（基础数学专业论文）球面稳定同伦群中的γth0b14元素.pdf

球面稳定同伦群的计算是代数拓扑学的中心问题之一，计算它利用的工具主要有经 典的a d a m s 谱序列( a s s ) 霹，西) ，其中 鹾。些e t 岔( z p ，z p ) = 巩一。( s ) p 在利用a d a n u 谱序列来求解同伦群的过程中，需要计算有关e z 岔( 日+ x ，日+ y ) 的结果 我们利用谱的上纤维序列导出的删群的正合序列和m a y 谱序列得出e z 瓒旧+ x ，日+ y ) 的某些结果本文中，我们令p 7 为奇素数，q = 2 ( p 一1 ) 在第一节中，讨论了m n 谱序列局项 耳”一= e ( h ，j i 0 ，j o ) o p ( 机，j 悼 o ，j 0 ) o p ( 毗l t o ) 在某些特殊维数和次数时的具体生成元情况并由此在第二节中得出 e z t 茅4 p 2 4 + 社r 千1 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) = o o h o 研e z t ! r 4 + 4 ( 日+ y ( 2 ) ，z p ) o 匾 o 醋e 茁t ，9 ，( 4 + 。) p 2 叶。一1 o + 1 ) 。+ 一3 ( z p ，z p ) ，( 3 p 一4 ) 根据前两个结果，证明了6 4 收敛到”。y ( 2 ) 的非零元，再由y b n e d a 乘积证明了币酲( 3 s t o ，j o ) 圆p ( 6 i j 扣 o ，j o ) o p ( 口l t o ) i ns o m es p e c i a ld i e n s i o n s 蛐dd e f e e s ，胁mt h e s ew eg e t e z t 茅7 ，2 p 2 叶口打f 1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) ：o o 0 6 4 e z t j 叫2 q + 9 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) o 讯 0 醒e z t 9 ，( 4 + 。) p 2 口+ ( 一1 ) 如+ 1 ) 什。一3 ( 磊，z p ) ，( 3 t 茎p 一4 ) ms e c t i o n2 ，f _ l l r t h e r m o r e ，w ep r a v et h ec o n v e r g e c eo f 0 6 4i n y ( 2 ) a n d 匾醒i 以sw i t h t h eh e l po fy o e d a p r 。d u c t s ( 3 茎r r + 1 时，由同伦双角锥同构：n x 一丌r + 1 船 知：”s ，l 望+ r + 1 s ”1 ，这时我们称丌n 。伊为球面的r 柄稳定同伦群。令s 表示球谱，则丌r s 就是上述r 柄同伦群，简记为砰。 s e j p 已证明了砰( r o ) 是有限群，因此它的p 局部化听( s ) ，= ，砟就是 它的p 分量群。丌r ( s ) ，的计算是代数拓扑学的中心问题之一，计算它利用的 工具主要有经典的a d o m s 谱序列 磅，西) ，其中 e 耋兰e z 蹬( z p ，z p ) 辛巩一。( s ) p 和广义的j 4 如m s 谱序列 写望e z t 矗b p ( b 只，b 只) = 争巩一。( s ) p 几十年来，许多学者从事此课题的研究，并取得了许多重要的成果，其中 如l 捌e i 西u s ，a t 南。枷p ，g o e nr ，o 地s ，m 姚rh r ，r 删e n e zd g ，n 出且， s i m m w q ，周学光，林金坤，王向军，郑弃冰等。 丘以e 谢西u s 【8 】在1 9 6 2 年描述了眈t j + ( z p ，邵) 的计算结果，它具有磊基 知眈t x l ( 昂，昂) ，e z t 妒4 ( 邵，昂) 其中i o 。 8 】中也给出了眈t 盖+ ( 历，昂) 的计算结果，它的磊基是 0 2 眈叠2 4 + 1 ( z p ，邵) ，碚眈t 警( 邵，勿) 。o 眈t j 9 g + 1 协，邵) ( i o ) ，6 t 眈t j 矿“9 ，昂) ( o ) h 眈t j 2 p 件1 帅。( z p ，昂) ，g i 眈t j 矿+ 1 叶帮9 ( z p ，邵) 0 o ) b 眈t 穿口4 ( z p ，邵) ( i o ，j i + 2 ) 其中口= 2 ( p 1 ) 。 1 9 7 1 年，日t d 如在 1 】中证明了谱y ( n ) 当p 2 n m = o ，l ，2 ，3 ) 存在，从而有 以下周期性元素= y ( o ) ，= y ( 1 ) ) ： a ：q m _ m ，卢：阳+ 9 k _ k 7 ：2 ( p 3 1 ) y ( 2 ) _ y ( 2 ) 1 9 8 0 年，a e o ”o 在 9 】中给出了e z t j + ( 昂，邵) 的计算结果，它具有磊基 乜b k ，瓦b ，k ：2 ，t b ，k ：1 ，2 b ，一， ，吼 v 等等，具体的见 9 】中的表8 1 ，其中x 就是【8 】中的6 t 。 