（基础数学专业论文）紧致的非正曲率流形的基本群.pdf

摘要 紧致的具有非正截面曲率的黎曼流形，它的拓扑结构 可由基本群唯一决定反之，对于紧致拓扑流形，能7 i i 扣基 本群决定在它上面是否容许有非正曲率的黎曼度量? 本文 通过群作用和正则覆盖，利用拓扑刚性定理对此问题给f | 一个判定性条件 关键词：基本群，纯不连续的自由作用，正则覆盖，覆 盖变换，商流形 a b s t r a c t t h et o p o l o g i c a ls t r u c t u r eo fc o m p a c tr i e m a n n i a ni i a i i i f o l d sw i t hn o n p o s i t i v ec u r v a t u r ei sd e c i d e du n i q u e l yb yt h c i l h m d a m e n t a lg r o u p s c a nt h ef u n d a m e n t a lg r o u p so f t r o y c o m p a c tt o p o l o g i c a lm a n i f o l dd e t e r m i nt h a ti ta d m i t sal i o n p o s i t i v e l yc u r v e dr i e m a n n i a nm e t r i c ? b yt h eu s co fg r o u p a c t i o na n dn o r m a lc o v e r i n gw eg i v ea ua n s w e ri n8 0 n l ec o i l d i t i o n sf r o mt o p o l o g i c a lr i g i d i t yt h e o r e mi nt h i sa r t i c l e k e yw o r d ：f u n d a m e n t a lg r o u p ，p r o p e r l yd i s c o n t i n u o u s a n df r e ea c t i o n ，n o r l n a lc o v e r i n g ，c o v e r i n gt r a n s f o lm a t i o n g l 、o u p ，q u o t i e n to fm a n i f o l d 1 1 1 至圭硕士学位论文答辩委员会成员名单 沙谚年fj j7h 姓名职称单位备注 御垆拔斑铋扩蝣 主席 高名别教旋勘，舻悠 谁稳点刮贼 垢、栌少窑 学位论文独创性声明 奉入所呈交的学位论文是我在导师的指导f 进行的研究】作及取得的研究 成果。据我所知，除文中凸经注明引用的内容外本论文不包龠其他个人u 并 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做h 重要贡献的个人和集体，均u 在 叟中作了明确说确并表示谢意。 作者签名：互要 学位论文授权使用声明 u 期：”口f 石f 本人完全了解华东师范大学有关保留、使j f j 学位论文的规定，学校有权蹀 留学位论文并向国家士管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权 将学位论文用。- j ：非赢利日的的少量复制井允订论文进入学校图l ；馆被舟恻。有 权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题群；摘硬 汇编出版。保密的学位论文在解密后适川木规定。 学位论史作者签名：壬屡 口期： o 口上6 i 导师签名：v 眠t 讥 日期：叫0 刁、 第一节引言 本文中流形都指不带边的连通流形 截面i l i 率，以( m ) 表示m 的n 维嗣伦群 意的二维截面，凰f 0 殴m 为黎曼流形，我们以虬。，表一a ，的 l l | f 率都是指截面| | i f 率；l m 牢扑i l 桁刈仃 弄清黎曼流形的拓扑与曲率的关系，是黎曼儿何的重要课题刘。j ：紧敛的 非正曲率的流形，由_ j 二在众多领域有着重要作川，7 0 年代以来这类流形得到深入 的研究e b c r l c i n ，l t a m c n s t 溆l t 和s c h r o e d e r 剥这种空问给出一个内容全埘的综 述报告 2 6 1 由经典的c a f t a n - h a d m n a r d 定理，这类流形的高维同伦群( 维及以 上) 是平儿的因此找f f 基本群所应有的性质成为极为重要的问题以卜足灭j 基本群的一些经典结论： 定理1 1 【1 5 ( c a f t a n ) 设m 是完备流形， ，s0 则丌，( m ) 中任意非单位儿 是无限阶的 定理1 2 1 1 4 1 ( p r e i s s m a n n ) 设m 是紧致流形，“m 0 则”l ，) 1 ：是交换眠 且其任意非平凡的交换子群是无限循环群 定理1 3 1 2 7 设是紧致流形，k 吖0 n m 是平坦的或包禽一非交换的门 由于群 f a r r e l l 和j o n e s - 1 ：1 9 8 9 年给出如卜两个重要结果： 定理1 4 【2 8 】设彤1 ，a 岛是紧致黎曼流形，异so 如果7 r 1 ( m 1 ) 型l ( 如) ，那 么m 1 与m 2 拓扑同胚 在1 2 9 1 中，他们表明卜述结论不可改进到微分同胚具体的说，对任意的，。