（工程力学专业论文）粘弹性力学中辛本征解研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本论文以工程结构模型的蠕变现象和应力松弛现象为背景，对粘弹性问题的三种基 本问题( 平面闯题、柱体问题以及厚壁筒问题) 的辛本征勰进行了研究。研究工作得到 了国家自然科学基金( 1 9 9 0 2 0 1 4 和1 0 2 0 2 0 2 4 ) 的资助。论文通过研究，建立了三种情 形下粘弹性问题的哈密顿基本理论体系，即对偶体系。在辛体系下建立了一种辛本征解 直接方法，将粘弹性力学求解方法和思路上升到一个新的平台。 论文首先分别讨论了三种情况下粘弹性力学本构关系( m a x w e l l 模型，k e l v i n 模型 和三体固体模型) 。通过拉普拉斯变换，将粘弹性问题归结为相空问中类似弹性力学问 题。在相空间中引入对偶变量，使问题化为以混合变量组成的全状态辛空间中的控制正 则方程和初值边界条件，借助现代辛数学等工具，如辛正交关系和展开原理等对问题进 行求解。在相空间中得到了问题的零本征值本征解和非零本征值的本征解，利用对应原 理，经过反拉普拉斯变换得到了粘弹性力学的解。 针对粘弹性问题的三种情形下的零本征值和非零值的解析解，讨论了粘弹性平面问 题零本征解的拉伸解以及非零本征解，分别以m a x w e l l 模型，k e l v i n 模型和三体固体模 型为例，其解的实部和虚部随本征值交化的曲线关系；讨论了粘弹性柱体和厚壁筒扭转 问题以三种模型为例的蠕变现象以及应力松弛现象。所得到的应变应力曲线吻合了粘弹 性材料的性质，验证了模型的合理性以及解答的正确性，同时也说明了该方法处理此类 问题的有效性。 关键词：粘弹性；平面；柱体：厚壁筒：哈密顿体系 粘弹性力学中辛本征解研究 a s y m p l e c t i c m e t h o do f e i g e n s o l u t i o n s i nt h e v i s c o e l a s t i c i t y 1 1 l eb a c k g r o u n do f r e s e a r c hi sb a s e do n c r e e pa n d 5 。a - c s sv e l a x a l i o np h e n o m e n o ni ne n g i - u c e r i n gs t r u c t u x e s t h es y m p l e e t i ce i g e n v a l u es o l u t i o n so f v i s c o e l a s t i cp r o b l e m s ( v i s c o e l a s t i c p l a n ep r o b l e m s ，v i s c o e l a s t i cc y l i n d e t sa n d v i s c o e l a s t i ch o l l o w c k c u l 盯c y l i n d e r ) a r e d i s c u s s e di n t h i sa r t i c l e 1 1 1 ew o r ki s s u p p o r t e db y t h en 砸o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( 1 9 9 0 2 0 1 4a n d1 0 2 0 2 0 2 4 ) h a m i l t o n i a ns y s t e m sa n d t h ed u a l i t ys y s t e m sa i _ ee s t a b l i s h e d i nt h ev i s c o e l a s t i c f i ：o b l e m s ad i r e c tm e t h o d s o k r d o nf o r s y m p l e e t i ee i g e n v a l u ep r o b l e m s i sp u t f o r w a r du n d e rt h es y s p l e e t i cs y s t e m t h es y m p l e c t i cm e t h o d u p d a t e d t h es o l v i n gs y s t e mo f t h e v i s c o e l a s t i c i t y t oan e w p l a t f o r m 1 1 1 ea r t i c l ed i s c u s s e sc o n s t i t u t i v er e l a t i o n so f t h ev i s c o e l a s t i cp r o b l e m sa tt h ef i r s ts t e p t h e n t h ed i f f e r e n t i a lf o