（基础数学专业论文）纽结群到置换群的表示.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 纽结是三维空间中的简单闭曲线，即三维空间中的与圆周同胚的图形。纽结理论的 中心问题：任意给定一个纽结或链环，怎样判断它是不平凡的，即是否等价于平凡纽结 或平凡链环。任意给定两个纽结或链环，怎样识别它们是否相同。 不变量之一是纽结群，即从三维空间中挖去该纽结后所余的空间的基本群。本文是 从群的角度对纽结进行研究，并给出一种构造纽结群的置换群的表示的方法。此外，本 文以计算机为工具，给出算法可列举一些特殊的纽结群到某些置换群的所有的表示。共 轭是一种等价关系，本文最后给出了这些置换表示在共轭意义下分类。 关键词：纽结群；置换群；共轭类；群表示；计算机算法 大连理工大学硕士学位论文 s y m m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n so fk n o tg r o u p s a b s t r a c t ak n o ti sac l o s e dc u r v ei nt h et h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e w h i c hi sh o m e o m o r p h i s mi m a g e o fac i r c l ei nt h r e e d i m e n s i o n a ls p a c e ，n l ec e n t r a lq u e s t i o no f k n o tt h e o r y ：g i v e nak n o to r l i n k ，h o wt od e t e r m i n ew h e t h e ri ti su n k n o t ，t h a ti s ，w h e t h e rt h ek n o ti se q u i v a l e n tt ot h e t r i v i a lk n o to rl i n k f o ra n yt w og i v e nk n o t so rl i n k s ，h o wt od e t e r m i n ew h e t h e r t h e ya r et h e s 锄e n l i st h e s i ss t u d i e sk n o tf r o ma g r o u pt h e o r e t i cp o i n to fv i e w an e wm e t h o dh a sb e e n p r e s e n t e d t oc o n s t r u c ts y m m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n so fk n o t g r o u p s o nt h eo t h e rh a n d ，t h e a u t h o ra l s og i v e sac o m p u t e ra l g o r i t h m a n du s e si tt og i v ea 血1 ll i s to f s y m m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n so fs o m es p e c i a lk n o t st oc e r t a i ns y m m e t r i cg r o u p s c o n j u g a t i o ni n d u c e sa n e q u i v a l e n c er e l a t i o na m o n gr e p r e s e n t a t i o n s i nt h el a s tp a r t ，af u l ll i s to ft h ea b o v es y m m e t r i c r e p r e s e n t a t i o n su pt ot h i se q u i v a l e n c er e l a t i o ni sg i v e n k e yw o r d s ：k n o tg r o u p ；s y m m e t r i cg r o u p ；c o n j u g a t ec l a s s ；r e p r e s e n t a t i o no f a g r o u p ；c o m p u t e ra l g o r i t h m 一卜 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目：纽结登到置捶登鲍塞丞 作者签名：盍圣堑日期：型年厶月二竺日 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文 学位论文题目： 狃f 兰翌曼妇翌1 盖孟毯整苎! 