（基础数学专业论文）几种非线性偏微分方程的jacobi椭圆函数解.pdf

几种非线性偏微分方程的j a c o b i 椭圆函数解 基础数学专业 研究生吕秀梅指导教师赖绍永 本文的工作主要包括两方面内容：一是对k l e i n g o r d o n 方程和广义b b m 方程 分别应用辅助微分方程，并借助于计算程序m a t l a b ，得到了它们的的j a c o b i 椭圆 函数解和退化解。二是运用另一辅助微分方程，求得了两个变系数非线性偏微分 方程的精确解。 第二章研究了一个非线性k l e i n g o r d o n 方程u 蛄一a 2 茁+ 口牡一b u n = 0 ，几 1 ，得到了其j a c o b i 椭圆函数解、退化孤子解和三角函数解。这些解 中，有些解是新解。 第三章应用辅助微分方程( 塞) 2 = c 1 + c 2 2 2 + 等z 4 ，研究了b b m 方程 u t + a u z b u z 越+ k ( u m ) z = 0 ，得到了其j a c o b i 椭圆函数解、退化孤子解和三角 函数解，所得结果推广 - j w a z w a z 2 3 的工作。 在第四章，借助辅助微分方程( 窑) 2 = 0 1 + a 2 z + a 3 2 2 ，研究了两个变系数偏 微分方程u + a ( t ) u z + 6 ( t ) ( 扩) 。+ 尼( t ) ( u n ) z z z = 0 和饥+ a ( t ) u z + 6 ( t ) ( 铲) z + 尼( t ) ( u n ) z z t = 0 。使用程序m a t l a b ，得到了这两个方程的精确解。 关键词：k l e i n - g o r d o n 方程；广义b b m 方程；变系数非线性偏微分方程；辅助 微分方程；j a c o b i 椭圆函数解；孤立子；退化孤子解；三角函数解。 第i 页，共4 7 页 t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sf o rs e v e r a l n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s m a j o r ：f u n d a m e n t a lm a t h e m a t i c s a u t h o r ：x i u m e il v s u p e r v i s o r ： s h a o y o n gl a i t h eo b j e c t i v e so ft h i sw o r ka r et w o f o l d f i r s t l y , am a t h e m a t i c a lt e c h n i q u e b a s e do na u x i l i a r ye q u a t i o n sa n dt h es y m b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e mm a t l a bi s d e v e l o p e dt oc o n s t r u c tt h ee x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n st oak 1 e i n g o r d o n e q u a t i o na n dag e n e r a l i z e db e n j a m i n b o n a - m a h o n ye q u a t ! o n s e c o n d l y , s e v e r a l t y p e so ft r a v e l i n gw a v es o l u t i o n sf o r w i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa r ed e r i v e d t e c h n i q u e t w on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s b yu s i n gt h ea u x i l i a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n c h a p t e r2d e a l sw i t han o n l i n e a rk l e i n g o r d o ne q u a t i o nu “一矿2 + q u 一 让竹= 0 ，s o m en e ws o