（工程力学专业论文）钢筋混凝土双向板刚度规律及挠度计算的研究.pdf

山东建筑大学硕士学位论文 摘要 钢筋混凝土双向板在工业和民用建筑中应用十分广泛，尤其随着大跨度、大空间建 筑的发展，混凝土双向板的应用跨度越来越大，计算板在使用阶段的挠度对于指导工程 设计具有重要的意义。但是，从3 0 多年前的我国钢筋混凝土结构设计规范t j l 0 7 4 ，2 0 年 前的混凝土结构设计规范g b j l 0 8 9 ，到现行的混凝土结构设计规范g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 ，我们 一直没有搞清楚钢筋混凝土双向板的刚度规律和挠度计算方法，不能方便正确地计算钢 筋混凝土双向板的挠度，为此有必要进行研究。 本文回顾了经典的弹性板理论，它是板结构弹塑性研究的重要基础，也是钢筋混凝 土双向板研究不可逾越的基础。同时，总结了前人对钢筋混凝土双向板弹塑性挠度的研 究成果，不难发现，这些成果具有一定的参考价值，但是研究得还很不够。本文在前人 研究成果的基础上，对钢筋混凝土双向板挠度进行弹塑性分析，探讨了带裂缝工作阶段 的短期刚度和短期挠度的计算问题。 首先，采用大型有限元分析软件a n s y s 对正常使用阶段承受均布荷载的四边简支和 四边固支钢筋混凝土双向薄板进行了非线性有限元分析，计算了不同长短边尺寸、板厚 和配筋率的钢筋混凝土双向板的挠度，同时计算了和双向板具有相同尺寸、配筋的单向 板的挠度，通过对计算结果进行对比分析，研究了双向板与单向板刚度规律及挠度的异 同点和联系。 其次，通过计算结果分析了影响双向板挠度的各种参数，进一步应用m a t l a b 优化 工具箱对计算结果进行非线性回归，得出了板在按双向受弯和单向受弯时的挠度关系式。 基于该关系式本文提出了钢筋混凝土双向板挠度计算的新方法，该计算方法中公式和单 向板挠度计算公式相衔接。最后将本文方法计算结果与试验结果进行了对比，从而验证 了本文方法的精确程度。 本文主要针对单跨双向板进行研究，对于实际工程中单跨板的设计研究有一定参考 价值。对于实际工程中大量的多跨连续双向板，其刚度规律及挠度计算理论尚有深入研 究的必要。 关键词：建筑结构，钢筋混凝土双向板，刚度规律，挠度计算 山东建筑大学硕士学位论文 r e s e a r c ho nt h er i g i d i t yr u l e sa n dc a l c u l a t i o no fd e f l e c t i o nf o r r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a b s c h e nh u i ( e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yz h a oy u - x i n g a b s t r a c t r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a bi sw i d e l yu s e di ni n d u s t r ya n dc i v i l i a nb u i l d i n g s e s p e c i a l l ya l o n gw i t ht h ed e v e l o p m e n to fl o n g - s p a na n dl a r g es p a c eb u i l d i n g s ，t h es p a no f r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a bb e c o m el o n g e ra n dl o n g e r ，s ot oc a l c u l a t et h ed e f l e c t i o no f s l a bi nn o r m a ls t a g ei sv e r yi m p o r t a n tt od i r e c tt h ep r o j e c td e s i g n h o w e v e r ，f r o mc o d eo f c h i n af o rd e s i g no fr e i n f o r c e dc o n c r e t es t r u c t u r e st j10 - 7 4i n3 0 y e a r sa g o ，t oc o d ef o r d e s i g no fc o n c r e t es t r u c t u r e sg b j 10 - 8 9i n2 0y e a r sa g o ，t oc o d ef o r d e s i g no fc o n c r e t e s t r u c t u r e sg b 5 0 0 10 2 0 0 2a tp r e s e n t ，w ec a n n o ta n a l y z ea n dc a l c u l a t et h er i g i d i t yr u l e sa n d d e f l e c t i o nf o rr e i n f o