（工程力学专业论文）基于广义协调理论的厚筏基础研究.pdf

中文摘要 摘要 筏板基础具有承载力高、整体性好、刚度较大等特点，因此在高层建筑结构 中得到了广泛应用。然而，对于筏板基础，特别是厚筏板基础的受力机制还不甚 明了，在设计中依然沿用倒梁法和倒楼盖法等不考虑共用作用的有缺陷的方法； 在考虑共用作用的有限元分析中，广泛采用的依然是忽略剪切应变的薄扳元，即 使采用基于m i n d l i n 理论构建的中厚板元，也常因剪切闭锁现象而影响了分析结果 的准确性，这给实际工程的设计和分析带来了很大的麻烦。本文从筏板基础分析 的基础有限元单元出发，进行了关于厚筏基础的共同作用研究，具体工作有 以下几个方面： 采用t h n o s h e n k o 厚梁形式的剪切应变场、假定不完全高次不等式的挠度 场，基于广义协调理论建立两个场的协调方程，进而构建了一个收敛速度快、精 度高、无剪切闭锁、厚薄板通用的板元b 墟p l a t e 。在膜元的平面内刚体旋转自由 度定义的基础上，采用四边形等参元形式，基于广义协调理论建立协调方程，构 建了一个精度高、无零能模式、弱梯形闭锁的膜元e a e m e m 。将板元e a e p l a t e 和膜元e a e m e m 组合成壳元队e s h e l l 。通过2 个传统壳元的数值算例表明，该 壳元秉承了膜元和板元的优秀性能，计算精度高，适用性好。 以常规的框架结构为对象，进一步改进了现有的共同作用分析理论：基于 w m k l e r 弹性地基模型，通过虚位移原理在板元单元刚度矩阵中引入了地基的转动 支撑作用，弥补了原有w m k l e r 弹性基础假定仅考虑竖向支撑并彼此独立的缺陷， 其计算结果更加接近于解析解；同时采用六个自由度的壳元，不仅考虑了筏板在 水平面上的侧向位移，也保证了上部结构与筏板基础的结点的连接。通过中心局 部荷载作用下的方板算例以及与边界元法的结果表明，所推导的共同作用方法精 确性好，是一种有效的共同作用方法。 基于所构建的有限元单元和改进的共同作用方法，编制了专门的有限元计 算程序e a e ，针对现有工程进行分析，检验本文方法的精确性的同时分析了现有 厚筏基础分析方法的不足：在厚筏基础中，剪应变的影响明显。采用传统的薄板 元计算的筏板内力值偏小，令筏板的设计偏不安全；不考虑共同作用将忽视筏板 给上部结构造成的次应力，令上部建筑的剪力和弯矩值偏小，使上部结构部分构 件偏不安全；水平荷载会增大其作用方向的基础和上部结构的内力，在水平荷载 下，传统方法得出上部结构的侧向位移值偏小，进而影响结构设计的合理性。 关键词：广义协调理论，厚薄通用，无剪切闭锁，w m k e r 弹性地基模型， 共同作用，面对构件 英文摘要 a b s t r a c t r a f tf o u n d a t i o n , w i t hh i g hb e a r i n gc a p a c i t y , g o o do v e r a l l1 , e r f o r m a n e 跫a n dn i c e s t i f f n e s sc h a r a c t e r i s t i c s ，i s 诵d c l yu s e di nh i g h - r i s eb u i l d i n gs t i u c t u 圮$ i - i o w 翻c c r , t h e f o r c em e c h a n i s mo fm f tf o u n d a t i o n , e s p e c i a l l yt h et h i c kr a f tf o t m d a t i o n ，i sn o td e a r l y k n o w nb yp e o p l e i nd e s i g nt i m e , e n g i n e e r ss t i l l 嚼t h er l 朗，e 雠b e a m sa n dr e v e 雠 f l o o r sm e t h o d s ，w h i c hd o n te o m i d e rt h ei n t e r a c t i o no fs u p e r s m l e t 哦，r a f tf o u n d a t i o n a n ds o l i d i nf i n i t ed e m e n ta n a l y s i s ，t h i np l a t ee l e m e n t sa r es t i l lw i d e l yu s e di nr a f t f o u n d a t i o n , w h i c hi g n o r e st h es h e a rs t r a i n i na d d i t i o n , t h er e s u l t so f m i n d l i nt h i c kp l a t e e l e m e n t s d u et ot h e 虹i 雠l o e l d a ge f f e