（基础数学专业论文）hilbert滤链的hilbert系数和广义局部上同调模.pdf

h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 摘要 摘要 在过去的二十年中，很多学者如s h u c k a b a ，s g o t o ，c h u n e k e 以及s z a r z u e l a 等对川| gb l o w u p 代数( 这里，是d 维的交换n o e t h e r 局部环( r ，m ) 的一个理想，r i m 是无限域) ，特别是它们的深度性质进行了深入的研究，得到了许多重要的结果，这些 结果反过来又能研究j r 的一些性质 在本文第二章中，我们将上述理想j 推广至一般的情况，研究了厂( 其中厂= 厶) n o ) 关于m 的相伴分次模g ( 厂，m ) 以及，关于m 和k 的纤维锥毋f ( 厂，m ) 的 深度( 这里m 是有限生成的尼模，是关于m 的h i l b e r t 滤链，k 是冗的个m - 准 素理想，使得对于任意的n 0 ，厶+ 1 k 厶) 和厂的h i l b e r t 系数之间的关系推广了 前人的部分结果，主要有以下内容： 首先，我们对g ( 芦，m ) 和f j r ( ，m ) 取得几乎极大深度时厂的h i l b e r t 系数进行 了刻画其次我们给出了，关于m 和k 的h i l b e r t 级数的个上界，并且讨论了达 到上界时j k ( ，m ) 和s a l l y 模曲( 厂，m ) ( 这里，是芦关于m 的个极小约化) 的深 度性质以及，和曲( ，m ) 的h i l b e r t 系数的性质最后我们还讨论了混合重数的一些 结论 局部上同调理论是研究交换代数和代数几何的工具之一交换代数中个重要的 问题就是决定在什么情况下，第i 个局部上同调模日；( m ) 的相伴素理想集是有限集 ( 这里i 0 是整数) ，与这个相关的问题引起了很多学者的关注1 9 7 4 年，j h e r z o g 3 2 】 引进了广义局部上同调函子，它是局部上同调函子的推广在本文第三章，我们主要 讨论了广义局部上同调模的a r t i n 性、厶上有限性( 即l 上有限生成性) 、弱拉斯克性 以及相伴素理想集的有限性主要内容如下： 首先我们研究了广义局部上同调模的a r t i n 性和l 上有限性，给出了日 ( m ，n ) ( 这里m 和是两个尼模，r 0 是个非负整数) 是l 上有限的一些充分条件 接着我们讨论了广义局部上同调模的弱拉斯克性，得到了h o m r ( r i ，研( m ，) ) 和 e x t 盖( r i ，研( m ，) ) 是弱拉斯克模的充分条件以及对应的相伴素理想集为有限集的 h i l b e r r 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模摘要 结论最后利用b 正则序列和b 深度的定义和性质研究了在某些条件下广义局部上同 调模的相伴素理想集的有限性广义局部上同调模的附加素理想集也将给予讨论 关键词：h i l b e r t 系数，表面元，广义局部上同调模，相伴素理想，二上有限，缸深 度 i i 作者：顾燕 指导教师：唐忠明( 教授) h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h ep a s tt w od e c a d e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n ss u c ha ss h u c k a b a ，s g o t o ，c h u n e k e a n ds z a r z u e l ah a v ee x t e n s i v e l ys t u d i e db l o w u pa l g e b r a so f ( w h e r e ( r ，m ) i sac o m m u t a t i v e a n dn o e t h e r i a nl o c a lr i n gw i t hi n f i n i t er e s i d u ef i e l d ，ii s 雠i d e a lo f 劢，e s p e c i a l l yt h e i rd e p t h p r o p e r t i e s ，a n dt h e yh a v eg i v e nm a n yi m p o r t a n tr e s u l t s ，t h e s er e s u l t sa r ea l s ou s e dt oe x a m i n e d i v e r s ep r o p e r t i e so ft h ei d e a li i nc h a p t e r2 ，w eg i v eag e n e r a l i z a t i o no ft h ea b o v ei d e a li ，w em a i n l yd i s c u s st h ei n t e r p l a y b e t w e e nt h ed e p t h so ft h ea s s o c i a t e dm o d u l eg ( 尸，m ) o f 芦w i t hr e s p e c