（基础数学专业论文）点yd李代数的李定理和killing型.pdf

硕士学位论文 摘要 众所周知，辫子方程与量子方程等价，所以求解y a n g - b a x t e r 方程的问题可 以通过求解辫子方程来解决为了求解y a n g - b a x t e r 方程，人们建立了辫子张量 范畴理论 y e t t e r d r i n f e l d 模范畴在量子y a n g - b a x t e r 方程的求解中起着非常重要的 作用，已经成为近年来研究的热点问题之一辫子李代数包括超李代数、色李代 数和y d 一李代数本文首先介绍了分次代数、色超李代数的定义，并且也给出了 斜对称双特征的定义及其相关性质其次引出了点y d 一李代数，即：在y e t t e r d r i n f e l d 模范畴中，对任意的一个g - 分次代数( z ( g ) 为无挠群) v ，引入对称辫 子c 后，在v 内作【 。运算，即可得到一种新的李代数( 本文称之为点y d 一李代 数) 在此基础上，本文得到了点y d 一李代数的李定理：三是g f ( k ) ，k ) 的有限 维可解子点y d 一李代数，并且阮引。中的所有齐次元素是幂零的如果z ( a ) 是挠自由的群，那么，在y 内可选取一组齐次元素组成的基，使得l 的矩阵是上 三角的并且给出例子说明了群z ( a ) 挠自由的必要性接着，给出了点y d 一李 代数的k i l l i n g 型的定义：l 为任意的点y d 一李代数，如果齐次元z ，y l 定义： ( z ，y ) = t r q ( a d x a d y ) 则( x ，y ) 称为l 的k i l l i n g 型以及给出了k i l l i n g 型的性质最后用k i l l i n g 型 去判断半单点y d 一李代数这些都将为y d 一李代数的进步研究奠定坚实的基 础 关键词：李代数；点y d 李代数；辫子张量范畴；对称辫子；k i l l i n g 型 i i 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h eb r a i de q u a t i o ni se q u i v a l e n tt ot h eq u a n t u me q u a t i o n t h e r e f o r et h eq u e s t i o nh o wt os o l v et h ey a n g - b a x t e re q u a t i o nc a nt h r o u g ht h e s o l u t i o no nb r a i de q u a t i o n o n e sh a v eb u i l tu pt h et h e o r yo fb r a i d e dt e n s o r c a t e g o r i e st os o l v et h ey a n g - b a x t e re q u a t i o n t h ec a t e g o r yo fy e t t e r d r i n f e l dm o d u l e si sp l a y i n gt h ee x t r e m e l yv i t a lr o l e i nt h ep h y s i c a lq u a n t u my a n g - b a x t e re q u a t i o ns o l u t i o n ，a n da l r e a d yb e c a m eo n e o fh o tt o p i c si nt h er e c e n ty e a r ss t u d i e d ，b r a i d e dl i e - a l g e b r ai n c l u d el i es u p e r a l - g e b r a ，c o l o u ra l g e b r aa n dl i ey d a l g e b r a t h i sa r t i c l ef i r s ti n t r o d u c ed e f i n i t i o n s ， t h es y m m e t r i cb i c h a r a c t e r sd e f f i t i o na n ds o m ep r o p e r t yo ft h eg - g r a d e da l g e b r a ，t h ec o l o u rs u p e r a l g e b r aa n dt h es y m m e t r i cb i c h a r a c t e r s e c o n d l y , i th a sd r a w n o u tt h ep o i n t e dy d l i ea l g e b r a sd