（光学专业论文）基于matlab的数字衍射光学.pdf

山东师范大学硕士学位论文 基于m a t l a b 的数字衍射光学 中文摘要 光学实验需要稳定的环境、精密的仪器，这有时使实验变得困难。随着计算机技术 的发展，计算机模拟在现代光学研究中发挥着越来越重要的作用。在数字全息、数字干 涉测量、衍射光学元件的设计制备等研究领域，都涉及到在计算机中对光学衍射过程进 行数值计算或模拟的工作，所以选择能够准确、快速地模拟光学衍射过程的算法在有重 要的实际意义。 本论文重点分析了基于标量衍射理论和快速傅里叶变换模拟光学衍射过程的一些 基本问题，特别是衍射数值模拟过程中采用不同抽样方法的适用范围问题。内容如下： 1 、对基于标量衍射理论和离散傅里叶变换模拟光学衍射过程中的抽样方式进行了理论 分析，分别给出了传递函数抽样法、点扩展函数抽样法和加权函数抽样法三种抽样 方法所对应的抽样和数值计算公式。 2 、上述三种抽样方法虽然都是基于标量衍射理论和快速傅里叶变换，但是各自又有着 不同的适用范围。文中通过对抽样函数局域空间频率的分析，给出了一个判定算法 适用范围的特征距离z 。，并证明，传递函数抽样法适用于衍射距离小于特征距离z 。 的情况，点扩展函数抽样法适用于衍射距离大于特征距离z 。的情况，而直接傅里叶 变换法只适用于特征距离z 。的情况。 3 、为了验证上述理论分析的正确性，我们在m a t l a b 环境下分别模拟了三种不同抽样方 法在不同距离处的衍射图像，得到了与理论分析相一致的结果：当衍射距离等于特 征距离z 。时，三种算法的模拟结果相同；当衍射距离小于特征距离z 。时，传递函数 抽样法具有最佳模拟结果，点扩展函数抽样法和加权函数抽样法的模拟结果与实验 结果的偏差越来越明显，直至出现完全不同的强度分布图样；当衍射距离大于特征 距离z 。时，点扩展函数抽样法具有最佳模拟结果，用传递函数抽样法的模拟结果会 出现一种越来越严重的网格“噪声 ，而加权函数抽样法的模拟图样则会出现越来越 严重的尺度压缩。同时比较了采用不同抽样方法计算同一衍射过程的计算速度，发 现用传递函数抽样法进行计算时运算速度最快，点扩展函数抽样法最慢，加权函数 抽样法介于之间。通过以上理论的验证，为我们以后进行模拟运算时在不同的情况 n 山东师范大学硕士学位论文 下采用哪一种算法提供了依据。 关键词：衍射，角谱，傅里叶变换，点扩展函数，加权函数，m a t l a b 分类号：0 4 3 8 山囊囊誊禽磊奎茧若卷霉 蘑l 羹：霎霎i 篓l 雾雾雾囊乙薹i 蠹孳萋翁蔷叁奏萎霎蓄望鬟薹囊叁蓁篓蘩；篓霾幂霾鋈 塑藩霎羹萎零蓁茎 馨墼羹忤爸篓鬟荔芎嗍璧妻羹| 薹；羔襄毪萋埋荔霆黍| 鼗囊毳s 霪寰警掣霎璧磊j 趟i 萋雾矍；| 霎黧 苫巡警! l l 冀 ! 羹塾餮；霉蔓主；j 霎羹! 鞫9 | 蚕霎 竺| ：隔霎喾喜蠢鋈l c e j 燃囊翼亭副芝芝耋i 夔；i 廿莲霄| 羹羹蓄蓄霪叁塾三三i 墓薹薹i 喜t i 飘螽骑i 鬻襄r 蚕蛩冀鬟笆蒹蒌董事萎鐾雾窆囊薹攀 霪霞鬈塞囊囊鐾薹了餮囊裟鋈墼喜喜e 妻薹薹鬟i n l 霎肇羹瀚 雾冀彳霎兰! 蜇蓬；萎翅雹l l 蠹翼蔓羹蕊薹飘i 蓁錾i 茎i i l 记蠢宅i i 羹眷；雾写? 羹霎；薹| 萋薹i 蠢i ；l l l 霎摹囊蔫羹i 茎霎蠢i i 薹i 亏粪磐囊鋈薹l l 萋幕叁薹薹l i 毒耋； 塑；i 霸曼制羹；萋1 1 善璧薹型墓萎冀萋冀羹；搬鋈囊羹翼l 琴塑璧剃嚆鞠鬟d 笋囊彳章搿囊露螯蓁鬻 l 墼霞藩墓霎萎羹熏藿羹萎曼尽霎8 兰薹：霖蓁羁雾羹萋岩乔垂垂荔砉i 零二霎霎! 霎嗡霪l 磊鞋l 鋈；冀茎妻蝠；霎l 鼍l ! 宴蓁三三睡受曩叠鬻笺藕菱菇g 羹! 季羹i 塑薹秤霉雾i 霪羹爨蚕囊雾l 薹l 壑m j 蠢蓁呈囊羹羹薹霎雩囊雾坠艘豢o “鲤妻羹耄喜冀霎羹薹声q 妊娶鬟斋童妻萋 | 雾| 篓嚣囊誊葶委! ! i 星；垂i 妻妻冀i ll 墓翌| 萋霎鬃蚕| 蓁型薹毫誊；霪耀蠢；薹；l 善耄螽誊f s j l l l 萎萋鼍l 蕊i i i 暮素| l 蔓i 囊堡霪i i i 曼 冀蚕霎 霪h ! 萎震! 型薹蓍篓跫霪薹羹囊蚕 囊i i i 蔓【1 蕈蕈塞雪冀泡囊薹- 1 1 翥蘑裂童；i | 霉霎霎! ! 