（基础数学专业论文）纤维拓扑的仿紧性.pdf

摘要 纤维的观点在一般拓扑理论中得到了广泛的运用。事实上，一般拓扑中的许多主要 概念的纤维版本已经出现。数学家i m j a m e s 系统整理给出纤维紧空间与纤维局部紧空 间的定义。本文的主要目的就是要补充完善一般拓扑学中的仿紧性在纤维拓扑中的定义 及其性质。因此，纤维仿紧的定义方法既可以认为是一般拓扑中仿紧性的纤维化，也可 以认为是纤维拓扑空间中纤维紧性的推广。 本文第一部分首先利用一般拓扑与纤维拓扑的联系，给出了一种比较弱化的定义一 点式纤维仿紧空间，并且把一般拓扑中仿紧空间的一些重要性质也过渡到了点式纤维仿 紧空间。如：闭遗传性、可加性、点式纤维仿紧空间与纤维紧空间的乘积是点式纤维仿 紧空间、点式纤维仿紧且纤维h a u s d o r f f 空间是纤维正则空间也是纤维正规空间、点式 纤维仿紧h a u s d o r f f 空间在闭纤维映射下是保持的、纤维仿紧空间在完备纤维映射下是 纤维逆保持的。 但是，这种定义方式不能深刻的体现纤维拓扑的思想。纤维拓扑与一般拓扑更重要 的区别是要体现基空间所起的作用。所以，本文第二部分采用i m j a m e s 给出纤维紧空 间与纤维局部紧空间的方法给出了纤维仿紧空间的定义。同时，还讨论了纤维仿紧空间 的一些重要性质，如：闭遗传性、可加性、纤维仿紧与纤维紧空间的乘积是纤维仿紧空 间、纤维仿紧且纤维h a u s d o r f f 空间是纤维正则空间也是纤维正规空间、纤维仿紧 h a u s d o r f f 空间在闭纤维映射下是保持的、纤维仿紧空间在完备纤维映射下是纤维逆保 持的。 本文最后一部分系统讨论了不同基空间的广义纤维范畴t o p ( 对象是不同基的纤 维拓扑空间，态射是不同底保纤维映射( 厂，a ) ) 中纤维仿紧空间的保持性与逆保持性。下 面是主要结论： ( 1 ) 态射( 厂，a ) ，厂是不同基空间的闭纤维映射，a 是开映射，点式纤维仿紧 h a u s d o r f f 空间与纤维仿紧h a u s d o r f f 空间是保持的。 ( 2 ) 态射( 厂，a ) ，厂是不同基空间的完全纤维映射，a 是单射，点式纤维仿紧空间 与纤维仿紧空间是逆保持的。 关键字：仿紧；纤维映射；纤维仿紧；纤维范畴；完备映射 b s t r a c t t h ef i b r e w i s ev i e w p o i n ti se x t e n s i v e l ya d o p t e di nt h eg e n e r a lt o p o l o g i c a lt h e o r y i nf a c t ， t h e r ea p p e a rt ob ef i b r e w i s ev e r s i o n so fm a n yo ft h em a j o rc o n c e p t so ft o p o l o g y i m j a m e s h a sg i v e nt h ed e f i n i t i o n so ff i b r e w i s ec o m p a c ta n df i b r e w i s el o c a l l yc o m p a c t t h ea i mo ft h i s p a p e ri st os u p p l e m e n tf i b r e w i s ev e r s i o no ft h ed e f i n i t i o no fp a r a c o m p a c ta n di t sp r o p e r t i e s w h i c ha r ef a m i l i a rt ou si nt h eg e n e r a lt o p o l o g y t h e r e f o r e ，t h ea p p r o a c hc a nb er e g a r d e da sa f i b r e w i s ev e r s i o no ft h ep a r a c o m p a c ti nt h eg e n e r a lt o p o l o g yo rg e n e r a l i z a t i o no ff i b r e w i s e c o m p a c t i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a p e r ，p o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c tw h i c hi sw e a kd e f i n i t i o ni s p r o v i d e db yt h el i n kb e t w e e n f i b r e w i s et o p o l o g ya n dg e n e r a lt o p o l o g y m e a n w h i l e ，t h i sa r t i c l e d i s c u s ss o m ei m p o r t a n tp r o p e