（基础数学专业论文）与zi方程相关的孤子方程的达布变换和精确解.pdf

摘要 达布变换在孤立子理论中具有非常重要的意义+ 它通过寻找一种保持相应的l 躲对 不变的规范变换，最终简明而巧妙地找到非线性孤子方程解之间的变换，并可通过反复的 应用找到孤子方程一系列的解如今，达布变换已经发展了很多技巧，并应用于大量孤子 方程的求解本文研究了一个( 2 + 1 ) 维孤子方程 t k = l 札1 ，g 十u 2 2 ，g 的达布变换此方程作一个简单的变换后就成为著名的z i 方程 首先利用李代数同构的方法，将此方程3x3 矩阵表示的l 舣对 o 乱l让2 一u 1 o a 一“2 a 0 驴，d 驴 妒。= ；( 一a ：。i 一：- 2 i ) 妒，。妒= ；( u 二：，iu 二了i ) 妒 a b s t r a c t d a r b o l l ) ( t r a n s f o r m a t i o np l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei ns 0 1 i t o n 蹦d a c c o r d i n gt ot h ed t t h e o r y it h et r a i l s f o r m a t i o nb e t w e e ns o l u t i o n so fn o n l i n e a rs o l i t o ne q u 8 t i o n sc a nb ee a 8 i l y o b t a i n e dt h r o u 曲丘n d i n gt h eg a u g et r a n s f o r m a t i o nw h j c hk e e p st h ec o r r e s p o n d i n gl 8 ) 【 p a l r su n c h a n g e d ，a n dt h ed tc a nb eu 8 e dr 印e a t l yt od b t a i nas e r i e s o fs 0 1 u t i o n so fa s o l i t o ne q u a t i o n n o w a d a y 8 ，m 舳y8 k i l l sh a v eb e e nd e v e l o p e di nd tt h e o r yt og e tt h e s o l u t i o n so fd i 饪e r e n t8 0 l i t o ne q u a t i o n s t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o no fa ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n 出s o l i t o ne q u a t i o n i so b t a i n e di nt h i sp a p e r t h i se q u a 七i o nc a nb ec b a 肛g e di n t ot h ef 啪o u 8z ie q u a t i o n t h r o u g has i m p l et r a 工1 8 f o r m a t i o n f i r 8 t ，t h ei s o n l o r p h i s mo fl i ea l g e b r a si su s e dt om a p t h el a xp a i rw h i c hi sp r e 8 e i l t e db y3 3m a t r i x f p z = i n t ot h eo n ew h i c hi sp r e s e n t e db y2 2m a 七r i x a + “2 il l 妒 咄j 、 。妒= ；i u 2 口u 一“1 ”2 l 妒 u + u 1 ， 一“2 ，” t h e nb yu s i n gt h es k i l l si nd tt h e o r y jt l eg a u g et r a n s f o r m a t i o no ft h e1 a t e rs p e c t r a lp r o b _ l e mi sc o n 8 t r u c t e dt og i v et h r e er e l a t i v ed a r b o u xt r a 工1 8 f o r m a t i o 工l so ft h es o l i t o ne q u a t i o n 虬 ” 0 o 川 。 