（基础数学专业论文）广义不变凸性下多目标规划问题的最优性和对偶性.pdf

摘要 对函数凸性的推广以及在各种广义凸性的基础上获得规划的最优性条件和对偶理 论是最优化理论研究的热点。 本文首先阐述了多目标最优化问题中广义凸性的研究现状。其次列出了本文所涉及 到的多目标最优化的基本知识，如多目标规划的数学模型、多目标规划问题的几种不同 的“最优解 和多目标规划对偶理论的概述。最后给出了( e ，a ，p ，d ，妒) 一凸函数、 ( e ，a ，p ，d ，妒) 一拟凸函数、( e ，a ，p ，d ，妒) 一伪凸函数等广义凸函数的定义，得到了 ( e ，a ，p ，d ，缈) 一凸函数的线性性质以及满足分式函数的封闭性的性质，分别在 ( e ，a ，p ，d ，9 ) 一伪凸性和( e ，a ，p ，d ，妒) 一拟凸性的基础上着重讨论了不可微多目标非线 性规划问题的最优性条件和对偶理论，并特别针对w o l f e 型对偶，证明了相应的弱对偶、 逆对偶和强对偶定理。 多目标规划，最优性条件，对偶性 关键词 t h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yo ft h em u l t i o b je c t i v e p r o g r a m m i n gp r o b l e m su n d e rg e n e r a l i z e di n v e xf u n c t i o n s a b s t a c t g e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sa n dt h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dd u a l i t yi n v o l v i n g g e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sp l a yac e n t r a lr o l ei nt h ep r o g r a m m i n g i nt h i st h e s i s ，f i r m l y ，t h ep r e s e n ts i t u a t i o no fm u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m su n d e r g e n e r a l i z e di n v e xf u n c t i o n si si n t r o d u c e d s e c o n d l y ，t h e c o n d i t i o na n db a s i cd e f i n i t i o n so f m u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m su n d e rg e n e r a l i z e di n v e xf u n c t i o n sa l ei n t r o d u c e ，f o r e x a m p l e ，t h em a t hm o d e lo fm u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m s ，s e v e r a lo p t i m a ls o l u t i o n s o fm u l t i - o b j e c t i v ep r o g r a m m i n gp r o b l e m sa n d d u a l i t yt h e o r e m t h i r d l y ，t h ec o n c e p to f g e n e r a l i z e d ( e ，a ，p ，d ，9 ) 一c o n v e xf u n c t i o n s ，( e ，倪，p ，d ，9 ) 一q u a s i c o n v e xf u n c t i o n sa n d ( e ，仅，p ，d ，妒) 一p s e u d o c o n v e xf u n c t i o n s a l ed e f i n e d t h el i