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曲阜师范大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中微分方程解的存在性及应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学中的一个重要分支，因其能更好地解释自 然界中的各种各样的自然现象，受到越来越多的数学工作者的关注其中b 扣 n a c h 空间中微分方程( 特别是无穷区间上的脉冲方程) 是目前分析数学中研究 最为活跃的领域之一本文前两章致力于非线性脉冲微分方程问题在无穷区间 上解的存在性，第三章利用严格集压缩不动点定理研究了奇异三点边值问题正 解的存在性 第一章，我们通过建立个新的比较定理，应用单调迭代技巧和上、下解方 法，在无穷区间上得到了一阶脉冲泛函微分方程边值问题( b v p ) lz ( 力= ：f ( t ，z ，z ( ，7 ( t ) ) ) ) ，t zt t k ， a z ( t k ) = 疋( z ( t 知) ) ，= 1 ，2 ， ( 1 1 1 ) 【9 ( z ( o ) ，z ( o o ) ) = p 的最小、最大解或弱最小、最大解的存在性，并有单调迭代序列一致收敛于此 最解本章中的j 是一个无界区间，e 为实b a n a c h 空间，因此本文的结论改进 和推广了文【2 - 5 】中的结论如果脉冲项厶为线性的，9 为具体边界值条件， ， 是一个有界区域，我们不需对9 和厶加任何限制条件，结论仍成立 第二章，利用一个新的比较结果和m 6 n c h 不动点定理，得出了b a n a c h 空 间中二阶脉冲积微分方程初始值问题( i v p ) z = f ( t ，z ，z 7 ，t x ) ，t zt t k ， 雠七) = l k x ( 砒 ( 2 1 1 ) z ( t 七) = 厶( z ( t 七) ，z ( t 七) ) ，k = l ，2 ， x ( 0 ) = x 0 ，z 7 ( o ) = z ； 在无穷区间上解的存在性、唯性及迭代序列的一致收敛性本章定理的条件相 对文【1 7 】要弱得多，我们不仅减弱了p 的正则性，还删掉了，在j x b ，b r 研 上的一致连续性，并且本章的证明方法不同于文献【1 3 】，【l7 】，【1 9 】当区间了为 曲阜师范大学硕士学位论文 有限区间，a z ( t 七) = l k x 他七) ，a x 他知) = 工；茁( “) ( l k 0 ，l i 0 ) 时，不需对脉 冲项加任何限制条件，结论仍成立，从而推广了文【1 3 】的结果 第三章，我们考虑e 中奇异二阶三点边值问题( b v p ) ， j 州+ n ( 啪，删= 口，o 2 l( 3 1 1 ) 1t 工( o ) 一心( 1 ) = 8 ，( o ) 一u ，( 1 ) = u ( 1 2 ) 解的判定定理，其中口( t ) c ( ( o ，1 ) ，r + ) ，且允许d ( t ) 在端点t = 0 ，t = 1 处奇异 在，a 满足一定条件下，我们利用严格集压缩不动点定理，得到( b v p ) ( 3 1 1 ) 正解的存在性，特别是两个正解的存在性 关键词：b a n a c h 空间；脉冲微分方程；单调迭代序列；非紧性测度；不 动点；锥 曲阜师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i s m a t h e m a t i c s ，b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r e a n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e m s e l v e st oi t a m o n gt h e m ，t h e p r o b l e m so fn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r eo n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d s t h a ti ss t u d i e di na n a l y s i sm a t h e m a t i c sa tp r e s e n t ，e s p e c i a l l y , t h ei m p u l s i v e i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ni n f i n i t ei n t e r v a l s i nt h i sp a p e r ，i nt h ef o r m e r t w os e c t i o n s ，w ed e v o t eo u rt i m et og i v et h et h e o r e m sf o rs o l u t i o n so fn o n - l i n