（工程力学专业论文）含压电层双稳态复合材料层合壳体的力学特性及数值模拟.pdf

摘要 摘要 本文建立了含压电层双稳态复合材料层合壳的力学模型，给出了表征结构延 展和折迭过程能量的数学表达式。运用最小势能原理，可计算确定压电参数及结 构几何和物理参数对结构卷曲半径的定量影响程度。同时，采用有限元软件 a n s y s ，建立了层合壳数值模型，对含压电层结构从第一种稳态到第二种稳态 的卷曲过程进行了数值模拟，得到了结构卷曲半径及结构中的应力分布。结果表 明，表征结构双稳态特性的卷曲半径的理论解和数值结果吻合得较好。 关键词：压电；双稳态：复合材料：层合壳；应变能；拉弯耦合；卷曲半径。 a b s t r a c t a b s t r a c t i nt h i s p a d e ra na n a l y t i c a lm o d e lf o rb i s t a b l el a m i n a t e dc o m p o s i t es h e l l s t r u c t u r e sw i t hp i e z o e l e c t r i cl a y e r si sp r o p o s e d t h em o d e li n c o r p o r a t e st h ee f f e c to f c o u p l i n gb e n d i n g s t r e t c h i n gd e f o r m a t i o n s t h em a t h e m a t i c a le x p r e s s i o nf o re l a s t i c s t r a i ne n e r g y , w h i c hc h a r a c t e r i z e st w os t a b l es t a t e so ft h es t r u c t u r e ，i e ，ac o i l e ds t a t e i nw h i c ht h es t r u c t u r ei sf o l d e da l o n gi t sl e n g t ha n da l le x t e n d e ds t a t ei nw h i c ht h e s t r u c t u r ei su n f o l d e d i sd e r i v e d c o m p u t a t i o n a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e df o rt h ee f f e c t so f a n g l eo fl a y - u pa n dv o l t a g ev a l u e0 1 2r o l l e d u pr a d i io ft h es t r u c t u r e s h la d d k i o n ，a l a m i n a t e ds h e l le l e m e n tm o d e l i sc o n s t r u c t e db ym e a n so ft h ev e r s a t i l ea n s y sc o d e b a s e do nt h em o d e l ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o no nt h ep r o c e s so fr o l l i n g u 口o ft h es h e l li s c o n d u c t e d ，a n dt h er o l l e d u pr a d i u sa n ds t r e s sd i s t r i b u t i o n si nt h es h e l la r ed e t e r m i n e d c o m p a r i s o n so ft h er o l l e d u pr a d i u ss h o wt h a tt h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa g r e ew e l lw i t h d a t af r o mt h en u n l e r i c a ls i m u l a t i o n k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i c ，b i s t a b l e ，c o m p o s i t e s ，l a m i n a t e ds h e l l ，s t r a i ne n e r g y , b e n d i n g s t r e t c h i n gc o u p l i n g ；r o l l e d u pr a d i u s 1 i 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提 供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国 家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目 的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活 动。 