5 他们构造出两个紧致n 维流形的序列m k ，蛾满足f n 条件： ( a ) 对任意的k ，慨与峨是拓扑同胚但不是微分同胚； ( b ) 对任意的k ， 靠的曲率k 三- 1 ； ( c ) 对任意的k ， 铭的曲率一1 一“sk 一l ，其中乳是趋- j o 的j l 数序列 以上两个结果表明，对j r 紧致的非正曲率的流形，单单是基本群就足以完令 决定其拓扑结构，但还不足以决定微分结构进一步地找出这类空唰的基木群所 应有的性质，仍将是有待深入研究的课题 反之，一个很自然的想法是：对手紧致微分流形( 或更一般地，拓扑流，l i ) ，能 l 否由基本群决定在它卜面是否容许有非正曲率或负曲率的黎曼度量? 从i 述f r 关基本群的三个经典结果可以看出，紧致拓扑流形的基本群不具有仃何一个结 论所描述的性质，在它上面就不会容许有黎曼度量去满足相应的| f f 率条制特别 是从定理1 2 我们可以知道相当多的流形上不容许有负曲率的度擐，蜘f p t “紧 致流形的乘积流形等， 在本文中，我们从流形 ：的群作用出发，利用拓扑刚性定理，对l 述问题给 出一个判定性的条件，即当紧致拓扑流形的基本群满足一定条件时，在它l i 而容 许有非正曲率的黎曼度量在第二节，我们引入流形上纯不连续的自n 1 的群作川 和正则覆盖的概念， 探讨二者的关系在第三节，我们主要讨论基术柑莆l 群作 用之间的关系，同时涉及到流形之间的覆盖在第四节，我们将叙述j 彳i 扑刚性定 理，给出本文的主要结论并予以证明 2 第二节纯不连续的自由作用与正则覆盖 本节引入微分流形i ：n 不连续的自由的群，乍， j 与正则覆盖的概念，”探n 二者的关系 定义2 i 设g 是一个离散群，即g 是个群，且是可数集，在其 ：赋r 离散打i 扑设m 是一微分流形，且有映射0 ：g xm m ，使得 1 ) 对任意的g g ，o ( g ，) ：m 一一+ m 是光滑的； 2 ) 对单位元e g ，o ( e ，- ) = i d ：m m ； 3 ) 对任意的g l ，9 2 g ，z m ，有 臼( g l ，臼( 9 2 ，z ) ) 一p 0 1 卯，z ) 此时我们称p 是离散群g 在微分流3 f f m 上的作1 j 定义2 ，2 设8g m m 是离散群g 在m i ：的作用如【聚当口r 州，州 r 意的3 ：m 都有 g - z = o ( g ，) 。， 则称群g 在m 卜的作用是自由的 定义2 3 离散君￥每在流形m 上的作用e 称为纯不连续的，如梁p 满足以i - 曲个 条件： 1 ) 每一点z m 都有邻域u ，使得 g g 口u n u 谚 是有限集，其中 g - u = e ( 9 ，y ) iy u ； 2 ) 若。，鲈m ，旦。譬g - 2 ，即z ，秽不在g 的同条轨道上) ，则有算目的邻域u ，y 使得 吖_ 1 ( g ，y 卜口 对于g 在m 上的作用，可在m k 引进等价关系一：设z ，y m ，x 当i ；t 仅当存 在g g ，使得 z = = 1 9 ( g ，y ) = g - y 3 商空问 f 一记为m g ，在其一卜赋予商拓扑，自然投影记为7 r ：们一m g 定义24 设m ，是微分流形，p ：m 一足光滑映射如果剐每点? ，n 行 在连通开邻域矿，使得 p - 1 ( y ) = u 乩 n 是m 审一些互不相交连通刃：子集的j ，并且p 在每个一l 的限制 pi ：一v 是光滑同胚，则称p ：m 一是覆盖映射，m 是j v 的覆盖流形，y 称为基木邻域 定义2 5 设p ：m 一是覆盖映射，肼到自身的一个毙滑碣牲h 鲡1 聚满足? ，。 h = p f 就称为一个覆盖变换，所有覆盖变换在乘秋运算f 构成的群称为覆蒿变换 群，记为a ，( m ) 定义2 6 设p ：m 一是覆盖映射如果对任意的g ，y l n ，”似) = = = p o ) 时，都有覆盖变换h ：使得h ( y ) = h ( y 气则称p ：m 一是l l ：则覆瓣映刺 m 是的正则覆盖流形 流形上纯不连续的自由作川与正则覆盖之问育着密切的关系，如i 、曲个结 论对此予以说明 引理27 设臼( i f m m 是离散群g 在微分流形m 。i ? 的纯不连续的f 1l i i 作，则 ( i ) 在商空削m c = m ：有唯一的光滑结构，使得自然投影7 r ：m 一+ f 姓覆 盖映射； ( i i ) 上述覆盖是正则的，且覆盏变换群a 。