（应用数学专业论文）混沌分形对称性图像的若干研究.pdf

上海交通大学博士学位论文 混沌分形对称性图像的若干研究 摘要 本文进行的研究工作包括如下三个方面： 1 混沌分形对称性及图像可视化 混沌分形可视化是”试验数学”中的重要内容，它把复杂的极其抽象的 混沌分形现象，通过计算机新理论新算法构图，直观生动地显现出来，便 于人们发现新现象、新规律和新原理 构造具有群对称性的混沌函数一直以来是混沌分形研究中一个活跃课 题，利用这些混沌函数可用于生成对称性的混沌吸引子吸引子赋予颜色 时一般都采用点被击中频率的方法，这种给吸引子赋予颜色的方法的理论基 础是假定吸引子具有s i n a i - r u e u e b o w e n 测度，且设点对应的频率为密度函数， 从而可以用密度函数去近似s r b 测度本文第二章2 3 节研究了几类对称混 沌函数的轨迹性质和关于群的不变函数理论，提出了一种生成具有群对称 性彩色图像的新方法该方法不是生成具有群对称性的混沌吸引子图像， 而是通过构造关于群不变的函数，用不变函数来构造密度函数，从而得到 相应具有晶体群对称性的彩色图像同时在2 4 节中把该方法推广到三维空 间，生成具有正多面体对称性的三维图像 轨迹井技术最初用于研究m j 分形集图像，但始终未与图像的对称性相 联系，在第二章的2 5 节作者首次提出将轨迹井技术与具有平面晶体群和 循环群( 铭) 、二面体群( 勿) 对称性的迭代函数系统相结合，研究构造与迭代 函数系统相容对称性的轨迹井，同时也把轨迹井推广到更加复杂的有界集 上：即构造由单个或多个混沌吸引子构成的对称性区域作为轨迹井，生成 具有平面晶体群或循环群、二面体群对称性的彩色图像，并且一些图像具 有拟3 - d 效果 2 噪声鲁棒性的对称性图像分类 目标的表示和识别技术是模式识别和图像理解领域的核心环节之一，而 中文摘要 对称性是大量人造目标和自然目标的共同属性，它提供了人类视觉感知目 标形状酶关键线索。在第二章对称性匿像生成基础上，本文第三章提出了 一种m e x i c a n - h a t 小波域的循环群、二面体群对称性图像的识别与分类技术， 该技术具有很好的噪声( 本文仅讨论了加性的皇高斯噪声) 鲁棒性特点。在 高噪声情况下( 例如噪声方差为8 2 。8 0 2 ) ，结合修改的脊波变换能实现对噪声 图像包含的循环群、二面体群对称性进行识别和分类 3 。分形几何学应用一改进的分形图像去嗓 多年来，作为分形几何学的应用，各种有效的分形图像压缩方法被提出 并发晨。但分形图像去噪直到最近蠢g h a z e l 提出。作为分形在图像处理中新 的应用研究，本文第四章提出了一种针对加性白高斯噪声的改进分形图像 去嗓方法。该方法在改进的分形编码过程中采用二次透数灰度预测同时 对二次函数的分形缔码系数给出了一种量化策略，严格保证了改进分形编 码的收敛性要求，并使得改进的分形编码对无噪图像的编码效果优于传统 分形编码在改进分形编码的基础上，改进的分形图像去嗓方法通过带噪 圈像估计原始无噪图像的分形编码参数，从而在分形解码过程中达到去除 嗓声的冒的；同时，针对对称性图像提出了一种”旋转不变”去噪算法 关键词：混沌；分形几何应用；m e x i c a n h a t 、波变换；对称性图像；不变 函数；轨迹井；对称性分类；图像去噪 a b s t r a c t s t u d i e s0 ns e v e r a lp r o b l e m sc o n c e r n l n gt h e c 嗣涵曙薹cf r a c t f 氅l 薹m a g e sw i t hs y m m 嚣絮r i e s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，o u rw o r kc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s 1 c h a o s ，s y m m e t r ya n di m a g e v i s u a l i z a t i o n ： v i s u a l i z a t i o no fc h a o sa n df r a c t a li sa ni m p o r t a n tp a r to ft h es t u d yo f e x p e r i m e n t a lm a t h e m a t i c s ”，w h i c hv i s u a l l yr e v e a l st h ec o m p l e xa n da b s t r a c tc h a o sa n df r a c t a lp h e n o m e n ab yu s i n gc o m p u t e rr e n d e r i n gt e c h n i q u e ， a n dt h e nl e a d sp e o p l e 协d i s c o v e rn e wp h e n o m e n a ，n e wl a w sa n dn e wp r i n c i p i e s t h e r eh a sb