学位论文作者签名： 年月日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、己公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 年月日 第一章绪论 1 1 前言 第一章绪论 复合材料及其结构目前已被广泛应用于航空航天、机械、电子等高技术领域。 新材料工业在我国已逐渐成为高新技术产业的重要支柱。作为与国民经济和社会 发展密切相关的基础学科，力学学科与材料学科相结合已成为一个交叉学科的发 展目标，并不断使其发挥重要作用。 复合材料由两种或两种以上性能不同的材料构成，其中的每一种组成材料称 为复合材料的组分。包容组分称为基体材料，而被包容组分称为增强材料。按纤 维材料分类有这样几种常见的纤维：玻璃纤维、硼纤维、碳纤维、凯芙拉纤维及 碳化硅纤维。按基体材料分类可分为非金属基体和金属基体两大类。前者主要是 树脂材料，常用的有环氧树脂、酚醛树脂、聚酰亚安树脂等。本文中研究的复合 材料结构是由单向玻璃纤维增强复合聚丙烯材料构成。 本文所涉及的双稳态复合材料壳体，是属可延展空间结构 1 - 3 。壳体是具 有部分或全部圆截面的薄壁直管，形状类似卷尺。双稳态指如此复合材料结构具 有延展和折迭两种特征状态( 如图1 1 所示) 。结构无需永久变形即能被折迭。 同时，通过控制释放折迭过程积蓄的能量，结构能自行延展。这类结构可用于航 天飞行器自锁铰、可延展探测器、精密机械、以及电子通讯或计算机电缆可延展 杆等，应用前景十分广泛。 有关双稳态层合复合材料壳体( 管) 的研究是由英国剑桥大学最近率先进行 的。国内目前未见有关研究报导。双稳态复合材料壳是d a t o n - l o v e t t 发明的 ( 1 9 9 6 ) 。它是一种新型的可展开结构，它能在伸展和卷拢时都能保持稳定。通 常情况下，被卷拢的圆柱壳处于高应变能、不稳定的状态，因此需要一个约束装 置来防止它在不受控制的情况下释放应变能，而实际中这样的装置的尺寸、重量 和复杂性往往比可展开结构本身大的多。如果利用双稳态壳结构则可以避免或大 为减少使用约束装置的需要。 如图卜1 所示，在延展状态下，它是伸展且没有应变的；在折迭状态下，由 于被卷拢，所以有着较大的应变，但是它不会自由释放应变能到零，因为这种卷 拢的状态对应着应变能的局部最小值，要使它恢复到原来的伸展状态需要对它做 一定的功，所以在卷拢的状态下它同样能保持稳定。 为了保证可延展结构在复杂环境下处于预期的工作状态，需要发展相应的新 技术，例如，将智能化元件，传感和驱动系统的主动结构埋藏在母体结构中，使 之能感知外界环境，由此可通过控制结构的形状使结构获得良好的双稳态性能。 第一章绪论 图i - i 双稳态复合材料壳的延展和折迭两种特征状态 对于智能结构，如形状记忆合金和压电类结构进行分析是近年来国内外研究者所 从事的一个前沿研究领域，已经取得很大进展 4 卜 8 。像形状记忆合金已被考 虑或建议作为驱动系统用于卫星天线反射表面的伸展和航天飞行器有关装置的 分离与释放中 9 卜 1 2 。在研究结构延展特性的基础上，发展具有埋藏驱动系统 的柔性双稳态结构的理论模型和分析方法，对于设计和制造相应的工程结构具有 特别重大的意义。同时，对于非线性复合材料结构力学学科也具有重要的理论价 值。 功能材料主要有形状记忆合金( s m a ) ，压电材料( p z t 和p v d f ) 、电流变液 ( e r f ) 、磁流变液( m r f ) 、磁致伸缩材料等。这些功能材料各有优缺点，而压电 材料以其独特的优点在智能结构中得到了广泛的应用。因此，目前对智能结构的 研究热点之一是将压电材料集成于母体结构的压电智能结构，并取得了丰硕了研 究成果。用压电材料制作的压电传感器执行器是压电智能结构的基础。压电材 料具有两个基本特性：一是正压电效应，即当压电晶体在外力作用下发生变形时， 在它的某些相对应的面上产生异号电荷，这种没有电场作用而只是由于形变产生 的极化现象称为正压电效应；二是逆压电效应，即当对压电晶体施加一电场作用 时不仅产生极化现象同时产生形变，这种由于电场作用产生形变的现象称为逆压 电效应。在工程中可利用压电材料的正压电效应的原理制成控制系统的传感机 构，利用压电材料的逆压电效应的原理制成控制系统的执行机构。压电材料在智 能结构的应用中的主要优点有以下几个方面 1 3 ： ( 1 ) 压电材料具有正逆压电效应，这使得压电材料在智能结构中既可以作 传感元件又可以作驱动元件； ( 2 ) 频响范围宽； ( 3 ) 压电效应有较好的线性关系； ( 4 ) 压电材料的输入输出均为电信号，易于测量与控制； ( 5 ) 压电材料功耗低； ( 6 ) 压电材料容易加工得很薄，特别适合于柔性结构； ( 7 ) 压电材料在柔性结构的控制中作传感器时不需要参考点，而作为执行 2 第一章绪论 器也不需要支承点； ( 8 ) 压电材料的制各技术也日益完善和成熟。