（工程力学专业论文）弹性力学辛体系若干问题理论与方法研究.pdf

摘要 摘要 弹性力学辛体系在对偶的二类变量( 位移、应力) 范围内求解，具有l a g r a n g e 体系无 法比拟的优越性。在辛体系中求得规则区域问题的解析解，包括找到传统l a g r a n g e 体 系已有的解答，能充分体现其优越性；辛体系数值方法具有实际应用价值；相关理论( 包 括守恒律) 方面的研究不仅具有重要的理论意义，而且对数值计算与分析也具指导意义。 论文对弹性力学辛体系中的一些数值方法与相关理论进行了研究，具体主要内容包括： ( 1 ) 深入研究了矩形梁受幂函数形式法向、切向分布荷载的问题。利用分离变量法 和放弃齐次边界条件求通解的方法，在辛体系中对矩形梁受分布荷载的问题重新进行了 求解；提出了上述方法求解时保留常数项的方案和其它注意事项：成功求解了静不定矩 形梁受这类荷载的问题。得到了所有上述问题的辛解答。 ( 2 ) 对极坐标弹性问题两种辛体系中h 锄i l t o n 函数和广义动量的守恒性进行了研 究。由h 锄i l t o n 对偶方程推出了h 锄i l t o n 函数和广义动量的守恒律，同时给出了守恒 条件，揭示了极坐标辛体系广义动量守恒律的本质。 ( 3 ) 提出了一种改进的辛体系有限元。结合l a g 删1 9 e 体系理性有限元和辛体系常规 有限元的思想，在辛体系中提出了一种改进的有限元，编制了该方法的计算程序，并将 其应用于多层层合板问题，取得了预期的效果。 ( 4 ) 将全区域离散的有限差分法引入到辛体系中。对具有应力边界的平面问题建立 了辛差分格式，并编程对算例进行计算，结果是令人满意的，从而为弹性力学辛体系提 供了一种新的数值方法。 关键词：弹性力学；辛体系；对偶变量；分离变量法；守恒律；有限元法；有限差分法。 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t hd u a lv a r i a b l e sc o m p o s e do fd i s p l a c e m e n t sa 1 1 ds 仃e s s e sf o rs o l u t i o n ， s y m p l e c t i cs y s t e m h a sm u c hs u p e r i o r i t yt ol a g m n g es y s t e m i ns y m p l e c t i cs y s t c m ，n o to n l yt h es o i u t i o n si n l a g r a n g es y s t e mb u ta l s on e ws o l u t i o n sc a nb eo b t a i n e d n u r n e r i c a lm e t h o d sa r et h ee f l e c t i v e m e a l l sf o rs o l v i n gt b ec o m p j e xp r o b l e m si n e n 埘n e e “n g r e j a t e dt h e o r i t i c si n c l u d e c o n s e r v a t j o nl a w sa r et h ei m p o r t a l l tp a r ti ne l a s t i c 时 r e s e a r c ho na 1 1a b o v ea r e a si n s y m p l e c t i cs y s t e mh a si m p o n a n tt h e r i t i c a lm e a l l i n ga i l d 印p l y i n gv a l u e b a s e do na b o v e a i l a i y s e s ，t 、ol 【i n d so fn u m e r i c a lm e t h o d sa n dr e l a t e dt l e o r i e sa r ed i s c u s s e d t 1 1 ep a r t i c u l a r c o n t e m sa r el i s t e da sf 0 l l o w s ： ( 1 ) t h ep r o b l e mo fr e c t a n g u l a rb e a ms u b j e c t e dt od i s t 曲u t e dl o a d 州mp o w e rm n c t i o nf o r n l i sd i s c u s s e di n s y m p l e c t i cs y s t e m w i t ht h e s e p a r a t i o no fv 撕a b l e a 1 1 d a b a n d o i l i n g h o m o g c n e o 潞b o u n d a r yc o n d i t i o n ， g e n e r a ls o l u t i o nc a nb eo b t a i n e d t h ep r o b l e mi s r e s o l v e di ns y m p l e c t