（应用数学专业论文）具有双线性发生率的非自治seis传染病模型的分析.pdf

摘要 传染病是当今世界最引入关注的问题之一，对传染病的传播规律和防治对策的研究是关系国计民生 的重大问题，国内外许多学者都对各种不同类型的传染病进行了研究本文讨论了具有双线性发生率的 非自治s e i s 传染病模型，得到了疾病具有持久性和灭绝性的充分性判据，并在周期情形下讨论了正周 期解的存在性，边界周期解的存在性和稳定性 关键词：非自治，永久性，持续性，灭绝性，基本再生数，存在性，稳定性 i a b s t r a c t e p i d e m i c sh a v eb e e no n eo ft h ed i s e a s e st h a ta r ep a y e dm o s ta t t e n t i o nb yh u m a n - b e i n g s ，s os t u d i e s t or u l e so ft r a n s m i s s i o na n dm e t h o d so fp r o t e c t i o na r co fg r e a ti m p o r t a n c e n a t i v ea n df o r e i g ns c h o l a r s h a v ep a y e dg r e a te f f o r ti ns t u d i e so fk i n d so fe p i d e m i c s i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ep e r m a n e n c ea n d e x t i n c t i o no f n o n - a u t o n o m o u ss e i se p i d e m i cm o d e lw i t hb i l i n e a ri n c i d e n c er a t e ，a n dg e tt h ec o n d i t i o n sw h e n t h ee p i d e m i ci sp e r m a n e n to re x t i n c t ，t h ee x p l o r a t i o n sa l s oi n v o l v et h ee x i s t e n c ea n ds t a b i l i t yo fp e r i o d i c s o l u t i 0 1 1 8i nt h ep e r i o d i cc a s e k e yw o r d s ：n o n a u t o n o m o u s ，p e r m a n e n c e ，p e r s i s t e n c e ，e x t i n c t i o n ，b a s i cr e p r o d u c t i o nn u m b e r , e x i s t e n c e , s t a b i l i t y 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作所取得的 成果。据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果。对本人的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明 确的说明。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权书 本学位论文作者完全了解东：i l n 范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、 汇编本学位论文。同意将本学位论文收录到中国优秀博硕士学位论文全文数据库 ( 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社) 、中国学位论文全文数据库( 中国科学技 术信息研究所) 等数据库中，并以电子出版物形式出版发行和提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：塑壁 日 期：罢q 丑：受量6 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 指导教师签名： 1 时，唯一的地方病 平衡点是全局渐近稳定的，并且疾病最终维持在该平衡点的水平上 本文考虑模型( 1 1 ) 的非自治情形，即 丽d s = a ( t ) - a ( t ) i s d ( t ) s + 7 ( f ) l 面d e = a ( f ) 俗一( 故f ) + e ( f ) ) e ， 历d l = e ( t ) e 一( 吠f ) + 7 ( f ) + 口( f ) m 令t 时刻的总人口数为( 力= s ( o + e ( 力+ j ( f ) ，故 n = a f t ) 