( m ) 兰g ，也就是 a 。( 州) = 9 ( 9 ，) ：m mig m ) 证明( i ) 参阅 1 9 4 9 6 】 ( i i ) 在覆盖映射7 r ：m m 下，对任意g g ， l g = e ( g ，) ：m m 是覆盖变换事实j _ = ，对任意z m ， 7 r ( z ) = 丌( g z ) = 丌0l 口( z ) ， 4 故( l gig g ) ca 。( m ) 任取z ，y a ，当7 r ( z ) = 7 r ( ) 时，必订g ，使 得g 。= y ，即l g ( z ) = y 故丌是正则的 对任意的h a 。( m ) ，任取。1 1 4 ，设h ( x ) = y 由定义2 5 ， ”( z ) = 7 r 。n ( x ) = 7 r ( 可) ， 即z ，在g 的同一条轨道上因此存在9 g ，使得b ( z ) = y 由此得到7 i ，l ” a 。( m ) 并且有n ( x ) = l a ) ，故h = l ，所以 a 。( m ) = 臼( g ，- ) ：m mlg m 证毕 定义2 8 商空间m c 在赋予如上所述光滑结构后称为m 的商流彤 弓i 理2 9 设p ：m n 是覆盖映射，粥覆蔫变换群a 。( m ) 在朋1 1 仃纯_ ：连续 的自由作用若p 还是正则的，则存在光滑同胚，：一m a ，( m ) ，使得自i 卜f i 表 可交换： m ! 一n 【， m a ，( m ) 其中7 r ：m m a ，( m ) 是自然投影 证明( i ) 首先证结论的第一部分对覆最映射p ：m j l v ，设g = a p ( ，) 列 任意h g ，茁m ，定义o ：g m m 为 o ( n ，z ) = ( z ) 容易验证臼是g 在m ，i ：的自由作t f j 下面说明作用臼是纯不连续的 任取点z m ，设y = p ( z ) 取y 的基本邻域v ，使得 p 。( ”= u o 5 是n - t ，些互不柏交的连通开子集巩的m 且 是微分同胚设开集族 玑) t j 含点z 的开集为己，对任意h g ，hr 【，是的近迎 子集因为 p ( h u ) = p0 h ( u ) = p ( u ) = k 所以 ，! uc u 由的连通性，h u 含r 某个又阑 是微分同胚，故h ，u = u 。，若 h u n u o ， n h - u = u n h z p 1 ( 可) 且 。u ，故h 茁= z 从i n j j ( i l h = r 这 里e i d ：m m 由此得到纯不连续作川的条件1 ) 住取岱，yem ，且琊芒g y ，设p ( x ) = 量，p ( y ) = 雪当孟= d 叫收：i 的驰小邻 域u ，使得 p - 1 ( 驴) = u 是的两硒不交的连通玎予隼的并，且 pi ：一( ， 是微分同胚设中含点z 的开集为巩，则u - 不含y 设中含点的升集为州 任意g g ，g - 魄是某个，i f , j g u 2 不含点卫，敏u 2 n u l = 0 所以 u - n g 巩= n 当奎雪时，再取雪的基木邻域1 7 ，使得 疗n 矿：d ，p “( 矿) = u 厅 6 是的两两不交的连通卅子集的并，且 p ：一v 是微分同胚显然， ( u v o n ( u v 0 ) = o n8 设中含点y 的开集为h ，对任意g g ，g - 是某个，故 g cn 一 从l 町可知 u - n g = o ， 这样就得到纯不连续作， 的条件2 ) 所以臼的作川是纯不连续的 ( i i ) 现在证明结论的第：部分设p ：m 一是正则覆盖映射，p 怂( ；稚a l 的纯不连续的自由作，所以可以得到商流j 眵m g 由引理2 7 ，a 然投影”： ，一 m g 是覆盖映射定义厂：a ，一+ f g 为：对任意的y n ，当x m 1 17 ，( r ) - 州 令，( ) = 7 r ( z ) 现在说明，确是映射若有z ，z 7 m ，使得 p ( x ) = p ( z 7 ) 一ycn ， 则由p 的正则性，存在h g ，使得，l z = x 7 、h , l j x ，。在o l - j 一条轨道 ”( z 饥，确是映射对任意z m ，( p ( z ) ) 一”( z ) 最后证明，是光滑同胚的若有l ，y 2 n ，使得，( 1 ) = ，( f 2 ) ，使n p ( x 1 ) = y l ，p ( z 2 ) 一2 ，n ( x 1 ) = 7 r 扛2 ) i h j 二z 1 ，x 2 在g 的同 存在h g ，使得f l - x l = x 2 ，故 p ( x 2 ) = p ( h z 1 ) ：，j oh ( x 1 ) = p ( x 1 ) ! i | u 存卉：z i ，f 2 一条轨道l i ，i | j 即l = y 2 由此说明厂是1 1 的对任意奎m g ，存在z m ，使得”( 。) = 蕾 令= p ( z ) ，n s ( y ) ：奎，故，是满的任取可n ，选取y 的基木匀f 域i ，使利打 在m 的连通开子集u ，且 pj u ：u + v 7 r i u ：u 7 r ( u ) 7 都是微分同胚因此，：v 一+ ( 己，) 是微分剐肚i i 的任意性，魁光滑肌圳j 知，一1 的光滑性证毕 j 二述结论酏明在正则覆盖卜，底流形w 等同r 覆盖流形的商倒腹 8 第三节基本群，覆盖与群作用 本节主要讨论基术群与覆盖和群作川之帕l 的关系 设p ：m 一是覆盖映射，取定z m ，记y = p ( z )1 5 1 1 n 的分别咀 。