（精密仪器及机械专业论文）基于圆轨迹X射线三维CT的图像重建算法研究.pdf

基于圆轨迹x 射线三维c t 的图像重建算法研究 摘要 锥形束三维c t 是c t 技术的最新研究领域之一。同二维扇束c t 相比较，它可以 获得更高的空间分辨率，更快的扫描速度，更高的射线利用效率，这对医学影像诊断和 工业无损检测有着重要的意义。 本文介绍了锥束c t 精确重建算法，在总结前人在这方面所做的工作的基础上，对 精确重建的条件进行了直观的解释。对三种实用的近似重建算法即f d k 算法、交叉卷 积法和锥形卷积法进行了简要的分析，阐述了每种算法的优缺点。 推导了两类常用几何体模型的锥束投影数据的解析计算方法，并对它进行了模拟实 验。进一步分析了数值法投影噪声的来源并提出了改进方案，通过数值模拟结果，比较 了方法改进前后的效果。 论文针对工业平板探测器，以提高f d k 算法的重建质量、降低重建图像的噪声为 目的，对投影数据的处理进行了一些研究。分析模拟投影数据噪声产生的根源，提出了 一种改进的f d k 方法。这种方法依据穿过体素的长度来考虑对被重建体素点的作用， 据此作为反投影过程中反投影值的加权系数，实验结果表明，改进的算法在去除噪声和 提高重建图像质量上取得了比传统的f d k 算法好的效果，它不论是在x - y 平面还是在z 方向的重建图像质量都有了较大的提高，但是重建速度会有所下降。 关键字：锥束重建；精确重建条件；f d k 算法；噪声 a l g o r i t h mr e s e a r c ho fl m a g er e c o n s t r u c t i o nb a s e do nc i r c u l a rx - r a y t h r e e d i m e n s i o n a lc t a b s t r a c t c o n e - b e a mc ti so n eo f t h em o s ta d v a n c e ds u b j e c t so nt h ef i e l do f c t c o m p a r e dw i t h 2 df a n - b e e mc ti tc a na o b i e v eh 讪盯s p a t i a lr e s o l u t i o n , h i g h c rs c a ns p e e da n dh i g h e r e f f i c i e n c yo f x - r a y t h e s ea d v a n t a g e sa r ev e r yi m p o r t a n ti nm e d i c a la n dn o n e s t r u c t i o n f i r s to fa l l , w ei n t r o d u c et h ec o n eb e a me x a c tr e e o n s t m c t i o na l g o r i t h m s ，吼n n m a r i z et h e w o r kw h i c hw e r ed o n eb e f o r e a tt h es a n l et i m e , w ee x p l a i nt h ec o n d i t i o n so f t h e m t h e nw e d e s c r i b ea n da n a l y z et h r e ea p p r o x i m a t er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sc a r e t h l l y , t h ef d km e t h o d ， c r o s s i n g c o n v o l u t i o nm e t h o d , c o n i c a lc o n v o l u t i o nm c t h o d a f t e rt h a tw em e n t i o nt h e a d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e so f e v e r yo n e t h em e t h o d so fc a l c u l a t i n gt h ec , o n eb e a mp r o j e c t i o no ft w ot y p i c 碰c o m i l l o n3 d g e o m e t r i e sa r ed e d u c e d f u r t h e r m o r e w ea l s oi n t r o d u c et h es i m u l a t i o no f d i g i t a lp r o j e c t i o n s t h ec