e f i n i t i o n ，i nt h ec a t e g o r yo fy e t t e r d r i n f e l d m o d u l e s ，l e tz ( g ) b eat o r s i o n - f l e ea b e l i a ng r o u p ，i fw eh a v eas y m m e t r i cb r a i d - i n gc ，f o re a c hg g r a d e da l g e b r avo v e rt h eg - g r a d e ds p a c e ，an e wl i es u p e r a l - g e b r aw i t ha no p e r a t i o n 】cs a t i s f y i n ga na c t i o n s ，t h e nw ec s x lo b t a i nan e wl i e s u p e r a l g e b r a ，t h i sp a p e rt oc a l li tp o i n t e dy d l i ea l g e b r a i n t h i sf o u n d a t i o nt h i sa r t i c l eo b t a i nt h el i e st h e o r e mh o l df o rp o i n t e d y d l i ea l g e b r a ，l e tl b eaf i n i t e - d i m e n s i o n a ls o l v a b l ep o i n t e dy d l i es u b a l g e b r a o f 讲( ) ，七) ，a n da uo fh o m o g e n e o u se l e m e n t si n l ，纠。b en i l p o t e n t i fz ( g ) i s at o r s i o n - f r e ea b e l i a ng r o u p ，t h e nt h em a t r i c e so flr e l a t i v et oas u i t a b l eh o m o - g e n e o n sb a s i so fva r eu p p e r t r i a n g u l a r a n dw eg i v ea ne x a m p l et os h o wt h a tt h e t o r s i o n f r e ec o n d i t i o ni sn e c e s s a r y n e x t ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no fk i l l i n gf o r m h o l df o rp o i n t e dy d l i ea l g e b r a ，l e tlb eap o i n t e dy d l i ea l g e b r a ，f o re v e r y h o m o g e n e o u se l e m e n t so y l i f ( z ，y ) = ( a d x a d y ) t h e nw ec a l l ( x ，y ) k i l l i n gf o r mo fl a sw e l la sw ei n t r o d u c es o m ep r o p e r t y o fk i l l i n gf o r m f i n a l l y , w eu s ek i l l i n gf o r mt od e c i d ei fy d l i ea l g e b r a sa r e s e m i s i m p l e o u rr e s u l t sw i l ll a yas o l i df o u n d a t i o no nt h ef u r t h e rr e s e a r c ho f s t r u c t u r e so fy d l i ea l g e b r a k e yw o r d s ：l i ea l g e b r a ；p o i n t e dy d l i ea l g e b r a ；b r a i d e dt e n s o rc a t e g o r y s y m m e t r i cb r a i d i n g ；k i l l i n gf o r m i i i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：昊漆天艳日期：z 嘶年户月i x 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查 阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名： 导师签名： 是淑艳 日期：2 6 年多月妒日 日期：2 “年厂月日 硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 1 9 3 3 年至1 9 3 4 年，h e r m a n nw e y l 教授在普林斯顿研究院的演讲中将“李代 数”这个名词提了出来，并且把李代数这门学科放在了一个独立的位置 众所周知一般的李代数的内容相对而言已经十分完备，所以超李代数成为 了数学和物理学家的焦点超李代数有许多源头，如在同伦理论、同伦群中的 w h i t e h e a d 积理论、奇偶坐标超对称混合中描述玻色子一费密子系统的理论和 分次代数的变形理论中都有不同的描述事实上，超对称是由李超群或更确切地 是由李超代数具体刻画的自1 9 5 0 年，与超代数有关的许多理论铹如k i l l i n g - c a f t a n 理论、表示理论单超李代数的分类、超李代数的向量域、以及超李代数的 种类等理论逐渐完善同时在物理学中，我们不仅仅考虑z 2 一分次或是互分次， 而且也考虑了交换群g 且此群上有一个斜对称双特征情形的g 一分次1 9 6 1 年 秋至1 9 6 3 年春中国科学院的学术讨论班上万哲先先生专门就“李代数”作了专 题报告在上世纪七十年代，数学物理学家经不懈的努力得到了许多种超李代数 量子群概念提出以后，h o p f 代数与量子力学之间的联系变得非常紧密著名 的y a n g - b a x t e r 方程( 1 】在数学领域和物理领域起到了很重要的作用，用对称的 方法去求解y a n g - b a x t e r 方程引出了量子群理论，这方面的成果见文献f 2 一9 1 _ 量子群的研究为解决很多力学、物理等方面的问题提供了很好的工具 1 9 8 6 年j o y a l 和s t r e e t 引入了辫子张量范畴的概念，它是超对称的一种推 广m a i d ，j o y a l ，s t r e e t 和l y u b a s h e k o 已经得出了辫子张量范畴中的很多重 要结论比如辫子重构定理，蜕变( t r a n s m u t a t i o n ) 和波色子化( b o s o n i z a t i o n ) ， 积分，q - f o u r i e r 变换式，q m i n k o w s k i 空间等等研究表明辫子方程与量子y - a n 沓 b a x t e r 方程等价，所以，求解y a n g - b a x t e r 方程的问题可以转换成求解辫子方程 的问题文献f 1 0 一1 2 就是关于辫子张量范畴以及辫子代数的研究 在代数学研究过程中，e u c f i d ，k r o n e c k e r ，h w e i l 等科学家为代数的发展做出 了杰出的贡献文献_ f 1 3 2 9 ，3 0 3 7 1 为我们提供了代数学研究中的需要的基础 和主要成果在计算机科学、数学、物理学和许多应用领域，计算机代数也越来越 具吸引力例如交换代数、代数几何和代数方程中的多项式环的理想的标准基， 非交换环中的超代数、h o p f 代数和非交换几何中的非交换的标准基等理论在计 算机学科中应用越来越广泛 自从k a c 完成李超代数的分类工作 4 0 1 以来，色李代数就吸引了许多数学 和物理学者的注意例如，s c h e u n e r t 研究了色李代数，获得b p w 基和a d o 定 理【4 l i m o n t g o m e r y 研究了由辫子代数决定的李代数，皿李代数( 或者广义李 代数) 和( 日，r ) 一李代数的一些性质1 4 2 ，蚓m a j i d 和张寿传引入了辫子李代数 的基本理论，并且研究了辫子李双代数的转换和波色子【4 4 t4 5 ，1 2 】王栓宏得到了 y e t t e r - d r i n f e l d 范畴中的辫子李代数的中心不动集f 4 9 】，张寿传证明了色李代数 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 的李定理成立 本文论述了斜对称双特征的一些性质，主要成果是将一般的李代数中的理论 与y e t t e r d r i n f e l d 范畴中的辫子结合起来，得到了一个新的分次李代数( 本文称 之为点y d 一李代数) ，在此基础上得出了点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型， 这为分次李代数的研究提供了方法，也为这个新的分次李代数的进一步研究奠定 了很好的基础 1 2 预备知识 本文中，有关李代数方面的基本概念参见【4 7 1 代数均表示域k = f 上的代 数，k = f 表示代数闭域1 1 2 1 分次代数和李超代数 定义1 2 1 域f 上的一向量空间l ，运算 ：l l l 0 ，y ) 一k 鲥如 果对、y ，z l 满足： 倒f 运算是双线性的j 一砂陋，x 】= 0 ，对v x l i i 砂陋，【y ，z 】 + 【y ，k ，z 】+ 。