因此，压电材料被广泛地应 用在智能结构中作传感器和执行器。 白1 8 8 0 年居里兄弟最先发现压电效应以来，目前已知的压电材料已有近千 种，智能结构中应用最多的是压电陶瓷( p z t ) 和压电聚合物( p v d f ) 两类。其 中p z t 既可作传感器，又可作执行器。p v d f 产生的驱力太小，一般只用作传感 器。另外，压电漆和压电膜涂层等压电复合材料，可涂于复杂形状的结构上监测 结构的工作状态，使用也非常方便。 压电类智能结构中，压电材料于主体结构的连接方式有嵌入式与粘贴式两 种，而且分布形式又有连续分布与小片离散分布两种形式。分散粘贴点式压电执 行器不但制作较为方便，而且有利于有限元建模分析，便于进行结构与控制系统 的设计。因此，表面粘贴小片离散分布式压电智能结构的研究相对较多。 压电智能结构以其独特的性能，有着广阔的应用前景，正在受着越来越多的 重视，也取得了大量的研究成果。同时，我们也应看到目前的压电智能结构离工 程实用还有相当的距离，工程实用化方面的研究还相当薄弱，理论及仿真研究较 多，而实验验证则相对较少；研究对象以简单的板梁结构较多，对复杂结构的研 究还相当欠缺；压电智能结构在工程中实际应用的报道还比较少见，真正做出压 电智能结构硬件的研究还很少。因此，在进行理论研究的同时，还应加强实验研 究和工程实用方面的探索。本文将对将压电材料集成于双稳态复合材料的压电智 能结构进行有限元数值模拟。 1 2 研究概况 有关双稳态层合复合材料壳体( 管) 的研究是由英国剑桥大学工程系 p e l l e g r i n o 教授领导的可延展结构实验室最近率先进行的。目前，在国内已开 展了对双稳态复合材料的力学特性的研究 1 4 。 1 9 9 8 年i q b a l 和p e l l e g r i n o 提出了一个不考虑弯曲和拉伸耦合效应的简单的 线弹性双稳态模型 1 s 】，他们指出，虽然通常标准的复合材料结构几乎都是由采用 几何形状和材料关于中性面正对称的铺层方式，这是因为一般反对称铺层复合材 料受温度影响会产生扭转和弯曲变形，然而只有采用反对称铺层才能避免结构在 卷曲过程中的扭转变形，而正对称铺层结构在卷曲过程中则会出现扭转变形，如 图1 - 2 所示。 3 第一章绪论 图l - - 2 正对称和反对称铺层卜的两种不同的卷拢状态 他们对反对称铺层模型进行了应变能分析，建立了表征结构延展和折迭过程能量 的数学表达式，进行了算例分析，与实验结果进行了比较。然而此模型只考虑了 反对称铺层，限制了一些可能的变形( 如扭转) 对结构双稳态的影响，因而并不 能区别反对称铺层、正对称铺层以及各向同性系统之间双稳态力学行为的差别， 同时，此模型并不能精确的预测出壳的卷曲半径，也不能精确估计卷曲过程中壳 的最大应变。 2 0 0 0 年i q b a d 和p e l l e g r i n o 用有限元软件a b a q u s 对反对称铺层的双稳态复 合材料壳的卷曲过程进行了模拟 1 6 1 。他们在整个模拟过程中采用自动检测程 序，顺利地模拟出了双稳态壳卷曲的全过程。通过数值模拟，得到了壳在卷曲过 程中详细的局部变形以及中面应力分布，并可以通过这些结果来更好的预测双稳 态壳的潜在的力学性能。同时，他们利用有限元模拟结果计算了壳的卷曲半径并 与通过理论计算与实验得出的卷曲半径进行了比较，有较大的差异，差异的主要 原因是材料的非线性行为。 i q b a l 和p e l l e g r i n o 提出的不考虑弯曲和拉伸耦合效应的简单的线弹性双稳态 模型忽视了双稳态壳中力与曲率之间的耦合效应，限制了一些可能的变形模式， 因而并不能分析具有正对称铺层的壳的螺旋卷曲形状。2 0 0 0 年g a l l e t l y 和g u e s t 提出了一个更加全面的模型【1 7 】，此模型允许结构在纵向上有任意变形，并且假 设结构无限长，应变在长度方向上不变，横截面有一个不变曲率，因而可将结构 看成梁，采用简单梁理论来计算应变。他们分析了正、反两种铺层的壳结构，并 对结果进行了比较，预测出了两种铺层结构的第二种平衡状态以及平衡状态下的 结构应变状态，反对称铺层结构的结果同i q b a l 和p e l l e g r i n o 用有限元模型得出 的结果非常接近，然而同他们用实验得出的结果差距较大。他们分析了两种铺层 情况下结构的第二种稳定状态以及此稳定状态同第二种平衡状态之间的关系，稳 定状态一定在平衡状态之中，但平衡状态不一定是稳定状态，并且反对称铺层结 构比正对称铺层结构更容易达到稳定状态。 2 0 0 4 年g a l l e t l y 和g u e s t 在他们2 0 0 0 年提出的模型的基础上提出了一个梁 模型【1 8 】，此模型允许结构在纵向上有任意变形，横截面始终保持圆弧形状不变， 4 第一章绪论 但圆弧半径可变，同时模型没有考虑预应力。他们进行了几个算例分析：反对称 铺层结构、正对称铺层结构和各向同性结构。对于反对称铺层结构，当截面圆心 角大于某一值时，结构便达到平衡状态，但是这些平衡点中，只有一点能使结构 处于第二种稳定状态。当结构处于第二种稳定状态时，扭转应变为0 ，因而反对 称铺层可以忽略扭转变形。