a u s eo f n o i s ei nt h es y n t h e s i z e dp r o j e c t i o n si sa n a l y z e d a c c o r d i n gt oi m p r o v e m e n ta n d c o m p u t c rs i m u l a t i o n , w ec o m p 撇t h ee f f e c to f t h e m b a s e do nt h ec h a r a c t e r i s t i co fi n d u s t r i a lf l a t - p a n e ld e t e c t o r , i no r d e rt oi m p r o v et h e q u a l i t yo ft h ei m a g er e c o n s t r u c t e dw i t hf d k m e t h o da n dr 嘶a i ni t sn o i s e , s o m er e s e a r c h a b o u ti m p r o v e df d km e t h o da n dp r o j e c t i o n sd i s p o s a lh a v eb e e nm e n t i o n e di nt h i sp a p e r f r o mt h ep r o b l e mh o wt h en o i s eo fp r o j e c t i o nh a p p e n , w eg i v ei m p r o v e m e n ta b o u tt h ef d k m e t h o d u s m gt h el e f 啦w h i c ht r a v e r s et h ev o x e lf o rt h e c o e f f i c i e n to f b a c kp r o j e c t i o nv a l u e , a f i 盯s i m u l a t i o nw eo b t a i nb e t t o re f f e c t i tc a ne l i m i n a t et h en o i s ea n di n c r e a s et h ei m a g e q u a l i t yo nt h ex - yp l a n ea n d 8 9 a o s $ zd i r e c t i o n , b u tt h es p e e do f c o m p u t a t i o nw i l ls l o wd o w n k e y w o r d s ：c o n e - b e a mr e c o n s t r u c t i o n ；e x a c tr e c o n s t r u c t i o nc o n d i t i o n s ：f d ka l g o r i t h m ：n o i s e 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：础e i i 由i ：麴虫：兰：丝 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括： 学校有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可 以采用影印、缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学 位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位 论文；学校可以公布学位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密 后遵守此规定) 。 签名： 导师签名： 日期：型l 圭：丝 日期：一垒鼍l l 丛一 中北大学学位论文 第一章绪论 1 1 本文的研究背景及意义 x 射线计算机断层成像( x - r a yc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称c t ) 技术是二十世纪八十 年代发展起来的一种融合了射线光电子学、信息科学、微电子学、计算机科学等领域知 识的高新技术。c t 是目前最先进的无损检测技术之一，广泛应用于航空、航天、工业、 诊断医学、生物等多个领域的检测评估，其具有诸多优点：( 1 ) 非破坏性和非入侵性；( 2 ) 非接触性；( 3 ) 适用检测对象广泛，如生物体、各种金属和非金属材料；( 4 ) 图像无影像 重叠，密度分辨率和空间分辨率较高；( 5 ) 可直接进行三维显示、图像处理、传输等数字 化处理。 