（固体力学专业论文）物理非线性粘弹性杆动力分析研究及混沌动力系统仿真软件的开发.pdf

太原理工大学博士研究生学位论文 物理非线性粘弹性杆动力分析研究 及混沌动力系统仿真软件的开发 摘要 非线性科学已成为各门学科的研究前沿，固体力学将呈现出以非 线性力学为核心的发展趋势，其所代表的无穷维动力系统的研究也已 经获得了很大的进展。目前，混沌科学虽然在基础理论方面取得了很 大的进展，但还没有取得根本性的突破，还有许多问题没有解决，数 值计算仍然是研究混沌现象的一项基本手段。鉴于上述情况，本文主 要作了以下几方面的研究工作： 1 对固体力学领域中混沌运动的研究现状和方法作了整体上 的橛述，并针对基本结构元件非线性直杆的动力学相关研究作了简要 的回顾，指出了其中一些值得注意的问题。 2 。针对数值计算在非线性动力学研究中的重要性，利用v i s u a l c + + 6 0 面向对象编程语言，开发了微分动力系统的仿真分析软件，集 成了对已知微分动力系统和实验数据的各种混沌表征分析功能，其中 主要包括时程曲线，相平面轨迹( 或重构) ，功率谱分析，p o i n c a r 6 映射 以及混沌的定量特征参数李雅谱诺夫指数的计算等。实现了人机交互 操作和动态直观显示，可望为动力系统的研究提供一个极为便利的分 析工具。软件主要特点有：( 1 ) 软件内植入了求解微分方程初值问题的 自适应伪弧长算法，有利于对刚性和奇异性方程的求解；( 2 ) 独特的符 号解析功能实现了微分动力系统输入的任意性，使其不再是一个局限 于内嵌固定方程的演示软件而成为一种工具，从而极大地拓宽了软件 的应用范围；( 3 ) 软件部分模块( l y a p t m o v 指数谱) 的计算中，利用 m a r l a b 软件提供的接口协议调用了m a t l a b 符号j a c o b i 矩阵运算功能， 实现了软件与m a t l a b 的后台通信。另外通过一些算例的比较，验证了 软件计算的正确性和准确性。 3 杆件作为力学与工程应用中最常用的基本构件，在一般的静 太原理工大学博士研究生学位论文 动力分析中成为首当其冲的研究对象。由于在工程上应用的广泛性， 所以分析其强度、刚度和稳定性都是十分重要的，本文首先基于虚功 原理导出了三次物理非线性k e i l v e n 。v o i 薛粘弹性杆在考虑横向惯性效 应下的纵向波动方程。并应用多尺度法得到了杆应变相对于慢尺度时 间变量的m k d v - b u r g e r s 方程，然后根据非线性演化方程孤波解、冲击 波解与动力系统同、异宿轨道相对应的思想，得到了三次物理非线性 杆m k d v 方程在硬非线性材料下的孤波解和软非线性材料下的冲击波 解以及两种情况下的椭圆行波解。分析了非线性系数，色散系数对上 述非线性波的存在，以及对孤波传播速度、波幅、波宽等性质的影响， 并进步利用双曲正切函数法得到了非线性k e i l v e n v o i g t 粘弹性杆 m k d v - b u r g e r s 方程的精确解，阐明了结果的物理意义。由于孤波和冲 击波的形成伴随有能量的积聚，其稳定的长距离传播可能会导致结构 缺陷处的损坏，上述结果的得出可为结构的动力学设计和动态破坏分 析提供一定的借鉴。 4 研究了一端固定一端受简谐周期激励的二次及三次非线性 k e i l v e n v o i g t 粘弹性直杆在考虑横向惯性效应下的混沌响应，应用 g a l e r k i n 方法将该无限维动力系统转化为一个单模态的动力方程，并应 用m e l n i k o v 函数法给出了混沌产生的临界条件；通过计算次谐轨道的 m e l n i k o v 函数，发现该系统在参数激励与强迫激励联合作用下，只须 经过有限次分叉即可进入混沌。通过仿真计算，分别在激励幅值和阻 尼系数参数空间上给出了该系统由倍周期分叉通向混沌的各级分叉参 数值和进入混沌的阀值。相应给出的l y a p u n o v 指数谱随参数的变化曲 线也呈现了与分叉曲线完全一致的特征，从定量上验证了该系统分叉 和混沌的存在。p o i n c a r 6 映射给出了清晰的混沌吸引子图像，并且得到 了该吸引子的l y a p u n o v 指数谱和分形维数。 5 虽然g a l e r k i n 法已广泛应用于连续系统的动力学分析，但其 截断的合理性尚无直接的证明或根据，本文对上述非线性k e i l v e n v o i g t 粘弹性杆的控制方程分别采取了1 到3 阶的截断，并分别对之进行了 数值计算，分析了截断阶数对分叉和混沌计算的影响，结论认为特别 是在包含二次非线性的情形下，其二次非线性项仅在一阶截断方程的 太原理工大学博士研究生学位论文 系数中有所体现，而且计算结果表明一阶截断的首次分叉值误差较大， 采取二阶以上截断才能给出工程意义上较为安全的结果。 6 对物理非线性直杆双模态自由振动所得的两自由度h a m i l t o n 系统进行了分析，利用近可积保守h a m i l t o n 系统的m e l n i k o v 方法给出 了其发生混沌的临界条件，数值仿真验证了该系统当能量由低到高逐 渐变化时，k a m 环面逐渐破裂，系统由周期或拟周期运动向混沌演化 的过程。说明了物理非线性杆无强迫自由振动也存在着随机性，并且 仿真计算发现h a m i l t o n 系统在向混沌演化的过程中，一些k 蝴环面 “缢断”而分裂为多个小环面，并且这些小环面是互相连通的，这是 个新现象，这种现象的普适性尚待进一步的理论研究。 7 g a l e r k i n 法在多阶截断下所得的控制方程会由于方程所含项 数呈几何级数增长而变得异常庞大，为此本文利用有限元方法对非线 性粘弹性杆进行空间离散，并应用虚功原理得到了一组耦合非线性常 微分方程所代表的非线性动力系统，对其在周期外力激励下的分叉和 混沌响应进行了数值计算，得到了不同参数下的时程曲线，相平面轨 线，功率谱和混沌吸引子，并比较了不同离散单元数以及时间步长对 计算结果的影响，结果表明，有限元法虽然计算工作量较大，但对于 结构分叉和混沌的计算是可行的，尤其与g a l e r k i n 方法的多阶截断相 比，将更具优势。 