和y 为基点的基本群记为7 q ( m ，z ) ，7 r l ( ，) p 诱导出m 卜以z 为起点的道路类 集合与上以为起点的道路类集合之间的一一对成p + 记l ( z ) 是吖1 以一沩起点 终点在p q ( 可) 中的道路类集合，n p ( l ( 。) ) = = 7 r l ( ，) 限制n 在集n 1 l ( ，。) ： 可得到如f 单同态： p + ：t f i ( m ，x ) 一丌l ( ，) 规定皿：= p + ( 7 r l ( m ：z ) ) ， z l h 。是丌l ( ，) 的予群 引理3 ，1 ( i ) h ：i 。p 写( ) 构成7 r 1 ( ，) 的一个予群共轭类： ( i i ) i 殳x l ，x 2 ，( 可) ，则有 a p ( m ) 使得7 z ( z 1 ) = h ( x 2 ) 的充爱条f | 是。= i i n ， i i er 目 ( i ) 设z ，x p ：( g ) ，取矗是从z 到l 7 的个道路类， o = p 。( d ) ，) ， 则有匀i 。f 交换同态图表 丌l ( m ，z ) p i 7 r l ( ，y ) 一+ 丌l ( n ，y ) 其中 画；( o ) = 占。1 西a ， 对任意0 f i ( n ，z ) ； o 鞋( u ) = 口1 u n 、 对任煎u 7 1 - 1 ( n ，f ) 显然，o 孝是7 1 1 ( 、，功卜的。一个内自同构，【太| 此 t t x ，= p + ( 占i ( 7 r l ( m ，z ) ) ) = n 襻( p + ( 7 r l ( m ，。) ) ) = o 群t t ， q 巩，与吼共轭反之，耍果有”1 ( ，) 的子群g 弓矾j 轭，可设g n ， j 阪r j e - l ( z ) ，使得n ( 画) = o ，记，为a 的终点，则l i ti ：而的讨论知h 。，= g ( 1 1 ) 必要性设有h a ，( m ) ，使得h ( x 1 ) - - ，2 ，则 充分性由题设，h 。，c 风；：构造 ：+ m 血f ：对任意的r ，取n ， 从z l 到x 的道路u ，记( = 是po n 的以z 2 为起点的提引，规定h ( x ) 一o ( 1 ) 莆先证明0 ( 1 ) 与v 的选取无关如聚是另一条从x l 到z 的道蹄，w 为 = p 。( ) h 。2 ， 所以( p o u ) ( p o ) 怕以z 2 为起点的键升剜睦1 日i f l qj ：是西0 是( ( p o u ) ( j ) 。，) ) 咖o 。w n 提升h ( ( p 。u ) ( p 0 0 7 ) ) ( p 。u 7 ) = p 。( ( u o ) u ) 拿o u 故白与a 有相确的终点，即面( 1 ) 一( 1 ) 口 此n f l l h 确是映射n h ( x 1 ) = x 2 ，p0 ( t ) = z ， 对任意o m 其次证明 的光滑性对任意r m ，设p = p ( z ) 显然，h ( x ) z 选j e u f f , j 菜 术邻域u ，使得 pl o ：u 一氓pb ：u 一u 都是光滑同胚，其q , u 与u 分别是含点z 与f ( 。) 的连通开集，且u n u7 = 0 剥任 意。u ，设是u 巾从z 至! l x 的道蹄，则p0 n 以 ( z ) 为起点的提f l 3 落矗，7 i j t d 然，o 玲是p o 国桷以z z 为起点桷提升，故 h ( x 7 ) e 巧7 ， ( 矽) cd 7 由p0h = p 及u ，u7 的取法知l h ( u ) = u 旦 hi 疗：一j 1 0 1扩i ，il 丌 ，【 ， l ( r | ： l 、j、j、j、) 2 l z z m m ，l( 丌 玎 ，i，k + p p = | j z ， 是微分同胚 最后证n 3 j h a 。( m ) 反之，山于也ic ，l 。，按1 j i 二述丰h i - , l 的做、f i 儿_ | 映 射h ：m m ，使得7 。7 ( 2 ) = x l ，h p h = p 冈此 7 。7 h ( x 1 ) = x l ，h h , 7 ( z 2 ) = 。