x 射线断层成像技术的物理原理是：x 射线穿过物体时会发生强度衰减，衰减的程 度和物体的密度、原子序数以及入射射线的能量和初始强度有关。利用这个原理，让x 射线从不同的角度穿过被检测物体并被探测器接收，再利用各种不同的算法重建出被检 测物体各处的射线衰减系数并得到其分布图像，以此反映被测物体的密度分布，这就是 c r 技术的基本思想。 c t 作为一种无创伤检查的医学影像设备，在医疗系统中得到广泛的应用，它最突 出的特点是不仅影像对比度高而且可以实现断层成像；可有选择地对人体的某一截面进 行观察分析，还可以获得离散的，准三维结构的信息【l j 。然而，目前常用的二维c t 设 备仍具有x 射线的利用率低，成像速度慢，难以对运动器官进行成像等缺点【2 埘。 因此，目前c t 的研究和商业发展的重点主要是为了克服以上的缺点，其中一个研 究热点就是用锥束扫描方式来取代以前常用的扇束扫描方式。锥束扫描可以充分利用球 管( x 射线发生装置) 产生的x 射线；同时由于锥束扫描扩大了每次旋转的扫描范围， 因此也可以大大地提高整体扫描速度，使对诸如心脏这样地动态器官的成像成为可能 ( 以前也可以成像，只是效果较差。考虑有必要时可以提出多排探测器成像，现在已经 成功应用于医学c t ) 。但是，锥柬扫描技术面临的挑战是扫描结构和算法复杂，运算量 剧增，其关键算法还都处于理论研究阶段【2 l 。 虽然目前主流c t 是二维c t ( t w od i m e n s i o n a lc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称2 d c t ) ， 中北大学学位论文 但三维c t ( t h r e ed i m e n s i o n a lc o m p u t e dt o m o g r a p h y ，简称3 d c t ) 在医学和工业上的需 求越来越广泛。同时三维c t 图像重建算法的研究也得到了迅速发展，已成为研究的热点。 三维c t 重建算法包括解析法和迭代法。迭代法的优点是抑制统计涨落和噪声，缺点是计 算量大，速度慢。相对于迭代法，解析法重建速度快，所需数据存储空间小。由于三维 c r 的数据量较大，解析法比迭代法在三维c t 中的应用更为广泛。 解析法包括精确重建算法和近似重建算法两种。关于解析法中精确重建算法的相关 研究有g 删1 9 e a t 算法1 4 6 】，它利用二维投影数据估计三维逆r a d o n 变换，对短物体成像效 果好；k 她e v i c h 于2 0 0 2 年给出，2 0 0 3 年又给予改进的螺旋锥柬c t 的精确重建公式睁”， 在理论上给出了长物体的c t 成像。关于解析法中近似重建算法的相关研究有： h e r m a n ”l c w i t t 和m c k a y - 卣接利用扇束算法进行锥束扫描三维重建，当锥角较小时， 图像较好；f d k ( f e l d k a m p - d a v i s - k r e s s ) 算法【1 0 】，其在小锥角的情况下重建结果非常好， 但在大锥角情况下远离中心层的重建图像误差很大 1 1 , 1 2 】；g u u b e r g o ”4 4 】，王革【”】等人推 广t f e l d i m m p 算法，使之可应用于各种扫描轨迹并取得良好的重建效果1 1 6 】。 近似重建算法由于数学推导简单，易于实现，重建速度快，且在锥角较小时能够取 得较好的重建效果，在实际中应用较广泛。在各种基于滤波反投影的近似算法中，f d k 算法的应用最广泛，是实际应用的主流算法，因此对f d k 算法的研究具有实际应用价值。 本论文的主要工作就是针对平板探测器。研究f d k 算法以及如何提高它的重建质量。 1 2 国内外研究现状 三维o r 以其一次扫描就能获得被测物体整个二维投影的优势，一直是活跃的前沿课 题。从整个三维发展过程看，主要解决的是两个方面的问题，即源点轨迹( 扫描方法) 和重建算法。 1 2 1 扫描方式 在典型的锥形束层析成像中，一个锥形束的顶点在一个围绕成像物体的有界曲线或 有界平面曲线上运动，在曲线的每一个顶点位置处，由平面探测器测量2 d 投影。有很多 人研究了锥顶点沿一个圆或全球面运动这一简单情况。也有人提出球面运动，但球面运 动数据冗余大，扫描时问长，不易实现，而圆形运动优点则显而易见，已用到实际设备 2 中北大学学位论文 了a 对于圆形运动，由于顶点运动的不完备性，必须对投影数据进行后序处理才能得到 精确的三维重建图像。s m i t h 从理论上论述了这种不完全的影响f 1 7 1 8 1 9 】，触和s l a n c y s u j 用实验证明了这个理论【l 】。为了克服这个缺点，必须研究一种新的顶点运动方式及相应 的算法，实现低冗余度的3 d 精确重建，这个问题分别f h k i r i t t o v 、t 1 拶鲫和s m i t h 撰文论 述了，并且给出了精确重建条件：当且仅当切割物体的任一平面都和锥顶点运动轨迹相 交时，便可精确重建。