i cs y s t e m t h es c h e m et or e i n a i nc o n s t a j l to fe i g e n 如n c t i o na 1 1 d o t l l e r n o t i c e si s p r o p o s e d b o t hs t a t i c a l l yd e t e m l i n a t ep r o b l e m sa i l d s t a t i c a l l yi t l d e t e n r i i n a t e p r o b l e m sa r es o l v e d ( 2 ) t h ec o n s e r v a t i o np r o p e r 哆o fh 锄i l t o n i a nf u n c t i o na 1 1 dg e n e r a l i z e dm o m e n n l mi s d i s c u s s e di nt 、ok i n d so fs y m p l e c t i cs y s t e mo fp o l a rc o o r d i n a t ee l a s t i c i 何t h ec o n s e r v a t i o n l a wo fh a m i l t o n i a l lm n c t i o 瓶d 聆n e r a l i z e dm o m e n t u ma r ed e d u c e d 丘d mh a m i l t o n sd u a l e q u a t i o n s ，a 1 1 dt h ec o n s e r v a t i o nc o n d i t i o ni sp r c s e m e d i ti sp o i m e do u tt h a tt h ec o 璐en r a t i o n l a w o f g e n e r a l i z e d m o m e n t 啪e x p r e s s e s t h ee q u i l i b r i u m o f a p a r t a r e a ( 3 ) a “n do fi m p r o v e df l n i t ee l e m e mm e t h o di sp r o p o s e di ns y m p l e c 6 cs y s t e m c o m b i 血n g t h ei d e a so fm t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o di nl a g m n g es y s t e m 柚dg e n e r a lf i n i t ee l e m e n t m e t h o di ns y m p l e c t i cs y s t e m ，n c wf i n i t ee l e m e n tm e m o dj sp r o p o s e di ns y m p l e c t i cs y s t e m t h em e 廿1 0 di s 印p l e dt om u l t i l a y c r e dc o m p o s i t ep l a t e s t h er e s u l t si se x p e c t e d 。 ( 4 ) f i n i t ed i f f 色衄1 c em e t h o di si n t r o d u c e di n t os y m p l e c t i cs y s t e mo fe l a s t i c i t y s y m p l e c t i c d i f r e r e n c ef o m l a tw a sf o 珊e df o rp l a n ee l a s t i c i t yp m b l e r n s 、v i t hs t r e s sb o u n d a r yc o n d i t i o n c o r r e s p o n d i n gp r o 口a m m et o t l l em e t h o di sc o m p i l e d s o m ee x a r l l p l e s 、v e r e g i v e n t 1 1 e r e s u l t ss h o wt h a tm em e t h o di se 行 e c t i v e a n o t h e rn u m e r i c a lm e t l l o di s d r o v i d e df o r s y m p l e c t i cs y s t e mo f e l a s t i c i 何 k e yw o r d s ： e l 勰t i c 时；s y m p l e c t i cs y s t 啪；d u a lv 撕a b l e s ：s e p a r a t i o no fv 耐a b l e ； c o n s e n ，a t i o nl a w ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ：f i n i t ed i 丘b r e n c em e t l l o d v 刖再 刖 舌 弹性力学是一门古老的学科，由于微分方程的复杂性，传统的求解方法都是在一类 变量范围内进行，属于l a g r a n g e 体系，通常采用半逆法。