（工程力学专业论文）一种采用最小二乘法离散的无网格分析方法.pdf

西安建筑科技大学硕士毕业论文 一种采用最d , - - 乘法离散的无网格分析方法 专业：工程力学 硕士生：谢雄洲 指导教师：钟光珞教授 摘要 无网格法是一种新的数值方法，它只需节点信息以及对内外边界条件的描述，而 网格则可以彻底或部分消除。本文应用移动最小二乘近似构造近似函数，对边值问 题的控制方程应用最小二乘法进行离散，彻底摆脱网格限制。本文对移动最小二乘 近似的基本原理进行了深入的研究，对移动最小二乘近似中权函数的选择及影响域 半径大小的确定等问题进行了研究和探讨。论文采用移动最小二乘近似构造了近似 函数，推导了形函数的各阶导数；利用最小二乘法对边值问题的控制方程进行离散， 推导了具体格式。将这种方法应用于求解弹性薄板的弯曲问题，本征边界条件采用 罚函数引入，用m a t l a b 语言编制了相应的计算机程序，对不同边界条件下的薄板 弯曲进行了数值分析，并与经典解答做了对比。数值结果表明，此法对低阶边值问 题的求解精度相当高，当涉及高阶问题时，权函数中的参数、影响半径的大小、罚 函数的取值对计算结果有非常大的影响，当取一定数值时，可以得到满意的结果。 关键词：移动最小二乘近似加权残值法弹性薄板弯曲问题 论文类型：工程应用 西安建筑科技大学硕七毕业论文 am e s h l e s sm e t h o db a s e do hw e i g h t e dl e a s ts q u a r e s p e c i a l t y ：e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s p o s t g r a d u t e ：x i ex i o n g z h o u l m m m o r ：p r o f z h o n go u a n g i u o a b s t r a c t m e s h l e s sm e t h o di san 删n u m e r i c a lm e t h o d t h em e t h o dr e q u i r e so n l yn o d e sa n da d e s c d p t i o no f 曲e x t e r n a la n di n t e r n a lb o u n d a r i e s , a n d1 1 0e l e m e n tc o n n e c t i v i t yi sn e e d e d t o t a l l yo rp a r t l y t h em a i ni d e ao ft h i sd i s s e r t a t i o ni s ，b a s e do nm o v i n gl e a s ts q u a r e m e t h a d , t h eg o v e r n i n ge q u a d o no fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd i f f u s e db yl e a s ts q u a r e m e t h o d ，n om e s h i sn e e d e dt o t a l l y i nt h i sp a p e r ，f i r s t l y ，f o u n d a m e n t a it h e o r i e so fm o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o di s s t u d i e dt h o r o u g h l y , d e t a i l e dr e s e a r c hi sc o n d u c t e do i ls o m ek e yp r o b l e m s , s u c ha st h e s e l e c t i o no f w e i g h tf u n c t i o n , t h es e l e c t i o no f i n f l u e n c er a d i u so f n o d e sa n dt h ei m p o s i t i o n o fe s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n , e t c , t h es h a p ef u n c t i o ni sc o n s t r u c t e db ym o v i n gl e a s t s q u a r em e t h o d ；s e c o n d l y ，t h eb a s i cf o r m u l a t i o no f t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sa p p l i e d t h i sm e t h o di sc o n d u c t e d , i nw h i c ht h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa r ei m p o s