1 9 8 1 年，在【3 | 中g 砒mr 给出了对每个1 ， o 瓢( 瓦是 8 】中的h ) 在 a 出m s 谱序列中收敛到，并且代表着球面稳定同伦群的p 阶元素靠。 1 9 8 9 年，在【2 2 1 中周学光先生利用有序上链复形等工具获得了更多的上同 调运算，以此为基础获得了更多的球面稳定同伦群的元素，证明了啦，啦，( 。， ( 2 ，和p 的某种删a 第二积，仇，仍，7 2 ，7 3 ，a ，( 2 ，口1 的某种积均是非零 的，代表球面稳定同伦群的非零元素，它们是( 瓦) 和绣- 讲话斧西t o ”+ s 。 1 9 9 8 年林金坤和郑弃冰在 7 中，当p 7 ，n 4 时，找到了砜y ( 1 ) 中的 新元素，其在a d a m 谱序列霹一项中的表示为6 。一。卯，以此为基础找到了 ”( 矿+ 3 矿+ 3 叶3 ) 。一7 s 中的一个新元素，其在a d a m s 谱序列中的噬一项的表示为 k 一1 卯加。 1 9 9 8 年王向军和郑弃冰在【2 8 】中证明了：( i ) 在p 5 ，2 s p 一1 ，2 时， 反 收敛到e 。；( ) 在p 7 ，3 曼s s p 一1 ，3 时，儡h m 收敛到e 。o 2 0 0 1 年，在中林金坤教授证明了当p 5 ，n 3 时，”( 矿+ ，1 口一3 s 具 有p 阶和第三滤子的非零元素族的存在，并在a d m s 谱序列中的磅矿m a 型 e z j 勺+ p 4 ( 磊，召) 的表示为6 0 k + 1 6 n 一1 。 2 0 0 2 年，在 1 0 】中林金坤教授证明了k 卯e z t j 矿叶w + 2 9 ( 日+ k 乙) 在a s s 中收敛到即+ 。+ 幻一s k 的一个非零同伦元素，利用了与的y 0 n e d a 乘积得到 k 卯柏o e z 毋9 ”9 + 3 铲+ 卅1 ) 。( z p ，z p ) 在a s s 中收敛到7 r 矿叮+ 3 ( p 2 + p + 1 ) 口一6 s 的一个p 阶非零同伦元素 2 0 0 3 年，在 2 9 】中，王向军和刘秀贵研究了m a y 谱序列e 。项研 对某些特 殊s ，t l b ，其生成元的一般性质，作为一个应用，证明了：度协o k 和秀h o b k k 在经典a s s 中的收敛性。 从这些结果可以看出m 0 0 r e 谱和t o d a s m i t h 谱的同伦群和球面稳定同伦 群联系非常紧密。本文正式从这个意义出发，找到了n 矿( 1 ) 的一族新元素， 由此可望导出“s 的新元素。 球面稳定同伦群的一族新元素鬣磷 本文第一节中给出了m a y 谱序列鹾一一项的某些结果，第二节中利用第 一节的结果在某些特殊维数和次数时的具体生成元和眈( 召，名) 的一个估 计证明了眈t 茅舻9 + 9 土r + 1 ( 日4 y ( 2 ) ，z p ) = o ，o 醒眈堤妒叶。( 日+ y ( 2 ) ，名) 以及 o 嚷j 1 0 6 4 眈t 9 ，( 4 “旷9 + ( “1 ) ( p + 1 ) 叶“3 ( 名，名) ，( 3 t p 一4 ) ，根据前两个结果， 证明了酹收敛到”+ y ( 2 ) 的非零元，再由第三个结果和y o n e d a 乘积证明了 嚷 0 6 4 e z 喽( 磊，名) ( 3 o ，j o ) o p ( 堍，j 障 o ，j o ) o p ( o i i t o ) 其中e 是外代数，p 是多项式代数，h 幻霹，2 一1 ) 蝴“，霹，2 一1 ) 一”，( “一1 ) 啦e 2 一一1 ，2 + 1 ，令t = ( c n 矿+ c 。一l p “一1 + + c l p + c 0 + c l ，c 磊，且p 一1 c 。 c r i 一1 c l 印c l 则矸巾的生成元中包含陋一c i 一1 ) 个k + l 一坩( o i n ) 证明：令a 研础+ 为任意生成元，由于一的因子只能为峙，6 讲，啦，分别具有 第一次数：1 ，2 ，1 第二次数： 竹一1 + 卅一2 + + ，) 口j p 卅一1 + 钾一2 + + 矿) q ； ( p t 一1 + 一2 + + p + 1 ) q + 1 且知的第二次数为l ，根据第一次数：f d 咿e e ( 一) = ，第二次数：s d e 矿e e ( a ) = t ， 及以上各因子的次数，可知：一必含有岛个因子，每个因子的第二次数必含 p n q 一项，且不含因子。