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摘要 张力式平台( t l p ) 和铰接塔是一种典型的流体和固体相互耦合作用的结构，这 类问题的研究是近年来的热点。简单地说，可以将结构的研究模型分成两种类型，即 刚体结构和柔性结构。其中对柔性结构的研究，主要是将平台简化成两个部分，即平 台的支撑部分，看作柔性梁；平台当作独立的刚体结构，两者铰接在起。另一种柔 性模型将平台看作粱末端的集中质量，将两者作为一个整体进行研究。本文采用了后 一种柔性模型，根据哈密顿原理建立结构的运动方程和边界条件，运用中心差分法得 到结构受到不同的涡旋脱落荷载作用下的响应，主要工作可以概括为： l 、推导出平面结构和空间结构在横向应变影响下的运动方程和边界条件； 2 、比较横向应变对结构响应的影响； 3 、初步分析考虑横向应变的情况下平面结构的振动特性； 4 、编写相应的计算程序。 关键词：流体固体相互作用梁横向和轴向耦合非线性振动涡旋脱落 a b s t r a c t t l i et e n s i o nl e gp l a t f o r mo ra l la r t i c u l a t e dt o w e ri sat y p i c a ls y s t e mo ff l u i da n ds t r u c t u r e i n t e r a c t i o n ，w h i c hi saf o c u si nr e s e n tr e s e a r c hs i m p l y ，t h e r ea r et w om o d e l s ，r i g i da n d f l e x i b l em o d e l s ，r e s p e c t i v e l y , a saf l e x i b l em o d e lt l pi sd i v i d e di n t ot w op a r t s o n ek i n d o fm o d e l sc o n s i d e r e dt h el e ga sa ne l a s t i cb e a mw h i l et h ep l a t f o r ma sar i g i db o d y c o n n e c t e dt ot h eb e a m a n o t h e ri sc o n s i d e r e dt h a tt h ep l a t f o r ma sat i pm a s s ，a t t a c h e dw i t h t h eb e a m i nt h i sp a p e r , t h el a s to n eo ff l e x i b l em o d e l si su s e d b a s e do nh a m i l t o n s p r i n c i p l e ，t h ee q u a t i o n so fm o t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n s a r eo b t a i n e d b yu s i n gt h e c e n t r a ld i f f e r e n c em e t h o d ，t h er e s p o n s eo ft h es t r u c t u r ew i t hd i f f e r e n tv o r t e x - s h e d d i n g l o a d si so b t a i n e d ，t h em a i n w o r ko ft h i sd i s s e r t a t i o ni ss h e w e da sf o l l o w s ： 1 t h ee q u a t i o n so fm o t i o na n db o u n d a r yc o n d i t i o n so ft h es t r u c t u r ei nt w oa n dt b a e e d i m e n s i o n sa r ee s t a b l i s h e db yc o n s i d e r i n gt r a n s v e r s es t r a i n 2 t h ei n f l u e n c eo ft h et r a n s v e r s es t r a i no nt h er e s p o n s ei so b t a i n e d 3 t h ev i b r a t i o nc h a r a c t e r i s t i c so ft h es t r u c t u r ei nt w od i m e n s i o n sb yc o n s i d e r i n g t r a n s v e r s es t r a i na r ea n a l y z e ds i m p l y 4 