c t , i sh i g h e rt h a nr e a lf a c t t h i sp a p e rs t a r t sf r o m e o m t n l e t i n gaf i n i t ee l e m e n t , w h i c hi sb a t t e rf i tf o rr a f tf o u n d a t i o n , t h e ni m p r o v e st h e i n t e r a c t i o nm e t h o d so f s u p e r s m m 眦r a f tf o u n d a t i o na n ds o l i d t h ew o r k sa 聆i n c l u d e d t h ef o l l o w i n g ： t m a o s h e n k ot h i c kb e a mt h e o r yi sa p p l i e dt og e tt h et h i c kp l a t e ss h e a r i n gs t r a i n f i e l d t h ep l a t e sd e f l e c t i o nf i e l di sa s s u m e dt ob ea ni m p e r f e c t i o nf o u r t he x p r e s s i o n i n d i v i d u a l l y , t h e n , a c c o r d i n gt ot h eg e n e r a l i z e dc o n f o r m i n gt h e o r yt oe s t a b l i s ht h e e q u a t i o n sb e t w e e nt h et w of i e l d s ，c o n s l r u c t saq u a d r i l a t e r a le l e m e n t , f o rb o t ht h i na n d 锄c kp l a t e s 。n os h e a rl o c k i n g , w l a i e hi sn a m e de a e p l a t e b a s i n go i lt h ed e f i n i t i o no f r o t a t i o nf r e e d o mo fp l a n a rm e m b r a n ee l e m e n t , e o n s l a u c t saq u a d r i l a t e r a lm e m b r a n e e l e m e n t , w i t hh i 曲p r e c i s i o n , n oz e r o - e n e r g ym o d ea n dw e a ki r a p e z o i d a ll o c k i n g ， w h i c hi sn a m e de a e m e m e a e p l a t ea n de a e i m e ma 托c o m p o s e dt ob et h es h e l l e l e m e n te a e s h e l l t h r o u g ht l a en u m e r i c a le x a m p l e so ft w ot r a d i t i o n a ls h e l le l e m e n t p r o b l e m s ，i ts h o w st h a t ：t h es h e l le l e m e n ti n h e r i t sf r o mt h ee x c e l l e n c ep e r f o r m a n c eo f t h ep l a t ee l e m e n te a e p l a t ea n dt h em e m b r a n ee l e m e n te a e m e m , w i t hh i g ha c c u r a c y a n dg o o da p p l i c a b i l i t y t a k i n ga f l a m eb u i l d i n gf o re x a m p l e 。