n e a ln a t u r ea n dc l o s e n e s sa r e o b t a i n e du n d e r g e n e r a l i z e d ( 瓦，a ，p ，d ，9 ) 一c o n v e xf u n c t i o n s ，t h e s u f f i c i e n t o p t i m a l i t y c o n d i t i o n sa n dd u a l i t yt h e o r e ma l ee s t a b l i s h e du n d e rt h e ( e ，a ，p ，d ，妒) 一p s e u d o c o n v e x f u n c t i o n sa n d ( 咒，仅，p ，d ，9 ) - q u a s i - c o n v e xf u n c t i o n s ，s p e c i a l l yf o rt h ew o l f ed u a lp r o b l e m s ， t h ew e a k ，s t r o n ga n ds t r i c t l yd u a l i t yr e s u l t sa r ep r o o f e d k e yw o r d s m u l t i o b j e c t i v ep r o g r a m m i n g ，o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ，d u a l i t y i i 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 耋丝望指导教师签名：童翌。逊， i 矽d 年f 月3d 日0 侈1 o 年，月多d 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：囊怨宇 z , o o 年，月岁。曰 西北大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 国内外概况 多目标最优化问题是2 0 世纪7 0 年代迅速发展并成长起来的一门新兴学科，主要 研究在某些条件限制下多个数值目标如何同时达到最优解的问题，它是数值最优化的 深入和发展，并且已经成为应用数学和决策科学的一个交叉学科分支。多目标最优化 理论涉及到非光滑分析、凸分析、非线性分析和集值理论等多门学科。同时，它在农 业种植、工业设计、经融投资、交通运输、经济规划、环境污染、教育卫生以及军事 决策等领域有着广泛的应用。无论是在理论分析还是在应用研究方向均具有极大的挑 战性，因此一直受到国内外学者的重视。 1 2 多目标最优化问题的产生 多目标最优化的产生可以追溯到1 7 7 6 年英国经济学家亚当斯密( a s m i t h ) 关 于经济平衡和1 8 7 3 年埃奇沃思( f y e d g e w o r t h ) 关于均衡竞争等问题的研究。1 9 世 纪末期与2 0 世纪初期，1 8 9 6 年和1 9 0 6 年法国经济学家帕雷托( v p a r e t o ) 在他的经 济福利理论著作中，不仅提出了多目标最优化问题，并且还引进了帕雷托最优化的概 念，这对于最优化学科的形成有着十分重要和深远的影响。此外，德国数学家康托尔 ( g c o n t o r ，1 8 9 5 年) 关于有序集理论和豪斯多夫( f h o u s d o r f f ，1 9 0 6 年) 关于有序 空间理论的研究所取得的成果，以及法国著名数学家波莱尔( e b o r e l ，1 9 2 1 年) 关于 心理决策和美国数学家冯诺伊曼( j v o nn e u m a n ，1 9 3 3 年) 关于对策论的研究，都 为促使多目标最优化的产生提供了基本的理论工具和条件。 多目标最优化问题从帕雷托( v p a r e t o ) 的正式提出到约翰逊( e j o h n s e n ) 系 统提出多目标决策模型，先后经历了六七十年的时间。现代多目标最优化学科的正式 形成始于2 0 世纪5 0 年代，库普斯曼( t c k o o p m a n s ，1 9 5 1 年) 在其关于数量经济学 的工作中，从生产与分配的活动分析的角度也提出了多目标最优化问题，并且第一次 提出了现在广泛使用的p a r e t o 最优解的概念。