2 且 p ( h 7 h ) = p ( h h ) = p 故h h = 7 z7 ， = i d ，h ，f 1 7 都是光滑同胚，h a ，( ) 证毕 引理3 2 设p ：m 一是覆盖映射，p ( z ) = y 则 ( i ) p 是正则的充要条件是f 是7 r l ( ，9 ) 的正规子群； ( i i ) a ，( m ) 兰( 日。) 仉，这里( 凰) 是日，的i ：规化予；特别地，若p 楚n ：则旧 则a p ( 们) 兰7 t 1 ( n ，y ) h 。 证明( ”必要性蒋p 是正则的，由弓l 理3l ( i i ) ，对任意z 7 p1 ( ) ，l ，二= j 。， 再由q l 理3 1 ( i ) ， 玩，lz p - i ( 妒) 是7 r l ( n ，) 中巩的子群共轭类故皿仅与自身轭，风是7 r l ( ，) 的j f 规j 二群 充分性若j ，。是7 r 1 ( n ，) 的正规予群，则对任意的z l ，x 2 p 。( ) 。 h 。1 = h 。= l 。 由引理3 1 ( i i ) ，存在。l ，h 2 a ，( ) ，使得 h l ( x ) = z l ，匕( f ) = 。2 由此可得 2 i 1 ( 茹1 ) = x 2 ，p 是正规的 ( 呦设口是n q t 以y 为基点的一条闭道路，不妨将其所在的闭路类仍证为m 弭 殴a 是n 在m 中以为起点的提升，终点设为t l ，舀所在的道路类仍记为1 1 i 理3 1 ( i ) 的证明，。= “社也冈此o j i v ( 仉) 当且仅当也，= h 。设。n u l ) ， 则有唯一的如a ，( m ) ，使得h ( x ) = 2 ：1 由此可定义 妒：i v ( 仉) 一a ，( 朋) 1 1 如f ：妒( a ) = h ，其中o i ， 如前所述 再任取血7 n ( h 。) ，设妒( 0 7 ) = h ，a 7 为o t 7 以z 为起点的捉列，终l 、哎为3 ：2 ，j i ! i j h ( 岱) = 2 ；2 考虑n 的以a 的终点即点卫，为起点的提升由于 p ( l ( i 置) ) = p ( d 7 ) = q 7 ， 且 ( a 7 ) 的起点为x l ，故h ( 6 ) 是a 7 以茹l 为起点的提升由此可知a ( ，l ( c j ，) ) 是r m 以r 为 起点的提升，终点足h ( z 2 ) = h h 7 0 ) 因此 s o ( o ) = h i t = 妒( q ) 妒( 吐) ， u i j 妒是i q 态显然，妒是满嗣态 若妒( o ) = e ，e - k - a ，( m ) 的币位元，则“的提升a 是以点2 7 为基点的n j 蹄此 o = p ，( a ) p + ( 7 r 1 ( m ，z ) ) = 巩 反之，对任意乜1 1 ，垆f n ) 一r 敞 n i i i 。1 h ：= n ( 1 f ) k e r p 兰a 文m 、? 证毕 定义33 殴p ：m m 是覆盖映射，f ”是孳连通的，则称p 足，jf f 覆盖映 射， ，是m 的力有覆盖空问 引理3 4 设n f 是微分流j 移，则m 的万有覆盖空问一定存在( u ：叫u j 参阅f 1 6 2 6 2 - 2 6 s 1 ，汪噩 ；) 由经典的c a tt a n l l t t d a m a r d 定理，当m 足完备黎曼流形且 ，su ，刈仃 意x m ，指数映射 c x p z ：t m 一+ 吖 是万育覆盖映射 设p ：m 一m 是万有覆盖，y o m ，则 a p ( i 彳) 笔7 r l ( m ，y o ) 由十a 。( m ) 在m 上有纯不连续的自由作川：闻此”1 ( m ，蜘) 在m 一卜也有纯1 ：连续的 自山作川，且m 可等同。j 二商流形m 仉( m ，y o ) 设是”l ( m ，y o ) 的任意f f 那么 可以得知h 在m 卜也有纯不连续的自由作川，相席地商流形记为， 引理3 5 设m 是微分流形，y o m ，p ：m m 是万有覆盖，蛳? 厂。( 珈) h 是7 r l ( m ，y o ) 的任意子群，则有覆羲映射丌：们一m ，使锝f 图交换： 亓 m 一二一m h 其中亓：m 一研h 是自然投影在覆盖”- 卜， 丌+ ( ”，( m h ，而) ) ：h 这里而= 亓( 茁o ) 证明 设g = 7 r i ( m ，珈) ，y m ，z p _ 1 ( ) ，则p ( a 。) = y ，p 1 ( y ) = 1g 定 义7 r ：m h 一，m 如卜：对任意壬m t t ，若z m 使得亓( z ) = 叠，则( 亍) 一州，。) 若还有z 7 m 使得亓( z 7 ) = 毒，则z ，尘7 在同一条h 轨道卜，当然也在刚条( j 轨道 i ，所d a p ( x ) = p ( x ，) 由此可知7 r 确是映射，圳且亓07 r = p 任取m ，嚣p 。( 秽) ，设矛= 膏( 茁) 选取y 的基本邻域y ，使得 p 一1 ( y ) guug u ， 口e g 其中u 是含点。