t h i sp a p e ri m p r o v e st h ei n t e r a c t i o nm e t h o d o fs u p e r s t r u c t u r e , r a f tf o u n d a t i o na n ds o l i d b 部i t l go nv i r t u a ld i s p l a c e m e n tp r i n c i p l e , t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h er o t a t i o ns u p p o r t i n ge f f e c to fw m l d e r sf o u n d a t i o nt ot h ep l a t e e l e m e n t ss t i f f n e s sm a t r i x , w h i c hn l i k e su pt h ew m k l e r sf o t m d a t i o n so r i g i n a l d e f i c i e n c i e so fo n l yc o n s i d e r i n gt h ev e r t i c a ls u p p o r t i n ge f f e c ta n dd i s c o n t i n u i t y b e c a u s eo fu s i n gt h es h e l le l e m e n t , w i t h6d e g r e e so ff r e e d o m , t os i m u l a t et h er a t t f o u n d a t i o n , t h i sp a p e rn o to n l yc o n s i d e r st h eh o r i z o n t a ld i s p l a c e m e n t , b u ta l s o g u a r a n t e e st h ec o n n e c t i v i t yb e t w e 目f lt h es u p e r s t r u c t u r ea n dr a f tf o u n d a t i o na tn o d e s n i 重庆大学硕士学位论文 t h r o u g ht h en u m e r i c a le x a m p l e so f p l a t eu n d e rac e n t e rp a r t i a ll o a da n dt h ec o m p a r i s o n w i t ht h eb o u n d a r yc l e m e n tm e t h o & i ts h o w st h a t ：t h em e t h o dt h i sp a p e ri m p r o v e d w i t h ab e t t e ra c 七u r a o y , i saf e a s i b l ea n de f f e c t i v ei n t e r a c t i o nm e t h o d b a s e do nt h ef m i me l e m e n t sc o n s t r u c t e da n dt h ei n t e r a c t i o nm e t h o di m p r o v e d a b o v e ，t h i sp a p e re s t a b l i s h e sas p e c i a lf i n i t ec l e m e n tp r o g r a mt oa n a l y z eap r a c t i c a l 触m e w o r kb u i l d i n gf o re x a m p l e n u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a t - i nt h i c kr a f tf o u n d a t i o n , d u et ot h ei g n o r i n go fs h e a rs u - a i n t h ei n t e r n a lf o r c eo fr a f tf o u n d a t i o ni s $ m a l l e l 7t h a n 觚w h i c hm a k e st h ed e s i g no fr a f tf o u n d a t i o nt ob ei n s c c a r c ；n o tc o n s i d e r i n gt h e i n t e r a c t i o nw i l li g n o r e st h es e c o n d a r ys 仕e s so ft h eu p p e rp a r to f b u i l d i n gc a s e db yr a f t f o u n d a t i o n , a n dt h es h e a ra n dm o m e n ta r es m a l l e rt h a nf a c t , w h i c hm r k c $ t h ed e s i g no f s u p e r s t r u c t u r et ob ei n s e c u r e ；h o r i z o n t a ll o a dw i l li n c r e a s et h ei n t e m a lf o r c eo