e db yt h e p e n a l t ym e t h o d w ea p p l yi tt os o l v et h ep o s s i o ne q u a t i o n sa n d t h eb e n d i n gp r o b l e mo f t h i n # a m si nd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s ；t h i r d l y ，i nc o i i 咖s tt ot h ec l a s s i c 他s l l l t s , t h e n u m e r i c a lr e s u l t so ft h el o w - o r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si sv e r ya c c u r a t e , w h e nt h e p a r a m e t e r so fw e i g h tf u n c t i o na n dt h e i n f l u e n c er a d i u sg e tp r o p e rv a l u e ，t h e n u m e r i c a lr e s u l t so f t h eh i g h - o r d e rp r o b l e m si ss a t i s f y i n g k e yw o r d s ：m e s h l e s sm e t h o dm o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d m e t h o do f w e i g h t e dr e s i d u a l st h eb e n d i n gp r o b l e mo f t h i np l a t e t h e s i sg y p s ：e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n iiilif 声明 r9 7 囊6 7 3 本人郑重声明我所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别捅以标注和致谢的遮方外， 论文中不包含其 瞧人已经发表或撰写过的研究成果，也不奄含本人或其他 人在其它单位已申请学位或为其它用途使用过的成果。与我一同工作的闷 志对本研究所做的所有贡献均已在论文中作了骧确麴说明薨表示了致谢。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：泺稚叫日期：石。彳。占 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安建筑科技大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或都分内容，可以采用影印、缩印或者其它复制手段保存论文。 ( 保密的论文在论文解密后应遵守此飙定) 论文作者签名：衙簪沙j导师签名：钟赵怒 豳期：。枷 西安建筑科技大学硕士毕业论文 1 绪论 1 1 引言 众所周知，在近几十年中，随着计算机技术的发展，有限单元法已成为应用最 广泛的数值分析方法，也是一种被广为遵循的行业标准。 有限元法的基本原理是将整体结构离散成有限个小单元相互连接而成的集合 体，单元间只在有限数目的指定点处连接，这样，无限个自由度的连续体被理想化 为只有有限个自由度的单元集合体，问题得以简化适于数值求解。然后，对每个单 元根据分块近似的思想，选择一个简单函数来近似表示其位移分布规律，由变分原 理等建立单元节点力和位移间的关系。集合所有单元得到一组以节点位移为未知量 的代数方程组，应用适当的算法解此方程组，即得节点处所求未知量的近似值 有限元法在取的巨大成功的同时，因其固有网格的限制也有存在一些不足之处， 如单元网格划分工作量大；为得到光滑的梯度场需进行后处理；处理奇异问题精度 较底；在非连续介质领域应用困难等。 鉴于有限元的这些缺陷，近十多年，国内外许多学者都对无网格方法进行了大 量的理论研究和实践应用，无网格方法是基于移动最小二乘方法的一种新的数值方 法，它是基于点的近似，可以彻底或部分的摆脱网格的限制，不需要网格的初始划 分和重构。在其出现的短短十余年中，得到了日益众多的关注，取得了很大的发展， 无网格方法已成为计算力学领域的一个研究热点。 1 2 无网格法的简介 1 2 1 无网格法 对于无网格法的研究可以追溯到2 0 世纪7 0 年代对非规则网格有限差分法的研 究，由于当时有限单元法的巨大成功，这类方法未受到重视，到1 9 9 2 年，n a y r o l e s 等人将移动最小二乘近似引入g a l e r k i n 法中，提出了漫射元法( d e m ) ，b e l y t s e h k o 等对d e m 进行了改进，在计算形函数导数时保留了被n a y r o l e s 忽略的所有项，并 利用拉格朗日乘子引入本征边界条件，提出了无网格g a l e r k i n 法( t h ee l e m e n t f r e e g a l e r k i nm e t h o d ，e f g ) ，掀起了无网格法的研究热潮。