e e naf a s tg r o w t hi ng e n e r a li n t e r e s ti nt h ec o n s t r u c t i o no f c h a o t i cf u n c t i o n sw i t hg r o u ps y m m e t r i e si nt h ef i e l do fc h a o sa n df r a c t a l b ym a k i n g u s eo ft h e s ec h a o t i cf u n c t i o n s ，c h a o t i ca t t r a c t o r sw i t hs y m m e t r i e s c a nb eg e n e r a t e d t h em e t h o do fc o l o r i n gt h ec h a o t i ca t t r a c t o r si sg e n e r a l l y b a s e do nt h ep o i n t - h i t t i n gf r e q u e n c y , a n dt h ea t t r a c t o ri sa l w a y ss u p p o s e dt o h a sas i n a i - r u e l l e b o w e n ( s r b ) m e a s u r ea n dt h ef r e q u e n c yi st h e na s s u m e d t 0b ead e n s i 哆f u n c t i o n ，w h i c hm a k e si tp o s s i b l et oa p p r o x i m a t et h es r b m e a s u r e + i ns e c t i o n 2 。3o fc h a p t e r2 ，a f t e rs t u d y i n gt h eo r b i t i n gp r o p e r t y o fc h a o t i cf u n c t i o n sa n dt h ei n v a r i a n tt h e o r yw i t hr e s p e c tt og r o u p ，an e w m e t h o df o rg e n e r a t i n gc o l o r f u li m a g e sw i t hg r o u ps y m m e t r i e si sp r e s e n t e d t h em e t h o dh e r ei si m p l e m e n t e db yc o n s t r u c t i n gt h ei n v a r i a n tf u n c t i o n s ， w h i c ht h e na r eu s e dt od e t e r m i n ec o r r e s p o n d i n gd e n s i t yf u n c t i o n s 。t h er e s u l t d o c t o r a ld i s s e r t a t i o no f s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y i m a g e sw i t hg r o u ps y m m e t r i e sa r eq u i t ed i f f e r e n tf r o mt h o s eo ft h ec h a o t i c a t t r a c t o r s a l s ob ye x t e n d i n gt h i sm e t h o dt ot h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e ，3 - d i m a g e s 谢t hr e g u l a rp o l y h e d r o n s y m m e t r i e sc a nb eo b t a i n e d o r b i tt r a pr e n d e r i n gm e t h o df o rg e n e r a t i n gi m a g e so f m - js e t sh a sp r o v e d s u c c e s s f u l ，w h i c h ，h o w e v e r , h a sn o t h i n gt od ow i t hs y m m e t r y i ns e c t i o n 2 。5o f c h a p t e r2 ，w ee x p l o r e sc o m b i n i n gc h a o t i cf u n c t i o n sh a v i n gc r y s t a l l o g r a p h i co rc y c l i co r d i h e d r a ls y m m e t r i e sw i t ho r b i t t r a pr e n d e r i n gm e t h o d 。