（基础数学专业论文）强拟凸域上边界摄动的bm型积分的稳定性.pdf

强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 摘要 本文讨论了强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性问题，并讨论了摄动 对b m 公式的影响 第一章足预备知识，主要介绍了一些重要的定义和引理，如强多次调和函数， 强拟凸域，复流形的定向，和强多次调和c 2 函数等 本文的主要结果放在第二章 第。节介绍了b - m 型积分垂( 妒) ( z ) = s c e d d 妒( ( ) k ( ( ，z ) ，名o d ，在b - m 积 分的积分边界引入一个摄动因子r ( 这里r 为强多次调和函数) ，摄动后的边界 为a 研( 名。= 2 + r ( z ) o d ，z o d ) ，于是得到边界摄动的b - m 型积分： 币，( 妒) ( z ) = 止a d ，妒( ( + ) ( ( ，z ) = 工a d 妒 + r ( 芒 ) j r 0 + r ( ) ，：) 第二节介绍了全纯函数的b m 公式，并讨论了摄动函数r 对它的影响，得到 全纯函数的b - m 公式的积分边界受到摄动以后，b - m 公式足相对稳定的，并具有 形式上的美同时也得到相关的结论：全纯函数受r 摄动以后，仍为全纯函数； 具有逐块c ：一光滑边界的强拟凸域经r 摄动以后，仍具有逐块伊一光滑边界； 但强多次调和函数经r 摄动以后，未必保持原有性质 第三节讨论了边界摄动的b m 型积分的稳定性第二节全纯函数的b - m 公式 涉及到全纯函数，而本节的b m 型积分涉及到的足满足h s l d e r 条件的函数，用 c a u c h y 主值讨论b m 型积分的稳定性，可得边界摄动的b - m 型积分是稳定的， 可控制的 第四节介绍了算子b a d ，算子8 d 第五节介绍了连续函数的b m 公式，并讨论了边界摄动对该b - m 公式的影 响得到连续函数的b - m 公式的积分边界受到摄动以后，保持相对稳定，并具有 形式上的美当连续函数加强条件为全纯函数时，结论与第二章第二节的结果是 吻合的 关键词：b m 型积分；边界摄动；强拟凸域；稳定性 1 1 1 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性i v a b s t r a c t i n t h i sa r t i c l e ，ap e r t u r b a t i o nf a c t o rrw a si n t r o d u c e di n t ot h ei n t e g r a l b o u n d a r yo ft h eb o c h n e r m a r t i n e l l ii n t e g r a l so ns t r i c t l yp e s u d o c o n v e xd o m a i n w h e nt h en o r mo fri ss m a l le n o u g h ，t h eb mi n t e g r a l sa r es t e a d ya n dc o n - t r o l l a b l e a n dt h ei n f l u e n c eo frt ob mf o r m u l aw a sa l s oa r g u e d i nc h a p t e ro n e ，t h e r ei ss o m ep r e p a r i n gk n o w l e d g e i tm a i n l yi n t r o d u c e d s o m ed e f i n i t i o n sa n dl e m m a s ：s u c ha ss t r i c t l yp l u r i s u b h a r m o n i cf u n c t i o n s ，s t r i c t l y p s e u d o c o n v e xd o m a i n ，t h eo r i e n t a t i o no fc o m p l e xm a n i f o l d s ，t h en o r mf o rs t r i c t l y p l u r i s u b h a r m o n i cc 2f u n c t i o n s ，a n ds oo n t h em a i nr e s u l t sa r ei nc h a p t e rt w o t h eb o c h n