，陋，可1 = 0 ( j a c o b i 等式j 则称 1 为。和y 的换位子，且称l 为f 上的李代数 定义1 。2 2g 为半群并且含有单位元，域f 上的代数a 如果满足：对v g g ， a = o 如 g e g a ，也为域f 上的代数，且如a h a g + h ，则称a 为g 分次的 对于a a ，若a a ，0 g ) ，则称a 为g 齐次元，简称齐次元，且记为 i a l 或蚰，( 1 a 1 = 吼= g ) 对于单位元则为0 次的 a ，日均为g 一分次代数，同态映射砂：a b 满足：v g g 妒( a g ) 互b 9 则砂为一个0 次同态映射 a 为g 一分次代数，为以的一个分次理想，即 i = o i g g c g 厶= i n 如，则商代数a i 是个自然的g 一分次代数，并且标准映射 秽：a a i ，p ( g ) 一a + i ，v a a 也是。次同态映射 1 若f 是一个域，并且f f x 】即( 系数在f 内的多项式构成的环) 内的任一多项式都能写成 次因式的乘积，就称f 是代数闭域如复数域 2 硕士学位论文 例1 2 3 设v = o h 为域f 上的一个z 2 一分次的有限维线性空间 l ( v 1 = e n d ( v ) 对于i z 2 设 l k = ，l ( v ) if ( y j ) 冬k 钾，j z 2 ) 则l ( v ) = l ( v ) o0l ( v ) a 为一个结合的分次代数 如果e 1 ，8 2 ，e f n 为的组基，e 。+ l ，e 。为h 的一组基则对 v ，l ( v ) 有如下形式的矩阵 m = ( m l ，l m 1 。2 ) m l l 为mxm 阶的，a 如2 为( n m ) x ( n m ) 阶的，且i m i = 0 当且仅当 0 = m 1 2 = 1 ，l m i = 1 当且仅当0 = 尬1 = m 2 2 口 定义1 2 4c h a f f 2 a 2 一分次代数l = l o o l l 在【】作用下g x ，y ，。l 若满足： 倒陋，胡= 一( 1 ) i 。h i y ，卅； 一砂( 一1 ) 蚓陋，阻，z 】+ ( 一1 ) 陋i l u l z ，陋，暑d 】+ ( 一1 ) l u l l 。l y ，k ，z 】= 0 则称l 为一个李超代数 如果c h a r f = 3 ，还要附加对v x ，l x l = t 时 x ，k z 】= 0 这一条件 1 2 2 斜对称双特征 定义1 2 5 设k 为一满足结合性的可交换环，且含有单位元，k + 为k 中所 有可逆元组成的群g 为交换群，映射e ：g g k + 对v ，g ，h g 如果满足j e ( 玑h ) e ( h ，g ) = 1 ； e ( 9 ，g ) = 4 - 1 ； e ( 吼h + ，) = e ( g ，h ) e ( g ，) _ e ( g + h ，) = e ( g ，) e ( h ，) 则称e 为g 上豹交换因子 记 g 十= 9 gie ( 9 ，g ) = 1 ) ： g 一= 妇g | e ( 9 ，g ) = 一1 ) 如果e 是交换群g 的交换因子，则由e ( f ，g ) = e ( g ，f ) 给出的映射也为g 上的交换因子 3 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 定义1 2 6 若= f 且交换群g 含有单位元e ，交换因子e 满足 e ( e ，g ) = 1 = e ( 吼e ) ，v g g 则称e 为斜对称双特征此时称g 为含斜对称双特征的交换群 命题1 2 7g = ( o ) ，h = ( b ) 为两个循环群对v m ，n z ，r 为gx 日上的 双特征营r ( a ”，铲) = r ( o ，6 ) “且r ( n ，b ) = 1 ，其中n 为o ，b 阶数的最大公因 子即：= ( o ( o ) ，o ( b ) ) 证明：充分性显然成立 必要性：若g ，h 均为有限群，则 r ( a ”，扩) = r ( a m - - 1 a ，b “) = r ( 扩，6 n ) r ( o ，b ”) r ( n ，铲) m = r ( n ，b 扫n 。) ”= r ( n ，b ) m t ( a ，铲_ 1 ) “ = r ( o ，6 ) m “ 由于n 一( d ( 。) ，o ( 6 ) ) ，所以玉，t z ，使得j v = o ( a ) s + o ( b ) t 所以 r ( a 扣) = r ( a ，b ) 。8 + 。( 6 ) t = r ( a ，6 ) 。