（基础数学专业论文）高阶边值问题解的存在性与多重性.pdf

摘要 本文主要研究高阶微分方程边值问题解的存在性与多重性论文分 三章对一类非线性四阶双参数及四阶奇异边值问题进行了讨论在第一章 中，我们主要利用强单调映象原理和临界点理论研究算子方程解的存在性 与多重性，然后把算子方程的抽象结果应用到非线性四阶双参数两点边值 问题中我们对非线性项，进行一些适当的限制，得到了边值问题解的存 在性，唯一性以及多解性这部分内容已经被s c i 收录的核心杂志( ( j m a t h a n a l a p p l 接收，见 1 7 】在第二章中，我们利用算子方程的抽 象结果来研究一类四阶奇异边值问题在非线性项，满足适当的条件时， 我们得到问题至少有两个正解，一个正解，没有正解的结论这部分内容 已发表在山西大学学报，见 2 4 在第三章中，我们首先利用拓扑度 理论及不动点指数理论研究非线性算子方程的变号解的存在性，然后把这 些抽象结果应用到四阶双参数边值问题中，所研究的方程与第一章相同 在这一章中，我们利用拓扑度理论与不动点指数理论得到算子方程变号解 的存在性，并且推广了著名的a m a n n 三解定理这部分内容已经被s c i 收录的核心杂志“j m a t h a n a l a p p l 接收，见f 1 8 1 下面，我们对本文的主要结果加以具体阐述 在第一章中，我们主要讨论以下四阶双参数边值问题( b v p ) ： fu ( 4 ) ( t ) + 卢“”( t ) 一a u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 0 ，1 1 ， u ( o ) = “( 1 ) = 0 ， ( 1 1 1 ) 【t , t t ( o ) = ( 1 ) = 0 解的存在性、唯一性及多解性，其中f ：0 ，1 r 1 - - + 瓜1 连续，卢r 1 且满足p 2 7 r 2 ，2 + 4 a 0 ，7 r 4 + p 丌2 1 主要结论如下： 定理1 4 1 设对每一个t 0 ，1 ，i ( t ，札) 关于“是减函数，即 f ( t ，u 1 ) f ( t ，饥2 ) ，i t l ，9 2 1 且钆1 o 使得f ( t ，“) 垒片f ( t ，v ) d v 卢“，0 ，“) ，te 0 ，1 且i “l r ； ( b 2 ) l i r as u p 。_ 0 f ( t ，u ) u 7 r 4 一j 臼一一o l 对t f o ，1 1 一致成立 则b v p ( 1 1 ，1 ) 在c 4 o ，1 】中至少有一个非零解 定理1 4 5 设，( ，“) 关于乱是奇函数，即f ( t ，一“) = 一f ( t ，“) ， t o ，1 ，i t 碾1 进一步假设定理1 4 4 中条件( b i ) 成立以及l i r as u p 。- + o f ( t ，u ) “ 丌4 一卢7 r 2 一o l 和l i h - + o 。f ( t ，u ) u = + 。对tef o ，1 一致 成立则b v p ( 1 1 1 ) 有无穷多个解 定理1 4 6 设条件( b 1 ) 成立，且 ( b 3 ) l i ms u p 。_ o f ( t ，札) u 0 使得( x ) 卢z ，ze 碾+ 主要结论如下： 定理2 2 1 。设( h 4 ) 和( h 5 ) 成立则存在a + 0 使得b v p ( 2 1 1 ) 对所有ae ( 0 ，a + ) 至少有两个正解，对a = a + 至少有一个正解，对a a + 摘要 1 1 1 没有正解 定理2 2 2 设( h 4 ) 和( h 6 ) 成立则存在a + 0 使得b v p ( 2 1 ，1 ) 对所有a ( 0 ，a + ) 至少有一个正解，对a a + 没有正解 在第三章中，我们仍然讨论b v p ( 1 1 1 ) ，给出下列条件： ( d 1 ) ，： o ，1 x r l - - + r 1 连续且在 o ，1 上，( ，0 ) = 0 以及，( ，s ) s 0 ，s 豫1 ； ( d 2 ) 乜，卢r 1 满足卢 2 7 r 2 ，乜一卢2 4 ，及d 丌4 + 卢7 r 2 1 我们得到b v p ( 1 1 1 ) 变号解的存在性，主要结论如下： 定理3 4 2 设条件( d 1 ) ，( d 2 ) 成立，且假设 ( d a ) l i m 。+ 0 f ( t ，“) 札= 如对t 0 ，1 一致成立，且f o ( 卵2n o ) 叩2 。+ 1 ) ； ( d 4 ) l i i 地。o 。f ( t ，u ) u = a 对t 0 ，1 一致成立，且，。 ( o ，m i n 1 ( 2 c o ) ，1 ( 2 c 1 ) ) ) 则b v p ( 1 1 1 ) 至少有三个解，其中一个正解，一个负解，一个变号解 关键词：四阶双参数边值问题；奇异边值问题；强单调映象原理；临 界点理论；变号解；不动点指数 l v a b s t r a c t 摘要 w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oh i g ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nt h i sp a p e r t h i st h e s i si sm a i n l yc o m p o s e do ft h r e ec h a p t e r si n w h i c hw ed i s c u s ss o m ef o u r t h - o r d e rw i t ht w op a r a m e t