一d ( t ) n a ( t ) 1 即总人口数随时间而变化同时，系统( 1 2 ) 可以化为等价方程 ( 1 2 ) 石d e = a ( t ) i s 一( 硪f ) + “o ) e ， 面d l = e ( t ) e 一( 硪f ) + y ( d + 口( f ) ) l ( 1 3 ) 百d n = 么( 力一d ( t ) n - e z ( t ) 1 第二节，我们将讨论永久性和灭绝性，得到疾病具有永久性和灭绝性的充分性判据，并 与自治情形的结果比较分析；第三节讨论周期情形，首先利用重合度理论找到正周期解存在 的条件，再证明边界周期解的存在性与全局稳定性 2 东北师范大学硕士学位论文 2 永久性与灭绝性 设 ( ，) ，e ( f ) ，“f ) ) 为( 1 2 ) 的满足初始条件 s ( 0 ) 0 ，e ( 0 ) 0 ，“o ) 0 的解，对系统( 1 2 ) 中j 的持续性和灭绝性我们作如下的定义： ( 2 1 ) 定义2 l0 5 如果l i m 。i n f i ( t ) 0 ，则称，为强持续的j 如果存在两个正常数l ，i t 屹，使得，ls l i m i n f l ( t ) l i r a s u p l ( t ) v 2 成立，称j 为永久的? 如果l i m i n f l ( t ) = o ，则称，为灭绝的 t - - o o f o o t - - - o o 本文中，我们对系统( 1 2 ) 作如下假设： c 阮) 彳( 力，吠d ，a ( f ) ，a ( f ) ，( 力，v ( o 均为【0 ，) 上的有界连续非负函数； ) 存在常数w i o ，( 江l ，2 ) ，使得 考虑辅助方程 则可得 一+ m i i 啦i n fi a ( s 耐s 0 。 t 。j t 一+ 啦 岫i n fl d ( s ) d s 0 r - ”j l 象= 彳( f ) 一吠咖 引理2 1 2 6 1 假设1 ) ，( n 2 ) 成立，则 ( 2 2 ) ( 口) 方程口矽的满足初始条件矿( o ) 0 的定解矿( ，) 在r + = 【0 ，+ ) 上有界且全局一致吸引 ( b ) 设z ( f ) 为方程口矽的一个解，且g t ) 为方程仁矽中当彳( ，) 由另一个连续函数彳( d 替换所 得到的一个解，则存在只依赖于硪f ) 的常数 0 ，使得 s u p l z ( ，) 一虱f ) i ls u p - l ( d a ( t ) 1 忿ot o ( c ) 存在常数m ，膨 o ，使得 m 0 使得 一+ 尺；= 1 唑j f 6 ( 文郴) 灿 o ， 则，为永久的 证明：与【2 6 的定理4 1 证明相似r l ( 2 3 ) 注2 1 在系统口矽中，当彳，放f ) ，口 ，“f ) f ， ( 力均为非负常数，即系统变为自治的 $ e i s 模型时，此模型的基本再生数为 _ d r o2 面i 瓦再再面 当r o 1 时，自治系统口矽为一致持续的 4 1 另一方面，尺； 0 当且仅当岛= 硒丽2 v 丽z 7 j 雨7 3 丽 l ， 显然由赢 l 能够推出p , o 1 定理2 3 设饵( f ) ，以，) ，( o ) 为口矽的满足初始条件陋( 幻) ，l ( t o ) ，) ) = ( e o ，i o ，喘) 的解， 且矿( f ) 为口矽的满足初始条件z ( t o ) = 的解设) ，( 施) 成立，且存在两个正常数r l ，r 2 o ， 使得 l i r 。a i n f r l a ( t ) z ( f ) 一r 2 ( 硪力+ “o + 口( f ) ) 】 0 ， h o 。 ( 2 4 ) t i m i n f r 2 i e ( o 一，1 ( 硪f ) + “r ) ) 】 0 ， 。 则，为永久的 4 东北师范大学硕士学位论文 证明：对任意常数f 0 ，设z ( f ) 为方程丽d z = 4 ( 0 - d ( t ) z - 口( f ) f 的满足z ( f o ) = 的一个解， 则由引理2 1 ( 6 ) ，存在仅依赖于d ( o 的常数 0 ，使得 s u p 忙+ ( 力一反f ) l l s u p l 口( ，) f l = f s u p a r ( t ) ， f o，2 ：0t o 即对任意f 0 ，都有l z ( f ) 一z ( 纠l f s u p 口( t ) ，又即 f 之o z + ( f ) 一f s u p a ( t ) z ( t ) ，( ，) + l f 吼l p 口( 力( 2 5 ) t o 忿o 令k = 1 + a m t 0 2 + l s u p a , ( t ) ，余下证明与【2 6 】定理4 2 相似，可以证明，为永久的口 注2 2 当系统矽变为自治系统矽时，条件口矽随之变为 r ，1 2 五e 鲁- 一r l 您( d ( + d + e ) y + o 回, 。 这与硒 l 是等价的 注2 3 在定理2 3 中，若将条件仨卅变为 f u n 。