tt oma n dt h ef i b e r c o n e 毋f ( 厂，m ) o f ，w i t hr e s p e c tt om a n dg ( w h e r emi saf i n i t e l yg e n e r a t e dr - m o d u l e ， ，= 厶) n oi sah i l b e r tf i l t r a t i o nw i t hr e s p e c tt om ，ki sa nt t l - p r i m a r yi d e a lo frs u c h t h a t 厶+ 1 k 厶f o ra nn 0 ) a n dt h eh i l b e r tc o e f f i c i e n t so f 广w em a i n l yg e tt h ef o l l o w i n g r e s u l t si nc h a p t e r2 ： f i r s t l y , w ed e s c r i b et h eh i l b e r tc o e f f i c i e n t so f ，w h e ng ( ，m ) a n d 局( ( 芦，m ) h a v e a l m o s tm a x i m a ld e p t h s e c o n d l y , w eg i v ea nu p p e rb o u n do nt h eh i l b e r ts e r i e so f w i t h r e s p e c tt om a n dk w h e nh i l b e r ts e r i e sg e tt h eb o u n d ，w ed i s c u s st h ed e p t h so f 取( ，m ) a n ds a l l ym o d u l e 曲( 厂，m ) ( w h e r eji sam i n i m a lr e d u c t i o no f ，w i t hr e s p e c tt om ) ，t h e h i l b e r tc o e f f i c i e n t so f 歹a n d 曲( 芦，m ) f i n a l l y , 帆d i s c u s ss o m er e s u l t so nm i x e dm u l t i p l i c o i t i e s l o c a lc o h o m o l o g yi sau s e f u lt o o li ns e v e r a lb r a n c h e so fc o m m u t a t i v ea l g e b r aa n d8 1 9 争 b r a i cg e o m e t r y a ni m p o r t a n tp r o b l e mi nc o m m u t a t i v ea l g e b r ai st od e t e r m i n ew h e nt h es e t o fa s s o c i a t e dp r i m e so ft h ei t hl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s 研( m ) i sf i n i t e ( w h e r ei n t e g e ri o ) t h i sq u e s t i o nh a sb e e ns t u d i e db ym a n yr e s e r c h e r s ag e n e r a l i z a t i o no fl o c a lc o h o m o l o g y f u n c t o r sh a sb e e ng i v e nb yj h e r z o g 3 2 】i n1 9 7 4 ，t h i sn o t i o ni sa g e n e r a l i z a t i o no ft h eu s u a l l o c a lc o h o m o l o g yf u n c t o r i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h ea r t i n i a n n e s s ，l - c o f i n i t e n e s s ， w e a k l yl a s k e r i a n n e s so fg e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e sa n dt h ef i n i t e n e s so ft h es e t o fa s s o c i a t e dp r i m e s t h ec h a p t e r3o ft h i sp a p e ri sf o l l o w i n g ： f i r s t l y , w es t u d yt h ea r t i n i a n n e s sa n di - c o f i n i t e n e s so fg e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g y m o d u l e