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泛函方程的稳定性 张登华 摘要：本文研究泛函方程的稳定性问题，着重讨论了柯西泛函方程，扛+ ) = ，( z ) + ( y ) 和可乘泛函方程( x y ) = ，( z ) ，( y ) 的稳定性，并研究了相关的环同 态和特征的稳定性问题全文分两章，分别就这两类泛函方程进行了研究 本文第一章研究柯西泛函方程，扣+ y ) = ，( 。) + ( y ) 的稳定性问题我们 通过引进泛函指标a ( ) 来刻画近似可加映射，证明了对于从群到b a n a c h 空间 内的任一个映射，只要a ( ，) 是有界的，那么，在h y e r s 和u l a m 意义下就是稳 定的这一结论推广了h y e r s 的相应结果研究了关于整个空间上的近似可加映 射的稳定性问题我们接着考虑限制域上可加映射的h y e r s - u l a m 稳定性问题， 证明了在限制域上的近似可加映射在整个空间上也是稳定的，从而推广了f s k o f 的相应结论进一步又考虑了在含单位元b a n a c h 代数的两个b a n a c h 模之间线性 映射的h y e r s - u l a m 稳定性的几种情况 本文第二章主要研究可乘泛函方程( x ) = ，( z ) ，( f ) 的稳定性问题本章 首先将j b a k e r 最早得到的关于近似可乘映射的超稳定性定理推广对象空间到半 单的交换复b a n a c h 代数上接着我们同样通过引进另个泛函指标a ( ) 来刻 画近似可乘映射，证明了关于环同态的稳定性的一些结果，从两个方面推广了r b a d o r a 曾给出的结论我们证明了对于从环到b a n a c h 代数内的任一个映射，只 要a ( ，) + ( ，) 是有界的，并且，是保单位元的，那么，就是稳定的进而， 我们给出更为一般的稳定性结果，得到关于j o r d a n 同态和l i e 同态的稳定性定 理最后，我们研究定义在交换复b a n a c h 代数4 的共轭空间中的近似线性可 乘泛函，也即近似特征的稳定性，我们分析了近似特征的一系列性质，给出了具 有稳定特征的代数一a m n m 代数的几个等价刻画，得到有限维的交换复b a n a c h 代数 都是a m n m 代数等若干重要结论 关键词一稳定性；泛函方程；近似可加映射；近似可乘映射； a m n m 代数 o nt b es t a b i l i t yo ff u n c t i o n a le q u a t i o n s d c n g h u nz h a n g a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h es t a b i f i t yo ft h ea d d i t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n ，( z + v ) = ，( ) + f ( y ) a n dm u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n ( z ) = ，( z ) ，( ) w ea l s oc o n s i d e rt h es t a b i l i t yo fr i n gh o m o m o r p h i s ma n dc h a r a c t e r s w ed i v i d et h i s a r t i c l ei n t ot w o c h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fa d d i t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n ， + y ) = ( 5 ) + ，( ) w e f i r s ti n t r o d u c ef u n c t i o n a li n d e xa r ( ) t os t u d ya p p r o x i m a t e l y a d d i t i v em a p p i n g s w eg e tt h a ti ffm a p sag r o u pi n t oab a n a c hs p a c ea n da r ( ，) i sb o u n d e d ，t h e n ，i ss t a b l e _ i nt h es e n s eo fh y e r sa n du l a m t h i sr e s u l tg e n e r a l i z e d h y e r s r e s u l t s of a r ，w eh a v es t u d i e dt h es t a b i l i t yo fa d d i t i v em a p p i n g d e f i n e do n e n t i r es p a c e i ti sn a t u r a lt oa s ka b o u tt h es t a b i l i t yo ft h ea d d i t i v em a p p i n go na r e s t r i c t e dd o m a i n w ep r o v et h a tt h em a p p i n gw h i c hs