b y s e t t i n gs y m m e t r i c o r b i tt r a p s ( i np a r t i c u l a r , b yu s i n gm o r ec o m p l e xb o u n d e d s e t s ，s u c ha sc h a o t i ca t t r a c t o r s ，a so r b i tt r a p s ) ，v i s u a l l yf a s c i n a t i n gi m a g e s w i t hc r y s t a l l o g r a p h i co rc y c l i co rd i h e d r a ls y m m e t r i e sc a l lb ec r e a t e di nt h i s w a y , f u r t h e r m o r es o m ei m a g e sp r e s e n tp s e u d o3 d e f f e c t 2 an o i s e r o b u s tt e c h n i q u ef o rc l a s s i f y i n gs y m m e t r i ci m a g e s o b j e c tr e p r e s e n t a t i o na n dr e c o g n i t i o nt e c h n i q u e sa r eo n eo f t h ek e yi s s u e si np a t t e r nr e c o g n i t i o na n di m a g eu n d e r s t a n d i n ga r e a s a st h eu b i q u i t o n s i n h e r e n tp r o p e r t yo ft h em a n - m a d ea n dn a t u a lo b j e c t s ，s y m m e t r yi st h ek e y c l u ef o rp e o p l et op e r c e i v et a r g e ts h a p e s i nc h a p t e r3 ，t a k i n gt h es y m m e t r i c i m a g e sc r e a t e di nc h a p t e r2 ，w ep r e s e n tan o i s e - r o b u s tt e c h n i q u eo fd e t e c i n g a n dc l a s s i f y i n gt h ei m a g e sw i t hc y c l i ca n dd i h e d r a ls y m m e t r i e si nw a v e l e t d o m a i nb yt w o d i m e n t i o n a lm e x i c a n - h a tw a v e l e t t r a n s f o r m p a r t i c u l a r l y , t h e n o i s yi m a g e sa r ea s s u m e dt ob ec o r r u p t e db ya d d i t i v ew h i t eg a u s s i a nn o i s e ( a w g n ) t h r o u g h o u to u rw o r k a n dw ef i n d 坊a 乓c o m b i n i n gw i t ht h em o d i f l e dr i d g e l e tt r a n s f o r mt e c h n i q u e ，t h ep r o p o s e dm e t h o dc a l ls u c c e s s u f u l l yd e - t e c ta n dc l a s s i f yt h en o i s yi m a g e sw i t hc y c l i ca n dd i h e d r a ls y m m e t r i e s ，e v e n u n d e rt h es i t u a t i o no fe x t r e m eh i g h l e v e ln o i s e ( f o re x a m p l e ，n o i s ev a r i a n c e a 8 s 融c r i s6 2 = 8 0 2 ) 3 a na p p l i c a t i o no ff r a c t a lg e o m e t r y a ni m p r o v e df r a c t a li m a g e d e n o i s i n gm e t h o d o v e rt h e y e a r s ，a sa na