e r sa n df o u r t h - o r d e rs i n g u l a r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o rn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e ri ， w em a i n l yu s et h es t r o n g l ym o n o t o n eo p e r a t o rp r i n c i p l ea n dt h ec r i t i c a lp o i n tt h e o r y t od i s c u s st h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n st oak i n do fn o n l i n e a ro p e r a t o r e q u a t i o n sa sa na p p l i c a t i o n ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c ea n dm u l t i p l i c i t yo fs o l u t i o n s t of o r e t h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sf o ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w o p a r a m e t e r s ，a n dg i v es o m en e we x i s t e n c er e s u l t so fs o l u t i o n s w ee s t a b l i s hs o m es u f - f i c i e n tc o n d i t i o n so nn o n l i n e a r i t yfw h i c ha r ea b l et og u a r a n t e et h a tt h ep r o b l e mh a s au n i q u es o l u t i o n ，a tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o n ，a n di n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n s t h i s p a r th a sb e e na c c e p t e db y ，m a t h a n a l a p p l ，s e e 【l r ，t h ec o r em a g a z i n ee m b o d i e d b ys c i i nc h a p t e ri i ，w eu s et h ea b s t r a c tr e s u l t sa b o u tn o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n s t os t u d yf o u r t h o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s u n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n so n n o n l i n e a r i t yf ，w ee s t a b l i s hc o n d i t i o n ss u c ht h a tt h ep r o b l e mh a sa tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n s ，a tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n dn os o l u t i o n s ，r e s p e c t i v e l y t h i sc h a p t e r h a sb e e np u b l i s h e do nj s h a n x iu n i v ，s e e 2 4 i nc h a p t e ri i i ，t h em o d e lw ed i s c u s si s s i m i l a rt ot h eo n ed i s c u s s e di nc h a p t e ri f i r s t l y ，w em a i n l ys t u d yt h ee x i s t e n c eo fs i g n c h a n g i n gs o l u t i o nt on o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sb yu s i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e ea n d f i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y f u r t h e r m o r e ，t h et h e o r e t i c a lr e s u l t sa r es u c c e s s f l l l l ya p p l i e d t of o u r t h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t