t h es o f t w a r eo fn u m e r i c a lc a l c u l a t i o ni sp r o g r a m m e d k e yw o r d s ：f l u i da n ds t r u c t u r ei n t e r a c t i o n ，b e a m ，t r a n s v e r s e a n da x i a lc o u p l e d ， n o n l i n e a rv i b r a t i o n ，v o r t e x s h e d d i n g ， p7 6 3 5 6 9 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加阱标注和致谫 的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：鳖!何年_ 7 月p 日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：啦蔓 一 2 0 0 5 年 月少日 南京理i 人学蛳h 仓义带肯集中质量的部分浸入水中粱韵振动分析 1 绪论 对流场中结构物的研究，是耦台力学研究的一个重要领域，尤其是近年来，随着 对石油需求的不断增加，人们不得不将石油开采的目光转向深海。海洋中的石油开采 平台是一种典型的固体与流体相互作用的结构物。在海洋这种自然环境下，所修建的 结构物受到的荷载作用是相当复杂的，除了正常的水流，还有风载荷、波浪冲击、海 洋涡流、地震等影响因素。其中，流场中作用于悬臂体的涡旋脱落问题就已经研究了 一百多年。前人的研究工作主要集中在以下两个方面：一是研究流场中物体周围的流 体特性；二是研究由于流场的作用，悬臂体所产生的响应。关于这类问题，前人已经 建立了许多数学模型，这些内容可以从很多的文献资料中获得。 2 历史回顾 1 1 1 柔性离岸结构 相对于传统离岸平台结构而言，柔性结构正逐渐引起人们的重视。传统的平台结 构主要考虑水流、波浪以及风载荷的影响，这种结构假定位移很小，以使能够运用线 性动力学理论来研究结构的响应问题。柔性结构容许更大的位移，一般用非线性方法 来研究。关于柔性结构的非线性动力学的研究情况，a d r e z i ne 。1 等已作了概括。海洋 平台要承担海洋环境所引起的各种作用力，以前所建立的模型，并不能适应深海环境。 在现实环境中，海洋平台必须做得非常结实，才能抵抗各种作用力，包括水流、波浪 和风载；因为随着海洋深度的增加，结构所承受的作用力随之增方。柔性结构就可以 很好地适应这种情况，它不需要特别加固就能抵抗各种较大的作用力。 本篇论文主要研究铰接塔结构和海洋石油开采张力式平台t l p 结构( t e n s i o nl e g p l a t f o r m ) 。如图1 1 所示，主要包括靠近底部的稳定结构和海洋表面的浮力结构，这 种塔状结构通过球铰站立在海洋中，球铰允许塔沿着三个方向运动。 南京j 里。i 九学顺卜论文带翻集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 c h a m b e r 图11 铰接塔 t l p 结构是另一种海洋结构，其典型形式如图1 2 。这种结构的平台甲板同位于 海平面以下的浮筒结构相联接，整个平台系统通过细长柔性柱体与海底相连接。 槲 伯i 啪“ 0 0 * 一 蚓1 2t l p 结构 铰接塔与t l p 结构的连接装置都可以简化成都分浸入水中的柔性梁。本文就是用 这种模型来研究这类结构的一些物理特性。对一般的铰接塔或t l p 结构都可以用该 模型。 1 i 2 由涡旋脱落引起的振动 如上所述，人们对因涡旋脱落而引起的结构振动这一现象的研究由来已久。这些 内容在m a r r i s ”b e r g e r 和w i l l e l ”，k i n g 4 1 ，s m - p k a y a l 5 1 等人的文章中已经有了概括。 2 南京删t 大学坝i 论义带有集中质量的部分浸入水中梁的振动分析 其后的些研究成果也体现在g r i f f i n i ，b e a r m a i q i ”，b i l l a h 【8 】等的文章中。此外 z d r a k o v i c h9 已经对以前所有涡旋脱落的不同模型作了回顾。 + 唯 + + f b w 幽13k a r m a n 涡街 图1 _ 3 是y o n k a r m a n 涡街的基本模型，其中a 表示涡的间隔，b 表示涡街的宽度。 v o nk a r m a n 认为只有a b = 0 2 8 0 ) 时，涡街才是稳定的。另外一种重要的现象就是共 振。随着通过悬臂体的流场速度的增大，涡体脱落的频率也相应以近似线性的形式同 步提高。当涡的脱落频率达到结构的固有频率时，涡脱落的频率将不再随流速变化， 并且保持在这一频率，如图1 4 所示。如果流速足够大，涡脱频率又会随流速而变化。 另一方面，在共振区域，结构会发生大的振动，这种现象早已引起很多人的注意。