e r m a r t i n e l l ii n t e g r a l s 西( 妒) ( z ) = 止刁d 妒( ) k ( ( ，z ) ，z o d i si n t r o d u c e di nt h ef i r s tp a r t ap e r - t u r b a t i n gf a c t o rri si n t r o d u c e dt ot h ei n t e g r a lb o u n d a r yo ft h e & mi n t e - g r a l s ( t h erh e r ei sas t r i c t l yp l u r i s u b h a r m o n i cf u n c t i o n ) t h ep e r t u r b a t e d b o u n d a r yi so d ，( z 。：z + r ( z ) o d ，z o d ) s ow eg e tt h ee l - mi n t e - g r a l sw i t hp e r t u r b a t e di n t e g r a lb o u n d a r y 圣r ( 妒) ( z ) = 止。a d ，妒( j 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人完全了解厦门大学有关保留、使用学位论文的规定。 厦门大学有权保留并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的纸质版和电子版，有权将学位论文用于非赢利目的的 少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位 论文的内容编入有关数据库进行检索，有权将学位论文的 标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在解密后适用本规 定。 本学位论文属于 1 、保密() ，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密卜 ( 请在以上相应括号内打“ 力) 作者签名： 参翻 7日期：功p 萨旷月巾 导师签名：陇昌揖 日期：如口譬年r 月，7 日 强拟凸域上边界摄动的1 3 m 型积分的稳定性 引言 解析函数的边值问题和奇异积分方程当边界曲线发生摄动时是否仍然可解， 其解是否稳定，这尾个在理论上和应用上都有良好前景的课题最早对这类问 题的讨论应追溯到1 9 3 7 年m v k e l d y s h 和m a l a v r e n d e v l l l ，m v k e l d y s h 及后 来文献( 3 】关于调和函数的d i r i c h l e t 问题在边界发生摄动时的稳定性研究最近 几年，这些问题已成为研究热点本文讨论了强拟凸域上边界摄动的b m 型积分 的稳定陛问题，并讨论了摄动对b - m 公式的影响 本文分两章，第一章主要介绍了些重要的定义和引理，如强多次调和函数， 强拟凸域，复流形的定向，和强多次调和c ：函数等第二章囊括了本文的主要结 果，共分四节第一节介绍了b - m 型积分，并讨论了边界摄动的b m 型积分，第 二节介绍了全纯函数的b - m 公式，并讨论了摄动对它的影响第三节讨论了边界 摄动的b - m 型积分的稳定性第四节介绍了算子1 3 0 d 和b o 第五节介绍了解析 函数的b - m 公式，并讨论了摄动函数对它的影响 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 2 第一章预备知识 先回顾单复变有关定义： 定义1 ：令d c 1 是一个开集，d 上的们奎续的次调和函数是个连续函 数p ：d r 1 ，使得下列条件满足：任意的d 及所有的0 r 0 ，对任意的z d 下面过渡到多复变的情况： 定义1 1 1 1 l ：令dsc “是个开集， ( i ) d 中的个连续多次调和函数足一个连续函数p ：d r ，使得下列条件满 足：任意的tu c n ，函数( 一p ( p + o ) 在c 1 上是次调和的d 匕连续多次调 和函数的集合，记为p o ( d ) ( i i ) 个c 2 函数p ：d r 1 称为强多次调和的，如果对任意的2 ，u 伊，u 0 ， 函数( 一p ( z + ) 在c 1 上足强次调和的 定义2 1 1 1 j ：个开集d 妄c ”称为是拟凸的，如果函数一l n d i s t ( z ，o d ) 在d 足多次调和的c n 称为是拟凸的 命题：令d 伊是个开集，如果在o d 的某个领域0 ，存在个连续多次 调和p ，使得d no = 名0 ：p ( z ) o ) ，则d 足拟凸的 定义3 1 n 1 ；令dc cc n 是个开集d 称为足强拟凸的，如果在d 的边界 o d 的某个领域0 存在个强多次调和俨函数p ，使得d n0 = 名口：j 口( 2 ) o i 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 3 拟凸域( 强拟凸域) 的等价定义： 设x 足一n 维复流形，dcx 为一区域，0 d ，若存在z 。