fb o t h f o u n d a t i o na n dt h es u p e r s u u c t u r ci ni t sd i r e c t i o n , a n dt h et r a d i t i o n a lm e t h o do ft h e s u p e r s t r u c t u r e sl a t e r a ld i s p l a c e m e mi ss m a l l e rt h a nf a c t , w h i c hm a k e st h ed e s i g no f t h e b u u d i n gt ob ed a n g e r o u s k c y w o r d s ：g a n c r a l i z e dc o n f o r m i n ge l e m e n t s ，t h i n - t h i c kp l a t e s ；n os h e a rl o c k i n g ， g r m k e r sf o u n d a t i o n , i n t e r a c t i o no f s u p e r s t r u c t u r e ， r a f tf o u n d a t i o na n ds o l i d , c o m p o n e n tb a s e dd e v e l o p m e n t i v 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：备益 签字日期：_ 胛了年月j 口日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重庞太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重庆太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( v ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“”) 学位论文作者签名：刍盗 导师签名： 签字日期：伽7 年6 月r 口日 7 “即乃 j i 签字日期：p “月，明 1 绪论 l 绪论 1 1 本课题研究的背景和意义 由于筏板基础具有承载力高、整体性好、刚度较大等特点，因此在高层建筑 结构中得到了广泛应用，如加拿大弗雷德瑞克顿市蒙特利尔银行哪、北京贸易大厦 闭、广州国际大厦【3 】以及在建的3 0 3 米高的重庆万豪国际会展大厦【4 】等均采用筏板 基础。但是，由于筏板基础的受力与诸多因素有关，关系复杂，目前人们对筏板 基础的受力机制还不甚明了。在筏板基础的实际应用中，不同设计者设计的筏板 基础厚度相差悬殊，特别是对于厚度较大的筏板基础，设计中仍然沿用早期的倒 梁法或倒楼盖法进行计算，这种现象极不合理因此对筏板基础更准确合理的受 力分析及设计方法的研究成为迫切需要解决的课题。 本课题从筏板基础分析的理论基础板壳有限元理论出发，试图采用广义协调 理论创建性能优秀的有限元单元，并改进现有的分析理论，采用有限元板单元( 板 元) 和有限元膜单元( 膜元) 所结合的有限元壳单元( 壳元) 作为厚筏基础的有 限元单元形式，同时在原有的基础、地基土和上部结构的共同作用分析机理上进 一步考虑基础侧向位移的影响，试图找到一种更精确的更通用的厚筏板分析方法。 1 2 板壳问题研究概述 1 2 1 板弯曲问题 从e u l c r l 5 1 最先探索弹性平板的挠曲问题开始，板弯曲的研究已有一百多年的 历史，其中k i r c h h o f f 的薄板小挠度度经典理论占有重要的地位。1 9 4 5 年，r e i s s l l c r 6 1 提出了中厚板理论，考虑了由横向剪力引起的变形，之后，在此基础上添加了 m i n d l i n r 7 】的板假设，形成了m i n d l i n - r e i s s n c r 中厚板理论，这也是现在中厚板分析 的主要理论。 自1 9 6 0 年c l o u g h i s l 首先使用了有限元”这一名称至今，有限元法得到迅速发 展，对于难以用一个或多个函数求解的板问题，可用有限元法得到结点函数所表 示的离散解。早期的有限元板单元大多基于经典的薄板理论，要求位移精确协调， 这给板单元的构建带来了困难。随后，人们开始构造并不完全满足协调条件的非 协调元。1 9 7 2 年，i r o n s 9 基于板问题提出了一个称作“分片检验”的方法，并长期以 来被当作检验非协调元收敛与否的标准之一。7 0 年代以后，人们开始研究中厚板 单元，开始采用m i n d l i n - r e i s m c r 中厚板理论。但是m i n d l i n - r e i s s n e r 建立的单元 只对中厚板有效，当板逐渐变薄时，会出现剪切闭锁现象。为了解决剪切闭锁现 象，又提出了多种方法。