e a ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni ni n f i n i t ei n t e r v a l s i nt h et h i r d c h a p t e r ，w es t u d ys i n g u l a rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mb yt h ef i x e d p o i n tt h e o r e mo fs t r i c t s e t c o n t r a c t i o n i nt h ef i r s tc h a p t e r ，b ym e a n so fac o m p a r i s o nr e s u l t ，t h em o n o t o n e i t e r a t i v et e c h n i q u ea n dt h em e t h o df o ru p p e r ，l o w e rs o l u t i o n ，w ec o n s i d e rf i r s t o r d e ri m p u l s i v ef u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n i n f i n i t ei n t e r v a l ( b v p ) z ( 亡) = f ( t ，z ，z ( 叩( 亡) ) ) ) ，舌zt t 七， a z ( t k ) = 厶( z ( 如) ) ，k 圭1 ，2 ， 夕( z ( o ) ，。( ) ) = 0 ( 1 1 - 1 ) w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fm i n i m a la n dm a x i m a ls o l u t i o n so rw e a k e ro n e s o f ( b v p ) ( 1 1 1 ) ，a n dm o n o t o n ei t e r a t i v es e q u e n c e su n i f o r m l yc o n v e r g et ot h e e x t r e m a ls o l u t i o n s i nt h i sp a p e r ，t h ei n t e r v a lji sa nu n b o u n d a r yd o m a i n ， t h e r e f o r et h er e s u l t si nt h i sp a p e ri m p r o v ea n dg e n e r a l i z et h er e l a t e dr e s u l t s i n 【2 - 5 i ft h ei m p u l s i v ei t e m 厶i sl i n e a ro rgi st h es p e c i f i cb o u n d a r yv a l u e c o n d i t i o n ，w en e e d n ta n yl i m i t e dc o n d i t i o n so nga n d 厶，t h er e s u l t sa l s oh o l d i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n gt h em s n t hf i x e dp o i n tt h e o r e ma n d c o m p a r i s o nr e s u l t ，w es t u d yt h ee x i s t e n c e ，u n i q u ea n du n i f o r m l yc o n v e r g eo f i t e r a t i v es e q u e n c eo fs o l u t i o nf o rt w o - o r d e ri m p u l s i v ei n t e g r o - d i f f e r e n t i a li n i t i a l l v a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e ( i v p ) ( 2 1 1 ) i nt h i sp a p e r ，t h ec o n d i t i o n sa r ew e a k e rt h a n 【1 7 w en o to n l yw e a k e nt h e r e g u l a ro fp ，b u ta l s oc a n c e lt h eu n i f o r m l yc o n t i n u o u so f ，o nj 耳耳耳 a n dt h em e t h o do fp r o o fi sd i f f e r e n tf r o m 【1 3 1 ， 1 7 1 ，【1 9 