的个领域 u 与个定义在u 上的实值c z 函数妒使得： ( i ) dnu = z u ：妒( ：) o ) ，f 0 则称0 d 在点z 。是拟凸的( 强拟凸的) ；如果0 d 上每一点都足拟凸的( 强拟凸 的) ，则称d 为拟凸域( 强拟凸域) 定义4 1 1 1 ：设x 足一礼维复流形如果dc cx 足强拟凸开集，d 的边界 o d 称为逐块c 。的，如果存在开集，场，h 包含于x ，及岛函数p k ：磙一 r ，k = 1 ，2 ，n ，使得下列条件满足： ( i ) o d huku v n ( i i ) z ( uv 2u 1 - ) 且z d 铮1 后n ，：v k ，p k ( z ) 0 ( i i i ) 任意指标集1 七l 岛n ，有d p k 。ad p 女。a ad p k 。0 ，石 k 。n k ：n k 。 定义5 1 1 1 i ；设dc cx 足具有逐块c 2 一边界的强拟凸开集 对x 选择下列定向：如果z 2 ，o 。足x 中的局部全纯坐标，且巧足相应的实 坐标，使得乃= + 锄+ 。，则形式如，ad z 2a ad a ：。定义了x 的个定向 设乳：= 名o d n v k ：p k ( z ) = o ) ，七= 1 ，2 ，n ，其中皈和p k 如逐块c 2 一边界 的定义中所示。对任意的整数集k = ( k l ，k ，觑) ，1 七l ，幻h ，当h ，k 2 ，k l 两两不同时定义；s k ：= & 。n n & 。，其它的则定义：s u ：= o 我们选择s k 的一 个定向，使得o d = 丝，s k 及o s k = 墨。其中o d 与o s k 的定向分别由d 和的定向诱导k = ( k l ，乜，k 1 ) ，k j ：= ( 七- ，也，硒，j ) 定义6 f l l i ：设0 为o d 的领域，使得0c cx ，记磁( 口) 为0 上的强多次 调和俨一函数类，如果妒足z 百某领域的强多次调和c 。函数，可找到函数 勺c 罗( 巧) ，羔l 勺= 1 ，贝0 定义： o 妒( z ) i l z ：= i 妒( ：) l + 二。q ( z ) 【罂。i 甏警l + 器；。i 蒜| 】 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 记： i i 妒1 1 2 口：= s u p ：di i 妒( z ) 1 1 2 ，0 妒1 2 ：= i i ￥ 1 1 2 口+ i l 妒1 1 2 ，口 对百的邻域赋予范数”i 2 e ，所得的强多次调和c z 一函数赋范空问记为m ：( 蚕) 第二章b m 型积分的稳定性 第一节b m 型积分与边界摄动的b m 积分 b m 型积分： 西( 妒) ( z ) = 正a d 妒( ( ) k ( ( ，：) ，z o d ， 其中k ( ( ，：) = 筠带塑铲为b - m 核妒为o d 某领域p 的强多次调和函数 ( 一乏) = i ( 一1 ) j 一1 ( 6 弓) d 6 p 6 j d 三，u ( ( ) = d 0 ，下证未必有妒0 + ( t ) ) r ( d ) ： 令q = t + r ( t ) ，则o _ m e = 器鬻= a o _ q e ( 1 + 甓) ，舞= 菇南譬( 1 + 象) + 器盎 无法判断甏和嘉的符号 妒( t + r ( t ) ) 未必足多次调和函数即未必有妒( t + r ( t ) ) p h ( d ) 注2 ：( a ) 性质1 说明在强拟凸域d 上全纯，在d 上连续的函数妒( ) ，经 强多次调和函数r ( ) 摄动以后，仍保持原有的性质 强拟凸域上边界摄动的b - m 型积分的稳定性8 ( b ) 性质1 的推论说明了，具有c z 一逐块光滑边界a d 经r ( t ) 摄动以后，仍为 逐块c 。一光滑边界 ( c ) 性质2 说明了，d 上的强多次调和函数妒( t ) ，经r ( ) 摄动后，未必足强多 次调和函数。 