ht w op a r a m e t e r s t h em a i nt h e o r e m s ， i nf a c t ，a r es o m en e wt h r e e s o l u t i o nt h e o r e m sw h i c hi n v o l v ei ns i g n c h a n g i n gs o l u t i o n s a n dg e n e r a l i z ea r n a n n st h r e e s o l u t i o nt h e o r e m s t h i sp a r th a sb e e na c c e p t e db yj m a t h a n a l a p p l ，s e e 1 8 ，t h ec o r em a g a z i n ee m b o d i e db ys c i i nt h ef o l l o w i n g ，w es t a t et h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sc o n c r e t e l y i nc h a p t e ri ，w em a i n l yc o n s i d e rt h ef o l l o w i n gf o u r t h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ht w op a r e m e t e r s ( b v p ) ： iu ( 4 ( t ) + 卢“”( ) 一a u ( t ) = f ( t ，“( t ) ) ，t 0 ，1 ， u ( o ) = 札( 1 ) = 0 ， ( 111 ) iu ”( o ) = u ”( 1 ) = 0 ， w h e r e ，： 0 ，1 r 1 r 1i sc o n t i n u o u s ，o l ，卢r 1a n d 卢 2 丌2 ，卢2 + 4 n 0 ，。7 r 4 + 口丌2 1 t h em a i nr e s u l t sc a nb es t a t e da st h ef o l l o w i n g 摘要 v t h e o r e m1 4 1 s u p p o s et h a tf o re a c ht 0 ，1 】，f ( t ，u ) i san o n i n c r e a s i n g f u n c t i o ni nu ，i e ，f ( t ，7 2 1 ) f ( t ，“2 ) f o ra l lu ia n du 2i nr 1w i t hu l 0s u c ht h a tf ( t ，) 垒片( t ，v ) d v t t u f ( t ，u ) f o ra l lt 【0 ，1 a n d 川冗； ( b 2 ) l i ms u p 。- + o ( t ，) 7 2 7 r 4 一卢2 一。 u n i f o r m l yf o rt 【0 ，1 1 t h e nb v p ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s to n en o n z e r os o l u t i o ni nc 4 o ，1 | t h e o r e m1 4 5 s u p p o s et h a tf ( t ，) i so d di nu ，i e ，f ( t ，一u ) = 一f ( t ，u ) f o r a l lt 【0 ，l 】a n d 札r 1 a n ds u p p o s et h a tt h ec o n d i t i o n ( b 1 ) i nt h e o r e m1 44i s s a t i s f i e da n dt h a t l i ms u p u _ of ( t ，u ) u 7 r 4 一卢丌2 一da n dl i m “_ + o 。f ( t ，“) u = + o ou n i f o r m l yf o r t 【0 ，1 t h e nb v p ( 1 1 1 ) h a si n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n si nc 4 o ，1 _ t h e o r e m1 4 6 a s s u m et h a tt h ec o n d i t i o n ( b 1 ) h o l d s ，a n dt h a t ( b 3 ) l i r as u p 。_ of ( t ，u ) u 0s u c ht h a t ，( 。) 