1 w en e e d n ta n y l i m i t e dc o n d i t i o n so ni m p u l s i v ei t e m ，w h e nt h ei n t e r v a lj i sf i n i t ea n da = ( t k ) = l 七z ( 如) ，( t k ) = l ：z ( 如) ( l k 0 ，l ：o ) ，t h e r e s u l t sa r ea l s ot r u e h e n c e ， w ei m p r o v et h er e s u l t si n 【1 3 1 i nt h et h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o nf o rt h es i n g u l a r t w o - o r d e rt h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi nb a n a c hs p a c e ( b v p ) 也 ( 亡) + a ( 亡) ，( 亡，u ( t ) ) = p ，0 t 1 ， u ( o ) 一u ( 1 ) = p ，让( o ) 一( 1 ) = u ( 1 2 ) ， ( 3 1 1 ) w h e r ea ( t ) c ( ( o ，1 ) ，r + ) ，a n da ( t ) i ss i n g u l a ra tt = 0 ，1 o nt h ec o n d i t i o n s o f ，a ，w eo b t a i nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no f ( b v p ) ( 3 1 1 ) ，e x i s t e n c e o ft w op o s i t i v es o l u t i o n se s p e c i a l l y , b ym e a n so ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo f s t r i c t s e t c o n t r a c t i o n k e y w o r d s ： b a n a c hs p a c e ；i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；m o n o t o n e i t e r a t i v es e q u e n c e ；n o n c o m p a c tm e a s u r e ；f i x e dp o i n t ；c o n e l l q a 嗡= t昏吣印砒舭州 叫础似 如1 1 = ，d1i 训喇川卅扎雠叫删 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文b a n a c h 空间中微分方程解的存 在性及应用，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立 进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明 确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：布筢厕日期：砂争， 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 b a n a c h 空间中微分方程解的存在性及应用系本人在曲阜师范大学攻 读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了 解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门 送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大 学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分 内容 作者签名：杨车色丽 导师签名：害蝴导师签名：g 长絮伢缉 日期：。加。护6 f 日期：州- 乙 第一章无穷区间上一阶非线性脉冲泛函微分方程 边值问题 1 1引言 近年来，脉冲微分方程理论具有深刻的物理背景和实际的数学模型( 见文 1 】) ，在数学领域中已取得了迅速的发展和广泛的重视有关脉冲微分方程一些 解的结果已广泛研究( 见文【2 1 3 ) ，但他们的结果都局限在有限区间上文【1 4 1 5 】中研究了脉冲积一微分方程在无穷区间上解的存在性，但在b a n a c h 空间无 穷区间上讨论脉冲泛函微分方程边值问题的解却很少文献讨论本章利用上、 下解或弱上、下解及单调迭代技巧考察实b a n a c h 空间( e ，”i | ) 中的一阶非线 性脉冲泛函微分方程边值问题的解( b v p ) l z 他) = s ( t ，z ，z ( 