第三节边界摄动的b m 型积分的稳定性 本节t , - t f e 了边界摄动的b m 型积分的稳定性上节全纯函数的b - m 公式 涉及到全纯函数，而本节的b - m 型积分涉及到的足满足h s i d e r 条件的函数，用 c a u c h y 主值讨论b - m 型积分的稳定性，可得边界摄动的b m 型积分足稳定的， 可控制的 ( a ) 光滑可定向流形【4 1 设d 足复变数( 钆，z 。) 空间c “中的一有界域，z 。= t 。+ i u 。+ 。，( q = 1 ，棚) ， 其边界记o d = q 是通过原点的俨类2 n 一1 维光滑可定向流形，它在原点附近 的方程为：f ( u l ，一2 。) = 0 ，d ( d ) 表示d 的直径，y ( n ) 为q 的体积，q 在( 的 法线记作n ( 若在q 上对变元专求积分，则记q 为q ，q 的体积元素为d & ，并记 盯c ( ( ，) = q nb e ( ) ，。( ( ，f ) = q e 一盯c ( ( ，) ( b ) 满足h s l d e r 条件的函数 4 1 一定义在q 上的函数妒( f ) 称为适合指数为q 的h s l d e r 条件，并记作妒( f ) h ( o ，q ) ，如果对q 上任意二点f 与町，恒有l 妒( ) 一妒( 7 7 ) l m 培一巾，0 q 1 ，其中 m 为一常数i p ( f ，叩) h ( q ，q ) 指妒( ，叼) 分别作为与7 1 的函数皆属于h ( a ，q ) ， h ( n ) = u o 。 l h ( a ，q ) ( c ) 具b o c h n e r m a r t i n e l l i 核的多维奇异积分的c a u c h y 主值【4 】 记b m 核为：k ( z ，( ) = u ( ( 一名，f 一牙) = 盯麓l ( 一1 ) 丽1f 辛一d ( a ，其中 盯= 滞 定义7 1 1 1 1 ：设妒( ( ) 为定义在q 上的函数，积分币( ( ) = s o 。妒( f ) k ( ( ，) ，( q 称为在q 上的奇异积分这个奇异积分的值用以下的c a u c h y 主值矿p 圣( ( ) = l i m 。一。止f 。1 妒( ) k ( ( ，) ， q 来定义它如果妒( ) 满足h 条件，那么它的主值 。、， 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 9 是存在的 ( d ) 边界摄动的b m 型积分的稳定性 引理2 4 1 如果q = o d 为可定向光滑的伊类流形，妒( 乏) 为在q 上定义的连 续多值函数，且妒( f ) ( n ，q ) ，那么对于丑一m 型积分圣= 矗。妒( ) k 心名) ，2 d ， 有西+ ( z ) = 矿p 厶；妒( t ) k ( t ，。) + ；妒( z ) ，雪一( z ) = 矿p 正k 妒( t ) k ( t ，z ) 一 妒( z ) ，其中m + ( z ) 与圣一如) 分别表示币( 名) 当z 从d + 和从d 一趋于。q 时的极限 因此对妒( ) 日( q q ) ，在o d ，上的内外边值分别为： ，1 圣，( 妒) ( z ) = 驴只妒( + r ( ) ) k ( t + r ( f ) ，z ) + ；妒0 ) jr e a d 。 ，1 圣i ( 妒) ( z ) = 矿p 妒( t - i - r o ) ) k ( t + ， ( t ) ，z ) 一；妒( z ) 由解析函数最大模原理，存在t + o d u o d ，使得 i 垂，( 妒) ( t ) 一圣( 妒) ( r ) l = 望! 坚 i 西r ( 妒) ( 名) 一圣( 妒) ( z ) i ；d 了n d + ( i ) 若t o dno d ，( r j p 既含有o d 的点，又含有o d ，的点) ，则存在t 。o d ，使 得t = t 。+ r ( t 。) ，从而存在常数m ，使得 i 西，( 妒) ) 一圣( 妒) ( 扩) i i 圣，( 妒) ( 拓+ r ( 坛) ) 一圣+ ( 1 p ) ( 坛) i + j 圣+ ( 谚( o ) 一圣+ ( 妒) ( b + r ( 如) ) l m ( i i ) 若t c g d o d ，( 即只含有o d 的点，而不含有o d ，的点) ，则存在t 。o d ， 使得t = t 。+ r ( t 。) ，从而存在常数m ，使得 i 垂，( 妒) ( t ) 一面( 妒) ( 亡) i i 垂，( 妒) ( t + ) 一圣，( 妒) 0 + + r ( + ) ) + l 圣，( 妒) ( 矿+ r ( t + ) ) 一垂+ ( 妒) ( + ) i m ( i i i ) 若t o d ，一o d ( 即只含有o d ，的点，而不含有o d 的点) ，则存在t 。