用移动最小二乘近似可以较容 易地构造具有c 。连续性的函数，因此k r y s l 等人将e f g 用于板壳分析；l i u 等将 e f g 和边界元法相耦合，用于固体的应力分析；b e l y t s e h k o 和h e g e n 等将e f g 方 西安建筑科技大学硕士毕业论文 法和有限元方法耦合以发挥各自优势；国内方面，周维垣等首先对e f g 进行了详 细的介绍，并用于拱坝开裂分析中；张伟星等将e f g 法应用于地基板的应力分析 中；庞作会等也对e f g 法进行了介绍，并将其应用于边坡开挖问题中。研究表明， e f g 法精度和收敛速度都高于有限单元法，而且没有体积锁死现象，但e f g 法计 算量大，并且需要借助背景网格进行数值积分。0 | i i a t e 等利用移动最4 , - 乘法构造 近似函数，并采用配点格式进行离散，提出了有限点法( t h ef i n i t ep o 硫m e t h o d ，f p m ) ， 该方法不需要背景网格，效率高，但精度有时无法保证，主要用于流体动力学领域， 宋康祖等将其应用于弹塑性分析中。l i u 等根据函数积分变换的思想，基于g a l e r k i n 提出了重构核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i c a lm e t h o d ，砌 m ) ，并结合小波的概 念，构造了多尺度重构核质点法( m u l t is c a l er e p r o d u c i n gk e r n e lp a r t i e a lm e t h o d , m v , g v m ) d u a r t e 和o d e n 等利用移动最小二乘法建立单位分解( p a r t i t i o no fu n i t y ) 函数，由此构造权函数和试函数，再通过g a l e r k i n 法建立离散格式，提出了h p 云 团法，并对这种方法进行了严格的数学论证，m e n d o n e e a 等将该方法用于求解铁摩 辛柯梁问题，g a r e i a 等将其用于求解厚板的弯曲问题。b a b u s k a 和m e l e n k 等将单位 分解法与有限单元法想结合，提出了单位分解有限元( p a r t i t i o no f u n i t yf i n i t ee l e m e n t m e t h o c t y o v e m ) 和广义有限单元法( g e n e r a l i z e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，g f e m ) ，该方法 在标准有限元空间中加入一系列能够反映待求边值问题特性的函数，并将这些特殊 函数与单位分解函数相乘后和原有的有限元函数一起构成了新的增广协调有限元 空间。a t l u r i 等提出了局部边界积分方程法( 1 0 c a lb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o nm e t h o d ， l b i e ) 和无网格局部( p e t r o v - g a l e r k i n ) 法( m l p g ) ，这两种方法都是用移动最小二乘法 建立场函数的近似，用局部p e 仃o v - g a l e r k i n 法建立无网格格式，积分时不需要背景 网格。径向基函数具有形式简单，各向同性等优点，数学界对其进行了大量的研究， 成功的应用于多变量插值中，k a n s a 将径向基函数引入配点法中，用以求解双曲， 椭圆和抛物型问题，w e n d l a n d 将径向基函数引入g a l e r k i n 法中，建立了相应的无网 格格式，c o l e m a n 用径向基函数求解椭圆型边值问题，吴宗敏等和f r a n k e 等证明了 用径向基函数进行离散数据插值和求解偏微分方程的收敛性，并给出了误差估计。 基于g a l e r k i n 法的无网格法精度高，但它需要进行数值积分，不但计算量大， 而且要引入背景网格，基于配点法的无网格法计算效率高，但其精度低，稳定性差， 张雄等基于最小二乘法提出最小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法，很好 的解决了这一问题，然而由最小二乘变分原理得到的欧拉方程不再是原问题的微分 方程，而是其高阶导数，因此采用该类方法时若边界条件处理不当则可能会得到虚 假的结果，潘小飞等将g a l e r k i n 法和最小二乘法有机结合，建立了g a l e r k i n 最d x - 乘无网格法，完全消除了最小二乘无网格法产生的虚假解的可能性，该类方法的计 算精度远高于配点法，丽计算量远小于g a l e r k i n 法，兼有g a l e r k i n 法和配点法的优 点。刘桂荣等人建立点插值法，其近似函数具有插值特性，施加本质边界条件的方 2 西安建筑科技大学硕七毕业论文 法与有限元类似。 