l u t i o n si n c l u d i n gt h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns 0 1 u t i o n s t h ed e g e n e r a t e ds o l i t o n - l i k es o l u t i o n sa n dt h et r i a n g l ef u n c t i o ns 0 1 u 蛆c 堰i st ot h e e q u a t i o na r eo b t a i n e d i nc h a p t e r3 ，b ym a k i n gu s eo f a n a u x i l i a r ye q u a t i o n ( 塞) 2 = e l + c c z 2 + 警z 4 ， w es t u d yag e n e r a l i z e db e n j a m i n b o n a - m a h o n ye q u a t i o nu t + a ? 2 x 一6 z 耐+ k ( u m ) z = 0 t h ej a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ，t h ed e g e n e r a t e ds o l i t o ns o l u t i o n sa n dt h et r i a n g l ef u n c t i o ns o l u t i o n st ot h ee q u a t i o na r eo b t a i n e du n d e r c e r t a i nc i r c u m s t a n c e s 。 i nc h a p t e r4 ，w es t u d yt w on o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t h v a r i a b l ec o e f f i c i e n t s 阮+ 舀( ) 珏z + 6 ( t ) ( 乱n ) + 岛( 古) ( 乱n ) z z z = 0a n d 魄+ o ( ) 十 6 ( ) ( 乱礼) z + 七( ) ( “礼) 删= 0 w i t ht h eh e l po ft h es y m b o l i cc o m p u t a t i o ns y s t e m m a t l a b ，m a n yn e we x a c tt r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n so ft h et w o e q u a t i o n s ，i n c l u d - i n gs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dt r i a n g u l a rs o l u t i o n s ，a r eo b t a i n e d 第i j 页，共4 7 页 e n g l i s ha b s t r a c t k e yw o r d s ：k l e i n g o r d o ne q u a t i o n ；g e n e r a l i z e db e n j a m i n - b o n a - m a h o n y e q u a - t i o n ：v a r i a b l ec o e f f i c i e n t s ；t h ea u x i l i a r ye q u a t i o nt e c h n i q u e ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c - t i o ns o l u t i o n s ；s o l i t o n s ；d e g e n e r a t e ds o l i t o n l i k es o l u t i o n s ；t r i a n g l ef u n c t i o n s o - l u t i o n s 第m 页，共4 7 页 毕业论文 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师趣边垫旨导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印 刷版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供 检索：2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密 后的学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 论文作者签名：3 高柏 2 d 9 9 年斗月7 日 第一章前言弟一早月i j 西 1 1 研究背景 在定条件下，非线性波可以用非线性偏微分方程去描述。