对于铺层角为4 0 0 的正对称铺层结构，在圆心角处于 0 0 3 6 0 0 的范围内存在平衡状态，并且在这些平衡状态中有一种是结构的第二 种稳定状态，然而这种稳定状态是在有扭转变形的情况下发生的，因而对于正对 称铺层结构，并不能忽略扭转变形。对于各向同性结构，存在平衡状态，但不存 在第二种稳定状态。他们将反对称铺层结构的卷曲半径的计算结果同i q b a l 和 p e u e g r i n o 用实验和有限元分析得出的卷曲半径结果进行了比较：同有限元分析 得出的结果很接近，然而同实验分析得出的结果有较大差距。主要原因是：在实 验分析中，当结构处于高应变状态时，基体不再是线弹性的，而是粘弹性的，而 在理论计算和有限元分析中，基体总是线弹性的。 2 0 0 4 年g a l l e t l y 和g u e s t 在他们提出的梁模型的基础上又提出了壳模型 1 9 】， 此模型没有像梁模型一样对横截面的形状做出假设，而是建立了一个微分方程用 来分析横截面形状的变化，从而找出结构的第二种平衡状态。同梁模型一样，他 们也进行了几个算例分析：反对称铺层结构、正对称铺层结构和各向同性结构。 对于反对称铺层结构，当截面圆心角大于某一值时，结构便达到平衡状态，但是 这些平衡点中，只有一点能使结构处于第二种稳定状态。同梁模型相比，除了会 在截面的边缘处形成一边界层外，壳模型在反对称铺层的情况下同梁模型还是非 常符合的，此边界层随截面圆心角的变化基本上不变。对于正对称铺层结构和各 向同性结构，得出的结果同用梁模型得出的结果是一致的。他们将反对称铺层结 构的卷曲半径的计算结果同i q b a j 和p e l l e g r i n o 用实验和有限元分析得出的卷曲 半径结果以及梁模型的卷曲半径的计算结果进行了比较：同有限元分析得出的结 果和梁模型的计算结果很接近，然而同实验分析得出的结果有较大差距。主要原 因是：在实验分析中，当结构处于高应变状态时，基体不再是线弹性的，而是粘 弹性的，而在理论计算和有限元分析中，基体总是线弹性的。 2 0 0 5 年g u e s t 和p e l l e g r i n o 又提出了一个简单的双参数模型 2 0 1 。在此之前， 已经提出了一些分析和计算模型，但是没有一个模型是全面的，为了获得对双稳 态复合材料的力学行为更全面的理解，在已提出的模型的基础上，此二人提出了 一个只根据两个参数来表达双稳态壳的平衡和稳定条件的新模型。为了使模型更 简单，他们假设所有变形都是不可扩展的，提出了一个不可扩展的模型。此模型 假设中面不存在拉伸，从而简化了计算。他们指出，对于壳的每一种可能的变形， 必有一种潜在的圆柱与之对应，所以只需两个参数就可以定义壳的所有可能的形 5 第一章绪论 状，一个定义潜在圆柱的半径，另一个定义同这个圆柱相关的壳的方向。他们得 出了由圆柱曲率和壳方向表征的能量的表达式，并且进行了几个算例分析：反对 称铺层结构、正对称铺层结构、正对称铺层结构和各向同性结构。在几个算例中， 分析了应变能，平衡点以及这些平衡点的稳定性，同时绘出了应变能随圆柱曲率 和壳方向变化的关系图。此模型得出的结果同i q b a l 和p e l l e g r i n o ( 2 0 0 0 ) 和 g a l l e t l y 以及g u e s t ( 2 0 0 4 ) 采用更加复杂的模型分析计算得出的结果很接近。 以上介绍的一些文献对各向同性材料结构进行了分析，结果显示各向同性结 构不具有双稳态特性，但是这只是对无预应力的各向同性结构而言，而具有预应 力的各向同性结构存在第二种稳定状态。2 0 0 4 年k e b a d z e ，g u e s t 和p e l l e g r i n o 对 具有预应力的各向同性材料壳的双稳态特性进行了研究 2 h 。他们指出，塑性弯 曲引起的残余应力的分布使各向同性材料壳具有两种稳定状态。他们以金属壳为 研究对象，描述了残余应力形成的弹塑性过程，分析了相关的应力的分析，提出 了一个刚塑性模型，得出了残余应力分布的表达式和壳在两种平衡状态时的曲 率，并将这些结果同由实验得出的结果进行了比较，并且结果比较接近，最后研 究了壳在平衡状态时的稳定性，指出结构稳定的关键因素是沿壳轴向分布的残余 弯曲应力的存在。 最近n i e 和g u 对双稳态壳体结构了进一步研究 1 4 。他们考虑了弯曲和拉 伸的耦合效应，建立了双稳态力学模型，并给出表征结构延展和折迭过程能量的 数学表达式。通过数值计算，确定了结构铺层角、铺层数等几何参数以及弹性模 量、剪切模量等材料参数对结构卷曲半径的定量影响程度。 研究压电材料集成于双稳态材料中所形成的压电智能结构的力学性能，对于 结构可延展的控制在理论上具有重要价值，对于航空航天等领域的工程应用也具 有重要意义。目前国内外对含压电层该类结构的研究还没有相关的报导，本文对 此进行了初步探索。 1 3 复合材料结构双稳态性能的应用 双稳态复合材料主要用于轻便的结构或装置，有两种基本用途：( 1 ) 双稳 态复合材料可以展开成柱或管这样的刚性结构。双稳态材料携带方便，容易储存， 使用方便，具有简单的驱动机构，较高的生命周期以及较强的抗腐蚀能力，因而 在许多领域跟传统材料相比有明显的优势，已应用于多种领域，如：通信天线、 相机、帐篷、电缆套、管道系统、绝缘系统以及玩具等等。