s ，a n dg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h el c o f i n i t e n e s so f 研( m ，n ) ( w h e r ema n d na r et w or - m o d u l e s ，ri san o n - n e g a t i v ei n t e g e r ) t h e nw ed i s c u s st h ew e a k l yl a s k e r i a n n e s s o fg e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ，a n dw eg e tt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so nt h ew e a k l y l a s k e r i a n n e s so fh o m r ( r i ，h i ( m ，) ) a n de x t l ( r i ，研( m ，) ) a n dt h er e s u l t so nt h e i i i h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 a b s t r a c t f i n i t e n e s so fc o r r e s p o n d i n gs e t so fa s s o c i a t e dp r i m e s f i n a l l y , b yt h ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e s o fk - r e g u l a zs e q u e n c ea n dk - d e p t h ，w - es t u d yt h ef i n i t e n e s so ft h es e to fa s s o c i a t e dp r i m e so f g e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e so ns o m ec o n d i t i o n s t h es e to fa t t a c h e dp r i m e so f g e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e sw i l lb ed i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r k e y w o r d s ：h i l b e i tc o e f f i c i e n t s ，s u p e r f i c i a le l e m e n t s ，g e n e r a l i z e dl o c a lc o h o m o l o g ym o d u l e s ， a s s o c i a t e dp r i m e s ，i - c o f i n i t e ，k - d e p t h w r i t t e nb y ：g uy a n s u p e r v i s e db y ：p r o f t a n gz h o n g m i n g i v 苏州大学学位论文独劬性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体己经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：屋鍪整! 日期：迎阜塑z z 星 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的晦容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名： 导师签名： 履蔫 日 杜日 期：超丑轻壁2 堡 期：卫聋：丝：! ； h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模引言 引言 假设( r ，m ) 是个d 维的n o e t h e r 的局部环并且剩余域r m 是个无限域，是冗 的个理想，r e e s 代数冗= r i t 型o i n ，相伴分次环g ( ，) = 冗or i x 兰o p ，住+ 1 n o n o 和纤维锥f ( x ) = 冗or m 垒o p m p 这三个分次代数被称为是j 的b l o w u p 代数 n 0 它们在簇s p e c ( r ) 沿着子簇v ( x ) 胀开的过程中起着重要的作用特别是它们的深度性 质在过去的二十多年中被深入地研究了，而且这些代数已经被作为研究，的各种性质 的工具 d g n o r t h c o t t 和d r e e s 5 9 】最早地引进了个理想的约化的概念，它是研究b l o w u p 代数的个有用的工具后来，s h u c k a b a ，s g o t o 和c h u n e k e 等人利用这个概念对 b l o w u p 代数进行了很有成效的研究我们知道，当n 0 时，h i l b e r t - s a m u e l 函数a ( 冗p ) 是个d 次的多项式：入( r p ) = e o ( j r ) ( n 鼍- 1 ) 一e l ( 叭n + ! i 2 ) + + ( - i ) d e d ( x ) ，这里我 们称e i ( ni = 0 ，d ，是，的h i l b e r t 系数，称e o ( d 是，的重复度d g n o r t h c o t t 5 7 】 证明了不等式a ( r i ) e o ( i ) 一e 1 ( i ) 总成立c h u n e k e 3 5 】和a o o i s h i 6 0 】分别证 明了这样的结论。