根据不等式 p 一1 c n c n 一1 o l c 0 c 一1 0 则s d 咿e e ( 口) = 亡= ( c r 矿+ 一1 矿一1 + + c l p + c 0 ) 口+ c l 可以唯一的表示成如下 的形式 t = c 一1 “+ 矿一1 + 矿一2 + + p + 1 ) 口+ l 】 + ( c 0 一c 一1 ) ( p ”+ p “一1 + p “一2 + - + p + 1 ) q + ( 。1 一印) ( 矿+ p ”一1 + 矿一2 + + p ) 口 + ( q q 1 ) 0 ”+ p “一1 + p “一2 + + p t ) q + ( 一一1 ) p n 口 然而，第二次数是+ p n 一1 + + p + 1 ) q + l ，+ 矿一1 + n 。+ l k + - 。的形式，因此a 必含有如一q 1 ) 个k + ，“t ， + ) 口的因子只能是 ( 0 t sn ) 证毕 推论1 1 2 若p 6 c d o 则矸舻q + 咖+ q + 8 t + 的生成元必含有 “) 个 l ，2 ，( 6 一c ) 个h 2 ，l ，( c d ) 个h 3 ，o 推论1 1 3 驴什( “加+ ( “) 口+ “= 磊 b ，1 h 1 ，2 b ，o 奇3 ) ，t 3 引理1 1 4 令扣( 钾”+ 一1 矿一1 + + c l p + c 0 ) 口+ c “q 乙( 一1 n ) ，如果存 在c i o ，j o ) 所以以为。 或者l ，o i 兰n 则一= 一，锚的双次数可改写为： ( c l + z o + 研+ + z n ，( c l + z o + z l + - - + ) 矿q + ( c l + z o + z 1 + + 。n 一1 ) p n 一1 口 + - + ( c 一1 + 蜘+ 。1 ) 埘+ ( c 一1 + 0 ) q + c 1 ) 由设q g l ，则有 c l + z 0 + 。+ 戤= q c 2 ，c 1 ，c 0 ，c l2o ，且c 2 一c 一1 4 则贯，。p 2 叶c l p q + c o g + 。一的生 成元不可能含有u 个因子。 证明：令a 研一2 a + q w + 。a ”- 为任意生成元，假设。有u 个因子，则。一定不 含6 埘因子，必含c 一1 个啦因子，因此口= n j 。- z a 口l 满足：z o + 。1 + z 2 + 。3 = c - l 且一，霹一1 ，。1 ，2 。+ ( 。”2 1 ) p 口+ ( 。一一一m h 只含有h ，j 因子。根据次数的原 因，o 中含有p 2 q 一项的h ，j 因子只能为 2 ，h - t 2 1 。o 则p 2 口的系数至多为3 ， 但是c 2 一z 。c 2 一c 一，4 ，因此一t 不存在。即：一不可能含有u 个因子证 毕 第二节瓴 0 6 4 在a d a m s 谱序列里的收敛性 命题1 2 1 眈岔( 日+ y ( 3 ) ，名) 型e t t ( 磊，名) 当0 一s ) 2 p 4 一l ，其中p 为s t e r o d 代数a 的所有循环缩减幂p 生成的子代数 证明：令m = q ( 2 4 ) = e 【q 0 ，q - ，q 2 ，q 。】，是由q o ，q ，q 。，q 3 所生成的外代数，其中 戗是s 妇n r o d 代数a 的心z n ”基元。考虑短正合序列：o 一一q 誓m o 其中q = e 【q 0 ，q 1 ，】，”是投射，= e r 丌因为q 。的次数是2 p 4 一l ，所以当 次数 2 p 4 一l 时，里没有元。由上面的短正合序列可以导出下面的长正合 序列 注意到 一眈玎1 ，( 磊) 一眈贯( m ，名) 一e 耐岔( q ，磊) 一e z 岔( ，名) 一 眈t 7 1 2 ( ，z p ) = 眈瓒( ，名) = o ( t s 2 p 4 1 ) 3 于是有 e t 岔( 尬名) 掣e z t 岔( q ，磊) o s o ，j o ) 固p ( 啦i i o ) 满足： 峙，氏，j ，n 的次数分别为： ( 1 ，2 一1 ) 一，2 t 一1 ) ，( 2 ，2 一1 扫，p ( 2 f 1 ) ) ， ( 1 ，一l ，2 i + 1 ) ，微分为d r ：群 “一群一1 ( r o ) 下面将满足t p 3 口，e ”中 的生成元及其第一，第二次数列表如下： l 如 1 1 2 o场1 12 3 o i ( 1 ，q )( 1 ，瑚)( 1 ，( p + 1 ) q )( 1 ，p ( p + 1 ) q ) ( 1 ，p 2 q )( 1 ，( p 2 + p + 1 ) q ) 6 l ，o 6 1 16 2 o ( 2 ，册) ( 2 ，p 2 口)( 2 ，0 2 + p ) 口) n 0l口2 n 3 ( 1 ，1 )( 1 ，g + 1 )( 1 ，( p + 1 ) 口+ 1 )( 1 ，( 矿+ p + 1 ) 口+ 1 ) 2 ，1 h ，2 b ，o 。 3 e 印2 什( 。一1 ) w + ( 一2 ) 口+ 一3 ，+ 0 3 ) 4 所表示，则最 0 6 4 在m s s 中由 h 1 ，o6 4 l 圯，1 l ，2 b ，o n 3 霹+ 9 ，( 蚪4 ) p 2 q + ( 。