非线性波存 在于很多领域，如生物数学、物理、化学反应动力学系统和工程学科等。因 而如何得到它们的精确解对研究相关的非线性问题比较重要。人们经常用各 种方法来寻找非线性偏微分方程的解，并希望通过这些解能找到更多的实际 性质和意义，从而更好的服务于现实生活。因此研究非线性偏微分方程的精 确行波解在理论及应用上都具有重要意义。 这种在自然科学和社会科学领域中广泛存在的非线性偏微分方程 问题，越来越引起人们的广泛关注，为了找到一些偏微分方程的精确 解，科学家已经建立了很多数学方法。r o s e n a u 和h y m a n 1 应用拟谱方法 及a d a m s b a s f o r d m o u l t o n 方法研究了一组非线性k d v 方程，得到了一类被称 为c o m p a c t o n 解的孤立波；w a d a t i 2 4 】应用径迹方法研究了广义k d v 方程 并得到了其行波解。t a n h 方法是一个可靠的代数方法，m a l f l i e te ta 1 【5 ，6 】用 这种方法获得了很多非线性方程的行波解。通过把非线性偏微分方程的时间 和空间变量分解成两个可积的常微分方程，m a 和w uf 7 1 研究了k d v ，m k d v $ 口 k p p 方程，得到了一些确切解。其他的方法，如反散射方法、微扰法、变分 法、b i c k l u n d 变换、d a r b o u x 变换、p a i n l e v d 分解、t r i 。h a m i l t o n i a n 算子、有 限差分法，a d o m i a n 分解法等等，己被一些研究者i s ，9 ，1 1 1 3 1 用于解非线性发 展方程。 随着计算程序的发展，在计算过程中，人们常常借助于m a t l a b ，m a t h - e m a t i c a $ 1 m a p l e 等计算程序来简化繁杂的运算过程。s i r e n d a o r e j i 【1 4 1 7 】使 第l 页，共4 7 页 第一章前言 用辅助方程法，并借助m a t h e m a t i c a 分别研究了k d v 方程、m k d v 方 程、b o u s s i n e s q 方程、s i n e - g o r d o n 方程和非线性k l e i n - g o r d o n 方程等。毛杰健 和杨建荣 1 8 】直接构造了广义变系数k p 方程解的形式，并借助m a p l e 得到了该 方程的孤立子解和确切解。z h a n g 1 0 1 应用f 展开法并借助m a t h e m a t i c a 得到 了k d v - b u r g e r s k u r a m o t o 方程的确切解。 关于女| f 下非线性k l e i n - g o r d o n 方程 地t n 2 乱z 。+ q 缸一f l u n = 0 ，n 1 ，( 1 1 ) 这里a ，q 和p 都是实数。在文【1 7 】中，s i r e n d a o r e j i 应用辅助微分方程法研究 了方程( 1 1 ) ，得到了孤立子、扭结和反扭结解、钟状和反钟状孤立波解、 周期解、奇异解和指数解。在雅可比椭圆函数展开法s n e x t e n d e dt a n h 方法的 基础上，l i 1 9 j 用一个新几何法研究了该方程，得到了其在亿= 3 时的行波 解。z h e n g 和y u ef 2 0 使用映射法得到了方程( 1 1 ) 在n = 3 时的j a c o b i 椭圆函 数解。w a z w a z 【2 2 】利用t a n h 方法和正余弦函数法研究了指数n 任意时的方程 ( 1 1 ) ，得到了紧孤子解、孤立子、孤波解、孤波相似解和周期解。 b e n j a m i n ，b o n a 乘l m a h o n y 2 1 1 建立了模型( b b m 方程) 魂+ a u z b u 2 戚+ 后( 乱2 ) 卫= 0 ( 1 - 2 ) 作为k d v 的变换形式，b b m 方程用于描绘长扩散波的单向扩展1 1 1 】。 使用t a n h 方法和s i n e c o s i n e 方法，w a z w a z 【2 3 研究了如下方程 住t + o 乱z 一6 。