8 m e l n i k o v 方法现已被广泛地用来作为微扰哈密顿系统是否 发生次谐或超次谐分又乃至混沌的判据。本文通过对一类非自治微分 动力系统的研究，证明了在这样类系统中如果存在周期解则只可能 是次谐周期解，超次谐周期解不可能存在，并进一步证明了在一类平 面问题中所定义的旋转限) 型超次谐周期解同样不可能存在。作为该结 论的一个应用，文中考察了几个典型的算例，结果表明现有的二阶 m e l n i k o v 方法判断平面扰动系统是否存在超次谐周期解的结论是不恰 当的，并做出了一个几何上的解释。 关键词：混沌，分叉，孤波，h a m i l t o n 系统，p o i n c a r 垂n 射，l y a p u n o v 指数，仿真软件，m e l n i k o v 方法。 1 1 1 奎垦矍三查兰堡圭婴壅生兰垡兰圣 r e s e a r c ho fp h y s i c a ln o n l i n e a r v i s c o e l a s t i c r o dd y n a m i c sa n dd e v e l o p m e n to f c h _ a o t i cs y s t e ms i m u l a t i o ns o f t w a r e a b s t r a c t n o n l i n e a rd y n a m i c sh a sb e c o m ef r o n t i e rt o p i ca l m o s ti na 1 1b r a n c h e s o fs c i e n c e u n e x c 印t i o n a l l y ，t h ed e v e l o p m e n to fs o l i dm e c h a n i c sa l s o e x h i b i t st h es a m et e n d e n c y a l t h o u g h r e s e a r c ho ft h ei n f i n i t ed i m e n s i o n a l ag r e a tp r o g r e s sh a sb e e nm a d ei nt h e d y n a m i cs y s t e mw h i c hi sf r e q u e n t l y r e p r e s e n t e db yc o n t i n u e sm e c h a n i c s ，m a n yt h e o r e t i c a lp r o b l e m sr e m a i n u n s e t t l e d h o w e v e r , n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，a sab a s i ca p p r o a c h ，i sa l w a y s ap o w e r f u lt o o lt os t u d yt h ec h a o s m a j o rw o r ki nt h i sd i s s e r t a t i o ni n c l u d e f o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 a no v e r v i e wo ft h er e s e a r c h i n go fc h a o si ns o l i dm e c h a n i c sf i e l di s m a d e ，a n ds p e c i a u y , ab r i e fr e v i e wo fs t u d i e sa b o u tt h er o di s a l s o p r e s e n t ，w h i c hi su s u a l l yaf u n d a m e n t a ls t r u c t u r a lm e m b e r i nm e c h a n i c s a n de n g i n e e r i n g s o m er e m a r k a b l ep r o b l e m sa r ea d d r e s s e d 2 c o n s i d e r i n gt h ei m p o r t a n tr o l ep l a y e db yn u m e r i c a lc o m p u t a t i o ni nt h e r e s e a r c ho f n o n l i n e a rd y n a m i c s ，s i m u l a t i o ns o f t w a r ef o rc h a o t i c d y n a m i cs y s t e mi sd e v e l o p e db yv i s u a lc 十+ 6 0 as o r t o fe x c e l l e n t p r o g r a m m i n gl a n g u a g e 。