例如，z i e u k i o w i c z 等人【1 0 】的缩减积分法、h u g h e s 等人 重庆大学硕士学位论文 【1 1 】的选择性缩减积分法、离散k i r c h h o f f 理论法【1 2 1 、h i n t o n 1 3 等的替代剪应变 法、b e l y t s c h k o 等人【1 4 】的稳定性矩阵法、b a t h e 等人【1 5 】的混合插值法、b e r g a a 等 人t 1 6 1 的自由法等等。这些方法虽然使剪切闭锁现象得到了一定的缓解，但都存在 或多或少的不足。八十年代，b a t h e 1 习和d v o r k i n 、a a l t o 、z i e n k i e w i c z 1 0 1 等人首 先提出假设剪应变场的方案。在此基础上，唐立民、陈万吉掣】提出拟协调元方 法，吴长春，卞学横等人1 1 9 提出非协调杂交有限元法，a y a d 等 2 0 1 提出的杂交混合 法，虽然这些方法都成功地构造了性能优良的板单元，但公式相对复杂，实用性 不高。八十年代末，广义协调理论的创立，从变分原理出发改进了现有的有限元 理论，使选取板单元位移场有了更大的自由。广义协调理论是由龙驭球教授【2 l 】首 先提出的，已经形成了比较完善的理论体系，由广义协调理论创建的有限元单元 称为广义协调元。岑松、龙驭球等人【4 9 】在此基础上将广义协调理论应用于板壳问 题中。广义协调元在传统的协调元与非协调元之间开辟了一条新路，它基于胡海 昌鹫津变分原理【2 2 】提出分区变分原理，依据广义协调理论得到广义协调条件， 继而构建有限元单元。 1 2 2 带旋转自由度的平面膜元 带旋转自由度膜元提出的背景可以追溯到上个世纪6 0 年代对薄壳问题的有限 元研究中。为了构建具有弯曲和拉伸能力的薄元，有人研究将具有弯曲能力的薄 板元和具有拉伸能力的平面膜元在单元级进行简单的叠加组成平板薄壳单元，虽 然这两种单元在单元级上并不耦合，但组装后在整体域内却会发生耦合，这种构 造思想一直延续至今，现在绝大多数成熟的壳元的构建使用的仍然是这种方法。 最早较成功地被使用的平面膜元是常应变三角形单元( c s d 口3 】，膜元仅仅提供了u ， v 两个自由度，也因此不可避免的产生问题，首先，在实际应用中，该单元很难与 其他每个节点具有6 个自由度的空间梁柱单元相连接。其次，由于忽略了旋转自 由度会引发旋转零刚度问题，令膜元计算精度非常不理想，甚至会出现由旋转自 由产生的病态 到上世纪6 0 年代有学者提出，在平面单元中引入垂直于该单元平面且绕单元 平面外法线旋转的自由度，这样使每个节点增加到3 个自由度，从而改善膜元的 性能 2 4 1 。1 9 8 4 年，a l l m a n 采用沿边界二次变化的位移插值模型，成功建立了带旋 转自由度的三角形膜元，并对平面膜元给出了明确的转角自由度的定义，此后带 有旋转自由度的膜元才正式发展了起来。其后，为了解决膜元中零能模式的问题， m a c n e a l r h 2 5 1 提出了“精化”的概念，即以罚函数的形式引入附加刚度矩阵，人 工消除零能模式。之后出现了大量此类模式的非协调膜元 2 6 1 1 2 7 。须寅口8 1 在广义协 调元理论的基础上提出了具有刚体转角自由度的广义协调平面膜元，其方法是直 2 1 绪论 接假定多项式形式的转角函数，通过广义协调条件，求解单元附加位移，避免了 选取附加位移的任意性所带来的问题。 1 3 上部结构、筏板、地基共同作用 高层建筑筏板基础的分析和设计方法大体经历了三个发展阶段： 第一阶段主要采用结构力学的方法，将这个体系分解为三个部分，各自独立求 解。显然这种解法的结果与实际工作状态是不相符的，它虽然满足了总荷载与总 反力之间的静力平衡条件，却没有考虑体系三个部分连接点的位移连续条件，因 而结构计算的内力与变形和基础内力与变形均与实际发生偏离。但是这一方法使 用方法简便，现在仍广泛采用于结构设计中的倒梁法 2 9 1 、倒楼盖法就是属于这种 方法。 第二阶段仅考虑基础和地基的共同作用。共同作用这一概念由m e y e r h o h 3 0 提 出，在分析过程中兼顾了筏板基础和地基土的位移连续和协调，并结合了日益发 展的板分析理论，发展为弹塑性地基上的梁和板理论，并结合筏板基础的特点进 一步衍生为专门的筏板基础分析理论。之后张佑启【3 1 1 率先应用有限元理论来研究 基础工程中地基和基础的共同作用。之后陈树坚( 3 2 】等采用了样条有限元法进行了 规则弹性薄板的计算。吴波谰等参元分析了弹性地基上不规则厚板。1 9 9 8 年王 元汉阱】等人提出了弹性半空间地基板的四节点和八节点的等参元计算方法，采用 解析方法，得到了弹性地基板的单元结点位移和结点力的关系表达式。1 9 9 1 年年 李正良、邓安福【3 5 】求得了双参数弹性地基上r e i s s n e r 方板的基本解。1 9 9 5 年李正 良、干腾君在双参数弹性地基上上应用了边界元进行求解，推动了边界元法在弹 性地基上筏板基础的应用。 第三阶段全面考虑了上部结构、筏板基础和地基的共同作用。