r t i e s ，s u c ha sh e r e d i t a r yw i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t s ，t h e c o p r o d u c to fp o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c ts p a c e si sp o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c t ，t h ep r o d u c t o fp o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c ts p a c ea n df i b r e w i s ec o m p a c ts p a c ei sp o i n tf i b r e w i s e p a r a c o m p a c t ，e v e r yp o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c th a u s d o r f fs p a c ei sf i b r e w i s er e g u l a ra n d n o r m a l ，i n v a r i a n c eo fp o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c tu n d e rc l o s e dm a p p i n g , i n v e r s ei n v a r i a n to f p o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c tu n d e rp r o p e rm a p p i n g h o w e v e r , t h ea p p r o a c ho ft h ed e f i n i t i o nc a nn o tp r o f o u n d l yr e f l e c tt h ei d e a so ff i b r e w i s e t o p o l o g y t h em a i nd i f f e r e n c eb e t w e e nf i b r e w i s et o p o l o g ya n dg e n e r a lt o p o l o g yi st h er o l eo f b a s es p a c e ，s u c ha st h em e t h o do fd e f i n i n gf i b r e w i s ec o m p a c ta n df i b r e w i s el o c a lc o m p a c tb y i m j a m e s t h e r e f o r e ，i nt h es e c o n ds e c t i o no ft h i sp a p e r ，t h ea u t h o rw o u l dl i k et oh a v ea s y s t e m a t i cw a yo fp r o d u c t i n gf i b r e w i s ep a r a c o m p a c ts p a c e s a tt h es a m et i m e ，i t sp r o p e r t i e s a l s oa r ed i s c u s s e di n t h i sp a p e r ，s u c ha sh e r e d i t a r yw i t hr e s p e c tt oc l o s e ds u b s e t s ，t h e c o p r o d u c to ff i b r e w i s ep a r a c o m p a c ts p a c e si sf i b r e w i s ep a r a c o m p a c t ，t h ep r o d u c to ff i b r e w i s e p a r a c o m p a c ts p a c ea n df i b r e w i s ec o m p a c ts p a c ei sf i b r e w i s ep a r a c o m p a c t ，e v e r yf i b r e w i s e p a r a c o m p a c th a u s d o r f fs p a c e i sf i b r e w i s er e g u l a ra n dn o r m a l ，i n v a r i a n c eo ff i b r e w i s e p a r a c o m p a c tu n d e rc l o s e dm a p p i n g ，i n v e r s ei n v a r i a n to ff i b r e w i s ep a r a c o