一 刚 ，il_lfil_li、 = 妒 d 一仍 、 o o u 0 o 州 咄 蚋 u 虮 一 入 一 ，if_i_l、 02 an e we x p l i c i t8 0 l u t i o n t h i 8e q u a t i o ni so b t a i n e df r o mt h e8 e e ds o l u t i o no ft h ee q u a t i o n f i n a l l y t h o u 曲t h ec o r r 唧o n d i n gt r 8 n s f o r m a t i o n ，t h ee x p l i c i t8 0 1 u t i o no fz ie q u a t i o nc a n b eo b t a i n e da 土t h es a l et i m e k e yw o r d s ： z ie q u a t i o n ； i 8 0 m o r p h i s mo fl i ed g e b r a s ；d 村b o u xt r a n s f o m a t i o n ； e x p l i c i ts o l u t i o n i i 郑重声明 本人的学术论文是在导师的指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) t 鸯芳 2 0 0 6 年4 月2 日 1 引言 孤立子是非线性科学申的一个重大研究课题2 0 世纪6 0 年代以来，在流体物理、等 离子体、凝聚态物理、光学、生物神经传输以及其他科学研究领域中到处都可觅见它的身 影随着近代数学和物理学的发展，经数值分析和理论分析证明，一大批非线性发展方程 具有孤子解孤立波具有非常奇特的性质，它们在相互作用下仍保持稳定的波形 科学史上关于孤立波的探讨，公认始于1 8 3 4 年s c o t tr 1 l s s d 关于英国一条运河中水 面波的观察直到1 8 9 5 年，才由k o r t w e g 和d ev r i e 8 得到此现象的模型方程，此即为著 名的k d v 方程： 毗+ q 札u z + t 正# = 0 1 9 6 7 年，g a r d n e r ，g r e e n e ，k r u s l 【a i 和m i u r a f l 2 j 等人首次用反散射方法求出k d v 方程的 精确n 孤子解，并用数学解析的方式，令人信服地再现了实验中观察到的孤子的相互作 用从此在学术界掀起一个研究非线性发展方程的热潮 一般来说，非线性偏微分方程的求解难度很大，只有在一些特殊的情况下才可能求得 有显示表达式的准确解，然而令人惊异的是，对于孤立子方程来说，已经有很多求精确解 的方法除了反散射方法l 以外，还有非线性方法，6 ，7 、代数几何法m o 、双线性 方法m ，、齐次平衡法1 引、b i c k l u n d 变换法旧1 8 1 2 1 l 、d a r b o u x 变换法【8 ，1 2 1 5 ，1 7 3 0 4 等等其中的b i d d u n d 变换和d a r b o u x 变换在1 9 世纪研究s j n e - g o r d o n 方程与伪球面 的有关问题时就已经出现陋2 0 ，2 “，是相当有效而简明的方法 最原始的达布变换是1 8 8 2 年g d a r b o u x 【2 2 】在研究s c h r j d i n g e r 方程的谱问题时发现 的如今，达布变换在孤子理论中起着非常重要的作用 3 l ，而达布阵的出现在达布变换理 论的发展过程中占有举足轻重的地位，因为此方法具有很大的普适性，便于推广到其他大 量的非线性偏微分方程为了给达布阵方法一个简明的描述，我们先来介绍一下规范变 1 设给定两个线性问题： 咖。= = 4 ( 札，a ) 毋，a = ( “，a ) 毋 砂。= m ( ，a ) 妒，讥= a ，( ，a ) 砂 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中= ( 1 ，2 ，) 与妒= ( 母1 ，妒。，“) 是n 维特征向量函数，m ( u ， ) 与( t ，a ) 是依赖于向量位势“= ( 甜。，h 2 ) 与谱参数a 的n 阶矩阵，而m 7 ( u ，a ) 与7 ( u ，a ) 是 依赖于向量位势 = ( ，”。) 