o d ， 使得t = t 。+ r ( t 。) ，从而存在常数m ，使得 i 圣，( 妒) ( ) 一圣( 妒) ( r ) l l 西，( 妒) ( t 。+ r ( 亡o ) ) 一西+ ( 妒) ( 如) i + i 垂+ ( 妒) ( 如) 一垂( 妒) ( 如+ r 。) ) l m 因此m a x ：而n 万了i 垂r ( 妒) ) 一垂( 妒) ( 2 ) lsm 同理m a x ：丽萨阻( 妒) ( 。) 一垂( 妒) ( z ) i m 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 1 0 先证( i ) 事实上： l 垂，( 妒) 。+ r ( t 。) ) 一垂+ ( 妒) ( t 。) i = i v p 正a d 妒o + r ( t ) ) t c ( t + r o ) ，t 。+ r ( t 。) ) + 妒( 芒o + r ( t 。) ) 一矿尸- 厶d 妒( ) k ( ，t 。) 一 妒( t 。) i i v e 正a d 妒( + r 0 ) ) + ? ( t ) ，t 。+ r ( t 。) ) 一矿p y o d 妒( ) k ，t 。) i + i 妒o 。+ r ( t 。) ) 一妒0 。) i = i 矿p 由，( 亡o + r ( t 。) ) 一矿p 量( t 。) i + i 妒( t 。+ r ( t 。) ) 一妒( 亡d ) i l i r a c o 任：( ( f ) i 妒+ r o ) ) k + r 0 ) ，t 。+ r ( 芘) ) 一妒( t ) k o ，t 。) l + l 妒( 。+ r ( 如) ) 一妒( 幻) 妒是强多次调和函数，因而足俨一的，b m 核k 在积分区域( ( ，) 也足 连续的，所以妒和k 都足连续的， 存在常数m ，使得 l 垂，( 妒) ( t 。+ r ( t 。) ) 一m + ( 妒) ( 亡o ) i l i m s oj 。( c ， ) l 妒 + r 0 ) ) k ( t + r ( t ) ，t 。+ r ( 。) ) 一妒( ) k ( t ，t o ) l + l 妒( 。+ r ( t o ) ) 一妒( 。) i l i m c oj 兰。( c ，e ) 【l 妒0 + r ( t ) ) k 0 + r ( t ) ，t 。+ r ( t 。) ) l + i i o ( t ) k ( t ，t 。) i 】+ 卦i 妒( 如+ r ( k ) ) l + i ( i o ( t 。) 1 1 m i 圣+ ( 妒) ( 亡o ) 一圣+ ( 妒) ( 如+ r ( t 。) ) i = i 矿p 正a d 妒( f ) k ( t ，t 。) + 妒( t 。) 一vp 厶d 妒( t ) k ( t ，t 。+ r ( t 。) ) 一 妒( 如+ r ( t 。) ) i l 矿p 币( 。) 一矿p 币( t 。+ r ( t 。) ) i + ；i 妒( t 。+ r o 。) ) 一妒( 如) i = i 矿p 垂( 如+ r ( t 。) ) 一矿p 圣( 亡d ) i + ；i 妒( 如+ r ( t 。) ) 一妒( t 。) l l i m c o 睦。( c ， ) k o ( t ) r ( t ，t 。+ r ( t 。) ) 一妒0 ) k ( t ，如) i + ；l 妒( 如+ 7 0 。) ) 一妒( 如) l i m c o ，。( ( ，) 【i l p ) k ( t ，t 。+ r ( t 。) ) + k o ( t ) k ( t ，t 。) l l + 射i 妒( 如+ r ( 如) ) i + i l ，o ( t 。) 1 1 m 所以( i ) 的结论成立。同理可证( i i ) 和( i i i ) 的结论也成立。 于足就证明了下列定理： 定理2 设o d 足佗维复流形x 上的逐块光滑强拟凸c 2 一边界，妒伍) ，( 0 p 0 ，使得 强拟凸域上边界摄动的b - m 型积分的稳定性 j 疋a d ，k ( ( ，z ) lsm ，于是：i 垂r ( 妒) 0 ) i = i 七a d ，妒( ( ) ( ( ，z ) i j j 妒( ( ) j j 2 ，d ， 止a d ，k k , z ) j m 0 妒( ( ) 恢d ， 注1 ：该定理说明了摄动后，d ，内任意点：的b m 型积分都可由定义在 o d 的邻域1 9 的强多次调和函数妒的范数来控制 注2 ：本文出现的妒和r ，选为c 。