根 据g u p t a 等1 的研究，有关涡旋脱落引起结构振动的文献主要分成三种情况：第一 种是尾迹流与结构的耦合模型，其中结构与尾迹流的摆动在方程上主要通过某些关联 项而相互耦合；第二种情况主要依赖于试验中参数的测定：第三种情况主要是运用单 自由度动力学方程其中包括了空气弹力项。 啼乙。 一“lr r 一| |荭 南京删t 大学坝l 论文带有集中质量的部分浸入水中梁的振动分析 本征频率 流速 图1 4 涡旋脱落频率与流速的关系 尾迹流与结构的耦合振动模型 这种模型是最常见的。根据h a r t l e n 和c u r r i e t ”1 的叙述，该模型是由b i r k h o f f 和 z a r a n t a n e l l o ”1 提出来的。早期的模型是由b i s h o p 和h a s s a n 1 、s k o p 和g r i f f i n ”1 、 1 w a n 和b l e v i n s ! ”1 等人建立的。例如h a r t l e n 和c u r r i e 运用消散系数( 时间的函数) 建立了柱体的弹簧质量阻尼方程，然后又建立了消散系数的二阶偏微分方程，并选 择适当参数使方程结论同实验观测的结果相吻合。其方程为 x ：十2 磬：+ x ，= a 6 0 0 2 c l c n ” + 云( 城2 旷b x ； - ， 其中c o 。、口和f 是由试验确定的参数。a 和b 的取值决定于实验数据，并使之与实 验相符合。 h a r t l e n 和c u r r i e 对模型作了进一步的改进。在对尾迹流与结构的耦合模型的研究 中，常常会用到v a nd e r p o l 振子。运用这种方法的研究人员包括g o s w a n n i 等 1 、s k o p 和b a l a s u b r a m a n i a n ”2 。b a l a s u b r m n a n i a n 和s k o p 】将研究又推进了一步。他们考 虑了v a i ld e rp o l 振子的失速参数问题。b a r h o u s h 等f 2 2 将v a i ld e r p o l 振子运用到二维 有限尼网格中，得到了稳定状态下出涡旋引起振动问题的描述，但是这种计算花费了 4 南京理t 火学帧1 沦史带何集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 大量的机时。g u p t a 等1 确定了v a i ld e r p o l 尾流振子模型的重要的参数。但是对于他 的另一种类型的涡旋脱落问题的讨论，b i l l a h i ”认为v a nd e rp o l 振子不能描述出流体 与结构运动之间的相互作用，也不能描述流体与固定结构的相互作用。b i l l a h 给出了 自己的模型 卓5 + 2 善甜。寸1 + 甜2 q 1 + 2 a q j q 2 + 4 , b q 2 q i3 + i + 叼j 3 k 2 2 ：0 ：+ ，( g ：，母：) + ( 2 础，) 2 q ：+ a 日，2 + 芦日，4 2 铀，+ 田。3 b 存：= 0 ( 1 2 ) 其中0 1 。表示系统的本征频率，0 2 - ，为涡旋脱落的频率，f ( q ：，口：) 为任意的方程，口，芦， 是与问题相关的特定常数，0 ，q 2 ) 分别表示结构与尾流的坐标。 l u 等【2 ”在振子模型中引入了多尺度的方法，并在运动方程中引进了一个隐含的 流体变量，根据流体和固体耦合程度的不同，可以获得结构基本的响应和谐波情况。 z h o u 等1 2 4 1 也运用尾流振子的方法得到了迭代形式下的尾流与结构的响应。k r e n k 等 ( 2 5 1 运用能量传递法建立了一种耦合振子模型，其方程为 g 咄o o g o d ：+ o ) 0 2 x ) = i 1 d z 警y 十z 小瓮芋卜2 w 卜i 咖，警， ， 其中为柱体长度，d 为直径，p 为流体的密度，u 表示流速，y 为无量纲的藕合参 数w 表示流体质量微团m ，的横向运动，其中流体的阻尼系数为二次的。模型的参 数可以从实验中获得，而且该模型还反映了在共振区的上端和下端的分岔情况。他们 认为共振区域是不稳定的，并会在两个不同振动模式之间转化。 基于实验的力学系数法 这种类型的模型使用的是单自由度结构，其力学系数的选取与实验有关。k i m 和 l e e 脚1 建立了一种模型，其内部张力随高度增加。研究表明，这种模型中，结果对c 。 和c 。很敏感( c 。和c 。分别是牵引力系数和力矩系数) 。 c h e n 等 2 7 1 运用非稳定流理论发现了流体刚度及阻尼系数，并用这些系数得到了 单自由度振予的浮力系数。流体阻尼的出现使结构能在共振区域附近发生大振幅的振 市京理t 人学f 咖l 论义带自集中质量的部分浸八水中梁的振动分析 动。c a i 和c h e n t ”1 运用相似的方法来研究由钢缆拉伸的高烟囱，其结果与实验一致。 实验数据与流体动力学 上面介绍的三种类型都是以实验结果为依据，从而选定适当的参数，并使结果同 实验相对比。