为了解决上部结 构结点过多，求解难度较大等问题，n 础i i e c l 【e 哪】提出了将上部结构的刚度与 荷载逐层向下凝聚的子结构分析方法。之后h a d d a d i n 3 7 1 首次应用子结构的分析方 法研究地基基础与上部结构共同作用。1 9 8 1 年在上海同济大学召开“高层建筑与 地基基础共同作用学术交流会”，上海同济大学张问清课题组【3 8 】首先提出了扩大子 结构法来计算高层结构。1 9 8 3 年，l e e 等研究了w m l d e r 地基及弹性半空间地基上 筏式基础与单、多层框架结构体系的相互作用问题。朱百里等分别讨论了土的非 线型对共同作用的问题。1 9 9 3 年李正良、邓安福、于腾君【3 9 】等采用有限元和边界 元耦合方法，分析了双参数地上上筏板基础与上部结构的共同作用问题。1 9 9 6 年 邓文龙等对上部结构采用子结构法、应用边界元法对高层空间剪力墙与地基的共 同作用进行了分析。2 0 0 1 年，干腾君【4 0 j 利用边界元对筏板基础的受力变形特性、 内力变化规律以及筏板基础在结构设计中的优化问题进行了详尽得分析和探索， 3 重庆大学硕士学位论文 建立了筏板基础与地基和上部结构共同作用的耦合分析模型。2 0 0 3 年，中国建筑 科学研究院p k p m c a d 工程部推出的基础c a d 软件一j c c a d 【4 1 1 已经开始将 考虑共同作用的分析方法应用于高层建筑的筏板基础中。 1 4 本课题的研究目的、内容和方法 本文有两个研究目的： 1 ) 采用广义协调理论，针对现行板元的不足，构建厚薄板通用的无剪切闭锁 的板元；构建带平面内刚体转动自由度的无零能模式的膜元；结合膜元和板元， 来构建平扳型壳元 2 ) 考虑筏板、地基土、上部框架的共同作用，采用所构建的广义协调壳元对 实际工程中的厚筏板基础进行分析，研究现有厚筏板基础的分析和设计方法的不 足。 研究内容和方法： 1 ) 采用四边形等参元形式、引入t i m o s h c n k o 厚梁形式的剪切应变场、假定不 完全高次不等式的挠度场，来构建板元，使所构建的板元满足收敛速度快、精度 高、无剪切闭锁、厚薄板通用的要求。在膜元的平面内刚体旋转自由度定义的基 础上，采用四边形等参元形式、引入与结点平面位移无关的二次多项式形式的旋 转自由度构建膜单元，使所构建的膜元达到精度高、无零能模式、弱梯形闭锁的 要求。在构建的板元和膜元的基础上，组合成壳元。 2 ) 建立弹性地基模型，考虑土体的连续性，考虑基础的侧向位移，引入土对 地基的转动支承作用。以常规的框架结构为对象，进一步分析上部结构、基础和 地基的共同作用关系。 3 ) 编制有限元计算程序，可以用于单独的板弯曲分析、板和地基土作用分析 以及板、土、上都框架共同作用分析。针对现有工程进行分析，分析现有设计方 法的不足。为了验证模型和计算的精确性，采用大型有限元软件s a p 2 0 0 0 进行精 确性对比计算。 4 2 厚薄通用壳单元的构建 2 厚薄通用壳元的构建 2 1 广义协调元的基本理论概述 有限元的发展是由传统的单变量泛函到多变量泛函数的发展，是由协调元到 非协调元发展的过程。 最先出现的是协调元。 在厚板协调元中，挠度场国o ，力必须与单元边界挠度、 精确协调，即单元边界的每一个节点精确满足协调条件【4 2 】： 一a a 舻执丽2 i 2 灯“dn d f 法向和切向倾角保持 ( 2 1 ) 协调元以最小势能原理作为出发点，其泛函为势能，： ，= n ， = ；孵 謦+ 争2 删一力k 参2 一窘争卜 亿动 其中，以位移场国阮) ，) 作为唯一的变量场。 协调元的推导非常严谨，也符合边界条件，但是这一过程过于严格，保证了 单元的收敛性同时，反而致使唯一的变量场，即位移场函数的假定变得异常困难 和复杂。 之后出现了非协调元，在非协调元中因为不要求精确满足几何协调条件，使 位移函数易于假定，令问题得到简化。 非协调元仍以最小势能原理作为出发点，但是为了提高单元性能而在单元内 增加了附加项，致使有时单元之间不能确保在交界面上的连续性，令附加项不能 收敛，这显然违背了最小势能原理，这正是某些非协调元不能保证收敛的根本原 因。其泛函为势能擅p ： 埘p = ( p + 王o ) ( 2 3 ) z o 为附加项的贡献，矗p 中含有位移场和边界力场两个变量场。 广义协调元【2 1 1 综合了协调元和非协调元的优点，它从非协调元的方法出发， 归宿于协调元。 广义协调元采用分区势能原理作为出发点，其泛函。为分区势能： 1 i = 呷，+ 瓦)( 2 4 ) 为分区势能原理得到的各单元交界线上的势能附加项h 3 1 ，比如交界线c 0 重庆大学硕士学位论文 上： h n , 。b = - 钟( 彩佃一曲) + m 。c b ( 酵+ 醪) + 聪町+ ) 西 ( 2 5 ) 引入( h e p ) = 0 ，则。= ，即将二类变量的泛函胤p 退化为协调元的一 类变量的泛函i - i ，有限元法的基本方程采用的仍然是退化型的一类变量的泛函 n ，( 式2 - 6 ) 从而保证了单元的收敛性。 