7 7 ( t ) ) ) ) ，t zt t k ， a z ( t k ) = 厶( z ( 如) ) ，k = 1 ，2 ， ( 1 1 1 ) i 夕( z ( o ) ，z ( ) ) = p ， 其中j = 【0 ，0 0 ) ，c j exe ，e l ，厶c s ，e 】，k = 1 ，2 ，g c exe ，e l ，7 c ( zj ) ，口为e 中零元a z ( t 七) 表示x ( t ) 在t = “点的跳 跃，即a x ( t k ) = z ( 右毒) 一z ( 坛) ，其中z ( t 吉) 和z ( ) 分别表示z ( t ) 在t = 如处 的右极限和左极限，k = 1 ，2 ， 令0 = t o t l t 2 缸 i o o ，1 i mt k = j o = 0 ，吼 = ( t l ，如】，j k = ( t k ，如+ 1 】，j = j t o ，t l ，) ，7 _ = s u p t k t k - i ， k = 1 ，2 ，) p c i j , 明= z ：j eiz ( 亡) 在t 如处连续，z ( 亡嘉) ，z ( 石) 存 在，且z ( 亡吉) = z ( 亡七) ，k = l ，2 ，) ， b p c i j , e l = z p c i j , e 】is u pi i z ) | l 0 ， - 1 l k l k 0 ，1 1 ( 1 + l k ) 收敛于r ，如果下列两个条件之一满足： k = lk = 1 丁e 而+ r 一1 ( e m o r 一1 + 1 ) e m o n o 1 ， ( 1 2 2 ) e m o + 1 ) ( e m 。n o 一饥) 1 ， ( 1 2 3 ) k = l 则z ( ) 口( t 厂) ，其中m = s u pm ( t ) ，n = s u pn ( t ) ，u o = 铲m ( t ) d t ， n o = 铲n ( t ) d t 1 证明对任意g p ，令m ( t ) = e 石m ( 下) d r 9 ( z ( t ) ) ，由( 1 2 1 ) 式得 fm ( t ) 一( 孟) e ( t ) m ( 下) 打仇( 叩( 亡) ) ，t z t t k ， a m ( t 忌) l 七m ( “) ，k = 1 ，2 ， ( 1 2 4 ) lm ( o o ) e 胪m ( 下) 打r e ( o ) 显然m ( t ) 0 推得x ( t ) p 现在我们只需证明 m ( t ) 0 ，t z ( 1 2 5 ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 反证法假设( 1 2 5 ) 式不成立，那么存在某个j ，使m ( t ) 0 则有下 列两种情况： ( a ) 存在i j ，使得r e ( t - ) 0 ，m ( t + ) 0 ( a ) 情况下，由( 1 2 4 ) 式得 i 仇7 ( t ) 0 ，t z t t k ， a m c t k 0 ，k = 1 ，2 ， im ( o o ) e j fm ( 下) 打m ( o ) ， 这就意味着m ( t ) 在，上非减，从而m ( 0 ) r e ( t - ) 0 ，m ( o ) m ( o o ) ep o m ( r ) 打m ( 0 ) r e ( o ) ，进而有m ( t ) 在j 上为常数且m 他) 三0 注意到 仇( d 0 ，且存在某i ，j 1 ，2 ，) ， 厶( 屯，t i + i ，t ( ，t j + 1 ，使得m ( t 。) = r ( 若m ( t ) = r ，证明类似) ， m ( t 。) 矿，则i j 类似与i 歹情况，我们容易得到 0 m ( t 4 ) o o m ( ) r1 - i ( 1 + 如) 一r ( n 丁e 胁+ k = i + 1 由( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 式，我们有 o o ( e 胁+ 1 ) i - i ( 1 + 三七) 一1 n r e 晌+ 七= 1 k = i + 1 h ( 1 + l 七) 一1 ( e 胁1 - i 七= 1 4 k = 1 ) ， ( 1 2 6 ) r i ( 1 + l k 。) ) ) 七1 2 七 ( 1 2 7 ) ( 1 + i k ) 一1 + 1 ) e m 。