的连通开集， 口ui 叮g ) 是m 中两两不交连通j f 集旅，f p1 9 u ：g u 亿亓u - u 是微分同胚，这里u 是m 1 1 中龠点童的基木邻域 令 g 】= h gg g ) ，9 所在的日陪集记为m 在覆盖亓：m 一m hp 亓( 9 u ) = 亓( u ) 的充要条件足m = 9 t 记 亓( 9 u ) = mu ， 】3 ljhjm 则 是微分同脞；且 亓i g ，：9 u 一( 9 ，u 亓( u9 u ) , q 6 g u 盼厅 i g i c c l 这里 m ，驴1 【g j 【g ) 是m i h 中的两两不交的连通，r 集族 丌叫( y ) = u 阶疗， 9 1 e a 】 7 rb 疗： 9 u y 是微分同胚故”是覆羔映射 显然，：t r ：m m h 是万有覆盖，故 7 r + ( 7 r 1 ( m + h ，而) ) 掣a i 0 4 ) 型l i 在m i h e p 取以而为基点的国j 蹿类d ，设q 是矗在m 巾以茁。为起点的提升，终点为j 矗 则存在h 日，使得h - x o = 。：对任意g g ，9 h ，有9 z 。卫：故 由此市即得m 以陋) = p + ( d ) = h + ( 7 r 1 ( m t t ，西一) ) = i f 证毕， 上述结论说l 扎对任意微分流彤 彳和_ 7 r l ( m ) 的任意予群，存辅 ，的役m i f ，, 流 形以h 为基本群( 在同构意义下) 第四节拓扑刚性定理与主要结论 本节首先引入覆箍的层数的概念，并探讨它与基本群和覆盖流形f i j 紧性的 关系；接着将叙述f a r r e l l 和i o n e s 的拓扑刚性定理f 3 0 】；然后是本肖的j - 耍结论 定理4 6 及其证明；最后给与( ) 中定理l2 ，1 3 丰目关的两个推论 引理4 1 设m ，埘是微分流形，p ：m 一彤是覆盖映射，那么列任意的两 点y ，y m ，集合p 。( ) j j p _ 1 ( ) 是等势的 证明设 p 一1 ( y ) = 扛。l “ ， 则p 。( y ) 与集合等势设7 是从y 到的一条道路，对任意z 。，设磊是 的以n 。为起 点的提升，则磊的终点落4 ：p 。( ) q t ，设为_ ：1 1 1 此可定义 ：矿1 ( y ) ，p - 1 ( ) 为f ( x 。) = z ： 提升唯性，确是映射+ 若 j ( z 。) = ，( 3 庸) 则磁与而有相同的终点j 毛= = j 】j ：采i 而都足1 的提升，故 硫一而，：= 功， 说明，是l 一1 的反之，将y 与的位置互换，刈建0 矿1 ( y 1 ) 到p _ 1 ( ) 之问的i l 的映射 由c a , n t o r - b c r n s t c i u 定理，p 一( j p 。1 ( y 1 ) 是等势的证毕， 定义4 2 设p ：m 一灶覆盖映射，y ，p1 ( ) 的势称为覆盖映目j ，巾0 层 数 s l 理4 3 设p ：m 一 是覆黄映荆，z ，y = p ( z ) 则。面：”1 ( a ，) - l i 的 指数 丌l ( m ，y ) ：皿】等- j - p 的层数 证明记丌l ( m ，) ，l 为，的全体右陪集的集合设l ( z ) 为m - f 以，为起点， 终点落在p 一( ) r 卜的道路类集合，则p + 诱导如p 1 矗一对应： p + ：l ( x ) 一丌l ( m y ) 1 5 若a ，声l 仕) 有相同的终点，则 p + ( a ) ( p 。( 声) ) 一1 = p ，( a 彦一) i i 。 即仇( 画) 与n ( p ) 在吼的尉。个右陪集中 定义映射 p ：p 。1 ( y ) 一”l ( 吖，y ) 1 1 。 如f ：对任意z 7ep - ) ( 可) ，取a l ( z ) 以一为终点，令p ( z 7 ) = b ，( 矗) 1 ( n ) 所存的 右陪集) 显然，目是满的设z 7 ，x ”p - 1 ( 可) 使得日( ) = p ( ) 取5 ，声l ( 。) 终点 分别为z 7 和z ”，则 b 。( a ) - b ( ) 】， 即存在7 ，使得 p + ( 画) 】= 7 p + ( 卢) 取了e7 r i ( m ，z ) ，使得p + ( 彳) = = r 丫，贝 p ( & ) = p + ( 彳) 由下肌是单的，有a = ，从1 阿。7 = 这说明口是单的证毕 引理44 设p ：m m 是覆盖映射，a f 是紧致的则m 紧致的充要条件 是p 的层数是有限的 证明必要性设m 是紧的任取y m ，取y 的基本邻域u ，使得 pi ( u )u 玩 n e l 是m 中两两不交连通7 r 集的并再取开集i vcu ，使得对任意7 u 存在含 点y 7 的开集k ， k ，n w = o 设 p1 ( w ) = u 既，证，cu o 1 6 令v = uk ，则 可c u 厂1 ( y ) n 既：= o 显然， ( u 玩) u ，。