一1 ) 册+ ( 一1 ) q + 一3 ，+ 表示。欲证o 最6 4 眈贯9 “+ 2 p 2 9 + “1 4 + ”( z p ，磊) ，只须证： e ：+ 8 ，( 。+ 4 ) p 2 叮+ ( 一1 ) p 叮+ ( 一1 ) 口+ 一3 r = o 令a e p 8 t ( “4 p 2 9 + ( “1 ) ”+ ( “) q + ”，+ 为任意生成元，由引理1 1 5 ，口只可能有 o + 7 ) ，0 + 6 ) ，o + 5 ) 个或者o + 4 ) 个因子 a 若一有o + 7 ) 个因子，则必含一个饥，j 因子。 可能的情形为口= a 1 6 1 m 口= 口2 6 1 1 或a = 印6 2 ，o 其中 盯l 西+ 6 ，( 件4 矿4 + ( 锄加+ ( ) g 恤3 一 盯2 研+ 6 ，( 件3 ) p 2 q + o 一1 ) p 口+ o 一1 ) q + 一3 产 西+ 6 ，( 件3 ) p 2 叶( h ) w + ( 一1 ) q + 。一3 ，+ 由引理1 1 5 ，一1 含有 + 5 ) 或0 + 4 ) 个因子，由第一次数知，a l 必含有， 这是矛盾的因而a 。= o 同理，眈= o ，印= o q 若一有 + 6 ) 个因子，则必含两个吣因子。 可能的情形为口= 口4 蹭0 ，口= 哪l ，o 吣，口= 堵1 ，口= 研吣幻，o ，口= 哪l ，1 6 2 ，o ，以及 a = 咖! 。其中 吼霹+ 4 ，( 蚪4 ) p 2 叶( 一3 ) w + ( ) 口+ 。一3 产 e ：+ 4 ，( 件3 ) p 2 叮+ ( 啪脚+ ( ) 口+ 一3 ，+ o 嵋西+ 4 ，( 抖2 如2 q + o 一1 ) p q + o 一1 ) 升一3 j 7 西+ 4 ，( 抖3 ) p 2 口+ ( 2 3 ) 瑚+ ( ) 叶卜3 产 观硝+ 4 ，( 亡+ 2 ) p 2 q + ( h ) w + ( ) 糊产 印西+ 4 ，( 件2 ) p 2 q + ( 瑚扣口+ ( ) q + 一3 ，+ 由引理1 1 4 ，可得q = o ；考虑如，则含有0 + 3 ) 个因子，必含因子，矛盾， 因而= o ；同理，口7 ，吼，印= o 岛若a 有0 + 5 ) 个因子，则必含三个因子。 可能的情形为： 盯 = 盯l o 磕，0 6 1 ，1 盯= 盯1 1 磕，0 6 2 ，o ， 盯= 盯1 2 6 1 ，0 6 l ， 仃= 盯1 3 砖，1 6 2 ，o ，盯= 盯1 4 6 1 ，o 磋，o 口 = 盯1 5 b 1 ，1 碹，o ，盯= 盯1 6 晴，o ，盯= 盯1 7 6 2 ，1 ，盯= 盯1 8 碹o ， 盯= 盯1 9 6 1 ，o b l ，1 6 2 ，o 其中： 盯1 0 霹+ 2 ，( 件3 ) 矿叶( 汹) w + ( ) 叶瑚一 蒸糍露麓黧臀旱蔫 q 若口有o + 4 ) 个因子，则必含四个j 。薛。哥赫为： 口= 观d 6 4 0 ， 口= 眈4 6 i 0 6 2 舢 a = 蚴磋。醒斯 口= 印2 6 l ，0 6 l ，l 鹾o ， 其中 口= 砚l 砼l ， 口= 观曲 0 6 l ，o i 口= 观9 6 t 1 口= 印3 6 1 屯o 口= 仃2 2 醒0 ， 口= 磋0 6 i ，l ， 口= o 堵，o b l ，1 ko ， 盯= 仃3 4 碹0 6 1 ，o 观o曩，( 件4 矿叶( 一5 ) 朋十0 一1 ) 9 + t 一3 一 口 1彦，扣2 口+ 0 一1 ) p 叶( 一1 ) q + t 一3 产 盯2 2 崩，矿升p 一5 栅+ ( 一1 ) 口+ 3 一 c 7 2 4五，( “一1 ) p 2 口+ ( t 一1 ) p g + 0 1 ) 口+ t 一3 ，+ c r 2 5 e ：，0 + 1 ) p 2 9 + ( 一5 ) p q 十o 1 ) 口+ t 一3 一 砚6 研，扣2 卅p 一2 腑( t i n t 一3 ， 眈7 硝，( + 2 炉州t 一3 抽+ ( 1 ) 叶一3 ，。 6 口= 观3 晴1 6 1 山 a = 砚7 6 1 0 吼， 口= 1 6 l ，o 瑾i k o 眈8 曩，( 蚪2 ) p 2 叶( “岫+ ( “) 口+ ”，+ 观9 研，矿g + ( h ) p 叮+ ( ) q + 一3 一 印o 曩，( 蚪3 ) p 2 叶( 枷+ ( 。一1 ) 口+ 一3 产 印1 西，1 矿叶( 一3 肺+ o 一1 ) 叶3 ，+ 印2 西，( 汁1 旷叶( 。一4 抽升( “) 叶“，+ 船3 e + 3 ) p 2 q + ( ) p 叮+ ( ) 口+ 一 。鼬 e ：，句产口+ ( t 一4 ) p 叶。一1 ) q + 。