r m so f c o n s t i t u t i v ee q u a t i o na r e p u tf o r w a r d ( m a x w e l l , k e l v i na n d t h r e e - l e v e l s t r u c t u r em o d e l ) a 胁l e p l a c et r a n s f o r m a t i o no ft h ea b o v ee q u a t i o n s , t h ev i s c o e l a s d c p r o b l e m sb e c o m c e l a s t i cp r o b l e m su n d e rt h ep h a s es p a c e b yi n t r o d u c i n gd u a lv a r i a b l e s , t h e d u a lg o v e r n i n ge q u a t i o n sa n db o u n d a r ye o n d i l i o n s ，w h i c ha l ec o m p o s e db ym i x e dv a r i a b l e s u n d e rw h o l es t a t es p a c e ，a r eo b t a i n e d i tc a nb es o l v e db ym o d e r nc a n o n i c a lm a t h e m a t i ct o o l s , f o r e x a m p l e , a d j o i n ts y m p l e c t i co t t h o n o r m a l i t y a n dt h ee x p a n s i o nt h e o r e m 鼬c ，u n d e rt h e p h a s e s p a c e , t h ez e r oe i g e n v a l u es o l u t i o ma n d a l lt h e i rj o r d a nn o r m a lf o r m sa n dn o n - z e r o e i g e n v a l u e s o l u f i o ma l eo b t a i n e d u s i n ge l a s t i c - v i s c o e l e s t i cc o r r e s p o n d e n c e , t h ev i s c o e l a s t i cs o l u t i o ma r e o b t a i n e db yi n v e r s i o n o f l a p l a c e t r a n s f o r m b a s e do nt h ez e r oe i g e n v a l u cs o l u t i o i l sa n dn o n - z e r oe i g e n v a l u es o l u t i o n so ft h et h r e e v i s c o e l a s t i c p r o b l e m s d i s c u s s e st h e z 日ua n dn o n - z e r o e i g e n v a l u es o l u t i o n so f p l a n e p r o b l e m s , d r a wt h er e a lp a r t sa n di n 强g i n a r yp a r t so ft h es o l u t i o n sf o rt h r e ek i n d so f m o d e l s ( m a x w e l l ， k e l v i na n dt h r e e l e v e ls t r u c t u r em o d e l ) w h e nt h e e i g e n v a l u e sc h a n g e ；d i s c u s s e st h ec r e e pa n d s t r e s sr e l a x a t i o np h e n o m e n o no ft h ev i s c o e l a s t i c c y l i n d e ra n dv i s c o e l a s t i ch o h o wc i r c u l a r c y l i n d e r 1 1 1 er e s u l t ss h o w t h a t t h e m o d e l i sr e a s o n a b l e w h i c h i s i n a g r e e m e n t w i t h v i s c o e l a s t i c c h a r a c t e r i s t i c sa n dt h em e t h o di se f f i c i e n t k e y w o r d s v i s c o e l a s t i c i t y ；p l a n e ；c y l i n d e r ；h o l i o w c i r c u l a r c y l i n d e r ；h a m i i t o n i a n s y s t e m 大连理工大学硕士学位论文 引言 课题的理论意义和应用价值 现代新材料、新结构的应用，使得历来在经典材料力学、流体力学中所不考虑的物 质性质，尤其是材料的粘弹性性质受到越来越大的重视，而且已经得到一些数学公式并 被用于实际问题。