2 t + 尼( 乱m ) z = 0 ，( i - 3 ) 其中a 0 ，b 0 ，k 0 且m 1 是常数。这个方程叫做广义b b m 方 程，w a z w a z 得到了其紧孤子解、孤立子、孤波相似解和周期解。 w a z w a zf 2 4 t i ) 开究了如下形式m k d v 方程 妣+ n 魄+ 6 ( 扩b + 忌( 矿) 一= 0 ， 死1 ，( 1 - 4 ) 其中a ，b 和七o 是任意常数。w a z w a z 应用正余弦函数法和t a n h 方法，得到 了方程( 1 - 4 ) n 紧孤子解和非紧孤子解。并且，文 2 4 】表明，在方程( 1 - 4 ) 中出 第2 页，共4 7 页毕业论文 第一章前言 现的系数a ，b ，尼和指数n ，都会导致解物理结构发生变化。 1 2 本文主要工作及研究方法 本文主要研究几个非线性偏微分方程的确切解。 1 第二章运用辅助微分方程( 褰) 2 = c l 十c 2 2 2 + 詈z 4 研究了一个非线性 k l e i n g o r d o n 方程u 托一a 2 u z z + 0 1 7 t p 钆几= 0 ，几 1 ，得到了其j a c o b i 椭圆 函数解、退化孤子解和三角函数解。 2 在第三章，同样借助第二章中用到的辅助微分方程，研究了b b m 方程 钍t + o u z b u 删+ k ( u m ) z = 0 ，得n t 其j a c o b i 椭圆函数解、退化孤子解和三 角函数解。 3 在第四章，借助辅助微分方程( 塞) 2 = a l + a 2 z + a 3 2 2 ，研究了两个 变系数偏微分方程u t + o ( t ) u z + 6 ( ) ( 矿) 王+ 惫( t ) ( u n ) z z z = o 和 i t t + a ( t ) u z + 6 ( 亡) ( 俨) 正+ 忌( t ) ( 矿) 删= 0 。使用程序m a t l a b ，得到了这两个方程的几种精确 解。 第3 页洪4 7 页 毕业论文 g g - n一个k l e i n g o r d o n 方程的j a c o b i 椭圆函数解 2 1引言 本章将研究非线一l 生k l e i n g o r d o n 方程 u t t a 2 u z z + o z u p u n = 0 ，礼 1 ，( 2 - 1 ) 这里a ，q ，p 都是实数。 应用不同于文1 7 】的辅助微分方程来寻找方程( 2 1 ) 的雅可比椭圆函数解、 退化孤波解和三角函数解。与文 1 7 ，1 9 ，2 0 ，2 2 】的结果相比，我们得到了方程 ( 2 1 ) 的一些新解。 2 2 方法简述 考虑如下非线性方程 p ( u ，u t ，u z ，u z z ，u z ，u t t ) = 0 ( 2 - 2 ) 对方程( 2 2 ) 作变换札( z ，t ) = 札( ) ( 其中= 肛( z c ) ) ，n ；b - 程( 2 - 2 ) 变成 q ( u ，嗽，u ，心艇，) = 0 ( 2 - 3 ) 假设方程( 2 3 ) 具有如下形式解 ( ) = 仇( ) ， ( 2 4 ) 其中n 通过齐次平衡法b _ 以确定，吼( i = 0 ，1 ，2 ，n ) 是待定常数。 假设z ( f ) 是如下辅助微分方程的解 ( 蓰d z j - 2 c 1 + c 2 2 2 + 百c 3 2 4 ，( 2 - 5 ) 其中q ( i = 1 ，2 ，3 ) 是常数。 把方程( 2 4 ) 和( 2 5 ) 带入( 2 3 ) 并且令z ( ) 和夕( ) 、百干瓦歹印o = 第4 页共4 7 页 第二章一个k l e i n g o r d o n 方程f l j j a c o b i 椭网函数解 0 ，1 ，2 ，) 的所有系数都为零，可得到几个代数方程。用计算程序m a t l a b f 陇 些方程，并结合( 2 4 ) 和( 2 5 ) ，可得到方程( 2 2 ) 的确切解。 2 3 确切行波解 为了得到方程( 2 1 ) 的行波解，设= p ( z 一哟，这里c 0 ，p 0 。变量 把方程( 2 1 ) 变成如下微分方程 p 2 ( c 2 一a 2t l , + 乜u p 札n = 0 ( 2 - 6 ) 假设 + 击u 击 ( 2 _ 7 ) 方程( 2 - 6 ) 变成 p 2 ( c 2 一a 2 ) ( 2 一佗) ( u 7 ) 2 + n 一1 ) v v 7 7 + ( 礼一1 ) 2 ( q u 2 一p 3 ) = 0 ( 2 8 ) 甲衡最高次，得n = 2 。