下面的研究焦点要么是流体参数的测定，要么是结构响应的测定，要么 是尾迹流的动力学描述。 s i b e t h e r o s 等1 研究了摆动圆柱体后面尾流的动力学特性。他们的实验流体分为 等速、调和和双调和三种类型。其结论也被v e n t r e ”1 证实。g o s w a m i 等l lt l 主要工作 对是实验数据的采集，希望能建立新的涡旋脱落模型。他们发现在共振区域，尾流的 反馈对柱体振动特性及尾流速度都不敏感，同时，他们还发现结构振动和尾流振动的 耦合并不能稳定再现。 s a r p k a y a i 研究了排成一列的受约束振动柱体的横向运动情况，其结论和用力系 数法一样可以预测共振区域的起始点。但这种方法的预测不能推广到两个方向同时振 动的情况，也不能推广到临界流体的情况( 其雷诺数很高，处于可以产生湍流的临界 点) 。 h o v e r 等m 1 研究了一种被绳索固定的柱体由于涡旋作用而受到的影响。他们用力 反馈法和实时数值模拟来研究涡旋引起的振动。得到的数据证实了以前的实验结果， 包括相位、振幅等。研究表明，其动力学谱位于单模态和多模态振动之间。 n a k a g a w a 等1 检测了空气中不同偏转角情况下的圆柱体。流场速度和作用力都 可以用余弦法来表示，即柱体的横向流速分量为u c o s 0 ( 0 为偏转角) ，而不是自由 流速u 。当0 = 4 5 0 时，其结果同前人的研究相吻合。 l i n 和r o c k w e l l 【3 4 1 研究了全浸入水中柱体的实验情况，其中柱体末端同水平面平 行。他们主要研究了末端到自由表面的距离对涡旋的影响。实验表明，涡的好几个方 面都与两者之间的距离有很大关系。 c h r i s t e n s e n 利d i t l e v s e n i ”1 研究了风洞中的弹性柱体的一隋况。他们运用随机变化的风速来模 拟真实的湍流。实验得到了随机共振的图像，包括了共振区的上下限的分布情况。 1 1 3 其他的研究 u s c i l o w s k a 和k o l o d z i e j 1 用e u l e r b e r n o u l l i 梁理论来研究末端带集中质量的部分 南京埋工人学倾卜论文 带有集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 浸入水中的塔状物。为了考虑末端附加质量的影响他们运用了变密度方程，所谓变 密度是指浸在水中的部分密度比未浸入水中的大。他们解决了这种情况下的自由振动 问题，并得到了几组不同的频率和模态方程。 b a r a v i 3 7 1 ，b a r - a v i 和b e n a r o y a 【 “4 ”建立了铰接塔的非线性模型。他们对比了刚 性模型和柔性模型。对网4 性模型，主要研究其平面和空间运动，考虑的作用力包括风 载、波浪、水流、波浪撞击，还考虑了c o r i o l i s 加速度的影响。其结果认为波浪和水 流对结构响应的影响最大。他们还建立了柔性塔的横向运动模型，并作用了同刚性模 型相同的载荷，且荷载的大小也是一致的。在这两种模型中都使用了经验公式，比如 m o r i s o n 方程【4 2 】。 a d r e z i n 1 将b a r a v i 和b e n a r o y a 的一些研究方法运用到t l p 结构的运动上，其 每个独立的支撑柱都可以看作一个铰接塔，其作用力也相似。k u c h n i c k i 和b e n a r o y a t “i 研究了部分浸入水中的柱体在涡旋脱落荷载作用下的横向和纵向耦合振动的问题。在 他们的论文中，主要是运用h a m i l t o n 原理的m c l v e r 描述，建立柔性离岸结构的横向 和纵向耦合运动模型，并将得到的结论同实验的数据进行比较，最终的结论是比较可 靠的。h a n 和b e n a r o y a l 4 5 。6 1 研究了二维状态下柔性离岸结构的自由振动和受迫振动。 此外，h a n 和b e n a r o y a l 4 7 1 还研究了复杂离岸结构的空间振动问题。该论文中，作者 用与k u c h n i c k i 和b e n a r o y a 相同的方法建立柔性梁的运动方程，并将结果同剐性结构 作了深入的比较。本文的内容正是在他们的研究基础上，作了迸步的局部深化，虽 然研究的不是很全面，但是从结果上来看，方程中某些局部项对结果还是有比较大的 影响的。 1 1 。4 梁的四种研究模型 对于梁的研究模型，概括起来主要有以下四种 梁模型弯矩 侧向位移剪切变形转动惯量 e u l e r - b e r n o u l l iyynn r e y l e i g h yyny s h e a r yyyn y i m o s h e n k oyyyy 其中，y 表示包括该项，n 表示不包含该项。 南京脞1 大学嫉 沦文 带南集中质量的部分爱 水中梁的振动分析 1 1 5h a m i l t o n 原理的m c l v e r 描述 m c i v e r m 6 0 i 对h a m i l t o n 原理进行了扩展，由此建立的模型也是本文所重点讨论 的。