一函数时，各结论依然成立 第四节算子易d 和b d 我们将给出积分算子b a d 和b d 的定义和简单性质 一、伊的定向 如果奶= 即( e ) ，歹= 1 ，2 n 是( 伊的实坐标，使得白= 乃( e ) + i x j h ( ( ) ， 则微分形式d x la a d x 2 。定义了伊的定向对开集d 伊，我们用相同的定 向如果d 伊是个开集，m 是c t 光滑边界o d 的相对开子集，则m 的定 向由d 的定向诱导 注： c n 的定向也可定义为d x la d x l + 。a a d x 。ad x 2 。= ( 一1 ) 芈如la ad x 2 。， 则我们得到积分公式里符号的相应地改变 二、具有逐块c 边界的开集 令dc c 伊是个开集d 的边界o d 称为足逐块c 1 的，如果存在伊 上有限多的实值c 1 函数p 1 i ，舰，使得d = p 伊：p j ( z ) o ，歹= 1 ，七) ，且 锄，( z ) a ad 既( 名) 0 ，对任意的指标1 j l 口+ 1 由关于( 积分的定义，我们有正d 矗”) ( ( ) 。( ) = 0 ，当奶f ， 下面只要证不等式的左边。当一0 时，趋于妒( z ) ： f l c - ：l ；。v ( t + r ( ) ) k ( t + k t ) ，z ) = 妒( ：+ r ( 2 ) ) 正( 一：l - 。k ( t + r ( t ) ，z ) + j ；( 一：l ：。( 妒 + r ) ) 一v ( z + r 0 ) ) k ( t + k t ) ，名) 由第二章第二节。摄动函数r ( z ) 对全纯函数b - m 公式的影响”中的定理的证明可 知，存在常数m 0 ，使得 l ( 一：l = 。k ( t + r ( ) ，z ) m f l c - z l = e ( 妒( t + r ( ) ) 一q o ( z + k z ) ) k ( t + r ( t ) ，z ) s u p i ( 一：l 。i v ( t + r ( t ) ) 一妒( z + r ( z ) i i c 一：l - 。k ( t + r 0 ) ，z ) l m s u p i ( 一：i s 。i 妒( t + r ( t ) ) 一妒( z + r ( 2 ) i ，0 当 一o ) 于足当一0 时，有： j ；d 妒0 + r ( t ) ) k ( t + r ( t ) ，名) 一j d a 妒0 + r ( t ) ) i q t + r ( t ) ，z ) m 妒( 。+ r ( 。) ) 证毕 推论3 令dc c 伊是开集，a 弓d ( d ) ，r 是3 d 某邻域上的强多次调和函 数，则存在常数m 0 使得： 厶d 妒( t + r ( ) ) k ( t + r ( t ) ，名) m 妒0 + r ( 2 ) ) 这与第二章第二节“摄动函数r ( z ) 对全纯函数b m 公式的影响”中的定理足 _ 致的 1 5 强拟凸域上边界摄动的b m 型积分的稳定性 参考文献 【1 】1k e l d y s hmv ，l a v r e n d e vma o nt h es t a b i l i t yo fs o l u t i o n so fd i r i c h l e tp r o b l e mi j 】i z v a ns s s rs e rm a t 1 9 3 7 1 ：5 5 1 5 9 5 【2 1 2k e l d y s hm v o nt h es o l v a b i l i t ya n ds t a b i l i t yo ft h ed i r i c h l e tp r o b l e m j u s p e k h im a t n a u k ，1 9 4 1 ，8 ：1 7 1 2 3 1 【3 1h e d b e r gli a p p r o x i m a t i o nb yh a r m o n i cf u n c t i o n sa n ds t a b i l i t yo ft h ed i r i c h l c tp r o b l e m 【j 1 e x p o s i t i o nm a t h ，1 9 9 3 ，1 1 ：1 9 3 - 2 5 9 【4 】钟同德多复变函数的积分表示与多维奇异积分方程【m 】厦门大学出版社， 【5 】钟同德，黄沙多元复分析河北教育出版社【叫1 9 9 0 【6 】王小林，龚亚方一类奇异积分和c a u c h y 型积分关于积分曲线的稳定性【j 1 数学