i n f 硪力+ a ( 认t ) z f * ) ( + t ) i 万一i m 。i n f 硪玲e + ( t ) 丽 1 ， 由于上式蕴含条件偿矽，故在上述条件下，仍为永久的 定理2 4 设岱( 玲，砸) ，( f ) ) 为口夥的满足初始条件( e ( f o ) ，l ( t o ) ，妒协) ) = ( 疡，南，) 的解， 且矿( f ) 为口矽的满足初始条件z ( f o ) = k 的解设( h o ，慨) a - # - ，若存在常数a 0 ，使得 或 r 吨+ r ：= l i m s a pf p ( 啦( 曲一吠蝴幽o ， t - - o oi t ：l i l n s u p 寻f 队( s 弦( 对一d ( s ) d s o ， l j 0 则j 为灭绝的，即l i m “r ) = 0 f + o o ( 2 。6 ) ( 2 7 ) 证明：由簪= _ ( f ) 一d i ( f ) 胪( d t r ( t ) l ( t ) 彳( f ) 一吠缈( f ) 及比较定理知，( f ) s 少( d ，敌 ( 2 6 ) ，( 2 7 ) 式可分别化为： 及 r , c + a l i ms u p f 似( 5 旷一d ( s ) l d s 0 ， l + j t 1 紫寻r 【砸妒( 小协 。， 余下部分于 2 6 】的定理5 1 类似，可以证明，为灭绝的口 5 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 东北师范大学硕士学位论文 注2 4 当系统口矽变为相应的自治系统“砂时，条件口矽和口矽也分别相应地简化为 a 若刍 ，a 丢刍 t ， 由上面两式，容易得到r o = 硇名杀而 1 ，由m 当凰 0 ，使得 l i ms u p r la ( t ) z ( ，) 一r 2 ( d ( t ) + y ( ，) + 口( r ) ) 】 0 ，使得 ，l i ( 力旷( ，) 一r 2 ( 矾f ) + “f ) + 口( f ) ) - r l ， r 2 e ( f ) 一r x ( d ( t ) + f ( 力) - r ， 对y t t 成立类似【2 6 】中定理5 2 的证明，可证，为灭绝的口 ( 2 1 1 ) 汪2 5 当系统口矽变为相应的自治系统口时，条件仁j 缈也相应地变为 ，1 2 孑a r 2 ( d + 7 + 叻 o ，您f 一，l ( d + f ) o ， 这与硒 茈所以，当r 。 1 ，即藉 厦彳+ 刁( 歹+ 面时，就有， 0 ，此时 e k 华r 0 ，即此时方程有唯一的正解岱，e ，r ) 证毕口 下面，应用连续定理来证明系统( 1 2 ) 的正周期解的存在性首先，定义 r = z = ( ”( f ) = ( 甜l ( f ) 。u 2 ( t ) ，“3 ( f ) ) 7 尺；iu iec ( r ，尺；) ：f ( f + u ) = f ( f ) ，i = 1 ，2 ，3 1 ， 再对任意“e x 或z ，定义范数 i l u l l = i i ( u l ，眈，u 3 ) 7i i = ，m 【o a 叫x 加( f ) + f e 【m o a 。叫x u 2 ( t ) + 坨【m o a ，叫x “3 ( 0 ， 则x 和z 在范数1 1 i i 下是b a n a c h 空间令 “= 厶= 害，砌= 三j _ l ，( ，溅材x 幺= ： f o z ( 恸，z z ， 则不难证明足以= r 3 ，i m l = 仁z f z ( t ) d t = o i ，且m 在z 中为闭的，d i m k e r l = c o d l i ni m l = 3 ；只q 为连续映射，满足m = k e r l 。k e r o = i m l = i m ( 1 一q ) ，因此，为零指数的f r e d h o l m 映射又容易算得，幻的逆映射k p ：i m l _ k e r pnd o t a l 的定义为：晦国= 反s ) 幽一 石i z ( s ) d s d t , v te i m l z 对沪周期函数彳( 力，定义 彳= 三j 厂。却渺= 船删= 蕊， f e 【m 胡 据f 妣w 并对诫f ) ，口( f ) ，坝力，“，) ，畎f ) 作以相同的定义 2 叫+ 竽顺+ 西 肘冠坐+ 脚+ 歹+ 孑+ 刁1 “十y 十【r 成立。则方程口2 j 至少有一个正周期解 8 东北师范大学硕士学位论文 m = r 篡礤料邕至 叫黪斟 k 黼= z 州s 一! f f 2 ( o 跗s a t ， fa l ( u ，t ) - 苟i a l ( u ，f 渺1 = k _ 【会；：2 二圭荽会； 2 ：j 其中e i ( u ，f ) = e 翩，s ) 出一击rg 舡，s ) d s d t 一( 三一；) f 似s ) 凼显然，q 和k k l 一q ) n 曲j 为连续的由a s c o l i a r z e l a 定理，不难证明k p ( i q w ( q ) 对任意有界开集qe 彳均为紧致的 另外，q ( q ) 显然为有界的，因此，对任意有界开集q 删为q 上三一紧的下面，我们寻 找合适的q 来应用引理3 1 首先验证引理3 1 中的条件( 口) 由厶= 3 d v x , , t ( o 1 ) 有 s ( f ) = 囡( 力一a f t ) i s d ( t ) s + k t ) 。