m p a c tu n d e rp r o p e r m a p p i n g t h el a s tp a r to ft h i s a r t i c l ed i s c u s s e si n v a r i a n c ea n di n v e r s ei n v a r i a n to ff i b r e w i s e p a r a c o m p a c ti n t h et o p , c a t e g o r y ( t h eo b j e c t sa r et h ef i b r e w i s et o p o l o g i c a ls p a c e so v e r d i f f e r e n tb a s es p a c e s ，t h em o p h i s mf r o mxt oyi sap a i r ( ，a ) ) t h ef o l l o w i n ga r em a j o r c o n c l u s i o n s ： ( 1 ) m o p h i s m ( 厂，a ) ，p o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c th a u s d o r f fa n df i b r e w i s ep a r a c o m p a c t h a u s d o r f fi si n v a r i a n tw h e nfi sc l o s e df i b r e w i s ef u n c t i o na n d 九i so p e nm a p p i n g ( 2 ) m o p h i s m ( 厂，a ) ，p o i n tf i b r e w i s ep a r a c o m p a c ta n df i b r e w i s ep a r a c o m p a c ti s i n v e r s e i n v a r i a n tw h e nfi sp r o p e rf i b r e w i s ef u n c t i o na n dai si n j e c t i v e k e y w o r d s ：p a r a c o m p a c t ；f i b r e w i s ep a r a c o m p a c t ； f i b r e w i s ef u n c t i o n ；f i b r e w i s ec a t e g o r y ： p r o p e rm a p p i n g l l 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特 别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其 他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示 谢意。 学位论文作者签名： 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有 权保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权 辽宁师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容和纸质 论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 癣勰 指导教师签名： 签名日期：了予年b 月2 日 纤维拓扑的仿紧性 1 前言 1 1 问题提出 一般拓扑中，拓扑范畴t o p 是以拓扑空间为对象，以连续映射为态射的。空间和映 射的概念是同等重要的。实际上，空间也可以看成是空间到一个单点空间的映射，这样 看来空间的概念可以理解成双重概念。基于这样的思路，一般拓扑的一个分支纤维拓扑 产生了。纤维观点流行于纤维从理论中，并且许多思想来源于该理论。然而，纤维观点 在其它的理论中也非常有价值，例如：一般拓扑。事实上，许多一般拓扑中的主要概念 与结论都有其纤维对应。1 9 8 7 年，i m j a m e s 对纤维拓扑空间理论进行了系统的整理并 得到了很多有价值的结论。纤维拓扑空间是以某一拓扑空间为底的，以拓扑空间口为基 的纤维拓扑空间是一偶僻，p ) ，是由拓扑空间x 和连续映射p ：x _ 曰组成的。x 上的 纤维拓扑是使p 连续的任意拓扑。最粗的拓扑是由p 导出的，即x 的开集是b 中开集的 逆象。当底空间只有一点时，纤维拓扑空间理论就是一般拓扑理论了。早在一个世纪前， r i e m a n n 就提出了纤维拓扑的思想。然而，直到上个世纪3 0 年代初，h u r e w i c z 研究纤 维拓扑空间和稍晚一些w h i t n e y 研究纤维从理论中产生了现代纤维拓扑。w h y b u r e 是第 一个采用纤维观点的拓扑学家。c a i n 1 和其他人继w h y b u r e 之后又做了一些工作，包 括p a s y n k o w 2 和他的前苏联学生，同时产生了范畴拓扑的思想。