弹性力学辛体系的建立和发 展，给这门古老的学科带来了勃勃生机，使弹性力学的理论与分析达到新的境界，为解 决工程实际问题又增添了新思路、新方法，开辟了弹性力学问题理性求解的新天地，取 得了丰硕的研究成果。 辛体系的解析求解方法是在以位移和应力为对偶变量的范围内进行求解的，分离变 量法、本征函数展开求解等方法从而可以实施。在辛体系中不仅能找到传统l a g m g e 体系已有的解答，而且能得到l a g r a j l g e 体系求解方法难以求得的新解。解析法不仅有 其本身的理论价值，而且数值方法的理论分析与计算结果的正确与否也必须由解析解进 行检验，解析法对数值方法具有指导意义，因此解析法一直是、将来仍然是辛体系中重 要的研究内容。数值解法是解决复杂工程实际问题的有效手段，具有重要的实际应用价 值，有限元法和有限差分法是l a g r a n g e 体系中两种较为成熟的方法，在辛体系中对这 两种方法进行研究，使它们能应用于工程问题，不仅具有实际意义，而且对其它数值方 法引入辛体系具有参考价值；辛体系中的守恒律等相关理论方面的研究不仅具有重要的 理论意义，而且对数值计算与分析也具有指导意义。 针对以上分析，本文以理论一方法一计算作为研究主线，对弹性力学辛体系中的一 些数值方法与相关理论作了一些探索性的研究工作，研究特色和创新之处主要在于： ( 1 ) 首次在辛体系中求得了矩形梁受任意高次幂函数形式分布荷载问题的解答。在 已有研究的基础上，对矩形域问题在辛体系中的求解思路和过程进行了深入讨论和分 析，全面、深入研究了矩形梁侧边受幂函数形式分布荷载的问题。根据叠加原理，分别 研究梁在法向分布荷载和切向分布荷载作用下的情况，由矩形域问题的本征方程，按分 离变量法，放弃相应的齐次边界条件求出通解，从而求得矩形梁在高次分布荷载作用下 圣维南问题的解析解。在对己有l a g m g e 体系和辛体系中矩形梁受法向分布荷载问题 的解答进行分析比较的基础上，找出了这类问题在辛体系中解答上存在的问题；首次提 出了应用放弃齐次边界条件求通解的方法时必须注意的事项，即在某条链上求解时，应 在对应的链上保留恰当的常数项，而且非求解链上的本征向量及对应的本征解都不应作 任何的修改，并提出了常数项修正方案，从而能正确、顺利地求解矩形梁受任意高次分 布法向荷载的问题；首次对矩形梁受幂函数形式切向分布荷载的问题在辛体系中进行了 求解，提出了这类问题的常数项保留方案和其它注意事项：首次求解了静不定矩形梁受 法向、切向分布荷载的问题。得到了所有上述问题的辛解答。 ( 2 ) 首次对极坐标弹性问题两种辛体系中h 锄i l t o n 函数和广义动量的守恒性进行 了全面讨论和研究。类似于平面直角坐标辛体系的做法，首次定义了径向、环向辛体系 h a m i l t o n 函数，得到了两种辛体系中h a n l i l t o n 函数的守恒律，并给出了守恒条件，守 前言 恒律和守恒条件的形式均与平面直角坐标辛体系的相应形式类似。对平面直角坐标辛体 系广义动量守恒律的物理意义进行分析，深入讨论了极坐标辛体系广义动量的定义问 题；在此基础上首次由h 锄i l t o n 对偶方程导出了局部区域的平衡关系，得到了广义动 量的加权守恒律，并给出了守恒条件；揭示了极坐标辛体系广义动量守恒律的本质：局 部区域的平衡关系。 ( 3 ) 首次提出了多层层合板问题的理性有限元和一种改进的辛体系有限元。详细 分析了l a g r a n g e 体系常规有限元、理性有限元和辛体系常规有限元的特点，在此基础 上，提出了多层层合板问题的理性有限元，用该类问题的基本解逼近单元内部位移场和 应力场，由变分原理导出位移元法的控制方程，编制了相应计算程序，相关数值算例验 证了方法的有效性。结合l a g r a n g e 体系理性有限元和辛体系有限元的思想，提出了一 种改进的辛体系有限元，基本思想为：用弹性力学的基本解逼近单元内部位移场，而应 力场则使用多项式插值方法，由h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理导出控制方程，编制了该方 法的计算程序。将其应用于各向同性平面弹性问题和多层层合板问题，计算结果表明这 种改进的辛体系有限元是令人满意的。 ( 4 ) 首次将全区域离散的有限差分法引入到辛体系中。对构造差分格式的常用方法 进行比较，确定构造差分格式的方案；对具有应力边界的平面弹性问题，由h 锄i l t o n 对偶方程，采用积分插值法，建立了直角坐标系和极坐标系下的辛差分格式；通过编程 对算例进行计算，得到了预期的结果。为弹性力学问题在辛体系中求解提供了一种新的 数值方法，丰富了辛体系数值方法的内容。 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。如不实， 本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： 毖络虚垄 弘。