一3 ，+ 由引理1 1 4 ，可得眈2 ，砚9 = o ；同眈证明方法，口2 0 ，眈3 ，眈4 ，眈5 7 ，口2 8 ，砚o ，如l ，印2 ，口3 3 均为零考虑眈1 ，由推论1 1 2 ，在里存在 括1 一。3 = i o = o ，因而砚l = o ， 同理，砚6 = o 综上可得出，e p 8 ，( 刚) p 2 4 + ( “) 1 ) 州一3 ，+ = o ，因此有 证毕。 o ，瓦h 6 4 e z t 9 ，“+ 矿9 + 。一1 ) 1 ) “( 召，磊) ，( 3 t p 一4 ) 命题1 2 4 眈t 芽9 1 ( 4 + 。) p 2 9 + ( “( 卅1 ) q ”“( z p ，z p ) ：o ( r 2 ，3 t 5t + 9 一r 1 0 ，矛盾。即生成元不存在。 岛，3 ，当t = 5 时，则霹+ 4 ，( 4 + ) p 2 9 + ( “) 1 ) q + “= 霹，印2 口+ 4 舯+ 3 叶( q 一”，与q ，2 类似， 生成元不存在。 伤，4 ，当扛4 时，则瑶州4 + 。) p 2 9 + ( “) 1 ) 。+ w = 霹，酽q + 咖+ 2 。+ ( q 一”，与q ，2 类似， 生成元不存在。 q ，5 ，当扛3 时，则e t + 4 ( 4 + 。) p 2 9 + ( “) 1 ) q + “= e j ，矿口+ 细+ 叮+ ( 口一“，与c 2 2 类似， 生成元不存在。 q ，若r ：4 则 e 亡+ 9 一( 4 + ) p 2 口+ ( ) ( p + 1 ) q 卅r _ 2 = 砟5 ，( 4 + ) p 2 q + ( “) ( p + 1 ) q 十卜6 7 岛 l 当t 6 时，由引理1 1 5 ，生成元含有( 4 + t ) 个因子，且含有一个6 甜因 子，可能的情形为：一= a ，6 - 0 i a = 劫，a = 6 2 胁其中： 盯1 霹+ 3 ，( 蚪4 ) p 2 口+ ( m ) 肿+ ( h ) 口水6 ，+ 眈 霹+ 3 ，( 蚌3 驴口+ ( 一1 ) w + ( 一1 ) 口+ 。一6 ，+ 霹+ 3 ( 。+ 3 ) p 2 口+ ( ) 舶+ ( ) 口+ 一 因为t + 3 t + 4 ，所以口l = o ；口2 有( 3 + ) 一( 一1 ) = 4 个h 1 2 因子，所以观：o ； 由引理1 1 4 ，铂= o 岛，2 ，当扛5 时，则霹+ 5 ( 4 + 。) p 2 4 + ( “) ( 卅1 ) 升“= 霹o t 咿叶4 瑚+ 3 q + ( q 一”，与q ，2 类似， 生成元不存在。 仍，3 ，当江4 时，则e r 5 ，( 4 + 。旷4 + ( “) ( 叶1 ) 口+ “= 砖酽口+ 咖+ 2 叶( 口一”，与岛，2 类似， 生成元不存在。 岛，4 ，当亡_ 3 时，则霹+ 5 ，( 4 + 。) p 2 4 + ( “) ( 卧1 ) 什= 研，印2 口+ 2 肼+ 什( 口一”，与岛2 类似， 生成元不存在。 o ，若r = 3 ，则 e i + 9 一“( 4 + 2 ) p 2 q + 。一1 ) 。+ 1 ) g + 。十2 = e p 6 ，( 4 + 。) p 2 q + o 一1 ) ( p + 1 ) q + 。一5 q ，1 ，当t 5 时，由引理1 1 5 ，生成元含有( 5 + t ) 或( 4 + t ) 个因子。 q - m 当生成元含有( 5 + t ) 个因子时，则因子中必含一个6 蚶因子，可能的情 形为： 盯= 印6 1 t o i 盯= 盯5 6 l 山盯= 盯6 6 2 m 其中： o q e ：+ 4 ，( 件4 ) p 2 口+ o 一2 ) p q + o 一1 ) 口+ 一5 ， d 售西+ 4 ，( 件3 ) p 2 口+ ( 。一1 ) p 叶。一1 ) q + 。一5 ，+ 研+ 4 t ( + 3 ) 矿q + ( 。一2 ) 舶+ ( ) 叶一5 产 ， 显然，吼有( 4 十t ) 一0 2 ) = 6 个h 1 ，2 因子，所以印= o ；由引理1 1 5 ，口5 含有 g + 3 ) 个因子，由第一次数知，如必含有6 ，j ，这是矛盾的因而= o 同 理，印= o q - 。，当生成元含有( 5 + t ) 个因子时，则必含有两个吣因子，可能的情形为： 盯= o 晴，o ，盯= o 龟碹，l ，盯= 盯9 碹，o ，盯= 盯1 0 6 l ，0 6 l ，1 ，盯= 盯1 1 6 l ，0 6 2 ，o ，盯= 盯1 2 6 l ，1 6 2 ，o ， 8 其中 e j + 2 ，( 。+ 4 ) p 2 叶( 一3 ) w + ( 一1 ) 口+ t 一5 ，+ 西+ 2 t ( 件2 ) p 2 叶( 一1 ) p 叶0 1 ) q + t 一5 ，+ e ：+ 2 ，( 。