例d y c k h o o f 3 4 3 和 j o h n s t o n e 5 3 6 3 的工作。b o o t h 和b r o w n 7 3 8 最早建立了令人满意的关于纤维映射空 间的纤维拓扑学。最近，l e w i s 9 使b o o t h - b r o w n 的拓扑学理论再次兴起。 i m j a m e s 在著作 1 0 中通过研究纤维拓扑结构和基空间的拓扑结构的内在联系， 给出了一般拓扑学中许多重要的概念与命题在纤维拓扑理论中的刻画。在纤维拓扑空间 中，许多概念都是一般拓扑中重要概念的纤维对应。在某些情况下，纤维拓扑空间具有 的特殊性质等价于它的每个纤维具有这些性质。但大多数情况下，这种等价性是不存在 的，其中基空间起到了一定的作用，例如：以b 为基的纤维拓扑空间x 是纤维紧的。若 投射p ：x _ 曰是完全映射。 本文的目的是通过运用i m j a m e s 的这种研究方法，进一步补充完善了一般拓扑学 中的其它没有给出的纤维拓扑的定义一纤维仿紧空间。i m j a m e s 在著作中给出了纤维紧 性和纤维局部紧性的定义及其相关的重要性质。而在一般拓扑中，对紧性的推广来说包 括很多，如：可数紧性、局部紧性、局部可数紧性。但是更为有用的是j d i e u d o n n 6 于 1 9 9 4 年引进的仿紧性。不仅因为我们熟知的许多不满足紧性的空间是仿紧空间，更为重 要的是仿紧性加强了分离性并且与可度量化有密切联系。在紧空间中分离性公理也变得 十分简单。要求一个拓扑空间仿紧对于拓扑空间所施加的限制比紧致要宽松，所以无论 从理论还是应用角度而言，仿紧空间是一般拓扑中的一个基本而又重要的组成部分。参 见( 1 1 1 4 3 ) 。基于仿紧性在一般拓扑中的重要地位和作用，在纤维拓扑空间中定义 纤维拓扑的仿紧性 纤维仿紧性也是非常有意义的。本文首先利用一般拓扑与纤维拓扑的联系给出了一种比 较弱化的定义一点式纤维仿紧空间，并且把一般拓扑中仿紧空间的一些重要性质也过渡 到了点式纤维仿紧空间。但是，这中定义方式不能深刻的体现纤维拓扑的思想。纤维拓 扑与一般拓扑更重要的区别是要体现基空间所起的作用。所以，本文采用i m j a m e s 给 出纤维紧空间与纤维局部紧空间的方法给出了纤维仿紧空间的定义。紧接着纤维仿紧空 间定义，与一般拓扑类似要讨论纤维仿紧空间的一些具体性质如：闭遗传、可加性、与 分离性的关系、与其它纤维紧之间的关系等等。 随着纤维拓扑乘积的不交并，纤维映射空间出现在拓扑范畴的工作中。纤维拓扑范 畴t o e 可以描述为以同底的纤维拓扑空间为对象，纤维映射或保纤维映射为态射。当口 是单元素拓扑空间时，纤维拓扑范畴t o p 等价于拓扑范畴t o p 。同样的，以不同底的 纤维拓扑空间为对象，纤维映射或保不同底的纤维映射为态射也构成了范畴，我们称之 为广义纤维拓扑范畴t o p , 。大多数数学家给出的纤维拓扑空间的定义及性质往往都是在 同底纤维拓扑空间的保持性和逆保持性，例如：纤维乘积、纤维开( 闭) 、纤维分离性、 纤维紧等等。那么自然会想到不同底的纤维拓扑空间性质的保持性和逆保持性又是怎样 的呢? 这也是本文的另外一个目的，给出纤维仿紧的定义之后在纤维范畴r o e 中讨论纤 维仿紧的保持性和逆保持性。 本文的方法即可以看成是一般拓扑 1 4 中仿紧空间的纤维化，也可以看作是 1 0 中 纤维紧的推广。 1 2 文章结构与内容简介 本文包括前言和结论，文章分成六个部分。第一节为前言，介绍了纤维拓扑的思想 来源、发展情况以及本文研究的主要问题。第二节介绍正文中的一些符号以及必要的预 备知识。第三节详细讨论了点式纤维仿紧的定义及性质。第四节把点式纤维仿紧推广为 纤维仿紧并讨论其性质。在第三、四节中主要是在同底的情况下讨论的，在此基础上， 第五节进一步讨论不同底情况的性质。第六节总结并提出有待进一步讨论的问题。 2 预备知识 令b 为基集，以b 为基的纤维集是一偶( x ，p ) ，p ：x _ b 称为投射。任意b 曰， x 。= p 。p ) 称为6 点的纤维。由于不要求p 是满射，所以纤维可以是空集。任意b cb ， x = p 。1 b7 看作是以召7 为基的纤维集。若b 是一个拓扑空间，x 是b 上的纤维集，若x 上的拓扑使得p 是连续的，则称x 上的拓扑为纤维拓扑。 2 纤维拓扑的仿紧性 x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，相应的投射分别为p ，q 。如果，：x y 满足： q 。，；p ( 即下图可交换) ，则称厂是x 到y 的纤维映射。 x 0 y 父户 君 从范畴的角度来看，以b 为基空间的纤维拓扑空间( x ，p ) 为对象，连续的纤维映射 为态射构成了一个范畴，称之为纤维拓扑范畴，记为t o p n 。目前，绝大多数的纤维性质 都是在范畴t o p n 中讨论的。具体细节内容参见 1 0 。 如无特殊声明本文所讨论的空间都是指拓扑空间，映射都是连续的，邻域都是开邻 域。 