根据它们的理论成立条件即扫描方法，分别有正交扫描( 两个垂 直的圆) ，螺旋扫描。k u d o 用实验和理论证明了在较大锥角时，上述方法与锥形顶点沿 圆形轨迹相比，大大提高了分辨率和重建精度。有人从精确重建的数学基础到各种重建 方法的数学一致侄，从完全条件到满足条件的源点轨迹作了严格的证明和论述。在此基 础上提出了三种非平面新型射线源运动轨迹。第一种，两个圆不一定互相垂直，且半径 亦可不同；第二种一条直线和一个圆的扫描方式；第三种是三条直线的源点扫描方式。 这些方法的提出极大地丰富了c t 的理论且具有宝贵的实用价值。 本文中采用射线源运动轨迹为圆周时三维c t 的重建。这种单圆周分布的三维c t 属 于一种近似的重建方法，但以其快速的数据获取速度等优势，逐渐受到人们的重视。 1 2 2 重建算法 我们分两个方面来讨论：常规c t 重建算法和非常规c t 重建算法。 1 2 2 1 常规c t 重建算法 从数学的角度看在1 9 1 7 年的经典论文在科学的许多分支都有着深远的影响 【2 ”。r a d o n 变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于x 射线晶体学，医疗辐射，核 磁共振，微波散射，射电天文学，电子显微等等不同领域；特别是在医学和工业c t 中， 勋d o n 变换构成了图像重建技术的理论基础。 作为近代科学技术基本数学工具之一的f o u r i c r 交换，在图像重建相关理论的分析和 推导中也起着重要的作用，它构成了图像重建的另一个理论基础。 c t 数据采集系统经透射测量得到的投影数据，实际上是被重建物体的线形衰减系数 沿透射路径线积分的结果，它形成了图像重建过程的输入。投影与r a d o n 变换密切相关， 求r 囊d o n 逆变换的过程就是由投影数据重建物体的过程。 3 中北大学学位论文 尽管精确重建的数学公式早在1 9 1 7 年就由r a d o n 提出，但这并不意味着有效的( 计 算复杂性低、精度高) 重建方法已经找到。在这一领域进行了大量工作，典型的有： 1 9 6 1 年，a a k i r i l l o v 解决了n 维复数空间中复值锥束数据的转换问题，但不能直接 应用于断层成像。1 9 8 3 年，b d s m i t h 通过重写k i r i l l o v 公式 。钉，提出了一个三维锥柬 卷积的反演公式；h k t u y t “”1 也进行了类似的工作。 1 9 8 7 年，p g r a a g e n t 发现了锥束投影与r a d o l l 变换导数之间的关系，给出了基于 变换导数的精确重建方法【笠j 1 9 9 4 年，m d e f r i s e 和i l c l a c k 概括了各种精确重建方法的数学一致性，同时给出了 基于r a d o n 变换导数的精确重建方法；h k u d o 和t s a i t o 也发现了类似的方法阢净嚣】。 1 9 9 5 年，c j a c o b s o n ，p e d e m i d e o s o n 等采用直f o u r i e r 方法和l i n o g r a m 技术，改进 了现有的重建方法，降低了复杂性，增强了重建效果p 埘】。 r a d o n 变换和f o u r i e r 切片原理为三维锥束精确重建奠定了理论基础，提供了可行性 依据。 f e i d i ( a m p 、d a v i s 和k r c s s 于1 9 8 4 年提出的近似重建方法吲，现已作为一个标准过 程被广泛应用于x 射线医学成像和无损检测等领域。通常情况下常规的c t 扫描方式下采 用f e l d k a m p 锥束重建算法进行三维c t 重建。按照t u y 的理论，用上述扫描方法获取的投 影重建图像时，投影数据是不完备的，即无法精确重建出物体的三维图像，属于近似的 三维重建。该方法重建速度快，重建图像精度能够满足一般的工业要求，目前应用较多。 1 2 2 2 非常规c t 重建算法 然而，用传统的c t 检测技术无法对扁平构件进行c t 检测，为此国内外学者提出了 许多不同于传统c t 的检测方法。s t k a u g 等人阁提出了一种用于x 射线分层成像 ( 1 a m i n o g r a p h y ) 的几何投影方法：射线源不动，被测物体和探测器按照一定关系同步 转动，由焦平面在不同旋转角度的投影重建出物体任意角度截面的图像。并在原理样机 上重建了计算机芯片中封装焊点的断层图像。该方法使用的重建算法是直接反投影，因 此重建效果不理想。j z h o u 等人删提出了一种称为计算机分层成像技术，同样用于板 4 中北大学学位论文 材焊缝的二维c t 重建，其投影方式是扇束射线源和一维探测器阵列固定不动，被重建的 扁平构件沿垂直于主射线的方向直线平移通过射线辐射场，得到物体在不同射线方向下 的投影。