随着单元的划分细致，单元的挠度场的曲率趋于常数，边界c 处的泞、4 可以由挠度场4 获得，即： ：掣、：掣 考虑转角的方向，对于任意分区一般性的表述为： = 卜q 细一石) + 鸩( 等一z ) + 蚝e + z ) 弦= o ( 2 7 ) 即： ( 一品) 凼= o 【芒一z ) 出= 0 ( 对应于每一个边c ) ( 2 8 ) 册 e + z ) 凼= o 上式即为广义协调条件。 在引入广义协调条件的有限单元的构建中，当完全应用广义协调条件，即 n 。= h ，则广义协调元直接转化为协调元，因此在构建广义协调元时，采用的 协调条件常灵活的选用点协调、边协调、周协调及其多种相互组合，突破了只采 用点协调的单一形式，比如可以选择“点协调+ 边协调”的协调条件，即本文中将采 用的协调条件： 和一彩) ，= o i 当一z = o e + z 泌= o 综上所述，广义协调元不仅仅着眼于结点处的点协调，同时把注意力集中在 各边处的平均位移协调上，广义协调元法不仅具有非协调元的不要求精确协调的 优点，并且当单元划分逐次细分时，可以不断趋近于协调元，从而保证了广义协 调元方法的收敛性。 6 2 厚薄通用壳单元的构建 2 2 板元e a e p l a t e 2 2 1 流程图 本文采用的广义协调厚薄通用板元的构建方法如下图所示： 图2 1 板元构建流程图 f i g2 1h o wd i a g r a mo f c o n s t r u c t i n gp l a t ee l e m e n t 2 ，2 2t h n o s h e n k o 厚梁元挠度、转角、剪应变公式 一维的厚梁单元和厚板单元都遇到相同的问题，就是如何避免剪切闭锁现象。 对于t i m o s h e n k o 厚梁单元【4 2 】，如图2 2 所示，因为采用合适的单元插值函数，可 以完全避免剪切闭锁现象，当梁厚趋近于零时，厚梁单元的剪应变自动趋向于零。 叶 q”7陟 、， 0 i 一 图2 2t i m o s h e n k o 厚粱 f i g2 2t t m o s h e n k ot i i i c kb e a m 对于图2 2 所示，长度，宽度为1 的两结点厚梁元万，文献【4 2 】已经推导出 t t m o s h e n k o 厚梁元挠度国，转角矿和剪应变，分别为三次式、二次式和常数： 石= q ( 1 一r ) + 哆，+ 三加( 一x l 一，) + 扣( 扎一言r x l 一，x 1 2 ，) f = v , o r ) + 竹，+ 坝一r ) r ( t 一，) ( 2 1 0 ) = 艿r 其中，f 为梁的厚度，v 为泊松比， 7 重庆大学硕士学位论文 。 6 ( t 1 ) 2 5 ( i v 1 + 1 2 ( t 1 ) 2 可以注意到，当梁厚度t 寸0 时，有万专0 ， 2 2 3 薄厚板通用广义协调板的创建 单元的基本情况 厚薄板通用广义协调板的创建 r = 手( 一q + q ) 一一的 则，j 0 ，从而不会出现剪切闭锁。 图2 3 四边形四结点厚板 f 追2 3f o u rn o d e sq u a d r a n g l et h i c kp l a t e 四边形四结点厚薄板通用单元，如图所示其结点位移向量叮：为： = q l 吃鸭吼虬4 j 这里国为挠度、虬为法线在x - z 平面内的转角，鸭为法线在y - z 平面内的转角。 如图2 3 所示的四结点四边形厚板，令：、k 、0 、，分别是边1 2 ，2 3 ， 3 4 ，4 1 的边长，以及：。 岛2 舷一y 36 2 2 乃一儿6 3 2 儿一m 以2 乃一儿 ( 2 1 1 ) q = 而一而乞= 一玛c 3 = 毛一面q 。恐一毛 等参元的映射关系为： x = 吖僧，7 弦，y = 研( 善，玎沙。 ( 2 1 2 ) 其中：膏，和j ，。表示各角点的坐标o = l 2 3 ，4 ) 。参，7 为等参元的无量纲参数 町为四结点四边形等参元的形函数o = 1 ，2 ，3 ，4 ) ： 研2 专1 一毒x 1 一们三2 i io + 孝x 1 一聊 ( 2 1 3 ) 埘2 专( 1 + 善x l + 刁) 啊2 言( 1 一孝x l + 玎) 等参元与常规坐标的偏导关系为： 8 2 厚薄通用壳单元的构建 其中_ r 为雅克比矩阵： ，o ( x ，力 ，= 一2 a g ，玎) a 叙 a 勿 a 研 鸳 盟 a 玎 = j a ： 8 a 虻 o r a a 孝 a o r a a 善 a o r a 鸳 a o r a 啊 8 考 a ： o r = 厂1 a o x a 勿 善ly l x 2y 2 工3) ，3 x 4y 4 ( 2 1 4 ) 根据厚梁基本公式( 2 1 0 ) ，确定由结点位移向量虻构成的单元各边的挠度魏为： _ 1 1 2 = ( 1 一，) 【1 + ( 1 2 五) ，( 1 2 r ) 】q + o 5 r ( 1 一，) 【l + ( 1 2 8 4 ) r ( 1 - 2 r ) ( c 4 妒 = l 一6 4 _ ) + ，【l 一( 1 2 8 4 ) ( 1 