a t i s f i e st h ea d d i t i v ee q u a t i o n a p p r o x i m a t e l yi nar e s t r i c t e dd o m a i ni s s t a b l ei ne n t i r es p a c e a tt h ee n do ft h e c h a p t e r 帆p r o v et h eg e n e r a l i z e dh y e r s - u l a ms t a b i f i t yo ft h el i n e a rm a p p i n gi n b a n a c hm o d u l e so v e rau n i t a lb a n a c ha l g e b r a i nc h a p t e r2 ，w es t u d yt h es t a b i l i t yo fm u l t i p l i c a t i v ef u n c t i o n a le q u a t i o n f ( x y ) = ，( z ) ，( y ) o u rf i r s t r e s u l ts h o w st h a tt h ew e l l - k n o w nb a k e r ss u p e r - s t a b i l i t yt h e o r e mf o ra p p r o x i m a t e l ym u l t i p l i c a t i v em a p p i n g c 8 nb ee x t e n d e dt ot h e c a s ew h e r et h e t a r g e ts p a c ei s ac o m m u t a t i v es e m i s i m p l ec o m p l e xb a n a c ha l g e b r a w ea l s oi n t r o d u ca n o t h e rf u n c t i o n a li n d e x 珥( ) t os t u d ya p p r o x i m a t e l ym u l t i p l i c a - t i v em a p p i n g s w ep r o v es o m er e s u l t sc o n c e r n i n gs t a b i l i t yo far i n gh o m o m o r p h i s m a n dg e n e r a l i z e sr b a d o r a st h e o r e mi nt w od i r e c t i o n s w eg e tt h a ti ffm a p s r i n g i n t oab a n a c ha l g e b r aa n dp r e s e r v e su n i ta n da ，( ，) + 矗( ，) i sb o u n d e d ，t h e n ， i ss t a b l e n e x tw eg i v em o r eg e n e r a ls t a b i l i 蚵r e s u l ta n do b t a i ns t a b i l i t yt h e o r e m o nj o r d a na n dl i eh o m o m o r p h i s m s m o s to ft h er e s to ft h i sc h a p t e ri sd e v o t e dt o s t u d y i n gt h es t a b i f i t yo fa p p r o x i m a t e l ym u l t i p l i c a t i v el i n e a rf u n c t i o n a l sd e f i n e do n ac o m m u t a t i v ec o m p l e xb a n a c ha l g e b r aa ，t h a ti st h es t a b i l i t yo fc h a r a c t e r s ，w e s t u d ys o m ep r o p e r t i e so fa p p r o x i m a t ec h a r a c t e r sa n dg i v es o m ec h a r a c t e r i z a t i o n so f a m n m a l g e b r aw h i c h i sw i t hs t a b l ec h a r a c t e r s t h e nw e g e tt h a tf i n i t ed i m e n s i o n a l c o m m u t a t i v ec o m p l e xb a n a c ha l g e b r ai sa m n m a l g e b r aa n do t h e rr e s u l t s k e y w o r d s s t a b i l i t y ；f u n c t i o n a le q u a t i o n s ；a p p r o x i m a t e l ya d d i t i v em a p p i n g s ； a p p r o x i m a t e l