1 2 2 无网格法的优点 近几十年来，随着计算机技术的发展，无网格法计算成为国外兴起的一种新的 数值计算方法，无网格方法采用基于点的近似，可以彻底或部分地消除网格的束缚， 不需要网格的初始划分和重构，不仅可以保证计算的精度，而且可以减小计算的难 度，相比与传统的有限单元法，无网格法具有许多显著的优点； 1 前处理简单，使用无网格法进行数值分析，只需要提供离散节点信息，材 料参数以及计算边界信息等，完全不需要事先划分网格，以及大量节点参数的输入， 可以很容易地自动生成数据，极大的简化了前处理工作。 2 计算精度高，无网格法的解答自然地具有高次连续性，无须进行应力修匀 等后处理，其基函数可以包含能够反映待求问题特性的函数系列，适用于分析各类 高梯度，奇异性等特殊性质的应用问题，特别是在材料泊松比接近o 5 ，近于体积 不可压缩状态时，有限单元法分析常出现网格锁死和体积锁死现象，数值结果误差 很大，而使用无网格法仍能得到令人满意的计算结果，在板壳结构分析中，其应变 分布具有c 1 阶次的连续性，而无网格法本身所具有的能自然求得高阶连续解答的 优良性能，使得它很适合用与板壳结构的分析。 3 在理论和应用的个环节上均具有较高的开放性便于对其进行扩展，主要表 现在无网格法的基函数，权函数，影响半径等的选择具有较大的随意性，边界条件 的处理也非常灵活。 正是由于具有这些显著的优点，在近十余年。国内外学者对其进行了广泛深入的研究并应 用到许多领域，取得了非常好的效果，例如在高速碰撞，裂纹动态扩展，流固耦合，板壳分析， 特大变形的问题及复杂三维结构分析中。 1 2 3 小结 现有的无网格法之间的区别主要在于所使用的试探函数和微分方程的等效形 式，例如，e f g 法和加权最小二乘无网格法都是利用移动最小= 乘法建立试探函数， 但e f g 法是用g a l e r k i n 法来建立微分方程的等效形式，而加权最d - 乘无网格法 是利用最小二乘原理对微分方程进行离散。 建立近似函数时不借助网格，基于函数逼近近似而非插值是无网格法与有限单 元法的主要区别；采用定义在离散节点上具有紧支特性的函数来构造近似函数，而 不用定义在全域上的级数展开形式是无网格法与经典加权残值法的主要区别。 1 3 本文的主要工作 鉴于目前的大多数无网格法都是建立在6 a l e r k i n 变分原理上的，需要高阶高斯 西安建筑科技大学硕士毕业论文 积分，计算效率低下，纯粹的配点方法计算效率虽高，但结果不稳定且精度较低， 故本文的主要思路是应用移动最小二乘近似构造近似函数，对边值问题的控制方程 应用最小二乘法进行离散，采用配点格式，彻底摆脱网格限制，使控制方程的残差 在最小二乘意义下取最小值甚至为零。将其应用到弹性薄板的弯曲问题的分析中， 编制了相应的程序，结合算例，将数值结果与经典解答做了对比。本文的主要工作 为： 1 着重对移动最小二乘近似及加权残值法的基本原理做了细致的研究，对其 中的一些关键问题进行了探讨，如权函数的选取，影响半径的确定等问题。推导了 形函数的各阶导数，并对移动最b - 乘近似与有限元的区别进行了研究和探讨。 2 用最小二乘法离散边值问题的控制方程，推导了具体的格式，编制了相应 的计算机程序，计算了二维p o s s i o n 方程和l a p l a c e 方程，与解析结果进行了对比， 在采用移动最小二乘近似构造近似函数时，采用完全二次式，共6 项，权函数取四 次样条函数，求解域采用6 x 6 节点布置，影响半径取为2 5 ，数值结果表明计算精 度非常高。 3 将最小二乘无网格法应用到弹性薄板弯曲问题的分析中，采用罚函数法引 入本征边界条件，推导了基本方程，编制了相应的计算程序，对不同边界条件下的 薄板及w i n l d e r 地基上的弹性薄板进行了分析计算，共算了五个不同算例，并与级 数结果进行了对比。由于薄板的控制微分方程是四阶的偏微分方程，故对于此类问 题，本文采用移动最小二乘近似构造近似函数时，基函数取完全五次式，共2 1 项， 权函数取高斯型权函数以保证其各阶导数连续，针对每个例题对其中参数取不同 值时的结果进行了分析比较，得出了一些结论，对板的求解域采用l l x l l 节点布置， 经过实际计算分析给出了合适的影响域半径的取值。数值结果表明，权函数的参数 卢、影响半径、罚函数的取值对计算结果的影响非常大，当取一定的数值时，结果 是令人满意的。 4 i ll l i-， 西安建筑科技大学硕七毕业论文 2 移动最小二乘近似 2 1 基本原理 移动最t j 、_ - 乘近似( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ) 作为无网格法的数学基础， 很早就有人提出了。m c l a i n 于1 9 7 1 年提出根据曲面上有限点的已知高度，通过移动 最小二乘法来模拟整个曲面。1 9 8 1 年l a n c a s t e r 也利用移动最小二乘法来获得连续 光滑的近似曲面。因此，在无网格法出现以前，移动最小二乘法主要用于曲面拟合 领域。移动最小二乘法是用加权最小二乘法来近似场函数的一种方法。 设场函数为u ( x ) ，其中妒( 墨y y 为场点，给定甜( x ) 在斤个节点的值 “) = ，i = 1 ，2 n ( 2 一1 ) 我们想在域q 内构造待求函数“( x ) 的全局近似函数矿( 工) ，移动最小二乘近似 采用如下方式构造近似函数： 矿( x ) = a ( x ) q o ) = p ( 力7 q ( ； ( 2 2 ) l - i 其中只o ) 为m 维基向量，a s ( x ) 是相应的系数。