( 。卜r ( a 0 ) 。( 。 = r 。) s ，6 。( 6 ) 2 ) = r ( e ，6 ) r ( q ，e ) = 1 当g 为无限群时，同理可证r ( a ”，护) = r ( a ，6 ) 又因为o ( a ) = 0 ，所以 n = o ( 6 ) r ( a ，= r ( ，6 ) 。( 6 ) = r ( a ，b o ( 6 ) = r ( a ，e ) = 1 综上，r 为g 日的双特征 口 定理1 2 8 对v i j ，循环群g i = ( a 。) 且g = 剃o g 。令冗= r r 为g 的双特征) ，q = ) 1 七，( ) 肌j = 1 ，批j = ( o ( o ) ，o ( ) ) ，v i ，j 玎曼尼，“定义西= r - * q ( 。：，q ) ) 则垂是双射 证明：先证满射 v q 令r 为g 上的双线性函数且满足： r ( a i ，a j ) = q u v i ，j i n ( ) v x = n 扎y = n ) g i , j t 4 里圭兰苎! 鎏 。一。一。， 对比= 。? ，y = n ) ，z = ：。 g r ( x y , z ) = ( ) ( ) 础r ( 那) r ( 舭) i j e t 同理r ( x ，y z ) = r ( z ，y ) r ( x ，z ) 令o ( a ) = ，所以 r ( 叩) = ( ) 册啊= 1 i j j 同理r ( e ，茹) = 1 所以r 为g 的双特征且西( r ) = ) ，圣为满射 再证蛋是单射 令r ，一r ，满足r ( a i ，a j ) = r t ( a $ ，a j ) ，v i ，j i 即由( r ) = 圣( r ，) 显然 r = 一，所以垂是单射 综上圣是双射 口 推论1 2 9g = ( n 1 ) x ( a 2 ) x ( ) 是一个有限生成群r = 1 i rr 为g 的双特征) q = ) l0 q o k ，( ) = 1 ，n = o h ) 或者o ( q ) ，i ，j = 1 ，2 ，礼) 定义 m = r - q 。，q ，则垂是双射 证明：令f = 1 ，2 ，礼) ，则证明同定理1 2 8 口 例1 2 1 0g = z ，则g = ( 1 ) 由定理1 2 8 ，对v0 q 七，v m ，n z 若 r ( m ，n ) = g ，则r 为z 的双特征进一步地， r ) 为z 的所有双特征相似地， 可以得到磊的所有双特征 口 命题1 2 1 1 若g 为一奇数阶循环群，则g 没有非平凡的斜对称双特征即? g 只有r ( a ，b ) = 1 ，v a ，b g 这个平凡的斜对称双特征 证明：反证法： 假设存在g 的非平凡的斜对称双特征r ，则： r - 1 ( n ，a ) = r ( a ，a ) = r ( a ，a ) 即：1 = r ( a ，a ) r ( a ，a ) = r ( o ，o ) 2 4 ：l a l = 2 n + 1 ，n 为自然数，则对v b ，c g ，b = a mc = 矿，m ，n z r ( e ，n ) = r ( a 2 n + l , n ) = r ( o ，口) 2 + 1 = ( r ( a ，口) 2 ) ”r ( a ，口) = r ( n ，n ) = 1 并且 r ( b ，c ) 一r ( a ，a n ) = r ( a ，o ) 一= 1 与r 非平凡矛盾 所以r 没有非平凡的斜对称双特征 口 5 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 1 2 3 色李超代数 定义1 2 1 2g 为交换群为一个结合的交换环且含单位元，c h a r k 0 k + 为k 中所有可逆元组成的群e ：gxg k + 为交换因子如果代数k 上 的g 一分次代数r o 。g 中，对g 中任意其次元日，b ，c ，口r 满足j 俐 a ，6 】= - e ( 1 a l ，i b l ) b ，n 】； 一砂e ( i c l ，l a l ) a ， b ，c 】+ e ( 1 0 l ，i b l ) b ，【c ，0 l 】+ e ( i b l ，l c l ) c ， a ，6 】= o ； ( i i i ) u ， v ，口】 _ 0 ，i v i g 一 则称r 为色超李代数 由上可得： a “b ，c 】= 。