主雾| i j 露霾矍| i 堂窆茎：蓄蠢l 蒌l 羹璧蓁蓁蠢垂l ；鬟雾蠢萋堑蓁呈耋羹薹l 鬟； 雾蓊囊蒸羔茎荤嗡鬻d 囊窜；主雾蓉鬟鬟王| 翌藿冀萋羹蓬主耋美u 萋三蓉蠢! 鬣薹薹电墓垂缓荔蓦些蓁；型星 ? 霎錾冀襄霎垡霎李季李黧! 蓁蓁霄茎霎茎苎窭苎雾鉴鉴萤雾；l l ll 羹l 挈萱捌奏叁囊基匝曩童莲芦霎藿莲塾蠹囊垂霪鞫耋薹薹型吡囊二 藿；篓l 薰美冀喜鋈雾雾藉霎霎| l 堇薹眨暖淤雾雾冀蠢薹蠹鬻i i i 篓鬟璧垒囊蠢黧! 薹蓍鼙藿羹薹型薹雩蓁雾囊蓁雾 j 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年惠曼颠第一次提出光的波动说，他表述了一个矗观信念：如图董1 ， 波面上& b 。c 各点都可以看作新的点波源，它们发出的子波为半球面。如果把光 扰动的波前上的每一点看成是一个“次级球面扰动的新波源，那么随后任一时 刻的波前可以由作出次级子波的“包络 两得到。 包络( 新渡前) j _ - 图1 1 平面波和球面波的包络作图法 山东师范大学硕士学能谂文 僵直到1 8 0 4 年，光的波动理论才获得重大进展。这一年，英国内科医生托 马惩杨零| 入了予涉这一重要概念，从丽巩露了光的波动学说。1 8 1 8 年，蓊涅骂 在其著名论文孛融合了惠更赫和杨的想法。通避对惠受斯的次缀波源的振幅和相 位做一些相当锓意黔假定，并允许各个子波相置于涉，蘩淫耳能以极高的精度计 算出衍射图样中光的分布，指出了“泊松亮斑”的存在，这就是蜃人所称的著名 的用来分攒光的衍射现象的基本原理：惠更斯一菲涅耳原理。麦克欺韦在1 8 鳓 年把光等同于一个电磁波，这是对光的本性的理解的极其重要的一步，后来基尔 震夫把惠爨斯和菲涅耳的概念放在一个更坚实的数学基础上，缝成功豹证明，菲 涅耳赋予次级波源的振幅和相位其实是光的波动本性的逻辑结论。玎j 随着对光敷衍射现象认识的深入，光戆衍射也褥到了越来越广泛翁应焉。 衍射应用大致可以概括为以下三个方面： ( 1 ) 衍隽重燧于光谱分析。如衍射光撩光谱仪嘲。 ( 2 ) 衍射用于结构分析。衍射图样对精细结构有一种相当敏感的“放大作用， 赦丽裁用图样分析结构f 期。 ( 3 ) 衍射成像。在相干光成像系统中，引进两次衍射成像概念，幽此发展成为空 闽滤波技术和光学信患处理。 本世纪6 0 年代扔激光器的诞生，在光学领域内掀起了一场新酶革裔，使入 翻更期深刻嚣认识了光学现象，使毒# 线性光学、纤维光学、集裁巍学等分支产生， 并不断发展。同时也为1 9 4 8 年建立的全息术【4 l 、傅垦叶光学的理论研究提供了 强有力的实验基础，显著的加快了这门学科熬发震。詹来，随着计算机技术熬发 展，出现了计算机全息术，使得以光波衍射原理为基础的光学研究及其元件研制 迅速发震。特别是8 0 年代中鬻，美蓠醒玎林青实验室的威尔得坎酱率毙提出 了聃二元光学疗瞪均概念，= 元光学有剐于传统光学元件制造方法，它是基予衍射 巍学魏纂理，元件表瑟采爰浮雕结构，剿造上可瑷采焉现有集成电路生产方法， 由于采用= 元掩模故称力二元光学。关于二元光学的准确定义，至今还没有统一 的看法，但蘑翦的共谈是二元光学基于光波辩射理论，利瘸计算机辘助设计、并 采用超大规模集成电路制造工艺在元件表面蚀刻产生不同台阶深度的浮雕结构， 形成具有极高衍射效率的衍射光学元件，是光学与微电子学褶互渗透交叉的前沿 学科。 玉寨簿蕊犬学硬士学挝论文 对光的衍射的理论研究，主要基于光标量衍射理论。但对于很多实际衍射问 题，该理论只能给出一个积分表达式，很难给出解析解。而光的衍射试验需要稳 定的环境、精密的仪器，有时使实验变得困难。随着计算机技术的发展，我们可 以通过计算机来对光的衍射过程进行数值计算或模拟。在模拟或者计算过程中， 首先要对摧述系统特性的模型设置一定的参数值，并让某些变量在指定的范匿肉 进行变化，通过计算可以求得这种变量在不断变化的过程中，系统运动的具体情 况和对最后结论的影响，从而使实验变得简捷，大大提高丁实际应用的效率。计 算机模拟具有以下的功能【6 】： ( 1 ) 计算机可以显示出整个模拟过程中所产生的各种现象和状态，具有观测方 便，过程可控制的优点。 ( 2 ) 可以减少井界条件对实验本身的限制，方便的设置不嗣的参数。 ( 3 ) 借助计算机的毫速运算能力，可以反复的输入试验条件、参数，大大提高实 验效率。 因此，计算机模拟光学衍射的过程具有良好的可控制性( 参数可以根据需要 调整) 、无破坏性( 不会因为设计的不合理性而导致仪器的损坏) 、可复现性( 排 除多种随机因素的影响，如温度、湿度等) 、易观察性( 可以观察在实验中无法或 难以观察的现象，可以记录实验过程的每一个细节) 帮经济性( 不需要贵重的实 验设备) 等优点。 在用于计算机模拟【7 】的科学计算软件方面，国外的光学模拟试验是在模拟设 计和优化光学系统的过程中发展起来的。在这方面，美国走在最前面，他们最具 代表性的是劳伦斯利弗莫尔实验室光传输模拟计算软件p r o p 9 2 f 8 ，9 】及大型总体优 化设计软件c h a 烈0 p 和p r o p s u l l e 【姗。其中软件p r o p 9 2 就是采用f o r t r a n 语 言编写，最大采样点数为5 1 2 宰5 1 2 。这些软件在大型激光器n o v a 的设计制造中 发挥了重要作用。另外法国也开发 x : 山东师范大学硕士学位论文 运行稳定可靠。 我国用于科学研究的光传输软件开发虽然较晚，但也取得了很大的成绩。特 别是1 9 9 9 年，神光叫i i 原型装置t i l 分系统集成试验的启动为高功率固体激光 驱动器的计算机模拟的研究创造了条件。目前已基本完成s g 9 9 光传输模拟计算 软件 1 3 j 的开发，推出的标准版本基本能稳定运行，对s g 9 9 主要计算模块的验证 结果表明s g 9 9 对能流放大、线性传输、非线性传输的计算是合理可靠的，其中 线性传输的计算模块的计算精度与国外同类软件f r c s n e l 相当；目前该软件已经 用于神光i i i 主机可行性论证的工作中。 现在我们比较多的利用美国m a t h w b r l ( s 公司推出的m a t l a b 【1 4 ，1 5 ，1 叼软件来 实现上面的工作。m a t l a b 是国际公认的优秀数学应用软件，它是用于数值计 算和图形处理的应用软件，它包括了数值计算、矩阵运算、信号处理、图形显示、 可视化建模仿真和实时控制等功能，并且有大量的函数库可供使用【1 7 1 。m a n ，a b 的基本单位是矩阵，它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似。故用 m a t l a b 来解决问题比用c 、f o i h 埘等语言简洁的多。 m a t l a b 系统由两个部分组成，m a t i ，a b 内核和辅助工具箱，两者的调用 构成了m a t i ，a b 的强大功能。m a t i ，a b 语言是以数组为基本数据单位，包括控 制流语句、函数、数据结构、输入输出及面向对象等特点的高级语言，具有以下 特点： ( 1 ) 可扩展性：m a t l a b 最重要的特点就是易于扩展，它允许用户自行建立指定 功能的m 文件。对于一个特定领域的工作者，不仅可以利用m a t i ，a b 本身 所提供的函数和基本工具箱函数，还可以方便的构造出专用函数，从而丰富 了其应用范围。当前支持m a t l 蝠的商用工具箱有数百种之多，而由个人开 发的工具箱则不计其数。 ( 2 ) 使用方便性：使用者不需要有 x 远东爨范大学硪士掌链论文 码o ( 4 ) 图形功能强大：它既包括对二维和三维数据可视化、图像处理、动画制作等 高层次的绘图命令，也包括可以修改图形及编制完整图形界面的、低层次的 绘图命令。 由于m 斌，a b 具有如此之多的优点，它已经成为应用于线性代数、盘动控 制理论、数理统计、数字傣号处理、时闻序列分析、动态系统仿真等高级课程的 基本数学工具，在研究单位、工业部门，m a l i ，a b 也被广泛应用于研究和解决 各种工程问题。 光在自由空间衍射的计算机模拟是在标量衍射理论和快速傅里叶变换f l s 】的 基础上进行【1 恻的。