1 9 5 1 年库恩( h w k u h n ) 和塔克尔 ( a w t u c k e r ) 从数学规划角度也给出了p a r e t o 最优解的概念，并讨论了这种解的充 要条件，奠定了多目标规划的理论基础。1 9 5 8 年赫尔维兹( l h u r w i c z ) 把多目标最 优化问题推广到一般的拓扑空间中，1 9 6 3 年l a 瑞特( l a z a d e h ) 从控制论的角度 提出多目标控制问题的一些基本概念，研究多目标最优控制问题，最终使这一学科的 抽象理论为数学家们所广泛接受。不少著名数学家先后转入这一领域研究，取得了许 第一章绪论 多有意义的成果。国内学者林锉云，董加礼著有“多目标最优化方法与理论，胡毓 达著有“多目标规划的有效性理论 。 总之，从2 0 世纪7 0 年代以来，多目标规划的研究在国际上引起来学者们的广泛关 注。到目前为止，多目标最优化不仅在理论上取得了重要的成果，而且其研究成果在 应用上也越来越广泛。多目标决策作为一个工具在解决工程技术、经济、管理、军事 和系统工程等众多领域的问题也越来越显示出强大的生命力。 1 3 多目标最优化问题中广义凸性的研究现状 对最优性必要条件和充分条件的研究在最优化理论中一直是个重要课题。这是因 为通过最优性条件不仅可以判别最优解，而且还可以建立对偶理论和稳定性理论。对 于凸规划，k - k - t 条件是最优性的充要条件。而对于非凸规划，情况就复杂的多，能 否对广义的凸规划建立相应的充要条件? 或者将已经得到的最优性条件进行改进，进 而得到在广义凸性条件下，原规划的最优性条件以及对偶理论。 1 9 8 1 年h a n s o n t l l 给出了一不变凸函数、不变拟凸和不变伪凸函数的定义，它是 一般意义下的凸、拟凸和伪凸函数的推广。随后，大量的文献利用这类凸函数研究了 最优性条件，参见文献 2 】- 【5 】等。 1 9 9 1 年c r b e c t o r t 6 1 给出了一不变b 一凸、拟b 一凸和伪b 一凸函数，它是不变凸、 拟凸和不变伪凸函数的推广。借助这类函数研究了多目标规划问题，如文献【7 】- 【9 】等。 2 0 0 1 年a n t c z a k 1 0 1 一1 1 1 给出了一类更广义凸函数一( p ，) 一凸函数，它同样是不变 凸、拟凸和伪凸函数的推广。在文献 1 2 中，a n t c z a k 给出了( p ，) 一不变凸函数的向 量形式。在文献【1 3 】中，a n t c z a k 给出了更一般的广义凸函数一b 一( p ，广) 一不变凸函 数，它不仅是不变b 一凸、拟b 一凸和伪b 一凸函数的推广，而且是( p ，) 一凸函数的 推广。 目前的大部分的研究是在b 一( p ，r ) 一不变凸函数的限制下，讨论多目标规划问题 ( 即) ： m i l l f ( x ) = ( 石( x ) ，五( x ) ，f 。( x ) ) ( 1 1 ) s j g ，( x ) 5 0 ，j = l ，2 ，押，( 1 2 ) 2 西北大学硕士学位论文 x x 的m o n d w e i r 对偶定理和w o l f e 对偶定理。 ( 1 3 ) 文献 1 4 1 利用b - ( p ，r ) 一不变凸函数建立了多目标规划问题的m o n d w e i r 型对偶 ( 肋) ： m a x f ( y ) = ( 石( y ) ，f 2 ( y ) ，厂。( y ) ) k” 豇 丑w ( y ) + 一( 少) = o ， l a ，g g ( y ) o ， l a = ( ，如，九) 0 ，u = ( u 1 ，“2 ，) 三o ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 并证明了弱对偶、强对偶以及逆对偶定理。它推广了涉及不变凸函数、不变b 一凸函 数和( p ，) 一不变凸函数的文献的结论。 