这些投影数据只是在扇束张角范围内不同角度下的投影，并非3 6 0 。范围内的投 影，投影数据不完备，故利用迭代算法重建二维c t 图像。该方法重建了两板材焊缝的二 维c t 图像，重建时间较长。 1 3 本论文的主要工作 因为近似算法可以胜任长物体及短物体问题，而且重建速度快，在满足一定条件时 可以取得较好的重建效果，因此它存在着巨大的应用前景。 围绕这一目的，论文的主要工作由以下几个部分： 1 对精确三维重建理论进行了分析和总结，直观地解释了一些抽象的定理或结 论。 2 投影数据的好坏直接影响到重建结果的质量，本文对锥束投影数据的模拟进 行了研究，采用数值近似方法和体素驱动的长度近似方法模拟了圆轨迹的锥束投影 数据，并与目前通用的锥束投影数据方法( 解析法) 做了比较，分析了每种方法的 优缺点。 3 在实际重建过程中，重建体素点是有大小的，在反投影过程中，考虑到射线 穿过体素点的长度，据此作者提出一种改进的f d k 算法，实验结果表明，新方法重 建的图像边缘比传统f d k 方法清晰，而且薪方法还有抑制噪声的作用。 5 中北大学学位论文 第二章三维c t 精确重建算法 某些实用的锥柬三维重建算法是对精确三维重建算法的近似，本章通过对精确重建 算法的介绍来说明这些近似的必要性m 1 。 2 1 三维c t 精确重建算法 研究精确重建归根到底是解决两方面的问题：一是精确重建的可行性依据，即源点 轨迹必须满足的完全条件；二是精确重建的方法。 2 1 1 精确重建的三个引理 c l a c k 和d e f i - i s e 指出，所有的精确重建方法在数学上是等价的m 硐。通过概括各 种精确重建方法的共性，他们提出了一个“通过中间函数( 与3 dr a d o e t 变换相关联) 来重 建物体”的数学框架，用公式表示了“一类”数学上精确的重建。锥束投影数据被滤波， 形成一个中间函数，中间函数再进行滤波和反投影，以完成重建。由此看出，重建过程 包括两个滤波器_ l l ( f ) 和h 2 ( f ) ，分别对应于两个滤波步骤蚓； i l l o ) = a h ( f ) + 6 d ( f ) 2 0 ) = c h r ( f ) + d h o ( t ) 其中： k ( f ) = j l 诈棚咖 h o ( t ) = i w e 2 “咖 a c + b d = 1 。可以看出，k ( f ) 是斜变滤波器，相当于f o n m 盯域中的i 叫滤波； k o ) 是导数滤波器，有k o ) = 万哆乏，j o ) 是d i m cd e l t a 函 。| j i l ) 和如) 分别是 h a t ) ，( f ) 的线性组合，且满足钟+ 耐= 1 。参数( a ，b ，c ，d ) 的不同选取，就对应了 各种不同的精确重建方法( t u y 、s m i t h 、g r a n g e a t 、d c 等等) 。 设密度函数八i ) 是丑3 上实的可积函数，用来表示被重建的物体，它的支撑q 是一 6 中北大学学位论文 个圆心位于原点，半径为r 的球，6 剐s ra 曲线西( 五) ：人_ f 位于q 之外俐 r ) ， 有界，连续且处处可微，用来表示源点轨迹( a 是五的取值范围) 。似名) 满足i 石i i h o v 条件， 即空间中的所有平面都与射线源轨迹相遇。k i r i l l o v 条- 件的数学描述是：对所有手s 2 ( r 3 中单位向量的集合) 和所有户e r ，都存在a ，使得西( d 芋= p 成立娜1 。 锥形束的投影数据用定义在a x s 2 上的函数g 表示； g ( z ，厅) = 少( 西( 名) + 露渺 0 对任意复数标量a 和b ，同样在axs 2 上定义g ： ( 2 1 ) g ( a ，夕) = 扣( a ，a ) a h r + 6 。】o 卢) 地= 居( a ，露) i i l o 声) d 虚 ( 2 2 ) ，5 2 ，( i ) 的3 d r a d o n 变换r ( 声，) 定义在s 2x r 上： r ( 声，z ) = ，( i 矽 声一f ) 卤 p 下面给出几个重要引理。 引理1 ： 若g ( 五，声) 由( 2 2 ) 给出，那么 f ( 雪，西( a ) 夕) ；g ( a ，矽) 当且仅当 f ( 声，) = j r ( 声，r ) 【4 k 一6 h 。】u t ) d t = ，( 声，) a h 。一b h j , l ( 0 该引理描述了中间函数，( 万，z ) 与脚换，( 声，z ) 之间的关系。 引理2 ： 设，= 孑声，由前面h 。o ) 和k ( f ) 的定义，借助( 2 3 ) 可得： 八习= 三少( 声，) u l 一口印 7 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 6 ) 中北大学学位论文 ，( i ) = 一i 1p ( 声，d ( d ( 叫。