设 x ，) 是b 上的一族纤维集，兀日墨是丑上的纤维乘积，若对于一族纤维投射 珥：兀口x ，一墨，使得b 上的任意的纤维集x 与每个纤维函数族咖：x 一以，存在唯一 的纤维函数 驴：x n 口x ， 使得对每个，满足办一r g ，妒。 设【x ，) 是b 上的一族纤维集，口x ，是艿上的纤维余积，若对于一族纤维嵌入映射 q ：u bx ，呻x ，使得b 上的任意的纤维集x 与每个纤维函数族仍：墨呻x ，存在唯 一的纤维函数 驴：u 口x r x 使得对每个，满足诈= q 口c r , 。 注意：纤维乘积兀口墨与纤维余积u 占x ，是一般乘积n 五与一般余积x ，的子集。 2 1 定义：x ，y 是b 上的纤维拓扑空间，相应的投射分别为p ，q 。如果厂：x 呻】，满 足g 。厂= p 且厂是开( 闭) ，则称厂是x 至= l j y 开( 闭) 纤维映射。 2 2 定义：x 是口上的纤维拓扑空间，对于任意的x ，x e x 。，b 口，且x x7 ，若x ，x 分别存在一个邻域不包含另外一个点，则称x 是纤维z 空间。 2 3 定义：x 是b 上的纤维拓扑空问，对于任意的z ，z e x 。，b b ，且x x7 ，若x ，x 在瓦中存在不相交的邻域，则称x 是纤维h a u s d o r f f 空间。 2 4 定义：x 是曰上的纤维拓扑空间，任意点石e x 。，b e b 和x 的邻域v ，存在b 的 邻域形和x 的邻域u ，uc x ，满足x 旷nu c y ，则称x 是纤维正则空间。 2 5 定义：x 是b 上的纤维拓扑空间，任意点be b ，h ，k 是x 的两个不交闭子集， 3 纤维拓扑的仿紧性 存在b 的邻域与如n 日，工矽n k 两个不交的邻域u ，v ，则称x 是纤维正规空间。 2 6 命题：x 是曰上的纤维正则空间，当且仅当任意点x e x 。，b e b ，x 的闭集f 且x 岳f ，存在b 的邻域矽，缸】与f 在b 中是邻域分离的。 证明：( 号) 任意点x e x 。，be b ，x 的闭集f 且z 硭，x f 是x 的开邻域。x 是纤维i e n 空间，存在b 的邻域形和x 的邻域u ，ucx 彤，满足而n u c x ，于是 f c x x nu ，所以，n ( x 而n u ) 与u 是缸，与f 在b 中的不交邻域。 ( # ) 任意点xe x 。，be b ，v 是x 的任意开邻域，x y 是x 的闭集且z 隹x y 。 由题设，存在b 的邻域形，缸】与x y 在b 存在不交的邻域以，u ：，使得 x bn 阢，x yc n u 2 ，则 n u 。cb nu 2c y 所以，x 是口上的纤维正则空间。 2 7 命题：x 是b 上的纤维正规空间，当且仅当任意点b e b ，x 的闭子集4 和a 的 邻域y ，存在b 的邻域形和a 的邻域u ，uc x ，满足x 矿n u cv 。 证明：证明方法与上述命题相同，只需将缸】换成a 即可证明结论。 2 8 定义：x 是口上的纤维拓扑空间，x 是纤维紧空间如果任意x 。，b e b ，对于x 。 的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在b 的邻域形和r 的有限子覆盖r ，使得r7 覆 盖x 。 2 9 命题“幻：x 是口上的纤维拓扑空间，则拓扑空间x 是点式纤维可数紧空间当且 仅当任意也，b e b ，x 。中任意序列在x 。中都有聚点。 2 1 0 定义：如果拓扑空间x 的任意开覆盖r ，都存在局部有限开覆盖r 7 加细r ， 则称x 是仿紧空间。 2 1 l 命题n 引：x 是正则空间，x 是仿紧空间则x 的每个开覆盖都有闭局部有限加 细覆盖。 2 1 2 命题n4 l ：x 是正则空间，x 是仿紧空间当且仅当x 的每个开覆盖都有闭包保 持加细覆盖。 2 1 3 命题n 引：闭集族托) 目是闭包保持的当且仅当对于任意的，。c ，都有ua 是 t - ! o 闭集。 2 1 4 定义：x ，y 是两个拓扑空间，若映射厂：x _ y 是闭的，且对每一个y e y ， 厂1 ( y ) 是紧集，则称厂是完全映射。 2 1 5 定义：x 是b 上的纤维拓扑空间，】，是d 上的纤维拓扑空间，相应的投射分 别为p ，q ，如果厂：x y ，a ：b _ d 满足下图可交换，且对任意x 。，b b 使得 4 纤维拓扑的仿紧性 i x 。】= k ( 厶) ，则称厂是xn y 的不同底保纤维映射。 x y 夕| r上q b啼d a 同样，以不同底的纤维拓扑( x ，p ) 为对象，以不同底保纤维映射为态射也构成了一 个范畴，我们称之为广义纤维拓扑范畴，记为r o e 。当b = d ，a = i d 时，范畴t o p 就是 t o p b ，所以t o p 范畴是z t o p b 范畴的推广。由于是不同底空间，t o e 范畴的对象一般 写为( x ，p ，b ) 的形式，态射记为( 厂，a ) e h o m ( x ，y ) ，其中厂是纤维拓扑空间之间的映射， a 是两个不同底空间之间的映射。 3 点式纤维仿紧空间 在文献 1 0 中，纤维观点与一般拓扑的结合给出了纤维紧的定义。一般拓扑中，作 为紧性空间的推广提出了仿紧空间的概念。同样，纤维仿紧怎么定义呢? 在前言的背景 知识中提n - 以拓扑空间b 为基的纤维拓扑空间，p ) ，当底空间只有一点时，纤维拓 扑空间理论就是一般拓扑理论了。