矿年月，日 学位论文使用授权说明 河海大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光 盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件或电子文档，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅。 论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权河海大学研究生院办理。 论文作者( 签名) ： 丛丛座羔 沙谚年月日 第一章绪论 第一章绪论 l - 1 研究背景及意义 数学力学在很长的一段时期内曾是科学的带头学科，几个世纪的发展百花纷呈，成就辉 煌。力学作为工程的基础学科有力地推动了诸如航空航天、机械、土木、水利、建筑、船舶、 能源、材料、地质、化工等各方面的飞跃，同时力学也受到了工程应用的多方面促进，从而 发展了许多理论和方法。从应用数学的角度来看，只要将基本微分方程建立起来，就已经将 问题表达清楚，余下的就是如何进行求解。然而经常见到的情况是，基本方程虽然已经建立， 但其求解却非常困难。 力学的发展与数学物理方法的发展是并行的、不可分割的。在各类数学物理线性偏微分 方程中，弹性力学基本方程是最复杂的问题之一，经典弹性力学由n a v i e r 和c a u c h y 奠基于1 9 世纪初，基本方程体系便已臻完善，迄今已近两个世纪，经过许多数学力学大师如l o v e 和 r n m o s h e n k o 的开拓，和大批数学力学家( 包括我国学者) 的工作，已构成该领域的经典求解体系。 虽然经历了将近两个世纪，弹性力学的求解还远不能说己臻完善了，求解一直是其发展的一 个“瓶颈”。正是因为弹性力学微分方程的复杂和求解的困难，其求解方法上的突破被视为与 理论上的突破有同等重要的意义。弹性力学严格求解的困难促使了一些应用理论的发展，如 结构力学、薄壁结构理论、板壳理论、结构动力与稳定性理论、土力学、流体力学等，构成 了应用力学的一个体系。应用力学的理论使方程得以简化，但解析求解仍存在很大的困难。 数学家和力学家通力合作，丰富了数学物理方法的理论，同时发展了应用力学，这个时代的 代表著作有c o u r a n t 和h i l b e r t 的数学物理方法【j j ，和t i m o s h e n k o 的一套教材弹性力学、 弹性稳定理论、板壳理论、工程振动问题、高等材料力学等等 2 卅，这一系列解析 求解的成果形成了该领域的经典求解体系，涵盖了当时的高水平成就，也影响并指引着随后 的发展。 由于方程的复杂性，弹性力学传统的解析求解方法都是在一类变量的范围之内进行的。 其基本思路总是用各种方法对未知函数予以消元，将基本方程化为只含一类未知量( 应变或应 力) 的高阶偏微分方程( 组) ，即以提高方程阶数为代价，把未知量空间降维，然后再就各种具 体问题寻找可行的求解方法，主要是巧妙灵活地应用半逆法或其它各种近似法，解出这一类 未知量之后再推得另一类未知量。于是客观上形成了弹性力学问题传统求解方法的两条路线， 即应力函数法和位移法( 只有扁壳理论采用混合法) 。以位移法为例，将弹性体上各点的位移 作为基本未知量，利用应变一位移关系及应力一应变关系将各应变、应力予以消元，得到含 有3 个未知位移函数的3 个平衡方程( 拉梅方程) ，再对其求解。这种在一类变量的范围之内 进行求解的方法属于l a g r a i l g e 体系，必然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量法及本征函 数展开法等有效的数学物理方法未能实施，结果是半逆法求解这个环节长期未能突破。 半逆法是圣维南( s a i mv e n a n t ) 于1 8 5 5 1 8 5 6 年提出的，并用这种方法成功求得了弹性柱 体的扭转与弯曲问题的某些解【7 】，半逆法从此成为弹性力学的经典解法，一直影响至今，弹 第一章绪论 性力学著作中的求解方法则都是以半逆法为重点内容m ”】，它一直在弹性力学传统求解方法 中占统治地位。半逆法是某种凑合法，它依赖于具体问题而缺乏一般性，往往只能找到某些 解而不能证明已找到全部解。使人们感到困惑的是怎么凑合才能使问题得以求解昵? 由于解析求解的困难，寻求数值方法成为必然，变分法( v 撕a t i o n a lm e t h o d ) 、有限差分法 f f i n i t ed i 艉r e n c em e t h o d ，f d m ) 等是经典的数值计算方法。进入2 0 世纪5 0 年代后，随着计 算机的发展及每级语言的问世，有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，f e m ) 应运而生，首先出现 在应用力学中，迅速改变了局面，取得了极大的成功【l ”。在力学体系的理论基础上，以强 大的计算机能力为后盾，对于用线性方程描述的结构力学、固体力学等很快发展出通用灵活 的有限元数值方法，并系统化为大规模有限元程序系统，解算了数以万计未知数的线性代数 方程组，成为工程师手中强大的分析工具，确立了计算力学的地位，有限元法在结构分析中 成功的基础上迅即扩展到了工程与科学计算的各个方面。 