口印 ( 2 7 ) 该引理是典型的3 dr a d o n 反演公式。 引理3 ：若 f ( 夕，) = r ( 反d k k b h o ( 0 * c h 。+ d h 。】( ，) ( 2 8 ) 那么 m ) 2 面1 丽f ( 胁声澎 ( 2 9 ) 这里c ，d 是任意使a t ? + b d = 1 的复数标量。 2 1 2 精确重建的一般公式 根据2 1 1 给出的三个引理，精确重建过程可推导如下：由引理1 ，从( 2 2 ) 和( 2 4 ) 得 到( 2 5 ) ，设 f + ( 声，z ) = f ( 声，f ) h 2 ( ，) = ，( 口，t ) c h r + d h o ( 1 一t ) d t ( 2 1 0 ) 由引理3 ，j a ( 2 5 ) 和( 2 1 0 ) , 徽j j ( 2 9 ) 。：a t a t + h a l = 1 ，因此重建公式为： ， ) = 委i f ( 夕，i 卢) 印 ( 2 1 1 ) s 2 综上所述，精确重建的一般公式如下： 第一步从投影g 计算g ： 对任意复数标量a 和b ，g 以b = b ( 五，厅h 。+ 6 k 】 万) d 厅。 第二步从g 得到中间函数f ：对所有的口和，f o ，) = g ( 名，声) ，这里力是方程 似句夕= l 的解。 第三步对，卷积得到f ：对任意使口c + 掰= 1 的复数标量c 和d ， f ( 夕，) = f ( 卢，) 【c + d h d 】( d 。 第四步舻l j f ( 弘俺) = 三，+ ( 细卢邶。 8 中北大学学位论文 从精确重建的一般公式可以看出，各种精确重建方法都可归结为通过一个中间函数 来重建物体的数学形式。这个中间函数f 描述了包含在锥形束投影中的全部信息，并通 过公式( 2 5 ) j 与3 d 变换密切相关。啊和h 2 分别对应两个滤波过程，且满足 a c + b d = 1 。各种精确重建方法的主要区别就在于( 口，b , c ，d ) 的取值不同，即滤波器的选 取不同。 2 1 3 几种典型的精确重建算法 t u y 、s m i t h 、c , r a n g e a t 分别推导了各自的精确重建公式，尽管从公式的表面上看它 们是不同的，但实质上它们是数学一致的。 ( 1 ) t u y 的方法【“】： 选取( q 6 ，c ，d ) = i 1 ，三i ，0 , - 2 0 ，因此两个滤波器分别为岛= 三k + h o ( t ) 如( f ) = 2 i k ( 吐函数g 为： g ( a ，声) 2 乒( 尢虚) 【三k + j i k 】 声) d 厅。 根据引理l ，中间函数f 为：f ( 口，z ) = ，( 声，) 【( k 一伽。1 ( ，) ，这里 f ( 万，m ( a ) 声) = g ( 五，卢) 。 重建公式为： f ( x ) = 磊1 _ 面而1 1 0 g ( ；厂r , f 1 ) 印 ( 2 1 2 ) 这里五被选取，使得i 声= 西( a ) 声0 。 我们注意到，t u y 方 法首次滤波是一个( 斜变滤波器和导数滤波器的) 混合滤波器，二 次滤波是导数滤波。从精确重建的一般公式推出的公式( 2 1 2 ) 与t u y 嗍得出的结果是完全 一致的。 ( 2 ) s m i t h 的方法n 7 1 ： 这里选取( 4 ，b , c ，d ) = ( 1 ，0 ，1 ，o ) ，两个滤波器| j l l ( f ) = k ( f ) 和h 2 ( t ) = k ( f ) 均为斜变滤波 器。函数g 为：g ( a ，声) = k ( a ，厅) j l r 卢) d 厅，中间函数f 是斜变滤波后的3 dr a d o n 变 9 一 生j ! 奎堂堂堡垒奎 换( 又称为“0 b 3 d 砌变换) ：，( 矽，d = ，( 万。d 卫( d ，这里，( 声，西( 五疗) ) ；g ( 五，口) 。 重建公式为： ，回。；户暇d k ( 叫删妒= 。y j f o 力+ 如( | f ) | 删够 ( 2 1 3 ) 这里表示某个固定的半球。可以看出， ( 2 ，1 3 ) 与s m i t h 中的结果也是一致的。 ( 3 ) g r a n g e a t e l 挎方法磷j5 这里 ，6 c j ) = ( 0 ，也，o ，必) ，| i i ( r ) = t 砌。( f ) 和如( t ) = 一去k ( f ) 是两个导数滤 波器函数g 为：g ( 旯，声) = 扛( a ，露) ( 2 万) b 声) d 露，q a 删3 dr a d o n 变换的一 阶导数为；f ( 声，z ) = r ( 夕，f ) ( 切) k u ) = 茜r ( 声，) ，这里f ( 卢，西( 五) 声) ；g ( a ，口) 。 