随着生产的发展，工程实践的广度和深度都不断加强，我们常常会遇 到处理结构材料在极端条件( 高温、高压、高速) 下工作的力学问题例如某些结构和 装置发生的严重脆断、倒塌事故的分析等等。但是这些事故不是发生在加载瞬时，而是 在经历了一段时间后突然发生的( - q 材料的蠕变特性有关) ，我们称之为“延迟断 裂”。正因为其“延迟性”和“突发性”的特点，犹如疲劳破坏一样，使人们很难预 防。蠕变和松弛现象有时也使某些结构和装置不能正常工作。因此研究材料的“时间效 应”，尤其是高温蠕变特性、粘弹性断裂理论便成为航空、宇航工程、造船工业和其他 一些工程中所十分关注的问题。 一切固体都会或多或少地流变。在一定的条件下，沥青、饴糖、玻璃、冰川、岩石 和地壳均发生流动与变形。在有关的条件中，最重要的是时间与温度。在常温、小变形 情况下，多数金属为线弹性体，但即使在这种情况下，乐器的金属簧片的振动甚至在真 空中也会很快衰减，说明材料并非完全h o o k e 体，材料内部存在粘滞阻力。真实材料或 多或少地存在“蠕变”、“松弛”、“迟滞”等现象。任何固体都具有一定的流动性， 例如大地在缓慢地流动、比萨斜塔斜度在逐渐增加。古老教堂的大窗玻璃变得上薄而下 厚，等等。反之，流体也都具有一定的粘滞性( 不流动性) ，如石油在管道中的流动， 血液在血管内的流动等都受到一定的粘滞阻力。虽然多数金属材料在常温和小应变时表 现为弹性，但在振动问题中，或高温条件下的构件，往往需要考虑其粘弹性行为。在研 究受高速冲击的金属构件时，则需建立其它的力学模型，如粘塑性和粘弹塑性模型或高 温高压下圆体的流体动力模型。这说明受载与使用条件对于材料性能有重要的影响。因 此材料流变持性或粘弹性特性的研究具有普遍的意义。 粘弹性力学是在应用力学和材料科学之间新近发展起来的边缘学科，也是流变学的 重要组成部分。近年来，在聚合物复合材料科学、岩土地质力学、生物力学和建筑材 料科学中，粘弹性力学得到了越来越多的应用【i , 7 1 。第二次世界大战后，尤其是六十年 代以来，聚合物材料已成为重要的工程材料，目前其体积产量已超过了钢铁。聚合物材 料的广泛应用促进了有关力学性态和结构分析方法的研究。生物材料往往有明显的粘弹 性。著名生物力学专家冯元桢指出，几乎所有的生物固体都是粘弹性的，只不过有的弹 粘弹性力学中辛本征解研究 性较强，有的粘性较强，在程度上有所差别f 8 】。因此，生物医学工程方面的许多专著和 论文集都有关于生物体的粘弹性能论述。岩土力学、地质力学、地震预报、生物力学等 的蓬勃发展也给予粘弹性理论以极大的刺激和推动。应用粘弹性理论，研究这类材料及 其在结构中的力学行为，有着重要的理论意义和实用价值。 国内外研究概况和发展趋势 粘弹性理论大多是近期发展起来的【9 1 3 1 ，但基本的线性理论和等温场的理论推导早 就存在相当长的一段时间了，早期的贡献者有：m a x w e l l 。k e l v i n 和v o i g t 。b o l t z m a n n 在1 8 7 4 年首先提供了各向同性粘弹性三维理论的论述，v o l t e r m 则在1 9 0 9 年得到了各 向异性固体的可类比的形式。 材料的粘弹性分为线性和非线性两大类若材料佳能表现为线弹性和理想粘性的组 合，则称为线性粘弹性，如果以h o o k c 体( 线弹性) 和牛顿流体( 理想粘性) 为两端构 成材料谱系则介于这两者之间的均属线性粘弹性。本文的工作是基于线性粘弹性假设 的。 在粘弹性力学的研究中，起先多采用较为简单的m a x w c u 模型、k e l v i n 模型和三体 模型等为基本粘弹性模型。而这些简单的模型并不能充分反映粘弹性材料的特性，基于 以上基本粘弹性模型，学者们又提出了各种本构模型。如k e l v i n 链、广义m a x w e l l 模 型、四参数粘弹性固体模型【1 4 1 ，b o n c 大应变牿弹性本构模型的提出旧，含分数阶导数 的粘弹性固体模型f 1 6 】的提出，以及针对不同的具体问题而提出的不同问题的粘弹性本构 模型【】昭0 】。这些模型的提出，对于粘弹性力学的研究起了重要的作用。对于粘弹性力学 问题的求解，某些简单问题可以运用对应原理根据相应的弹性力学解求得其粘弹性力学 问题的解析解，复杂的问题得不到解析解，只能求其数值反演。求解方法上则是采用位 移法或力法讨论运动方程、本构方程和边界条件。