近几十年来数值方法发展迅猛，继有限差分法、有限元法之后，先后出现了边界元法 ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，b e m ) 、无限元法( i n f i n i t ee l e m e mm e t h o d ，i e m ) 、界面应力元模 型( i n t e r f a c es t r e s se l e m e n tm o d e l ，i s e m ) 、离散元法( d i s t i n c te l e m e mm e t h o d ，d e m ) 、关键 块理论( k e yb l o c kt h e o r y ，k b t ) 、无单元法( m e s h l e s sm e t h o d ) 、广义有限元法( 0 e n e r a l i z e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，g f e m ) 、混合数值方法( m i x e dn u m e r i c a lm e t h o d ) 等十多种数值分析技术。 然而，这些数值方法都是在l a g r a l l g e 体系下发展起来的，因此无一能突破体系自身的局限性。 有限元的创始人之一冯康教授及其工作组，经过1 0 多年长期卓越的工作，发现对于连续 介质的动态问题，有限元“没有取得而且看来也难望取得相应的成功，故对动态问题的计算 方法而言，l a g r a l l g e 体系可能不是合理的选择，合理的选择很可能应是h 砌i l t o n 体系”。并将 h a m i l t o n 体系( 辛体系) 中的辛算法应用于动态问题的计算，取得了十分骄人的成果【3 0 啦】，显示 了辛体系的优越性。 传统的弹性力学l a g r a n g e 体系求解方法在一类变量范围内进行，这是由于微分方程的复杂 性，但l a g r a n g e 体系是否是唯一的选择呢? 能否将其导向辛体系? 回答是肯定的。钟万勰教 授等经过多年的卓越工作，根据结构力学与控制理论的模拟关系【4 h 引，将辛体系和辛数学思 想引入到弹性力学，建立和发展了弹性力学辛体系1 4 “”j 。 l a g r a i l g e 体系传统的求解思路是努力消元，尽可能减少未知量，而不惜方程阶数的升高。 高阶次的微分方程使分离变量法等数学物理方法难以实施，而且不利于有限元等数值方法的 求解，也为数值求解带来了一些难点问题。辛体系的求解思路正好与此相反，在引入原变量 的对偶变量后，降低了微分方程的阶数，在二类变量组成的辛空间中求解，从而使许多有效 的数学物理方法，如分离变量法和辛本征函数展开的直接解析求解方法等得以实施。辛体系 解析求解是通过理性的推导，逐步进行下去的，从而改变了l a 掣a i l g e 体系中求解大量运用半 逆法的传统，给出了一个理性的求解方法，这样就可求解许多以往半逆法无法求解或难以求 解的问题。同时，辛体系中微分方程的阶数降低有利于数值求解，而未知量的增加并不会有 太大的影响，辛体系与数值方法的结合将能更充分地体现出辛体系的优点，从而充分发挥计 算机的优势，去解决工程实际问题。 2 第一章绪论 从l a g r a l l g e 体系向辛体系的过渡，其意义在于从传统的欧几里得型的几何形态进入到辛 几何形态之中，突破了传统观念，从而使对偶的混合变量方法进入到力学的广大领域，如振 动、断裂力学、复合材料力学、流体力学、粘弹性问题等等，具有一定的普遍意义。辛体系 方法论不仅可以用于力学分析，还可以进入数学物理方法5 ”，并由此辐射到相关领域( 如控 制、电磁波导等) ，具有重要的方法论意义。 本文是在现有的研究基础上，对弹性力学辛体系中数值方法与相关理论进行研究，包括 用辛求解方法求得矩形梁受分布荷载问题的解析解，极坐标弹性问题两种辛体系中h 锄i l t o n 函数和广义动量的守恒性，对辛体系有限元的改进及其应用研究，辛体系有限差分法的研究 等。 辛体系解析求解方法是理性的，l a g m n g e 体系下弹性力学问题已有的解析解理所应当都 能在辛体系中得到。矩形梁受分布荷载问题是一个典型的具有实际意义的课题，通过放弃齐 次边界条件求通解的方法应该可以求出任意高次分布荷载作用下的解析解。由于辛体系采用 二类变量进行求解，能较好地处理各类复杂的边界条件，因此也应能求解静不定问题。对静 定、静不定矩形梁受法向、切向分布荷载的研究，能体现辛体系解析法理性求解的优越性， 不仅具有一定的理论意义，其求解思路和求解过程中需注意的问题，对其它问题的求解也具 有指导意义。 力学中的守恒律是理论分析的重要内容。对极坐标径向、环向辛体系中h 锄i l t o n 函数和 广义动量的守恒性进行研究，可揭示它们在一定条件下不变的本质特性，并可以得出一些重 要的结论；由守恒律可以对系统的局部状态有所了解，从而预见某些可能的结果；另外， h a m i l t o n 函数和广义动量的守恒律在数值计算与分析中也具有指导意义，它可以用来判断数 值计算的结果正确与否。因此，这一方面的研究具有重要的理论意义和实际应用价值。 辛体系解析求解受到区域形状的限制，数值方法是计算工程实际问题的必要手段。