ym u l t i p l i c a t i v em a p p i n g s ；a m n ma l g e b r a 学位论文独创性声明 y 7 2 8 5 9 3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构 的学位威证书面使用过的材料对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者躲必眺丝 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西 师范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文 的电子版和纸质版l 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进 入学校图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：至雠日期；兰幽 主要符号表 复数域 实数域 群 半群 环 赋范空间 从g 到f 中的全体映射组成的集合 ，m ( g ，e ) i a ，( ，) 0 ，是否存在一个6 0 ， 使得只要函数，：g x g 2 对任意的z ，y g 1 都满足不等式d ( f ( x y ) ，( z ) ，( ) ) 正那么就有一个同态g ：g 1 一g 2 使得d ( ，( 。) ，口( 嚣) ) g ，v z g i ? d h h y e r s 最早回答了u l a m 提出的问题，他证明了两个b a n a c h 空间之间 群同态的稳定性定理( 见f 2 】) 随后，t h m r a s s i a s 通过允许柯西差分变得无界 拓深了h y e r s 的定理，从而给出了u l a m 问题的一个推广的解答( 见1 3 】) 自此， 各种瑟函方程的稳定性问题被许多数学家所研究( 见文献f 4 1 0 1 ) 这方西的研究 成果不仅使得泛函方程稳定性理论本身有了深入的发展，而且其理论方法还深入 到了非线性方程、最优化理论、完备论和数学模型等众多数学分支更值得注意 的是它在量子力学、物理学等许多领域都获得了广泛的应用，成为研究自然科学 与工程技术理论不可缺少的重要研究工具 柯西泛函方程f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 和乘法泛函方程f ( x - y ) = f ( x ) f ( y ) 是 最重要的两类泛函方程，d h h y e r s ，t h m r a s s i a s ，和j b a k e r 等大批学者 对其穗定性进行丁广泛地研究本文以泛函分析为主要工具，在已有的理论基础 上，对这一问题进行了深入研究 在本文的第一章中，我们将研究柯西泛函方程f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 的稳 定性对于这类方程，d h h y e r s 和t h m r a s s i a s ，f s k o f 等人研究了在二元 变量时的稳定性情况，得到一系列稳定性的结论参见文献f 2 , 3 ，2 3 】我们通过引 进泛函指标a ，( ) 来刻画近似可加映射，进而推广h y e r s 【2 】的相应结果我们证 明：对于从群到b a n a c h 空间内的任一个映射，只要 ( ，) 是有界的，那么，在 h y e r s 和u l a m 意义下就是稳定的研究了关于接个空间上的近似可加映射的稳 定性问题，接着考虑限制域上可加映射的稳定性问题，我们得到在限制域上近似 可加的映射在整个空间上也是稳定的结论，从而推广f s k o f 【2 3 1 的结果进一步 又考虑在含单位元b a n a c h 代数的两个b a n a c h 模之间线性映射的稳定性的几种 情况 本文的第二章研究的是可乘泛函方程( x y ) = ( x ) y ( y ) 的稳定性j ，b a k e r 等人在1 9 7 9 年首先研究了这类晓函方程的稳定性，并观察到了很强的稳定性 现象我们首先就是将j b a k e r 的超稳定性结论推广对象空间到半单的交换复 b a n a c h 代数上接着我们同样通过引进另一个泛函指标 ( ) 来刻画近似可乘 映射，得到关于环同态的稳定性的一些结果我们证明。对于从环到b a n a c h 代 数内的任个映射，只要a ，( ，) + m r ( ，) 是有界的，并且，是保单位元的，那么 ，就是稳定的进而，我们给出更为一般的稳定性结论，得到关于j o r d a n 同态和 l i e 同态的稳定性定理最后是本章的重要内容，我们考虑定义在交换复b a n a c h 代数4 上的近似线性可乘泛函，也即近似特征的稳定性，给出具有稳定特征的代 数一a m n m 代数的一系列结论 2 第一章柯西泛函方程的稳定性 1 - 1 引言 最著名的泛函方程之一是柯西泛函方程f ( x + v ) = f ( x ) + ，( ) ，此方程的每 一个解称作是可加函数 在1 9 4 1 年，d hh y e r s 在文献( 2 j 中最早回答了u i a m 提出的问题，得到 了泛函方程稳定性问题的最初结果他证明了下面关于群同态的稳定性定理t 定理( d h h y e r s ) 设20 ，f 是从b a n a c h 空间历到b a n a c h 空间如 中的一个映射，如果对任意的z ，y 品，都满足 i