m c 【v e r 描述是他将h a m i l t o n 原理运用到变质量系统而得到的结论。在他的论文 中，主要关注其内变形。根掘虚功原理，有 砚+ 姗一三k 以毋沙= o s ， 这里l 为系统的拉格朗日( l a g r a u g i a n ) 函数，由系统的动能和势能表示( t - v ) ，却 表示系统所作的虚功，毋代表虚位移，只。( f ) 表征空问题，p 为r 处的点密度，h 为r 处的流速。对一个封闭系统，在两个时间点t 和f ：之间积分，可以得到h a m i l t o n 原理， 但考虑到r ，和t ：处打= 0 ，因此有 jf 1 l d t + r o d t = 0 ( 1 ，6 ) m c i v e r 所确定的空问体风( ，) 包括两个表面，即开放表面b o ( f ) 和封闭表面吃( f ) ，并 且鼠( r ) 表面上的法向流速为v ”盯反映了该表面的外法向。如果r o ( r ) 与矗。( f ) 一 致，那么根据r e y n o l d s 传递法则，有 旦d t 您旁= 旦d t 倪幽+ ) 倪( 矿一“) n 西 ( 1 7 ) 抵，p )峨c f )j l f ) 、 豫表示所要研究的从某一控制面通过的物理量。将方程( 1 7 ) 代入( 1 5 ) 可得到开 放系统的虚功原理 昆+ 椰十一j p o _ 扫x y 一“) ，n 幽一罢i “，】p o 毋) 咖= o ( 1 - 8 ) 如果在两个时间点上积分，可得到变质量系统的h a m i l t o n 原理 占f 1 出+ f “6 h d t ：0 ( 1 9 ) m j r 这罩矾= 新+ l m ) p ( u 毋矿一“) 月d s ( 1 1 0 方程( 1 ，9 ) 比( 1 6 ) 具有更广泛的意义，对质量不变的系统，b 。( f ) 取值为0 。 1 2 本文研究内容 在本文中，主要研究的对象是深水环境铰接塔和张力式平台结构。根据b e n a r o y a 南京垲1 _ 人学硕l 。论：业带毒集中质量的部分提入水中粱的振动分析 等1 4 3 - 4 7 1 的研究模型，将结构简化成部分浸没水中的柔性梁，顶端具有一个集中质量， 底端通过弹簧铰接，考虑的荷载主要有自重、涡旋荷载，没有考虑水流、波浪、地震 荷载、风荷载等的影响。首先根据克希霍夫假定得到位移场的表达式，运用格林 ( g r e e n ) 应变得到结构的拉格朗目函数，通过扩展的哈密顿原理建立运动方程和边 界条件，并对方程用中心差分法处理。然后将本文结论同文献【4 4 相比较讨论部分 因子项对结构响应的影响，以及本文情况下结构的一些振动情况。具体安排如下： 第一章为绪论，综合阐述了离岸结构在海洋环境下的振动情况研究现状，有关涡 旋荷载的情况，和相关研究的理论内容。 第二章主要研究的是二维状态下一端带有集中质量的柔性梁的振动情况。本章着 重考虑在横向应变的影响下，结构的振动特性与不考虑横向应变时这两情况下的差 异，并且研究了考虑横向应变下，结构的相关振动情况：功率谱、速度位移曲线等。 第三章着重研究三维状态下带有集中质量的柔性梁的振动情况。在前人的研究中 忽略了结构应变中的某些项，本章考虑了这些项的影响，对比两种情况下结构振动响 应曲线。 结束语中，全面概括了本研究内容的特点、优势以及不足，同时指出了下一步研 究的方向。 南京理r 人学坝j 论文带有集中质嚣的部分浸入水中粱的振动分析 2 平面结构振动 2 1 引言 在日常生活中，我们经常见到流体环境下的结构物，比如说烟囱、桥墩、比较高 的楼层，还有一类就是像第一章介绍的海洋石油开采平台。这种结构物受到周围环境 的影响比较大，一般情况下，除了受到重力作用，还有气体、流体的运动，包括层流、 湍流、风载等等。鉴于这种结构物的重要性，因此我们有必要对这种结构作深入地研 究。 在本文中，我们主要关注的是海洋石油平台、交接塔这种结构体。从第一章我们 已经知道，前人已经对这种结构作了大量的研究，主要是把结构看作刚体，也有少量 的文献是当作柔性体来研究。在这旱，我们作如下简化：结构的上端看作是一个集中 质量，中间看作是一个柔性梁，下端通过铰链铰接，同时还受到弹簧作用，这样结构 就可以在平面内作运动。当然，这种结构只是部分浸入水中的，简图如下 2 2 结构运动方程 2 , 2 1 假定与理论 了| l 。一 一 入 图21 离岸结构简图 1 0 南京膛t 人学坝h 色：迁 带f 】集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 在前人的文献中，大多是对刚体结构的研究，对于海洋结构而言，这种刚体结构 有很大的限制。一般情况下，这种结构只能用在深度小于5 0 0 米的浅海处。随着海洋 深度的增加，这种结构为了抵抗海洋作用力，就必须做得很大，这样就会大大增加成 本。而柔性体结构，不需要很大的体量，就能达到同样的效果。 对于这种柔性结构，为了研究的方便，我们做出一些假定。首先，结构的变形较 小，但是仍然是有限变形。