r c e dc o n c r e t et w o - w a ys l a bc o r r e c t l y t h u s ，f u r t h e rr e s e a r c h e si nt h i s p e r s p e c t i v ea r eo fn e c e s s i t y i nt h i sp a p e r ，t h ec l a s s i ct h e o r yo ft h el i n e a re l a s t i cs l a bi sr e v i e w e d i ti sa ni m p o i r t a n t b a s i sf o rr e s e a r c ho nt h ee l a s t i c - p l a s t i ca n a l y s i so ft h es l a b ，a n da l s oi ti sa ni m p a s s a b l e b a s i sf o rr e s e a r c ho nt h er e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a b a ts a m et i m e ，t h ea c h i e v e m e n t sa t e l a s t i c - p l a s t i ca n a l y s i so ft h er e i n f o r c e dc o n c r e t et w o - w a ys l a b sd e f l e c t i o na r es u m m a r i z e d a c c o r d i n gt h i sp a p e r sr e s e a r c h ，s o m er e s e a r c hf i n d i n g sc a nb et a k e na se x c e l l e n tr e f e r e n c e m a t e r i a l ；b u ti ns o m ew a y ，t h e ya r en o to fg r e a ta p p l i c a t i o nv a l u et oa c t u a lp r o j e c t t h u s ，t h i s p a p e r ，o nt h eb a s i so ft h ep r e s e n t l yr e s e a r c h e s ，t h ee l a s t i c p l a s t i ca n a l y s i so ft h er e i n f o r c e d c o n c r e t et w o w a ys l a b sd e f l e c t i o na r em a d e ；a n d ，t h ec a l c u l a t i o nm e t h o d so fs h o r t t e r m d e f l e c t i o n sa n dr i g i d i t yl a wa r ea l s oe x p l o r e d f i r s t l y , i tc a r r i e so u tn o n l i n e a rf i n i t ee l e m e n ta n a l y s i so fr e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a y t h i n 。s l a b ，w h i c hr e c e i v e du n i f o r ml o a di nt h en o r m a ls t a g e w i t hh e l po fa n s y s ，t h e c a l c u l a t i o na b o u tr e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a yt h i n s l a b sw i t hd i f f e r e n tr a t i oo fl e n g t h w i d t h ， 山东建筑大学硕士学位论文 d i f f e r e n tt h i c k n e s sa n dd i f f e r e n tr a t i oo fr e i n f o r c e m e n ti sc a r r i e do u t ，a ts a m et i m e ，t h e c a l c u l a t i o no fd e f l e c t i o nf o rr e i n f o r c e dc o n c r e t eo n e w a ys l a b si nt h es a m er a t i oo f l e n g t h w i d t h ，s a m et h i c k n e s sa n ds a m er a t i oo fr e i n f o r c e m e n tw i t ht h et w o w a ys l a b s ，t h e nt h e s i m i l a r i t i e sa n dd i f f e r e n c e si nt h er i g i d i t yr u l e sa n dd e f l e c t i o nb e t w e e nt w o w a ys l a ba n d o n e w a ys l a ba r ed i s c u s s e d s e c o n d l y , t h ei n f l u e n c i n gf a c t o r sf o rt h ed e f l e c t i o no f t h et w o - w a ys l a ba r ed i s c u s s e d ，b y n o n l i n e a rr e g r e s s i o no ft h er e s u l t sw i t hm a t l a bo p t i m i z a t i o nt o o lb o x ，t h ed e f l e c t i o n r e l a t i o n a le x p r e s s i o n so fr e i n f o r c e dc o n c r e t et w o - w a ys l a ba n do n e w a ys l a ba r ep r e s e n t e d a c c o r d i n gt h ea b o v ee x p r e s s i o n s ，an e w m e t h o df o rc a l c u l a t i o no fd e f l e c t i o nf o rr e i n f o r c e d c o n c r e t ef o u rs i d e ss i m p l ys u p p o r t e dt w o w a ys l a b sa n df o u rs i d er i g i ds u p p o r t e dt w o - w a y s l a b si sp r e s e n t e d t h ea b o v em e t h o dh a ss o m er e l a t i o n sw i t ht h ed e f l e c t i o ne x p r e s s i o n sf o r o n e w a ys l a b t h er e s u l t so ft h en e wm e t h o da r ec o m p a r e dw i t ht h ee x p e r i m e n t s t h e a c c u r a c yi nc o m p u t a t i o no ft h en e wm e t h o dc a r r i e so u ti nt h ep a p e r i sc o n f i r m e d i nt h i sp a p e r ，t h er e s e a r c hi sm a i n l yf o c u s e do nt h et w o - w a ys l a bo fs i n g l e 。s p a n ，w h i c h c a nb et a k e na sr e f e r e n c em a t e r i a lf o rt h ed e s i g na n da n a l y s i so ft h et w o w a ys l a bo f s i n g l e s p a ni na c t u a lp r o j e c t t h ef u r t h e rr e s e a r c h e si nt h er i g i d i t yr u l e sa n dc a l c u l a t i o no f d e f l e c t i o nf o rl o t so ft h ec o n t i n u o u sm u l t i - s p a ns l a bi na c t u a lp r o je c ta r eo fn e c e s s i t y k e yw o r d s ：b u i l d i n gs t r u c t u r e ，r e i n f o r c e dc o n c r e t et w o w a ys l a b ，r i g i d i t yr u l e s ， c a l c u l a t i o no fd e f l e c t i o n i i i 原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行研究取得 的成果。除文中已经注明引用的内容外，论文中不合其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位i 正- t ；而使用过的材 料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 承担本声明的法律责任。 