作者签名：盎亟缴 日期： ! 芝年丘月望日 导师签名 ：趔事j 荭孝一 日期： 碑年_ 一丘月兰日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 拓扑学概述 拓扑学是近代发展起来的一个研究连续性现象的数学分支。于1 9 世纪中期由科学 家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何问题。但是这种几何 问题又和通常的平面几何、立体几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、 线、面之间的位置关系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、 体积等度量性质和数量关系都无关。拓扑学是许多数学分支的重要基础，主要研究几何 形体的连续性，是现代数学的两个支柱之一，被誉为现代数学的女王。 纽结理论和辫子群是几何拓扑学研究范围的典型例子。随着时间的变迁几何拓 扑学几乎等同于考虑二维、三维、或者四维的低维拓扑学。发展至今，拓扑学主要研 究拓扑空间在拓扑变换下的不变性质和不变量。举例来说，在通常的平面几何里，把平 面上的一个图形搬到另一个图形上，如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是， 在拓扑学里所研究的图形，在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没 有不能弯曲的元素，每一个图形的大小、形状都可以改变，这些就是拓扑学思考问题的 出发点。简单地说，拓扑就是研究有形的物体在连续变换下，怎样还能保持性质不变。 1 2 拓扑学的发展及分支 在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓扑学发 展史的重要问题。拓扑学起初叫形势分析学，l 欧拉1 7 3 6 年解决了七桥问题，1 7 5 0 年 发表了多面体公式；c f 高斯1 8 3 3 年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线 的环绕数。拓扑学这个词( 中文是音译) 是j b 利斯廷提出的( 1 8 4 7 ) ，源自希腊文( 位置、 形势) 与( 学问) 。这是萌芽阶段。 1 8 5 1 年起，b 黎曼在复函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调，为了研 究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。在几何学的研究中黎曼明确提出n 维流形 的概念( 1 8 5 4 ) ，得出许多拓扑概念。 一般拓扑学，最早研究抽象空间的是m r 弗雷歇，在1 9 0 6 年引进了度量空间的概 念。f 豪斯多夫在集论大纲( 1 9 1 4 ) 中用开邻域定义了比较一般的拓扑空间，标志 着用公理化方法研究连续性的一般拓扑学的产生。l 欧拉1 7 3 6 年解决了七桥问题，随 后波兰学派和苏联学派对拓扑空间的基本性质( 分离性、紧性、连通性等) 做了系统的 研究。经过2 0 世纪3 0 年代中期起布尔巴基学派的补充( 一致性空间、仿紧性等) 和整 理，一般拓扑学趋于成熟，成为第二次世界大战后数学研究的共同基础。从其方法和结 纽结群到置换群的表示 果对于数学的影响看，紧拓扑空间和完备度量空间的理论是最重要的。紧化问题和度量 化问题也得到了深入的研究。 代数拓扑学l e j 布劳威尔在1 9 1 0 - 1 9 1 2 年间提出了用单纯映射逼近连续映射的 方法，许多重要的几何现象，用以证明了不同维的欧氏空间不同胚，它们就不同胚。 引进了同维流形之间的映射的度以研究同伦分类，并开创了不动点理论。他使组合拓扑 学在概念精确、论证严密方面达到了应有的标准，而欧拉数1 ) 旷厂 则是) 。成为引人瞩 目的学科。紧接着，j w 亚历山大1 9 1 5 年证明了贝蒂数与挠系数的拓扑不变性。如连 通性、紧性) 因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的可能性。 通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的函数关系。本世纪 三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了许多全新的概念。比如，一致 性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。