q ， f ( f ) = ，_ l l ( 力胚一( 吠力+ f ( ，) ) 明， ( 3 2 ) ，( f ) = a 【f ( r ) e 一( 政f ) + 7 ( 0 + 口( 力加， 其中“r ) = 岱( f ) ，z ( o ，( f ) ) 7 x 为系统( 3 2 ) 的任意解将上面各式从0 到u 积分，得 f a ( t ) - a ( t ) i s - a ( t ) s + 7 ( t ) i d t = 0 ， f a ( t ) l s 一( 诫f ) + d r ) ) 明斫= 0 ， ( 3 3 ) 【e ( f ) e 一( d ( r ) + 7 ( f ) + 口( f ) 加出= 0 ， 甓a ( t ) d t + 甓y ( t ) l d t = 甓a ( t ) i s d t + 蒜d ( t ) s d t , fa ( t ) l s d t = f ( 吠d + “f ) ) 跳 ( 3 4 ) f e ( t ) z a t = ( 硪f ) + 畎d + 口( 伽出， 由( 3 4 ) 第二及第三式，可得 们i ms 蝴虮蝴舐 、l_i-i-ll， 东北师范大学硕士学位论文 于是，由( 3 4 ) 第一式，我们有d ( t ) s d t 一( f 瑚，故f s ( t ) d t 等，由( 3 2 ) 第一式，有 f i s ( t ) l d t 0 最后，由( 3 4 ) 第三式，有 蒜羔， 于是， 脚焰，+ d 0 力胁罴+ 筹等：喝口十y + 口岔l 口十f _ l i 1 0 东北师范大学硕士学位论文 且飓 0 另一方面，由( 3 4 ) 第一式，得 w a m s ( r h ) 山，l + s ( 即o o x t = s 0 7 i ) u ( 烈+ 力， 故s ( 吁1 ) 高b 又由 甓i s 一( t ) l d t 甓i a ( t ) - , t ( t ) i s - d ( t ) s + y ( t ) l l d t s 爿( f 冲+ 一l ( t ) i s d t + ed ( t ) s d t + f , ( t ) x d t = 2 ( a ( t ) d t + y ( t ) l d t ) 2 ( 盯+ m r - ) 。 得到 一 s ( f ) 跏) 一r ( t ) l d t 丽a 刁一2 砸+ 厕：= 礼 注意到知( 1 + 乎) ( 衙+ 历 | l 0 由( 3 4 ) 第一式，也可以得到4 “j 7 3 ) 批j + 脓讧于是， i ( q 3 ) 百a - m d 。 由( 3 2 ) 式， 甓i i ( t ) l d t 甓l e ( t ) e - ( d ( t ) + y ( o + a ( t ) ) l l d t f e ( t ) e d t + f ( 硪f ) + 们+ a ( t ) ) i d t m w g + m w ( d 一+ y + 0 = 删孑+ 孑+ 歹+ 而， 故 一一 粥一【ua百md一地(-f+d一+歹+访h3i(173)l(t)ldt a t - - l a h 3 ， j ( d 一f茅一地+ 一+ 歹+ 面：= ， j o 垤t 由已知，孑一朋彳 膨u 承孑+ 再歹+ 而，故m ) h 3 0 同样，由( 3 4 ) 第三式，可以得到 ，u，u h 3 0 _ ( d + 歹+ 两j ( d 【f ) + ，( f ) + 似f ) y 面= ie ( t ) e d t e ( 叩2 ) c 厄 于是，e ( r t 2 ) 丛掣塑，由( 3 2 ) 第二式，可得 所以， fi e ( t ) l d t = fi , t ( t ) l s 一( 吠f ) + e ( t ) ) e l d t s 甓, i ( t ) i s d t + f ( a ( t ) e ( o ) e d t = 2 式a ( t ) _ r s d t 2 m 2 w 五, e ( f ) 一厂旧! 堕! 立一 ：h 2 e ( t 2 ) ( t ) l d t n 3 a + y + a ) 2 m 2 , o 万 ， e ( f ) 一f 旧 一一 ：= ， j 0 f 又由 彳一肘孑 m 冠墼+ 删孑+ 歹+ 孑+ 动， 。d + y + 口 得到e ( t ) h 2 0 综上，对啪l - ( f ) ，e ( ，) ，m ) ex , 有0 h t s i ，0 h 2 e ( o 1 4 2 ，0 h 3 ，( f ) 功 考虑代数方程( 3 1 ) a u s d s + i i = 0 。 