与传统的最小二乘近似不同，( 2 2 ) 式中的系数口f ( x ) 不是常数，而是空间坐标的函数，因此被称为移动最小二乘近似。 为了保证收敛性，p f ( x ) 应取自完全多项式，且应满足条件： a 厶) = 1 只( x ) c k ( q ) ，扣l ，2 m 其中t 为n ( x ) 中最高阶连续阶次；基函数通常选用单项式，当然也可以选用其他 的任何函数，只要所有基函数之间满足线形无关条件即可。例如单项式基函数： 一维情况下：p r ( x ) = 1 ，工，矿， 二维空间中：线形基：p r ( x ) = 【1 ，x ，y 】，m - - 3 二次基：，( 工) = 1 ，x , y ，x 2 , x y ，y 2 ，m = 6 三维空间中：线形基：p r ( x ) = 【1 ，x ，y ，z 】，m = 4 ，ll-， 西安建筑科技大学硕十毕业论文 二次基：p t ( x ) = 1 ，茸，y 忍矿，x y ，y 2 弘，：2 ，澎 ，m = l o 其中基函数的个数坍和基函数所包含的最高阶完备多项式的阶数七以及待求问题 的维数嘞之间的关系为： 肌：坠! 巡坐：! ! 型( 2 3 ) 嘞 将求解区域。用胆个节点进行离散，在每个节点葛处定义一个权函数 w ，o ) = w ( x - x 1 ) ，其只在节点而周围的一个有限区域q ，中大于零，而在域外为 零，即该函数是紧支的，q ，称为w ，( x ) 的支撑域，或节点而的支撑域或影响域。 近似式( 2 2 ) 中的系数q ( x ) 根据加权最d x - 乘法来确定，即要求对场函数的 近似在个节点处的误差的加权平方和为最小： 令，取最小值，即： ，= w a x ) u 6 ( _ ) 一“( 而) 】2 。1 = 1 ( 2 4 ) _ = o ) 匹p , ( x a a ，( x ) - u a 2 1 ；ll = l j 最i = 2 粪w ，( 纠喜岛“) q ( x ) 一蜥协“) = o ，_ ，= l ，2 “脚 匹m ( 砷n ( 而) 马( _ ) 】q ( x ) = 【w a x ) p j ( x d u , 即： 4 ( x ) 口( x ) = 口( x ) 球 彳( 功= ( x 捆( 而) p 7 ( 而) 召( 力= 【( x ) p ( 五) w a x ) p ( x , ) i ( 功p ( ) 啊) 】 若使用矩阵形式表示有： 矿( x ) = ，( ，) 口( x ) p r ( x ) = 胁( 工) ，段( 工) ，( 瑚 口( x ) = n ( 工) ，a 2 ( z ) ，( x ) 7 6 ( 2 - 5 ) ( 2 - 6 ) ( 2 6 a b ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) ( 2 - 9 ) 、lll，j # j 西安建筑科技大学硕士毕业论文 f f i ( p a 一“厂( x ) ( 瑚一“) 其中；材= h 如r 进行求导计算得： p = a ( 五) 见( 五) p 胛( 而) a ( 恐) 岛( 恐) ( 而) i ； a ( h ) 岛( h ) 办( h ) w ( x ) = m ( x ) 0 0 0 ( 工) 0 00 w n ( 工) 鼍= 4 ( x ) 口( x ) 一占( 工) = o 其中： 彳( x ) = ，w ( x ) p ( 2 - 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 - 1 2 ) ( 加1 3 ) ( 2 - 1 4 ) s c x ) = p 7 矿( x ) ( 2 1 5 ) 口( 功= a - ( x ) 曰( 工) 矿o ) = p 7 ( x ) 爿。( x ) b ( x ) u = n ( x ) u ( 2 1 6 ) ( x ) = p 7 ( x ) 4 - 1 ( x ) b ( x ) 式( 2 - 1 6 ) 即为移动最小二乘近似式和节点形函数的计算式。 近似函数“6 ( 是待求函数( x ) 在点x 的邻域q i 内的加权最小二乘意义下的局部 最佳近似，求解域q 中的所有点x 都可以在其邻域q 。内建立待求函数“( 工) 的局部 最佳近似。由于权函数具有紧支性，因此对于任一点x ，以上各式中所涉及到的求 和只需要在x 邻域内的节点中进行，即权函数在工处不为零的那些节点而。 由形函数的表达式可以看出关于矿x 1 的连续性： 只( x ) ，i = l ，2 m ， 设：w a x ) c ，i 1 , 2 玎，( 2 - 1 7 ) “6 ( x ) c “( + ) 例如，对于线形基，基函数p i ( x ) 是c - ( q ) 连续函数( 其各阶导数在求解区域q 内 都是连续的) ，此时形函数n ( x ) 和近似函数矿( x ) 的连续性阶次仅取决于权函数 7 西安建筑科技大学硕士毕业论文 嘶( x ) 的连续性阶次。因此只要增加权函数的连续性阶次，就可很容易构造出具有 高阶连续性的 i l s 近似函数。