有一门数学分支叫做微分几何，是用微 分工具来研究曲线、曲面等在一点附近的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的 情况，因此，这两门学科应该存在某种本质的联系。1 9 4 5 年，美籍中国数学家陈省身建 立了代数拓扑和微分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。 拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程额其他许多数学分支中都有广泛 的应用。 1 3 纽结与链环的介绍 1 3 1 纽结的定义 绳结是人人熟悉的，史前时期就有结绳记事。这里我们给纽结的数学上的定义：纽 结是三维空间中的不与自己相交的封闭曲线，或者说，三维空间中的与圆周同胚的图形。 由有限多条互不相交的简单闭曲线组成的空间图形，称为链环。组成连环的每一条 简单闭曲线称为该连环的一个分支，它本身可以有结的。这样，纽结就成了链环的一种 了：纽结就是只有一个分支的链环。放在同一个平面内的若干个无不相交的圆圈组成的 链环称为平凡链环。 每个纽结，选取适当的投影方向，总可以使它在平面上的投影的自交点都只是二重 交叉点；以线的虚实表现交叉的情况，就得到纽结的投影图，也称纽结图。 还有许多特殊的纽结比如，如果朝一个方向沿着纽结图走时，总是交替地从上方和 下方线段经过每个交叉点，则称此图对应的纽结为交错纽结。 作为绳圈( 或一组绳圈) ，纽结与链环可以在空间中自由地连续变形，但是不许剪断， 不许粘合。如果一个纽结( 或链环) 可以经过这种绳圈移位变形变成另一个，我们就说这 大连理工大学硕士学位论文 两个扭结( 或链环) 是等价的，或同痕的，有时干脆把等价的两个纽结说成是相同的。 纽结与链环的理论( 简称纽结理论) 的基本问题是：任给一个纽结或链环，怎么判断它 是不是平凡的( 即是否等价于平凡纽结或平凡连环) ? 任给两个纽结或链环，怎么识别 它们是否相同( 即是否同痕) 。 图1 1 中是两个非平凡的( 即不等价于互相分离的圆周的) 双圈链环，它们彼此也 不等价。 图1 1 链环的例子 f i g 1 1e x a m p l e so f l i n k 几种常见的扭结和链环 环面结这是历史上受到系统研究的最早的一族。设p 是正整数，g 是非零整数。在 空间中常规的环面( 轮胎面) 上并列p 条平行线，在绕行一圈与原来线头相接以前分g 次每 次向右错位一条线，这样得到的图形称为环面结乇，。如果g 是负值，那就向左错位而不是 向右。如下图1 2 所示： 图1 2 环面结的例子 f i g 1 2 e x a m p l e so f t o u r s 如另外一种说法用坐标。在空间直角坐标系，环面上的点可以用两个角坐标9 ，0 来表 纽结群到置换群的表示 这是以x - - y 平面上的圆周z 2 + 少2 = 9 为轴线，粗细半径为1 的轮胎面。( 其上以方程 p o = q c p + 2 k r c ，p ，q 是固定的整数，k 是任意整数) 确定的图形就是乙。 双桥结这是历史上得到系统研究的第二族。 设c 。，c 2 ，c ，是一串非零整数( 可以有正有负) 。作投影图如下图1 3 左方所示，此图中 c i 表示该位置的交叉点数目，如果交叉方向与图上不同则c 应赋以负号。( 注意一共四条 线，第一，二线交叉处p a i e ( 右手) 螺旋交叉为正，第二，三线交叉处以负( 左手) 螺旋交叉为正， 第四线拉直。底部连线规则是，最后交叉的两条线在底部不相联) 。图右方是例子。这种 链环称为双桥结。 鼠。 。t 1 人字结曰2 - l z 正怀钟毒链环 图1 3 双桥结及简单例子 f i g 1 3 e x a m p l e so f2 - b r i d g ek n o t s 1 3 2 纽结理论的主要问题 纽结理论的中心问题：任意给定一个纽结或链环，怎样判断它是不平凡的，即是否 等价于平凡纽结或平凡链环。任意给定两个纽结或链环，怎样识别它们是否相同或是同 痕。纽结理论是数学学科代数拓扑的一个分支，按照数学上的术语来说，是研究如 9 9 9 p s s 一协坩 = = = x y z 一-，。j 蠹 回鄹到回一团 大连理工大学硕士学位论文 何把若干个圆环嵌入到三维实欧氏空间中去的数学分支。纽结理论的特别之处是它 研究的对象必须是三维空间中的曲线。 纽结理论的基本问题是：怎样区分不等价的纽结( 或链环) 。它是三维拓扑学的一部 分，因为曲线打结与链锁是三维空间所特有的现象( 平面上、四维以上的空间里曲线都不 会打结) ，而且它所研究的是闭曲线在三维空间中安放方式的差异，并不是闭曲线本身 ( 它们都与圆周同胚，因而彼此都同胚) 。 要证明两个纽结等价，只须用绳各作一个模型然后把一个变形成另一个。然而如果 你失败了，并不足以证明这两个纽结不等价，或许还有什么诀窍能使它们互变呢! 