m s 一( d + 刁匹= 0 ， 刁一( d + 歹+ 云) ，= 0 ， s 0 ，e 0 ，i 0 ， 由引理3 2 ，可以知道此方程至多有两个非负解，即正解晖，e + ，) 和边界解( 孝，0 ，o ) ，令嘭o = l 。2 ，3 ) 充分小，使得 o 啊 m i n l h l ，争，o 砭 m i n l h 2 l ，o m a x l n 3 ，r l ， 再定义 q ：( 以，) ；岱( r ) ，e ( 力，( f ) ) 7 x ： s ( f ) z ；i i ： ( f ) 爿三；| l l ； m 珥) ， 则由上面的证明可以知道，对任意v a ( o ，1 ) ，厶；脓的每个解x = ( o ，e ( f ) ，k 幻) 都满足 瓦 h lss ( f ) sh l 啊；吐 h 2 墨e ( 幻飓 砭；吗 h 3s 砸) 胁 啊， e e 因此，u ( h l ，疋，砖) 综上，得出矛盾，所以，对任意( 玑a ) ( o q n k e r l ) x 【o ，l 】，都：f f f ( u ，五) 0 最后，由b r o u w e r 度的性质， d e g l d q n , qnk e r l ，0 = d e g q n k e r l ，0 = d e g f ( ，1 ) ，q n k e r l ，0 l = d e g l f ( ，0 ) q n k e r l ，0 l = s i g n d e t do 0 一似+ 刁 oo = s i g n - d ( d + 刁( d + 歹+ 司 0 0 o 一( d + 萝+ 面 由于i m q = k e r , 故由i m q 到k e r l 的同态，可选取为恒同映射，于是，引理3 1 的条件( c ) 也 满足综上所述，由连续定理，l x = n x 在d o t a lnq 中至少有一个解，即方程( 1 1 ) 至少存在 一个正周期解，证毕口 例如，取s o = l ，g o = 2 ，_ t o = 3 ，山= 1 ，m = o 1 ，a = 3 ，“f ) = 0 3 + 0 2 5 s i n 2 t r t ，似，) = 0 4 0 2s i n 2 a t ，诫f ) = 0 0 6 0 0 1s i n 2 a , t ，e ( ，) = 0 5 + 0 4 5s i n 2 a r t ，口( f ) = 0 6 4 + 0 6 c o s 2 万t ，贝4 定理 3 1 中条件满足，由图3 1 易见，方程存在唯一的正周期解 下面，讨论周期系统( 1 2 ) 的边界1 0 一周期解的存在性和稳定性 东北师范大学硕士学位论文 图3 1 当系统( 1 2 ) 中各系数满足定理3 1 条件时系统( 1 2 ) 存在唯一正周期解 首先，对定义在【0 ，+ o o ) 上的实值函数六令 厶= l i r a i n f f ( t ) 。尸= l i r as u pf ( t ) 一f - + 引理3 3 ( f l u c t u a t i o n l a m m d l 4 】) ；设厂：( t o ，o o ) _ r 为有界且连续可微的。则存在序列 勘，勃_ ，0 一+ ) ，使得当姐_ + o o 时，下式成立： f ( s 。) 一厶，o n ) 0 ， f ( t n ) 一广，似) 一0 定理3 2 系统矽总存在一个边界( 俨周期解岱( f ) ，0 ，o ) ，其中 趴力= 撕- 1 ) - 1 ( 厂邵) e - f 诫r 册d s ) 另外，当 = 刁雨2 u 丽e u a 而uy l 时，此边界周期解为全局渐近稳定的 1 4 东北师范大学硕士学位论文 证明；易证 + ( r ) ，0 ，o ) 为方程( 1 2 ) 的一个纠一周期解令岱( r ) ，e ( f ) ，( f ) ) 为方程( 1 2 ) 的满 足s ( o ) o ，e ( o ) o ，( o ) 0 的解，由于s ( d ，e ( f ) ，1 ( 0 均为非负有界函数，由引理3 3 ，可以选 取序列而_ + o o ，使得i ( s n ) - 尸，) _ o ，胛_ + ，于是 ( 勘) = f ( 勘) e ( 晶) 一( 诫勘) + 代) + t r ( s n ) ) i ( s n ) f l ，e ( 妇) 一( d + 7 + 口) 7 “勘) ， 上式中，令t l 一，得 0 ，e ”一( d + 7 + a ) t f ， 则 尸矗南矿 ( 3 6 ) 因为( r ) 彳( 力一d ( t ) j v a ”一礼所以 矿等 再选取序列岛，使得e 以) 一酽，瓴) - o ，刀_ ，则 ( 岛) = a ( 岛y ( 岛) s ( 岛) 一( 吠岛) + d 岛) ) e ( 岛) ， ( 岛) ”一( d + e ) t e ( t n ) 1 , , l u a 广u “岛) 一( d + e ) l e ( t n ) ， 再令n _ ，由( 3 6 ) 式，得 。