在有限元法中，构造具有高于c o ( q ) 连续性的近似 函数比较困难的，因此用有限元法得到的应力场在单元间一般是不连续的，在后处 理是需要进行光顺处理。而在m l s 近似中，很容易构造出具有高阶连续性的近似函 数，因此基于 i l s 近似的无网格法可得到在全求解域内连续的应力场，不需要进行 光顺的后处理。 2 2 形函数的各阶导数 由于在后面的算例计算中，涉及形函数的导数，故在此依次求出： 令r = a p ，则n = r 7 b n ，严r ，：b + r lb ，i n j - 7 0b + r tb ，l n ，d = r ，i j 7 b + 2 r 7 b ，j + ，b ， n ，= ，功7 b + 2 r , f b ，+ ，b ， n ，4 = r 9 j b + r ，；b , j + r ? b ，l + ，b ， n ，日= r ，t t b + r ，? b , j 论毒b ，| + 2 r ，? b ，i + r 0b l i + ，b ，日 n ， f f = ，曲7 b + r ，口鼠j + 2 r ，7 b ，l + 2 r ，j 7 b ，g + r 1 7 b ，彬 n ，w = r ，7 b + 3 r 7 b ”+ 3 r ，j 7 b ，“+ ，7 b q h n ，曲= ，7b + 3 r , rb ，+ 3 r , f b 加+ ，7 b ，彬 n ，蛳= r ，曲：b + 4 r ，0b i - 妇，：b 嘶“r ，? b ，m + ，b ，蛳 n ，m = r ，0b + 4 r , m r b ，i + 6 r ，；b ，q + 4 r ，；b ，+ ，b ，i j l f n ，衄= ，螂rb + 2 r , 哪re j + ，“rb , a t + 2 r ，蚵rb ，+ 4 r ，g rb ，口+ 2 r ，l rb ，鲋+ ，, j i rb ，“+ 2 r ，rb ，埘+ r ，e 咄 式中下标以二维为例，“，f ”表示对空间坐标x 的导数，“，_ ，”表示对空间坐标y 的 导数，其中： 8 西安建筑科技大学硕士毕业论文 = a 。( p 。- a ，r ) ，j = 彳p , j - a ，j ，) r ，2 一。( p ，f - a ，, j - a ，r , t - - 4 ，) r ，“= 么。( b - 2 a ，f 卅，“，) ，直= a - 1 ( p ，身2 爿，j r ，j 一彳，型，) ，w = a - 1 ( p ，州- 3 a ，r ，3 爿，一爿，埘，) ，埘= 爿- 1 ( p ，彬3 爿v ， ，一3 a , jr , j - a ，崩，) ，御= 4 4 ( p ，掣一4 ，“，吖2 _ ，f ，”2 _ ，j ，f 一4 ，j ，钮一一，咿，) r ，彬= 彳一( p ，哲一4 厂，2 彳，吖- 2 a , r , 鲈- a ，lr ，量- a ，彰，) r ，j i l l = a - 1 ( p ，删- 4 a ，埘，f 6 彳，“r ，“4 4 ，- ，w a ，删r ) r , j l l j = a _ i p ，地4 a ，研r ，j 一6 a ，口r ，# 4 a ，jr ， i f a ，i 蘸 r 1 ，咄= 4 - l ( p ，彬- 2 a , l or , j - 4 f fr ，- 2 a , wr , i - - 4 a , i jr , f - 2 a , tr , w - a ，州- 2 a , jr , t 玎- a ，删，) 2 3 插值型移动最小二乘近似 近似函数矿( 曲是通过使近似函数在各节点处的误差平方和最小而得到，它并 不能保证通过每个节点，即并不一定满足插值条件矿“) = ”( 而) ，因此移动最小二 乘近似的形函数j ( 而) 矗，这样一来在实际问题中施加本质边界条件较为困难， 不能象有限元那样进行直接处理。它在本质上是一种拟合的近似函数。要使近似函 数6 ( x ) 满足插值条件，权函数须取一种特殊的形式： 啡) _ 篡i 而 ( 2 - 1 8 ) 其中c 为一个非负有限值。 则矿( x 1 满足插值条件，这就是插值型的移动最小二乘近似。 l a n c a s t e r 等人用普通的权函数来构造插值型权函数，例如； 引加茜 q - 1 9 ) 其中占为一很小量，例如取占= 1 0 。，这样处理之后，使计算移动最小二乘近似形函 数及其各阶导数的表达式中的奇异性得到消除，这样一来可以很容易施加本征边界 条件。 9 西安建筑科技大学硕士毕业论文 2 4 最小二乘近似 如果在移动最小二乘近似中将权函数嵋( x ) 取为 则移动最小二乘近似退化为标准的最小二乘近似，此时， ， o ( x ) = p ( 而) ，( 而) = l b ( x ) = p ( 五) ，p ( 恐) ，p ( x n ) 相应的可以求出形函数。 2 5 权函数的选择 ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) 权函数是移动最小二乘近似中具有重要作用的内容，从函数逼近论的角度，使 用权函数的目的可以使近似解与精确解在某一划定区间上拟和的更好，或者说，着 重强调了二者在分区域中的拟和关系。它在节点暑处的值最大，且具有紧支性，即 当，= 肛一而0 如 1 时w ( r ) = o 。