文献【1 5 】利用b 一( p ，) 一不变凸函数建立了目标函数和约束函数均为可微的多 目标规划问题( 即) 的w o l f e 型对偶( f d ) ： m a x 厂( y ) + ”t g ( y ) = ( 石( y ) + “l ( y ) ，f 女( 少) + ( y ) ) k” n 九w ( y ) + p ( y ) = o ， t j g ( y ) 三o ， l a = ( ，九，九) o ，u = ( ，u 2 ，z k ) 三o ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 1 ) 并证明了目标函数和约束函数在b 一( p ，) 一不变凸函数限制下的弱对偶，强对偶和逆 对偶定理。其结论具有一般性，推广了许多一般涉及不变凸函数、不变b 一凸函数和 ( p ，) 一不变凸函数的文献的结论。 t r g u l a t i 和m a i s l a m 给出了f 一凸函数1 6 1 的定义，j e v i a l t l 7 1 给出了p 一凸函 数的定义，p r e d a 1 8 1 扩展了f 一凸函数和p 一凸函数，给出了( f ，j d ) 一凸函数，并建立 第一章绪论 了多目标规划的强对偶及弱对偶理论。 z a l i a n g 、h x h u a n g 和p m p a r d a l o s 提出了( ，口，p ，d ) 一凸2 2 1 的概念，进步 拓展了( f ，p ) - 凸函数。 张庆祥1 9 1 利用m i n c h 对称梯度给出了( f ，p ) ，一凸、( f ，j d ) 。一拟凸和( f ，p ) 。一伪凸 函数，并得到了一类半无限规划的最优性条件。文献【2 0 】在( f ，j d ) ，一凸的情形下，给 出了一类非可微多目标规划的逆对偶定理。 文献 2 l 】在c l a r k e 广义次梯度下定义了一类更广义的凸函数类即g 一( ，p ) 一凸 函数类，并讨论了多目标局部l i p s c h i t z 问题有效解的最优性条件。 目前的研究是在次线性泛函f 的基础上借助( f ，a ，p ，d ) 一凸函数讨论非线性多目标 规划问题( v o p ) ： m i n f ( x ) = ( 石( x ) ，五( x ) ，厂。( x ) ) ( 1 1 2 ) s t x a = x x oig ( x ) s o ，办( x ) = o ( 1 1 3 ) 的w o l f e 型对偶定理。 其中厂：五专r ”，g ：五一r p ，办：五一r 9 ，在i a 是可微的，k 是毛中的开集。 文献 2 3 】给出了( v o p ) 的：w o l f e 型向量对偶( m e d ) ： 。 m a x ( 石( “) + 甜t g ( “) + z 丁办( 甜) ，厂所( 甜) + ”t g ( “) + z t 办( 甜) )( 1 1 4 ) s t 【v 7 r ( ) 】t 卢+ 【v g ( 甜) 】t y + v 办( 扰) 】t z = 0 ，( 1 1 5 ) p t e = 1 ，y 三o ，卢2 0 ，( 1 1 6 ) 卢r 肘，y r p ，z r 9 ( 1 1 7 ) 并证明了相应的弱对偶、强对偶理论。 a r i v e l t 2 4 lg y , y ( 厅，缈) 一凸函数，徐义红、刘三阳【4 1 4 3 】针对( 办，妒) 一凸函数研究了 它在多目标规划种的最优性条件和对偶理论，并给出了( 办，妒) 一不变凸函数的若干性 质，以及在b e n s o n 真有效解意义下的最优性条件，张庆祥【2 5 1 研究了涉及( 办，妒) 一凸函 4 西北大学硕士学位论文 数的一类半无限规划的最优性充分条件，王香柯1 2 6 1 研究了一类( j i 2 ，9 ) 一意义下非光滑 规划解的充分性，雷忠学定义了( 办，缈) 一单调函数，并探讨了与( 向，9 ) 一广义单调函数 有关的( 办，9 ) 一变分不等式的若干性质。张庆祥给出了( 办，9 ) ：一凸函数、( 办，9 ) ：一拟凸函 数和( 办，9 ) ：一伪凸函数等广义凸函数，研究了涉及它们的非光滑( 办，9 ) 一半无限规划解 的充分性条件和对偶性结果。这些研究都有力的促进了( 办，9 ) 一函数的发展。 