n o 1 ， 歹 j 斟 七 r一 “ k 上 此 因 1 + 1 悼 + r e 1 ， 这与条件( 1 2 2 ) 矛盾 另一种情况，假设( 1 2 3 ) 式成立，证明类似，有( 1 2 5 ) 式成立，即m ( t ) 0 ，t j 再由g p 的任意陛，我们推出x ( t ) 0 ，t j 证毕 考虑线性问题 i 一( t ) = - m ( t ) x ( t ) 一( 亡) z 向( 亡) ) + 盯( 亡) ，t z t t k ， a z ( t 七) = 厶( u ( “) ) + l kc x ( t k ) 一u ( 靠) ) ，k = 1 ，2 ， ( 1 2 8 ) i 夕( u ( o ) ，牡( ) ) + 舰 ( o ) 一u ( o ) ) 一尬0 ( ) 一心( 。) ) = 0 ， 其中尬为正常数 引理1 2 2z q 是问题( 1 2 8 ) 的解当且仅当z 是下列积分方程的解 z ( t ) = c e 一后m ( 下) 打b u + g ( t ，s ) 一( s ) z ( 叩( s ) ) + a ( s ) l d s + g ( 亡，t k ) i k ( u ( t k ) ) + l k c x ( t k ) 一t ( “) ) 】，t zz b p c i j , e l ， ( 1 2 9 ) 其中b u = 一夕( u ( o ) ，让( 。o ) ) + 舰钆( o ) 一尬让( o o ) ，c = m ( 1 一e - 铲m ( r 渺) 】_ 1 ， m ( 亡) ，n ( t ) 同引理1 2 1 中，且 fc 尬e - j m ( r ) d r 一詹m ( 下) 打+ 启m ( r ) d r + e c m ( r ) 打，0 s t o o ， g ( 友s 卜1c 忑e 一铲m ( r ) d r - f ：脚胁肭撇，0 o 。一一 引理1 2 3 假设 ( 日1 ) 存在函数o ，b 在j 上非负有界可积，使得 i l ，( t ，z ，v ) l isa ( t ) c i i x l i + i 阿i i ) + 6 ( 亡) ； ( 岛) 存在常数瓦0 ，云收敛，使得 l | 厶( z ) i i l k l l x l l ， 那么有a ：b p c i j , e 】ob p c i j , 明 5 第一章无穷区间上一阶非线性脉冲泛函微分方程边值问题 证明对任意札b p c i j , 捌，令 o ( t ) = f ( t ，t ( 亡) ，t ( 叼( t ) ) ) + m ( t ) u ( t ) + ( t ) u ( 叼( t ) ) ， 则a u p c i j , 明，且 l i a u ( t ) l l o o _ i i c b u l l + ( c m t + 1 ) l l i k ( u ( t k ) ) + 砧( z ( 如) 一u ( t k ) ) l l + ( c m l e + 1 ) k - - - - 1 i , o o l l ，( s ，u ( s ) ，u ( 叼( s ) ) ) + m ( s ) u ( s ) + ( s ) 让( 7 7 ( s ) ) 一x ( 叩( s ) ) l l l d s ，0 i i c b u i i + ( c 舰+ 1 ) e l l u l l 日- l 七( i i u l l b + l i z l i b ) 】+ ( c 舰e 胁+ 1 ) k = l i o o l 2 0 ( s ) i l u l i b + b ( s ) + m ( s ) | l 训l b + n ( s ) ( 1 l u l l 8 + f i x l l b ) d s ，0 i i c b u i b + ( c m l + 1 ) ( 一l k ) ( 1 l u 1 e + l l z l l b ) + ( c m l e 胁+ 1 ) k - - - - - i i - o o i 【( 2 口( s ) + m ( s ) + n ( s ) ) l l u l l b + ( m ( s ) + n ( s ) ) l l x l l s + b ( s ) d s j 0 + 0 0 所以a u b p c i j , 矧证毕 引理1 2 4 如果( 凰) ，( 飓) 成立，且 ( c m l e m 。+ 1 ) n o + ll k ( c m l + 1 ) l 1 ， k = l 那么任意给定u b p c i j , 明，问题( 1 2 8 ) 有唯一解z q 证明定义算子d 如下： ( d x ) ( t ) = c e 一露m ( 下) 打b u + g ( t ，s ) 卜n ( s ) x ( r l ( s ) ) + a ( s ) l d s ，0 + a ( t ，“) 厶( u ( 如) ) + l k ( x ( t k ) 一让( ) ) 】，孟j , z b p c j , e l ， o t k 0 ，使得 l i r a ( 亡) = z ( t ) ，l i r a 风( 亡) = z 。