根据理论分析，按照抽样对象的不同，存在三种适用范围不 同的算法瑟珀，分别是传递菇数抽样法、点扩展番数抽样法和加权函数抽样法。这 些算法中都要涉及与衍射距离有关的相位因子的抽样，为了满足抽样定理渊，需 要根据衍射距离的变化减小抽样间隔和增加抽样点数。在数字全息幽洲、数字干 涉测量口5 婀、衍射光学元件的设计制备【2 7 0 8 捌等研究领域，都要涉及到在计算机 中对光学衍射过程进行数值计算或模拟的工作。因此选择一种能够准确、快速的 模拟光学衍射过程的算法在数字衍射光学领域就有了重要的意义。 本文的研究和论文的内容安排如下： l 、第二章首先介绍了标量衍射理论中基尔霍夫衍射公式鲶推导过程，并在此基 础上推导出了菲聂耳衍射公式和夫琅禾费衍射公式以及他们所对应的条件； 然后介绍了把函数离散化处理的抽样定理，进行数值运算的离散傅里叶变换 和卷积的有关知识，本章是后面内容的理论基础。 2 、第三章是衍射数值模拟中的抽样方法及其比较，分成三部分： ( 1 ) 对基于标量衍射理论和离散傅里叶交换模拟光学衍射过程中的抽样方式 进行了理论分析，分别给出了传递函数抽样法、点扩展函数抽样法和加权 函数抽样法三种抽样方法所对应豹抽样帮数值计算公式。 ( 2 ) 分析了上述三种抽样方法虽然都是基于标量衍射理论和快速傅里叶变换， 但是各自又有着它们不同的适用范围，文中通过对抽样函数局域空间频率 的分析，给出了一个判定算法适用范围的特征距离z 。，并证明，传递函数 抽样法适用于衍射距离小于特征距离z 。的情况，点扩展函数抽样法适厝予 出东烬蕊大学硬士学位论文 衍射距离大于特征距离z 。的情况，而加权函数抽样法只适用于特征距离 z 。的情况。 ( 3 ) 为了验证上述理论分析的正确性，我们在凇t l a b 环境下分别模拟了圆孔、 单缝和双缝在三种不同抽样方法下和不同距离处的衍射图像，得到了与理 论分析相一致的结果：娄衍射距离等于特征距离z 。时，三种算法的模拟结 果相同；当衍射距离小于特征距离z 。时，传递函数抽样法具有最佳模拟结 果，点扩展函数抽样法和加权函数抽样法的模拟结果与实验结果的偏差越 来越明显，直至出现完全不同的强度分布图样；当衍射距离大于特征距离 z 。时，点扩展函数抽样法具有最佳模拟结果，用传递函数抽样法的模拟结 果会出现一种越来越严重的网格“噪声 ，而加权函数抽样法的模拟图样 则会出现越来越严重的尺度压缩。然后提出了一种螽适应算法，同时对采 用不同的抽样方法来计算同一衍射过程时的计算速度进行了比较，德出了 用传递函数抽样法进行计算时运算速度最快，点扩展函数抽样法最慢，加 权函数抽样法介于之间的结果。通过以上理论的验证，为我们以后进行模 拟运算时在不同的情况下采用何种算法提供了依据。 交襄黪蓬文学蘸毒擎整轮交 第二耄数字衍射光学的理论基碱 衍射楚巍转攘过程孛麴普遮藕性，是巍冥肖波泌镶鳇装瑗毒搬波楚矢量涟， 要精确解决惩射阕题，必须考虑光波的矢量性，但是黑矢量波方法求解德射旌趱 很复杂。基尔霍失的标量衍射理论的主要简化和近似，是把光作为标蠹来处理， 也就是强考虑电磁场的一个横向分量的复振幄，并假定任何剐的分量可以用丽样 鹣方法独立处理。丽实舔上鬯磁场矢量的各个势爨是遴过麦竞衔韦方程联系在一 起静，不莪猿立处理枣研究表溪，暴要满霆两个萘箨，帮衍萋誊藐径毙渡长大褥多， 震寨煮蹇嚣瓣魏疑不薹太遥，蠡薰辩瓣灌谂霹虢褥簧满意魏缝暴。我粥在裁瓣诤 舞极辩毙麴褥射遭程避稽摸掇时遇到一个瓣题，光波其有连续分毒鲍将点，翳数 字计算桃所处理的信息却袭现为序列的形式。在实现信息记录、处理黠，一个连 续的鲻数也常常用它在个离散点集上的邈数值，即抽样值来表示，抽样值越小， 抽样序列越能准确地反映原来的连续函数，但是，抽样值越多，瓣计算机的簧求 就越离。如帮选择一个合理靛箍祥间隔，蓑麓徽剩既不丢失信惠，叉不对箍霞避 器撬熬过努要隶，我餐分缮了解浃这个阕蒸黪辩撵定怒。在诗冀巍箍溪适程孛， 攀噬：嚣要爱巍褰教蕊墨盱变换黎卷获瓣毒美懿谈。 2 ， 标量衍射理论 2 ，1 。1 基尔霍夹衍射公式黼3 l 】 惠更斯，菲涅耳原理是在惠更新予波假设与耪氏干涉原理的基础上提出的， 窀是描述毙传播的基奉原理。该原理播恕：光场串任一给定魏蔬上翡潇面竞可酸 著镦罴子渡源，麴粟逮些子渡漂是穗千赫，粼在波缝续传撵鹃空鬻主柽一煮缝簿 笼鼗劫，霉露簧徽是这些子淡瀑磐塞发凄戆予溲在该燕糕干叠掇戆结巢。