( y ) o ， 足m 的开覆盖冈任何中有点不在，_ 1 ( v ) 巾，而 ，两两不交，敞此覆盖的任 意子覆盖是它木身由们的紧性， 阮) 是有限开集旗，即p 有有限的层数 充分性设 睨 是m 的任意开覆盖任取y m ，由于p 的层数有限，j 设 p 。1 ( y ) = z m ，z 。 其中，t 是p 的层数选取s ，的基奉邻域k ，使得 z k 其中 ) 是m 中，。个两两不交的开集，且 p i 瓦：k 。一 是微分同胚 对任意z 取定一个含。的瓦，令 i = 玩：n 环，= n p ( 瓦) 则仍是y 的基本邻域上土u v 设 瓦= p - i ( ) n 眨， 则 z “；，p ( u u 。) = 且 p f 瑶：t 。 1 7 。u = ，【 一 p 是微分同胚显然， u y ；y m ) 是m 的开覆盖，【 i m 的紧致性，存竹：f 限r 覆蔫 设为 魄i1 ：i n , 再设 p 。( 巩) ：= u 瓦 则 u k il i ，i ，1s ，n ) 是m f l ：l 有限开覆盖，i 每个魄涪e 含于某个，敞 ) 有有限子覆j 2 i 1 1 ，即 ，是紧致 的证毕 现在我们来叙述f a r r c l l 和j o n e s 于1 9 9 3 年给出的拓扑刚性定埋 引理45 3 0 】( 拓扑刚性定理) 设m 是紧致黎曼流形，k m 0 且( 1 i m m 3 ，1 j v 是紧致拓扑流形且7 r ，l f ) = o ( _ 1 ) 若”- ( m ) 笺7 r 1 ( ) ，则 ， | 彳i 扑b i | j 限 由一t 面的讨论，我们得到如下结果：s o 定理4 6 设们是紧致的黎曼流形，值d i m m 3 ，4 n 楚紧致的打l 扑流儿 且7 r 。( ) = o ( n 1 )若7 1 l ( ) 与7 r l ( m ) 的某个有限指数的予群f 日构，那么i 一 容许有非正曲率的黎曼度量 证明取定蜘m ，设f f l ( ) 与7 r l ( m ，g o ) 的子群h 同构：其中 【丌1 ( ，y o ) ：，引 。 设p ：面一m 是万有覆荒，t r ：i r x o p - 1 ( 珈) i h f 理3 5 ，存在如卜两个覆蒋映自j 示l 葡一一m u 。耵：丽一m 使得p = 亓0 丌设而= ：1 ( z o ) ，则 ”+ ( 7 r i ( m h ，而) ) = h 由引理4 3 ，”的层数有限i 再由l j l 理- 4 4 ，丽是紧致的设m 的黎曼度挝为口 令互= 7 r + ( g ) ，则( 砑h ，互) 是黎曼流形，且 ”：( m h ，互) 一( m ，g ) 1 8 是局部等距在度量互卜，而，的曲率ks0 冈为 ”1 ( m h ，而) 兰对， 由拓扑刚性定理，与m 是拓扑同胚的我们可以在上赋予棚麻的光_ ；! 结构， 使得与m h 是微分同胚；我们可以在微分流形 ，上再赋予丰 | 成n 1 梨曼度量h ， 使得( ， ) 与( m h ，互) 等距在度量 下，? “曼0 证毕 山定理4 6 及其证 孵，再联系到第一节中定理1 2 ，1 3 ，我们奇：即得到抓卜两个 推论： 推论4 7 设a 彳是紧致流彤，吖 0 ，i f 是7 r l ( m ) 的任意自限指数n 勺了群 则h 不是交换群，且日的任意非平凡的交换予群是禹段循环的 推论4 8 设m 是紧致流形，m 0 ，k m 0 ，h 是凡( m ) 的任意m 旨数的 子群则日包含非交换柏自d l 子群 1 9 参考文献 1 1 】陈绦桓，微分流形初步( 第二版) ，北京：高等教育出版社，2 0 0 1 2 1 陈省身，陈维椒，微分儿何讲义，北京：北京人学f i i 版社，1 9 8 3 【3 1 自正国，沈一兵等，黎曼几何初步，北京：高等教育出版社，f 9 9 2 4 1 陈维桓，李兴校，黎曼儿何引论( k j v t ) ，北京：北京大学出版社，2 0 0 2 5 】伍鸿熙，沈纯理，虞青林，黎曼儿何初步，b 京：北京大学出版社、1 9 8 9 6 】伍鸿 ； 陈维桓，黎曼儿何选讲，北京：北京大学 h 版社，】9 9 3 【7 】m a a r m s t r o n g ，基础拓扑学，孙以丰译，北京：北京大学版 f ：，1 9 8 3 f 8 尤承业，基硎；拓扑学讲义，北京：北京大学t t l 版社，1 9 9 7 f 9 】张筑生，微分拓扑讲义，北京：北京大学 f 版 f j ，1 9 9 6 【1 0 】项武义，侯自新，盂道骥，李群讲义，北京：北京大学出版社，1 9 9 2 1 1 莫宗坚，蓝以叶i ，赵春来，代数学，北京：北京大学出版社：1 9 8 6 1 2 n j a c o b s e n ，抽象代数学，黄缘艿译? 