等西南矿一f + e ) ，矿= _ + f ) ，卧l 矿， 因为r 1 ，所以f 一1 0 ，又因为 + f ) 0 ，所以e ”0 又由如0 ，得e * = 如= 0 ，即 t i m e ( t ) = 0 又由( 3 6 ) 式，得到严0 。于是蜘们= 0 1 ，f + 令2 ( d = s c t ) 一s ( f ) ，贝0 i ( o = s ( o s ( d = 一a ( f 状，) ( s ( f ) 一s + ( ，) ) 一烈力( s ( ，) 一s ( f ) ) = 一【，l ( 啪( f ) + d 【f ) 琢f ) ， 由引理3 3 ，存在序列h _ + ，n + + o o ，使得当，- + 时 如) _ z p o ，l ) 一+ 0 ， “) - ，歹) _ 0 ， 于是， l ( f n ) = 一【a ( j h y ( ) + 甙) 】z ( 如) ， 1 5 东北师范大学硕士学位论文 图3 2 当系统( 1 2 ) 中各系数满足定理3 2 条件时，系统( 1 2 ) 有唯一的边界解，且为全局渐近 稳定的 令，_ + ，得0 一桫，故，0 而另一方面，7 ( “) = - l ( ) “) + 吠) 】z ( ) ，令疗一+ ， 得0 一矿，故知0 于是，= 尹= o 即熙z ( 力= o 又即s ( o _ s t _ + 综 上， ( d ，e ( f ) ，( f ) ) _ ( f ) ，0 。o ) ，_ + ，即边界周期解岱+ ( f ) ，0 ，o ) 为全局渐近稳定的口 例如，取= 1 ，m = o 1 ，a = 0 8 ，y ( f ) = 3 + 3 s i n 2 7 r t , a ( t ) = 4 - 4 s i n 2 7 r t , d ( t ) = 0 6 0 6 s i n 2 z r t , “，) ； 5 5 s i n 2 a t ，a ( 0 = 6 4 2 4 s i n 2 ，r t ，则满足定理3 2 中的条f 牛再取s o = 4 ，e o = 1 5 ，o = 3 ，由图3 2 易见，方程( 1 2 ) 存在唯一边界周期解 1 6 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】b a r b 2 i l a ti s y s t e m e sd e q u a t i o n sd i f f e r e n t i a ld o s c i l l a t i o n sn o n l i n e a r i e s 【j 】r e v r o u m a i n em a m 1u r e sa p p l ， 4 ( i9 5 9 ) ：2 6 7 - 2 7 0 【2 】2 b e r e t t ae ，h a mt , m awb g l o b a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f a ns i re p i d e m i cm o d e lw i t hd i s t r i b u t e d 【j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s t h e o r y m e t h o d s a p p l i c a t i o n s , 4 7 ( 2 0 0 1 ) ：4 1 0 7 - 4 11 5 【3 】f a nm ，k u a n gyd y n a m i c so fan o n a u t o n o m o u sp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t ht h eb e d d i n g t o n d e a n g e l i sf u n c - t i o n a lr e s p o n s e 【j 】m a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s ，2 9 5 ( 2 0 0 4 ) ：15 3 9 【4 】f a nm ，l imy , w a n gk g l o b a ls t a b i l i t yo f a ns e i se p i d e m i cm o d e lw i t hr e c r u i t m e n ta n dav a r y i n gt o t a lp o p u - l a t i o ns i z e 【j 】m a t h b i o s c i ，17 0 ( 2 0 01 ) ：19 9 2 0 8 【5 】f r e e d m a nhl , t a n gmx ，r u a nsg u n i f o r mp e r s i s t e n c ea n df l o w sn e a rac l o s e dp o s i t i v e l yi n v a r i