+ 2 ) p 2 q + ( 一3 ) p g + o 1 ) 口+ t 一5 ， e ：+ 2 ，( 蚪3 扣2 q + ( t 一2 ) p 口+ ( 一1 ) q + t 一5 ， e ：+ 2 ，( 蚪3 矿q + ( t 一3 ) p 叮+ ( 一1 ) 口+ t 一5 产 e ：+ 2 ，( 件2 旷叮+ ( t 一2 胁+ ( 一1 ) 升一5 产 同口1 一样，即，口1 0 ，口l l = o ；显然，口8 有( 2 + t ) 一 0 8 = o ；由引理1 1 4 ，均为零。 q 2 1 当扣4 时， 生成元不存在。 q 3 i 当扛3 时， 生成元不存在。 1 ) = 3 个 ，2 因子，所以 则e t + 6 ( 4 + p 2 4 + ( “) ( p + 1 ) 州：e ：o ，8 p 2 q + 咖+ 2 口+ ( 口一“，与q 2 类似， 则霹+ 6 ，( 4 + 。) p 2 4 + ( “) ( p + 1 ) q + “：霹t 7 p 2 q + 2 w + 口+ ( g 一”，与c 2 2 类似， 因此，综上所述，讲+ 9 - r ，( 4 + 。) p 2 q + ( “) 1 ) 州一2 ：o 即： e z t 2 9 叶( 4 + 。) 矿q + ( ) ( p + 1 ) 口恤r _ 2 ( 名，名) = o( r 2 ，3 t 2 n 时。并且存在上纤维序列 ( y ( 一1 ) = s ) 2 ( p “一1 ) y ( n 一1 ) 鸟y 一1 ) 与y ( n ) 与2 p “一1 y 一1 ) 其中锄当n = o ，1 ，2 ，3 时分别为b 卢，7 。 由于存在短正合序列 o ，2 p “一1 q ( 2 n ) 墼q ( 2 n + 1 ) ，q ( 2 n ) + o 所以此上纤维序列可以导出短的名上同调群的短正合序列 o 一妒一1 日+ y 一1 ) 互日y ( n ) s 日y 一1 ) _ o 9 印 田 咖 蚰 嘞 进一步导出眈t 群的长正合序列 曼量j k t f l ，。一( 2 p “一1 ( 日+ y m 1 ) ，名) 坦业e z t 岔( 日+ y 一1 ) ，名) ! 业e z t 岔( 日+ y ( n ) ，磊) 坦业e z t 。一( 2 p “一1 ( 日+ y m 1 ) ，z p ) 吐j 命题1 2 5眈t ，9 ，妒q + q 扣1 ( 日+ y ( 2 ) ，z p ) = o( r 2 ，p27 ) 证明：由推论1 2 2 ： e z t ，9 ，舻g + 4 ”一1 ( 日+ y ( 3 ) ，磊) 竺e t t 罗9 ，妒叶一r - 1 ( 名，磊) ，p 2 ) 由【1 三e m m 0 2 2 ，后者的秩s p ( 蟮) p 日”( u ( 工) ) 】r + 9 ，4 p 2 叶巾一1 的秩，而且 p ( 哆) 。 日”( u ( 工) ) p 为m o 谱序列的历项，p ( ) 是多项式代数。当t r 9 时，命题显然成立。 下面我们只考虑r 9 的情形 对任砑4 p 2 叶+ 1 ( 日y ( 2 ) ，z p ) ，从2 r 蔓9 知，o 口一r + l 口，又因为 s 战m ( ( 3 k ( 分) ) = 4 矿q 十q r + l 三q r + 1 o ( m o d 口) 且眈t ( 磊，z p ) = o 当t o ( m o dq ) 时，由命题1 2 1 ： e z t 岔( 日y ( 3 ) ，z p ) 竺e z t 爹( 磊，名) 一s 2 p 4 1 ) 可得 o ：( 如) 。( ) e t 4 p 2 4 + q 一7 + 1 ( 日y ( 3 ) ，乙) 由正合性，存在g ，e 。t r ，妒叶q r + 1 一一1 ( 日+ 1 ，( 2 ) ，磊) ，满足) 。( ) = g ，但 仍有： 同理， 仍有： 同理， s 如m ( ( t 3 ) 。( 1 ) ) = 4 矿口十q r + 1 一( 2 p 3 1 ) = 3 p 2 一p q r 5 口一r o ( m o dq ) o = ( i 3 ) + ( 1 ) j k t 7 ，3 p 2 - ”( 日+ y ( 3 ) ，z p ) 存在抛眈t ? 7 ，妒口+ + 1 2 ( 妒一1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) ，满足旧) + ) = l ，但 s 饿m ( ( 如) + ( 驰) ) = 4 p 2 q + 口一r + 1 2 ( 2 p 3 1 ) = 2 p 2 一一窜一r 一1 三日一r l 0 ( m o dq ) o = ( t 3 ) + ( 抛) e z t 2 矿一2 p 9 4 1 ( 日+ y ( 3 ) ，z p ) 存在舶眈t n 妒什+ 1 3 ( 印3 - 1 ( 日+ 矿( 2 ) ，名) ，满足( a 3 ) + ) = 抛，但 s d i m ( ( t 3 ) ，( 9 3 ) ) = 4 p 2 q + 口一r + 1 3 ( 印3 一1 ) = 矿一印q 一2 口一r 一2 i 口一r 一2 o ( m o d q ) 仍有：o ：( 3 ) + ) 眈t 7 ，矿一咖一2 一2 ( 日+ y ( 3 ) ，蜀) 同理驰= ( 蛳) + ( 玑) ，其中： 驰e t t 7 ，舻q + q 一7 + 1 4 3 1 1 ( 日4 y ( 2 ) ，乙) = e z t 7 ，一4 p q 一曲一3 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) = o 所以g ： 3 ) 。