图l - - 3 利用复合材 料结构双稳态性能制成的国旗。图1 4 设计应用在野外的灯杆，由于是由双稳 态复合材料结构制成，所以可以卷拢后放进背包里，运输非常方便。( 2 ) 双稳态 复合材料管可以通过机械驱动从而形成一个线性驱动器。它们可以用来引导照相 6 第一章绪论 机、操纵器以及其他设备沿着管道下降甚至进入限制区域。图1 5 是双稳态管 展开的驱动机制。图1 6 是核电厂用来检测核反应堆和其他容器基部的伸缩照 相机。 图1 3n a t i o n a lf l a g s 图1 - - 4r o l a m a s t 7 1 4本文所做的工作 图l 一5 双稳态管展开的驱动机制 图1 6 伸缩相机装置 1 分析含压电层双稳态结构的变形，计及弯曲和拉伸耦合效应，建立表征结构 延展和折迭过程能量的数学表达式 2 通过计算确定结构在双稳态过程中曲率变化对结构性能的影响，研究结构铺 层角，电压等参数对结构卷曲半径的影响程度。 8 第一章绪论 3 采用有限元软件a n s y s 建立层合壳有限元模型，对含压电层双稳态复合材 料结构的卷曲变形进行数值模拟分析，并与理论解进行比较。 9 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 2 1 前言 本文中研究的复合材料结构是由单向玻璃纤维增强复合聚丙烯材料和压电 聚合物p v d f ( 聚偏氟乙烯) 构成的层合板，是由多个单层板粘合而成的，由于 各单层很薄( o 2 衄左右) ，所以层合板的总厚度与其它尺寸( 如边长) 相比小得 多，因而在整体上可把层合板视为一块非均质的各向异性薄板。在用经典理论研 究层合板的弹性特性时可作如下假定 2 2 2 4 ： 1 各单层之间粘结牢固，不产生滑移，因而变形在层间是连续的。 2 各个单层处于平面应力状态。 3 变形前垂直于层合板中面的直线段，变形后仍为垂直于变形后中面的直 线段，并且长度不变，此即直法线不变假定。 4 平行于中面的诸截面上的正应力与其它应力相比很小，可以忽略。 5 在本文研究的范围内，层合板是线弹性的。 本文所研究的压电聚合物p v d f 为半结晶聚合物，分子式为( o h ：一c f ：) 。， 由于合成方法不同，其熔点在1 5 0 1 8 0 0 c 范围内 2 5 】。 p v d f 的特点：( 1 ) 柔顺系数高。其弹性柔顺系数为p z t 压电陶瓷的3 0 倍。 因此，其可以制成大面积的薄膜，可以弯曲和折叠；其加工容易，可制成所需要 的各种形状和尺寸，其能紧密贴附于各种表面( 包括异形表面) 。( 2 ) 压电电 压常数高。p v d f 的压电电压常数较压电陶瓷高一个数量级以上。因此，p v d f 压电聚合物很适于制作具有高灵敏度的超声换能器、换能器阵和各类压力传感器 件。( 3 ) 机械品质因数低。材料的这一特性使其很适于制作宽带换能器和高频 水听器，因为用p v d f 制作的上述器件可以在很宽的频率范围内得到平坦的频率 响应曲线。( 4 ) 声阻抗低。p v d f 的声阻抗与水和人体软组织的声阻抗相近。这 非常有利于换能器与水和人体软组织的声学匹配，提高换能器的转换频率。( 5 ) 性能稳定。p v d f 性能稳定，不易受周围环境，如灰尘、温度、湿度等条件的影 响，而且具有较强的抗化学腐蚀和抗辐射的能力。 p v d f 的性能：p v d f 压电聚合物是一种铁电材料，具有压电性和热释电性。 p v d f 质地柔韧，耐冲击，不易破碎和被振裂。其成型性好，易于加工，可制成 达到而薄的膜片；性能稳定，不易受温度、湿度和灰尘等环境条件的影响，具有 良好的抗辐射性。p v d f 很适于研制高频超声换能器件。其制作的换能器、传感 器，重量轻、结构简单，利于小型化。同时，在检测中，可适用于不规则的异形 表面。 p v d f 应用：作为一种新型压电材料，p v d f 压电聚合物以其独具的的特性 1 0 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 在电声、水声、超声以及医学声学等领域有着广泛的应用。同时还在压力传感、 机电转换、压电引信、入侵报警和红外检测等许多方面得到应用。 2 2 层合板的应力一应变关系 2 2 1 单向板考虑压电效应的本构关系 压电材料的压电工作机理比较复杂，而且根据材料种类的不同而不同。可以 用以下的简化模型加以说明： 压电材料是一种电介质材料，材料内部并没有自由电子，也不是导体。在自 由状态下，其内部的电偶呈无序状态或者有序对称状态，所以外界观测到的电势 处处相等。但是当压电材料受到某个特定方向的外力时，其内部电偶呈有序同向 状态，在特定表面出现束缚电荷，对外显示出极性。所以压电材料本身并不能导 电，受力时只能产生一个电场。根据压电材料的本构关系和弹性力学基本方程， 理论上可以求得受力时产生的电场及电势。 处于某个确定的相的电介质，不同热力学变量之间有固定的联系。描述电介 质的变量共有6 个：应力、应变、电场强度、电位移、温度和熵。描述压电材料 中这些变量之间联系的方程就称为压电材料本构方程，简称为压电方程。 