，6 ，c + e ( 1 a ，陋! ) 6 ，【a ，c 】 或 【o ，6 ，c = a ， b ，c 一4 1 a l ，i b l ) b ，陋，c 】 证明：由上定义( i i ) 可得： a ， b ，c 】= - - e ( 1 a l ，1 c 1 ) e ( 1 a l ，l b l ) b ， c ，a 】 一e ( 1 l ，l c l ) e ( c ，h = e ( 1 a l ，i b l ) b ， a ，c 一e ( 1 a l + 1 6 i ，i c l ) c ，陋，6 】 = 6 c + e ( 1 a l ，i b l ) b ， a ，c 】 = 右 例1 2 1 3 令 a = 0 如 9 e g 是k 上一个g - 分次结合代数，e 为交换因子，在a 上对任意齐次元a ，b a 定 义一个运算f1 ： a ，6 = a b e ( i o l ，1 6 1 ) b a 则显然a 为一个色李超代数，记为 a 】 l 为色超李代数，且v a ，bel 有 a ，6 】= 0 ，则l 为交换的 记 珥= o 吗，r 一= 0 局 g e g + g e g 一 本章只考虑色超李代数中的昏齐次子代数 a = o a 。l = o 工。 9 e gg c g 对v g g 有a 9 l g 若l ，m 均为k 上的色超李代数( 对于相同的g 和e ) ，若线性映射，：l m 对v a ，b l ，v 9 g 满足： 硕士学位论文 0 ) ，( 陋，6 】) = 【，( n ) ，( 6 ) ； ( i i ) f ( l ，) 坞 则，为0 次同态映射 如果k e r r = 0 ，则称，为单一0 次同态 如果，m ，= m ，则称，为满0 次同态 如果，既是单一0 次同态又是满0 次同态，则称，为0 次同构 特别地，若此时m = l ，则称，为0 次自同构 引理1 2 1 4l 为色超李代数，z 为工中的齐次元i x l g 一，y el ，则 【。，z 】，y 】= 2 【z ， z ，掣】 ； y ，陋，z 1 = 2 【陌，z ，司 证明： 【陋，z 】，y 】= x ，陋，胡】一e ( i x l ，i z l ) p ，睁，胡】 = 2 x ，陋，胡】 假设y 也为g 一齐次元 【y ，b ，z 】一- e ( 1 y l ，| 茁i + i 茁1 ) 【z ，司，y 】 = 一2 e ( 1 可i ，i z l ) 2 【z ，【z ，鲥】 = 2 e ( i 掣l ，i x l ) 2 e ( i z i ，l 1 ) 【z ，i y ，z 】 = 一2 e ( i yl ，l z l ) e ( i z i ，l y i + l z l ) ，z 】，x 】 = 一2 e ( i z i ， z 1 ) 【可，z 】，z 】 = 2 b ，叫，叫 若y 不是g 一齐次元，则y = o g e g y g ，v g g ，y g 为齐次元所以， 自，k 叫1 = 吣 o e g = 2 【，球z 】 g e g = 2 【 ，z 】，z 】 即 陋，z 】，别= 2 k ，k ，胡1 ；【y ，江，叫】= 2 陪，z ，司 推论1 2 1 5l 为色超李代数，z 为l 中的齐次元吲g 十，y l ，则 【z ，z 】，引= i v ， z ，z 】= 0 事实上，l z i g + ，贝0 【z ，z 】= 0 口 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 1 2 4 量子迹 k 为域，v = o h g v h 为域k 上的一个g 一分次向量空间若对。v 有 z y h ，则称z 为齐次元，且记吲= 橱玑= h e n d k ( v ) h = ，i ，为线性的，且v 齐次元x v 有lf ( x ) i = + lzl 也为齐次元) 令 e n d k ( v ) = o e n d k ( v ) h h e g 显然e n d k ) 也是k 上g 一分次结合代数 例1 2 1 6 若a 为v 所对应的矩阵，相应地a ，。为k 对应的a 的对角块 则定义分次空间上的迹： g r t r ( a ) = e ( 舢) 打( a 。，) g c g 如果e 为斜对称双特征，就称这种迹为量子迹，本文记为t r q ( a ) 定义1 2 1 7 代数l 的子代数，若满足v a i ，v b l 有? 陋，6 】i 则称为工的理想 若对一个色超李代数l 来说，如果i 为l 的理想且i 也是色超李代数，只 有i = 0 或i = l ，则此时称三为单色超李代数 a ，b 为色超李代数l 的子代数对v a a ，b b ，若阻，矧由 a ，6 张成， 则 a ，b 为l 的子代数 定义1 2 1 8l 为色李超代数，定义l 的一导出列：l ( o ) = l ，l ( 1 ) = 陋们，l ( o ， l ( 2 ) = l ( ，l ( 1 】，一，l ( ) = 【三“一，l ( 一1 ，- t 若 n ，使得l ( ”) = 0 且l ( n - 1 ) 0 则称l 为可解的色超李代数 定义1 2 1 9l 为色李超代数，定义l 的另一导出列? 