学位论文作者签名： 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它手段保存、汇编学位论文。 保密论文在解密后遵守此声明。 学位论文作者签名： 导师签 名： 越! 垫日期竺! 墨垒! ! 日期地2 垂：! ， 山东建筑大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 目前，钢筋混凝土双向板是工业与民用建筑结构中应用十分广泛的结构构件，我国 近年的新建建筑工程中几乎每栋楼房中都有很多钢筋混凝土双向板，因此了解混凝土双 向板在不同受力阶段的内力分布和变形性能十分必要。 由于钢筋混凝土双向板实际受力性能的复杂性，难以建立数学方程对其求解，所以 在很长一段时间内，人们对它的弹塑性变形性能了解不够，有时也未给予恰当考虑。随 着对钢筋混凝土双向板研究的增多和理论分析的进一步深入，各种相应的理论体系和运 算方法应运而生，运用弹性理论和塑性理论求解钢筋混凝土双向板在承载能力极限状态 下的弯矩、剪力和扭矩的计算方法也相对成熟起来。但是，由于钢筋和混凝土的抗拉强 度相差很大，钢筋混凝土双向板在使用荷载作用下，大部分混凝土已经开裂而进入非线 性状态，但钢筋并未屈服仍在弹性状态下工作，此时双向板的整体刚度将比混凝土开裂 前有所下降，跨中挠度加大，因此整个板必然是在非线性状态下工作，这时用弹性或塑 性分析方法求得的板的内力和变形就不能反映它的实际工作状态。而且由于双向板的裂 缝、收缩、徐变、钢筋应力松弛、钢筋混凝土的非线性性能和粘结滑移等因素的影响， 按强度要求设计的双向板体系在使用荷载时的性能可能并不令人满意。例如：双向板体 系在使用荷载作用下会出现过大的裂缝，或其挠度大得不能接受。 一段时间以来，人们从微局部入手，对钢筋混凝土板进行非线性有限元分析。客观 地说，这些方面的收获是不够的，迄今没有获得方便实用的成果。我国钢筋混凝土结构 设计的最主要技术法规，从3 0 多年前的钢筋混凝土结构设计规范t j l 0 7 4 ，2 0 年前的混凝 土结构设计规范g b j l 0 8 9 ，到现行的国家标准混凝土结构设计规范g b 5 0 0 1 0 2 0 0 2 ，都足仅 仅给出了钢筋混凝土单向受弯构件的挠度计算方法，双向受弯时的挠度计算方法一直是 空缺的。而工程设计中利用弹性理论或单向板的方法计算双向板的挠度与实际情况相差 甚远，譬如，建筑结构杂志第3 6 卷第1 1 期的论文某异形柱框架房屋混凝土面层爆裂 剥落的鉴定加固中，本来是多跨连续双向钢筋混凝土板，却用单向板的方法计算，并 与试验值比较，其结论无疑是错误的。因此，研究钢筋混凝土双向板刚度规律，建立双 向板方便准确的挠度计算方法，使其不超过规范规定的最大允许值在板的设计中至关重 要。 总之，本课题进行混凝土双向板刚度及挠度的研究，目的是探究其刚度规律和挠度 山东建筑大学硕士学位论文 的计算方法，为工程设计与研究提供参考。 1 2 钢筋混凝土双向板挠度问题的研究现状 如何计算钢筋混凝土板的预计挠度一直困扰着设计人员，主要有两个独立的问题较 难解决 1 】。第一个是推导挠度函数，第二个是导得挠度函数后要用到的确定相应的抗弯 刚度。对于第一个问题，由于可供有限元分析用的高效率大型计算机程序的日益发展， 己求出了许多情况下的挠度函数，在某种程度上使这个问题变得容易解决了。对于第二 个问题，即确定抗弯刚度b ，确定适当的抗弯刚度对板来说比梁更为困难，虽然文氏等 人提出了两个经验方法：对于荷载较小( 不超过在跨中会产生初始裂缝的荷载) 时的挠 度用毛截面的b 值计算，而对于在使第一个截面产生屈服的荷载作用时的挠度则用完全 开裂后的换算截面的b 值计算，由于其不能准确反映截面的刚度，故其并不能从根本上 解决在使用阶段的挠度计算问题。 现对钢筋混凝土板的各种理论分析方法归纳如下： 1 2 1 弹性解析法【2 】 弹性薄板小挠度弯曲理论，采用克希霍夫( g r k i r c h h o f f ) 假设。该理论忽略了板 中横向剪应力对变形的影响，根据平衡条件和应变协调条件导得了弹性曲面微分方程。 公式比较简单，因而应用很广，但只适用于薄板。 解弹性板问题的一般方法是先确定挠曲形状方程，然后再将各种挠度的导数组合起 来求得内力。挠曲形状方程一定要既满足弹性曲面微分方程，又满足相应的边界条件方 程，由此，应用傅里叶级数的李维法和应用二重三角级数的纳维叶解法得到了广泛的应 用。 1 2 2 弹性板的数值法和近似法 3 1 ( 1 ) 有限差分法 薄板问题有限差分法或差分方程是尼尔逊( n i e l s e n ) 在1 9 2 0 年作为求解平板问题的一 种方法介绍的。对板面上有限量点的挠度，有限差分法用一个联立线性代数方程组代替 弹性曲面微分方程，求得这些挠度后，由各组点之间的相应关系就可求得弯矩和剪力。 在应用该法时，将一块板或板格分成适当数量的方形小块，然后可对每一网格交点列出 差分方程，对每个点可列出一个方程，解出联立方程组即可求得各点的挠度。 ( 2 ) 变分法 在工程实践中，变分法是各种近似解法中最为有效的方法之一。就其本质而言，是 山东建筑大学硕士学位论文 把求解弹性力学基本微分方程的问题，化为求解泛函的极值( 或驻值) 问题。而在求解 问题的近似解时，又进而将求泛函的极值问题变为函数的极值问题，最后将问题归结为 求解线性代数方程组。 ( 3 ) 有限单元法 有限单元法是近几十年来随着电子计算技术的发展和广泛应用而迅速发展起来的一 种数值解法。对于许多工程实际问题，由于其外形、边界条件等情况比较复杂，不仅无 法用解析法求得精确解，即使采用变分法求近似解也很困难。有限单元法具有极大的通 用性和灵活性，可以解决各种复杂的边界问题，因而在工程分析中得到了广泛的应用。 1 2 3 板的弹塑性分析方法 4 】 5 】 钢筋混凝土板是由钢筋和混凝土两种材料组成，两种材料均是非线性的，特别是混 凝土材料还有开裂、软化等特性。另外，由于混凝土是由水泥、水、砂、石子及各种掺 和料或外加剂混合硬化而成，是不均匀的、性能多样的建筑材料，所以到目前为止，对 钢筋混凝土力学性能的研究仍然有许多工作要做。长期以来，人们用线弹性理论来分析 钢筋混凝土结构的内力，而以极限状态的设计方法确定构件的承载能力、刚度和抗裂性， 这显然是不协调的。随着国民经济的提高，越来越多的大型混凝土结构需要修建，而且 对设计周期和工程质量都提出了更高的要求。随着有限元理论和计算机技术的进步，非 线性有限元分析方法得到了迅速发展并发挥出巨大的作用，主要体现在以下几个方面卜 1 3 】： ( 1 ) 用于重大结构。如核电站的安全壳、压力壳、海上采油平台、大型水利工程结 构等。这些结构投资巨大，一旦失效其经济损失惨重，因而一般都需要非线性有限元方 法分析，并对其在使用及极限状态下的可靠性做出科学的评价。 ( 2 ) 用于结构或构件的全过程分析。如混凝土坝、地下结构等，施工时间长，而交 付使用后由于混凝土徐变，其内部应力及变形分布还会发生变化。在这种情况下，要得 到随时间推移和随条件变化而发生的应力和应变分布情况，必须借助于非线性有限元分 析。此外，对钢筋混凝土构件与结构进行从加载到破坏的全过程分析，可对构件和结构 的性能及其实际的极限荷载有更深入、正确的了解，能揭示出结构的薄弱部位，能对其 可靠性作出正确的评价，并有利于改进原有的设计。 ( 3 ) 辅助试验进行参数分析。为了研究各种参数，诸如混凝土强度等级、钢筋强度、 配筋数量和形式对结构性能的影响，往往要按照参数变化分组做出试件进行试验。这种 试验数量多、周期长、劳动投入大。如果采用非线性有限元分析，则可用少量试验确定 山东建筑大学硕士学位论文 基本参数，然后在分析中调整参数，辅助分析参数变化的影响，大大提高了科研效率。 在进行钢筋混凝土板的非线性有限元分析时，有两个突出的特点：第一是材料本构 关系的特殊性和复杂性，另一方面是有限元的离散化。 对于材料的本构关系，混凝土材料除了本身的非线性特性之外，另一个重要的特性 之一是它的抗拉强度远低于其抗压强度，在很多情况下混凝土结构是带裂缝工作的，裂 缝引起周围应力的突然变化和刚度降低，是钢筋混凝土非线性分析的重要因素。因此， 对裂缝处理的适当与否是能否正确地分析钢筋混凝土结构的关键问题之一，同时，这也 是比较难于处理的复杂问题。目前，裂缝的模型很多，常用的主要有两种： ( 1 ) 单元边界的单独裂缝；( 2 ) 单元内部的弥散裂缝。 另一方面，由于钢筋混凝土结构中钢筋一般被包裹于混凝土之中，而且相对体积较 小，因此在建立钢筋混凝土的有限元模型时，必须考虑到这一特点。通常构成钢筋混凝 土结构的有限元模型主要有三种方式： ( 1 ) 分离式；( 2 ) 组合式；( 3 ) 整体式。 1 2 4 各种方法存在的问题【1 4 】【1 5 】 以上所述板的研究分析方法各有其不同的适用范围，如弹性分析方法是假定板为理 想的弹性材料，用弹性解析理论来分析板的应力和应变，仅局限于相当简单的几何形状、 荷载及边界条件。 板的数值解法则是由于许多实际问题运用经典弹性方法求解困难而衍生出来的近似 计算方法。有限元分析是最基本的结构分析手段之一，与解析法相比，有限元方法能求 解更复杂的结构，而且不受问题的性质和题目规模的限制；与差分法，加权余量法以及 变分法等其它数值方法相比，有限元方法的通用性更强。 钢筋混凝土非线性有限元分析方法作为一种数值方法，在工程实践中应用最为广泛。 它能够给出结构内力和变形发展的全过程，能够描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破 坏过程及其形态，能广泛地适用于各种结构类型和不同的受力条件与环境。但同时我们 也应该看到，钢筋混凝土双向板是各向异性非线性材料，在荷载作用下，一般钢筋混凝 土双向板是带裂缝工作的，而且这些裂缝随着荷载的增减和时间的推移而发生变化，其 收缩和徐变的规律还有待于深入研究，且钢筋和混凝土的粘结力与其相对变形的关系很 复杂，影响因素很多，粘结滑移的本构关系仍然是目前重要的研究课题。 目前，规范中只是给出单向受弯构件挠度的一种近似计算方法，并没有给出双向板 刚度及挠度的计算方法。 山东建筑大学硕士学位论文 1 3 本文的研究内容 本文首先论述了经典的弹性板解析计算理论，总结分析了钢筋混凝土双向板弹塑性 挠度计算的一些研究成果；其次采用有限元分析软件a n s y s 对在正常使用阶段承受垂直 于板面均布荷载作用的四边简支和四边固支钢筋混凝土双向薄板进行了计算，通过计算 进行刚度规律及挠度计算的研究和分析。