( t ) ，t z ( 1 3 4 ) n - - - - ) o o n - + o o i i 风l i b l ，i i a n i i s l ，n = 1 ，2 ， ( 1 3 5 ) 又由( 皿) ，( 日2 ) ，得 i i f ( t ，风一1 ( 芒) ，风一1 ( 7 7 ( t ) ) ) 一m ( 亡) ( 风( t ) 一风一l ( t ) ) 一( 亡) ( 风( 7 7 ( t ) ) 一风一l ( 7 7 ( t ) ) ) i l 9 a ( t ) l l 风一l ( 亡) | l + b ( t ) + ( m ( t ) + ( t ) ) ( i i 风( 亡) i i + i i 风一t ( t ) 1 1 ) 【2 a ( t ) + 2 m ( t ) + 2 n ( t ) l + 6 ( t ) ，t 以 ( 1 3 6 ) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 与 i i x k ( z n l ( 如) ) + l 七( 风( 如) 一风一l ( 如) ) i l ( l k 一2 l k ) l ( 1 3 7 ) 根据风的定义与( 1 2 8 ) ，( 1 2 9 ) 和( 1 3 2 ) 式，我们有 风( 1 ) = c e 一片m ( r ) 打b 风一l + g ( 古，s ) 【，( s ，风一1 ( s ) ，风一l ( 叩( s ) ) ) ，0 一m ( s ) ( 尻( s ) 一阮一l ( s ) ) 一( s ) ( 丁( 尻一尻一) ( s ) ) 幽( 1 3 8 ) + g ( t ，如) 陬( 风一l ( “) ) + l k ( 风( 靠) 一尻一1 ( 如) ) ， 0 t k o o 由( 1 3 7 ) 和( 1 3 8 ) 式得 风( 亡) ) 在每个j k 上等度连续再由a s c o l i 7 s - a r z e l a 定理得， 风( 芒) ) 是c 【以，e 上的相对紧集因此存在子列 尻。( 亡) ) 在以一致 收敛于z 。( 亡) g ( i 0 0 ) 根据p 的正规性，且由( 1 。3 3 ) 式知风是非减的， 我们推出整个序列 风( t ) ) 在以上一致收敛于z 。( 亡) ( n o o ) 再由，与厶 的连续性，于是我们有 f ( t ，风一1 ( 亡) ，风一1 ( 7 7 ( 亡) ) ) 一m ( t ) ( 风( 亡) 一风一1 ( t ) ) 一( 亡) ( 风( 叩( 亡) ) 一风一1 ( 7 7 ( 亡) ) ) - - + f c t ，z 。( 古) ，z ( 7 7 ( 谚) ) ， ( 1 3 9 ) 厶( 风一l ( “) ) + 饥( 风( “) 一尻一1 ( 如) ) o 厶( z + ( 如d ，k = 1 ，2 ， ( 1 3 1 0 ) 由( 1 3 6 ) 一( 1 3 1 0 ) 式，再根据勒贝格控制收敛定理，我们有z 。( t ) = a x 。( 亡) ( 佗寸 ) 根据引理1 2 2 ，引理1 2 ，3 和引理1 2 4 ，知z q 是( s v p ) f 1 1 1 ) 的 解当且仅当z b p c i j , 明是算子a 的不动点所以z 。( t ) b p c i j , e 】 是( b v p ) 0 1 1 ) 的解同理z 。( 亡) b p c i j , e l 也是( b v p ) ( 1 1 1 ) 的解，且 z 。，z 4 【卢，叫 最后我们证明z 。( 亡) ，z ( t ) 是( b v p ) 0 1 1 ) 的最解令z ( 亡) 为( b v p ) ( 1 1 1 ) 的任意解，且卢( 亡) z ( 亡) q ( 右) 假设存在扎使得风( t ) z ( t ) 口n ( t ) ( t 厂) 由a 的增性，容易得到a ( t ) a x ( t ) a a n ( 亡) ，即风+ l ( 亡) x ( t ) o l n + 1 ( 亡) 0 z = 1 ，2 ，) ，然后取极限得。( 亡) 冬z ( t ) z ( 亡) ( t j ) 因此( 1 3 1 ) 式成立证毕 推论1 3 1 如果我们用条件( 1 2 3 ) 代替条件( 1 2 2 ) ，定理1 3 1 仍成立 定理1 3 2 设锥p 正则，假设条件( 日。) ，( 岛) ，( 磁) ，( h 4 ) ，( 玩) 和( 联) 成立，条件( 1 2 2 ) ，( 1 2 1 0 ) 式满足，那么存在单调序列( q n ( t ) ， 风( t ) ) cg 第一章无穷区间上一阶非线性脉冲泛函微分方程边值问题 在以上一致收敛于( b v p ) ( 1 1 1 ) 的弱最大、最小半解z + ( 亡) ，z 。( 亡) g 证明令 与 t zt t k ， ， q n 一1 ( 。) ) = 9 ( 1 3 1 1 ) i 鹾( 亡) + m ( 亡) 风( 亡) + ( 亡) 风( 7 7 ( t ) ) i = ，( 亡，风一1 ( t ) ，风一1 ( 7 7 ( 亡) ) ) + m ( 芒) 风一l ( t ) + ( 亡) 风一1 ( 叩( t ) ) ，t zt 缸， l 风( t k ) = 厶( 风一l ( “) ) + 己七( 风( 如) 一风一1 ( 如) ) ，后= 1 ，2 ， i 夕( 一l ( o ) ，风一1 ( o o ) ) + 尬( 尻( o ) 一风一1 ( o ) ) 一尬( 尻( 。o ) 一风一l ( o o ) ) = 口， ( 1 3 1 2 ) n = 0 ，1 ，根据引理1 2 2 ，引理1 2 3 与引理1 2 4 ，易证q l ，尻为良定义 的我们首先证明岛夙o t l o t o 令妒= 尻一凤，