其中如为支撑域半径，具体可取一常数。 ( 1 ) 选取原则 在整个求解域内非负； 具有紧支性，紧支函数是定义在局部区域中的函数，它只在支撑域中有定 义，而在域外为零 单调性，即在节点支撑域内向影响域中心靠近，函数值是单调增加的，在 节点自身处，权函数值达到最大。 权函数应连续可导，以保证近似函数的光滑性。 ( 2 ) 常用权函数 若将r 定义为，= 峙一而i = o 一而) 2 + 一乃) 2 d m i ，则节点而的支撑域为圆 形，也可定义为矩形形式，其权函数为： 吣) 川【寻j w 【学j q 啦， 其中如，“为矩形域在工方向和y 方向上的边长。矩形支撑域对于节点规则分布的 情况具有优势。本文全部使用圆形支撑域。文献中给出了几种常用的权函数： 高斯型权函数 1 0 西姊 m 啪 = o ￥ ， 西安建筑科技大学硕士毕业论文 w ( r ) - 年笋邝t ( 2 - 2 3 )w ( r ) = 1 丁，“ 【0 , r 1 样条函数 四次样条w ( ，) = i 。l - 。，r + l 8 ，3 3 ， ，1 ( 2 2 4 ) 五次样条w ( 小艘， 6 一“1 ( 2 _ 2 5 ) 高次样条w ( ，) ： ( 1 一，2 厂，l ，厅2 ( 2 2 6 ) 【0 , r 1 径向紧支函数等 影响域大小的确定： ( 1 ) 应保证所有节点的影响域能够覆盖整个求解区域； ( 2 ) 必须保证求解时a 矩阵可逆，其必要条件是影响每个计算点的节点数不 小于h i ，即必须保证每个计算点的邻域内有足够多的节点以使a 可逆； ( 3 ) 为保持局部近似的特点，节点的影响域避免过大，即要求每个计算点的 影响域中所包含的节点数尽量少，以减少计算工作量； ( 4 ) 为了提高近似解的精度，防止计算过程中矩阵出现病态，应保证每个计 算点周围的四个象限中都包含对该计算点有影响的节点，即节点疏密变化梯度不 大，但对于有应力集中的情况，在应力集中区域必须加密节点以提高精度。 2 6 移动最, j 、- - 乘近似和有限元近似的区别 在有限元法中，求解域q 被离散成有限个相互连接的有限单元，有限元近似函 数在区域中点x 处的定义域为该点所在的有限单元，有限元近似函数是建立在各单 元上的局部近似函数，其待定系数q ( x ) 的个数m 等于点x 的定义域所包含的节点 数胛，因此可以直接令局部近似函数矿( x ) 和待求函数z ，o ) 在该单元中各节点而处 的值相等， 只( 而) q ( x ) = 蜥l = l ，2 ，m ( 2 2 7 ) t - ! 即 “6 ( 工) = p 7 ( x ) a ( x ) ( 2 2 8 ) 西安建筑科技大学硕十毕业论文 三角形单元的基函数为p r ( x ) = 【l ，x ，j ，】，矩形单元的基函数为p r ( x ) = 【l ，x , y ，x y 】。 将上式写成矩阵形式为 ca=(2-29) 其中 c = a “) p 2 ( x ，) 办“ a ( 毛) 见( 而) 磊( 而 jii p l ( ) 仍( 靠) ( k 由此可解得待定系数向量d ： 4 = c 一1 “ 可得； ( x ) = p r ( x ) c 。1 ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 3 2 ) 在有限元法中，待求函数甜( x ) 的局部近似函数( 力在个单元中是独立定义的，这 些局部近似函数的集合就构成了全局近似函数矿( x ) ，即 其中形函数( x ) 为 甜( x ) “矿( x ) fn ( x ) u ( 2 3 3 ) j v ( 工) - - p 7 ( j ) c 。1 ( 2 3 4 ) 由上式与移动最小二乘近似形函数比较可见，在有限元近似中待定系数向量口( 石) 在 各单元内是常量，因此在每个单元中只需计算一次常矩阵c 的逆矩阵。而在移动最 小二乘近似中，待定系数向量口( x ) 是空间坐标x 的函数，在每个点石处都需要计算 矩阵a ( x 1 的逆矩阵。在有限元近似中，一般可得到矩阵c 1 的解析表达式，而在移 动最小二乘近似中则很难给出矩阵a 1b ) 的解析表达式。因此移动最小二乘近似的 计算量大于有限元近似的计算量。 移动最小二乘近似的形式虽类似于有限元中的近似，但二者是不同的。主要区 别有三个，其一：有限元中近似函数定义于单个网格内插值近似，而移动最小二乘 近似中的近似函数定义于全域中的基于函数逼近的非插值近似，并且仅取决于结点 空间的分布和所选取的权函数；其二：由于有限元中近似函数定义于各个网格内， 因此近似的连续性、光滑性在网格的分界处必然受到限制，计算后还需要进一步的 西安建筑科技大学硕士毕业论文 后处理，而使用移动最小二乘近似，近似函数定义于全域，具有较好的连续性、光 滑性，不需要后处理过程；其三：有限元近似中，结点未知量通常就是场函数的结 点值，即为插值近似。而在移动最小二乘近似中，结点未知量一般不是场函数的结 点值，即：u 6 ( 而) “，这一点为位移边界条件的处理带来了困难。 西安建筑科技大学硕七毕蛆论文 3 加权残值法 3 1 基本概念 大量的应用科学和工程学问题往往可以归结为根据一定的边界条件和初始条 件等，来求解问题的控制微分方程式或微分方程组。