i ( x + y ) 一f ( x ) 一f ( v ) l i s ，( 1 1 1 ) 那么一定存在唯一的可加映射t ：晶一岛，使得 i | ，( z ) 一t ( x ) i i s ，比且 在这种意义下，我们说柯西泛函方程f ( x + y ) = ，( z ) + f ( y ) 在( 日，马) 上 具有h y e r - 一u l a m 稳定性或者说，柯西泛函方程在h y e r s 和u l a m 意义下是稳定 的此术语用于其他各种泛函方程 h y e r s 的定理自此被r a s s i a s 【3 ，1 1 ，1 2 ，z g a j d a 【1 3 ，1 4 ，g i s a c 【1 5 等人广泛 地推广尤其是在1 9 7 8 年，t h m r a s s i a s 在没有要求柯西差分有界的情况下， 给啦了u l a m 问题另一个解答。拓深了h y e r s 的定理参见文【3 】 定理( t h m r a s s i a s ) 设，是从b a n a n a 空闻e l 到b a n a c h 空间岛中 的一个映射，对每个给定的z 置。，) 对于t r 连续如果存在口20 和 p f 0 ，1 1 ，使得 i i f ( x + ) 一f ( x ) 一f ( y ) l i e ( 1 l 。l l + l l 引i ) ，忱，e 1 ，( 1 1 2 ) 那么存在唯一的线性映射t ：且一e 2 ，使得 l l f ( 茹) 一t p ) i i 冬当，坛e 1 一f 在这种意义下，我们说柯西泛函方程f ( x + y ) = ，( z ) 十f ( y ) 在( e - ，易) 上 具有h y e r s - u l a m - r a s s i a s 稳定性，或者称为具有广义的h y e r s - u l a m 稳定性此术 语同样用于其他各种泛函方程 3 大约1 9 8 0 年以后，各种泛函方程的广义h y e r s u l a m 稳定性闻题被许多数学 家研究，这个领域成为数学分析中主要的研究方向之一参见文献【1 6 2 0 j j 如果不等式( 1 1 1 ) 的每一个解，：e l 一岛就是柯西泛函方程，( z 十y ) 一 f ( z ) + f ( y ) 的解，那么称柯西泛函方程在( 毋，如) 上具有超稳定性类似地用于 反映其他各种泛函方程的稳定性 d h h y e r s 和t h m r a s s i a s 等人研究了在二元变量时的稳定性情况，得 到一系列稳定性的结论本章通过引进泛函指标 ( ) 来刻画近似可加映射，进 而推广h y e r s 的相应结果我们证明：对于从群到b a n a e h 空间内的任一个映射 ，只要 ( ，) 是有界的，那么，在h y e r s 和u l a m 意义下就是稳定的接着我们 研究限制域上可加映射的稳定性问题。获得在限制域上是近似可加的映射其在蹩 个空间上也是稳定的结论进一步，我们讨论在b a n a c h 模中线性映射的稳定性 的几种情况 1 2 近似群同态的稳定性 本节中，我们将给出关于近似可加映射的稳定性定理，从而推广h y e r s 的这 一结果 设( g ，+ ) 是a b e 珏a n 群，( e ，f f 是一b a n a c h 空闯，州( g ，昱j 表示由所 有从g 到e 中的映射所组成的集合对于，m ( a ，e ) ，r n ，r 2 ，我们定 义一个泛函a ，：朋( g ，e ) 一r 为； 训m 静一鼢t ，8 ：x * e g t 可证明此泛函具有以下性质； ( a ) a ，( ，) o ； ( b ) a ，( ，+ g ) a ，( ，) + a ，( 9 ) ； ( c ) a ，q ，) = a ( ，) 】 ( d ) a ，( ，) = 0 营a 2 ( ，) = 0 甘f 是一个保加映射； ( e ) j 专a r ( ，) a r + l ( ，) s2 a ，( ，) + i r - 了2 a ，( ，) ， 其中f ，g 是空间m ( e ，e ) 中任意两元素，a 是任一实数 再定义集合 a ( g ，e ) = ， ( g ，e ) i a ，( 力 n ，由( 1 2 2 ) 式得： 峥c 卜如吲卜万11 1 1 m 嘲卅 ，1 i s 万1 - 击瓜( n 因此 又因为层是完备的 。l i r a 9 刍f ( r ”$ ) 一刍，( r “$ ) l l = 。 所以柯西列 唔盟) 收敛令 t ( z ) = 2 i r ar - 妥f ( r n z ) ，v z e l ， ( 1 2 3 ) 下一步证明a ，( t ) = a 。( t ) = 0 因为对于任意的x l ，x 2 ，斟g 和任意 的“n ，有 ll，c，。主：。，一jk=三lk=l1 ，c ，n 。，i i i sa ，c ， “z * ) 一，( r t ) 忙a ( n i |i 所以 万1 l l 八r 喜。，一妻k = l ，c r n 巩，l | 击4 ，c ，万l l 八r 喜z * ，一妻，c r ”z 一，l | 击4 r c ， 因此。! j 璺 i 刍，c ，n 砉。，一喜击，e ，n $ 。，i l ：。恶恸p 静一喜扣列卜 由( 1 2 3 ) 式映射t 的定义得 j i t ( z 1 + z 2 + - - 十曲) 一t ( z 1 ) 一t ( z 2 ) - - 一丁( 耳) | j = 0 故a ，( t ) = a 2 ( 丁) = 0 ，即t 是可加映射由( 1 2 2 ) 式和( 1 2 3 ) 式有 i i f - t i i 。