与同一谱参数a 的n 阶矩阵如果存在n 阶可逆矩阵 t ( u ，”，a ) ，使得特征向量函数的变换 妒= r ( 札， ，a ) t f ， 将线性问题( 1 ，1 ) 化为线性问题( 1 2 ) ，则称此变换为规范变换 而孤子方程通常存在将所对应的线性问题化为自身的规范变换，即称为此线性问题的 达布变换这时孤子方程两个解之间满足一定的关系式于是已知方程的一个解( 通常称 为种子解) ，通过这关系式即可确定方程的一个新解，然后还可继续利用这个新解作为种 子解产生另一个解如此周而复始，即可生成方程的一系列解 达布阵方法的优点是只须作一次完全可积的线性方程组的求解，然后就可只用代数运 算来得到非线性孤立子方程的新解它的关键是寻找一种保持相应的l a x 对不变的规范 变换，在这方面已发展很多技巧并用于求解多种方程如a k n s 方程族，d a v e y _ s t e w a r t n 方程，自对偶、h n 哥m i l l s 流，e i n s t e i n _ m 觚w e l l 方程【2 3 2 6 】等等 本文就是以达布阵的理论为基础，构造了( 2 + 1 ) 维孤子方程 2 ( 1 ，3 ) 的达布变换此方程能导出著名的z i 方程【1 l t 2 7 ，2 8 】 奠 u = o u 1 2 。= 兰一a 南 化成2 2 表示的l a ) 【对： o “2 ，g u 2 ，口 o “1 ，” 一 妒。= u 妒，d 妒= y 妒 u = ；( 一a ：。i 一：_ 和)y = ；( u 二：，iu 二? i ) ( 1 4 ) 矿 、f o o 毗 o a ( 其中u 和驴，v 和矿除了将位势u 1 ，u 2 ，u 换为田，奶，雷外，具有相同的形式) t = t 吣) t 1 = 1 1 篇。) 于七麓) u 2 十z 1 p 2 t 一 下，z i 的解( p ，q ，”) 也同时被找到文章的最后，利用数学软件绘出了两个方程孤立子 解的图形 4 2 与z i 方程相关的孤子方程的l a x 结构 = 疗氟 驴= ( ( 2 1 ) ( 2 2 ) 其中d = 襞一a 品，a 是谱参数，满足k = o ，d a = o “，z ， ，是关于z ，可，t 的函数 通过直接计算，( 2 1 ) ( 2 2 ) 的相容条件，即零曲率方程： 导出孤子方程 d 一1 吒+ 【u ，y = o ( 2 3 ) ( 2 4 ) 则称( 2 ，1 ) ，( 2 2 ) 为( 2 4 ) 的l a x 对 另外，由 l 1 ，l 2 ，l 3 生成的李代数同构于 e 1 ，e 2 ，e 3 ) 生成的李代数f 2 1 ，且满足 以一e ，其中 e 1 ，e 2 ，e 3 ) 是与p a u l i 矩阵 盯1 ，盯2 ，吼) 有关的矩阵李括号定义为交换 算子t l ”l ，】= l 。岛一l j l 。， e ，勺】= e 。e ，一勺e ， 5 广 3 妒2妒 m、，lij ( = m u o 妒 一 。 叫 illll、 ， 化 。 。 。 舰 删 n 0， o ，南2 o 时 b l l 。 ( a 2 一a 1 ) ( c d 1 + c d 2 ) ( a 2 e e 2 s d 2 a 1 ) s h d l 一( a 1 + a 2 ) s d 2 2 s d 。 ；( 妒1 也 b 1 2 ) - ( ! 垒! 二垄! ! 垒望! 二! 垒! 垒! ! ! 垒望1 2 s d 2 ( a 1 一a 2 ) ( c d 1 一c ，l d 2 ) 2 s h d 2 ( 6 1 ) 、l 仇 仇 也 ， t e 、， 1 o o 1 ，illi z一2 得 理 整并 m 3 入 代 ya一如 + 卜 + 卜 0 q 缮 = 哟 其中d l = 1 + 2 一 l 他1 一jf n 女2 ，d 2 = l 一2 一 f n 幻+ jl n 七2 则 毋= 一6 ，。+ 如z = 鱼喾 百= - + 曲，。，。+ t k 。，= ，一要 ；亳；差 c 船e2 ：当七1 0 时 吣= 坠避掣 6 2 1 =( a 2 一 1 ) c d l q l + 2 ) c d 2 2 c 上) 2 啦= t 6 。一i 幻，= 丛查群 ，( a 1 d 1 2 = a 2 ) c h d l 一( a 1 + a 2 ) c d 2 2 c d 2 = 坠氆掣 其中d 1 = 1 + 2 一；轨( 一) 一；轨乜，d 2 = 1 一2 一；轨( 一七1 ) + f 礼2 贝4 ： 哦= 一。，+ 6 2 。= 鱼喾 移= ，+ 拍t t ，+ 曲。，= - + 要i ；毫；砉莲 c a s e3 ：当七l 0 ，七2 o 时 6 1 1 b 2 1 = ( a 2 一a 1 ) ( s h d l + s h d 2 ) 2 c h d 。 ( a 2 一a 1 ) c d 1 + ( a 1 + a 2 ) c d 2 2 c 口2 奶= 拍。一t 幻，= 丛垒拦 6 2 2 = ! 垒! 二垄2 堕望! ! 垒! 生2 竺望! 一2 c d 2 ( 1 一a 2 ) ( s d 1 一s d 2 ) 一2 c h d 2 其中d l = 1 + 2 一if n 幻一 l n ( 一2 ) ，d 2 = 2 一1 + 打1 1 一jf 礼( 一南2 ) 贝0 吨= 一6 1 1 + 6 2 2 =( a 1 一a 2 ) s h d l c 丸d 2 面= ，+ i 。