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中南大学 2015 年秋季硕士研究生 矩阵论期末考试试题参考答案 一、(18 分)已知矩阵A相似于 200000 021000 002000 000110 000011 000001 . (1) 求A的初等因子、不变因子和最小多项式； (2) 求 3 ()tr AI+； (3) 判断A是否为收敛矩阵. 解解 (1) 200000 021000 002000 000110 000011 000001 的初等因子为 23 2, (2) , (1)+. 因为相似的矩 阵有相同的初等因子, 故A的初等因子也是 23 2, (2) , (1)+, 从而可得A的不变 因子为 23 123 ( )1,( )2,( )(2) (1)ddd=+, 最小多项式( ) A m为A的最后 一个不变因子，即 23 ( )(2) (1) A m=+. (2) 因 为A的 特 征 值 为2, 2, 2,1,1,1, 故 3 AI+的 特 征 值 为 333333 21, 21, 21, ( 1)1, ( 1)1, ( 1)1+, 即9,9,9, 0, 0, 0, 从而 3 ()27tr AI+=. (3) 因为谱半径为特征值的模的最大者, 故A的谱半径为( )2A=. 而A为收敛矩 阵的充要条件是( )1A, |0 x , 从而 22 2 |0 xxx =+. ii) 对于C, 222222 22 | |xxxxxx =+=+=. iii) 对任何,Cnx y, 2 2222 222 |(| )|(| )xyxyxyxyxy +=+ 2222 2222 |2| |2| |xxyyxxyy + 2222 2222 (| )(| )2| |2| |xxyyxyxy + 22222 2222 (| )(| )2 (| | | )xxyyxyxy =+ 22222222 222222 (| )(| )2 | | |2| | | |xxyyxyxyxyxy =+ 222222222222 222222 (| )(| )2 | | | | |xxyyxyxyxyxy + 22222222 2222 (| )(| )2 (| )(| )xxyyxxyy =+ 22222 22 ( | )xxyy =+ 2 (|) ,xy=+ 开方得 | |xyxy+. 综上知|x是Cn上的向量范数. (2) 设 12 ( ,)T n xx xx=, 则 1 11 1 2 2 11 1 |max | |max | , |max | |max | , n iii i ni n i n iii i ni n i xxxxnxnx xxxxnxnx = = = = 从而 211 1 | ,| ,xxnxxxx n 222 12 2 1 2 |2 |2| (1)|1|1| , xxxxxx n nxnxnx =+ + 即 11 2 | |1| ,xxnx n + 于是 12 2 ,1ccn n =+. 三、(16 分) (1) 设 123 ( ,)Taa aa=是给定的向量, 3 3 () ij Xx =是矩阵变量, 求 d () d T Xa X . (2) 设 110 311 021 A = , 求sin() A eIA. 解解 (1) 1 112 123 13 121222323 1 31232333 , a xa xa x Xaa xa xa x a xa xa x + =+ + 1 112 123 131212223231 31232333 ()(,) T Xaa xa xa xa xa xa xa xa xa x=+, 111213 212223 313233 ()()() d ()()()() d ()()() TTT TTTT TTT XaXaXa xxx XaXaXaXa Xxxx XaXaXa xxx = 123 123 123 000000 000000 000000 aaa aaa aaa = . (2) A的特征多项式为 2 110 ( ) |311(1) 021 EA =+= 设 2 ( )sin(1)( ) ( )fegabc =+ 将0=, 1=分别代入上式得(0),(1)fcfabc=+. 再在上式两边求导后将 0=代入得(0)fb=. 于是得到方程组 sin1, 0, sin1cos1, c abc b = =+ = 解得2sin1cos1, sin1cos1,sin1abc= +=. 