重建公式为： 侬) = 三少( 声，f ) + 喏u 4 州帮。萨- i 兰拶0 2 剐- 牝啦印 ( 2 1 4 ) ( 2 1 4 ) 是一个很好的结果，它不仅反映了g 豫n 姗过r a d o n 变换的一阶导数进行重建的 思想，而且与3 dr a d o n 的反演公式相一致。 需要指出的是，各种精确重建方法的中间函数之间也存在着密切的联系。用足和f g 分别代表s m i m 和q 硼则方法中的中间函数，的h i l b e n 变换h 可写为： n f o ( i ，) - n 部o _ ，( 衲 一妻翳弘。出万二f f 研。 = 一寺旦o l 嘲)珂 7 2 素 ( ，0 = q 矗喀 r 时，f ( 夕，d = o ，那么( 2 1 0 ) 就可被替换为 ，( 衲= 驴( f l , t ) c h 。+ d h 。舻f ) 西， 若令c = 0 ，这属于t u y 的情况，此时 f ( 砌= 万d 矿0 【肋- ( 2 2 7 ) 注意到重建公式( 2 1 1 ) 为：八习= = 1i f ( 厣，i 声) 印。 - 由于我们只对剧 q ，( i ) 感兴趣，并且对任意单位向量声，都有忙同s 侧r ， 所以只有i d s 尺上的f ( 夕，f ) 是有用的。根据( 2 2 7 ) ，即使，( 夕，) 在m r 上的值非零， 也不会对f ( 声，) 造成影响。令，。( 声，) = f ( 声，o l 站，通过上面的讨论可以看出，若重 建一个有限的物体，只需要计算中间函数f 。( 芦，) 的值，即只对那些与物体支撑相交的 1 4 中北大学学位论文 平面( 声，d l4 椒感兴趣。由此，我们从k j r i l l o v 条件推出了精确重建的完全条件，印：每一 个和物体相交的平面，都和射线源的扫描轨迹至少有一个交点。换句话说，对所有手s 2 和所有i d r ，若至少存在一个五a ，使得西( a ) 手= 户，则物体可被精确重建。 2 2 3 完全条件的直观解释 物体的锥形束投影在探测器平砸上产生的图像是沿直线积分的结果，探测器平面上 的任意一条直线连接大量发自源点的积分直线，决定了经过物体的一个平面。显然，源 点s 在这个平面上，从投影g 可以求出该平面的f 值( 即斜变滤波后的3 dr a d o n 变换) 。 若经过物体的平面不包含源点，可以看到，积分直线穿透平面，而不是位于平面中， 那么该平面的f 值就不可能由g 获得。因此，在这种情况下，重建物体的投影数据是不 完备的，重建结果的误差主要来源于不完全的源点轨迹。 单圆是最简单、最常用的源点轨迹，然而它不满足完全条件。直观上看，平行于单 圆所在平面( 该平面除外) 的所有与物体相交的平面都不包含锥束源点，此外，还有许多 平面也不包含源点。 假设平面p 用有序对手p 。p ) 表示，工缈平面内的单圆半径为d 。用过点爿( 芋妒，妒) ，p ) 且与z 轴相交的直线l ，或者说坐标为( 手( 口，伊) ，p ) 的垂足a 就代表了平面p ，单圆就用c l 和c 两个点表示。从图2 2 可以看出，与单圆相交的平面集合为： s = 始妒，p ) ) i o 絮： 、 b d 0 图2 2 单圆轨迹下的剖面图 那么，与物体相交、但与单圆不相交的平面集合为： 1 5 中北大学学位论文 亏= 毋( 占，力，p ) l o 口 石，d s m 8 l 爿r ) 。 固定9 ，口从。到万变化，贝i j 与单圆相交的平面集合可用图2 3 中两圆内及圆上的点来表 示。因此，当伊从。到万变化时，集合s 是一个环形圆纹曲面( t o r 啦) 所包围的物体。从物 体 ) 的支撑中移去那些属于s 的点，就得到了集合s 。 l z 厂、八 u 图2 3 口从0 一万变化( 固定妒) 时s 的图示 从上面的分析可以看出，由于雪非空，因此单圆轨迹不满足完全条件，在集合j 上的值不能从单圆上的源点获得。因此这部分( 即大锥角处) 的重建存在误差。 2 3 小结 本章简要讨论了各种精确重建方法，介绍了精确重建的完全条件和源点轨迹，最后 给出了完全条件的直观解释。但精确三维重建要求源点轨迹不在个平面上，这样就增 加了扫描系统的复杂性，且有大量冗余数据，如此一来也降低了重建速度，所以有人又 提出了一些近似但实用的锥束三维重建算法，下章将重点讨论这些算法。 中北大学学位论文 第三章实用的三维c t 重建算法 重建算法设计是c t 重建的关键环节，经典的f d k 三维重建算法是以二维扇束重建算 法为基础发展起来的。所以我们首先对二维扇柬重建算法进行回顾，然后介绍几种实用 的锥柬重建算法：f d k 法，交叉卷积法和锥形卷积法，重点介绍f d k 方法。 3 1 扇束卷积反投影重建算法 按照检测器的排列形式，扇形射线的形式分为两种：等距扇束和等角扇束，等角扇 束是指在固定的x 射线源位置下，射线投影按照等角的射线采集的。