口= l ，l 1 = 【l ，l o 】， l 2 = l ，l 1 】，= 【l ，l 弘1 】，若3 m ，使得l “= 0 且l “_ 1 0 则称l 为幂零的色超李代数 显然，幂零的色超李代数一定是可解的 与一般李代数相似，下列命题成立 命题1 2 2 0l 为色超李代数，为l 的色超李子代数， 俐若l 可解，则l 的所有色超子代数以及同态像也可解 以砂若是l 的可解理想，使得l i 可解，则l 自己也可解 ( i i i ) 若，j 是l 的可解理想，则j + l ，也是三的可解理想 口 硕士学位论文 命题1 2 2 1l 为色超李代数，t ，为三的色超李子代数， 倒若l 幂零，则五的所有色超子代数以及同态像也幂零 0 0 若l z ( l ) 幂零，则l 自己也幂零， 一叫若l 幂零，则z ( l ) 0 其中z ( l ) 一 2 li 陋，z 】= o ，b 切三) 为l 的中心 口 9 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 第2 章点y d 李代数的李定理 本文中x 。) 表示x 。，) ，其它类似表示 2 1 点y d 李代数 定义2 1 1h 为h o p f 一代数，若一向量空间( v n ，5 ) 同时存在左日一模( k 凸：) 和左日一余模( k j ) ，满足肋，v 5 ( a ( h 。u ) ) = d ( ) = 吣 ( 一1 ) s 岫。v o 则称( v ，6 ) 为一个y e t t e r - d r i n f e l dh 一模所有的y e t t e r - d r i n f e l dh 一模构成 一个辫子张量范畴，称为y e t t e r - d r i n f e l d 模范畴，记为备y 口，它的辫子用c 或 c 表示如果c t y = c w - 1 ，那么称辫子c 在v 上对称 g 为任意一个群，则k g 为h o p f 一代数，则2 a y d 为一个】厂e t 亡e r d r 饥，e f d 模范畴 定义2 1 2l 为任一向量空间，如果l 满足j 俐( l ，q 一，6 一) 为2 9 y d 的目标即( l ，o t 一) 是自g 一模，d 一) 是自g 一余 模，并且满足y e t t e r - d r i n f e l d 模相容性条件i 一砂( l ， 】。) ，即 。：上o l - + 三为l c a y d 上的态射i ( i i i ) 李代数反对称性即 。= 一 】。g j 一砂j a c o b i 等式即【】c ( 。q i d l ) + 】c ( 。o i d n ) ( i d l o 皖) ( 既。o i d l ) + 】。( 】。o i d l ) ( c l 2 0 i 出) ( i 比。既) = 0 则称l 为k k g g y d 中的李代数 定义2 1 - 3g 为任意群，南为域如果x ：g 一k 一0 是一个乘法群同态，则 称) ( 是群g 的一个特征g 的所有特征构成一个群，我们称之为g 的特征群， 记为0 如果l 是一维的y e t t e r d r i n f e l dk g - 模的直和，那么l 被叫做点y e t t e r - d r i n f e l d g 一模进一步，如果l 还是一个y e t t e r d r i n f e l dk g - 李代数，那么， 称l 是点y e t t e r - d r i n f e l dk g - 李代数，简称为k g 上的点y d 一李代数，或点 y d 一李代数类似地，我们能定义点y d 一代数 引理2 1 4l 是k g 上的点y d 一李代数当且仅当存在l 的一组齐次基 既 i 三 和一组特征 x iii j ) 0 使得h 如= x d h ) x i 对任何i z h g 口 硕士学位论文 从现在起，我们假设= 勋当肌= 缈，i ，j j 时为了方便，我们用 或x 9 表示x i ，当霉l m 或9 = g i 特别地，令x 9 = k g ，当g g 。对任何 i ， 假设l = 0 9 g l g = 0 9 z ( g ) l 9 ，即若9 z ( g ) ，则l g = 0 对于g l ，g u ，g o g ，v h k g ，x l ，x 2 ，x e g ，对任意齐次元x j l ， 定义： = ，( h ) x 3 ，6 ( x j ) = 啦， x j ，j = 1 ，2 ，一，口 则l 为一y e t t e r d r i n f i e l d 模 如果l 馋y d ，任意齐次元。，y l ，v h k g ，所以 而 ( x y ) ：( 危。) ( 危可) ； 危【z ，可】。= x ， 】。 危( z 可) = ( 。) ( y ) = h 茁，引。= x 。( h ) x y ( x 。( ) z ) ( x ，( ) 可) ( ) 地( h ) x y x 。( 九) 扛，胡。 【h x ， 可】。= 【x 。( 危) z ，x u ( 九) 鲥。= x 。( ) x ) 陋，鲥。 即 x 。( h ) x y = x 。