辫 最后证明r 的唯一性，假设存在另一个可加映射n ：g ，e 满足条件 ”刚。兰攀 那么对每一个x g 和任意的n n ，有 n l i t ( z ) 一噩( z ) i i = i i t ( n x ) 一孔( n z ) | j sl t ( n x ) 一f ( n x ) lj + j f ( n x ) 一疋( n z ) 0 ! 警 注1 2 2 假设条件f a ，( g ，e ) o 并不一定意味着f ( o ) = 0 例如t 设，是定义在实数集上的常值函数。，( z ) = 1 ，l ，则有a r ( ，) = r 一1 但 i ( o ) = 1 而且此时映射t i 0 推论1 2 2 设g 是一度量线性空间，在定理1 2 1 的条件下，( 1 ) 如果，在 g 中的某一点处连续，那么t 在g 中处处连续；( 2 ) 如果对每一个给定的嚣g ， 函数f ( t x ) 对于t r 连续，则t 是线性的 证明( 1 ) 反证法不妨假设t 在零点处不连续，那么存在某一个整数o ， 和g 中收敛到0 的点列 z 。) ，使得i i t ( x 。) 0 ：，n = 1 ，2 ，3 ，设，在某一点 z o g 处连续。任取一整数m 3 a a ，( ，) ，则有t l i m f ( m x n + ) = ，( ) 7 又i l ，一7 1 l l 。；磐，故当n 充分大时，有 i i t ( r e x 。+ y ) 一t ( y ) lj j t ( m z 。+ y ) 一f ( m x 。+ y ) l j + | l ，( m z 。+ y ) f ( y ) l l + l i f ( y ) 一t ( y ) l l ，a r ( ，) a ，( ，) a ，( ，) s 尚+ 尚+ 尚 3 a ，( ，) 。而 另一方面，由于丁是可加映射 i i t ( r e x 。+ p ) 一t c y ) i i = ih t ( - = 。) i i = m l t ( x 。) i i 3 a t ( f ) 矛盾产生，因此假设不成立，t 是处处连续的 ( 2 ) 因为比，y g ，t ( x + v ) = t ( 茹) + 丁( ) 那么对任意的有理数r ，有 t ( r x ) = r ? ( 冒) 给定茹g 和p e + ，构造映射：r r 为t 那么曲是一个群同态因为 t p ( t ( t x ) ) = 母( ) 庐( 口+ b ) = p ( t ( ( 口+ 6 ) ) ) = p ( t ( a x + b x ) ) = p ( t ( a x ) + t ( b x ) ) = 庐( 8 ) + ( 6 ) 令 靠( ) = 掣， 则西( t ) = l i r a 。咖。( t ) 又机( t ) 是连续函数，那么毋( t ) 是连续函数的逐点极限， 因而就是b o r e l 函数根据文献 2 1 】中的定理可知一连续又因为对于任意的 a r ，存在一有理数列p 。，使得n = l i r a 。m 从而有 咖( 耐) = 水县p f 。) 。县恐妒( t p n ) = ( 。l 。i r a 。p n ) 0 ) = n 妒0 ) 因此t ( a x ) = a t ( x ) ， c a r 故丁是线性映射证毕 1 3 限制域上近似可加映射的稳定性 在上一节研究了关于整个空间上的近似可加映射的稳定性问题，其一个自然 推广就是限制域上可加映射的稳定性问题具体地说，在限制域上近似满足柯西 8 惩函方程的映射，其附近是否同榉一定存在可加的映射? f s k o f 在文献胆2 】中 首次研究了这类问题，得到了下面的定理并将其结果应用于可加函数的渐进性的 研究 定理1 3 1设e l ，e 2 是赋范空间且马完备，f ：e l 一岛为一映射， d 0 如果存在某正数，使得当z ，y e l 且l 十i l y l i d 时，有 1 1 ，( z + y ) 一，( z ) 一f ( y ) l i 那么一定存在唯一的加法映射a ：e l 一如使得 f i f ( x ) 口( z ) 0 9 s ，妇品 d h h y e r s 等人在文献【2 3 】中进一步证明了在限制域上柯西泛函方程的广 义h y e r s - u l a m 稳定性定理，并将结果用于分析渐进可导性，这一性质在非线性分 析中非常重要 定理1 3 2 设，是从实赋范空间晶到实b a n a c h 空间如中的个映射， 给定非负数m ，0 和p 且0 2 一j m 时，有 一。r , x ) l l f 本节将证明关于在限制域上近似可加映射的h y e r s - u l a m 稳定性的一个结 果，推广f s k o f 的相应定理同时，还将得到所得结果的两个应用 定理1 3 3设，是从实赋范空间e 1 到实b a n a c h 空间易中的一个映射， 给定m 0 ，r 2 且r n 如果存在某正数毛使得当3 7 1 ，奶，z ，e 1 且 l l z l | i + | | z 2 i i + 4 - 0 茁，| 1 m 时，有 雌蝴一鼢* ，怦 s - ， 那么一定存在唯一的可加映射妒：蜀一局使得当z 岛且淞h 罟时，有 j i ( x ) 一妒 ) | | s ：j s ( 1 3 2 ) 9 证明类似于定理1 2 1 ，用数学归纳法可以证明：当忙1 | m ，时，对任意的 峨m 椭 叫小上r - 1 ， n 。引 f