压电体在弹性限度范围内，由于应力可以由应变和电场两方面产生，根据弹 性结构关系式 2 6 1 ，可以得到： = c 翕一e k i j b ( 2 - 1 ) 式中，o r 为应力；s 为应变；e 为电场强度；c 为弹性刚度常数；p 为压电 应力常数。 以上压电方程的导出是完全建立在实验基础上的。事实上，压电方程可以严 格地从热力学理论推导出来。 上述压电方程可缩减表示为： o 矗= c e “e s 6 , , l 一矿( 2 - 2 ) 本文所讨论的压电材料为压电聚合物p v d f ，p v d f 在极化之前呈各向同向， 经过极化处理后，呈各向异性。所谓极化，就是在电场中，电介质内部产生宏观 电偶极矩的现象。 式( 2 - 2 ) 可以写成以下形式 即 q ic 1 2q 3 q 2c 2 2 q 3o oo 0 ooo oo 0 0 00 ooo o00 e 4 4 00 0 c 5 5 0 0 0 毛 乞 毛 肠 7 3 , 2 00 e 3 1 00 e 3 2 00 e 3 3 0 e 1 5 0 岛5 0 0 0oo ( 2 - 3 ) 由假设2 ，考虑平面应力状态，令压电材料的极化方向为壳的厚度方向，沿 厚度方向( 极化方向) 作用一电场e ，在外力和电场共同作用下，压电材料的本 医 = 杀霉三 墨 一 oi 寻 翻 q 棚 层合壳中双稳态复合材料单向玻璃纤维增强复合聚丙烯的基本弹性常数 横向弹性模量岛= 2 9 7 g p a 面内剪切弹性模量g l ，= 1 3 9 g p a 纵向泊松比u n = 0 4 横向泊松比u 。= 0 0 4 其正轴方向的应力应变关系可以写成如下的矩阵形式 2 7 】： 刚吲1 e l 既一。髻l r ，e 一0e ( 2 - 5 ) 0 i l g l r , 2 j 岛| _ i 一既 1 岛 l l 盯2i b 。：jl o j l f 式中联系应力一应变关系的各个系数可以记成： s l l = i i e ls 2 2 = 1 岛 s 秘= l g l r ( 2 - 6 ) s u = - u h | e f s n = u n | e l 用柔量分量表示的单向板在正轴坐标系下的应变一应力关系如下： 墨 = 誊s 1 2 曼e q 。乃 q 吒q h 亿 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 式( 2 7 ) 也可写成以模量分量表示的应力一应变关系的矩阵形式： 刚餮q 1 2 删o ( 2 8 ) 模量分量记为 q l ，= ( 1 一吼，d 豇) 。1 邑如= ( 1 一也，) - 1 岛瓯= g 上， ( 2 9 ) q i ：= q 2 。= ( 1 一，) _ 1 吼r 邑= ( 1 - - u r ) - 1 岛 因此双稳态复合材料的本构关系( 2 - 8 ) 亦可写成( 2 4 ) 的形式，只是此时，压电 曩 = 萼：学q 1 2 兰 墨e 2 一 吾 e g 一 卧 q ，q ： q 2 。q 2 ： q l 。q 2 。 式中磊为偏轴模量常数，定义为 q l 。 一 q 2 ： 一 9 l ： 线 一 q 1 。 q 2 6 捍4 m 4 m 2 n 2 m 2 n 2 一m 3 一m 3 以 其中 m = c o s 8 刀= s i n 0 2 m 2 h 2 2 m 2 n 2 m 4 , 4 2 m 2 栉2 小n 3 一m 3 n t 3 n m y 3 q l 。 q 2 ： q l ： 纨 2 2 2 多向层合板考虑压电效应的本构关系 若直法线假定成j z 2 s - 2 9 1 ，则意味着在板中任何一点有： 1 3 ( 2 1 2 ) d o q f 1j o _。l 一 1j 毛5 l 矿韬西州哪纛器 。 驴矿，n一 矿槲槲砌 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 s ：堂：! ：尘：o 坛：堂掣+ 掣：o ( 2 1 3 ) ：堂掣+ 掣：o 院卯 将式( 2 - 1 3 ) 对z 积分，得 以，y ，z ) = 毗y ) k ，：) ：“。g ，y ) 一：垒掣 2 - 1 4 ) ，b y ，：) ：v o g ，j ，) 一z 鱼掣 占。：学；譬如：半(215)6yy 2 瓦2 瓦屯2 西 t 小 2 瓦+ 瓦y “2 西+ 面y * 。瓦+ 瓦 刚剩纠 回 霉： ；嚣：嚣：嚣：1 霉： 一答 e 耻， g 。乃 【蟛) j 酣鲫兹j 【膨jl0j 变p 和曲率切 表示如下： 季 = 蓁i 垂i 垂) 差o i + z 主 - - 乏； e ( 2 - 1 s ) 0 l 秽，i - | 鲻，璐，兹，l i | 髟乃l彰l e 【蟛) j 【或磁兹儿【砖j 【如j j 【j 式中疹k 是第七层单向板在砂坐标系中的刚度阵，z 为第七层至层合板中面的坐 1 4 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 标。