因此， 要证明两个纽结不等价，必须用不变量，即纽结的在变形下不改变的性质。 在纽结的研究过程中为了对纽结性质做更好的分析，数学家先后提出许多的判断方 法，即不变量法。著名的不变量有纽结的节点数，环绕数，三色性，桥数，多项式理论。这些不 变量可以对不同纽结做区分，在纽结理论的研究过程中起到至关重要的作用。通过研究得 到下表1 所示： 表1 素纽结 t a b l e1 p r i m ek n o t 交叉指标 34567891 01 l1 21 3 l 素纽结的个数 l 1 2 372 l4 91 6 55 5 22 1 7 69 9 8 8 不变量之一是纽结群，即从三维空间中挖去该纽结后所余的开集的基本群。它容易 计算，有简单的步骤从该纽结的投影图来写出它的母元和关系。然而它不易鉴别，因为用 母元和关系写出的两个群，没有普遍适用的办法来鉴定它们是否同构。这个群可以用来把 纽结分类，如果两个纽结的纽结群是不一样的，那么这两个纽结也一定是不一样的：而 且很少会有不同的纽结具有相同的纽结群。 1 4 本文的主要工作 在已有的关于置换群及纽结群的知识基础上，建立纽结群到置换群的表示。通过对 群的图的表示方法的研究得到了一种构造群表示的方法，可以得到一部分群之间的表 示。以计算机为工具，运用遍历算法得到了从特殊纽结群到特殊置换群的所有表示，并 且这个算法可以推广到更一般的置换群上，为更好的探讨纽结群提供了方便。 大连理工大学硕士学位论文 2 预备知识 2 1 纽结与链环中的基本概念 定义2 1 如果厂：x 专】，是一一对应，并且厂及其逆厂- 1 ：】，一x 都是连续的，则称 厂是一个同胚映射，或称拓扑变换，简称同胚。当存在x 到】，的同胚映射时，就称x 与 l ，同胚，记作x 兰l ，。例如：开区间( 作为e 1 的子空间) 同胚于e 1 。 定义2 2 如果厂：x l ，是单的连续映射，并且厂：x 专厂( x ) 是同胚映射，就称 厂：x 一】，是嵌入映射。 定义2 3 从一个投影图出发，经过一连串的冠，足，足初等变换以及平面变形，可 以得出另一个投影图，我们就称这两个投影图是等价的( 或者是同痕的) 。 1 9 2 7 年j w 亚历山大和g b b r i g g s ，以及独立的k u r tr e i d e m e i s t e r ，提出了如何 判定两个纽结是相同的方法：如果由一个纽结可以通过几种基本的动作变成另一个扭 结，它们便是相等的。这些运算称为瑞迈思特变换( r e i d e m e i s t e rm o v e s ) 。其中冠，r ，足是 三种瑞迈思特变换，如图2 1 所示。 r 2 r 2 或 或 或 净 图2 1 纽结的同痕变换 f i g 2 1r e i d e m e i s t e rm o v e so fk n o t 一浓 ) ( ) f 这三种变换是在投影图的局部进行的，在变换的那个部分除所画的线以外不能由别 的线介入。例如：图2 2 所示。 l 厂u n 纽结群到置换群的表示 图2 2 一个被禁止的移动 f i g 2 2 af o r b i d d e nm o v e 不是一个合法的冠变换。 上面这三种初等变换很明显都可以用挪动绳子来实现。瑞德迈思特说，反过来，如 果空间中的一个链环可以经过绳圈的移动变形变成另一个链环，那么第一个链环的投影 图一定可以通过一连串的初等变换( 以及平面变形) 变成第二个链环的投影图。 如下图2 3 为平面合痕( p l a n a r i s o t o p y ) ，属于平面变形的一种。所以由定义2 2 知，任何两个合痕的投影图都是等价的。如图2 3 所示。 q q 图2 3 平面合痕 f i g 2 3 p l a n a ri s o t o p y 纽结的等价类被它的投影图所完全确定，但是等价的纽结可以有不同的投影。 纽结理论中的一个重要问题是镜像问题，或者称为手征问题。 定义2 4 设三是一个纽结或链环。三的镜像顾名思义就是三在镜子中的像。它仍是 个纽结或链环，通常用r 表示。 当镜子在移动时三在镜子中的像也是移动的，可以不管镜子放在什么位置，镜子中 的像总是互相同痕的。所以当我们说到三的镜像时，不必指名镜子所在的位置：要画三 的镜像r 时，可以把镜子放在最方便的位置。如果给定了三的投影图，设想把镜面放在 投影图的纸面，那么立刻就能画出r 的投影图：只须把的投影图改一改，把每个交叉 点处的上线改作下线，下线改作上线就行了。 定义2 5 有手征的：如果一个纽结或链环三不与其镜像同痕，我们说三是有手征的， 例如：三叶结、正反怀特海德链环 大连理工大学硕士学位论文 定义2 6 无手征的：一个纽结或链环三与其镜像同痕，例如：八字结 定义2 7 一个链环( 或其投影图) ，如果给它规定某一种走向后它与它的逆同痕， 我们就说这个链环是可逆的，否则说不可逆的。 三叶结与八字结都是可逆的，只要在它们上面画上箭头再翻转一下就可看出。