这种方法多在单变量情况下进行。 b a t r a l 2 1 】和t z c n g l 笠 研究了相对简单的圆柱体扭转问题。s c h m i d 户j 采用了有限元方法讨 论了粘弹性性质。i - l a n e c z o k 脚1 对粘弹性问题的松弛进行了分析。r o s s i k h i n p - - q 和s h i h 口q 研究了粘弹性动力问题。a d o l f s s o n r 2 7 进一步讨论了大变形问题。熟列瑚p 1 仅研究了弹 性厚壁筒的衰减系数问题。由于粘弹性问题本构关系的复杂性，单变量情况下对问题的 求解有一定的局限性，使得用这种方法般难以求得封闭解。因此，需要一种新的理论 方法加以解决。目前大量的研究工作放在粘弹性问题的数值计算上，近年来，国内外众 多学者在有关粘弹性问题的的求解方法上做了大量的工作，刘靖华，范益群，钟万勰等 提出了粘弹性固体的精细积分有限元算法网，边界有限元法解决粘弹性蠕变问题，行之 有效的数值求解方法一直为人们所密切关注1 3 0 j 4 。在数值方法上学者们已经注意到半解 人连理工大学硕士学位论文 析计算格式和混合元等技术，努力提高计算精度和计算效率。数值计算已经在此方面起 了很大的作用。然而，在处理复杂的混合边界问题时单变量方法是很困难的，并且数值 计算中满足了辛结构才能保证守恒性，进一步能提高精度和效率。 粘弹性力学的发展是以弹性力学为基础的，弹性力学也是近代工程技术发展的最重 要的力学基础之一。弹性力学发展史一般被划分为四个时期。其初期( 1 6 6 0 - 1 8 2 0 ) 的 特征是结合工程以实验探索为主。如虎克定律，还有材料力学等。1 8 2 1 年1 8 5 5 年是 弹性力学基本理论与方程体系建立时期，包括各向异性的弹性性质等。至此，弹性力学 已成为在指定边界条件下求解其偏微分方程组的数学问题。弹性力学的第三时期是大发 展时期，以s a j n t - v e n a n t 的半逆法与局部性原理为其发轫，找到了大量的现有的解。并 且出现了大批实用理论与方法，如r a y l d g h - r i t z ，g a l e r k i n 等，广泛用于工程中各方 面这个时期以t i m o s h a i k o 的系列著作为其总结性的成果。 弹性力学的第四个时期是以非线性及向有限元发展为其标志的。其代表性的推进如 v o nk a r m a n 。钱学森的薄壳非线性稳定性钱伟长的薄壳理论h - r 及胡海昌一鹫津变 分原理等等。平面问题复变函数法及各向异性弹性力学也是其有特色的发展。塑性力 学、土壤力学、断裂力学、振动与稳定理论等都是在弹性力学基础上发展出来的重大力 学分支。尤其是在计算机出现后，以弹性力学为基础而催生出的有限元，更是以席卷之 势渗透到了各个学科。 弹性力学既有如此重大而广泛的推动，但其核心部分，经典弹性力学的发展却似乎 到了举步维艰的境地。哈密顿体系在弹性力学中的应用的研究打破了这个局面，将弹性 力学的求解提高到新的平台，重新焕发了其青春。弹性力学基本方程很明确，问题在于 其求解。在各类数学物理偏微分方程中，弹性力学是其最复杂的问题之一。以 t i m o s h e a k o 的弹性力学来看，其求解以半逆法为主。半逆法即某种凑合法，它依赖于 具体问题而缺乏一般性。打破这类传统求解体系，使弹性力学求解体系换代，其意义并 不限于弹性力学本身，对于工程力学体系以至于数学物理方法及它对其它学科的辐射都 是很有意义的。 钟万勰将哈密顿体系在弹性力学中应用的研究开辟了一个新的研究领域1 3 5 j 8 。取得 了重大的研究成果，采用了本征解展开方法，问题化为哈密顿算予矩阵求解问题。将原 变量及其对偶变量组成的辛状态空间引入弹性力学，在辛体系下分离变量法就可顺利地 实旌了，形成了独特的直接法。钟万勰和徐新生等将哈密顿体系应用到弹性曲梁问题 0 9 1 0 徐新生等又得到了弹性回转体闷题很好的解析解f 4 蚺。s t e e l e 和k i m 也建立了混合 变分原理方法，讨论了弹性动力问题，在静力问题与哈密顿体系相关1 4 2 。钟万勰讨论了 3 一 粘弹性力学中辛本征解研究 哈密顿体系下的辛共轭正交和归一及展开定理嘲，为讨论此类问题提供了有力的工具， 将弹性力学的求解提高到新的平台。其意义并不限于弹性力学本身，对于工程力学体系 以至于数学物理方法及它对其它学科的辐射都是很有意义的。 这些工作的研究成果对粘弹性力学问题是一个启示。辛系统引入到粘弹性力学，在 辛几何空间中来研究粘弹性力学诸问题的辛本征解，分析辛本征解分别在时域和相空间 揭示辛本征解的特征、物理含义和相互关系。建立一种基本求解方法和体系。不仅能在 理论方面给出一个求解问题的思路，而且可在数值计算方面利用辛守恒性和辛结构特征 建立套有效的计算方法。这种方法以全状态向量( 混合向量) 为标志更能符合与适应 计算机的发展趋势。 弹性力学中的哈密顿体系 弹性力学的基本方程很明确。问题在于其求解。