选择拟设 口( ) = 卯+ g l z + 9 2 2 2 ， ( 2 - 9 ) 其中z ( ) 满足 ( 塞) 2 c 1 + + i c 3 ( 2 - 1 0 ) 引用文【9 中的结果，方程( 2 1 0 ) 的解可见下表 表1 序号，z ( ) s n ( ) ，c d ( 荨) = 勰 2 r 2 一( r 2 + 1 ) 1 第5 页吐4 7 页 毕业论文 口 击 u- 1 、 一 一 寺击则打击 ， = = 矿 口、i【 q 第二二章一个k l e i n - g o r d o n 方程的j a c o b i 椭网函数解 2 饥( ) 3 咖( ) - - 2 r 2 2 r 2 1 1 一r 2 - 2 2 r 2r 2 1 4 礼c ) = 丽1 2 ( 1 一r 2 ) 2 r 2 1 7 2 5 礼s ( ) = 丽1 ，d c ( ) = 鬻 2 一( r 2 + 1 ) r 2 6 州( ) = 丽1 7 8 9 ( ) = 勰 2 r 2 1 22 r 21 r 2 s c ( ) = 鬻 2 ( 1 一r 2 ) 2 一r 2 s d ( ) = 丽s n c f ) 2 r 2 ( r 2 1 ) 2 7 2 1 1 d s ( ) = 鬻 1 1 r c 凡( ) 士砒( ) l - 4 - 竺盟 肌( e ) 一8 n ( ) 上牟幽 饥( ) l 饥( ) 22 r 2 1r 4 一r 2 一一1 血 22 ( 1 一r 2 ) 2 4 三- 2 r 2 + 11 22 4 l壁!生l 22 4 第6 页，共4 7 页 毕业论文 笫二章一个k l e i n - g o r d o n 7 程自 j a c o b i 椭圆函数解 1 4 l 上幽 s 礼( f ) 一s n ( ) 1 5 s 礼( ) 士i m ( ) ，万嵩 1 6 1 7 1 8 1 9 2 0 2 1 r s 几( ) 土i 砒( ) ，器 肌( ) 1 士咖( ) d 礼( ) 1 - 4 - r s n ( ( ) c n ( f ) 1 士s 礼( ) s 礼( ) d 礼( ) 土c 礼( ) 塑 、，f 士d n ( ) 1 2 r 2 2 1 2 r 2 2 2 1 2 1 一r 2 2 ( 1 一r 2 ) 2 2 t 4 2 r 2 2 2 r 2 2 2 1 2 r 2 2 r 2 2 2 r 2 + l 2 r 2 + l 2 r 2 + 1 2 r 2 2 2 r 4 4 r 2 4 l 4 1 4 r 2 1 4 一r 2 + 1 4 1 4 1 4 函数s n ( ) = s 几( ，r ) ，m ( ) = m ( ，r ) 和咖( ) = 砒( f ，r ) 是模为 r ( o r 1 ) l 拘j a c o b i 椭圆函数。s n ( 一) = 一s 佗( ) ，c n ( 一) = c 佗( ) ，d n ( 一) = d n ( ) ，s 7 1 2 ( ) + c n 2 ( f ) = 1 ，d n 2 ( ) + 7 , 2 s 佗2 ( ) = 1 ，( s n ( ) ) 7 = 凹l ( ) d n ( ) ， ( c 仃( 荨) ) 7 = 一s 几( ) d n ( ) ，( d 佗( ) ) 7 = 一r 2 s n ( ) c n ( ) 。当r 0 时。，s n ( ) _ s i n ( ) ，c n ( ) _ c o s ( ) ，d 佗( f ) _ 1 。当r _ 1 ，s n ( ) 一t a n h ( ) ，c n ( ) 一 s e c h ( ( ) ，d 佗( ) _ s e c h ( ( ) 。 把方程( 2 - 9 ) 禾0 ( 2 一1 0 ) 带入( 2 - 8 ) 并设z i i 干瓦碍( o i 6 ) 的系 数为零，得到 2 ( c 2 一a 2 ) 2 ( 2 一? 1 ) 夕；c 3 + 3 ( n 一1 ) g ；c 3 一( 竹一1 ) 2 p 夕；= 0 ， 第7 页，共4 7 页 ( 2 1 1 ) 毕业论文 第二章一个k l e i n g o r d o n 方程的j a c o b i 椭网函数解 2 n # 2 ( c 2 一a 2 ) 仇9 2 c 3 3 ( n 一1 ) 2 f i 9 1 建= 0 ，( 2 1 2 ) 弘2 ( c 2 一口2 ) 石l7 呵1 2 c 3 十4 d c 2 + 3 ( n 1 ) 9 0 9 2 c a 】+ ( 儿一1 ) 2 f 9 露 - z ( g o d + 2 夕；夕2 + g a ( 2 9 0 9 2 + 夕；) ) 】= 0 ， ( 2 1 3 ) p 2 ( c 2 一0 2 ) ( n 一1 ) 9 0 9 l c a + 5 ( n 一1 ) 9 1 9 2 c 2 + 4 ( 2 一n ) 夕1 现c 2 】 + ( 几一1 ) 2 ( 一p ( 4 9 0 9 1 9 2 + g l ( 2 9 0 9 2 + 夕；) ) + 2 a 9 1 9 2 ) = 0 ，( 2 1 4 ) p 2 ( c 2 一a 2 ) ( 9 ；c 2 + 4 ( 2 一n ) 9 ；c 1 + ( 4n 一4 ) g 0 9 2 c 2 + + 2 ( n 一1 ) 9 2 c 1 ) + ( n 一1 ) 2 一卢g o ( 2 9 0 9 2 + 夕；) + 2 d g o + 夕2 夕；】+ a ( 2 9 0 9 2 + 9 1 2 ) = 0 ，( 2 1 5 ) p 2 ( c 2 一a 2 ) 【4 ( 2 一几) 夕1 9 2 c 1 + ( 凡一1 ) 9 0 9 1 c 2 + 2 ( n 一1 ) 9 1 9 2 c 1 】 + ( n 一1 ) 2 ( - 3 f 1 9 ；9 1 + 2 a g 0 9 1 ) = 0 ，( 2 1 6 ) 卢2 ( c 2 一a 2 ) ( ( 2 一n ) g ；c 1 + 2 ( n 一1 ) g 0 9 2 c 1 ) + ( n 1 ) 2 ( q g ；一p 夕；) = 0 ( 2 1 7 ) 用m a t l a b 解方程( 2 1 1 ) 至( 2 1 7 ) ，得 l 是常数， 、 其中e = 4 - 1 ，c 1 ，c 2 ，c 3 和c 是常数。 2 3 1 n - 3 时方程( 2 - 1 ) 雕j j a c o b i 椭圆函数解 当肛在复数范围内取值时，由( 2 一i s ) 式表达的9 2 和p 以及方程( 2 1 0 ) 的 解，我们可以得到方程( 2 1 ) 如下j a c o b i 椭圆函数解 札如一= 褊 第8 页，共4 7 页 ( z 一州。，( 2 - 2 0 ) 毕业论文 第二章一个k l e i n g o r d o n 方程的j a u c o b i 椭同函数解 u 1 2 ( x ，t ) 2 1 , 1 3 ( x ，t ) z t l 4 ( z ，t ) 钆1 5 ( x ，t ) = u 1 6 ( x ，t ) u 1 r ( x ，t ) 2 , 1 s ( x ，t ) = u 1 9 ( x ，t ) = u 1 1 0 ( x ，t ) = 叫一 j ( z 一酬，5 ， j 、；1 一a ) 卅， j 一淼若彬 斥磊c ，产 志詹 f 蒜硒( 俨州壶， 志如2 f 蒜啊( 2 ；- - 6 ：) 】_ _ 笨爿膨 斤丢，】一 志卅 一f 栖( 俨州壹， 一器暑s c 2 斤丢c ，】一 ( a ( c 2 一a 2 ) o ) ， ，、r u 1 1 1 ( z ，t ) = 1 一 l ，、r u 1 1 2 【z ，t j21 一 l u 1 1 3 ( z ，t ) = 志d s 2 卢( 2 r 2 1 ) 。 卢( ，厂2 + 1 ) + e d n ( ，、r u 1 1 4 ( z ，t j21 一 l + e c s ( 脚 3 ( 1 2 r 2 1陋 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 - 2 9 ) ( z d ) 脯2 - 3 0 ) ( x - a ) l 5 ，( 2 - 3 1 ) ( 2 7 一甜) ) ( x - - 矗) ) ， jj ( z 一酬2 ) 5 ， 第9 页，共4 7 页 ( x 一以) ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 毕业论文 r，l r1 r o ) ， u 。舶( z ，t ) ：f l ，l 、r u 1 2 1 【z ，艺j 2 1 一 l 9 ( 1 2 r 2 1 o ( r 2 卢( r 2 2 ) 第1 0 页，共4 7 页 一 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 一 ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) ( 2 4 0 ) 毕业论文 第二二牵一个k l e i n g o r d o n j ：f 程的j a c o b i 椭圆函数解 ， 、r 札1 2 2 ( x ，t j 。 