e l ( i ) = e o ( i ) 一入( r d 当且仅当户= j i ，且此时a ( x ) 是c o h e n - m a c a u l a y 的s h u c k a b a 和t m a r l e y 阻】将上述理想，推广到了一般的情况，证明 了这样的结论。如果，= 厶) n o 是一个h i l b e r t 滤链，d e p t h g ( 3 r ) d 一1 ，那么 e i ( 一= ( n 1 ) 入( 厶+ 1 j 厶) ，i = l ，d 。这些结果都说明j 的h i l b e r t 系数和j 的 b l o w u p 代数的深度之间有一定的联系，并吸引着越来越多的数学工作者参与这方面的 研究 第二章我们将上述理想，推广到关于个有限生成的冗模m 的h i l b e r t 滤链上， 主要通过模表面序列的方法降低模的维数，对具有某种深度的分次模进行了研究，所 得结果推广了【1 2 ，【3 3 】，阻】和【4 0 1 的相应结论第二章中除非特别说明，我们都假设 ( 冗，m ) 是交换的n o e t h e r 局部环，m 是d 维的有限生成的犀模，r m 是个无限域， 厂是个关于m 的h i l b e r t 滤链，k 是r 的个m 准素理想，使得对于任意的n 0 ， 厶+ l k 厶下面我们具体介绍一下第二章的主要内容 首先，我们在前人的基础上，给出了关于r 模m 的h i l b e r t 滤链以及三个分次模 g ( 3 r ，m ) ，乃f ( 厂，m ) ，曲伊，m ) 的定义，接着给出了g 伊，m ) 和毋f 伊，m ) 的表面序列 的定义在证明了a ( y ，m ) 和f k ( y ，m ) 的表面序列的存在性之后，我们定义了整数 l h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 引言 加n ( 以k ，m ) 通过这个定义我们得到下面的一些结论： 定理2 2 3 假设m 是c o h e n m a c a u l a y 模，j = ( x l ，z d ) 如命题2 1 2 中所取 那么对于任意的n 0 ， a ( k i n + i 驯，k 厶m ) + 加n ( 正k ，芦，m ) = a d p k ( y ，m ，n + 1 ) 一h k ( j r ，m ，n + 1 ) 】 定理2 2 6 假设m 是c o h e n - m a c a u l a y 模，d e p t h g ( 乒 ，m ) d 一1 ，d e p t h f k ( 芦，m ) d 一1 ，j = ( x l ，x d ) 如命题2 1 2 中所取那么当n d 一1 时，t ，n ( 以k ，厂，m ) = o ； 当n d 一2 时， ( 城只m ) = ( 1 ) 1 ( 要：) 入( m k m ) 接着，利用前面的结论，我们得到了当g ( ，m ) 和f k ( 厂，m ) 都取得几乎极大深 度时的h i l b e r t 系数这结果推广了阻1 的相应结论 定理2 2 1 0 假设m 是c o h e n - m a c a u l a y 模，d e p t h g ( ，m ) d - 1 ，d e p t h f k ( ，m ) d 一1 ，j = ( x l ，z d ) 如命题2 1 2 中所取那么 舻朋= 薹。g 二1 ) 凇“m j k i n m ) + - 1 删k m ) 1 吲 s h u c k a b a 和t m a r l e y 3 4 】给出了e 1 ( 歹) 的界，并且刻画了e l ( 一达到界时d e p t h g ( 歹 ) 的性质在第二章的第一节中，我们也给出了9 1 伊，m ) 的上界考虑到【1 2 】中给出 的e 2 ( ，) 的上界，这里我们也给出夕2 ( 厂，m ) 的上界，且讨论了9 2 ( 厂，m ) 达到上界时 d e p t h f k ( 厂，m ) 的性质 定理2 3 4 假设d 2 ，m 是c o h e n - m a c a u l a y 的模，j = ( x l ，z d ) 如命题2 1 2 中所取那么 9 2 ( j r ，m ) n a ( k i , t + i m j k i n m ) + a ( m i k m ) 进步地，如果d e p t h g ( 歹 ，m ) d 一1 ，那么等式成立当且仅当d e p t h f k ( 厂，m ) d 一1 在【6 5 ，定理2 3 】中，m e r o a s i ，g v 矾a 和w v v a s c o n e e l o s 讨论了，的h i l b e r t 级 数p 1 ( z ) 