p p l i c a t i o no ff r a c t a lg e o m e t r y , av a r i e t yo fh i g h l y c o m p e t i t i v ef r a c t a li m a g ec o m p r e s s i o nm e t h o d sh a v eb e e nd e v e l o p e d r e - c e n t l y , t h ei d e ao ff r a c t a li m a g ed e n o i s i n gw a si n t r o d u c e db yg h a z e l i n c h a p t e r4 ，a sa n o t h e ra p p l i c a t i o no f f r a c t a lg e o m e t r yi ni m a g e p r o c e s s i n g ，a n i m p r o v e df r a c t a li m a g ed e n o i s i n gm e t h o du s i n gq u a d r a t i cg r a y l e v e lf u n c t i o n i sp r o p o s e dt or e s t o r et h en o i s yi m a g e sd e g r a d e db ya w g n m e a n w h i l e ，a q u a n t i z a t i o nm e t h o df o r 铲a y l e v e lc o e f f i c i e n t so ft h eq u a d r a t i cf u n c t i o ni s p r e s e n t e dt os t r i c t l yg a r a n t e et h ec o n t r a c t i v i t yr e q u i r e m e n to f t h ei m p r o v e d f r a c t a lc o d i n g ，a n di nt e r m so ft h eq u a l i t yo ft h ef r a c t a ls e p r e s e n t a t i o no ft h e n o i s e l e s si m a g e s ，t h ei m p r o v e df r a c t a lc o d i n gw i t ht h ep r o p o s e d q u a n t i z a t i o n m e t h o dg e n e r a l l yp e r f o r m sb e t t e rt h a nt h ec l a s s i cf r a c t a lc o d i n g b a s e do nt h e i m p r o v e df r a c t a lc o d i n g ，t h en e wf r a c t a li m a g ed e n o i s i n gi si m p l e m e n t e db y e s t i m a t i n gt h ef r a c t a lg r a y l e v e lc o e f f i c i e n t so ft h eq u a d r a t i cf u n c t i o no ft h e n o i s e l e s si m a g ef r o mi t sn o i s yo b s e r v a t i o n ，a n dh e n c et or e m o v et h en o i s e i nt h ed e c o d i n gp r o c e d u r e 。i na d d i t i o n ，w ep r o p o s ead e n o i s i n ga l g o r i t h m n a m e d r o t a t i o n * i n v a f i a n f f o rn o i s yi m a g e sw i t hc y c l i co rd i h e d r a ls y m m e 一 氍e s k e yw o r d s ：c h a o t i c f u n c t i o n ；a p p l i c a t i o no f f r a c t a lg e o m e t r y ；m e x i c a n - h a tw a v e l e tt r a n s f o r m a t i o n ；s y m m e t r i ci m a g e s ；i n v a r i a n tf u n c t i o n ；o r b i tt r a p s ； v d o c t o r a l d i s s e r t a t i o no f s h a n g h a ij i a ot o n gu n i v e r s i t y s y m m e t r yc l a s s i f i c a t i o n ；i m a g ed e n o i s i n g 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签 日期：硼年 1 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保黧、使阂学位论文的溉定， 同意学校保留并向国家有关部门或梳构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借闽。