一 l u 1 2 3 ( 3 7 ，t ) = ，、r u 1 2 4 【x ，t ) 2 一 k q ( r 2 1 ) d 佗2 f v ( c 2 - a 絮) ( v 2 + 1 ) ( z 一删) l jj p ( r 2 + l 1 佃s n ( c 7 2 2 f 一d ) ) q ( 1 一r 2 ) 2 ( r 2 + 1 ) s n 2 f 1 + e s n ( l 、万翻( z 一面) )v( c 2 一0 2 ) ( r 2 + 1 ) 、4 。 一 ) 钆1 2 5 ( x ，t ) = 一q r 4 c n 2 ( x 一叫) ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 、百1 。，( 2 - 4 3 ) j 附一2 胛+ e 砒( 其中0 r 0 ，( 2 4 6 ) c 2 0 2 c 2 一n 2 0 ，( 2 4 7 ) 0 ，( 2 4 8 ) 毕业论文 幂“一风 一 r c l 第二章一个k l e i n g o r d o n j + ! i ! f ( j j a c o b i 椭同函数解 解( 2 - 4 5 ) 蛩j ( 2 - 4 8 ) 与文( 1 9 】r 1 1 相i 一，而钆1 5 0 、乱1 6 0 - 与s i r e n d a o r e j i ( 文 1 7 ) 所 得完全相同。 注3 当r _ 1 ，从式子( 2 - 2 0 ) 至- i j ( 2 4 4 ) ，一些解变成零或常数，一些解退 化成孤波解。特别的，u 1 ，1 ，u 1 3 ju 1 6 和u 1 9 变成 u 1 1 x ( x ，t ) = u 1 3 i ( x ，t ) = 钆1 6 1 ( x ，t ) = 让1 9 1 ( z ，亡) = 0 ，( 2 4 9 ) 0 ， ( 2 5 1 ) 0 ， ( 2 5 2 ) 2 3 2 方程( 2 1 ) 的退化孤立子和三角函数解 由式( 2 1 9 ) 0 0 的奄= 2 c 1 c 3 及表l 中给出的解条件，得到r = 0 或r = i 。 因此，可以得到方程( 2 1 ) 的如下退化孤波解和三角函数解 u 2 1 ( x ，) = r 口( 佗+ t 可 + 驾 ( q ( c 2 一a 2 ) 0 ) ， 珏2 2 ( 州) = 掣 + 驾c o t h 曲+ j ：- 一l ( a ( c 2 一a 2 ) o ) ， ( n - 1 ) i 丢a ( z 刊萨， il z 。j j ， 第1 2 页，共4 7 页 ( 2 5 3 ) ( 2 - 5 4 ) 毕业论文 j 堡三童二二= 堕望兰竺墅! 璺竺翌塑垦堕! 竺竺堕垫圈鱼墼堡 u z j 3 ( 叫) = 掣 + 掣 ( q ( c 2 一a 2 ) 屹4 ( 州) = 掣 u 2 5 ( z ，t ) = o ( 几+ 1 ) 2 臼 型 ( n 一1 ) - x ：- 磊( z 一酬) 1 击 s i n h 2 = 瓦再磊虿矿， 0 ) ， ( q ( c 2 一a 2 ) o ) ， 掣 + 掣 ( a ( c 2 一0 2 ) 州州) = 掣 q ( n + 1 ) 2 口 黑e c o 紧s h ( n 筹磬晶 1 1 + 一1 ) 、席知i 珂j 0 ) ， 几九 ( n 1 ) 、锈( z 一) 】1 【1 + e c o s 九 ( 再可芦嘉嗣j ( ( c 2 一n 2 ) o ) ， 魄，归 掣 ( 凡+ 1 ) 歪万一 ( 口( c 2 一a 2 ) 州础) = 掣 a ( n + 1 ) 2 8 ( q ( c 2 一a 2 ) f i e + s i n h ( n 一1 ) 厂乏磊( z 一咧 【c o s h ( n - - 可1 芦磊o l 再可- - j o ) ， 地“叫) = o ) ， 归 0 ) ，( 2 - 6 3 ) ：，竺堕1 2 l 2 + 1 ) 一矿 ( a ( c 2 一a 2 ) 岫( 叫) = o ) ， f 2 6 4 ) 竺垒1 )s i n 2 ( n 一1 ) 、乞磊( z c t ) j1 南 2 p ( 1 + 1 ) 焉石研， ( 口( c 2 一a 2 ) 0 ) ，( 2 - 6 5 1 酬州) = 掣 一竺堕1 ) s i n 2 ( 几一1 ) 、乞磊( z d ) 】1 由 2 ( 1 + e c 。