近年来，许多学者对凸函数1 2 7 进行了许多有益的推广，杨新民把类凸函数推广 到广义类次凸函数，b e c t o r 和s i n g h 把凸函数推广到b 一凸函数，s u n e j a 和s i n g h 2 8 1 推 广到曰一预不变凸函数，同时，把已推广的凸函数引入规划，讨论规划的最优性、对 偶性理论，如j e y a k u m a r 2 9 i 引入不变凸函数，讨论了非光滑非凸问题的最优性和对偶 性，w e i r 和m o n d l 3 0 】引入了预不变凸函数，讨论了多目标最优化问题的最优性， o s u n a g o m e z 3 1 】引入广义类次凸函数，讨论了多目标最优化问题的最优性和对偶性， 关于这方面的研究还有文献【3 2 】- 【3 7 】等。 第二章多目标最优化问题的基本概念 第二章多目标最优化问题的基本概念 2 1 单目标最优化问题的一些预备知识 最优化问题的一般形式( 尸) 是： r a i n 厂( x )( 2 1 ) s j q ( x ) = 0 ，江l ，2 ，m ， ( 2 2 ) c j ( x ) 0 ，j f = 1 ，2 ，p 。 ( 2 3 ) 其中r l 为维向量x = ( 五，而，) t r ”，目标函数厂( x ) 和q ( x ) ，f = 1 ，2 ，p ，为x 的函数，s ， 是英文s u b j e c tt o 受限制于的缩写，即x 受限制于等式约束( 2 2 ) 和不等式约束( 2 3 ) 。 若z = ( 西，x 2 ，) t r ”满足等式约束( 2 2 ) 和不等式约束( 2 3 ) ，即： x e = x r ”i q ( x ) = 0 ，f = 1 ，2 ，m ；c j ( x ) o ，= m + l ，p ) ， 则x 为规划( 尸) 的可行解。e 称为规划( 尸) 的可行集。 称x 为问题( 尸) 全局最优解，对任意的x e ，都有f ( x ) ( 工) ，。 称x 为问题( p ) 的一个局部最优解，如果存在x 的某个邻域 札( x ) _ x l l l x - - x i i f ( x ) ，其中s 0 ，i 表 示向量模。 通过以上的叙述知求解最优化问题( 尸) 的最优解，就是求在满足等式约束和不等式 约束的条件下目标函数f ( x ) 的全局最优解或局部最优解。 将最优化问题叙述为以下几种形式： 1 ) 称问题( 尸) 为无约束最优化问题，即不存在约束条件： 2 ) 称问题( 尸) 为约束最优化问题，即存在等式约束和不等式约束， 3 ) 称问题( 尸) 为非线性规划问题，如果目标函数和约束函数中至少有一个是非线性 函数。 4 ) 则称问题( 尸) 为二次规划问题。如果目标函数为二次函数，而约束函数是线性函 6 西北大学硕士学位论文 数。 2 1 1 梯度与h e s s e 矩阵 定义f ( x ) 在x 处的梯度为力维向量： v f ( x ) ：( 掣，_ o f ( x ) ，o * 0 9 掣) t( 2 4 ) 旺o x , 其中d 是戤中的开子集，f ：d c r ”专r 1 为可微函数 若f ( x ) 二次可微，贝u f ( x ) 在x 处的h e s s e 矩阵为，z 甩对称矩阵： v 2 f ( x ) = a2f(x) 融” a2f(x) 2 ” a 2 f ( x ) 阮” ( 2 5 ) 其中第( f ，歹) 个元素为罢冬堕，也可记为g ：v f ，g ：v ：f ，g ：厂( x ) 。 o x 。c ， 如果厂：d c r ”专r 1 的每一个分量函数，( x ) ，江1 , 2 ，z 在x 处是连续可微的，则 称f ：d c r ”一r 1 在x d 是连续可微的。厂。( x )f ( x ) 在x 处导数，并且是一个m n 矩 阵，( x ) 在x 处梯度w ) 的转置是它的第f 行。 2 1 2 凸集与凸函数 凸函数的相关概念在最优化理论中有着相当重要的作用，为此给出凸集与凸函数的 定义。 定义2 1集合dcr ”称为凸集，如果对于任意的九( 0 ，1 ) 以及x ，y d 均有 z x + ( 1 - z ) y d( 2 6 ) 定义2 2 定义在凸集dcr ”上的函数f ( x ) 称为凸的，如果对于任意的a ( 0 ，1 ) 以及x ，y d 均有 f ( a x + ( 1 - g ) y ) a 厂( x ) + ( 1 - 1 ) f ( y )( 2 7 ) 7 第二章多目标最优化问题的基本概念 当x y ，上式不等式严格成立，则此时的函数f ( x ) 为严格凸函数。 2 1 3 广义凸函数 在以下的定义中假设f ( x ) 是凸集xce ”上的实值函数。 