本人授权。 二海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库迸行检索，可以采嬲影禽j 、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权辂。 本学位论文属予 不保密留尊 ( 请在以上方框内打“4 ”) 学位论文作者签名：皂生 翳期：7 耐0 月圈 | 师签名叫吁勺 l 期：卿月l7 - - 1 7 | 第一章绪论 1 1 研究背景和意义 对称性是自然界普遍存在的现象，同时对称性也蕴含着深刻的数学机理作为对 称性的度量的对称群已成为群理论的一个重要分支【3 4 系统的某种对称性在数学上 反映系统具有群作用下不变的性质，在集合上反映了集合图形各部分之间的关系，这 使得人们可以去研究、理解和利用各种对称性，因此对称性无论在理论上还足在实际 运用中都具有很重要的地位，它的研究已经包括了从理论、算法到实际应用等方面 1 混沌分形与对称性一可视化方法研究背景 计算机混沌分形可视化是试验数学中的重要内容，它把复杂的极其抽象的混沌分 形现象，通过计算机新理论新算法构图，直观地显现了复杂的混沌分形状态，便于人们 发现新现象、新规律和新原理从而进一步推动混沌分形理论在各个研究和应用领域 的发展另一方面，它也推动了计算机可视化图像方法的迅速发展，并在计算机信息压 缩、存储及模拟自然现象中的各种奇妙图形发挥了重要作用计算机混沌分形可视化研 究方法已经形成了混沌分形研究领域的三大学派之一；德国p e i t g e n 等为代表的计算机 混沌分形可视化影像学派 4 8 其中主要代表著作有；p e i t g e n 和r i c h t e r 于1 9 8 6 年和 1 9 8 8 年分别发表了t h eb e a u t yo f f r a c t a l s 【9 】和t h es c i e n c eo f f r a c t a li m a g e s 【1 0 】等书，书中包括了m a n d e l b r o t 、d o u a d y 和e i l e n b e r g e r 等人在该领域所做的工作介 绍；同年，d e v a n e y 发表了专著( i n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m ，重点论 述了与分形相关的混沌复解析动力系统；1 9 8 8 年b a r n s l e y 等人发表了专著f r a c t a l e v e r y w h e r e 【10 0 ，同年，f e d e r 和g l e i c k 分别发表了f r a c t a l s 【5 】和鬣c h a o s ： m a k i n gan e ws c i e n c e 【3 9 ，4 1 】等书；1 9 9 2 年，美国数学家f i e l d 发表了s y m m e t r y i nc h a o s 【1l 】专著，讨论了各种对称性及生成对称性混沌吸引子和一些对称分形 图像的数学理论；1 9 9 8 年，p i c k o v e r 发表了c h a o sa n df r a c t a l s 【7 1 ，该书精选了 1 9 8 9 1 9 9 8 十年间发表于c o m p u t e r s & g r a p h i c s u k 专栏”c h a o s & g r a p h i c s ”上文 l 第一章 绪论 章；其他国内外学者的相关筹作如【3 3 ，4 6 ，4 7 ，4 8 】等等 计算机技术酶凄现和发浸极大推动着混沌的研究。混沌作为发生在确定性系统中 类似随机的不规则运动，是复杂和不可预测的i 丽对称是保持物体等同性的一种刚体运 动，意眯着有序移绪梅但在动力系统研究中，人们发现对称积漫沌是可以共存的，如 c o u r e n t - t a y l o r 流中的对称和混乱【3 】，雪花中的随机和结构【4 】，动力系统的迭代过程出 现的结构复杂却其有对称性的混沌吸孳 子【1l 】一0 跬混沌吸雩l 子作为混沌系统整体稳 定性与局部不稳定性共同作用下的产物，深刻反映了确定与随机、简单与复杂、有序与 无序、整俸与局郝等不同豹混淹机理的重要转化过程，所以对混淹吸弓| 子的研究也是 混沌系统研究中的重要组成部分【4 4 】计算机可视化理论与技术的发展已经使混沌吸 孳l 子苓荐是个攮象的概念，借助计算枧的强大计算簏力秘丰富的显示功能，许多学 者对混沌与各种对称性的共存进行了深入研究，1 9 9 9 年，c h o s s a t 和g o l u b i t s k y 发现 迭代对称的浃射有时候会爨现对称的吸萼 子【6 】；之后f i e l d 秘g o l u b i t s k y 扶动力系统、 不变理论和遍历理论深入研究了对称和混沌共存的数学机理，并在专著s y m m e t r y i nc h a o s 中详缨讨论了魏俺构造多项式映射族生成具有循环群，二面体群帮一些基 体群对称性的混沌吸引子【ll 】随后许多学者对各种对称混沌吸引予图像生成的数学 理论与算法也进符了深入酶研究。