( 虮) ：( n 3 k 3 ) + 沁) = ( a 3 ) + ( n 3 ) + ( ) 。帆) = o 即： 腑 ，4 p 2 q + q _ r + 1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) = o ，( r 2 ) 证毕。一 定理1 2 7 令p 7 ，则：b 4 e z 苡舻口+ 。( 日+ y ( 2 ) ，z p ) 在a 血m s 谱序列中是永 久循环，并且收敛到”+ y ( 2 ) 中的非零元 1 2 证明：考虑a 如m s 谱序列，其岛一项： 霹= e z t 岔( 日+ y ( 2 ) ，磊) = 巩一。y ( 2 ) 微分为西：霹，群+ n 蚪”1 由命题1 2 5 ： 写+ 9 ，4 p 2 9 + 4 ”= 正k t ，9 ，妒q + q ”一1 ( 日+ y ( 2 ) ，名) = o ( r 2 ) 从而有： e ：+ 9 ，4 矿q + 口+ 一1 = o( r 2 ) 令6 4 为 0 6 e z t 夤妒叶。( 磊，名) 在映射 ( t 2 ) 。( t 1 ) + ( o ) + ：e z 珐4 p 2 叶4 ( 磊，磊) + e z t 夤舻口+ 9 ( 日+ y ( 2 ) ，磊) 下的像，则： d r ( 0 6 4 ) 耳+ 9 ，舻什q + r = o ( r 2 ) 所以 6 4 鼋，妒口+ q = e 叠砖妒口+ 。( 日y ( 2 ) ，z p ) 在a d o m s 谱序列中是永久循环。由命题1 2 6 ： 霹1 4 p 2 q + 口一”1 = e z t ，妒q + q r + 1 ( 日+ y ( 2 ) ，z p ) ：op 2 ) 可得： 霹1 妒叶+ 1 = o ( r 2 ) 知6 4 在谱序列中不是d r 边缘。因此： 6 4 e z t j 4 p 2 口+ 。( 日+ y ( 2 ) ，名) 在 如m s 谱序列里收敛到”+ y ( 2 ) 中的一个非零元。证毕。_ 定理1 2 8 令p 兰7 ，3 t p 一4 ，贝0 ： 最6 4 e t t 尊9 ，( 4 + 炉口+ ( “) 1 ) q + “( 磊，邵) 在a 如m s 谱序列中是永久循环，且收敛到”。( s ) 的一个非零元。 证明：由定理1 2 7 ，存在非零元，以y ( 2 ) ，满足，在a 如m s 谱序列里是 由醴眈t 置4 p 2 a + 。( 日+ y ( 2 ) ，磊) 所表示，其中 0 6 4 是醴眈t 4 p 2 q + 。( 磊，名) 在映 射： ( 2 i l t o ) + ：点k t 置4 p 2 4 + 9 ( z p ，名) + e z t 支妒口+ 4 ( 日+ y ( 2 ) ，名) 1 3 下的像。考虑下面的复合映射： ，：4 p 2 q + q 一9 s 三y ( 2 ) 土一( p 2 + p + 1 ) 9 y ( 2 ) ! ! 乎一砘。2 + p + 1 ) 口+ ( p + 1 ) q + 口+ 3 s 因此，= 埘，血r ，在a 幽m s 谱序列里由 ( 如j 1 血) 。( 7 。h ( t 2 t l t o ) + ( 醋) e 耐譬9 ，( 4 + 。) p 2 口+ o 一1 ) 佃+ 1 ) 口+ 一3 ( z p ，磊) 代表。已知m = 埘1 如7 。讥i o ”。( s ) 在a 如m s 谱序列里由硫代表，见 2 8 利用 y o n e 如乘积，如下复合： e z t 穿( 名，z p ) 坐鱼he z 瑗o ( 日+ y ( 2 ) ，磊) q 垫e z t 警如2 + 卅1 ) q + 。( 日+ v ( 2 ) ，昂) o 唑毒e 知穿2 口+ ( “) p q + “( 名，名) 恰好是乘以硫的同态。因此，”。( s ) 在谱序列里由： 嚷醴e z ? 9 ，“+ ) p 2 9 + ( 一1 ) ( p + 1 ) 叶一3 ( 名，名) 表示，而且由命题1 2 4 ，衲。醒在a 如m s 谱序列里不是d r 边缘，从而最蛐 在a 如m s 谱序列里收敛到”+ ( s ) 中的非零元，。证毕。 1 4 致谢 林老师的为师之道，为人之德，为学之严谨，纯粹学者的风范深深地影 响了我无论是学业上，生活中，思想上以及品德方面，林老师自始至终都 给予了我很大的指导，鼓励和支持本文的成文过程更是把林老师对我的指 导和支持体现的更为完美文章从选题，关键问题的解决，撰写，修改都渗 透了林老师大量的心血林老师不但牺牲了大量的休息时间，而且还很辛苦 劳累三年来对我的悉心关怀和耐心指导以及培养我们所付出的辛劳让我很 感动值此论文完成之际让我表示对林老师最衷心的感谢和最诚挚的敬意! 