首选 的数值方法当然是有限元，在现有辛体系有限元的研究基础上，结合l a g 捌1 9 e 体系理性有限 元和辛体系有限元的思想，对辛体系中的有限元作了改进研究，从而提高有限元的精度，为 工程应用奠定了坚实基础，并将其应用于层状结构( 多层层合板问题) ，能准确地模拟层交界 面的粘合情况，从而使计算结果更符合实际，能凸现辛体系的优势；另外，其思想方法对将 来辛体系完全的理性有限元研究也具定的参考价值。因此，这一方面的研究有一定的理论 意义和重要的实际应用价值。 有限差分法是力学分析中的一种经典方法，将有限差分法引入到辛体系中，建立了平面 弹性问题的辛差分格式，使其成为继辛体系下的有限元法之后，又一个解决工程实际问题的 新的有效数值方法，不仅能丰富辛体系数值方法的内容，也对l a g r a j l g e 体系中其它方法引入 到辛体系具有重要的参考价值。 1 2 弹性力学辛体系研究现状 1 2 1 辛几何算法的研究现状 3 第一章绪论 辛体系( h a m i l t o n 体系) 首先是由w r h 锄i l t o n 于1 9 世纪2 0 年代描述几何光学时发现的，随 后他根据光学和力学之间的深刻联系将其创造性地应用于经典力学，得到了与n e o n 体系和 l a g r a i l g e 体系的变分原理等价的更充分、更明晰、更直接的h 锄i l t o n 原理。前苏联著名数学家 a m o l d 的经典力学的数学方法以现代数学的观点，从辛几何角度来叙述辛体系口，在辛 几何的框架下，辛体系的理论脉络清晰而流畅。时至今日，辛体系动力学的研究长期以来一 直是力学的重要课题，解决了一系列其它方法不能解决的问题，显示出了重要的理论价值。 一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的辛体系，它们的共同的数学基础是辛几何和 辛空问。经典力学的发展为辛体系提供了基本概念，自 f 啪i l t o n 以后，j a c o b j 、d a r b o u x 、 p o i n c a r e 、c a n a n 、w e y l 等从不同角度( 代数与几何的) 对辛几何进行了研究。现代辛几何的兴 起应该说是从2 0 世纪5 0 6 0 年代k a m ( k o i m o g o r o v a m 0 1 d m o s e r ) 定理的建立开始的。在2 0 世 纪7 0 年代，由于研究f o l l r i e r 积分子、几何量子化与群表示论、临界点分类和李代数对偶空间 上的辛体系的需要，a m o l d 、d u i s t e m a t t 和w j i n s t e i n 等人对辛几何作了大量的研究工作，从此 推动了这些研究领域的发展1 5 9 j 。进入2 0 世纪8 0 年代后，整体辛几何的研究相继出现。前苏联 著名数学家a m o l d 在评论辛几何时说，“它是力学、变分法等长期发展的结果。在上个世纪， 几何学的这一分支被称为分析动力学”。 2 0 世纪8 0 年代初，冯康教授及其工作组开始对h a m i l t o n 对偶方程的计算方法进行系统研 究，经过l o 多年的努力，取得了一系列重要研究成梨3 “”，主要包括： ( 1 1 提出了辛几何算法的完整理论框架； ( 2 ) 推广了分析力学中生成函数与h 锄i l t o n j a c o b i 方程理论，构造了为数众多的任意阶精 度的辛格式； ( 3 ) 讨论了算法的守恒性、算法辛不变性与守恒性之间的关系，研究了多步长格式，证明 了所有线性多步格式对非线性系统都不是辛的，研究了辛算法的k a m 定理； ( 4 ) 发展了形式向量场和形式相流的幂级数的完备理论； ( 5 ) 把辛算法的思想推广到般具有李代数结构的动力系统，实现了动力系统算法的几何 化，对接触系统构造了接触算法，对源系统构造了保体积算法，发展了利用组合格式构造高 精度保结构乘积外推的理论。 ( 6 ) 用辛算法解决了动态计算中的稳定性问题，提供了研究动态问题的正确途径。 辛算法在动态问题的稳定性方面和长期跟踪能力上具有独特的优越性。证明了只要算法 形成与分析都能在辛几何框架内，动态问题的解都会收敛于真实解。对于同一物理过程和规 律，在各种不同形式体系中的数学表述是等价的，但它们对研究及求解同一问题却能提供不 同的技术途径，从而导致实践中并不等效的计算方法。对于动态问题，l a g r a n g e 体系不能很 好地反映其本质特征，因此传统的非辛算法中，除了极少数的例外，几乎都不是辛的，它们 都不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷，而辛算法却有保持体系结构的优点， 在空间结构、对称性和守恒性方面优于传统算法，解决了动态问题长期预测计算问题。这一 研究成果开创了将计算物理、计算力学和计算数学结合的前沿研究领域，产生了重大的国际 4 第一章绪论 影响，引发了国际上大量的后继研究，包括弹性力学辛体系的建立与发展。 同时，钟万勰教授等对辛矩阵本征问题的计算进行了研究，提出了辛矩阵辛本征解的共 轭辛子空间迭代法和逆迭代法i 札6 7 1 ，陀螺系统辛本征解和反对称矩阵的本征求解方法【泓73 1 ， 以及矩阵黎卡提方程的精细积分方法、结构动力学时程和暂态历程的精细计算方法p 4 墙”。这 些工作为弹性力学辛体系中的数值方法打下了良好的理论基础。 