定义2 3 称f ( x ) 是x 上的拟凸函数，如果对于任意的a ( 0 ，1 ) 以及x 1x 2 x 均 有 f ( a , x 1 + ( 1 一z ) x 2 ) f ( x 2 ) ，( 2 9 ) 定义2 5 称f ( x ) 是x 上的严格拟凸函数，如果对于任意的a ( o ，1 ) 以及 一，x 2 x ，f ( x 1 ) f ( x 2 ) 均有 f ( a , x 1 + ( 1 一九) x 2 ) ( x 2 ) ，( 2 1 1 ) 定义2 7 称f ( x ) 是x 上的强拟凸函数，如果对于任意的a ( 0 ，1 ) 以及x 1 ，x 2 x ， x 1 x 2 均有 f ( z x l + ( 1 一x ) x 2 ) m a x f ( x 1 ) ，f ( x 2 ) ) ，( 2 1 2 ) 2 2 多目标最优化问题的基本知识 2 2 1 多目标规划的数学模型 多目标规划的数学模型的标准形式描述如下： 8 西北大学硕士学位论文 r a i nf ( x ) = ( 彳( x ) ，五( x ) ，( x ) ) t ，p22 ， s 1 g ，( x ) o ，i = 1 ，2 ，m ，( 2 1 3 ) h j ( x ) 0 ，= l ，2 ，z 由于每个目标的量纲一般情况下是不同的，因此事先将每个目标规范化，约定在以 下的讨论中，上述模型的目标均以规范化。r a i nf ( x ) 是指对p 个目标 ( z ( x ) ，正( x ) ， ) ) t 求最小，当目标函数和约束函数都是线性函数时，上述规划称为 线性多目标规划问题，否则，称为非线性多目标规划问题。 2 2 2 多目标最优化问题的几种不同的“最优解 定义函数f ：r r ，对给定的可行解五，置天，比较目标函数值厂( 五) ，厂( 五) 便 可以确定其大小关系。但对于多目标规划，任意给定两个可行解五，五r ，目标函数 值的大小关系是无法确定的，由于目标函数是向量，也许既存在厂( 墨) 小于等于f ( x 2 ) 的 向量也存在厂( 五) 大于等于f ( x 2 ) 的向量，因此需要重新定义多目标规划问题的“最优 解”。 在以下的定义中假定： 设x = ( 而，x 2 ，毛) t ，y = ( m ，y 2 ，) t a ) “= ：x = y 是指而= 咒，江1 ，2 ，刀； b ) “ ：x y 是指薯 咒，i = l ，2 ，聆； c ) “ ：x 】，是指x 】，且x y ，即薯s 咒且至少存在一个f o 使得气 t 可t g ( u ) 其中a 与口分别为权向 量。 l o 西北大学硕士学位论文 强对偶定理：若规划( p ) 和( d p ) 分别存在最优解x 。和u ，并且满足f ( x ) = 6 ( u ) ； 或者f f f ( x ) = 刃r g ( u ) ，其中允与订分别为权向量。 第三章 ( e ，口，p ，d ，9 ) 一凸性下不可微多目标规划的最优性条件和对偶性理论 第三章( e ，a ，p ，d ，9 ) 一凸性下不可微多目标规划的 最优性条件和对偶性理论 在本章中给出了( e ，a ，p ，d ，9 ) 一凸函数的定义，并得到了它的一系列性质，进而讨 论了在上述广义凸性条件下给出了多目标非线性规划问题的最优性条件和对偶理论。 本节讨论多目标非线性规划问题： c v o p ， 竺a 2 嚣芝7 嬲0 ：怒x 蛩0 ， l s j j = x 爿。i2 ( x ) j i z ( ) = 其中x ocr ”是非空开集，f ：k 专r ”，g ：k 一足p ，h ：x o r 9 都是局部l i p s c h i t z 函数。 3 1 ( 冗，a ，p ，d ，9 ) 一凸函数的定义及性质 在以下定义中，f ：k x o x r ”一天是次线性函数，函数厂：k 专r 在五可微， 设a ：五x o 寸墨 0 ) ，p r ，d ：x o x o 专r ，妒：x 寸r ，b ：x o x o 专皿 定义3 1 称函数厂在x o ) c o 关于f ，妒，b ，d 是( 圪，o t ，p ，d ，9 ) 一凸的，如果对于任意 的x x o ，存在p r ，考a f ( x o ) ，使得： b ( x ，x o ) c p ( f ( x ) 一f ( x o ) ) f ( x ，x o ；a ( x ，而) 考) + j d d 2 ( x ，x o ) ( 3 2 ) 定义3 