另外还感谢王向军老师，郑弃冰老师在我读硕的三年里曾经给予我的指导和 帮助 读硕期间，承蒙院系各位领导，老师和同学们的关心，帮助，尤其是那 些教过我课的老师，在此向你们表示衷心的感谢! 杜青年 二零零六年三月 参考文献 1 】t 0 d ah ，o ns p e c t r ar e a l i z m ge 】【t e r i o rp a r to ft h es t e e 0 d 出g e b r a ，t o p o l o 留( 1 0 ) ，1 9 7 1 ，5 3 - 6 5 2 】r a v e n e l d c ，c o i n p l e xc o b o r d i s m 加ds t a b l e h o m o t o p y g r o u p s o f s p h e r e s ，a c a d e m i c p r e s s ，i c1 9 8 6 【3 】c o h e nr ，o d dp r i m a r y 胁n i e si t h es t a b l eh o l o t o p yt h e 0 啪m e m o i r so fa m e rm a t h s o c 2 4 2 1 9 8 1 【4 】s w i t z e rr m ，a k e b r a i ct b p o l o 留h o m o t o p ya dh o m o l o g y ，b e r l i n ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 5 5 】t 0 d ah ，a 1 9 e b r ao fs t a b l eh o m o t o p yo fz p - s p a c 鹤a n d 印p u c a t i o n s ，j m a t h k y o t ou n i v ( 1 1 ) 1 9 7 1 1 9 7 - 2 5 l 【6 】h o 丹m a np ，r e l a t i o 8i n t h es t a b l eh o m o t o p yr i n go fm o o r es p a c e s ，p r o c l o n d o nm a t h s o c ( 1 8 ) 1 9 6 8 7 】j i n k u l i na n dq i b i “gz h e n g ，an e w 劬曲o f 丘l t r a t i o ns e v e ni nt h es t a b kh o m o t o p yo fs p h e r e s ，h i r o s h i m am a t h j ( 2 8 ) 1 9 9 8 ，1 8 3 - 2 0 5 【8 1 l i u l e v i c i u sa ，t h ef 如t o r i z a t 如鹏o fc y c l i cr e d u c e dp a w e r sb ys e n d a r yc o h o m o l o 盯o p e r a t i o n s ， m e m o i r so fa m e r m a t h s o c n o 4 2 1 9 6 2 9 】a i k d w at ，3 - d i m e s i o n a l h o m o l o 斟o f 七h em o dps t e e n r o da l g e b r a ，m a t h s c 蛆d ( 4 7 ) 1 9 8 0 ，9 1 1 1 5 1 0 】j h l l c l l nl m ，s o m e n e wf 锄i u e s mt h es t a b l e h o m o t o p yo fs p h e r er e v i s i t e d ，a c t am a t h s i n i c a ，v b l l 8 ，n 0 1 ，2 0 0 2 ，4 5 _ 1 0 6 1 1 】o l 【as ) m u l t i p l i c a t i v es t r u c t u r eo f 曲i t er i n gs p e c t r aa n ds t a b l eh o m o t o p yo fs p h e r e ，a l g e b r a i c t o p o l o 盯( a a r h l i s ) ，l e c t n o t e si nm a t h v o l1 0 5 1 ，s p r i n g e r v e r l a g ， 1 9 8 4 1 2 】c 0 h e nr粕dg o e r 船sp，s e c o n d