对于弹性力学求解的基本体系，历 来的解析求解方法都是在一类变量的范围之内进行的，或者是应力函数( 力法) ，或者 是位移法( 只有扁壳理论用了混合法) 。从数学体系的角度看，一类变量的求解属于拉 格郎日体系的方法，因此必然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量等有效的方法未能 对此实施，结果是半逆法求解这个环节长期未能突破。 事实上，弹性力学方程也可以导向哈密顿体系的 4 4 , 4 5 1 。从拉格朗日体系向哈密顿体 系的过渡，其意义在于从传统的欧几里得型的几何形态进入到了辛几何的形态之中，突 破了传统观念，从而使对偶的混合变量方法进入到应用力学的广大领域。 在质点系中有三种经典的理论体系，分别为：牛顿体系( n e w t o n ) 、拉格朗日体系 ( l a g r e m g e ) 和哈密顿体系( h a m i l t o n ) 。哈密顿正则方程可以写成如下形式： r a ：a 日a t , ：j o = l ，2 ，) l p , 5 _ a n 其中，日为哈密顿函数。在讨论拉格朗日体系与哈密顿体系关系时，设质点位移、 广义速度分别为：q = q l ，g ：，吼 r ，香= 口l ，口：，吼广。为过渡到哈密顿正则方程， 引进对偶变量( 动量) ：p = p l ，见，n ，= 配砷，其中上为拉格朗日函数，可以 得到哈密顿函数为：日晾p ) = p 7 圣一上( 鼋，口) ，由此可导向哈密顿体系的正则方程： f 圣= o h 硇 参= a l a = a h f a q ，、辱 大连理工大学硕士学位论文 本文主要工作 本文以原变量及其对偶变量( 混合变量) 为问题的基本变量，代替传统的单一变量 方法，将辛系统引入到粘弹性力学中，在辛几何空间中研究正则问题，开阔粘弹性力学 问题的求解思路。在求解体系上从传统的欧几里德几何形态进入到辛几何的形态，形成 一种研究和解决粘弹性力学问题的新的基本方法。 主要工作： 1 ) 以k e l v i n 、m a x w e l l 及三体固体模型为基础推导和确定了平面、柱体和厚壁筒 三种粘弹性问题的本构关系，对粘弹性力学的基本控制方程、本构方程和边界条件经过 l a p l a c e 变换进入到相空间，在相空间中引入对偶变量，使问题化为以混合变量组成的 全状态辛空间中得到解决。 2 ) 分别证明了三种问题在相空间下的辛几何正交关系。 3 ) 在辛几何空间中分别求出了三种问题的零本征值本征解和非零本征值本征解以 及非齐次方程的特解，并应用对应原理经过反变换得出粘弹性力学解。 4 ) 分别在时域和相空间中揭示了辛本征解的特征、物理含义和相互关系，针对三 种闯题分别就k e l v i n 、m a x w e l l 和三体固体模型做了算例，验证了k e l v i n 固体模型的蠕 交现象和m a x w e l l 流体模型的应力松弛现象。 一5 粘弹性力学中辛本征解研究 1 基本问题与积分变换 1 1 粘弹性平面问题 考虑直角坐标系内的二维粘弹性问题，假设平面宽度为2 b ，以平面的对称中心某 一点为坐标原点选择直角坐标系，y 轴沿平面宽度方向，侧边边界自由，不受力的约 束。 其本构关系可以描述为： fc + ( ，7 g ) 卢以= 2 g 岱e x + ( 3 置一2 1 3 咖+ 2 刁屯一2 ，7 ( 1 3 足，( 2 g ) 声) 垂 q + ( 对6 届0 = 2 g 鳃y + ( 3 k 一2 g a ) e + 2 r l 叠y 一2 r ( 1 3 k i ( 2 g ) f 1 ) a ( 1 1 ) 【q + ( ，7 g ) p 岛= g 口+ 叩岛 其中e = ( 足+ v ) ，3 ；g 为弹性常数；r 为粘性系数；o t ，j 为系数。 当口= 0 口= 1 时，为m a x w e l l 模型； 当o = l ，卢= 0 时，为k e l v i n 模型； 当n 移 喊 r e ) = 0 ，l ) o o = 1 2 23 ) ( 2 1 0 ) 姐、弘9 j ，p ”= 一”。j 分别对应本征向量函数妒0 和婚，并存在辛正交归一关系： f 幌。上) = 磊，僻，呒，) = 也， l 帜，j ，) = ( 耀以) = ” - 1 1 这样任意全状态向量函数矿总可以由本征解向量来表示： 妒= 如既+ 届) ( 2 1 2 ) 这里妒0 和妒么是y 的函数，系数d ，卢，为x 的函数。利用共轭辛正交关系，有： = 一( 啄，j ，妒) ，届= ( 碟，j ，妒)( 2 1 3 ) 满足喀= 比q ，扈= 1 0 屈。记麒为儿，解出： q = 缉o e 舻，届= 届o e - 。 ( 2 1 4 ) 其中o t 。和卢。由边界条件确定。 1 0 大连理工大学硕士学位论文 2 _ 3 零本征值本征解及约当型解 对于= 0 的本征方程妒= 0 ，只有以下两个基本本征向量： f 霸= l ，0 ，0 ，o yc i ( s ) 【霰佃) - p ，1 ，0 ，o yc 2 ( s ) 其中c l ( s ) 与c ：( s ) 为任意函数，可由端部条件确定，反演得： j f l 【厩】= l ，0 ，0 ，o yc l o ) 【一【死】- ( o ，1 ，0 ，o ) 7 如( f ) 原方程的解为：曙蝣= l - 瞒渤】，b 1 ，2 这两个解的物理意义是随时间变化的y 向与x 向上的平移。 