t h i sp r o g r a mg a t h e r s a l m o s ta l to ft h e f u n c t i o n st oc h a r a c t e rac h a o t i cr e s p o n s ef o rad y n a m i cs y s t e mo r e x p e r i m e n td a t a ，s u c h a st i m e h i s t o r y c u r v e ，p h a s ep o r t r a i t ，p o w e r s p e c t r u ma n a l y s i s ，p o i n c a r 6m a p p i n g o r s e c t i o n ，a n dl y a p u n o v e x p o n e n t s - - au n i q u ea p p r o a c ht od e s c r i p tt h ec h a o sq u a n t i f i c a t i o n a l l y t h i ss i m u l a t i o ns o f t w a r ei sam a i l m a c h i n ei n t e r a c t i v es y s t e m ，w h e r e d y n a m i ce v o l u t i o n a r yp r o c e s so ft h es y s t e mc a r lb ed e m o n s t r a t e d i t 查垦翌三奎兰壁圭笪壅生主垡垒苎 m i g h tp r o v i d ea ne f f e c t i v et o o lf o rt h es t u d y i n go f t h ed y n a m i cs y s t e m s o m ed i s t i n g u i s h i n gf e a t u r e sa r ed e s e r v e dt ob en o t e d ：( 1 ) as e l e c t a b l e a r c h - l e n g t hi n t e g r a t i o nm e t h o dw h i c hi s ap r o v e db e t t e rm e t h o dt o i n t e g r a t eas t i f fo rs i n g u l a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hi n i t i a lv a l u e si s i m m i g r a t e di n t ot h es o f t w a r e ；( 2 ) s y m b o lr e s o l u t i o nf u n c t i o ne m b e d d e d i nt h es y s t e ma l l o w sa l la r b i t r a r yi n p u to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h a t m a k e st h es o f t w a r eb e c o m eap o w e r f u lt o o lm o r et h a na d e m o n s t r a t i n g o n e ，a n ds i g n i f i c a n t l ye n l a r g e st h es c o p eo ft h ea p p l i c a b i l i t yo ft h e s o f t w a r e ( 3 ) d u r i n gt h ec a l c u l a t i n go fl y a p u n o ve x p o n e n t s s p e c t r u m ， t h ep o w e r f u lc a l c u l a t i n gc a p a c i t yo fs y m b o lm a t r i xp r o v i d e di nm a t l a b i si n v o k e dt h r o u g hb a c k g r o u n dc o m m u n i c a t i o nb e t w e e nv ca n dm a t l a b a c c o r d i n gt ot h em a t l a bi n t e r f a c ep r o t o c 0 1 f i n a l l y ，t h ee f f e c t i v i t ya n d v a l i d i t y o ft h es o f t w a r ea r ec o n f i r m e d t h r o u g hc o m p a r i n g t h e c a l c u l a t i n gr e s u l t so fs o m ec l a s s i c a lm o d e l 3 a saw i d e l yu s e ds t r u c t u r a lm e m b e r ，r o d sa r es t u d i e de x t e n s i v e l yw h o s e s t r e n g t h ，r i g i d i t ya n ds t a b i l i t ya r ea l w a y so u rf o c u s i nt h i sp a p e r , t h e b a s i cl o n g i t u d i n a lw a v ee q u a t i o ni sd e r i v e db yv i r t u a lw o r kp r i n c i p l e f o raq u a d r a t i ca n dc u b i cp h y s i c a ln o n l i n e a rk e i l v e n v b i g tv i s c o - e l a s t i c r o du n d e rt h ec o n s i d e r a t i o no ft r a n s v e r s ei n e r t i a t h e nb a s e do nt h e i d e a st h a tt h es o l i t a r yw a v ea n dt h es h o c kw a v ee x i s t e di nan o