主要工作如下： ( 1 ) 总结了前人对钢筋混凝土双向板挠度弹塑性计算的研究成果，并在前人研究成 果的基础上，对钢筋混凝土双向板挠度进行弹塑性分析，探讨了带裂缝工作阶段的短期 挠度和短期刚度的简化计算方法。根据双向板的挠度与混凝土的受力特点，也根据我国技 术法规内容的现状，确定了以现有的单向板挠度成熟计算理论为基轴，向双向板挠度计 算拓展的思路。考虑到经费的因素，确定了用有限元分析去获得双向板与单向板之间挠 度比拟关系的技术路线。 ( 2 ) 利用a n s y s 软件，对四边简支和四边固支条件下多组不同长短边比、板厚和 不同的配筋率的钢筋混凝土双向板进行挠度计算，同时计算了和双向板具有相同的尺寸、 板厚和配筋的单向板的挠度，分析了双向板与单向板刚度规律及挠度的区别和联系，分 析了在短期刚度和挠度计算方面，双向板和单向受弯构件之间的比拟关系。 ( 3 ) 应用大型工程计算软件m a t l a b 对a n s y s 软件计算的双向板挠度结果进行了 非线性回归，得出了钢筋混凝土双向板在四边简支和四边固支条件下的按双向板和单向 受弯时挠度的关系式。接下来，根据挠度规律提出了钢筋混凝土双向板挠度计算的新方 法。最后，按本文提出的新方法做了算例，验证了本文方法的精确程度。 山东建筑大学硕士学位论文 第2 章弹性板计算理论综述 钢筋混凝土双向板是各向异性板，所以先对板的理论发展作些回顾。如果板的厚度 远小于其中面尺寸时，这个板称为薄板，否则就称为厚板。从工程实践情况来看，实际 应用的混凝土双向板都是薄板。 按照板的结构特点，板又可以分为小挠度板和大挠度板。小挠度板的力学特性，就 是在横向荷载作用下发生弯曲变形，并主要以弯曲变形来抵抗外加的横向荷载，或者说 以弯矩、扭矩及横向剪力同外荷载维持平衡。而大挠度的工作状态，则是由弯矩、扭矩、 横向剪力及膜内力来与外荷载保持平衡。同时应该指出，只有通过计算才能将薄板进行 分类，如果横向荷载不是很大，板的挠度比板的厚度小很多( 小于板厚的l 5 。1 4 ) ，就 认为是小挠度板。相反，如果横向荷载很大，以至于板的挠度与板的厚度相当时，就认 为它是大挠度板。 对于薄板，已经引用一些计算假定从而建立了一套完整的理论，可以用来解决较简 单的工程问题。 2 1 薄板理论的发展 1 6 】【1 7 】 关于薄板理论的研究，始于1 7 7 6 年，是从欧拉( l e u l e r ) 研究薄膜的振动开始的。 他将其作为由两组互相垂直且拉紧的线组成，得到有关的微分方程： 姿：彳窑+ b 宴 ( 2 1 ) 可2 彳丽+ b 萨 其中w 表示挠度，a 与曰为常量。 随后，伯努利( j a c q u e sb e r n o u l l i ) 引入了欧拉的概念，他设想将两组相互正交的梁近 似地作为研究板弯曲的模型，得到了方程： 日( 窘芬卜 2 ， 他认为荷载强度g 是由x ，y 方向的两组梁来分担的。但实际上，该理论中忽略了 扭转所承担的部分荷载，而且伯努利本人也认为这是近似的，如果取两组并不是正交的 梁，则结果会稍有不同。这是作为解板的弯曲问题的第一个尝试。 1 8 1 1 年，法国的索菲诺曼( s o p h i eg e r m a i n ) 利用对板的弯曲应变能进行变分，得 到挠度的微分方程，她设板的弯曲变形能的积分式为： 山东建筑大学硕士学位论文 彳，任笥凼 3 ， 式中，角、岛为弹性曲面的主曲率半径，但她在计算积分表达式时忽略了板中面翘 曲所做的功，后经过拉格朗日( j l l a g r a n g e ) 的改正，得到了正确的板的自由振动的微 分方程： 盯( 窘+ 2 岛+ 雾) + 窘= 。 c 2 舢 即为通常所说的索菲诺曼一拉格朗日方程。 第一个令人满意的、完整的薄板弯曲理论的提出应该归功于纳维叶( c l n a v i e r ) ， 她研究了周边简支的矩形板的解，提出了正确的边界条件，以二重三角级数的形式作为 简支板的解答，并求解了均布荷载及矩形板中点有集中荷载这两种情况，为薄板问题的 解析法奠定了基础。 1 8 2 9 年，泊松( s d p o i s s o n ) 进一步改进了板的理论，作为一个两维的解，他得到 了在荷载作用下板的挠度方程： 警+ 2 尝+ 尝叫 ( 2 5 ) a 0a x a va v 2 l 同时，泊松还讨论了板的边界条件，对于简支边和固定边，他给出的边界条件方程 与现在通用的边界条件相一致。但对于沿边界有已知分布力的情况，他要求三个边界条 件：剪力、扭矩及弯矩。 由于板的控制微分方程是四阶的，而一个边界上有三个边界条件是与此矛盾的，由 三个边界条件减为两个边界条件是由克希霍夫( g r k i r c h h o f f ) 完成的。 1 8 5 0 年，克希霍夫发表了薄板理论的重要论文，他提出了薄板理论的两个基本假设， 确立了板弯曲理论的基础。他纠正了泊松在边界条件上的矛盾，指出在板的每一边界上 只存在两个边界条件，他被公认为考虑弯曲和拉压联合作用的板理论的创始人。开尔文 ( l k e l v i n ) 对这些条件的减少作了物理解释，他应用圣维南原理，将板边缘的扭矩转换 为静力相当的等效剪力，就是在边界上只有总剪力和弯矩这两个边界条件。 1 9 世纪末，李维( m l e v y ) 利用了单三角级数法求出了两对边简支而另两边为任意 边界的矩形板的解，是纳维叶解的进一步推广，因其收敛性好，适应性广，更具有实际 价值。 