热文献【l1 ，1 3 ，1 5 ，1 9 ，2 0 ，2 2 ，2 4 ，3 5 ，3 8 ，5 0 等。基 前混沌吸引子及可视化已成为当前分形混沌领域研究的热点之一在本文第二章，作 者尝试放一个薪的角度握示了对称与混淹动力系统懿共存性，并研究各种具有群对称 性艺术图像的可视化方法这些对称性图像与混沌迭代函数系统有着紧密的联系，但 它翡不是混淹吸葶；子，与混沌吸季 予有着本质豹区剃。该方法为计算槐宣动生成乎薅 对称性艺术图像提供了新的思路 2 塑像对称性识别研究鹜最 计算机视觉和图像理解领域的主要目标是赋予机器以视觉功能，使机器能自动检 测和识别物体目标【9 1 现有的茸标检测和识别主要是基于目标图像的几何特征面 对称性是现实世界中大量人造目标和翅然目标的共同属性，它提供了人类视觉感知物 2 上海交通大学博士学位论文 体形状的关键线索，物体对称性的检测与识别是计算机视觉和智能化研究中的核心内 容之一基于物体对称性特征的检测和识别技术是从6 0 年代兴起并一直活跃到现在 的一个研究领域【5 0 1 一【9 0 】它是数学、计算几何、模式识别、感知科学、图像处理等的 交叉学科它主要研究两个方面的问题：( 1 ) 如何感知目标图像中的对称特征；( 2 ) 利 用计算机如何检测、量化和描述目标的对称特征作为目标图像中的本质特征，对称 具有很多重要的应用，包括目标分割、视觉检查、形状表示、医学图像分析、自动指纹 识别、智能自动化控制等同时，它也促进了图像压缩和去噪等课题的深入研究现实 中最常见的对称是：平移对称、旋转对称和反射对称对一幅有限的二维图像，一般 仅包含旋转对称和反射对称一个物体如果旋转角度簪，j = 0 ，”一1 保持不变，则 它为具有阶为聆的旋转对称；一个物体如果关于某些直线进行反射变换后保持不变， 则它具有反射对称关于这两种对称的更详细讨论可参考3 2 及文献【1 1 ，3 8 】等本 文第三章，作为对图像包含的旋转、反射对称性的基础性研究，作者重点研究了噪声 条件下的循环群、二面体群对称性图像的识别与分类技术 3 图像去噪一分形几何学一个新应用 图像去噪是图像处理的重要研究内容之一。其重要性也越来越明显例如医学图 像中，得到的核磁共振图像受到高磁场的干扰而引入噪声使得无法确定微小组织的变 化，需要对其进行去噪处理；高放大倍数遥感图像的判读；x 射线图像系统中噪声的去 除，等等噪声的来源取决于实际的应用环境由于引入噪声的情形不同，噪声特性也表 现得非常复杂，从性质上讲可以分为加性噪声和非加性噪声对于非加性噪声一般可以 通过某种变换转化为加性噪声，因此对于加性噪声的研究最为广泛人们对图像噪声的 产生原因及相应的噪声模型做了大量的研究，绝大多数常见的图像噪声都可以近似地 用均值为零，不同方差的加性高斯白噪声作为其模型传统的图像去噪方法包括空问域 去噪方法，如邻域平均，中值滤波，几何滤波等；频率域去噪方法，如f o u r i e r 变换；小波 域去噪方法，如w a v e s h i n k 1 2 5 ，s u r e s h i n k 1 2 5 ，1 2 7 ，l e v e l s h i n k 1 2 3 ，b a y e s s h i n k 1 2 8 】 等；此外，还有偏微分方程图像去噪【1 2 9 1 ，等 3 第一毒臻 论 1 9 6 7 年美国数学家m a n d e l b r o t 在s c i e n c e 杂志上发表了一篇”荚睡海岸线有 多长? 统计皂相似性与分数维数”的论文， f r a c t a l ”( 分形) 词也首次出现在科学界 随后他在1 9 7 5 年发表的f r a c t a l ：f o r m ，c h a n c ea n dd i m e n s i o n【1 】阐述了分形几何的 思想、内容、意义和方法，标志着分形几何作为一个独立的学科正式诞生作为分形几 何学在计算机科学中的个重要应用，分形图像编码源予2 0 世纪8 0 年代后期b a m s l e y 等入对迭代函数系统( 珲s ) 的研究【1 0 0 ，1 0 1 】和j a c q u i n 在i f s 基础上提出的分割迭代函 数系统( p i f s ) 1 0 3 ，1 0 4 ，髓后，f i s h e r 等人提出了分形皇适应篷叉树分裁的编码算法， 并写了经典著撵f r a c t a li m a g ec o m p r e s s i o n ：t h e o r ya n da p p l i c a t i o n 【1 0 5 】；另外， 国内的经典著作如分形与图像压缩【1 3 0 】等该技术在过去十几年中因其潜在的 高压缩比引起了广泛的研究( 如【1 0 5 ，1 3 0 ，1 3 1 1 1 0 9 - 【l1 2 】等) 但分形图像去噪童到最 近首先由加拿大w a t e r l o o 大学学者g h a z e l 提出【l1 6 1 ，且备受关注【11 8 ，11 9 ，11 7 ，1 2 0 在本文第疆章，作者研究了分形几何学在计算视科学中图像去噪这个新的蓬要应用， 提搦了一种改进懿分形匿像去噪方法。