弘茹f o r a l l 上匙+ w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ， t h e o r e m2 3 1 a s s u m et h a t ( h 4 ) a n d ( h 5 ) h o l d t h e nt h e r ee x i s t sa + 0 s u c ht h a tt h eb v p ( 2 11 ) h a sa tl e a s tt w os o l u t i o n sf o ra l la ( 0 ，a + ) ，a tl e a s to n e s o l u t i o nf o ra = a + a n dn os o l u t i o nf o ra a + t h e o r e m2 3 2 a s s u m e ( h 4 ) a n d ( h s ) h o l d ，t h e nt h e r ee x i s t s 0s u c h t h a tt h eb v p ( 2 1 1 ) h a sa tl e a s to n es o l u t i o nf o ra l la ( 0 ，a 4 ) a n dn os o l u t i o nf o r a i nc h a p t e ri i i ，w es t i l ld i s c u s st h eb v p ( 1 11 ) f u r t h e r m o r e ，w es u p p o s et h a t 八，0 ) = 0o n 0 ，1 a n d 几，s ) s 0 ，s 0 ，1 】t h em a i nr e s u l ti st h ef o l l o w i n g ： t h e o r e m3 4 2 a s s u m et h a t ( d 3 ) l i r a 。斗of ( t ，“) 让= u n i f o r m l yf o rt 0 ，1 】，a n d ，0 ( r 2 n 。，叩2 n 。+ 1 ) ； ( d 4 ) l i r a 。( t ，“) = 厶u n i f o r m l yf o rt f 0 ，1 ，a n d 忍( 0 ，m i n 1 ( 2 c o ) ， 1 ( 2 c 1 ) ) t h e nb v p ( 11 1 ) h a sa tl e a s to n es i g n c h a n g i n gs o l u t i o n 。m o r e o v e r ，t h ep r o b l e ma l s o h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o na n do n en e g a t i v es o l u t i o n k e yw o r d s ：f o u r t h o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mw i t ht w op a r a m e t e r s ；s i n g u l a r b 0 1 m d a r yv a l u ep r o b l e m ；s t r o n g l ym o n o t o n eo p e r a t o rp r i n c i p l e ；c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ； s i g n c h a n g i n gs o l u t i o n ；t h ef i x e dp o i n ti n d e x 第一章一类四阶双参数边值问题解的存在性与多重性 1 1 引言 在本章中，我们主要考虑以下四阶两点边值问题 iu ( 4 0 ) + 卢u ”( t ) 一c r u ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，t 0 ，1 ， u ( o ) = 札( 1 ) = 0 ， ( 1 1 1 ) lu ”( o ) = ”( 1 ) = 0 ， 解的存在性、唯一性及多解性，其中，：f 0 ，1 r 1 。r 1 连续非线性高阶微分方程 边值问题在理论和实践上都有着极其重要的意义，近年来，已经有许多作者对边值问 题( 1 1 1 ) 进行了研究，并获得了许多满意的结果 3 ，2 3 他们全都在，超线性或次线 性的条件下，利用锥拉伸或锥压缩不动点定理获得了( b v p ) o 1 1 ) 正解的存在性，也 有一些文献利用临界点理论研究不带参数的四阶边值问题 2 1 ，2 0 然而，就我们所 知，很少有作者利用临界点理论，尤其是环绕定理来研究s v p o 11 ) 在本章中我们完善了以前的一些结果，得到了较满意的结论对非线性项_ 厂进行 了适当的限制，我们分别和用强单调映象原理和临界点理论考虑b v p ( 1 1 1 ) 解的存 在性、唯一性以及多重性 我们首先在实b a n a c h 空问c ( a ) 中考虑下列积分方程 ， “( 茁) = ( z ，y ) y ( y ，( ) ) d y ，z g ，( 1 1 2 ) 解的存在性，其中g 是即中有界闭集，且测度m e s g 0 果，然后把这些结果应用到b v p ( 1 11 ) 中 这部分内容已经整理发表在被s c i 收录的核心杂志j 1 7 上 1 。2 预备知识 我们先给出一些抽象结 m a t h a n a l a p p l 在这一节中，我们给出一些必要的记号和定理，这些记号和定理对于本章主要定理 的证明是至关重要的记c ( c ) 为g 上的所有连续函数按范数i b i l e = m f t x 。gl u ( z ) 构成的实b a n a c h 空间用l 2 ( g ) 表示所有在g 上平方可积的函数构成的实h i l b e i t 空间，其内积与范数分别为( u ，。) = 尼“( z ) ”( z ) d z ，i f u f = ( 尼f “( z ) f 2 d z ) 1 2 ，“，” l 2 ( g ) 在本章中，我们假设下列基本条件成立： ：g g _ r 1 是非负、连续对称的，即k ( z ，9 ) = ( 口，z ) ) z ，y g ，且非负、连 续的，k 在g g 上不恒为o ； 2 高阶边值问题解的存在性与多重性 ：g r 1 - r 1 连续 下面我们分别定义算子k ，e a ：c ( c ) _ c ( c ) ， k u ( x ) = ( z ，掣) u ( y ) 劫，。