n l i n e a r e v o l u t i o n a r ye q u a t i o n a r em a t c h e dw i t ht h eh o m o - c l i n i ca n d h e t e r o - c l i n i co r b i t se x i s t e di nao r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e d f r o mt h ef o r m e r ，t h es o l i t a r yw a v e ，t h es h o c kw a v ea n dt h ee l l i p t i c a l p e r i o d i cw a v es o l u t i o n sf o ran o n l i n e a rr o da r ef o u n di nd i f f e r e n t m a t e r i a lc a s e s a n dt h ei n f l u e n c eo ft h en o n l i n e a r i t ya n dt 1 1 ed i s p e r s i o n o nt h ep r o p e r t i e so ft h en o n l i n e a rw a v ea b o v ea r ep r e s e n t e d ，s u c ha st h e v e l o c i t y ，t h ea m p l i t u d ea n dt h ew i d t h f u r t h e r m o r e ，t h ee x a c ts o l u t i o n s o fm k d v - b u r g e r se q u a t i o nf o rn o n l i n e a rv i s c o - e l a s t i cr o da r ea l s o o b t a i n e db yh y p e r b o l i ct a n h f u n c t i o nm e t h o d p h y s i c a ls i g n i f i c a t i o no f t h er e s u l t si s e m p h a s i z e d s i n c et h ee m e r g e n c eo fs o l i t a r yw a v ei s v 太原理工大学博士研究生学位论文 4 a l w a y sa c c o m p a n i e dw i t ht h eg a t h e r i n go fe n e r g y ，s ot h e r e s u l t s p r e s e n t e d i nt h i sd i s s e r t a t i o nm a yp r o v i d ear e f e r e n c ef o rd y n a m i c d e s i g no rd y n a m i cf a i l u r e ap h y s i c a ln o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cr o dw i t ho n ee n df i x e da n da n o t h e r e n ds u b j e c t e dt oa l la x i a lp e r i o d i c a le x c i t a t i o nw a ss t u d i e du n d e rt h e c o n s i d e r a t i o no ft r a n s v e r s ei n e r t i a g a l e r k i nm e t h o di s a p p l i e d t o t r a n s f o r ma ni n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i cs y s t e mi n t oas i n g l ef r e e d o m e q u a t i o n ；c r i t i c a lc o n d i t i o n so fc h a o so c c u r r e n c ew e r ee s t a b l i s h e db y u s eo fm e l n i k o vm e t h o d f i n a l l yn u m e r i c a lr e s u l t sa r ec a r r i e do u tb y u s i n gt h e s i m u l a t i o ns o f t w a r em e n t i o n e da b o v e ac l e a r i m a g eo f s t r a n g ea b s t r a c t o ri sp r e s e n t e di np o i n c a r 6m a p p i n g ，w h o s ef r a c t a l d i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n t sa r ea l s oo b t a i n e d t h ep e r i o d i c d o u b l i n gr o u t i n et oc h a o si sd e m o n s t r a t e dv i v i d l yi nap r o d u c ts p a c e s p a n e db yr e s p o n s ev a l u ea n dt h ep a r a m e t e ro fe x c i t i n ga m p l i t u d ea n