这就给我们一种思路，要想从一般拓扑过渡到纤维拓 扑必须考虑每个纤维性质。那么依据这种方式，定义纤维仿紧性要考虑每个纤维的仿紧 性。下面讨论由一般拓扑中仿紧空间过渡而来的点式纤维仿紧空间及其性质。 3 1 点式纤维仿紧定义 3 1 - 1 定义：x 是召上的纤维拓扑空间，x 是点式纤维仿紧空间如果任意的也， b e b ，对于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在局部有限覆盖r 加细r ，使 得r7 覆盖x 。 例：令x = r ，b = r z ，p ：r _ r z 。任意点b b 的纤维x 。是离散拓扑，因为 玩的单点集族是瓦的覆盖、局部有限加细瓦的任意覆盖。 3 1 2 命题：x 是b 上的纤维正则空间，x 是点式纤维仿紧空间，则任意的x 。，b e b 对于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在闭局部有限覆盖r7 加细r ，使得r7 覆 盖x 6 。 证明：任意的x 。，b e b ，设 ，；，为瓦的丌覆盖。x 是口上的纤维i f 则空间，则 5 纤维拓扑的仿紧性 x e x b ，工u ，存在b 的邻域与石的开邻域k ，满足：bn v , c 阢。则形k 是姒b 的开加细覆盖。x 是点式纤维仿紧空间，存在局部有限加细覆盖 f i e ，使得覆盖瓦， 则 曩) j ，是戳k 的闭局部有限加细覆盖，使得覆盖也。 3 1 3 命题：x 是b 上的纤维正则空间，x 是点式纤维仿紧空间，当且仅当任意 x b ，b e b ，对于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在闭包保持覆盖r 加细r ， 使得r 覆盖x 。 证明：由命题2 1 2 与定义3 1 1 易证。 3 2 点式纤维仿紧空间的性质 一般拓扑中，仿紧性之所以重要是因为它具有一些很好的性质。比如说它和分离 性有密切的关系。由一般拓扑和纤维拓扑的关系，相应的一般拓扑中仿紧性质也可以过 渡到点式纤维仿紧空间。给出了点式纤维仿紧的定义后，将迸一步在t o p b 中讨论点式 纤维仿紧的性质。例如：是否具有遗传性? 点式纤维仿紧空间的和是否还是点式纤维仿 紧空间? 点式纤维仿紧空间的乘积是否是点式纤维仿紧空间? 点式纤维仿紧空间与分 离性有什么样的关系? 以及映射满足什么条件下点式纤维仿紧空间是保持的( 逆保持 的) 。下面就这些问题进行讨论。 3 2 1 命题：点式纤维仿紧空间的每个闭子空间也是点式纤维仿紧空间。 证明：设x 是口上的纤维拓扑空间，a 为x 的闭子空间。对任意的4 ，b e b ，则存 在x b ，b e b ，使得4 = x bn a 。设 4 ) 魁为4 的由a 的开集组成的开覆盖，则存在x 的 开集族 阢l ，使得4 = an 。则 ( u ) u a 。d 旄 t - i 因为x 是点式纤维仿紧空间，则存在局部有限加细覆盖 c k 覆盖以，即u g3 讫。 l t = l 则 ( u g ) n a3 x bn 彳 l = 三f 得 u ( en a ) d4 l = ， 即似】。，存在局部有限加细覆盖 c fn a ，使得 c n a i ，覆盖瓦。所以，a 也是点式 纤维仿紧空间。 3 2 2 命题： x ，) ，豇是b 上的一族互不相交的纤维拓扑空间，则纤维拓扑和u 口x ， 也是点式纤维仿紧的当且仅当 x ，) ，懿是点式纤维仿紧空i 日j 。 6 纤维拓扑的仿紧性 证明：( 号) 任意邑cu 口鼍，b e b 。 u i k 为以的丌覆盖，则对任意的se s u ( 阢nt ) 为x s 。的开覆盖。因为x ，是点式纤维仿紧空间，则存在局部有限加细覆盖形，b 。 使得 旦k 。 以。 则 u 。一uk 。 盟x 一瓦 蚯i l 。s s 。 所以，纤维拓扑和u 口置也是点式纤维仿紧的。 ( 仁) 对任意的k 。be b ，设 玑。k 是置。的开覆盖，则 u uu 。 ，e s f ，l 构成了五2 望鼍。的开覆盖。因为u b 墨是点式纤维仿紧空间，则存在帆。：i e ，s s 】 的局部有限加细覆盖 k ：i e l ，s s ，使得 u uk ： 邑 ，日i e l 则 ( uuk ：) n 墨 也n 置 得 望k ，3k f ， 。 所以， 置k 是点式纤维仿紧空间。 3 2 3 命题：x 是b 上的点式纤维仿紧空间，y 是8 上的纤维紧空间，则x y 是 b 上的点式纤维仿紧空间。 证明：任意的x x 6y ，b e b ，设姒bk ) 埘是xx 6y 的开覆盖。因为y 是纤维紧 空间，则任意的z x t , ，缸) 毪y 是纤维紧的。则存在，的有限集l 使 x ，6y c u ( u i 日v i ) i r - j ， 若令u ( x ) = n ，则 1 日。 z ycu ( 汐( x ) 口k ) l t ，。 因为x 是点式纤维仿紧空间，令 d o ) ：x e x b ) 为一一细分缈g ) x e x 。) 