根据这一假定，我们可以用非线性理论来研究该系统。其 次，我们忽略截面变形的泊松比的影响。对于流体我们将之看作理想流体，没有粘 性。对于流体对结构的作用，我们将之看作外力，同时结构还受到自重和浮力的作用。 整个的研究过程，我们根据克希霍夫假定得到结构的应变和应力，根据这些量， 再运用拉格朗r 方程和h a m i l t o n 原理，建立结构的运动方程和边界条件。 2 2 2 位移、应变和应力 图2 ，2 梁的参照构型和当前构型 对于原长为的梁，我们建立其参照掏型和当前构型，如图2 2 ，虚线表示结构 的参照构型，实线是当前构型。现在我们来研究梁上x 处的结构变形。 根据克希霍夫假设，可以得到下面的位移 h 1 ( x ，y , t ) ：“( ，f ) 一y o v ( x , t ) “2 ( x ，) = v ( ，) ( 2 1 ) 这里，u ( x ，f ) 表示轴向的变形量，v ( x ，f ) 表示横向变型量。 ，表示当前构型的某个正 南京挫i 一人学坝 论文带有集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 截呵上的点到其中一l l , 轴的横向距离。假定该截面为中心对称，同时结构发生有限变形 因此，根据格林应变( g r e e ns t r a i n ) s w7 1 瓦0 u 1 + 誊+ 薏器， 所以 | 1 = f w = “一”+ 1 2 v 2 2 2 3 动能与势能 2 2 = w = 1 2 v “( 2 2 ) 3 3 = s z z = 012 = f 册，= 0 g - 1 3 = 6 x z2 0 2 3 = s 20 一般情况下，变n i l ；q 程为 飓。= 知以瓯+ 2 g 毛b 。d 其中 g 2 丽e 垲 2 ( 1 + v x i - 2 v ) 考虑到本文不计截面形变的泊松比的影响，即y = 0 并且 g q = a 8k k 6 q + 2 g e h 盯l l = 丑0 i l + 占2 2 + s 3 3 ) + 2 g e i l = ( 五十2 g b l l + 五占2 2 + 拈招= e 占 口2 2 = e s 2 2 所以 旭。= i e “g j + s 三妞。锻 其中，“。分别为梁的长度和截面面积，也即 腿。扩舭 ( u - y v + 驯2 + 2 卜 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 查塞些王查堂丝i 丝兰 萱塑壅! 堡里塑堑坌望垒查! ! 堂堡蔓堡壁旦一 ( ，) 表示对x 的一阶导数。在积分时，由于截面是对称的，所以，j ，的奇次项将会消 失，y 2 的积分为截面惯性矩，即 吼= oy 2 d a 。；l o 代入式( 2 5 ) 得 p ，。：考r a 。( “+ ；v “) 2 + a 。( 三1v “) 2 + o v 2 d - x c z s ， 结构的下端弹簧铰的势能可以表示为 p 。x ：渺 这里，口是弹簧的扭转兔，根据小角度假设，可近似等于v ( o ，f ) 。 上面我们得到了结构的势能的分量，下面主要是动能。这里的动能主要来自两个 方面，其一是顶端的集中质量，其二是梁的本身动能。其中，梁的自身动能为 k e = 吉n p n 砬龇削 ) 具体地， k e 5 拍l 。p k ? + i 舭捌 汜。) = 鲁i ：i b 。02 ) “豇 同样，在这晕y 的奇次项将会消失，j ，2 的积分为截面惯性矩。集中质量的动能为 k e 。= ；m ，q2 + i 2 ) l ( 2 9 ) 拉格朗只函数可表示为 = k e p e = ；j ：出。q 2 ) “铲k 一丢e f 爿。( “+ ；v “ 2 + 4 。( 圭v “ + l o v 2 t d x 2 1 。 + 妻m ，( i2 ) 1 “一丢( v 以) k ， 至此，我们已经获得所有的动能和势能的分量以及拉格朗日函数。下面主要是运用 h a m i l t o n 原弹建立；h - 程。 2 2 4 方程与边界条件 南京删j 人学坝1 论文带有集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 艰甜h a m i l t o n 原埋 巧r 上础+ f2 d w d t ：0 ( 2 ，1 1 ) jr j r - 其中，、1 ：表示时间点，l 表示拉格朗日函数，表示外力的功，可表示为 d w = r 【疋函+ 厶却】村 ( 2 1 2 ) 正表示x 方向所受到的荷载， 表示y 方向受到的荷载。下面，我们先来确定式 ( 2 1 1 ) 的拉格朗f 1 函数部分。 占j ：西= 占j ：1 7 砖j ：p b 。02 ) “k 一；j ：e 爿。( “+ j 1 v7 2 ) 2 + 一。( ；v 2 ) 2 + 1 0 v 2 ) x 。：， + ；m ，0z ) 2i 印一；t ( v ，z ) l 。 d t 其中，r 。，f ，表示时间点。为了确定表示这些项，我们作以下的分类来分别计算 ( i ) a 扎f 1 2j ：f 倒黝= f ，r 脚。