考虑一阶约当型：h 霰1 = 吸柳，k = 1 , 2 存在解： i 霸o ) = p ，- y ，0 ，o ，c 1 ( s ) l 欢1 ) - - ，【2 似+ g ) mo o ，g o a + 2 g + ) 阻+ + g ) ，c 2 ( 印 对上式进行反演得： f r 1 霸。j = 印，一y ，0 ，o yc i ( f ) 【f 1 【死1 】_ q ( f ) 弘0 ，0 ，b , ( o y + c 2 0 ) 删= 螋l + ? r 旦f l 删+ 器并e x p 卜而( 2 r + z ) t 桫南荆+ 警帮唧卜筒 “丰”为卷积。 原方程的解为： 矿= 【识1 + x l - 1 暾】，培1 , 2 其物理意义为：围绕x 轴的转动和单向拉伸。 考虑二阶约当型：日死2 = 呒”，k = 1 , 2 j 霰。) - p 4 ( 2 + g ) 旷0 ，0 ，- - g + ( 3 2 + 2 g ) 删+ g ) 疗c l ( 印 【霰：不存在 对上式进行反演得： ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 粘弹性力学中辛本征解研究 r 1 【霸2 】= 和l ( f ) y 2 1 2 ，0 ，0 ，- b i ( t ) y 24 q ( f ) ( 2 2 1 ) 其中q ( f ) 与b 。( t ) 和上式相同。 原方程的解为： k 2 = 1 7 1 【霸2 + x l - 1 【霸0 1 】+ 工2 l - 1 霸】2 ( 2 2 2 ) 其物理意义为：x y 面的纯弯曲。 考虑三阶约当型：何识3 ) = 霸”，有： 霸。，= 。，龋y 一j ；务咖2 ，：! ! ；：i ；! ：；斧t y 2 6 2 x 。 c ；c s ，e z z 。， 对上式反演得： r 1 【霸封】= 1 i d ，q ( f ) y 3 - e 2 ( t ) y b 2 , b , ( t ) f y 2 一b 2 ) 2 ，o y q ( f ) ( 2 2 4 ) 鼽删2 而l + 5 硒r f l 刖+ 杀器唧( - 篱”， 删2 褊删+ 器晰帑： 原方程的解为： k 封= l - 1 【霰封 + x l - l 【蛾动】+ 工2 l - l 【蜗o ) 2 + x 3 l - 1 【识】，6 ( 2 2 5 ) 其物理意义为：剪力弯盐。 2 4 粘弹性平面问题的非零本征值本征解 讨论平面问题齐次方程的非零本征解时，设0 ，则有： ( h - i z i ) 妒= 0( 2 2 6 ) 首先，求出y 向的特征值丑其值为：五= 埘 因而，其通解可写为： l4 2s i n ( u y ) + & 3 y c o s ( j t y ) 1f 4 c o s + 4 4 y s i n ( k t y ) 1 2f4a：。cos(1ty)+an，ysin(1ty)+t14az。,sins(ofly)+4九,ycos(jty)mqjy)+&ycosouy) y s i n y ) ( 2 2 7 ) f 4 ：s ， 1 4 。c o s o + 九f “7 【如c o s ( u y ) + a 3 y s i n ( y ) j 【4 is i n ( l y ) + a “y c o s ( j t y ) j 可以看出，其解是由对x 轴为对称和反对称的部分组成的，将其解分为对称解和反 对称解部分。 - 1 2 大连理工大学硕士学位论文 将其分别带入( 2 2 6 ) 式，其中对于对称解部分，有两个系数4 ：和4 ，是相互独立 的，系数间存在如下关系： 如= 4 3 ，, 4 3 3 = 2 g 4 3 ，a 4 3 = 2 g 4 3 ， 呜2 = 一4 2 4 3 ( + 3 g ) 0 a + i g ) ， 4 2 = 2 g 4 2 + 4 3 ( 4 g 屹+ 2 旯g ) ( z + g ) ， 4 2 = 一2 g 4 2 - 4 3 ( 4 g 兄+ 6 g 。) ( a + g ) 对于反对称解，4 ，和4 为独立系数，系数问关系为： 4 = 一4 4 ，a m = 2 g 乒4 4 ，4 4 = - 2 g 4 4 ， 4 2 i = 4 1 - 4 ( 丑+ 3 g ) ( w t + g g + ) ， 4 l = 2 g 4 l 一 4 ( 2 g + 4 g ”) ，( + g ) ， 以i = 2 g 4 l 一4 4 ( 6 g ”+ 4 g ) ( 丑+ g ) 将其代入边界条件，令其行列式为零，有： g b s h 6 ) c o s 6 ) = 0 ( 2 2 8 ) 对称解部分方程取“+ ”，反对称解部分方程取“一。 此方程为实方程。