的局部有限加 细覆盖，则 d ) x 口：i i x ，x e x 6 ) 7 纤维拓扑的仿紧性 是加细 阢hk l ，的局部有限覆盖，使得 x 6ycu ( d ) 口k ) t f - i o 所以，x by 是点式纤维仿紧空间。 3 2 4 命题：每个点式纤维仿紧的且纤维正则空间是纤维正规空间。 证明：设x 是点式纤维仿紧且纤维正则空间，对于任意点b e b ，令a 是x 的闭集， y 为4 的任意开邻域。任意x e an 邑= 4 ，v 都是x 的开邻域。由于x 是纤维正则的， 则存在b 的邻域睨与x 的开邻域u o ) 且u 0 ) cx 毗，满足 hn u ) c y 显然 影o ) ：x e 以 构成了4 b 的开覆盖。于是 o ) ：x 4 b u a o 。 是a 的一个开覆盖。因为x 是点式纤维仿紧，彳是闭集，所以a 是点式纤维仿紧的。则 存在局部有限加细覆盖设为 d i ) ；髫，u = u 毋是a 的开邻域， l f f ：i u = u 皿cuu o ) c y l e j e ：一 令w = u 巩，使得 上 x n uc y 所以，x 是纤维正规空间。 3 2 5 命题：每个点式纤维仿紧的且纤维h a u s d o r f f 空间是纤维正规空间。 证明：由命题3 2 4 知，只需证明x 是点式纤维仿紧的且纤维h a u s d o r f f 空间是纤 维正则空间。任意x e x b ，b e b ，u 是x 的一个邻域。由于x 是纤维h a u s d o r f f 空间， 则任意点x e x 。，x r 譬u ，存在x 的邻域圪，与z 的邻域嘭，使得 k ，n 嵋= m 对于工( x u ) 。， 嘭 构成了( x u ) 6 的一个开覆盖。( x u ) 。是闭集，由命题3 2 1 知( x u ) 。也是点式纤维仿紧的，则存在瓦( 瓦n u ) 的局部有限加细覆盖设为 皿一z ( x u ) 6 令d =ud 。， j 鱼z 一，) 6 万；u 瓦 x c - ( x - u ) 6 显然z 硭d 。若x e d ，则必存在见，使x e 皿，。由于 d f l ，加细 k ，：工e ( x u ) 。) ， 8 纤维拓扑的仿紧性 则存在某个屹，使得q ，c 屹，于是皿，ck 。与石岳屹，矛盾。因此y = x 。d 是x 的开 邻域，vcx b ，邑n vcu 。所以，x 是纤维正规的。 3 2 6 命题：x 是8 上的点式纤维仿紧且纤维h a u s d o r f f 空间，若纤维映射 f ：x 呻】，是闭纤维满映射，则y 也是b 上的点式纤维仿紧空间。 证明：首先证明y 是纤维正则空间。由命题3 2 5 得到x 是纤维正规的。任意y k ， b e b ，日是y 的闭子集r y q 差h 。取x f - i ( y ) ，x e 瓦，k = 厂- 1 ( h ) 是x 的闭集且x 诺k 。 由于x 是纤维正规的，则存在b 的邻域职仁】与n k 在x 矽中存在不交邻域u 与。 记 ki 厂( b nu ) ，= f ( x 形bn u ：) 显然k ，是的开集且kn 一，使得y k ，hn 弓ck 。所以，y 是纤维正则 空间。 设 4 ) 矧是k ，6 b 的任意开覆盖，则 厂1 ) k 甘为x 。的开覆盖。由命题3 1 3 知存 在闭包保持加细覆盖【丘k ，使得 曩覆盖以。x 是纤维正则空间，不妨设 k ，是 一个闭覆盖，使得 厂( e ) k 覆盖k ，显然 厂 ) l ，是 4 l ，的闭加细覆盖。由，是纤维 闭映射，则 u ，厂( e ) = 厂( u e ) ( i c ，) l t = l 叫 为闭集。由命题2 1 3 可知 ，( 曩) k 是闭包保持的。所以，】，也是b 上的点式纤维仿紧 空间。 3 2 7 命题：x 是b 上的纤维拓扑空间，y 是曰上的点式纤维仿紧空间。若纤维映 射f ：石呻y 是完全纤维映射，则x 也是曰上的点式纤维仿紧空间。 证明：任意彳。，b e b ，设 t ) ，是瓦的一个开覆盖，对于y k ，由于，是纤维 完全映射，则厂1 ( y ) 是紧集，则可以确定有限集l ，使 厂- 1 ( y ) cuu k l 曰。 若令u ( y ) = k 厂( 以v o ，因为，是闭的，故u ( ) ，) 是y 的一个开邻域。 u ( y ) ，e l f b 构成 了k 的开覆盖。y 是点式纤维仿紧空间，则存在局部有限加细覆盖 d ( y ) 】，或使得 ud ( y ) k y k 所以 厂1 【ud ( y ) 】3 厂1 佴) y b 得到 9 纤维拓扑的仿紧性 u 厂。1 【d ( y ) 】3 x b y - r b 由于 ，。1 【d ( y ) 】c 厂- 1 【u ( y ) 】c 圪 则 厂- 1 【d ( y ) 】nu i ：f l ，y y b 是瓦的局部有限加细覆盖。所以，x 是b 上的点式纤维仿紧空间。 4 纤维仿紧空间 纤维拓扑与一般拓扑更重要的区别是要体现基空间所起的作用。点式纤维仿紧的这 种定义方式不能深刻的体现纤维拓扑的思想，它是一种弱化的定义。这一节将把其推广 为纤维仿紧，底空间b 发挥了一定的作用。文献 1 0 中提出了纤维紧的定义与性质。其 中纤维紧的定义是x 是b 上的纤维紧空间如果投射p 是完全映射。