s ”1 ) 俩( z 甜开， 第1 4 页：共4 7 页 毕业论文 第二章一个k k i n g o r d o n 方挫f i h t y j 泓：u 【) l 椭圆函数解 _ - _ - 一 归 o ) ， ( z c t ) 】 仳z 1 6 ( 刈) = 掣 q ( n + 1 ) ( 1 + e s i n ( 佗一1 ) 历写( z 一印矿 2 p 伽z ”1 ) 雁( z 一叫 ( o ( c 2 一2 ) o ) ， 2 1 7 ( 础) = o ) ， 蚰( 叫) = 0 ) 注4 设e = 1 并根据恒等式 1 + c o s h ( 2 0 e 1 一c o s h ( 2 a 1 我们知道( 2 - 5 3 ) 至( 2 - 7 0 ) r 和有些解具有相同形式 同，钆2 5 、u 2 6 与钆2 2 表达一致。 产 产 ( 2 6 7 ) ( 2 6 8 ) ( 2 6 9 ) ( 2 7 0 ) = q ， = 口， ，如让2 3 、u 2 4 与乱2 1 相 注5 根据恒等式1 一t a n h 2 ( o l ) = s e c h 2 ( a ) ，1 一c o t h 2 ( o l ) = - c s c h 2 ( o t ) 并设 第1 5 页，共4 7 页 毕业论文 第二：章一个k l e i n g o r d o n j j 程的j a c o b i 椭网函数解 e = 一1 ，解u 2 1 和现2 成为 u 。2 1 o ( 叫) = 唑 ( q ( c 2 + 1 ) 8 a 2 ) s e c 危2 掣 。舢( 州) = 一掣 ( a ( c 2 一a 2 ) 1 是常数。使用辅助微分方程，我们将得到方 程( 3 1 ) 的确切行波解，包括j a c o b i 椭圆函数解、退化孤子解和三角函数解。 其中很多解都与w 犯w a z 2 3 所得到的结果不同。 3 2 方法简述 对偏微分方程 尸( u ，让t ，u z ，u z z ，钆z t ，钆t t ) = 0( 3 - 2 ) 作变换= 弘( z 一以) ( 其中肛0 ，c o ) ，则方程( 3 - 2 ) 可以变成如下微分方程 o ( u ，钆7 ，“，钆7 ，) = 0 ( 3 3 ) 假设方程( 3 3 ) 的解可表示为 u ( ) = 吼( f ) ，( 3 - 4 ) 其中g i ( i = 0 ，1 ，2 ，n ) 是待定常数，参数n 是正整数，通过齐次平衡法可以 确定礼的值。 假定方程( 3 - 4 ) 中z ( s c ) 满足如下微分方程 第1 7 页，共4 7 页 ( 3 - 5 ) ，表 中 ， 丰| 早 二 白一2 第 十 见 严 可 q 解 + 的 q 勋 = p 耖栳数 实 是 = “三， 乞 中其 第：二章一个b b m 力程的j a c o b i 椭圆函数解 把方程( 3 - 4 ) * f l ( 3 - 5 ) 代入方程( 3 3 ) 并令所得方程里z ( ) 和 ( f ) i f i 万印= 0 ，1 ，2 ，) 的系数为零，可以得到几个代数方 程，用计算程序m a t l a b 解这些力程。结合式( 3 - 4 ) 和所选辅助微分方程( 3 - 5 ) 的 解，可以得到方程( 3 2 ) 1 钓1 确切行波解。 3 3 方程( 3 1 ) 的确切行波解 为了找到方程( 3 1 ) 的行波解，我们首先使用变换f = p p d ) ( 其中e 0 且芦0 ) 。变量把方程( 3 一1 ) 变成如下常微分方程 一c ) 让7 + 脚2 珏7 + k m u m - i 让7 = 0 ( 3 - 6 ) 设u r n - 1 ( ) = t 代) 得到 i 钆7 = 志u 志。u 7 ， = 击( 击一1 ) v 击。2 ( u ，) 2 + 击u 击。1 u ， ( 3 7 ) 【一( 2 - ( m m ) - 1 ) ( 3 - 。2 m ) v 击硝俨+ 而3 ( 2 - 砰m ) 钉击- 1 - 2 v y t + 击秽由。1 方程( 3 - 6 ) 变成 ( n c ) v 2 v i 4 - b c # 2 ( 2 _ i 石- i m _ = ：) j ( 了3 i - 一2 m ) 口3 + 3 b c _ i # ；元( _ = 2 矿- m ) 钞u ，口， + 姊2 口2 7 + k m v 7 刨3 = 0 ( 3 8 ) 对方程( 3 8 ) 应用平衡齐次法，我们得到n = 2 。选择拟设 u ( f ) = g o + g l z + 9 2 2 2 ，( 3 - 9 ) 其中z ( ) 满足 ( 褰) 2 = e 1 + c 2 2 2 + i c 3 z 4 ( 3 - 1 0 ) 方程( 3 - 1 0 ) 的解及性质见第二章。 将方程( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 代入( 3 8 ) ，并设夕、石干石印( 0 j 7 ) 的 系数为零，得到 4 b c # 2 ( 2 - 而m = ) ( 3 两- 2 m 一) g a c a + 1 2 b c