再由 Hamilton-Cayley 定理知, ( )0A=, 于是, 22 2 sin()( )( ) ( ) ( 2sin1cos1)(sin1cos1)(sin1) 201110100 ( 2sin1cos1)000(sin1cos1)311(sin1) 010 603021001 6sin1 3cos1sin1cos12si A eIAf Ag AAaAbAcIaAbAcI AAI =+=+ = + = + = n1cos1 3sin13cos1cos1sin1cos1. 12sin16cos12sin12cos14sin12cos1 + + + 也可令 2 1111 ( ) ( )egabc =+, 按上面的方法求得 1 2, 1aebc=, 得到 2 111 201110100 (2)000311010 603021001 6212 301. 126234 A ea Ab Ac I e ee ee =+ =+ + = , 令 2 2222 sin(1)( ) ( )gabc =+, 解得 2 sin1cos1, cos1,sin1,abc= += = 进而求得 2 222 sin() 201110100 ( sin1cos1)000(cos1)311(sin1) 010 603021001 3sin1 3cos1cos1sin1cos1 3cos1sin1cos1cos1. 6sin16cos12cos12sin12cos1 IAa Ab Ac I=+ = + + =+ + , 四、(14 分) 求 100 001 101 A = 的奇异值分解. 解解 201 000 102 T A A = , 201 |00(1)(3) 102 T IA A = , 故 T A A 的特征值为 123 3,1,0=, 对应的特征向量依次为 123 110 0 ,0,1 110 ppp = . 故酉矩阵 11 0 22 001 11 0 22 V = , 使得 300 ()010 000 TT VA A V = . 令 1 11 11 11 62 1001 22 0 11 001003 62 0110111 2 0 22 6 UAV = , 取 2 1 6 1 6 2 6 U = , 12 111 626 111 (,) 626 22 0 66 UU U = , 则U是酉矩阵, A的奇异值分 解为 11111 0 62622 300 0 11111 0100 0062622 000 01022 0 66 H AUV = . 五、 （16 分）设 11 22 11 3 22 13 5 24 i A = （其中1i =）的特征值为 123 , . (1) 利用 Gerschgorin 定理隔离 123 , ，并给出它们的分布区域； (2) 证明： 123 2547 | 44 +. 解解 (1) A的三个盖尔圆为： 1: 1Gzi, 2: 31Gz , 3 5 :5 4 Gz , 故A的三个特 征值分布在 123 GGGGG内. 由于 1 G是孤立的盖尔圆, 根据 Gerschgorin 定理知, 1 G中有A的一个特征值, 设为 1 . 2 G和 3 G相交. 选取(2,1,1)Ddiag=, 令 1 11 11 3 42 13 5 44 i BDAD = . 则B与A相似, 从 而有相同的特征值. B的三个盖尔圆为： 1: 2Gzi, 2 3 :3 4 Gz, 3: 51Gz. 易见, 123 ,G GG互不相交, 故 123 ,G GG中各有A的一个特征值, 设位于 23 ,GG中的特征 值依次为 23 ,. 由于 1 G的半径小于 1 G的半径, 故可知, 123 , 分别位于盖尔圆 1 G, 2 G 和 3 G 中. (2) 由(1)知, 1 1i, 2 3 3 4 , 3 51, 因此 123 93315 0 | 1 | | 2,3| 3, 45 1 | 5 16 4444 i +=+= + =, 123 2591547 04 | 26 4444 =+=. 六、 （20 分）设 123 (1, 0,1) ,(,) ,(1,1, 0 ) TTTT ABAAxxxxb=. (1) 求A的全部1逆； (2) 在A的1逆中求A+； (3) 利用 Moore-Penrose 逆判断方程组Bxb=是否相容. 解解 (1) 设A的1逆为(,)Xa b c=. 由AXAA=得 111 0(,)00 111 a b c = , 故1ac=, 即1ac=+. 所以, A的全部1逆为 1(1, , ),Acb cb c=+任意1逆. (2) Moore-Penrose 逆(,)Xa b c=还满足, (), () HH XAXXAXAXXAXA=. 由 11 0(1, , )000 11 cbc AXcb c cbc + =+= , 及()HAXA