沿层合板截面求应力合力，即通过做下式的积分运算，将式( 2 - 1 8 ) 表示的各 层应力对厚度积分，得到层合板的面内应力合力；同时，在静平衡条件下，作用 于层合板上的力矩，等于层合板横截面上的应力对中面之矩的和，即有： 阱 于是可得 差 + z 耋 出一砉 誊卜耻k q 一- 9 ， 差 + ： 差 砌一砉e 警卜耻) 砘q 一2 式中，4 = 姜酗，岛= 喜虿砘，岛= 喜。西2 比 由电场引起的合力和合力矩为： 爱1 = 粪 警卜忙) 出 荔 = 喜 毒：卜耻) 砘 + ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 2 ) 佗一2 3 ) ( 2 - 2 4 ) 酣鲫鲋鲋蒯鲋 鲋鲫鲋鲋鲫酣鲫鲋钾鲋酣 严k m = 1j 虬蜂 。l 孵彬心彬彬蟛够砖以乃如 廊彩廊风现璐 如励助m 锄m廓尻廓肌比肌 以九如玩如瓦如如如吆厶如丸氏以q坂吩 孵杉蟛彤蟛蟛 m以以彬 虬一m露矾曰一 式( 2 - 2 1 ) 便可写成 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 式中匆) 和忙) 分别称为虚构内力和虚构内力矩 对上式求逆得 上式也可写成 e o ? 璃 z ? z ： z 笔 其中机械 y 艺。 x ： z ； z ： 电应变为 + 蟛 z ： z ：。 瑶 ( 力学) 4 la 1 2 4 ：如 4 。4 。 马。且： 且：岛： b 1 5b m 应变为 4 。且。 氏日： 氏e 。 蜀。d l 。 玩d l ： 瓦d i 。 1 6 但z s ) ( 2 - 2 6 ) f 2 2 7 ) ( 2 - 2 8 ) 口够砖以乃 叮joooooioooooo儿 m 如如m 跏璐 m 励如m m 办 1 2 6 2 6 蟊西鼠历n 肪 氐厶以氏庇如知如如如 i i“如氏艮 m一以一皿一坞瓦 最瓦瓦甄巧瓦 乳如如m 璐璐 耽如如仉如m绯耽础肌珧珧九氏氏民屯如厶 l 2 6 l 2 6 4 a a 曰丑丑 g 砖以乃如 e彬砖厄乃 以以以以 郎础础m m 璐耽耽如m 伽廊 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 n ： n ： n ： m ： m ； m ： ( 2 2 9 ) 2 3 正对称铺层和反对层铺层的比较 通常标准的复合材料结构几乎都是由采用几何形状和材料关于中性面正对 称的铺层方式。反对称铺层复合材料应用很少，很重要的一个原因是一般反对称 复合材料受温度影响会产生扭转和弯曲变形。 双稳态复合材料壳可以采用正对称或反对称铺层方式，但是只有反对称铺层 方式可以得到图1 1 中卷拢的状态。通过比较两种铺层方式下的a b d 矩阵可以 找到解释这种现象的答案。 假定x 和y 轴分别为壳体的纵向和横向方向，首先选取双稳态复合材料铺层方式 为【“5 0 一4 5 0 0 - - 4 5 0 + 4 5 0 】的正对称铺层，每层厚0 2 m m ，壳上下表面再各 铺一压电层，压电层每层厚0 2 m m ，总厚度为h = 1 4 m m ，则有 牛 f 2 3 0 ) 其中a 矩阵单位为g p a 埘加，b 矩阵单位为g p am l n 2 ，d 矩阵单位为g p a r t i m 3 ，注意到b = 0 ，因此不会产生拉弯耦合效应。而由d 矩阵可看出存在弯扭 耦合，这意味着如果给一块平板沿着边界上加上纯弯矩，o , m y o , m 。= 0 ) 会同时产生弯曲和扭转变形k o ，r ，o ，式o o ) 。如果代之以圆柱壳，则卷拢 状态为螺旋状( 见图2 1 ) ，因为在卷拢状态下圆柱壳的纵向和横向不再是主曲率 方向。 再选取双稳态复合材料铺层方式为 “5 0 一4 5 0 0 - t - 4 5 0 ，一4 5 0 】的反对称铺 层，每层厚0 2 m m ，壳上下表面再各铺一压电层，压电层每层厚0 2 r a m ，总厚 1 7 砧励麻仉璐璐屁励励跏砌m m 耽风肌珧巩丸厶如钆瓦如如氏a如氏艮 擘哆学钟群 o o o 2 2 7 o o o 猫舯力 1 l o o o o 9 2 2 o o 3 o o o 6 彤m o o o o 7 ：堡o o o o 第二章含压电层复合材料结构的基本方程 图2 1 正对称和反对称铺层下的两种不同的卷拢状态 度为h - - i 4 m m ， 牛 ( 2 3 1 ) 系数d l 。和d 2 。为零表明，弯曲和扭转不会产生耦合，在卷曲状态下壳的径向和 横向曲率由此成为主曲率。虽然反对称铺层方式下b 0 ，但是弯扭耦合对双稳 态性能的影响很小。 为了避免结构在折迭过程中的扭转变形，纤维布置相对于管的中面需要是反 对称的。 1 8 舶舶o o o 州刮o o o 盯 8 o o 等m o 8 o o心雠协o 7 “ o。；一。 焉o o o 一怒缁：。一 第三章双稳态结构的应变能 第三章双稳态结构的应变能 如图2 1 所示，在第一种稳定状态( 延展状态) 下，它是伸展且没有应变的： 在第二种稳定状态( 卷曲状态) 下，虽然被卷曲，有着较大的应变，但是它不会 自由释放应变能到零，因为这种卷曲的状态对应着应变能的局部最小值，要使它 恢复到原来的伸展状态需要对它做一定的功，所以在卷曲的状态下它同样能保持 稳定。圆柱壳的卷曲过程如图3 1 所示。 