同时，针对循环群、二匿体群对称性图像探讨 了一种”旋转不变”去嗓算法。 1 2 本文主要研究内容及创新 本文进行的研究工作包括如下三个方面。 1 在本文第二章，作者从一种新的可视化角度揭示了对称与动力系统的共存关 系虽然，混沌对初始条件具有敏感的依赖性，是类似随机的不规剃运动，是复杂和 不可预测的德对予一个确定的迭代滋数系统，律者发现，在通过构造的不变邈数秘 鞔迹井意义下，关于群对称的裙值点具有楣圈盼孰迹性质。这个性质体现在本文中平 面上和三维空阅中各种具有群对称性的艺术图像的可视化，从薅为研究混沌分形及可 视化提供了新的思路基于此，作者从如下几方面进行了创新性的工作； ( i ) 吸引子赋予颜色时一般都采用点被击中频率的方法，这种给吸引子赋予颜色的 方法的理论基础是假定吸弓l 子具有s i n a i - r u e l l e - b o w e n 测度，且设点对应的频率为密 4 上海交通大学博士学位论文 度函数，从而可以用密度函数去近似s r b 测度在2 3 节中，尝试从动力系统的角度 出发，研究关于对称群的不变函数理论，通过构造关于晶体群不变的函数，用不变函 数来构造密度函数，从而得到相应具有晶体群对称性的彩色图像与文献 “，1 9 】等 不同，作者不是生成具有晶体群对称性的混沌吸引子图像，而是通过构造关于晶体群 不变的函数，用不变函数来构造密度函数，从而得到相应具有晶体群对称性的彩色图 像同时在2 4 中作者将该的方法推广到三维，通过构造关于正多面体对称性不变的 函数，生成具有正多面体对称性的三维彩色图像，同样与文献【2 2 ，2 6 ，2 7 】不同，作者 不是生成具有正多面体对称性的三维混沌吸引子 ( i d 轨迹井方法最初用于研究与混沌密切相关的分形领域中牛顿变换对应的m - j 分形集，文献【2 9 ，1 9 ，3 0 ，3 l ，3 2 ，4 7 】等在复平面上通过构造各种轨迹井对m j 集进行 了深入研究，并生成了具有拟3 d 效果、结构奇异的m j 图像，但该方法始终未与对 称性相联系在2 5 节中，通过研究迭代函数系统轨迹性质，作者提出把轨迹井技术 应用于具有平面晶体群和循环群( 铭) 、二面体群( 玩) 对称性的迭代函数系统，构造 具有与迭代函数系统相容对称性的轨迹井，同时也把轨迹井推广到更加复杂的有界集 上。即构造由单个或多个混沌吸引子构成的对称性区域作为轨迹井，生成具有平面晶 体群或循环群、二面体群对称性的彩色图像同样与文献【1l ，1 9 】不同，作者不是生成 具有平面晶体群或循环群、二面体群对称性的混沌吸引子图像并且，某些生成的二 维平面图像中呈现拟3 d 效果 0 i f ) 在上面两种平面对称性图像生成方法中，作者引入色彩对称映射，和新的调 色板技术，使生成的平面对称性图像结构更复杂、颜色更丰富，这也为混沌分形可视 化研究提供了一种新的方案 2 在本文第三章，作为对图像包含旋转、反射对称性的基础性研究，重点探讨了 噪声条件下一种m e x i c a n h a t 小波域的图像对称性识别与分类技术，具体对铭和统 对称性图像进行识别和分类，该技术具有很好的噪声( 本文仅讨论了加性的白高斯噪 声) 鲁棒性特点作者首先研究了对称性图像m e x i c a n h a t 二维连续小波变换域对称性 5 第一章绪 论 保持性质，把图像对称性的识别问题转化为m e x i c a n - h a t 小波域的多条过中心直线的 检测问题，对于无噪图像的这些直线，采用修改的r a d o n 变换进行检测；对于噪声图 像，尤其是极高噪声情况下( 例如噪声方差6 2 4 0 2 ) ，这时，f o u r i e r 变换频率域识别方 法及其他一般检测算法( 如【6 0 一 9 0 】等) 将很难奏效，但利用小波不同尺度变换的多分 辨率分析特点，选取适当变换尺度( 详细讨论参见3 5 ) 不仅能很好抑制噪声，且能实 现图像对称性的成功”提取”( 同样变换为过图像中心直线) 另外，由于高噪声影响， r a d o n 变换等传统的直线检测技术都将可能失效，作者采用修改的脊波变换技术成功 对这些直线进行检测，从而实现对噪声图像包含铭，要磊对称性的识别和分类 3 在本文第四章，研究了分形几何学在计算机科学中图像去噪这个新的重要应 用，提出了一种改进的分形图像去噪方法，该方法建立在改进的分形编码基础上，在 分形块匹配过程中采用二次函数预测方式，同时对二次函数的分形编码系数给出了 一种量化策略，严格保证了改进分形编码的收敛性要求对无噪声的自然图像和对称 性图像编码试验，在多种相同的四叉树方差分割阈值下，改进的分形编码( 二次灰度 预测) ( i m