探测器布置在等角 的弧线上，如下图所示： 。j j 翰 尹 马 苏d 乃董 。泌。 图3 1 等角射线扇形束参数关系 等距扇束是指在固定的x 射线源位置下，射线投影按照等距离的射线采集的。探测 器布置在距离的直线上，如下图所示： 图3 2 等距射线扇形束参数关系 1 7 中北大学学位论文 嘶扔2 主秘脚矗务埘。叫脚脚 ， = 磅p 协，肿c o s 小i 南6 驴k 奶 式中：、d2+r2+2drsin(f1-8), 2 a r c 如半= a r c 咖蕊尹号号器等。 础力；舢w炉。叫一铬面0丙30-wd 却 - 一 v 一 、+ s ) 。 = 酚乍脚寿l h ( s - s ) 舾。印 = 强w 1 地札妒 ( 3 2 ) 2 步舻酬一印 = j 扣( ) 印 1 8 中北大学学位论文 式中p ( 文夕) = p 7 ( s ，彩了= ；三i 为等效投影，g ( s ) = 联j ) ，歹( $ ，芦) ；，o ，声) g ( d 为 d 1 + s l 2 滤波后等效投影。 3 2f d k 锥束熏建算法 精确重建能更清晰地反映物体的本质特征，但精确重建所需要的源点轨迹必然增加 扫描系统的复杂性和机械难度，并且数据冗余量大，这严重限制着重建的速度。但是三 维c t 一次扫描便可以得到整个物体的二维特性，尤其对物体内部为运动部件时，三维 c t 有着二维c t 难以比拟的优点。所以寻求一种在速度，精度和系统复杂度相统一的算 法是非常必要的，为了解决这一问题，f e l d l 沮m p 等人【l o 】于1 9 8 4 年应用扇形束投影的2 d 滤波反投影的方法重建3 d 物体，是三维锥柬c t 重建中经典的一种。以后的许多改进方 法都是以它为基础的l 。下面分析其重建原理4 6 , “。 如图3 3 所示，点源发出的射线到探测器平面形成一个锥形束。点源和探测器沿圆 y jl 厂一 7 惑 i 之刭 射线源 图3 3 锥束投影获取 图3 4f d k 算法重建原理 轨迹运动( 二者相对位置不变) ，得到一系列二维投影。f d k 算法就是由这些投影重建 三维图像。 在( 工，y ，z ) 坐标系中，如图3 r 4 所示，f d k 算法认为非中心平面的投影数据可以近似 看成把中心平面上的扇形束，以源点为支点倾斜一个角度而得到的。主射线位置e h s o 和y 轴夹角以及旋转轴上扇形束中心距中心平面的高度z 确定。这一位置下，每一根射 线的投影地址为s 。在倾斜的扇形束上，源到旋转轴的距离d 以及投影角的增量印。相 应地变为： 1 9 中北大学学位论文 d “：d 2 + z 2 耻孝 其中z 为在旋转轴上扇形束距中心平面的高度，矗芦为在中心平面上的扇形束的投影角增 量。详细的锥束三维f d k 重建公式的推导，可见文献【2 0 l 。 实现锥束三维f d k 重建算法，需经过以下三个步骤： 第一。滤波前的加权，加权后得等效投影； 巧( 耶) = 掣( 鼬面专导虿， ( 3 3 ) 其中z = d + x c o s 堡f l + y s i n f l 。 第二，对p ( j ，) 滤波，滤波后的等效投影： p ，o ，) = 巧o ，) + g ( a ) ( 3 4 ) 式中g o ) = 去厅o ) 为滤波函数。 第三，反投影前的加权，反投影公式为： f ( x , y ，：) = 待j ( ) 妒 ( 3 5 ) 其中吉即为权重a【，=td+xcosfl+ysinfl=警老筹器a 可见f d k 算法的关键之处在于它对锥形数据进行了合理的几何修正。需要强调一点 的是当z 卸，以上公式便可简化，即在中心平面( 此时相当于二维扇形束的情况) 完全 等效于二维扇形柬的情况而可以精确重建。- c 业c tt - 要求试件绕某一旋转轴旋转而射线 源不动。但重建算法和上述没有本质差别。 上面讨论的f d k 三维锥形束重建算法是至今为止国际上公认的比较有效的锥形束 投影三维解析重建算法。该重建算法计算量小，在锥形束张角小时重建结果好，并且在 中心平面可以精确重建。上述方法虽然具有很多优点，但是仍有不足之处。从推导过程 可以看出：在锥形束的情况下，对于不在中心平面上的点，在不同的投影方向下过该点 中北大学学位论文 的投影线是不在同一平面的，而在上述方法中实际上是把它们近似地看成在同一平面 上，然后再加上一定的几何修正。这样就产生了一定的误差，尤其是在锥形张角大的时 候，其误差较为明显。下面，我们讨论交叉卷积法和锥形卷积法。 3 3 交叉卷积法 首先，我们来看一看最简单的情况4 ”。图3 5 是一个二维平行束的情况，假设只有 一个点a ，那么探测到的平行柬投影值经过卷积后的投影值离散化的如图3 5 中所示， 投影值只有一个点，卷积后的投影值则分布在整条线上。假设a 在原点处，为了计算沿 直线l 的反投影分布，在直线l 上定义一个x 轴，在探测器阵列上定义个x 轴，如 图3 6 所示，经过卷积后的平行束投影值是沿j 轴分布，滤