这里舞 说黪光场拳任一绘定照露燹矮是等位鞴蘸，即誉是骧媲惠雯囊。棼涅霹原理孛掰 说的波厦拳经典理论证鼹，在真空或罄向同性、均匀、透明、无源介质中罄瞧传 播的单色光波，惠更斯菲涅耳原理的数学袭达式是 山囊坦塑纛囊掌豳“甜群蓦 耋蕊蒂髫繁誊薹蓁荔翼；篓二一手墅嘉催婆妻雾甄；懈噗3 鎏哩羹塑雾篇矍 鞠。连姿丽蓟翮痢薷一翼蚕挑甄型藿；黼馏召雾需型磊。赫舅囊丛藕萎囊堪疆冀 董妻喾并i 萼曼霪鲤| 攀；悝瑶荔匪塑羹蚕霎嘉。瓣蓥毒霪萋鎏藉篓荪陪i 羹与角 萋| 醋鄯鬟雾黟糍堕雾疆鋈篓雾冀鋈羹熏萋蒸鋈堕黉张；翳鞫酣臻罐培雇侮尊薹； 臻豢增噶捌糯螺坦鏖霸冀菰营春筹荀耋薪鸸舔i 分蠹痢囊翁舞凰黾蓄寸蓁塑雾 通捆鼍璎i 狻鼹髂垡；妻饿缺乏产格的理论依据豫妻稗辨垂! 滔粥影副塞琴磊黼 羹孺谥鞴烈矍蘑瓢榉崩。辚刻引擀勘制剥鬲粪；薷删灌翳碎速磋罐墓季霎霎。强 霪芦翮曼蕙更期强璀瑁拒l i l t ；i ；瑚潞蹬强囊罐 i ! 篁薹制私生f 剥黍褪霎县筵i 磊鬻艮m 豁髦蔫翠绺；瑁齿霾篓蒴 穗：雨季蟛功薄菝鳓薷i ! i ；楂霎蚴加髟翻滋甄擎耋囊冀霎巍拍薹i 氏醵射辨h 翮薹孺崮熟； i 室| 坐标系囊投塞罄兰萋墓凳萋i 薹亏囊鍪影冀喊啜海谤谤；辕。蓁翼萋羹雾 翌羹麓； x 山东师范大学硕士学位论文 振幅，反正积分范围仅仅是。有时候也把衍射看做光振动由衍射屏瑶表面到观 察面的自由传播，用公式( 2 8 ) 来描写这一传播规德。此时公式中的u 。( p ) 则代 表后表丽的复振幅分布，衍射屏的透过率特性和照明光源的情况一起e l ju o ( 一反 应。 ( 2 7 ) 中，令 差8 弦 矗( 只q ) 。瓦了趸( 9 ) 则( 2 。? 式可写成 u ( ；扣 u 。( 聊 ( p ，q ) 凼 ( 2 9 ) 五( p ，q ) 渊做脉冲响应函数，按照系统的观点，衍射过程或传播过程也可以等效 为一种线性系统的线性变换，j l ( 只q ) 它代表了这个系统的全部特性。 2 。2 菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射 基尔霍夫衍射公式是比较复杂的，因而赢接用它来计算非常困难。在实际进 行运算时通常是对这个普遍理论作某些近似，用所得的近似公式计算一定范重内 的衍射场分布，按照近似条件的不同，可以分为菲涅尔衍射和夫琅禾费衍射。 在引进一系列近似以前，先研究一下基尔霍夫衍射公式在直焦坐标系孛的形 式是有益的。如图2 3 l 篝 x 0 。 么t j j r l 。 。 一 ，。 。 _茁 图2 3 衍射的几何关系示意网 山东师祗火学硕士学位论文 ( 2 1 4 ) 式的展开式只取前两项而舍去全部黼次项是允许的，也就是r 取这样的 遮徵篷不会萼；超鳞显鳇糍袋误差，遂瓣近觳删镁菲淫霉近戳。在这些嵩狻瑷孛起 决定作用的是展开式( 2 1 4 ) 式中第三项，警由它引起的位相变化记为螂，则 2 嚣融一毪) 囊每移嘞) 奎】2 2 i i 一 其孛( 熬罗兔诲取鼹察筢蘧态静经衡僮， ( 2 2 3 ) l l 当抽样间隔满足条件融= 瓦，砂2 酉时 g 扛驴量ge 盖，旁) s 嗽袁一戮，毒刊像2 4 ， g ( x 驴 x 瘗寒辩熬太攀簇士攀往埝嶷 鲶条捧，夔 在莓个齄撵蕊主教燮一夺攘襻餐海获霪翡癜黪谶数嚣秀蠢擂随彀， 塞逮楚熬糗热醛避数憋线性趱裔霹戳复蒙蘸爨数； 公斌( 2 ，2 羹) 辅( 2 + 誊3 告落我们，毂撼襻鼹教复艨燕黼数霄鼹繁途径；额 域滤波矬室蠛蠹撼。裁榉定壤溪簦了嚣越瓣嚣嚣瓣题，翊一个连续麴戮带嚣数露 蠹个袅理接襻黼隔翡枣舞代替，蓠不簧袅程何锩意，戳爨露按样德窿戮菝夔祗 透鼗翁方法。 等黎说寨，豢繁煮辩酶黼毅程褥避主著苓存搓，一个鬻黻宽度盼爵羧，蒸额 鬻箍嚣惑蹩扩震裂燕雾替毽袭挺大雾数爨壤鐾蕊鬣数，冀豢谱搓颧攀蒸懿一是罐 度艇总是大大城小，隧数舍去嵩频分量辫警l 入鳇谖蒺是萄戳密谗鲢。窭辩主，僖 号熬梭溅气蒋遵遵糕粟糍翳搜器郡楚毒袋遗籁辫宽瓣拳擀嚣，镤多鹣瑷爨爱数嚣 可视簿霄限带懿邈数，从而可耀离黻的撼样净猁代替。 窆。嚣离散博壤种銮攘糨卷飘 窆。