图3 - 1 圆柱壳的卷曲过程 3 1 应变能分析 由式( 2 2 7 ) 一( 2 2 9 ) 可知总应变等于机械应变和电应变之和，并且在无 约束情况下机械应变和电应变是相互独立的，因此可将变形分为两步分析 第一步电场作用下产生变形 第二步将圆柱壳卷曲到稳定状态 记r ，= r 为横截面上圆弧的初始半径，即y 方向的初始曲率1 r ，声是圆 弧的圆心角，m ，是引起纵向曲率变化的弯矩，膨，是引起横向曲率变化的弯矩。 则电场作用引起变形后的曲率为 第三章双稳态结构的应变能 = 隆彩 i 砖 对于圆柱壳的卷曲过程，同样可以分为两步来实现，如图3 - 2 所示。第一步， 在圆柱壳边界上加载一个弯矩m ，使它的横向曲率由玄+ 彩变为b ，这一变形过 程只产生弯曲应变能的变化。第二步，在圆柱壳顶端加载弯矩m ，使它的纵向曲 率由z 变为q ，这一步同时发生弯曲应变能和拉伸应变能的变化。假定 乙= m = ，= m ，= 0 ，由于该材料采用反对称铺层，不会产生弯曲和扭转的 耦合，所以k = 0 。 ( a ) 初始外 3 1 1 弯曲应变能 将式( 2 2 5 ) 变换得 ( b ) 变形几何与内力图 图3 - 2 圆柱壳弯曲变形图 第三章双稳态结构的应变能 g 砖 m 。 m y m w = 瞄劫 m n y n 。 苁 z v 式中各子矩阵 4 = 彳1b = 彳一1 口c = 删一1d = d b a 一1 b 可得 = 层。厄+ 乃= 鹾。( 疋一z ) + ( q i 1 一衫) 单位体积上弯曲应变能表达式可表示为 h 。= 跏以+ m + m ，z 注意到k = o ，蜀。= 且：2 岛：= d l 。= 战= 0 由式( 2 2 5 ) 和( 3 3 ) 可得 = 丢 墨。岛+ q 。( 一z ) + d l ：( 一i 1 一彩 】( k z ) + 【芝。岛 + d l ：( b z ) + 。b ( q i 1 一杉 】( q i 1 一彩) ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) = i 1 ( 骂。层。+ d 1 。) ( k 一篇pj 2 + ( 且。+ 岛。磁。+ 2 d l ：) ( k z ) 一一i 1 一彩) + ( 氏+ 如) ( q i 1 一衫) 2 ：x 1 写裂p 戛1 v 卅“仔s ，+ d l ：( k z ) + d 2 ：( b 一去一衫) 】( 一去一衫) 卜叫 = 三足【( 局。+ d l 。) ( 一z ) 2 + ( 氏+ 瓦+ 2 d , ：) ( e z ) 一一i 1 一衫) + ( 氏+ 如) 卜一i 1 一衫) 2 】 2 1 第三章双稳态结构的应变能 3 1 2 拉伸应变能 纵向正应变为【1 5 】 铲l 2 s i n ( 巯f l r 。x j , 2 ) 一c o 。s a j 予l 注意到毛“0 利用单位体积上拉伸应变能表达式 钍i = i i 。n l s o l + ny 砖+ n o q 综合式( 2 - 2 5 ) 、( 3 - 6 ) 、( 3 7 ) 、( 3 8 ) 可得 虬剖掣一詈卜科 对整个横截面上弧长的长度进行积分，得到 单位长度整个横截面上的拉伸应变能 虬= 每华陪掣一等铲 ( 3 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 9 ) ( 3 1 0 ) 3 2 总应变能 总应变能表达式为 u=+以(3-11) 利用上述应变能和曲率之间的关系可以定量确定几何参数以及材料参数对 结构卷曲半径( r x = 1 x ，) 的影响。 3 3 算例分析 研究双稳态复合材料铺层方式为【+ 口一目o + 口一明的压电双稳态结构，其 中双稳态复合材料为单向玻璃纤维增强复合聚丙烯材料，压电材料为压电聚合物 p v d f 。在计算中，都考虑了材料的拉弯耦合。 复合材料的基本弹性常数为： 纵向弹性模量e ，= 2 6 6 g p a 横向弹性模量b = 2 9 7 g p a 2 2 笙三童翌塑查垄塑堕壁茎丝 面内剪切弹性模量g l ，= 1 3 9 g p a 纵向泊松比= 0 4 横向泊松比吼r = 0 0 4 压电材料p v d f 的材料参数为【3 0 】： 刚度矩阵( 1 0 9 n m 2 ) ： 【c 】= 压电应力矩阵( c m 2 ) ： 纠= o o 0 0 0 0 0 3 8 8 0 o o 0 0 0 3 8 8 o 1 3 00 m = i o1 3o i 1 0 0 1 3 j 初始曲率半径r ，= 2 5 m m o 0 1 0 4 一o 0 1 6 4 0 0 6 5 o o o o 0 0 o o 1 3 8 8 o o o o 3l 8 o o o 3l 4 8 2 8 3 9 4 4 6 跗蛇 4 6 i8 第三章双稳态结构的应变能 图3 2 不同电压作用下铺层角对卷曲半径的影响( 初始曲率半径r 。2 5 r a m ) 图3 3 电压对卷曲半径的影响( 初始曲率半径r y2 2 5 r a m ) 第三章双稳态结构的应变能 图3 - - 4 不同电压作用下初始曲率半径r ，对卷曲半径的影响p = 4 5 。) 图3 - 5i o o v 电压作用下铺层数对卷曲半径