d d a m p i n gc o e 筋c i e n tr e s p e c t i v e l y , f r o mw h i c ha l l o ft h eb i f u r c a t i o n v a l u ea n dt h r e s h o l dt oc h a o sc a l lb eg e te a s i l y , w h i l et h ec u r v e so f l y a p u n o ve x p o n e n t ss p e c t r u mv a r y i n gw i t ht h ep a r a m e t e r sa b o v ea r e a l s og i v e n ，w h i c hc o m p l e t e l ym a t c hw i t ht h eb i f u r c a t i o ng r a p h a l t h o u g ht h er a t i o n a l i t y o ft h i s s i m p l i f i c a t i o n h a s n tb e e np r o v e d ， g a l e r k i nm e t h o db e c o m e sa ne x t e n s i v e l ya d o p t e dm e t h o df o rs t u d i e so f s t r u c t u r ed y n a m i cp r o b l e m s i nt h i sp a p e r ，g a l e r k i nm e t h o di sa p p l i e d t oan o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cr o ds y s t e m ，c o n t r o l l i n ge q u a t i o n sa r ed e r i v e d i nd i f f e r e n tt r u n c a t i o no r d e r s ，e a c ho fw h i c ha r ea n a l y z e da n dc o m p u t e d f o ri t s r e s p o n s eb e h a v i o r , t h ee f f e c t o ft h et r u n c a t i o no r d e r so n c o m p u t a t i o no fb i f u r c a t i o na n dc h a o si sd i s c u s s e d i ti st h o u g h tt h a t g a l e r k i nm e t h o ds h o u l db e e n a p p l i e dc a r e f u l l y e s p e c i a l l y i na n o n l i n e a rs y s t e mw i t hq u a d r i ct e r m s ，a tl e a s t2 - o r d e r st r u n c a t i o nr a t h e r t h a no n l y1 - o r d e rt r u n c a t i o ns h o u l db et a k e ni n t oa c c o u n ts ot h a ta s a f e t yv a l u ec a nb eg i v e nr e l a t i v e l yi ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o na tt h e c o n s i d e r a t i o no fi t sf i r s ti n s t a b l ep o i n t v 1 6 at w o f r e e d o mh a m i l t o ns y s t e m i so b t a i n e di nt e r m so ft h ef r e e o s c i l l a t i o ni nd o u b l em o d e so fan o n l i n e a r r o ds y s t e m ，m e l n i k o v m e t h o du s e df o rn e a ri n t e g r a b l eh a m i l t o ns y s t e mi sa d o p t e dt og i v ea c r i t i c a lc o n d i t i o no fc h a o so c c u r r e n c e g r a d u a l l yb r e a k i n go fk a m t o r u si nd i f f e r e n te n e r g yl e v e li si n v e s t i g a t e dt h r o u g ht h en u m e r i c a l s i m u l a t i o n t h ee v o l u t i o n a r yr o u t i n ef r o mp e r i o d i c o rq u a s i p e r i o d i c o r b i t st oc h a o si si u u s t r a t e dd i s t i n c t l y i ts h o w st h a ts t o c h a s t i cm o t i o n m i g h te x i s ti nf r e eo s c i l l a t i o no fan o n l i n e a rr o d d r y i n gt h ep r o c e s s o f d y