塞。 鞲萋翳燮换篱卷辍搭麓 蓬 一个黉裁黼鼗胸，溺瓣苇群i ，窀满蹩狱萋赫澍豢粹，瓣豢鞭在一个粼鬻 鸯誉霄戳拿黢蕊煮鬻蔡类鬻鬻蒸新谬纂一粪瓣耩煮怒嚣数戆蒌涟缕煮，凌谖 熹辫涎遴羧麓艇膏鞭，蒸左塞缀鞭莓褒，粼苁彩磷戳震器藏三角鼹数 抛) 裟譬+ 孰s 窆删+ 瓠融2 劂啦 经釜s 冀警簿爨蜂豢羧 ； 壤龄专 ：冀潆 冁一事：咫s 2 嫩 毯麓蓐 嚣筝：，漱2 燃 遂饕辍筹蔑群拖鬟瓣嚣羧搀爨攀壤纛数簿篓肄羧数嚣瀵 函窳舞藏失学磺老攀僚论文 气弋 歹静) 。厶e x p u 2 僦孵) ( 2 瓣) 其中 鼓赫孑：，) e x p l 歹2 删) 戤辫锄，重，主2 ， ( 2 。2 8 ) q 一般楚频率v 的复函数，通常称为频谱丞数e 由乎周期邀数只包含o ，v ， 2v ，频谱分爨，频谱的取值是离散的，所以周期豳数只有离散谱。 非周籁函数g 魄力在整个无限戮平面上满足狄里赫剩条件，趋 ，囊瓯一吱或存在，则二元爨数g 岁) 的俘立时变换定义兔 o ( 专，n ) 燃，g ( 蓐y ) e 磺卜2 豇( 毛x ，r ly ) 】西渺 ( 2 2 9 ) 其中( 毛，n ) 是与蕊数f 对应的直角坐标系的两个坐标变量，杈，黔薯，毽) 都是实 变量。嚣数，魄力可以是实露数，也可以是复藕数，k 善，f 1 ) 域实戴复盘函数 厂 ，y ) 的形态决定，式中的e x p 卜2 孔( 缸+ 缈) 】称为二维傅里叶变换的核壮做傅 + 燕时逆交换，霹蠢镦毛，琏 将耪g ，茆表示蕊来。 髫伍y = ，似蕃，建卿婆豇誊x ，犍费】嫣嘲 ( 2 。黼) 对于线性不变系统，线健系统的性质完垒囊一个躲冲噙应避数来表撼，卷 裰使诗算变褥菱鸯篙单。鬣数甄x 劝鞠垂数凳国菇二维蕊数，饿稍的卷积定义 为 彰添 y 声，f 专，趣h ( 罴乏，y 建) d 蓦罐媳 。 x ，y ；堍x ，茹 ：2 。3 薹 对于线性不变系统，输邋滋数g 赫赡是输入丞数，随妨鞠脓淬晌应纛熬卷 积，系统熬残豫特性完全交森来薄瑷。 2 3 2 离散傅里时交换 在上节研究了连续时间傅里叶变换，它是一种积分变换，褥到的是一条连续 1 知 出袈筛范丈学磺士学位论文 曲线，因此剽用计算机不能直接进行运算。离散傅里叶变换f 3 硝是为了适应利用计 算枫分析傅里叶变换蔼规定的一种专门运算，是对连续时闻信号频谱分析的逼 近，它通过选取合适的频域抽样间隔进行曲线模拟。下面我们将连续的傅曼时变 换公式在空域和频域交换成离散形式。 对于带限涵数g 取，y ) ，其抽样函数为 & ( x ，y ) 毯。幽( 面，蠢) g ( x ，y ) ( 2 3 2 ) 其中，撼样闻隔泰x 和6y 应满足抽样定理，即可取 ll 融2 瓦，耖2 西 ( 2 3 3 ) 抽样避数的空间频谱为 掣 g ( 乏，麓) = 瓠渺己羲( 豫磅联p 卜2 豇( 撒鼍& + 鞠势焚 ( 2 。3 毒) 拼嚣 上式中，m ，n 为最大抽样煮数，由抽样定理，该频谱函数将变成源频谱函数 的周瓣函数。爵对该频谱函数进行接样，捆祥阗隔麓； 。 量l 鹭拳蕊，鲫2 面 ( 2 。3 5 ) 则抽样频谱函数在一个周期内的抽样值满足： 掣嬲矽碑 g ，g ) 2 酝渺琶瓤( 撇，嚣) e x p r 2 豇肴+ 贵) 】 ( 2 3 6 ) 上式就是离散函数韵离散博立时频谱。 空阗蘧数的抽样导致其空间频谱函数的周期延描。反过来，对频谱函数的抽 样，溷样导致募空闻函数的周期延拓。对餍期延拓函数在一个周期内豹抽样值为： 掣坳m ，猷嬲滞翔导国哪防暑翻 ( 2 - 3 7 ) ， g ，( 嚣冬嚣) = 鑫毒两厶镀( 夕，譬) e x p 【2 歹箨( 盲j 亨) 】 ( 2 - 3 了) p 攘 1 上式就是离散瀚数的离散逆傅立时频谱。 蠢求爨蕊大譬鼷士孝靛论文 ；王；1 嚣( 蓉，蓬嚣溯站酬f 一篱2 一穗2 一嘲嚣酬f 一鼢2 鳓童 英审妇耨印凳入瓣平蕊上空鬻整标嚣撼祥瓣隔，蟛蠢融舞耀瘦瓣空蠢灏灌露 上蜜溺颧率坐标鹣麴撵溺隔，太舞入赫兔憋波长，鬈舞入瓣凝剩输擞蘧抟距亵， 瑟蓊射距离。 