为非零实数，因此，其根必为共轭复数。令2 9 b = 口历，采 用牛顿法求解，即可求出其本征根如下表： 表2 1 对称问题前5 阶本征值 n12345 r e ( p n b ) 互+ o 5 3 5 4丝+ 0 6 4 3 9堑+ o 6 8 2 7堡+ o 7 0 3 69 _ a + 0 7 1 6 9 22222 i m ( p n b ) 1 1 2 5 41 5 5 1 61 7 7 5 51 9 2 9 42 0 4 6 9 表2 2 反对称问题前5 阶本征值 n12345 r e ( 脚b )+ 0 6 0 7 22 + 0 6 6 6 83 + o 6 9 4 54 + o 7 1 0 95 + 0 7 2 1 9 i m 0 1 。n b )1 3 8 4 31 6 7 6 11 8 5 8 41 9 9 1 62 0 9 6 6 求得其相应的对称本征解为： - 1 3 粘弹性力学中辛本征解研究 眠= v n 一 “ 一 f n 一 矾 反对称本征解为： y 。= 一 v n 一 “ “ 一 仉 c o s 2 饥6 ) + z 】c o s 帆力 ( c o s 2 魄6 ) 一元) s i n ( t y ) 2 z u c o s 2 ( 以6 ) 一1 s i n ( z y ) 2 j , u d c o s 2 ( 心6 ) 一2 s i n ( j z y ) i t y s i n ( 1 1 y ) 酉( s ) s z , , y s i n ( y y ) b 2 ( s ) s 2 工以2 y s i n 力 b 2 ( s ) s 2 工从2 y c o $ ( g n 力 b a s ) s 其中z = g + ( i + + g ) ；五= + + 2 g 。) 似+ g 。) ；z = g 对上面两式反演得： = = k 瓦 吒 - s i n ( i z b ) + f s i n ( i z y ) + 1 1 y e o s 魄力卜b d t ) 1 扛s i n 2 6 ) 一五 c o s 魄y ) + 以y 血力) + 骂( f ) 2 z 以 1 一s i 2 ( f 1 b ) s i n ( t , , y ) + 2 f d z 2 y c o s ( 以力 。旦o ) 2 正以 s i n 2 q z b ) - z c o s ( p y ) + 2 a a 2 y s i n ( z 。y ) + a ( o i c o s 2 眠6 ) + 石 c o s ( i t y ) + l z y s i n ( p y ) 马o ) c , o s 2 c u b ) - l s i n ( f 1 y ) - f l 。y e o s 魄y ) ) 。马o ) 2 石以 c o s 2 ( 以6 ) 一1 c o s ( 以力+ 2 a p 2 y s i n ( p y ) + a d o 2 矗以 c o s 2 ( 以一2 s i n ( , y ) 一2 f , u 2 y e o s ( t y ) 十b 2 ( t ) 石= 而36 ( f ) + 丽6 r ( t o - 1 ) e x p ( - ( 2 r + 卿0 + 2 r 触 五= 而4 + 2 r f l - + 器署e x p ( - ( 2 r 坤0 + 2 r 胁 石2 方占o ) + 方位一分州叫7 励。 1 4 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 大连理工大学硕士学位论文 2 5 粘弹性平面问题的非齐次方程特解 考虑非齐次方程( 2 5 ) 。将非齐次项按辛本征解展开，得 虿= 【( 力死( y ) + 或( 工) c y ) 】 ( 2 3 3 ) 则根据辛正交关系，系数可以表示为 f ( x ) _ i 或 ) = 设非齐次方程特解为 忱= 喊( 功收o ，) + 酸( 朋 ( 2 3 4 ) 可得： 成( x ) = 心d = ( x ) + ) ；宝( 力= 巩( x ) + g ：( 习 ( 2 3 5 ) 这样有： e ( 力= g 弦一铅；( 力= 未( 手弦一一菇 ( 2 3 6 ) 有了特解，所以粘弹性平面问题的解可写成以下形式： 妒= 霞+ 呒= 【见+ 砭( x ) 】( y ) + 晦( x ) + ( z ) 】 ( 2 3 7 ) 其中吸为齐次方程的通解，记= l - 1 ( 民) ，= 7 ( 既) ，问题的解最终可表示 为： y = 哦( 力+ 联+ 蚝+ 瞩+ ( 圳魄) ( 2 3 8 ) 至此，我们已经求出了平面粘弹性问题的零本征解和非零本征解以及非齐次方程的 特解，从而得到了完备的解空间。 