的上界，下面的定理我们得到了厂关于m 和k 的h i l b e r t 级数露( m ，k ，z ) 的上界，且讨论了取到上界时f k ( 歹- ，m ) 和s a l l y 模毋( 厂，m ) 的深度及h i l b e r t 系数 定理2 4 3 假设m 是c o h e n - m a c a u l a y 模，j = ( x l ，z d ) 如命题2 1 2 中所取 那么 2 h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模引言 ( 1 ) ，关于m 和k 的h i l b e r t 级数 斥( m ，k ，z ) a ( m k m ) + 1 ( g o f ( t 而, m 丌) - a ( m 一k m ) ) z ( 2 ) s a l l y 模曲伊，m ) 的h i l b e r t 函数日，m ) ( z ) 是非递减函数 ( 3 ) 如果d e p t h g ( j r ，m ) d 一1 ，那么当( 1 ) 中等式成立时，下列成立： ( a ) j k ( ，m ) 和s s ( y ，m ) 都是c o h e n - m a c a u l a y 的， ( b ) d g l ( y ，m ) = 9 0 伊，m ) - a ( m k i i m ) ；当2 i d 时，历伊，m ) = ( - 1 ) a ( m k m ) ， ( c ) s 0 ( 7 ，m ) = 入( 厶+ 1 m ，厶m ) ；当1 i d 一1 时，以伊，m ) = e 件1 ( 厂，m ) = n - - - - i ，一1 ( ? ) 入( 厶+ 1 ，厶m ) ，这里r = r j 伊，m ) n = l 第五节我们对混合重数做了讨论，在c d c r u z 和j k v e r m a 等人给出的极小混合 重数( r e 印几乎极小混合重数) 的基础上，我们给出了j 关于k 有极小混合重数( r e s p 几乎极小混合重娄妁的定义，由此讨论了j 关于k 有极小混合重数( r e s p 几乎极小混 合重数) 时的些性质 j - p s e r r e 的一篇重要的文章陋】表明了上同调理论开始作为研究代数几何的工 具1 9 6 7 年，a g r o t h e n d i e c k 和r h a r t s h o r n e 的关于局部上同调的讲稿的出现确定 了局部上同调理论在局部代数中的影响，使得局部上同调理论成为数学工作者研究 交换的n o e t h e r 环的必不可少的工具之一例如局部上同调的m a y e r - v i e t o r i s 序列和 l i c h t e n b a u m - h a r t s h o r n e 消失定理可以用来研究代数集的拓扑连通性 假设r 是交换的n o e t h e r 环，j 是冗的个理想，m 是甩模，r h a r t s h o r n e 3 0 】 给出了厶上有限模的定义，且提出了这样的问题。假设模m 是有限生成的，那么在 什么情况下，第i 个( 这里i 0 是整数) 局部上同调模日j ( m ) 是l 上有限的关于这 个问题，很多学者对此进行了研究在【4 2 ，定理1 】和【7 4 ，定理1 1 】中分别有这样的结 论：假设模m 是有限生成的，如果，是主理想，或者r 是局部环且m m 冗，= 1 ，那 么对于任意的i 0 ，日；( m ) 是l 上有限的交换代数中一个重要的问题就是决定第i 个( 这里i 0 是整数) 局部上同调模研( m ) 的相伴素理想集的有限性，这个猜想是 c h u n e k e 3 6 】提出的a k s i n g h 6 9 】给出了这个猜想的反例：假设r 是六维的n o e t h e r 非局部环，j 是由三个元素生成的理想，a s s ( 研( 兄) ) ( 这里对于一个尼模p ，a 瑚( p ) 表示p 的相伴素理想集) 是无限集然而，这个猜想在某些情况下是正确的，如【7 ，定 理2 2 】中证明了这样的结论：假设模m 是有限生成的，r 0 是整数，使得对于任意 3 h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模引言 的i ，研( m ) 是有限生成的，那么a s s ( h f ( m ) ) 是有限集 【2 2 】和阻】中也有相应 结论推广了【7 ，定理2 2 】c h u n e k e ，r s h a r p 以及g l y u b e z n i k 等也对这个问题进行了 大量的研究 1 9 7 4 年，j h e r z o g 3 2 】给出了广义局部上同调函子的定义，它是局部上 同调函子的推广广义局部上同调模的l 上有限性及相伴素理想集的有限性的问题引 起了很多学者的关注( 见【1 】 【2 4 】【2 5 】，【4 5 】，【7 3 】) ，s y a s s e m i 和n s u z u k i 等人在这方面做了 有意义的工作 本文的第三章我们主要通过归纳法研究了广义的局部上同调模的a r t i n 性，l 上 有限性，弱拉斯克性以及相伴素理想集的有限性这章中我们总假设( r ，m ) 是一个交 换的n o e t h e r 局部环，j 是r 的个理想，m 和是两个皿模，r 0 是整数主 要内容如下： 首先我们给出了研( m ，n ) 为l 上有限的结论 命题3 2 7 假设模m 和模都是有限生成的，使得对于任意的i r ，研( ) 是 a r t i n 的，并且研( m ，n ) 是a r t i n 的那么研( m ，n ) 是l 上有限的 定理3 2 8 假设模m 和模h o m r ( m ，研( ) ) 都是有限生成的，并且对于任意的 r ，研( ) 是a r t i n 并且二上有限的那么对于任意歹0 ，e 娥r ( r i ，研( m ，) ) 是 有限生成的，从而研( m ，n ) 是厶上有限的 关于集合a 鹃( 研( m ，) ) 的有限性已有下面几个结论： ( 1 ) 7 3 ，定理2 1 】假设模m 和模都是有限生成的，且对于任意的i 是有限生成的，如果k 是研( m ，n ) 的有限生成的子模那么a 鹃( 正巧( m ，n ) k ) 是有 限集 ( 2 ) 【1 ，定理1 2 ，定理1 3 】假设模m 和模都是有限生成的，且对于任意的i r ， 研( m ，) 是有限生成的那么h o m n ( r i ，研( m ，) ) 是有限生成的，从而a 鹃( 研( m ，) ) 是有限集 ( 3 ) 7 5 ，定理3 3 】假设模m 和模都是有限生成的，且对于任意的i r ，日；( m ，n ) 是a r t i n 的那么a 明( 琊( m ，) ) 是有限集 近来k d i v a a n i - a a z a r 和a m a r l 给出了弱拉斯克模的定义以及相应的性质利用这 些性质，我们在3 3 中给出了广义局部上同调模的弱拉斯克性以及对应的相伴素理想 集为有限集的结论s 4 h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 定理3 3 1 假设模m 是有限生成的，模是弱拉斯克的，并且对于任意的 i r ，研( m ，n ) 是弱拉斯克的那么h o m r ( r i ，研( m ，) ) 也是弱拉斯克的，因此 a s s ( h 7 ( m ，) ) 是有限集 定理3 3 5 假设对于任意的i 7 ，研( m ) 是弱拉斯克的，并且对于任意i 0 ，e x t 欠( r i ，m ) 是弱拉斯克的那么h o m r ( r i ，研“( m ) ) 是弱拉斯克的当且仅当 e x t 2 ( r i i ，研( m ) ) 是弱拉斯克的 通过【9 】9 中给出的b 正则序列和七深度的定义以及它们的一些性质，我们在本章 最后一节中讨论了满足某种条件的广义局部上同调模的相伴素理想的有限性， 定理3 4 4 假设d i m ( n ( j + a n n ( m ) ) n ) = s ，对于砖= 0 ，s ，令n 知= k - d e p t h ( i + a n n ( m ) ，) 那么 d ua s s ( e x t 爱k ( m i m ，) ) ：d i m r p 七) i e n 是个有限集 定理3 4 7 假设d i m ( n ( i + a n n ( m ) ) n ) = s 对于七= 0 ，5 ，令n 七= k - d e p t h ( i + a n n ( m ) ，) ，i l k = 切a 鼹( h 7 ( m ，) ) ：d i m r p 南) 假设x l ，z 住。j + a n n ( m ) 是的如正则序列那么对于任意的七= 0 ，8 ，讯谚并且 吼= p a s s ( e x t n n k ( m i m ，) ) ：a n m r p 七) = p a 船( n ( x l ，z n k ) ) ：p2i + a n n ( m ) ，d i m r p 七) 特别地，风是个有限集 最后，我们给出了广义局部上同调模的附加素理想集的一个结论s 定理3 4 1 8 假设m 和是有限生成的戽模，p d ( m ) = d 0 ，使得对于任意的7 1 , c l ，( 厶+ 1 m ：z ) n 厶。m = 厶m ， 则称z 是，关于m 的表面元；假设z j 1 2 ，矿是z 在g ( 厂) 中的初项形式， 如果存在整数c 2 0 ，使得对于任意的n c 2 ，( 厶+ 1 m ：z ) n 厶：m = 厶m ，则称矿是 g ( 厂，m ) 的表面元；类似地，对于任意的z k i x ，假设z o 是z 在f k ( ，) 中的初项 7 h i e f t 滤链的h f l b e r t 系数和广义局部上同调模 第一章符号和基本概念 形式，如果存在整数c 3 0 ，使得对于任意的n c 3 ，( k 厶+ 1 m ：z ) ni c 。m = k 厶m ，则 称z o 是毋f ( 芦，m ) 的表面元，相应的表面序列可以归纳地定义出来可以看出，如果 z l x 2 ，那么z 是厂关于m 的表面元当且仅当矿是g 伊，m ) 的表面元如果 d e p t h m 0 ，那么容易证明厂关于m 的表面元也是m 的正则元 在【7 l 】中w v v a s c o n c e l o s 引进了，关于极小约化j 的s a l l y 模s j ( i ) 的定义，它 是由下面的正合列定义的分次的r j t 】模： 0 - - - - bi r j t 一i r i t - - - - - - - 4s j ( i ) = o p i p 。