许多 简单的纽结都是可逆的，不可逆的纽结的第一个例子直到1 9 6 4 年才得到证明。 可逆性问题试问：任给一个纽结或链环，怎么判断它们是否可逆? 在实际应用中( 例 如研究生物化学中像d n a 之类的长链状分子时) ，纽结或链环上往往带有自然的标号 ( 如特定的碱基序列或氨基酸序列) ，可以看成有向链环。因而可逆性问题是一个重要 问题。研究的经验告诉我们，可逆性问题往往比手征问题棘手，因为还没有找到很有效 的不变量。 设一个纽结可以移动到某个位置使得空间中某个平面与它只有两个交点，把该平面 两侧的部分各用贴近平面的直线段封闭起来，分别得到两个纽结，我们就说原来的纽结 分解为这两个新纽结之和，例如，懒散结是两个右手三叶结之和，而方结则是一个右手 三叶结和一个左手三叶结之和。 反过来说，先给两个纽结，怎样构作它们的和呢? 首先在这两个纽结上各取一个走 向，成为有向纽结，设为毛，屯，把它们放在一个平面的两侧，分别把它们的- d , 段( 随 便那一段都可以) 拉向分隔平面，然后把它们在那平面处连通，使得走向互相协调，所 得的这个纽结为原来两个有向纽结的和，又称连通和，记作毛撑如，如图2 4 所示。 k ： k ，拌后： 图2 4 纽结的连通和 f i g 2 4 c o n n e c t e ds u mo fk n o t s 定义2 8 素纽结：不能再分解成两个非平凡纽结的连通和的纽结。例如三叶结、 八字结，环面纽结，双桥纽结都是素纽结。 定义2 9 将一个纽结取定一个方向，称为有向纽结，否则称为无向纽结。 值得注意的是，即使对于无向纽结，定义它们的连通和时也应先赋予走向，否则就 有不同的接通方法，得到的结果可能互不同痕。( 当然，如果毛，屯都是可逆的纽结， 纽结群到置换群的表示 那就无所谓了) 就像每个正整数在乘法运算下有唯一的因子分解一样，每一个非平凡的 纽结都可以分解成素纽结的连通和，而且这样的分解式是唯一的。并且任意这样的分解 是唯一的 定理1 任意两个有向纽结只能做出唯一的连通和。 2 2 置换群及群的表示 2 2 1置换群的共轭分类 定义2 1 0 对称群：设a 为任意一个非空集合，我们称a 中元素为点，a 到自身 上的一个双射成为a 的一个置换。a 上所有置换在变换合成运算下构成一个群，称a 上的一个对称群，记为s a ，当n 是一个正整数，且a = 1 ，2 ，3 ，刀 时，记为最，称为置 换群。易见置换群为对称群的子群。 定义2 1 1群中元素的共轭：在群中，我们称两个元素g 和h 共轭，如果存在一个 群中元素k ，使得k 一g k = h 。例如，在s 中，元素h = ( 1 2 ) ( 3 4 5 ) 与g = ( 2 4 ) ( 1 5 3 ) 共轭， 因为可以找到元素k = ( 1 2 4 5 3 ) 满足定义式子。 共轭关系是一种等价关系。 定理2 在置换群中共轭的元素具有相同的循环形式。 一个群中相互共轭的元素构成一个共轭类。 下面讨论在& 群中每个共轭类包含元素的个数，为此把循环结构表成以下形式 ，( 町，( 回，( 町，( 皿，( 皿，( 町，即有石个单循环，五个二 、。、，一、。，。一、。、。一 石f 2石 循环，z 个，2 循环，记= 以k 。 定理3 ( h a m e r m e s h ) 具有上述循环结构的置换数目( 即该类所含有的元素的数目) 一 ! 占纷一z ! 以! z1 2 f 2 3 f 3 加。 例如，令石= n - k ，五= 1 ，其余，：= 0 ，所以由上式可得k 循环类的元素个数 舭) = 淼= 陟- 1 ) ： 还可以写下瓯群的所有k 循环置换。例如，求墨群的3 循环，首先从4 个数1 ，2 ，3 ， 4 中选出3 个正序数( 毛 七) ( f 歹 表示上面的这个表示。 例如：图3 。4 所示。 蛆：二二 e 一一 蛆fr l 叫 鼍n 科皿昭 、1 4 2 n 砬：= ：仨：) 一一 砬”l 童2 4 1 ， 口赡一虹 一1 图3 43 l 结群到& 的一个表示 s y m m e t r i cr e p r e s e n t a t i o n so fk n o t 3 lg r o u p st o 瓯 这里是通过增加结点个数来构造3 的纽结群到置换群瓯的一个表示。可以验证此映 射是3 的纽结群到置换群岛的一个表示。 我们可以通过验证得到像上面我们用点和箭头表示的图示，只要满足以下两个条件 肯定是纽结群到置换群的一个表示。 l 。对于图中表示点的每个x 肯定都会有被代表元把其他的点作用经来，也会经过代 表元作用变为其他的点。这里蕾经过自身作用不变，还依然是薯。 2 。 对于从五，如，矗中每个点，经过代表元的作用后都回到自身。 满足上面两个条件的图都可以是代表从纽结群g 到& 的一个表示。 用同样方法可以验证在3 。