“巍删 2 l ，。卜i ：j i ：& d t d _ x = 一r 例。j ：| r “& d t d x ( 2 。) 同理 j f ，r 丢剧黝一髓倒。i 黝 ( 2 1 5 ) 6 姓1k l - f2 d x d f _ 娶毫列w d x d t 2 ：p 川；一p 删p 2 c 一西出i ：一f 2 p 4 0 m i ；2 一：c ：西i 8 疵科 ( 2 1 6 ) = i i - p jz 铲6 v d l 矗+ d j ：l ：_ 毫矿& d x d t j f 去r 删。( “7 + 引2 黝 = j i7 肌。舭+ 互1v “p “西脚 ( ：，) 甘= 中 1 4 南京型丁人学坝i 。论史带育集中质量的部分浸入水中梁的振动分析 f ，钒小+ j 蹴黜 j ：l ，幽。卜6 u 圳一“尉。卜 一 亿 c 尉。小_ 1 “p 锄 只倒。( “互1v “ v 鼬卜r 删。( + 妒矿) ( 。) 占聪胁0 v z 2 ) d x d t = f ：l ，j ：p w 黝 = f ，：v ”却研l j c ，：( v ”) a t i o + r c l ( v ”) ”面幽砌 ( 2 2 0 ) ( 5 ) 6 北心o2 川k ，一j 1t 叶卜 = 1 ：7 一m ，0 国+ f 却) l k ( v 面) bd t 占聘r 删。( 护 2 黝 阶妒西删 = 。c1 。e a o v , s 西圳一cr 三翻0 v ，2 v ”& d x d t 所以综合为 r 卜c 刖巾( “峥2 v7 ) + v 卜 “翻。卜互1v “脚卜 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 一“却+ 剧。卜i 1v 。卜( 脚”y l e a 3 陆出 c ：粥， + j “m ，i ( 上，f 胁( l ，f ) + 。( ，f 协( 工，f ， v 一2 +“ ， +：| 甜脚一 l 如 n k i i 斫 忆 占 南京删t 人学坝l 睑义带有集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 一f ( e ，。v w ) 咕d t o 陋w ( o ，f 册 根据h a m i l t o n 原理 万i j 、7 乜+ 瑚= 0 所以，我们可以得到以下的运动方程 脚一m “峥2 ) 卜 脚一i e a 。( “_ 1v “) v 勘) 帆v 一- 3 e a o v r2 v h = 工 同时，还有边界条件 u ( o ，r ) = 0v ( o ，f ) _ o e 1 0 v ”1 = 0 一目。v ”+ 加7 k = 0 m _ 1 蚂小，= 。 ：i + e 4 。( “十j 1v “) v 一( e l ：v ”，+ 1 e a o v 3 + m p 9 i = 。 2 3 有限差分法与数值处理 ( 2 2 4 b ) f 2 2 s t 3 上面一节我们已经建立了运动方程和边界条件，下面的主要工作是对方程和边界 进行适当的处理，以便分析。为此，我们根据有限差分法，将结构分成n 等份，并 且包括一l ，o n + i ，n + 2 这四个点，整个结构如图2 , 3 所示。下面我们要根据边界条 件来确定“i 、“m 、v o 、v 1 、v 和+ 2 ，这里v ，表示点，处的横向位移v 。 研 0 d 0 渊 冽 娜 冽 地 g 南京理t 人学坝 论文带响集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 i = n + 2 i = n + i i = 2 i = l i = o i ：一i i = 一2 图2 3 结构的有限差分离散化 根据边界条件( 2 2 5 a - b ) 我们可以得到 “1 = 0v 【= 0 ( 2 2 6 ) 由中心差分法，要确定v 就需要知道v ? 和( v ? ) ”。由于v = 0 ，运用差分，由式( 2 2 5 c ) 可以得到 ”+ 1 = 2 v 一v 一i ( 2 2 7 ) 根据式( 2 2 5 d ) ，考虑到v ，= 0 ，可以得到 ：kh-2e10vo v ，( 2 _ 2 8 ) 2 k h + 2 e 1 ”2 (2_2sjo 这旱h 表示两个相邻点之间的距离。下面由边界条件( 2 2 5 e ) 得到顶点处的相互关系 ，砜r 1 。飞一2 一等“。 眩2 ， 同样根据式( 2 2 5 e f ) 可以得到顶点横向位移之间的关系 ：叫”小：+ 等h 等卜 一百2 h 2 m r ( v n - - v n _ i 皿。十i a t ) ( v 。一) 3 ( 2 3 。) 从上面关系中我们可以清楚看出结构端点处横向和轴向是怎样耦合的，并且，以上的 整个分析过程中，误差的等级为h2 ，即相邻端点之间距离的平方 ，l。，t 。 丝e 南京理t 火学硼h 仑文 带囱集中质量的部分浸入水中梁的振动分析 根据方程( 2 2 5 d ) ，考虑到v ( 0 ，f ) = o ( t ) ，可以得到 0 ：堕v m ) 、。 