山东建筑大学硕士学位论文 公路路面板内的应力分析，引起了人们对弹性地基上的板的注意，对于在弹性地基 上的板的弯曲问题的研究，一类是以温克耳( w i n k l e r ) 、齐姆门( z i m m e r m a n ) 的假设作为 出发点研究的，一类是按照板位于半无限弹性体上来处理的。铁木辛格( t i m o s h e n k o ) 及 d j g r o f m a n 都在其各自的专著中做过一系列研究。 木材及钢筋混凝土的广泛应用，引出了各向异性板的弯曲理论，虽然这一类的工作 最早是由甘林( g e h r i n g ) 所创，但对实际有用的解主要是由许伯( m t h u b e r ) 所提供的。 在该领域内做进一步工作的主要是前苏联的学者们，列赫尼兹基推广了洛克辛的解法， 研究了用肋条加固的正交各向异性板的弯曲，还将复变函数巧妙地用于了各向异性板的 弯曲问题。 此外，工程师们还研究了其他形状的板，如椭圆形，三角形，扇形等。至于大挠度 板的研究，是由冯卡曼( v o n k a r m a n ) 在1 9 0 9 年推导出大挠度板( 柔性板) 理论的控 制( 偏微分) 方程组的最终形式，即为著名的卡曼方程组，至今仍被广泛地应用。对薄 板理论做出过贡献的科学家，还可以列出很多，如布勃诺夫，符拉索夫等等。 由于现代航空、航天、造船、建筑、桥梁、公路等工业的发展，对板的结构的分析 提出了更高的要求，也随之出现了一些经典的近似方法，如里兹法、伽辽金法、差分法 均有广泛的应用。由于近代计算机的普遍应用，有限元法、有线条法、边界积分法等也 已成为板结构分析的重要工具。 2 2 薄板f l , 0 , j , 挠度弯曲陋2 1 】 2 2 1 克希霍夫假设 薄板平衡力系如图2 1 所示，薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假定为基础的， 这些假定可以陈述如下： ( 1 ) 变形前垂直于中面的直线，变形后仍然保持直线，同时板厚度保持不变。相应 的应变可以不计，即s ，可以不计，取占，= 0 ，则可以得： w = w ( x ，y ) ( 2 6 ) 也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度之内所有各点都具有相同的位移 wo ( 2 ) 应力分量吃、t z y 、吒所引起的应变可以不计，即巳= 去b ，一盯y ) ， s y = 去p y 一q ) ，y 。= 如= o 。但吒、乞和t z y 是维持平衡所必需的，所以不能不计。 山东建筑大学硕士学位论文 ( 3 ) 板中面的各点都没有平行于中面的位移，即 ( “) 枷= o ，( v ) 脚= 0 ( 2 7 ) 图2 1 薄板的平衡力系 通过以上的假设，薄板的小挠度弯曲理论问题就可以按位移求解，取薄板的挠度w 为 基本未知函数。因此我们把所有的其它物理量都用w 来表示，并建立w 的微分方程，即 所谓的弹性曲面微分方程。 2 2 2 控制微分方程 1 有了上面的基本假定，由假定( 1 ) 可得，离中面为z 的点其应变分量分别是： a 2 w q z 丽 a 2 w s y z 可。 y 砂= - 2 z 0 u 2 j l w n y 巧2 y 怛 然后再将应力分量用w 来表示，可得： ( 2 8 ) 蚵 v j 一 d 订一y 灿 等 8 百 一_ 山东建筑大学硕士学位论文 e zl 铲w q 一可l 可 e zf 分w q 一可i 矿 e za 2 w 码 1 七幔8 x o y 一锯v 2 w ( 2 9 ) 从板中截出底边为出与咖，高为h 的微小六面体，将各应力分量分别积分可得到板 的弯矩、扭矩和剪力： m l = 丘三c rz d z 2 m y = = 三o y z d z 2 m 砂= 臣勺砘 f q = 丘k 出 2 f q y = 壁，旺d z 2 将应力分量代入内力分量，可得到内力的表达式： m 可 q = 一d d = m f = 一。( 1 一) 丽0 2 w 对六面体平行于横轴及纵轴分别取矩，可得到下面平衡方程： ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 挑一驴挑一掰 “ 灯 + + wv a 一缸 妒 字 南南 挑一妒挑一掰 “ “ 挑一酽挑一矿 工 y m m w w v v a一缸a一砂 d d 山东建筑大学硕士学位论文 望+ 望+ 口：o 出 砂 q ：警+ 警 u x u y n 一8 my o m 可 g = + _ 孑 ( 2 1 2 ) 再将内力分量代入平衡方程，即可得到各向同性板的弹性曲面微分方程： 黑v 4 w ：g ( 2 1 3 ) 1 2 ( 1 一2 ) 1 2 3 各向异性板的计算理论【2 2 】 2 3 1 各向异性板的小挠度弯曲问题 有了各向同性薄板的控制方程，很容易就可以得到各向异性板的控制微分方程。由 试验结果可知：尽管薄板是各向异性的，只要它的中面( 以及与中面平行的各平面) 是 弹性对称面，而且挠度远小于厚度，则上一节的基本假定都是适用的，与各向同性板相 比，二者的几何方程是相同的。