弹性力学辛体系已经建立，辛体系给弹性力学这门古老的学科带来了勃勃生机，使弹性 力学的理论与分析达到了新的境界，为解决工程实际问题又增添了新思路、新方法，从此开 辟了弹性力学问题理性求解的新天地，显示出了强大的生命力，取得了丰硕的研究成果。以 下从理论、方法等几个方面介绍。 1 2 2 弹性力学辛体系理论方面的研究现状 在弹性力学辛体系中，采用二类变量进行求解，分离变量法等许多有效的数学物理方法 就可实旌m 】。传统的分离变量法会受到s t l l r n 】l i o u v i l l e 自共轭算子谱的限制，本征函数的正 交性和完备性在理论上不能得到保证。辛体系下弹性力学问题的本征向量之间存在共轭辛正 交关系，现已从理论上证明了辛正交系的完备性8 2 8 5 1 ，给出了它们的物理意义【8 6 j ，证明了它 与功的互等定理之间的关系f 8 ，1 ，并在此基础上，对于一个方向正交的各向异性材料，提出了 一种新的正交关系【站】，从而突破了传统的分离变量法导致自共轭算子谱的限制和e u c l i d e a 1 空 间的限制，为辛体系下的分离变量法奠定了坚实的数学基础，拓展了s t u 册l i o u v i l l e 问题。 对弹性力学中的混合方程和对偶的h a m i l t o nj 下则方程的推导方法、弹性力学几种主要的 变分原理在辛体系中的表现形式进行了讨论【鼽9 3 】，得到了辛体系中这些变分原理相互等价和 相应泛函可分为两类的结论，指出了基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的有限元模型本质上是 一种协调模型，而基于广义余能变分原理的有限元模型本质上是一种平衡模型，为基于能量 变分原理的数值方法打下了理论基础。 对弹性力学辛体系中h 锄i l t o n 原理进行了讨论，得到了平面直角坐标辛体系h 锄i l t o n 函数与广义动量的守恒律m 】。利用这两个守恒律可帮助分析问题和解决问题，特别是在数值 计算时可用来判断计算结果的正确性及控制计算精度。 对平面直角坐标辛体系中基于h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理的半解析法，从理论上证明了 它的收敛性，研究了半解析法控制方程的物理意义和单元特性，得出了广义动量的守恒律【9 5 】， 并分析了半解析解所适用的区域。 通过引入辛体系平面应力问题正则方程的g a l e r k i n 变分方程，证明了辛体系中基于 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的广义解的适定性1 9 6 】，从而为数值求解打下了理论基础。 利用n i t s c h e 技巧，证明了辛体系中基于h e l l i n g e r _ r e i s s n e r 变分原理的有限元法的收敛性， 为辛体系有限元应用于工程实际打下了理论基础【9 ”。 1 2 3 弹性力学辛体系解析法的研究现状 将辛体系引入到直角坐标弹性问题，建立了一系列弹性力学直角坐标辛体系。找到了直 5 第一审绪论 角坐标系中一系列弹性问题如平面弹性问题( 包括平面各向异性问题和多层层合板问题) 、弹 性柱体( 包括各向异性柱体) 三维问题的全部圣维南问题的本征解，也找到了圣维南原理所覆 盖的解的本征值，并给圣维南解在整个解空间中定了位：s a i n t v e n a n t 半逆法求得的解已是零 本征值相应解的全部。根据本征值和边界条件，可定量分析具体问题中圣维南原理所覆盖解 的影响范围。通过零本征值的本征向量子空间的展开求解，对这些问题给出了圣维南问题的 一个理性解析解法1 4 9 ，5 0 ，5 2 ，5 3 ，9 s 0 3 】。 辛体系中，各向异性弹性问题的求解与各向同性问题的求解在本质上没有区别，而对于 多层层合板圣维南问题，也成功地求得了解析解，为层合板问题的横向本征向量展丌解法的 实际应用打下了良好的基础，充分显示了弹性力学求解辛体系的有效性及其应用潜力，必将 对弹性力学的发展产生重要影响。在l a g f a n g e 体系中，由于采用一类变量，在表示层合板问 题界面位移连续条件与应力平衡条件时面临困难，给解析求解带来许多难点问题，因此没有 也不太可能有令人满意的求解和理论分析。在辛体系下采用两类变量，可用两个位移和两个 连续的应力分量作为基本未知量，而不连续的应力分量不作为基本未知量，能准确地模拟层 交界面的粘合情况，从而考虑了剪切效应的影响，使计算结果更符合实际情况，对于一般各 向异性材料也能进行解析求解。因此，对于复合层板、碾压混凝土坝、成层地基的计算，辛 体系的求解方法有广泛的应用前景。 对于有些问题，如圆形域、环扇形域和楔形域等弹性力学问题，采用极坐标系更易于求解。 辛体系引入到极坐标平面弹性问题，将径向及环向分别模拟为时间坐标，建立了两种不同形 式的辛体系，给出了圆形、环扇形域、楔形域平面弹性问题的一个解析求解方法j o ”j 。 极坐标径向辛体系可用于环扇形域和楔形域问题。应用于弹性楔问题，通过对极坐标辛 体系约当型的直接求解给出弹性楔体的佯谬问题的解，揭示了佯谬发生的本质属性，为这类 问题的求解提供了一个新的方法【1 0 5 ，1 响。对弹性楔体的佯谬问题【1 0 7 川3 1 ，在极坐标径向辛体系 中可以得到更深层的理解i l ”l ”j 。 