一0 定义1 1 4 假设j 是，关于m 的个极小约化，我们称s j ( y - ，m ) = o 厶+ 1 m ，j r l m 竹，= l 是，关于m 的s a l l y 模，它由下面的正合列定义： o 叫1 1 r j t m 一冗( 厂) + m s j ( y ：，m ) = o 厶+ l m 户 m o 竹，= ：1 这里冗( 一+ 表示冗( 一的正次部分 定义1 1 5 1 1 5 】假设整数s 1 ，我们称一些元素的集合x l ，z 是理想集合 ，l 的个结合约化，如果对于i = 1 ，s ，x i h ，并且存在正整数n ，使得 一 ( 巧 j ；z , ) c z l j 1 1 ) “一1 = ( z l 厶) n j = t 定义1 1 6 假设k 是包含，的一个理想，j = ( z ，a l a 卜1 ) 是( k i i - 1 1 ) ( 这里 ( k i i 1 】) 表示由个k 和s 一1 个，组成的理想的多重集) 的个结合约化，定义约 化数r j ( k i i ) 为最小的( 如果存在的话) 使得k p = x i n + ( a l o 。一1 ) k p - 1 的正整数 n 当j 取遍所有的结合约化时，r j ( k l i ) 中的最小数记为( k i i - 1 】) 的约化数r ( k l i ) 如果没有这样的整数n 存在，称r j ( k i ) 是无穷大的，记为r ( k l i ) = 定义1 1 7 3 0 】我们称冗一模l 是l 上有限的，如果s u p p ( n ) y ( n 并且对于任 意的i 0 ，e 】c t 叠( r ，l ) 是有限生成的容易看出，m - 上有限模一定是a r t i n 模 8 h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模 第二章h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数 第二章h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数 2 1 引言 本章中除非特别说明，我们都假设m 是d 维的有限生成的戽模，a m 是个无限 域，是一个关于m 的h i l b e r t 滤链，k 是r 的个m 准素理想使得对于任意的 n 0 ，厶+ 1 k 厶 假设日伊，m ，n ) = a ( m i , 。m ) ( r e s p h u ( y ，m ，n ) = a ( m k i , 。m ) ) 是厂关于m ( r e s p 关于m 和k ) 的h i l b e r t - s a m u e l 函数，p ( y ，m ，n ) ( r e s p p k ( y ，m ，n ) ) 分别是它们对应 的多项式我们有 p ( ，m ，n ) = e 。( 厂，m ) ( n + d d 一1 ) 一e - ( 歹，m ) ( n 言兰了2 ) + + ( - 1 ) d e d ( j f ，m ) 欺伊，m ，n ) = 卯( 只m ) ( n + d d 一1 ) 一夕- ( 只m ) ( n 言兰_ 2 ) + + ( 一1 ) d g d ( t ，m ) 则夕0 ( ，m ) = e 0 ( 厂，m ) 注意到鲰( ，m ，竹) = 日( 厂，m ，n ) + a ( i , 。m i k i n m ) 因为对于 足够大的几，x ( i n m k i , , m ) 是n 的d 一1 次的多项式，对于足够大的n ，我们有 a ( i , ，m i k i n m ) = ，0 ( 只m ) ( n ：兰了2 ) 一 ( 只m ) ( n + d d - 23 厂、+ ( 一1 ) d _ 1 尼一- 伊，m ) 则鲰( ，m ) = e i 伊，m ) 二，一1 伊，m ) ，i = 1 ，d 我们称这些系数是h i l b e r t 滤链厂 的h i l b e r t 系数 下面的引理说明了芦关于m 的极小约化的存在性 引理2 1 1 1 4 0 ，引理1 】i i 中存在元素x l ，跏使得( z l ，x d ) 是尸关于m 的 个极小约化，并且e 0 ( 厂，m ) = e o ( ( z l ，x d ) ，m ) 因此，如果m 是c o h e n - m a c a u l a y 的模，那么e o ( y ，m ) = a ( m i ( x l ，x d ) m ) 假设z ，且3 7 * ( r e 印2 0 ) 是g ( 厂，m ) ( r e s p j k 伊，m ) ) 的表面元令“一”表示 模( z ) 于是歹= 州( z ) = 厶+ ( z ) ( z ) n 邳，了= 卅( z ) ，耳= k ( z ) ，丽= m x m 既然 月蠢( 歹，丽，n + 1 ) = a ( m ( k i n + 1 m + x m ) ) = 鲰( 厂，m ，n + 1 ) 一如( 歹，m ，n ) + 入( ( k 厶+ l m ：x ) k i n m ) ， 9 h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数和广义局部上同调模第二章h i l b e r t 滤链的h i l b e r t 系数 则有 吼( 歹，丽) = 吼( 只m ) ，i = 0 ，1 ，d 一1 假设m 是d 维的c o h e n - m a c a