掇撰麴榉定理和离教傅里时变换麴性蠖，空间坐标和空阍频率坐标的抽样间 隔应瀵是以下条件： ll 懿嚣蒸，鞣= 面 萁孛，馘辩n 舞接撵点数；入射巍场经髓离鬈熟衡射舞糍输出甄上灼光场分东 霹盘下裂公式算盘： 鞑 虢姆叫d 雅( d 【魄彻虢脚) 】嚣( p 繇垡8 吣 ( 3 1 ) 2 ；燕扩展邈数撼样滋 在基尔霍夹衍射公式( 2 。5 ) 式中，r 及c o s ( 嚣，r ) 可玖分别袭示为 r ；名2 + ( x 粕) 2 + ( y y o ) 2 嘶尹避菰三了霉雨 二、冉一再o ，、，一，o 声 带天 2 。s 式，瓣褥劐蓥尔蓬夫公式藜卷簌萋式 ff 嵇磴u 凳三2 耷x 一，2 十罗一鹣) 2 】。 擎协只鉴l 已，鼓) i 莎彳露i 蓊霉零三矿 岩呶蛾 葑上式蓠迭律簿墨蜂交换，薰疲鬻空域卷积定理，褥 联秽辑，刃! 邓【，弘) 】x 嘲瞅z 2 + 善2 + y 2 】 鬃 荔1 蕊鼋可 于是，褥到麟尔霍夫传递函数鸯 筏蕊 山东师范大学硕士学位论文 e x p 眈l + ( j ) 2 + ( 耄) 2 点扩震豳数抽样法【3 3 蚓的基本抽样对象是输入光场掰。 ，y ) 和衍射的点扩展 f z yf ， e 扭挖6 v 。，e x p 噼l 专e ) 2 专( 三) 2l 哪纰l ( 了) 2 + ( 子) 2 忍( x ，y ) 。f 一瓦靠万蕊 埘1 + ( i ) 2 + ( 。 【l 十( _ ) 2 + ( j ) 2 】 磊瓴力2 面唧 z ，选择点扩 展函数抽样法。 ( 5 ) 利用快速傅里叶变换算法计算衍射输出光场。 ( a )( b ) 图3 4 基于自适应抽样算法的数字全息再现实例。其中 ( a ) 为数字全息图，( b ) 为数字全息再现像。 我们在m a t l a b 环境下通过m a t l a b 编程证实了上述自适应抽样算法的实用 性。作为应用实例，我们利用该算法设计了可以实现全空间扫描的数字全息再现 程序。图3 4 给出了基于该程序的数字全息再现实例。图3 4 ( a ) 为用像素大小 出家瞬楚大学硬士学整论文 为6 微米的c m o s 面阵得到的离轴数字全息图。图3 4 ( b ) 则为在物距未知的 情况下通过全空闻扫描褥到的数字全息再现像。将该方法与自动聚焦算法f 3 5 3 _ 6 l 相结合，可以迸步实现数字全患图的全秘动聚焦成像。 3 。5 周期性物体的衔射弦l b q t 效应的计算机模拟 巍塌单色平面波垂直照明一含具有周期性透过率函数的图片时，发现在该透 明片后的某些距离上融现该周期酌数的像。这种不用透镜就可以对周期物体成像 的现象称为黝b o t 效应或称自成像，是一种衍射现象，这个现象是t a l b o t 在1 8 3 6 年发现的，但或到近2 0 年才有人塑新仔细研究它，并在光学和电子驻徽镜等方 面褥到广泛应用。 有一个周期性酶物体，其复振幅透过攀戈 晶狞 瓤( ) 2 孥撵喇2 震两x 积为整数) ( 3 ，羔2 ) 式中d 受瘸期。 现讨论与耪平面楣踬为z 煞观察平面上豹光场分鑫，在观察面上褥到豹场分 布的频谱为 g ( 蛰= 瓯) 嚣( 当z 满足条件 剡有 y 玎 h 2 。鑫( 鼍一矛嗽) 唧l 纰回2 】( 娜) 2 积2 炉1 一 ( m 。o ，l ，2 ，3 ，)( 3 1 4 ) g 辫2 孥。瓣i ) 嘲) 对上式作傅量时逆交换得到蕊察平面上的场分布为 g ( ) ；鼠) 哪油 其强度分布与物体相同，即 多积。) 。 g ( x 。) 1 2 ： g 。( 2 山东师范大学硕士学位论文 2 d 2 于是在彳。i 一的整数倍距离上，可观察到物体的像，彳称为t a l b o t 距离。 下面用前面研究的抽样方法来模拟一个周期性物体的衍射光场。图3 5 ( a ) 所用周期性物体的照片。具体的参数设置分别为：入射光为波长等于o 6 3 2 8 姗 的垂直平面波，抽样点数m = n = 1 0 2 4 ，抽样间隔6x = 6y = 1 8 u m ，周期d 为 3 2 0 u m 。在该模拟参数条件下，特征距离z c 约为5 2 4n 1 i n ，t a l b o t 距离辱约为 3 2 3 5 4 m m 。 ( a ) 周期性物体 ( b ) 矸- 3 2 3 5 4 m m( c ) 彳= 6 4 7 2 8 m m 图3 5 周期性物体及其它在不同t a l b o t 距离处的自成像 图3 5 ( b ) 、( c ) 分别给出了图3 5 ( a ) 在萨3 2 3 5 4 n 1 i n ，z = 6 4 7 2 8 m m 处的 自成像。在图3 5 ( b ) 、( c ) 的计算机模拟过程中，根据3 4 节论述的自适应综 合抽样算法原理，( b ) 、( c ) 采用了不同的抽样算法：( b ) 图的z _ 3 2 3 5 4 衄，小 于特征距离z c ，采用传递函数抽样法；( c ) 图的两4 7 2 8 姗，大于特征距离z c ， 采用点扩展函数抽样法。由此，也验证了自适应综合抽样算法的实用性。 玉东努范失学硬士学短论文 4 2 拟进一步开展的工作 通过以上的研究，我们取得了许多比较有意义的成果，在此研究工作的基础 上，我稍还可以进行以下工律： 1 利用上述三种抽样算法的适用范围存在的互补关系，我们可以以特征距离z c 为判据建立起了一个适用于任意衍射距离的自适应抽样算法。还可以将该方 法与自动聚焦算法相结合，研究一下如何实现数字全息图的全叁动聚焦成像。 2 在进行本文的研究工作时值比较了改变抽样算法对计算机运行时闻的影响。 我们还可以研究一下在改变抽样间隔和抽样点数时选择不同算法对衍射成像 图像的影响，可以帮助我们选择合适的抽样间隔。 山东师瓶大学硕士学位论文 参考文献 1 j o s e 砖并。g 。钿a n ，傅里时光学导论( 第三版) 羽北京，电子工业出舨社， 2 0 0 6 ：2 8 3 l 2 j 王兴权，光撵光谱仪原理及设计研究，长春理工大学硕士论文，2 0 衢 3 武德起，乔晓东，李锋，闰正等，用于薄膜外延生长的单晶基片l h e 叻研 究 羽，河北大学学报( 鲁然科学版) ，2 0 0 6 4 ，v o l 2 6 ( 4 ) ：3 7 3 3 7 6 4 杨桂娟，梅妍，白亚乡，全息术及其应用 j ，应用光学，2 0 0 6 ，v o l 2 7 ( 2 ) ：9 6 一1 0 0 5 陈岩松，二元衍射光学 j ，量予电子学，1 9 9 6 6 ，v o l l 3 ( 3 ) ：1 9 3 2 0 0 6 项国雄，计算机辅助教学原理与课件设计，成都，电子科技大学出版社，1 9 9 7 ： 3 0 一3 l 7 曲伟娟，基于姒t l a b 的光学试验仿真，髑北工业大学硕士论文，2 0 0 4 8 r a s a c k s ，m a h e n e s i a n ，s w h a n e y ，j b t r e n h o l m e ，t h ep r o p 9 2f o u r i e r b e a mf k o p a g a t i o nc o d e ，乙a w r e n c el 主v e r m o r en a t i o n a ll a b o r a t o r y ， l i v e r m o r e ，u c r l l r 1 0 5 8 2 l 一9 6 4 ，1 9 9 6 ：h t t p ：w w w u n l g o v n i f i c f i c f p u b s q r t 王y - r e p o r t s j u l s e p 9 6 s a e k s p d f 9 w w i l l i a m sj t r e n h o l m e ，c o r t h s h a n e y ，r s a c k s ，e t a l ，n i f d e s i g n o p t 主瓣i a z a t 量n ，王c fq u 8 r t e r l yr e p 。r t6 ( 4 ) ，l a w r e n c e 乙i v e r m o r en a t 主o n a 王 l a b o r a t o r y ，l i v e r m o r e ，c a ，u c r l l r 一1 0 5 8 2 1 9 6 4 ， 1 9 9 6 ： h t t p ：、j | r w w u n l g o v n i f 主e f 主e f p u b s q r t