结的纽结群中，当映射厂把而，x 2 ，黾分别映到( 1 2 ) ( 3 4 5 ) ， ( 1 3 ) ( 2 4 5 ) ，( 3 5 ) ( 1 2 4 ) 时，也得到了一个3 ，结的纽结群到墨的一个表示，并且此同态映射 为满同态。可是我们知道这种表示不能够通过上面那种方法画出来，这就需要我们找到一 种更有效的办法把这种表示能够完全的找出来。 3 2 计算机穷举法 通过上面的构造，我们可以看到鼠中的任意两个元素都有可能作为纽结群的一个表 示的代表元，但是当置换群的阶数很大的时候，通过手动计算就非常麻烦，而且容易遗 漏，这时我们想到了计算机编程，通过计算机可以找到从某个纽结群到最的所有表示。 根据群表示的定义，这个问题就是在最中选择有限个元素q ，仃：，o k ，编一个程序 纽结群到置换群的表示 验证是不是满足k 的纽结群的关系算式：，。，：，。，验证方法就是把 五专q ，恐一仃2 ，五一吒带入条件等式厂1 ，2 ，乙，通过计算验证等式是否成立。 3 2 1算法实现 首先给出& 中每一个元在计算机中的存储表示。瓯中共有n ! 个元，将其依次编号 o ，1 ，刀! ，存放在一个二维数组最【胛! 】【刀】中，对数组中的形如最 f 】【o 】，最【f 】【1 】，最 f 】 2 】， 最【f 】【3 】，o oee e9 & 【f 】【刀一l 】的刀个元素，恰好可表示瓯的一个置换，如单位元可表示为 最【i 0 1 = 0 ，最 i 1 1 = 1 ，e eee ee9 s , i n - 1 = n - 1 ，这样我们得到了最在机器内部的 表示方法。 接下来我们讨论具体的算法实现，过程一：计算编号为w 1 ，w 2 的两个元素乘积的编 号，过程二：计算鼠的两个元素是不是满足条件；计算机算法流程图为图3 5 所示。 n 习 在s n 中取两个元素 计算关系等式 i 寸 y i 输出相等信息 所有n j 能是古验证? 一 二 _ 丁 结束 图3 5 算法流程图 f i g 3 5 f l o wc h a r to f t h ea l g o r i t h m 大连理工大学硕士学位论文 3 2 2 例子 通过计算机的编程可以计算得到3 ，到墨，墨，墨的所有的表示： 在计算3 ，到s 的表示就是需要满足的关系式为：g = 瓴，而i 五艺毛= x 2 x l x ：) 的关系式 五屯五2 而五而， 计算得到3 纽结到s 的表示： ； ； ； 这里 代表一( 1 2 ) ，而一( 1 3 ) ，就是( 1 2 ) ，( 1 3 ) 满足( 1 2 ) ( 1 3 ) ( 1 2 ) = ( 1 3 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) 。 当上述方法利用到的时候就会得到相应的结果。， 3 ，纽结到墨的表示： 第一类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第二类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第三类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 当上述方法利用到s 5 的时候就会得到相应的结果。 3 l 结到s 5 的表示 第一类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第二类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 1 9 - 纽结群到置换群的表示 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第三类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第四类： ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 第五类： ； ； ； ； 2 0 大连理工大学硕士学位论文 ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； 注：这里的类别是根据置换群中元素的共轭关系分类。 2 1 大连理工大学硕士学位论文 4 共轭意义下的表示 我们知道在群中，在共轭作用下，两个共轭的表示是等价的。在共轭作用下，这里对于 每一个表示鼠= ，对于群g 中每个元素七，计算乜七一= 而，七一= 屯，则 皿7 = 也是群g 的一个表示，这是说e = 和日f ，= 等价。对于等 价的表示可以统一用一个来代替。 