北京：科学出版社，1 9 6 0 【1 3 1 徐明曜，黄建华，李慧陵等，有限群导7 1 ( i ii - ) ，北京：科学h ；版礼，1 9 9 9 1 1 4 1 m pd o c a r m o ，r i e m a n n i a n g e o m e t r y ，b o s t o n ：b i r k h a u s e r ，1 9 9 2 1 5 1 p p e t e r s e n ，r i e m a n n i a ng e o m e t r y ，g t m l 7 1 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r - v c a l a g ，1 9 9 8 【i 6 1j ，m ，l e e ，h l t r o d u c t i o nt ot , o p o l o g i e a lm a l f i f o l d s ，g t m 2 0 2 ，n e wy o , 氐：s p l i n g e r v e r l a g ，2 0 0 0 【1 7 w f u l t o n ，a l g e b r a i ct o p o l o g y ，g t m l 5 3 ，n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g 1 9 9 5 【1 8 】a h a t c h e r ，a l g e b r a i ct o p o l o g y ，c a m b r i d g e ：c a m b r i d g eu n i v e r s i t yi h 峨2 0 0 2 1 9 】r b i s h o p a n d b o n e f f ， t r a n s a m e r m a t h s o c ，1 4 5 ( 1 9 6 9 ) m a n i t b l d so f n e g a t i v e c u lv a t ue 1 4 9 2 0 】wp b y e r s ，o nat h e o r e mo fp r e i s s n l a n n ，p r o c a m e rm a t hs o c 2 4 ( 1 9 7 1 ，5 0 5 1 【2 1 】p g r o m o l la u dja w o l f ，s o m er e l a t i o n sb e t w e e nt h em e t r i cs t l l l c l u l t 、a , l l d f 1 1 ( a l g e b r a i cs t u c t u r eo ft h ef l m d a m e n t a lg r o u pi nm a n i f o l d so f , l o u p o s i t i v ec u l v a t u r e ，b u l l a m e r m a t h s o c ，7 7 ( 1 9 7 1 ) ，5 4 5 - 5 5 3 2 2 s t y a u ，o nt h e u n d a m c n t a lg r o u po fc o m p a c tm a n i f o l d so fn o u l ) o s i t i v ec l l l - 一 v a t u r e ，a n n o fm a t h ，9 3 ( 1 9 7 1 ) ，5 7 9 5 8 5 【2 6 】 m g r o m o v ，m a n i f o l d so fn e g a t i v ec u r v a t u r e ，id i f f g e o m ，1 3 ( 19 7 8 ) ，2 2 3 2 3 0 w b a l h n a n n ，m b r i n + a n dp e b e r l e i n ，s t r u c t t l r eo fm a n i f o l d so fn o n l ) o s i li v ( c u r v a t u r e1 ，a n n o fm a t h ，1 2 2 ( 1 9 8 5 ) ，1 7 1 2 0 3 n - - 1s t r u c t u r eo fn l a u i f o l d so fn o n p o s i t i v cc u r v a t u r e i i ，a n n o fm a t h ，1 2 2 ( 1 9 8 5 ) 2 0 5 2 3 5 p e b e r l e i n ，u ，h a m c n s t g d ta n dv s c h r o c d e r m a n i f o l d so fn o n p o s i l i v t jc ! i iv l _ t u r e ，p r o c e e d i n go fs y m p o s i a i np u r em a t h ，v 0 1 5 4 (