g ，v u a ( g ) ，( 1 2 1 ) j “ f 乱( z ) = ( x ，u ( z ) ) ，z g ，v u c ( g ) ，( 1 ，2 2 ) a = k t 。 注1 2 1 容易验证； ( i ) m a x ( 。，”) g gk ( x ，y ) = m o ； ( i i ) f ：c ( g ) _ c ( c ) 连续有界； ( i i i ) k ：c ( c ) 斗c ( a ) 线性全连续 在定义( 1 2 1 ) 中的算子也可以定义在l 2 ( g ) 上事实上，我们有如下引理 引理1 2 - i k ：l 2 ( g ) 叶c ( c ) 是线性全连续算子，且耳：l 2 ( g ) _ l 2 ( g ) 也 是线性全连续算子 证任给“l 2 ( g ) ，由注1 2 1 ( i ) ，有 让扛) f = 上七可) u ( 封) 匆f m z m 列匆 m ( m e s g ) 1 2 ( 加洲2 匆) v 2 ( 1 。3 ) = m ( m e s g ) 1 2 1 1 u 1 1 ，z g 则u 在g 上有定义任给e 0 ，由于k 在gxg 上连续，则存在6 0 ，使得对 任意的。l ，x 2 ，g ，当f x l x 2 f d 时，有f k ( x t ，y ) 一k ( x 2 ，y ) f 0 由引理1 2 1 及1 2 2 ，下列式子成立 “ 1 2 uel 2 ( g ) e m ) 1 2 ，u l 2 ( g ) k = 1 ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 12 8 ) 注1 2 2 由引理12 1 ，1 22 及( 128 ) 知k ：l 2 ( g ) - l 2 ( g ) 是正有界线性对 称算子因此，k 的平方根算子存在唯一，k m ：l 2 ( g ) - l 2 ( g ) 也是有界线性对 称算子，i i k l 2 | i = i i k l l m ，并且我们还可以证明k ：l 2 ( g ) - - 4c ( a ) 也是全连续 算子 e 0 腻 = 0 a 随 = k 4 引理1 2 3 k 1 2 也是线性全连续算子 证由( 12 8 ) 知， 高阶边值问题解的存在性与多重性 l 2 ( g ) - c ( a ) 是线性全连续算子，且k 1 2 ：l 2 ( g ) - 工2 ( g ) k ：l 1 ( g ) - l 2 ( g ) 有如下表示形式 1 2 u = 瓜( 叩k ) “l 2 ( g ) ( 129 ) k = l 对任给定的uel 2 ( g ) 及正整数n ，p ，由( 1 ，2 7 ) 和条件( h o ) ，我们有 f n t p十p l 瓜( 叩t ) e m ( z ) i g | 佤e e ) l l k = n k = n ：；c ? ( 薹a 。) 1 7 2 ( 薹ic u ，e 。，1 2 ) 1 7 2 蚓i 训f 瓢1 l 2 ， 由条件( h o ) 得 幞何恿h 恃硎训( 引。2 呐1 z - - 0 0 z 删 因此墨1 瓦( “，e k ) e ( z ) 关于zeg 一致收敛，故k i 2 ueg ( g ) 另外，由( 1 2 1 0 ) 易知 0 0、i 2 i l k l 2 u 1 | g c k ) ，u l 2 ( g ) ( 12 1 1 ) = 1 令咒u = ：1 瓦( u ，e k ) e k ，el 2 ( g ) ，v n n 则咒：l 2 ( g ) - e ( g ) ，n n 是线 性全连续算子，且由( 1 2 9 ) 及( 12 1 0 ) 知 咒k 1 一l 。c f o o k k = n + 1a t v 2 _ 。，n 斗。 因此1 2 ：l 2 ( g ) - c ( a ) 是绔陛全连续算子因为c ( c ) 能连续嵌入到l 2 ( g ) ，从 而k m ：工2 ( g ) _ 驴( g ) 也是线性全连续算子 口 注1 2 3 由( 129 ) 及( 1 2 6 ) 知 ( k l 27 z , u ) = 佤e k ) 1 2 ，u 工2 ( g ) k = l 这同( 127 ) 表明k t , 0 ，uel 2 ( g ) 且0 因此，对u l ，2 l 2 ( g ) 且t , 1 1 , 2 有1 2 1 k 1 2 1 。2 第一章一类四阶双参数边值问题解的存在性与多重性 5 定理1 2 1 1 3 2 ，定理4 1 ，p 3 5 4 若线性算子a 是紧的，对称的，且a 0 ，则 l | 4 | | 或一| i a | | 是算子a 的特征值 因为的所有特征值为 a t ) 芒1 ，且由引理121 及122 知k 是线性紧对称算 子，故由定理1 2 1 得l i k f | = a 1 ，同理| j k l 2 | | = 石 定义1 2 1 1 1 0 ，定义l _ 4 ，p 4 1 9 设d 是实b a n a c h 空间曰中的开集，泛函 ，：d _ r 1 在d 上是f r d c h e t 可微的若x 0 d ，使得g r a d f ( x o ) = ，7 ( 知) = 0 ，则 称x 0 是泛函厂的一个l 临界点，c = f ( x o ) 称为泛函，的一个临界值 记g 1 ( e ，r 1 ) 表示所有在e 上f r d c h e t 可微且f r d c h e t 导算子在e 上连续的泛 函构成的集合 定义1 2 2 1 1 0 ，定义2 1 ，p 4 5 9 设e 是实b a n a c h 空间，c 1 ( e ，琏1 ) 如果 u 。) ce ， ，( 札。) ) 有界，( u 。) _ 0 ，n - - - 0 e + 连续，且存在常数c 0 ，使得 ( ? k t v ，u v ) c | | u 一 | 2 ，u ，v e 那么，t ：eje + 是e 与e + 之间的同胚映象 定理1 2 3 1 1 0 ，定理17 ，p 4 2 3 设e 是实自反b a n a c h 空间如果泛函，：e - 碡1 是弱下半连续的，并且满足l i m i 。