微分方程式( 组) 可以是常微 分方程，偏微分方程，可以是线形的或非线形的。加权残值法( w e i g h t e dr e s i d u a l m e t h o d s ) 是一种数值方法，可以直接从微分方程中得出近似解。 加权残值法求解微分方程，首先需要假设一个试函数作为该控制微分方程的近 似解，这个试函数可以事先满足微分方程式或边界条件，也可以都不满足，这个近 似解中有己确定的试函数，也有待定的系数或待定的函数，然后将试函数代入控制 微分方程式，一般是不能满足的，便出现了残值，于是组成消除残值的方程组，在 定的域内按某种平均意义将残值加以消除，一般通过引入一个权函数去乘残值， 以体现按某种平均意义消除残值的意思。消除残值方程组是一系列线形的或非线形 的代数方程组，联立求解这些代数方程组，便得到了待求的系数，于是，试函数中 的待求系数也就确定了，试函数成为满足控制微分方程式和边界条件的近似解，将 这个近似解代入求解的微分方程和边界条件中，残值是最小的或甚至为零。 如某一问题的控制微分方程和边界条件分别为： 凡一f20(3-1、 g “一g = 0 其中：第一式为域内控制微分方程；第二式为边界条件。 “一待求函数， f ，g 微分算子， f g 一不含的已知项。 首先假设一个试函数为： 品：罗e m ( 3 2 ) 式中：e 一为待定系数； ，一为试函数项。 然后将( 2 ) 代入( 1 ) ，一般不会满足，分别出现了内部残值蜀及边界残值： 1 4 西安建筑科技大学硕士毕业论文 r l = f u f 0 ( 3 3 ) 岛= g u g 0 为了消除残值，我们选择内部权函数彤及边界权函数分别与墨及相乘， 得到： 工弓形= o ( 3 - 4 ) r b w b d s = 0 据此，便得到了关于c j 的代数方程组，解出c l 代入试函数式，则近似解的形式 被确定，将这个近似解代入( 1 ) 式中，残值就是最小的或甚至为零 3 2 基本方法 加权残值法按权函数的形式不同，共有五种基本方法： ( 1 ) 最小二乘法( 1 e a s ts q u a r e sm e t h o d s ) 在域内残值r 的平方积分式为： ，( c i ) = 工r 2 d v 为使，( c ) 为最小，应用求函数极值的条件 旦：0 粥 可得消除残值的方程式： 【r 孓矿：0 其d p ( i ：1 2 ，功 p 配 由此可以看出最小二乘法中的权函数为罢 ( 2 ) 配点法( c o l l o c a t i o nm e t h o d ) 在域内和边界上的残值r 表示为： j = 工肼：d 矿 ( 3 - 5 ) ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 8 ) 西安建筑科技大学硕十毕业论文 将权函数取为万函数( d i r a cd e l t af u n c t i o n ) ，即： 彤= 8 ( x - x ，) 就得到了配点法，将权函数代入残值方程式中有：以一维为例 f r 形d 矿= f r ( z ) 占( x 一) 出 由于艿函数有如下的性质： r 厂( x p ( x 一，矗c ； 嬖茬口，6 则有： i k w , e v = i r ( x ) 占( x 一薯) 凼= 胄( ) 其r b i = l ，2 ，厅 即残值应在i i 配点处为零。 ( 3 ) 子域法( s u b d o m a i nm e t h o d ) 将域矿分为疗个子域k ( i = 1 ，2 ，玎) ，取如下权函数： 彤= 骺 即在域内取1 ，在域外取0 。 则得到消除残值的方程式为： 工叫= o i = 1 ，2 甩 由此可得到n 个代数方程组，求出g 。 ( 4 ) 伽辽金法 以薄板弯曲问题为例，伽辽金方程是： ( d v 4 w 目e ( 工，y ) d x d y = 0 i = i ，2 ，万 此时所用的挠度试函数为： h 谛= c 。f a x , y ) ，t l 其中，( x ，y ) 必须满足所有的边界条件。 将挠度试函数代入伽辽金方程得： 1 6 ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) ( 3 - 1 1 ) ( 3 - 1 2 ) ( 3 - 1 3 ) ( 3 - 1 4 ) ( 3 - 1 5 ) 西安建筑科技大学硕士毕业论文 j 且d v 4 帚一g ) z ( x ，y ) = o p r i = ( d v 4 话一g ) ( 3 - 1 6 ) 式中局实际就是薄板的内部残值方程 式中z ( 薯y ) 实际是起了权函数的作用，即： 彤= ，：似y ) 即有： 蜀形d y = o 可以看出，在伽辽金法中，试函数项就是权函数。 ( 5 ) 矩量法( m e t h o do fm o m e n t ) 以一维为例，矩量法消除残值的方程式为： r x 。d v = o i = 1 ，2 ，疗( 3 一1 7 ) 据此式可以求得待定系数，进而得到近似函数。 以上几种基本的方法也可以结合使用。 3 3 收敛- 性问题 由于本文只涉及最小二乘法，故这里只对最d x - - 乘法的收敛性问题做简要的讨 论，m i k h l i n 提出的有关最小二乘法收敛性的定理为：如有一线形微分方程