线性变换。 对于配点法。边界条件的处理也非常重要，3 3 节我们介绍了柱坐标系中配点法对边界条 件的处理。并针对柱坐标系中在r = 口处存在坐标奇异性问题介绍了解决坐标奇异性的方 法。在3 4 给出了用原始变量和用流函数得到的离散方程组以及边界条件，并把它们写成 矩阵形式形成了形如w a x = b x 的广义特征值问题。 3 1 c h e b y s h e v 配点法简介 目前数值求解上述常微分方程的数值方法大致有三类：有限差分法、打靶法 和正交函数法( 是勋刚1 9 9 1 ) ，有限差分法较为直观、简便，但精度较差；打靶 法的原理也较简单，但不易求出所有的特征值：目前基于c h e b y s h e v 多项式展开 的正交函数法因其精度高、速度快、收敛性好、不必预估特征值而被普遍采用。 在用这种方法处理稳定性问题时，最不容忽视的就是由于数值离散而出现的“伪 谱”现象。 下面我们将简单地介绍一下c h c b y s h e v 配点法，关于这一方法的更详细地讨 论可以参考g o t t l i e b 等人( 1 9 8 4 ) 、c a n u t o 等人( 1 9 8 8 ) 、f l l l l a r o ( 1 9 9 2 ) 和f o m b e r g ( 1 9 9 6 ) 的著作。 定义在区间【1 ，l 】上的c h e b y s h e v 多项式：巧( 曲= c 。s ( n c o s - t g ) ) ，其中_ g a u s s - l o b a t t o 配置点：x ，= c 。s ( 熹 ，( ，= 。z ) 第1 9 页 若函数f ( x ，f ) 可以表示为：f g ) = 巳巧扛) i d 其中，被称为离散多项式系数，且口与，g ) 间满足关系： a ，：兰f k e k h ，j = 0 其中h 为配置点，乃为正规因子( n o 皿a l i z a t i o nf a c t o r ) ，为权函数- 正规因子n 满足 乃= 巧k h 配置点孔和权函数满足以下各式 2 k 万 以“”而， c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ：鲁， k ：d ，( 3 4 ) 2 而 2 o ，j 川) ：毒扣。 ， 旷1 熹“ 。5 七石 以邓万 5 因而有正规因子乃满足 三。i ：0 。 2 n 1 ( 3 6 ) 景“( 一，) 第2 0 页 k一2 鼎 卿 m = b & 铲 姝 孤 姐 其中 y i ：专c j j ( n 胪号，对于g a u s s 和g a u s s - r a d a u 公 y = 石， 对于g a u s s - l o b a t t o 公式 f 2 ，j = 0 c ，= 1 j ，j 所以函数f g ) 的导数可以表示为 n f o ) = n ，t7 g ) = a ，丁g ) ( 3 7 ) j - - o瑚 由于c h e b y s h e v 多项式满足以下关系： 所以 2 l g ) = 南强，g ) 一上j - 1 丁j ，- ，b ) ( 3 固 。j ) - _ 2 妻即， 。，；”。 ( 3 9 ) 由方程( 3 ，7 ) 、( 3 8 ) 和( 3 9 ) 可得到f x ) 的表达式。此过程被称为离散多项式变换。 对于c h e b y s h e v 多项式来说这一过程可以通过快速傅立叶变换( f f t ) 实现。 另外函数f ( x ) 的导数还可以利用l a g r a n g e 插值基函数求导得到( 向新民 2 0 0 0 ) 。设 f g ) ：兰f g ，g ) 其中，o ) 匕是以e ，疑。为插值节点的l a g r a n g e 插值基函数，即 ( 3 1 0 ) 第2j 页 妒i b l = 6 护j 1 = o j ，n 对于g a u s s l o b a t t o 节点，有 于是 g ) = 其中，一阶导数矩阵为 o 口1 = ( - 1 ) j “0 一x y g ) 不巧可 ：兰纠，k ) 1 , o ，= d ，( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) c j r 一，j “ i 而7 引 一南肛倒 b 2 n 广2 + 1 ，= f = 。 一t 2 n 2 + 1 ，= f - 其中 c o = c = 2 ，c j = 1 ( 1 兰，n 一1 ) 如果记 则有 d s = ：窆聊f g ，) d ，= ( d r 在后面的计算中，我们就用到了l a g r a n g e 插值基函数的导数。 f 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) 第2 2 页 型出 业出 d 一 3 2 坐标变换 在求解实际问题时，我们通常需要进行坐标变换将物理空间的变量r 变换 到