而物理方程则是有所不同，由广义虎克定律，并考虑对 称性，可见，应力分量q 、q 、o z 、都不会引起形变分量和比。因此上述四个 应力分量吒、o y 、o - z 、t o , 都是对称于拶平面的，而和坛是反对称于拶平面的。根 据假定仃，= 0 ，可得简化后的各向异性板的物理方程为： q2 口l l 吒+ q 2 q + 口1 6 勺i 勺= a 1 2 吒+ 以2 2 巳+ 口2 6 ( 2 1 4 ) 2a 1 6 0 x + a 2 6 q + a 6 6 j 式中的系数是弹性常数，它们表示单位应力分量引起的形变分量。 利用几何方程，可将应力分量用挠度w 表示如下： 其中 一z ( 吣0 2 _ _ _ w w ：讽害攀。茜) 一z ( 且：窘境雾嘲。舄) 一z ( 骂。窘讽雾城。舄) ( 2 1 5 ) 山东建筑大学硕士学位论文 耻竿焉= 卒 9 6 6 竿 = 竿 e s = 丝譬噍戊= 竿 坂= 践q 砘= 一( d l 。窘+ q ：雾+ 2 b 。茜) 鸭= 践q 娩= 一( d l ：0 缸2 _ _ w w ：+ 皿：窘+ 2 砬。苗) 峥践啦= 一( b 。窘峨窘饿。茜) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 其中的常数岛= 岛苦统称为各向异性板的弯扭刚度。 薄板的平衡方程与弹性常数无关，因此平衡方程也适用于各向异性板，将用w 表示 的弯矩及扭矩分量代入，即得各向异性板在横向荷载作用下的弹性曲面微分方程： b 。+ 4 d l 。高埘d 1 2 + 2 d 6 。，翥一v 4 砬。舄+ d 2 2 雾= g 2 3 2 构造上各向异性板的近似计算 2 3 1 上面讨论了用各向异性材料制成的薄板，更重要的是推拓到由于构造上的原因表现 为各向异性的薄板。例如，一块钢筋混凝土板，由于两向配筋率不同，将表现轻度的各 向异性，于是可以把它当成一块均质的正交各向异性板，而参照两向配筋的数量来决定 它的主刚度。当然，把一块非均质的板当作一块均质各向异性板来计算，无论怎样来计 算主刚度，总归是近似的，但对于我们工程问题的分析也是一种可接受的做法。 本节中运用正交各向异性板的计算方法解决钢筋混凝土双向板在四边简支和四边固 支两种情况下中心点挠度的计算问题。 ( 1 ) 四周简支钢筋混凝土双向板挠度计算 为成示表 w 度挠用毵扭及 6 6 6 酬 2 2 6 、 q 吃吒 可 i 2 6 式 表量分力应的示表 w 度挠用利 山东建筑大学硕士学位论文 1 ) 挠度方程 设钢筋混凝土双向板其主方向平行于边缘，板四周简支，承受法向分布荷载而弯曲， 令以、b 为边的长度，如图2 2 和2 3 所示。由“各向异性板壳理论 正交各向异性板， 其挠度方程为： q d l 万0 4 w 峭岛+ 砬雾刮训) ( 2 2 。) 式中： 音m 引叫 砬= b = 。一e c 。 i 秽+ ( 每一t l d 3 = , d , d 2 一混凝土泊松比； e 、e 一分别为混凝土和钢筋的弹性模量； 及l 一分别为混凝土截面及钢筋对于x 为常量的中和轴的惯性矩； 及乞一分别为混凝土截面及钢筋对于y 为常量的中和轴的惯性矩； 或，d ，钢筋混凝土板的弯曲刚度。 o i a 土 l 一一i y 图2 2 双向板截面图 山东建筑大学硕士学位论文 以上钢筋混凝土板刚度计算取自胡拜尔的近似推导公式【1 8 】。 钢筋混凝土双向板为正交各向异性板，就其受力性态而言无疑是非线性构件，但前 人得出的弹性解析理论所表现的板性态，显然是线弹性的，由此不难明白这些成果的精 确水平并不高，价值并不大，因此我们只能极其适当地使用这些成果。尽管如此，据其 计算板的挠度也毕竟是一种可参考的结果。 2 ) 挠度方程的解 边界条件为： 在石= 0 ，x = a 处w = 坂= 0 在y = 0 ，y = b 处w = m 。= 0 若所有的边界条件都将得到满足，设方程( 2 2 0 ) 的解为二重富氏级数2 4 】： w = 艺主以 口s i n 孚 (221)m=l1 1 ：1 s i n m z x “， 式中为待定系数，俄，z 为正整数，为了确定系数a m 。我们也将分布荷载g ( x ，y ) 展成二重富氏级数： g ( 五y ) = 艺m = l 艺n = 1 s i nm 口r c xs 访孚 c 2 2 2 ) 通过直接积分可以得到 s i n m 。万x 面n 字出供笺 旺2 3 ， 山东建筑大学硕士学位论文 r s i n 型s m 塑咖： 旬 ab 。 ( ，z n7 ) ( n = 靠7 ) 故r p竺sin2型蚴=警(聊=聊，n=n)ab 内内 。 4 、 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 为了确定富氏级数，在( 2 2 2 ) 式两边同乘以s i n 坚s i n 里z 出方并在0 到6 之 ad 间积分： rr g ( w ) s i n 字s i n 孚蛐 n = lr 扣等s i n 孚碰n 字s i n 孚蚴 当m = m 7 ，n = n 7 时解得： = 石4 fr g ( 帅i n 等s i n 孚蛐 将( 2 2 1 ) 或代入( 2 2 0 ) 式得： q ( x ，y ) ( 2 2