将极坐标径向辛体系应用于断裂力学奇点解的分析与计算，显示了辛体系一定的优越性。 针对断裂力学中的裂纹尖点奇异场分析问题，建立了一套完整的基于辛体系的h a m i l t o n 一般 变分原理，采用本征函数向量展开的方法再结合变分原理，构造出了可以用于一般断裂问题 分析的半解析元列式，对双材料和多材料楔形结合点的奇异性进行了分析，还研究了多材料 交接点裂纹的应力场 l 。对于这类问题，在l a g 删】g e 体系中常采用复变函数法、积分变 换法、本征值求解等方法，对于更一般的复杂问题，则采用有限元一类的数值方法，此时必 须对奇点处进行特殊的处理，各种处理方法各有其优缺点。而在辛体系中，通过双材料和多 材料界面协调条件的引入，可十分方便地建立应力奇性求解方程，给出了求解双材料界面裂 纹尖点应力奇性的一般表达式及应力强度因子的计算公式，为此类问题的求解开辟了一条新 途径。与有限元一类数值方法相结合，可对较复杂的问题进行求解。在此基础上，给出了求 解任意几何形状和荷载的平板裂纹d u g d a l e 模型的计算方法，计算了断裂力学中基于d u g d a l e 模型的塑性区尺寸和裂纹尖端张开位移和塑性区尺寸【1 1 引。用解析的方法推导出基于混凝土断 6 第一章绪论 裂力学中虚拟裂缝模型的平面裂纹解析元列式，将该解析元与有限元相结合，构成半解析的 有限元法，可求解任意几何形状和荷载混凝土平面裂纹的虚拟裂缝模型计算问题i ”9 ，l2 0 】。 极坐标环向辛体系可用于求解弹性曲梁等问题，可解决l a g m n g e 体系中半逆法不能求解 的混合边值问题l ”l 】；在环向辛体系下，拓展了辛体系的分离变量法，将其应用到非齐次边界 条件情况，得到了极坐标弹性力学问题的一个新解1 1 2 2 j ，利用这个新解可求解一类有实际意义 的弹性力学问题，如厚壁圆筒受非均匀水压力作用问题、悬臂曲梁外侧受正弦分布径向载荷 作用的问题。传统方法在求解圆筒受水压力作用的问题时，总是将水压力视为均匀分布，而 事实上水压力是按水的深度方向线性分布的，辛体系下的这一新解准确反映了水压力的实际 情况。因此，它不仅丰富了弹性力学求解的内容，更显示出了辛体系的优越性，并给出了一 个求解弹性力学非齐次边界条件问题的一般方法，即放弃齐次边界条件，这一方法是对辛体 系分离变量法的一个发展。 辛体系应用于轴对称问题，建立了这类问题的辛体系，导出了本征方程( 变系数的线性常 微分方程组) ，求解了本征解，为展开法求解奠定了基础【4 9 ，l 硎，建立了一套解决这类问题的 直接方法。证明了所有的轴对称问题和反轴对称问题相互解耦，而且它们的解都属于h 锄i l t o n 算子矩阵的零本征解；加上非零本征解从而形成完备的解空间，得到了一些问题的完备解。 传统解决此类问题的方法是半逆法( 主要采用应力函数法) ，由于问题的复杂性，目前只能限于 解析讨论几个简单问题。传统方法得到的一些解往往就是这些本征解或者是其线性组合，辛 体系的方法则可求解更多的问题。更重要的是这些本征解是展开法的基底，在推导无限元时 需要采用本征函数展开法，传统方法求得的孤立的解对此是无能为力的。 基于平面弹性与薄板弯曲的相似性原理，将平面弹性问题的辛体系及其辛几何理论直接 引入到薄板弯曲问题，形成了薄板弯曲的辛求解体系【l m ”n ，并求解了矩形板和扇形板问题。 传统的纳维( n a i v e r ) 法、莱维( l e v y ) 法等半逆法，对于简支的各向同性板是非常有效的，而对 于固支边的情况，一般给出的不是本征函数，为了提高精度，通行的补救方法是增加级数的 项数或进行迭代，对复杂一点的边界条件则难于应用，尤其是对各向异性板的弯曲问题。辛 体系的方法论解放了凑合法所受的限制，不仅给出了对边简支矩形板与传统方法完全相同的 结果，还给出了对边自由和对边固支矩形板问题的解，以及环扇形域问题的解，并且还可求 解各向异性板的弯曲问题。 将辛体系引入到中厚板弯曲问题，分别形成了r e i s s n e r 板问题和m i n d l i n 板理论问题的 辛求解体系i l ”。基于r e i s s n e r _ m i n d l i n 板理论，通过引入混合变量及对混合能变分原理的 修正，建立了更一般的h 锄i l t o n 广义变分原理，给出了r e i s s n e r m i n d l i n 板问题的h 锄i l t o n 方程，求解出了h a n l i l t o n 算子矩阵零本征值的所有本征解及其约当型本征解，给出其具体的 物理意义，形成了零本征值本征向量之间的共轭辛正交关系。指出：这些零本征值的本征解 是s a i n t v e n a n t 问题所有的基本解，这些解可以张成一个完备的零本征值辛子空间，而非零 本征值的本征解是圣维南原理所覆盖的部分。从而给出了求解r e i s s n e r m i n d l i n 板弯曲问题 解析求解的直接法，而且通过r e i s s n e r 板弯曲与平面偶应力的模拟关系i 6 】，也可以将这个统 7 第一章绪论 一的方法引入到平面偶应力问题的分析。 辛体系应用于复合材料弹性问题，建立了复合材料问题的辛体系。并求解了各向异性平 面问题、弯曲问题和板的振动等问题。”j 。 辛体系应用于电磁弹性固体问题，建立了横观各向同性电磁弹性固体平