t ，+ i 。，= - + 要三专弓莲 c a s e4 ：当七1 0 ，七2 o 时 6 u ( a 2 一a 1 ) ( c d 1 一c 。d 2 ) ( a 2 u 2 1 = 2 s h d 2 a 1 ) s d 1 一( a 1 + a 2 ) s d 2 2 s 矗d 2 峨：。b 。一：坠 6 2 2 = 沁) c d 1 2 c d 2 ( a 1 一a 2 ) s h d l 一( a l + a 2 ) s d 2 2 她i ) 2 ( a 1 一a 2 ) ( c n d l + c d 2 ) 2 3 危d 。 其中d 1 = 。+ 2 一 轨( 一h ) 一 跏( 一乜) ，d j = 。一1 + m ( 一七1 ) 一 轨( 一七2 ) 则： 面= 一s ，+ 6 2 。= 生蔓半，奶= 曲z 一曲z - = 丛鱼群 雷= ，+ 曲，+ 曲砜，= ，一要：鼍害篑 c a s e 5 ：当1 ，2 中有一个为0 时，不妨设k l = o ，则 6 1 1 = 学( 2 + 1 ) ， 6 2 l = 等产一孔“) 代入表达式得 皿一6 1 1 + 6 2 2 = 学乎如， o = 1 + 曲1 1 ，+ i 6 2 2 ，= 1 当幻o ，女2 = 0 时，情况类似不再列出 吣= 等e 2 2 一批“) = 学( 2 _ 1 ) 如划z 一= i 学e 2 2 c a s e 6 ：当七l = 2 = 0 时，无法由此基解产生新解，可换成其他种子解求方程的新解 c a s e7 ：当女1 ，女2 是复数时 “1 = 一 “2 = ( a l a 2 ) ( e 1 + 2 + 幻乜e 一1 一2 ) 七2 e l 一2 后1 e 2 一1 a 2 ) ( e 1 + 2 一七1 七2 e 一1 一2 ) 南2 e 1 一2 一h e 2 一1 注：以上几种情况对应的是方程( 2 4 ) 的精确解，若要导出z i 方程的精确解只需作变换 p = 丝专堕，g = 丝 堕即可这样求出的忍t 1 ) 即是z i 方程的解，这里不再一一 2 1 犏 一攀瓣 一 列出又由于达布变换本身的优点，还可以再以这些解作为种子解继续求方程的新解，如 此周而复始可以找到方程( 2 4 ) 及z i 方程的一系列解 对于第四种情况，将u 。， z 进行适当的参数选取，我们得到方程( 2 4 ) 的孤子图； a 6 s u la 6 s 札2 f 匆1 a 1 = 一8 5 ，a 2 = 一3 7 5 ，七1 = 一2 5 0 ，2 = 一o 5 ，( a 6 su 1 ，t = 0 ；a 6 su 2 ，t = 一1 ) 它对应于z i 方程的孤子图在重新选择参数后就是 a 如p a 6 sq f t 9 2 a 1 = 07 5 ，a 2 = 一5 ，七1 = 一2 5 0 ，七2 = 一0 2 8 ，( a 6 sp ，t = 0 ；a 6 sq ，t = 一0 4 2 ) 以上只是其中一种情况，事实上对于以上所列的几种，每一种都可以得到它们的图 形，在此不再一一列举 参考文献 【1 】c s g 盯d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r l l s 瑚，r m m i u r a ，p h y s r e v l e t t 1 9 ( 1 9 6 7 ) ，1 0 9 5 一1 0 9 7 【2 】c s g a r d n 盯，j m g r e e n e ，m d k r u 8 蹦，r m m i u r a ，c o m m p u r a p p l m a t h ，2 7 ：1 ( 1 9 7 4 ) ， 9 7 _ 1 3 3 3 】f c a l o g e r o ，a d e g a s p e r i s ，却e c 打谢打u 馆苣厂。竹no n ds o f i t o n s ，n o r t hh o u a 肛dp u b l i 8 h i n g c o m p a n ma m s t e r d 啪，1 9 8 2 4 m j a b l o 莉t z ，p a c l a r k 8 0 n ，s d f i o n s ，n o n 托n e re o 乜t i d 礼e g 口缸d n sn 礼d 胁 e r s e 5 7 c n t - 纫叼，c a n l b r i 姑eu n i v e r s i t yp r e s s ，c a m b r i d g e ，1 9 9 1 5 c w c a o ，y t w u ，x g g e n g ，j ，m a t h p h y s ，4 0 ，8 ( 1 9 9 9 ) 3 9 4 8 3 9 7 0 f 6 】c w c a o ，x g g e n 舀h y w 如g ，j m a t h p h y s ，4 3 ：l ( 2 0 0 2 ) ：6 2 1 6 4 3 7 g n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，p 1 1 y s l e t t a ，1 0 0 ( 1 9 8 4 ) ：4 6 7 4 7 0 8 】x i a n g u og e n g ，h o n 一、v a ht h m ，j p h y s ，s o c i j a p a ，6 8 5 ( 1 9 9 9 5 ) 1 5 0 8 - 1 5 1 2 9 】r - h i r o t a ，ed i 他以讹t o d 慨s d f 亡o n 了h 删，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ，2 0 0 4 1 0 】j s ，z h a n g ，y t w ha n ds m l i ，p h 归i c sa 3 1 9 ( 2 0 0 3 ) ：2 1 3 2 3 2 1 1 】s t r a c h a nab ，j m a t h p h y 8 ，3 4 ，2 4 3 ( 1 9 9 2 ) 1 2 ml w a n ga n dy m w a n g ，jp h y s l e t t a2 8 7 ( 2 0 0 1 ) ：2 1 1 2 1 6 1 3 l b i a n c h i ，a n n m a r e m 1 3 ，1 7 7 - 2 3 4 ，( 1 8 8 5 ) 1 4 c h g u ，h s h u ，l e t t m a 七h p h y s ，1 1 ( 1 9 8 6 ) ：3 2 5 1 5 】谷超豪，胡和生，周子翔，孤立子理论中的达布变换及其几何应用，上海科学技术出 版社， 1 9 9 9 1 6 lm s a t o ，m m sk o k y u m k u ，4 3 9 ，( 1 9 8 1 ) ，3 0 1 7 ly i s h e nl i ，j i ne z h 8 i l g ，p h l e t t a ，2 8 4 ( 2 0 0 1 ) ，2 5 3 _ 2 5 8 1 8 lc | hg u ，e t c ，肋f i 幻佗她e o 叫o n d 咖a 卯托c o i d 佗，z h e j i a n gp u b l i s h i i l gh o u s e o fs c i e n c e a n dt e d l n o l o g y ) h a n g z h o uc h i n a ，1 9 9 0 19 】m lw a n g ，j p h y 8 ，l e t t a 1 9 9 ( 1 9 9 5 ) ：1 6 9 _ 1 7 2 2 0 】a ，v b a c k l u n d ，l u n d su n i 、艳r s i t e t sa r s 8 k r i f t ，1 9 ，1 4 8 ，( 1 8 8 3 ) 2 1 】c r o g e r s ，w k s d l i e f ，b d c 七f n do 咒dd 。r 6 0 懈n 也佗点，o ”n 口t i o 扎sg e d m e t 删n 礼dm d d e m a 卯f c o 托。礼s 讥s d f i 幻礼t 阿，c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e 8 s ，c a m b r i d g e ，2 0 0 2 2 2 】g d a r b o u x ，舰r 札礼ep 御。s 讹o n 代拙渤eo 眦e 州o t i o n s 占口i 他s ，c r a c a d s c i ，p a r i s ( 1 8 8 2 ) 2 3 lg n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，p h y s l e t t a 1 0 0 ( 1 9 8 4 ) ：4 6 7 _ 4 7 0 2 4 】g n e u g e b a u e r ，r m e i n e l ，j p 1 1 y s a ：m a t h g e n 1 6 ( 1 9 8 3 ) ：4 6 7 4 7 0 【25 j mc a o ，j m a t h p h y s 2 0 0 0 ( 4 1 ) ：4 6 8 7 4 6 9 4 2 6 e g f 眦，j m a t h p h y s 4 1 ( 2 0 0 0 ) ：7 7 6 9 27 m y r z a k u l o