n a m i cs i m u l a t i o n ，n e wp h e n o m e n aa r ef o u n dt h a t ab i gk a mt o r u s b r e a ki n t om a n yl i t t l et o r u si nak i n do f h a n g i n g ”m o d ew h e ne n e r g y l e v e li sp r o m o t e d ，a n dt h e s el i t t l et o r u sa r ec o n n e c t i v es e q u e n t i a l l y ，t h e u n i v e r s a l i t yf o rs u c hp h e n o m e n a n e e d sf u r t h e rr e s e a r c h 7 w h e nm u l t i p l et r u n c a t i o no r d e r sa r ea d o p t e di ng a l e r k i nm e t h o d ，t h e o b t a i n e dc o n t r o l l i n ge q u a t i o nw i l lh a v eag i a n t v o l u m e ”d u et ot o o m a n yt e r m s ，w h i c hw i l lb e a c c u m u l a t e dr a p i d l yw i t ht h et r u n c a t i o n o r d e r si nag e o m e t r i c a ls e r i e sm o d e ，s of e mi su s e dt oa n a l y z et h e n o n l i n e a rv i s c o e l a s t i cr o ds y s t e mi nt h i sd i s s e r t a t i o n p r i n e i p a lo f v i r t u a lw o r ki sa p p l i e da n dn o n l i n e a rd y n a m i cs y s t e mr e p r e s e n t e db ya g r o u po fc o u p l i n go r d i n a r ye q u a t i o ni so b t a i n e df i n a l l y r e s p o n s eo f b i f u r c a t i o na n dc h a o si si n v e s t i g a t e df o rar o ds u b j e c t e dt op e r i o d i c e x c i t a t i o n ，a n dt h er e s u l t si nd i f f e r e n td i s c r e t en u m b e ra n dd i f f e r e n t t i m es t e pi sc o m p a r e di no r d e rt ov e r i f yt h ep r a c t i c a b i l i t yo ff e mf o r c a l c u l a t i n gb i f u r c a t i o na n dc h a o s 8 m e l n i k o vm e t h o di s w i d e l yu s e d a sac r i t e r i o nt oc h e c kw h e t h e r s u b h a r m o n i ca n du l t r a s u b h a r m o n i co re v e nc h a o sw i l lo c c u r i nt h i s p a p e r , i ti sp r o v e dt h a ti ft h e r ee x i s t sap e r i o d i cs o l u t i o nf o ra c l a s so f n o n a u t o n o m o u sd i f f e r e n t i a ld y n a m i cs y s t e m ， i tc a l l o n l y b e s u b h a r m o n i c ，u l t r a s u l ：i h a r m o n i cp e r i o d i c s o l u t i o ni s i m p o s s i b l e m o r e o v e r , t h ee x i s t e n c eo fr - - t y p eu l t r a - - s u b h a r m o n i cp e r i o d i cs o l u t i o n d e f i n e df o ras p e c i f i e dp l a n a rs y s t e mi sa l s od e n i e d a sa na p p l i c a t i o n 太原理工大学博士研究生学位论文 o fa b o v ec o n c l u s i o n s ，t h r o u g hi n v e s t i g a t i n gs o m e t y p i c a le x a m p l e s ，i ti s p o i n t e do u tt h a tt h ee x i s t e n c eo fu l t r a s u b h a r m o n i cp e r i o d i co r b i t si na p l a n a rp e r t u r b a t i o ns y s t e mc