2 称函数在x o x o 关于，9 ，b ，d 是( 瓦，a ，p ，d ，9 ) 一伪凸的，如果对于任 意的x x o ，存在p r ，考o f ( x o ) ，使得： b ( x ，x o ) c p ( f ( x ) 一厂( 而) ) 0 j f ( x ，x o ；a ( x ，) 考) + p d 2 ( 工，x o ) 0 ( 3 3 ) 定义3 3 称函数厂在x o x o 关于f ，9 ，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，9 ) 一严格伪凸的，如果对 于任意的x x o ，存在p r ，考可( x 。) ，使得： b ( x ，x o ) ( p ( f ( x ) - f ( x o ) ) 0 j f ( x ，x o ；a ( x ，) 考) + p d 2 ( x ，x o ) o ， 1 4 西北大学硕士学位论文 9 是线性映射，则黑在关于f ，9 ，6 ，d 是( 尼，石，万，d ，妒) 一凸的，其中 g u ) 孔器吣 帅= p 锗g ( x ) g ( xg ( ) 一” 。) 证明：由f ，- gx o x o 关于f ，妒，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，9 ) 一凸的，有： b ( x ，而) 妒( 厂( x ) 一厂( ) ) f ( x ，x o ；a ( x ，而) 髻) + p d 2 ( x ，x o ) b ( x ，x o ) 9 ( 一g ( x ) + g ( ) ) f ( x ，x o ；a ( x ，x o ) z ) + p d 2 ( x ，x o ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) 出9 是或1 王畎羽，瓦u 7 ) 利瓦【3 8 ) 以及0 ，g 0 ，得： 坼删器器， ：b ( x , x o ) 9 ( f ( x ) - ，f 、( x o ) + 世掣) g ( x ) g ( x ) g ( x o ) 2 酉b ( x , x o ) 町川圳+ 觜卅m ) + g ( 删 去旷( x , x o ；a 。 增) + p d 2 0 川) + 器嘉旷o ，一( 孙m + p d 2 ( 确) ) 2 裂删碱) 湍) + 丽g ( x o ) m 删碱) 姑帅器瓣讯) 裂m 删碱，警帅觜双砜， 卸( x , x o ；a ) 裂a ( 器) ) + p 觜m m 鸵2 器a ，万= j d 锗，则： 砧妒( 嚣一而f ( x o ) 脚化琊 顾器) ) + 础碱) 所以器在而关于f ，妒 d 是( 只，瓦万，d ，妒) 一凸的。 性质3 6 若厂，一g 在而k 关于f ，妒，b ，d 是( e ，口，p ，d ，9 ) 一伪凸的，i bf o ，g o ， 艰线性映射，且棚口) 旧口 o 则器在而关于 第三章 ( e ，o t ，p ，d ，妒) 凸性下不可微多目标规划的最优性条件和对偶性理论 即，6 ，惆耵瓢卅伪凸的，其中万= 器咖0 ) ，万= p 锗。 而 又 证明：由b ：x o x o r 和e ( a ) 0 ， 进而f ( x ) - f ( x o ) 0 ，丛型墨掣型 0 ， g 【x jg l x o j 由b x o x o 专r ，缈是线性映射，且有9 ( 口) 0 a 0 ，知： b ( x , x o ) 妒【! 掣】：6 ( x ，) 妒i f ( x ) 一( 而) 】 o ， ( 3 9 ) g ( b ( x , x o ) 妒p q 鱼丝二箬薹掣】：i f ( x o ) b ( x , x o ) 缈【( 一g ( x ) + g ( 而) 】 o ，( 3 1o ) g ( x ) g ( x o )g ( x j g 【x oj 由f ，- g 在x o x o 关于f ，9 ，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，9 ) 一伪凸的，知： b ( x ，x o ) c p ( f ( x ) - f ( x o ) ) 0jf ( x ，x o ；a ( x ，而) 考) + p d 2 ( x ，x o ) 0 ， b ( x ，) 妒( 一g ( x ) + g ( x o ) ) 0 = f ( x ，x o ；a ( x ，) f ) + p d ( x ，x o ) 0 ， 再由式( 3 9 ) 和式( 3 1 0 ) 可得： 去即胤吣州绀嘉“制 = 鬻，( x , x o ；a “) 器) + 丽1 酬2 矾) o 雨f ( 丽x o ) f ( 五；吨( 五而) f ) + 雨f ( 丽x o ) p d 2 ( 五剐 = 器f ( x , x o ；a “而) 器帅孬f ( 丽x o ) m 小。 