a n ts e t 叨 j d y n a m d i f f e q u a l6 ( 19 9 4 ) ：5 8 3 6 0 0 【6 】g a i n e srg ，m a w h i nrm c o i n c i d e n c ed e g r e ea n dn o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 7 7 【7 】g a osj , c h e nls ，t e n gzd a n a l y s i so fa ns e l r se p i d e m i cm o d e lw i t ht i m ed e l a y sa n dp u l s ev a c c i n a - t i o n f 1 r o c k ym o u n t a i nj m a t h 5 ( 2 0 0 8 ) ：1 3 8 5 1 4 0 2 【8 】g e p a l s a m yk s t a b i l i t ya n do s c i l l a t i o n si nd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fp o p u l a t i o nd y n a m i c s 叨k l u w e r a c a d e m i cp u b l i s h e r s ，d o r d r e e h l19 9 2 9 】苟清明，王稳地一类具有饱和发生率的s e i s 模型的全局稳定性【j 】生物数学学报，2 3 ( 2 0 0 8 ) ：2 6 5 2 7 2 【l o 】李建全，马知恩两类带有确定潜伏期的s e i s 传染病模型的分析田系统科学与数学，2 6 ( 2 0 0 6 ) ：2 2 8 2 3 6 【11 】l imy , g r e a fjr ，w a n gl ，k a r s a ij g l o b a ld y n a m i c so fas e i rm o d e lw i t hav a r y i n gt o t a lp o p u l a t i o ns i z e 【j 】 m a t h b i o s c i ，1 6 0 ( 1 9 9 9 ) ：1 9 1 2 1 3 【1 2 】l i m y , m u l d o w n e y j s g l o b a l s t a b i l i t y f o r t h e s e i r m o d e l i n e p i d e m i o l o g y j 。m a t h b i o s c i 。1 2 5 ( 1 9 9 5 ) ：1 5 5 - 1 6 4 【1 3 】m aw b ，y a s u h i r ot a k e n c h i ，t a d a y u k ih a r aa n de d o a r d ob e r e t t a p e r m a n e n c eo f a ns i re p i d e m i cm o d e lw i t h d i s t r i b u t e dt i m ed e l a y s f 1 t o h o k um a t h e m a t i c a lj o u r n a l ，5 4 ( 2 0 0 2 ) ：5 8 1 - 5 9 1 【1 4 】马知恩，周义仓，王稳地等传染病动力学的数学建模与研究 m 】科学出版丰土，2 0 0 4 【15 】m u k h o p a d h y a yb ，b h a t t a c h a r y y ar a n a l y s i so fas p a t i a l l ye x t e n d e dn o n l i n e a rs e i se p i d e m i cm o d e lw i t hd i s - t i n c ti n c i d e n c ef o re x p o s e da n di n f e e t i v e s 【j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ：r e a l w o r l d a p p l i c a t i o n s ，9 ( 2 0 0 8 ) ：5 8 5 5 9 8 16 】pv e nd e nd r i e s s c h e ，w a t m o u g hj a sl m p l es i se p i d e m i cm o d e lw i t hab a c k w a r db i f u r c a t i o n 【j 】j m a i h b i o l , 4 0 ( 2 0 0 0 ) ：5 2 5 - 5 4 0 【1 7 】s h e njh ，l ijl e x i s t e n c ea n dg l o b a la t