还提到了一个等价定 义：x 是8 上的纤维拓扑空间，x 是纤维紧空间如果任意x b ，6 b ，对于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在b 的邻域和r 的有限子覆盖r ，使得r 覆盖x 。通 过等价定义，我们可以清楚的看到其中底空间起到一定的作用。更重要的是利用这个等 价定义我们更容易过渡到纤维仿紧，并且与纤维紧建立起联系。 4 。1 纤维仿紧定义 4 1 i 定义：x 是b 上的纤维拓扑空间，x 是纤维仿紧空间如果任意的x b ，b e b 对于x 。的每个由x 的丌集组成的开覆盖r ，都存在b 的邻域形与局部有限覆盖r 加细 r ，使得r 覆盖x 。 该定义方式不仅要考虑一般拓扑的仿紧性与每个纤维的直接的联系，而且要考虑它 和底空间邻域纤维的关系。 由纤维紧与纤维仿紧的定义，易知纤维紧空间一定是纤维仿紧空间。反之不成立。 4 1 2 命题：x 是b 上的纤维正则空间，x 是纤维仿紧空间，则任意x 。，b 曰，对 于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖f ，都存在b 的邻域与闭局部有限覆盖r 加细 r ，使得r 覆盖x 。 证明：任意的x 。，b e b ，设影，b 为x 。的开覆盖。x 是8 上的纤维正则空间，则 z x 。，x u i ，存在b 的邻域形与x 的开邻域杉，满足：x 矿n kc u ，则形) 魁是，) 列 1 0 纤维拓扑的仿紧性 的开加细覆盖。x 是纤维仿紧空间，存在局部有限加细覆盖 e k ，使得覆盖x 矽，则 伍l ，是 u i k 的闭局部有限加细覆盖，使得覆盖x 矽。 4 1 3 命题：x 是曰上的纤维正则空间，x 是纤维仿紧空间，当且仅当任意 x 。，6 口，对于x 。的每个由x 的开集组成的开覆盖r ，都存在b 的邻域矽与闭包保持 覆盖r 加细r ，使得r 7 覆盖x 。 证明：由命题2 1 2 与定义4 1 1 易证。 4 1 4 命题：x 是b 上的纤维紧空间营x 是点式纤维可数紧的纤维仿紧空间。 证明：( 号) 显然成立。 ( 仁) 任意x 。，6 曰，假设x 不是紧空间，则存在艺的一个开覆盖 4 k 没有有限子 覆盖。因为x 是纤维仿紧的，则存在b 的邻域与咒的局部有限加细覆盖 e ) j ，使 得 c h ，覆盖勘。当然， g ) 魁也不存在有限子覆盖。因此在 c f k 中选取c 1 ，c 2 g ， 使 疗一1 c c uq m l - l 对于每一个咒o = 1 , 2 ) ，取矗瓦，取e ，则也中的序列k ) 无聚点。事实上，若 x e x t , 是怯) 的聚点，由聚点的定义知，对x 的任意邻域u ，u 必含有序列 以) 的无限多 个点，从而u 与无限多个e 相交，这与 c i l 耳是局部有限族矛盾。于是x 不是点式纤 维可数空间，这与定理矛盾。所以，x 是b 上的纤维紧空间。 4 2 纤维仿紧空间的性质 在一般拓扑中，作为紧空间的推广，仿紧空间很大程度上保持了紧空间的许多好的 性质，那么在纤维拓扑中，纤维仿紧是否也保持了纤维紧的一些好的性质呢? 这就是本 节要讨论的问题。 4 2 1 命题：纤维仿紧空间的每个闭子空间也是纤维仿紧空间。 证明：设x 是b 上的纤维拓扑空间，a 为x 的闭子空间。对任意的4 i ，b b ，则存 在x 。，6 b ，使得4 = x bna 。设 4 k 为4 的开覆盖，则存在x 的开集族 u l ， 使得4 ；anu ，。于是 ( u u i ) u a 。dx b t - - 因为x 是纤维仿紧空间，则存在b 的邻域与局部有限加细覆盖 c i b 覆盖x ，即 u e x 。则 纤维拓扑的仿紧性 ( u e ) n a3 x 旷n 彳 得 u ( c fn a ) 向 即x 。存在局部有限加细覆盖 c fn 彳l ，使得 cn 彳k ，覆盖锄。所以，a 也是b 上的 纤维仿紧空间。 4 2 2 命题： 鼍) 魁是b 上的一族互不相交的纤维拓扑空间，则纤维拓扑和u 口x ， 也是纤维仿紧的当且仅当 墨k 是纤维仿紧空间且s 是有限集。 证明：( 号) 任意瓦cu 口t ，b e b 。 u i ) 魁为以的开覆盖，则对任, 意的s e s u ( 玑n 墨) 为墨。的开覆盖。因为墨是纤维仿紧空间，则存在6 的邻域形与局部有限加细覆盖 形。k 。使得 岂k 。 墨 所以，存在6 的邻域形2 g 形与石a 的局部有限加细覆盖旦g k 。，使得 删uu 甘k 。 旦kd x w 所以，纤维拓扑和u 丑x ，也是曰上的纤维仿紧空间。 ( 鲁) 对于任意的五。，6 曰，设 玑，k 是鼍。的开覆盖， uu 玑， 构成了瓦一u 鼍。的开覆盖。因为1 1 口x ，是纤维仿紧空间，则存在6 的邻域形与 以，：f ，s s ) 的局部有限加细覆盖形，：i ，s s ) ，使得 u uk x 0 则 ( uu k ，) n x ， x n x ， 得 g 3 以， 所以， 墨l 口是b 上的纤维仿紧空问。 4 2 3 命题：x 是b 上的纤维仿紧空间，y 是b 上的纤维紧空间，则x 口y 是纤维 仿紧空间。 证明：任意的x y ，6 b ，设 u i 口杉】吲是x y 的开覆盖。因为y 是