怕o 。f ( x ) = + o 。，那么，必有。o e 存在，使得 f ( z o ) = i n f = e ，( z ) 另外，若，在e 上p r c h e t 可微，则必有，( z o ) = 0 定理1 2 4 ( 山路引理) 3 0 ，定理22 ，p 7 ； 3 1 ，定理6 1 ，p 1 0 9 设e 是实b a n a c h 空间，f c 1 ( e ，厩1 ) 满足p s 条件假设，满足以下条件 ( i ) f ( 0 ) = o ； ( i i ) 存在p 0 ，。 0 使得对任意的e 且l i 札l | = p ，有，( u ) a ； ( 训存在“l e 且忪lj j p ，使得_ 厂( 1 ) 0 ，口 0 使得，对任意的u e 且恻f = p ，有，( “) o q ( i i ) 对于e 的任意有限维子空间wce ，存在r = r ( ) ，使得当u w 且 8 r 时，有，( ) 0 那么，具有无穷多个临界点，并且有无穷多个临界值 定理1 2 6 ( 环绕定理) 2 8 ，2 9 1 ； 3 3 ，定理2 1 2 ，p 4 3 设e = vox 是一实b a n a c h 空间，其中d i m v r 0 且z x 满足l i z l l = r 定义 m = u = y + a z ：1 1 4 1 1 p ，a 0 ，y y ， m o = 仳= y + a z ：y v 1 1 0 = p ，a o 或1 1 4 1 1 p ，a = o ) ， n = u x ：1 1 u 1 1 = r 设，c 1 旧，r 1 ) 满足 b 2 尝m ) 0 2 翼蒜m ) - 若，满足( p s ) c 条件，其中 c - 。i n f m 。a 。x f ( ( u ) ) ，r = h c ( m ，e ) ：7 1 m o = 观 则c 是，的临界值 1 3h a m m e r s t e i n 型积分方程解的存在性及多重性 本节中，我们主要考虑积分方程( 1 1 2 ) 解的存在性及无穷多解的存在性我们 分别使用单调映象原理及临界点理论 引理1 3 1 ( i ) 算子方程 u = k 玩 ( 1 3 1 ) 在c ( o ) 中有解当且仅当 u = k 1 2 腑1 2 u ( 1 3 2 ) 在驴( g ) 中有解 ( i i ) 上面算子方程解的唯一性也是等价的，即( 1 3 1 ) 在c ( c ) 中存在唯一解当且 仅当( 1 32 ) 在l 2 ( g ) 中存在唯一解 ( 蚴若( 1 3 2 ) 在l 2 ( g ) 中存在一个非零解，则( 1 , 3 1 ) 在c ( c ) 中也存在一个非 零解同时，若( 1 3 2 ) 在酽( g ) 中存在无穷多个解，( 1 31 ) 在c ( a ) 中也存在无穷 多个解 第一章一类四阶双参数边值问题解的存在性与多重性 7 证( i ) 设“g ( g ) 是( 1 3 1 ) 的一个解，即u = k f u 则k 1 2 f u = k 1 2 f k f u = k 1 2 f k l 2 k 1 2 f u = k 1 2 f k l 2 ( 1 2 轧) ，于是 = k 1 2 f u c ( a ) l l 2 ( g ) 是( 132 ) 的一个解反过来，若 l 2 ( g ) 是( 1 32 ) 的一个解，即口= k 1 2 f ，则k 1 2 v = k f t ( 1 2 口= k f ( k 1 2 ) ，于是u = k 1 2 g ( g ) 是( 1 31 ) 的一个解 ( i i ) 设( 1 3 1 ) 存在唯一解u c f ( g ) 假设 l ，口2 l 2 ( g ) 都是( 1 3 2 ) 的解， 即饥= k 1 2 f i ( 1 2 口l ，可2 = k 1 2 f k l 2 忱，则k 1 2 钉1 = k f k l 2 “1 ，k 1 2 v 2 = 肼1 2 钉2 ， 即k 1 2 v l ，k 1 2 口2 都是( 1 3 1 ) 的解由( 13 1 ) 解的唯一性知k m v l = 口2 = “，于是 1 = k 1 2 f k v 1 = k 1 2 f k l 2 2 = 2反过来，若( 1 3 2 ) 存在唯一解 l 2 ( g ) 假设u 1 ，u 2 g ( g ) 都是( 1 3 1 ) 的解，即“l = k 轧1 ，u 2 = k 轧2 ，则 m f u l = k 1 2 f k l 2 k 1 2 m 1 ，k 1 2 f u 2 = k 1 2 f k l 2 k m f u 2 那么k 1 2 地1 ，k m f u 2 都 是( 1 3 2 ) 的解由( 1 3 2 ) 解的唯一性知k 1 2 f u l = 1 2 f u 2 = ，于是u 1 = k n l = k 1 2 k 1 ，2 f u l = k 1 2 k 1 2 f u 2 = k m 2 = “2 ( i i i ) 由( i ) 的证明过程知，若u l 2 ( g ) 是( 1 32 ) 的解，则k 1 2 u c ( c ) 是