p r o v e df i c ) 在图像质量上明显优于标准的分形图像编码( 线性预测) ( s t a n d a r d f i c ) ，从而可以达到与无噪图像的更好”逼近”改进的分形图像去噪方法通过带噪图 像估计原始无噪图像的分形灰度编码参数，从而在分形解码过程中滤除噪声，尽可能 恢复原始图像；同时，针对循环群、二面体群对称性图像提出了一种”旋转不变”去 噪算法 6 第二章混沌分形对称性及图像可视化 2 1 前言 在分形、分歧和混沌等非线性科学的研究中，迭代函数系统起了非常重要的作用，许 多文献已经对迭代函数系统的混沌现象进行了深入的研究，并且发现不仅分形可以出 现在其混沌的奇怪吸引子中【4 4 ，对称性也可以出现在其混沌的奇怪吸引子中f i e l d 和 g o l u b i t s k y 11 】从l o g i s t i c 映射出发，构造复映射族，生成具有循环群( c y c l i cg r o u p ) 、二 面体群( d i h e d r a lg r o u p ) 和一些晶体群( c r y s t a l l o g r a p h i cg r o u p ) 对称性的混沌吸引子 c a r t e r 等【l9 】在f i e l d 和g o l u b i t s k y 的基础上，利用三角函数的周期性，构造平面上 具有带群( f r i e z eg r o u p ) 、晶体群对称性的函数族，通过迭代，并记录下由迭代产生的 点，生成平面上7 种带群和1 7 种晶体群的混沌吸引子之后高维空间中具有对称性的 混沌吸引子也受到广泛的关注【2 2 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 d u m o n t 等【2 4 】提出生成瞅中具有 晶体群对称性的混沌吸引子的一般方法，利用这种技术他们生成了二维、三维中具有 晶体群对称性的吸引子b r i s s o n 2 2 ，r e i t e r 【2 6 ，2 7 通过构造关于群等价的映射，生 成具有正六面体、正四面体、正十二面体对称性的三维混沌吸引子在文献 1 l 】一 2 s 】 中都采用了点被击中频率的方法来给混沌吸引子赋予颜色，这种给吸引子赋予颜色的 方法的理论基础是假定吸引子具有s i n a i - r u e l l e - b o w e n ( s r b ) 测度，且设点对应的频率 为密度函数，从而可以用密度函数去近似s r b 测度【2 8 ，3 6 这些混沌吸引子的构造数 学上源于人们对动力系统与对称性共存关系的研究，图像可视化方法研究揭示着混沌 和对称性的思想和内在联系 在本章2 3 工作中，作者尝试从一种新的可视化角度揭示混沌迭代函数系统与对 称性的的共存关系，研究了构造关于平面晶体群的不变函数理论，提出了生成具有平 面晶体群对称性彩色图像的新方法与文献【11 ，1 9 】等不同，这里不是生成具有晶体 群对称性的混沌吸引子图像，而足通过构造关于晶体群不变的函数，用不变函数来构 造密度函数，从而相应地得到具有晶体群对称性的彩色图像同时在2 4 中，将上述 7 第二章混沌对称性及图像可视化 方法推广至三维，通过构造关于正多面体对称群不变的函数，生成具有正多面体对称 性的3 一d 图像，同样与文献 2 2 ，2 6 ，2 7 】不同，这些3 - d 图像与具有正多面体对称性的 三维混沌吸引子图像有着本质区别 在另一方面与混沌密切相关的分形领域中牛顿变换对应的m j 集也受到了广泛的 关注，p i c k o v e r 【2 9 ，c a r t e r 【3 0 ，31 1 ，y e 【3 2 】等在复平面上通过构造各种轨迹井对m j 集进行了深入研究，并生成了具有伪3 - d 效果、色彩丰富的m j 图像轨迹井是平面 上预先设定的一个有界中心区域，通过对平面上的映射厂进行迭代，会产生一系列的 轨迹点 m ) ，尸( 功，) ，在给定的最大迭代次数内， 这些轨迹点可能会落入”井”中，也可能从”井”中逃出当轨迹点落入预先设 定”井”中，则称该点被”捕获”，退出迭代；反之称点从轨迹井中”逃出”在文献 2 9 ，3 0 ，31 】中轨迹井设置为复平面简单的有界区域，如- 正交区域，外切圆盘，不交 的环带等文献【3 2 】在文献【2 9 ，3 0 ，3l 】的基础上把轨迹井推广为更为复杂的m 4 集 但以上传统的轨迹井方法始终未与图像的对称性相联系在本章2 5 节中，作者 通过研究迭代函数系统轨迹性质，首次提出把轨迹井技术与具有平面晶体群和循环群 ( ) 、二面体群( 玩) 对称性的迭代函数系统相结合，构造具有与迭代函数系统相容对 称性的轨迹井，同时也把轨迹井推广到更加复杂的有界集上t 即构造由单个或多个混 沌吸引子构成的对称性区域作为轨迹井，生成具有平面晶体群或循环群、二面体群对 称性的彩色图像同样与文献【ll ，1 9 】等不同，作者不是生成具有平面晶体群或循环 群、二面体群对称性的混沌吸引子图像，而是借助具有平面晶体群或循环群，二面体 群对称性的迭代函数系统的轨迹性质构造相容轨迹井，使平面上的对称初始点赋予某 种相同的颜色，从而可以得到对称性( 平面晶