a n tb ed e t e r m i n e d b y s e c o n d o r d e r m e l n i k o vm e t h o d a ne x p l a n a t i o ni sa l s op r o v i d e dg e o m e t r i c a l l y k e yw o r d s ：c h a o s ，b i f u r c a t i o n ，s o l i t a r y w a v e ，h a m i l t o ns y s t e m ， p o i n c a r 6m a p p i n g ，l y a p u n o ve x p o n e n t s s p e c t r u m ，s i m u l a t i o ns o f t w a r e ， m e l n i k o vm e t h o d v l 太原理工大学博士研究生学位论文 1 1 引言 第一章绪论 自然界任何一个系统的精确建模都离不开非线性，造成非线性的原因主要有物 理非线性、几何非线性、边界条件非线性等，线性化的问题只是弱非线性问题的 近似，当然，这种近似在一定程度和范围之内已经给我们解决了不少问题，然而 随着自然科学和技术的发展，在许多方面，非线性因素变得愈来愈不容忽视，自 然科学的各个学科几乎都不约而同地转到非线性这个前沿1 1 “。非线性一下子成了 横跨各种学科门类的主题，而且由于非线性导致的一些引人入胜的现象也引起了 广泛的关注。但由于非线性问题的复杂性，目前尚无一个统一有效的解决办法， 能够被精确求解的非线性问题还是少之又少，虽然用经典的近似方法如：摄动法， 平均法等通常能在弱非线性情形下计算周期解与拟周期解，然而对非线性较强或 系统性态不规则( 或混沌时) ，这些方法一般都失效，庞加莱在十九世纪后期的研 究中发现，摄动法在某些情况下，由于其计算的不收敛性，会导致错误的结果， 他提倡将分析方法和几何方法结合起来定性描述微分方程，为动力系统的研究建 立了一系列重要的概念和方法f p ”。另外计算机科学的发展使大量繁杂的数值计算 成为可能，也为非线性科学的发展创造了新的契机。一般认为非线性科学主要包 括：混沌( c h a o s ) 、分形( f r a c t a l ) 和孤子( s o l i t o n ) 。 二十世纪六十年代，前苏联卓越的大数学家柯尔莫果洛夫( a n k o l m o g o r o v ) 研究了解析哈密顿系统的椭圆周期轨道的性质，于1 9 5 4 年提出并由他的学生阿诺 德( a r n o l d ) 及瑞士数学家莫泽( jm o s e r ) 分别证明了关于弱不可积保守系统普遍 性质的k a m 定理。它指出，当在可积的哈密顿系统中加进一个导致不可积的扰 动项后，如扰动项很小，并且未扰的哈密顿函数对应的频率不满足共振条件，那 么，受扰系统的定性图象与未扰系统一致。当条件不满足时，系统会出现混沌。 1 9 6 4 年，法国天文学家埃农和他的荷兰学生海尔斯( c h e i l e s ) 研究了有两个自由度 的哈密顿系统，发现当逐步提高系统的能级时，k a m 环面逐渐破坏，出现意想不 太原理工大学博士研究生学位论文 到的复杂图像，系统转向混沌。另一方面的重大突破来自于对耗散系统的研究， 1 9 6 3 年洛伦兹( en 1 0 r e n z ) 通过对大气对流模型的简化分析和数值模拟，结果发现， 在某些条件下，这个完全确定的系统可以表现出非周期的无规行为，暗示了长期 天气预报的不可能性，他的名为确定性非周期流文的发表，标志着混沌科 学的兴起，揭示了确定性非线性系统具有的一种内在随机性，弥补了决定论与概 率论非此即彼、截然对立的缺陷，为科研工作者提供了崭新的思维角度，被人们 誉为二十世纪与量子力学及相对论并举的又重大发现，它摧毁了不同学科之间 的分界线，使分工愈来愈细的自然科学重新统一起来。 从7 0 年代初起，混沌研究逐渐进入高潮，不同领域令人振奋的研究成果接连 问世，1 9 7 1 年，数学物理学家、法国的dr u e l l e 和荷兰的e t a k e n s 联名发表了题 为论湍流的本质的论文，他们证明流行的l e v dl a n d a u 关于湍流的发生机制 是不正确的，提出用混沌来描述湍流形成机理的新观点，独立地发现了动力系统 存在一类特别复杂的新型吸引子，发现了第一条通向混沌的道路。7 0 年代前后， 来自数学、生物学等不同领域的许多学者，如j ，g u c k e n h e i m e r 、斯梅尔、r 梅等， 考察过一维逻辑斯蒂映射中的有趣动力特性，表明如此简单的动力学系统竞具有 异常丰富的动力特性。1 9 7 5 年，华人李天岩和他的导师约克教授发表了篇具有 轰动效应的论文周期三蕴涵混沌，首次在动力学研究中引入混沌 _ _ d q t ，其中t 是系统吸收外界热量q 时的温 度。对于孤立系统，系统与外界没有热量交换，a q - - o ，所以五坠o ，对于可逆过 程，有d s = o ；对于不可逆过程d s o 。其意义是不可逆过程只能沿熵增加的方 向进行，最终达到平衡态。由于系统的无序程度与熵值存在对应关系，所以由熵 增加原理导致的孤立系统达到的平衡态是均匀无序状态i l o 】。 伊，普里戈金( p r i g o g i n e ) 与伊斯唐热合写的从混沌到有序及文献i 】中讨 论了在远离热力学平衡的某些各类系统中出现导致耗散结构的跃迁现象，提出熵 所支配的宇宙中序的起源问题。文中指出，虽然整个系统的发展趋势是混乱和热 力学平衡，但在局部却允许出现“涨落”，涨落是对均匀性、同一性的否定，因而 是一种有序因素，在某个临界值上，这些“涨落”被放大，从而出现一种以耗散结 构为特征的有序。即“非平衡可能是有序之源”。 5 太原理工大学博士研究生学位论文 对于非平衡的开放系统，普里戈金等人进一步推广熵的概念，将其表示为嬲 = 以s + d i s ，其中d e s 表示系统与外界交换能量和物质时，引起的熵