( 危) x ( ) 。；x ( ) z ，可】。= x 。( ) x ( ) 陋，可 。 如果此时 z ，胡。= x y x g ( 9 k ) 可z 其中c q y ) = 勋( ) 扫 z ) ，则易得： 引理2 1 5 如果l 是k g 上的点y d 李代数，则j ( i ) 辫子c 对称当且仅当x 町( 乳。) x 。，( 吼j ) = 1 ，v 任何齐次鼢，x j l ( i i ) 若辫子c 对称，则【a i ，】。= 一x a j ( 乳，) b ，啦】。对任何齐次元素a i ，a j l ( 犀对称性) ( t t ) 若辫子c 对称，对任何三个齐次元素x ，y ，z l ，有 【陋，鲥。，司。= p ，【y ，z 】。】。+ x 。( 蜘) 【陋，z 。，引。 其中鲰为y 的分次 即? a d x ， 。= 【a dz ，a d 拶】。( j a c o b i 等式) 点y d 一李代数的李定理和k i l l i n g 型 证明：( i ) 妇。，x j l c 对称 咎c ( c ) ) = x i o x j 营c ( x q ( 蜘；) x j ox i ) = 既 x j x ( 乳。) c ( x j o 甄) = 觑ox j 甘x 叼( g x ；) x 。( g x j ) x i 圆x j = 鼢 x j = ) ( q ( 如。) ) 知；( 乳，) 一1 ( i i ) v t ，a j l 【a i ，a j 。= a i a j 一) ( 。，( g o 。) i 町，a i 。= a j a i x 。，( 9 。，) 毗 则： ) ( q ( g o 。) q ，啦 。= x 。，( 吼。) 啦一x n ，( 9 n 。) ) ( n ；( 目。，) a i a j = x q ( g 。) a j a i a i a j = 一 。，a j 。 ( i i i ) 由题设条件，有： 【z ，z l 。， 。= x z x ；( 9 。) z z ，可】。 一k z ，可】。一x ：( 9 。) z z ，可 。 = x z y x ( 吼玑) 。z 一地( 乳) z z 可+ 地( 乳) 硒( 乳g = ) y z x 所以： 地( 踟) z 。，鲥。 = ) ( 。( g ) x z y x ：( 9 9 ) x 口( 9 。9 ：) y x z x 。( 鲰) x ：( g = ) z x y + x 。( g ) ) ( 。( 9 0 ) x ( 9 ：g 。) y z x = x 。( g y ) x z y h ( 蜘) ! ，z z 一地( 吼) 池( 吼) z z 掣+ x ：( 乳) 硒( g 。) y z x 因为 所以 k ，b ，司。】。 = 陋，y z x 。( 跏) 彳】。 = x y z x 。( g ) x z y x ( 9 。) ) ( 。( 9 。) z z + x ( g 。) ) ( ：( g g = ) z y x 陋，【y ，z l 。 。+ x 。( 吼) 【陋，z 】。，圳。 = x z y + x ”( 9 。) x ：( g 口9 2 z y x x g ( g = ) y z z x 。( 野) x 。( 9 。) z z 可 = 陋，鲥。z 一地) 地( 鲰) z 陋，可】。 = i x ，刎。，z 】c 硕士学位论文 即： a d 【z ，掣】。= ： a dz ，a d 叫。 从现在起，我们所考虑的群、代数和李代数分别是交换群、点y d 一代数和 点y d 一李代数辫子g 在所考虑的代数和李代数上对称 定义2 1 6 设a 是一个点y d 一代数，并且g 在a 上对称定义 陋，叫。= x y 一) ( 9 ( g 。) 可z ， 对任意齐次元茁，y a ，那么，a 是一个点y d - 李代数，记为a 一 如果v = o 。g 嵋是域七上的有限维分次向量空间对v g ，h g ，定义 a 吼h = h a m f ( v h ，k ) 并且a = a i j1i ，j g 易知e n d k ( v ) = 4 钮i i ，j g ) 如果定义 a 。= a 钮 a 一1 = g 对任何g g ，那么 是一个g 分次代数我们容易将a 变为点y d - 代数称 a 一为一般线性点y d - 李代数，记为鲥( k ，七) 若v g g ，d i m v g = n 9 0 ，使得 ( z ) m = 0 ，则称x 为幂零的 引理2 1 8 令l 是点y d 李代数，并且是讲( k ) ，k ) 的子点y d 一李代 数那么 俐( a dx ) “( y ) = 州：。f y x 对任何齐次元素x ，y n ，k ， 和自然数m 似j 如果x n 是幂零齐次元素，那么n dx 也是幂零的 ( i i i ) z ( l ) 是l 的点y d 一理想这里z ( l ) = z llb ，引。= 0v 齐次元y 工，且被称为l 的