经过计算得到 结论一：3 1 结在s 3 ，s 4 ，s 5 等价意义下的表示： 1 、3 l 结到s 3 的表示只有一类： 2 、3 l 结到s 4 的表示有第一类： ；第二类： ； ； 第三类： 3 、3 l 结到s 5 的表示有第一类： ；第二类： ， ； 第三类： ； 第四类： ， ；第五类： 结论二：4 l 结在s 4 ，s 5 中的表示： 1 、4 1 结群到s 4 的表示有两类： ； ； 2 、4 l 结群到s 5 的表示第一类： ； ； 第二： ； ； 第三类： ； 结论三：5 l 结在s 5 中的表示： 1 、5 l 结到s 5 的表示第一类： ； ； 第二类： ；第三类： ； ； 第四类： ； ；第五类： ； 大连理工大学硕士学位论文 5结论 ( 1 ) 得到了一种构造纽结群到置换群的表示的方法。 ( 2 ) 通过计算机我们的到了从3 - ，4 - ，5 ，结群到s 。，s 。，s s 的所有表示，以及在共轭意义下 的所有的表示类。 2 5 大连理工大学硕士学位论文 参考文献 【1 】姜伯驹绳圈上的数学 m 】湖南：教育出版社，1 9 9 1 【2 】朱诚九群论群表示及本征方程【m 】吉林：吉林大学出版社，1 9 9 3 【3 】尤承业基础拓扑学讲义 m 】北京：北京大学出版社，1 9 9 7 【4 】1 格拉斯曼，w 迈格努斯，胡复，唐松译群和它的图象表示 m 】北京：科学出版社，1 9 8 3 【5 】d e r e ks e i p l e a ni n t o d u c t i o nt ok n o tt h e o r y m s p d n g2 0 0 8 6 】a d a m s ，c o l i nc t h ek n o tb o o k ：a ne l e m e n t a r yi n t r o d u c t i o nt ot h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo f k n o t s m n e wy o r k ：h e n r yh o l ta n d c o m p a n y 19 9 4 【7 】m h e u s e n e ra n dj k r o l l d e f o r m i n ga b e l i a ns u ( 2 ) - r e p r e s e n t a t i o n so fk n o tg r o u p s j c o m m e n t m a t h h e l v ，19 9 8 ，7 3 ：4 8 0 - 4 9 8 【8 】g b u r d e ，s u ( 2 ) - r e p r e s e n t a t i o ns p a c e sf o rt w o - b r i d g ek n o tg r o u p s j m a t h 。a n n 1 9 9 0 ，2 8 8 ：1 0 3 - 1 1 9 9 】l i v i n g s t o n ，c k n o tt h e o r y w a s h i n g t o n m d c ：m a t h a s s o c a m e r 1 9 9 3 ，1 0 2 - 1 1 5 【1 0 】d a l er o l f s e n ，k n o t sa n dl i n k s m n e wy o r k ：p u b l i s ho rp e r i s h ，1 9 7 6 ，2 0 2 - 2 1 4 1 1 j m i l n o r ，l i n kg r o u p s m a n n o f m a t h 5 9 ( 1 9 5 4 ) ，1 7 7 - 1 9 5 1 2 】k i a p p e l ，o nt h ec o n j u g a c yp r o b l e mf o rk n o tg r o u p s j m a t h z 1 9 7 4 ，1 3 8 ：2 7 3 2 9 4 【13 】m b o i l e a ua n dr w e i d m a n n t h es t r u c t u r eo f3 - m a n i f o l d sw i t ht w o - g e n e r a t e df u n d a m e n t a l g r o u p m t o p o l o g y ，2 0 0 5 ，4 4 ：2 8 3 - 3 2 0 1 4 】p b k r o n h e i m e ra n dt s m r o w k a , d e h ns u r g e r y ，t h ef u n d a m e n t a lg r o u pa n ds u ( 2 ) j 】m a t h r e s l e t t ， 2 0 0 4 ，11 ：7 4 1 - 7 5 4 【1 5 】r h c r o w e l la n d r h f o x i n t r o d u c t i o nt ok n o t t h c o j 】s p d n g - v e r l a g , 1 9 6 7 ：1 3 4 - 1 4 5 【