p j 卜两吉柏，i n 辑 1 6 西北大学硕士学位论文 裂f c x , x o ；a ，紫帅掣裂， = ，( x , x o ；a ) 器a ( 器) ) + p 粼似小。 令万= 罴g ( x o 吣 ) ，j万= p 鬻，则： f ( x ，；瓦( x ，) a ( 黑) ) + 两2 ( x ，x 。) o ，妒是线性映射，且有妒( 口) 0 ， 9 是线性映射，且有妒( 口) o ，9 是线性映射，且有9 ( 口) 0 ，三0 ，万三o 如果可+ g + 万办在i 关于f ，妒，b ，d 是( 磊，口，p ，d ，妒) 一伪凸的，且j d 0 ， a 0j 9 ( 口) 0 ，那么i 是( v o p ) 的有效解。 证明：假定i 不是( v o p ) 的有效解，则存在x a ，使得： f ( x ) 一( 孑) 0 ，g 百( x ) 一g ( i ) s 0 ，h ( x ) 一h ( i ) = 0 贝0 ( 可( x ) + 可e g e ( x ) + 万忍( x ) ) 一( 矽( 2 ) - y e g e ( i ) 一万乃( 舅) ) 0 ， 由式( 3 1 3 ) 可得： 玩厂( x ) 一瓦厂( i ) 0 ，可f g e ( x ) 一可e g e ( 舅) 三0 ，面办( x ) 一万办( 冤) = 0 ， 由a 0 j 9 ( 口) 0 ，有： b ( x ，i ) 妒 ( 矽( x ) + 可f g e ( x ) + 万办( z ) ) 一( 可( i ) 一可e g e ( i ) 一万j i z ( i ) ) 】 0 ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 由可+ & + 万办在i 关于，9 ，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，9 ) 一伪凸的，所以存在手可( i ) ， f 船( i ) ，彳动( 冤) ，使得： f ( x ，i ；万( x ，冤) ( 万r 宇+ 矿r f + 万7 彳) ) + 声刁2 ( x ，i ) 0 由& 得定义和式( 3 1 2 ) ，得出： 1 8 西北大学硕士学位论文 f ( x ，2 ；f f ( x ，i ) ( 玎r 手+ 矿r f + 访7 可) ) + 万d 2 ( x ，孑) 0 由p 0 ，知： f ( x ，孑；瓦( x ，i ) ( 订r 手+ 可7 f + 万7 可) ) 0 ，有： b ( x ，i ) 9 ( 可( x ) + 可e g e ( x ) + 万办( x ) ) 一( 衫( i ) 一可e g e ( i ) 一万办( i ) ) 】0 由矽+ g e + 万乃在孑关于f ，妒，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，妒) 一严格伪凸的，所以存在手可( i ) ， f 西( i ) ，彳锄 ) ，使得： f ( x ，2 ；f f ( x ，i ) ( 万r 手+ 可r f + 万7 百) ) + 万d 2 ( x ，i ) 0 由得定义和式( 3 1 2 ) ，得出： f ( x ，冤；瓦( x ，i ) ( 瓦7 手+ 矿r f + k7 万) ) + 声d 2 ( x ，i ) 0 ，有： b ( x ，冤) 9 【( 矽( x ) + 矽e g ( x ) + 面 ( x ) ) 一( 可( 孑) 一可e g ( i ) 一万办( i ) ) 】0 由矽+ + 谚 在覃关于f ，9 ，b ，d 是( e ，a ，p ，d ，9 ) 一拟凸的，所以存在手可( i ) ， f o g ( i ) ，彳锄( i ) ，使得： f ( x ，i ；瓦