2 6 数值算例 2 6 1 拉伸解部分 针对粘弹性平面问题中零本征解的拉伸解，由式( 2 1 9 ) 有： - = - a 2 ( 土卿y c 2 粤；- - 璺( 窃 ( 2 3 9 ) f = 0 ；厅= g ( 3 + 2 g ) ，( 刀+ g ) c 2 ( 曲 分别考虑其拉伸解的蠕变效应和应力松弛效应： 虿= 方= c ：( s ) ； 厅= g ( 3 五+ 2 g ) “旯+ g ) c ；( j ) ( 2 4 0 ) 1 5 粘弹性力学中辛本征解研究 取c 2 ( 0 = ( + g ) s g + ( 3 + 2 g ) 】，此时，得到： 虿= ( 五+ g + ) s g ( 3 9 + 2 g ) 】 厅= l s( 2 4 1 ) 经过反l a p l a c e 变换，得到： 啪杀+ 石1 + ；( 卢一e x p ( - - i t 0 仃( ，) = 1( 2 4 2 ) 取c 2 0 ) = l s ，此时，得到： 可= l s ： 厅= g ( 3 a + 2 g ) ，【j ( 矿+ g ) 】 ( 2 4 3 ) 经过反l a p l a c e 变换，得到： 占o ) = 1 ； = 罴+ 高瑟杀唧c 啦删r 0 协肋 眩4 4 ) ( 2 4 2 ) 、( 2 4 4 ) 分另n 对应应变和应力的蠕变和松弛效应。 注意到位移v 对任何一个截面的积分为零，对蠕变和松弛的整体效果没有影响。 由材料的性质，取系数r = 3 k ( 2 g ) = 3 ，平面宽度2 b = 2 。考虑k e l v i n 模型的蠕 变。取系数i t = 1 ，卢= 0 ，得到蠕变曲线如图2 1 所示。考虑m a x w e l l 模型的应力松弛， 取系数口= 0 ，口= 1 ，得到应力松弛曲线如图2 2 所示。 图2 1k e l v i n 模型蠕变曲线图2 2m a x w e l l 模型应力松弛曲线 。1 6 大连理工大学硕士学位论文 取系数口= 1 ，卢= 0 5 ，图2 3 、图2 4 分别给出了三体固体模型的蠕变和松弛效应 曲线。 图2 3 三体模型蠕变曲线图2 4 三体模型应力松弛曲线 2 6 2 对称解部分 针对粘弹性平面问题的非零本征值本征解的对称解部分，本征值螬q 取值如表2 1 中所示。 以下图2 5 、图2 6 、图2 7 中分别为】【w e l l 模型、k e l v i n 模型和三体固体模型 其解的实部和虚部在x = o 截面，时间t = l 时随本征值p 的变化曲线图。其中粗实线、折 线、点线、点划线、细实线依次代表表2 1 中前五个本征值所对应的曲线。图中标注 r e ( 枣) 代表变量宰的实部，i ( 宰) 代表变量奉的虚部( 以下类同) ，从以 下图中可以看出随着本征值的变大，其解衰减的越来越快。 - 1 7 粘弹性力学中辛本征解研究 a 以觚觖厶， 。w w 矿胪 棚出勉 删扩胪 图2 5 l a x w e l l 模型位移和应力随本征值变化曲线 1 8 一蔷(一e一 一)(b-(n)m正 大连理工大学硕士学位论文 一 y - a x m 眦众袋珧 w 猢旷w v y - a x i s 棚勰熔肌 删v 妙伊 y - a x m 图2 6k e l v i n 模型位移和应力随本征值变化曲线 - 1 9 粘弹性力学中辛本征解研究 图2 7 三体固体模型位移和应力随本征值变化曲线 大连理工大学硕士学位论文 2 6 3 反对称解部分 本征值啪取值如表2 2 所示。 图2 8 、图2 9 、图2 1 0 中分别为三种模型本征解的实部和虚部在x = o 截面，时间 t = l 时随本征值弘的变化曲线图。其中，粗实线、折线、点线、点划线、细实线依次代 表表2 2 中前五个本征值所对应的曲线。从以下图中可以看出，反对称解具有与对称解 类似的性质。 - 2 l - 基，-)e一 垫堂丝垄堂主主查笙堡堡塞 k 一一胁q 刃训一“1 y 热瓜a 0 俨w 一阢 y - a x i s y - a x i s 图2 8m s a e l l 模垂 位移和应力随本征值变化曲线 一 y - e l x i s 大连理工大学硕士学位论文 k 一一触q 万w 一叫 n l 峪批 湖v 时 j y - a x i s k 脚0 俨v 妒。阢 y - a x i sy - a x i s 图2 9k e l v i n 模型位移和应力随本征值变化曲线 2 3 - 一蔷(一e一 一葶【)o正 粘弹性力学中辛本征解研究 ，、 k 一饼y 烈 弼瑚一w h k 瓜a 0 俨v 一既 y - a x i s y - a x i s 图2 1 0 三体固体模型位移和应力随本征值变化曲线 大连理工大学硕士学位论文 3 粘弹性柱体问题 3 1 对偶体系和哈密顿正则方程 在相空间下，记( ，) = a ，( 厂) ，即z 为模拟时间相应的拉格朗日函数为； 云= r 恤【( a ，百) 2 + 玎2 r 2 + p p f r r 2 + 毒2 + 2 e o ，玎l r + 2 a ，i - a 口v r + 2 韶，万 + 2 霸。口矿r 2 + 2 痂r + 2 w o 口v r + 2 g 【( a ，西) 2 + 订2 r 2 + ( a p 可) 2 r 2 + 茹2 + 2 i 国目v r 2 】+ g 【( a 口玎) 2 r 2 + ( a ，可) 2 + 矿2