一，) ( 1 2 r ) 】国：+ o 5 ，o 一，) 【一l + ( 1 2 正) ，( 1 2 r ) 】( c 2 6 弘o ：) ，2 詈，o 吐钆 一( 0 s 2 3 = o - 0 1 1 + 0 2 3 ，) r ( 1 - 2 r ) o j 2 + o 5 ，( 1 一，) 【1 + ( 1 2 4 ) ，( 1 2 ，) 】( q v a 一魂吩：) + r 【1 一( 1 2 4 ) ( 1 一r ) ( 1 2 r ) w 3 + o 5 ，( 1 一，) 【一l + ( 1 2 磊) ，( 1 2 r ) ( g f m 一6 o ，) r = $ - 2 3 ，o s s 乞 刁 一( 0 s 3 4 = ( 1 一，) 【1 + ( 1 2 盈) r ( 1 2 ，) 】埘+ o 5 r ( 1 一r ) 1 + ( 1 - 2 a 9 2 ) r ( 1 2 r ) 】( 乞，o 一如o ) + r 1 - ( 1 - 2 8 2 ) ( 1 一，) ( 1 2 r ) 】够+ o 5 ，( 1 一，) 卜l + ( 1 2 嘎) ，( 1 2 r ) ( c 2 q ，一6 2 吩) ，= ，o o | ：- j 4 - = ( 1 一，) 【1 + ( 1 2 色) ，( 1 - 2 r ) 国4 + 0 5 ，o r ) 【1 + ( 1 2 磊) ，( 1 2 r ) 】( c 3 j 略一6 3 _ ) + ，【l 一( 1 2 8 3 x 1 - r ) ( 1 2 r ) 】q + o 5 ，( 1 一，) 【一l + ( 1 2 t 墨) r ( 1 2 ，) 】( c j 一6 搏0 1 ) ，2 等，o 轼砜 ( 2 1 5 ) 确定由结点位移向量虻构成的单元各边的法向转角o ，设其为线形分布： _ 肘，：= 一半( 6 4 一q 卜i r 、b 2 一c 4 吩z ) ，= 卺，1 211 2 孑二= 一羔字( 6 1 一c 1 z ) 一i r 2 32 3 ( 6 l 虬a c 1 )，= 毒， 无n = 一与生( 6 2 一c 2 卜瓦r 、b 3 4：虬一岛) ，= 詈，34弭 玩- = 一与导( 6 3 一6 ) 一云( 6 3 虬- 一岛) ，= 軎4 1 ， “4 l 9 o s t 2 0 毫s 乞 o s 0 ( 2 1 6 ) o s 。i 重庆大学硕士学位论文 舅匣燹场的假定 根据厚梁基本公式，确定由结点位移向量g ：构成的单元各边横向剪应变以为： 以。= 一争 2 ( 吐一q ) + ( c l 虬：一岛吩：) + h 妒。一6 1 ，) 以3 4 = 一笋 2 ( 毡一吼) + ( 乞一b 2 w y 3 ) + ( c ：w x 。一也) ： ( 2 1 7 ) 】l , s 4 1 - - - - _ 争 2 ( 峨一q ) + ( c 3 虬一6 2 ) + ( c ，w x 。一毛。) ” 以。：= 一笋 2 ( q 一吃) + ( 气i 一6 2 吩。) + ( c 4 虬2 6 4 ：) 其中 4 = 石而6 ( t 可l 弦) 2 砑 5 ( 1 一v ) + 1 2 i r kl 。 ( i , y ，k = l ，2 ，3 4 ) 其e e ：以2 3 、以3 4 、n 4 l 、以1 2 分别是边1 2 ，2 3 ，3 4 ，4 1 的横向剪应变，t 为板厚： 1 ，为泊松比，可见当梁厚度f 专0 时，有占一0 ，则，专0 ，从而不会出现剪切闭锁。 通过几何关系和余弦定律来确定各角点剪应变如和。例如，对于结点1 而 言，如图1 所示，相邻边的剪应变以。：和儿。和角点剪应变以。和关系为： 溉) = c o s 曼s 血i n o m z y ，1 ) 即： 阱 篓爰耋玎黝= 丽1 吲m s i n e 岛z - s i 。n 最e , 蚴 图2 4 几何关系 f i g2 4g e o m e t r yr e l a t i o n 如图，单元各边的方向余弦为： 2 厚薄通用壳单元的构建 c o s ( ，力= 拿 1 2 c o s ( ：，力：一善 2 c o 加砉 州力一鲁 代入可得： 阱杀i 匿。6 4 - c , 1 j l 1 1 2 ，a 1 2 同理得到其他结点的角点剪应变，整理得到： 阱志瞪吨- 9 j 胁l l l 2 y 1 2 惦) = 丽三巳之 伍笼) 阱去瞪：般= ( 2 1 9 ) 单元剪应变场 假设单元剪应变场按照等参元形函数插值分布： r ；e ：以 7 ： 杰孵儿杰吖h j ( 2 2 0 ) l i i i 川 j 其中：矿o - - 1 ，2 ，3 ，4 ) 为四边形等参元的形函数嗍，e 为单元剪切应变矩阵。 当板厚f 加时，占专o ，进而一0 ，从而满足薄板丫= 0 ，直接避免了剪切闭锁。 辫矧e 的表达姚忍= 搿 r = 000 - 2 4 o00 0 2 焉j 磊6 3 磊0 2 正一q 西6 4 五2 a , 奄 酝嘲 白 翰嘲 0 0 1 4 0 0 _ c 4 五 6 l 磊 0 0 “五 2 a