k 、。 因为 以町) _ v 阳) = 盟掣 以及式( 2 2 8 ) ，式( 2 3 1 ) 可以写成 阶堕k h 2 怫l k h 一- 2 e i o 。p 1 ) 2 4 结果与讨论 2 4 1 结构参数与受力 ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 表2 1 给出了本章研究的塔的基本参数，本章中结构被分成2 0 个等长的小柱体， 所受到的横向作用力只是作用在水面以下：在垂直方向上受到浮力的作用，同时也考 虑了结构的自身重量，当然，为了研究的方便，这些作用力都是作用在结点上，而且 不计三维的影响。 表2 1 结构参数 物理量 数值 杨氏模量 3 1 7 4g p a 横截面面积1 1 9 6 1 0 4m 2 截面惯性矩 8 5 0 9 1 0 一m 4 弹簧铰刚度9 7 0 9 8nm r a d 塔长度1 2 5 0 9 m 水深度1 0 6 6 8 m 集中质量01533 k g 塔的材料密度1 1 3 6k g l m 3 茸点数 2 0 为了将本文的研究内容同前人的作对比，本文结构的参数值选自文献 4 4 】，而且， 所用的涡旋脱落荷载为正余弦的，因为这种形式前人做过实验，具体内容参看文献 】r 南京耻t 人学坝i 论文带有集中质量的部分浸入水中粱的振动分析 【4 4 】，所以在本章以1 = 的图表中，如果没有特别说明，文献均是指文献【4 4 。这里， 我们对比了几种不同荷载作用下结构的振动响应。为了与实际结构转角较小的情况相 符合，我们希望结构的横向变形控制在1c 之内，转角正切值大约在0 0 0 8 以内。 2 4 2 结果与分析 首先，如果涡旋荷载为f = 0 ，o l s i n 2 tn 时，梁的变形情况如下图2 3 2 ，6 所示。 m f 4 1 t “州唰t ，、 幽2 3 轴向变形 ooc s1 0s 20 。d 。2 。 划 m 制 _ od 图2 ，4 横向变形 图2 5 轴向变形速度图2 6 横向变形速度 从图2 3 2 6 可以看出，在荷载的作用下，结构变形没有明显的变化，也即：对振动 响应的影响不明显。如果涡旋荷载比较大，比如f = o 0 6 s i n l o tn 结构响应如图 2 7 2 1 0 。 团 团一 圈 一 一二 一” 三一川埘 1 川川川jiy 一 川iol 一 川il 川mii， 一， 川川l 一 川 一 川jl ijiijiiiiiii r 川百 h州川i0i i川川iijf 一 川0 一 _jiiiiiiil 一5川= _=川川ii0 一 川川川川y 一 川叫m川if 一 j 南京j 坐t 人学坝i 论文 带有集中质量的部分浸八水中梁的掂动分析 幽2 1 i1 2 5s 轴向变形 图2 1 212 5s 横向变形 南京脞丁夫学锁l 沦曼带有集中质量的部分镁入水中粱盘勺坂动分析 幽2 13 l2 5s 轴向变形速度 图2 1 41 2 5 s 横向变形速度 从图2 7 、2 1 可以看出，两神情况下轴向变形相差在微米级，横向变形的差剐也在 大约o 5 m m 。也就是说，在不同的涡旋频率下，s ，对结构响应的影响较小，这种影 响在实际工程中可以忽略。如果荷载的幅值不同，对结构的影响可从下图中看出来， 其中荷载为f = as i n l o tn ，考察的时间点为1 2 5s 时刻。 0 4o 0 0 口1 4 o 卫 “n 5 o j 拦” t 5 舶 幽2 ，1 91 2 5s 时轴向变形 圈22 0t 2 5 s 时横向变形 幽2 2 11 2 5s 时轴向变形速度 幽2 2 2j2 5s 时横向变形速度 从图中可以看出，如果考虑横向应变，荷载对结构的响应影响比较强烈。鉴于小角度 的假定，为了使横向变形控制在1c m 的范围内，下面只分析振幅不大于0 1 4 n 的情 况下，f ，对结构响应的影响。从图21 9 中看出，两种情况下轴向变形的最大差值在 2 l 翌 二人 。=二“v一 扁京螋t _ 人学坝l 论文带奇集中质量的部分浸入水中梁的振动分析 o 0 1 川m ，相对于梁的总长而言，变形很小。图22 0 中横向变形受振幅的影响比较大， o1 4 n 时差值在5 m m 左右，s ：对横向变形影响显著。受s ：的影响，结构变形的速 度对振幅变化敏感，轴向变形速度的撮大的差值在7 5 聊m s ，横向变形速度的最大 差值达到了o 1 m ，s 。 幽2 2 32 s 时轴向变形图2 2 42 s 时横向变形 图2 2 52 s 时轴向变形速度图2 2 62 s 时横向变形速度 图2 2 3 2 2 6 反映了2s 时刻结构响应的对比情况。从图中看出，为了使横向变形控制 在lc m ，涡旋荷载的幅值要小于o 1 4 。从图2 2 3 中可以看出，2 j 时刻结构响应的 差别最值在o 0 2 5 脚。图2 2 6 中横向变形的最值约1 0 m 拼，两者之阕的差值约7 f t i , n 。 速度的差别比较明显，轴向变形速度的差值约1 1m m s ，横向变形速度相差约 0 2 5 m s 。因此，在研究结构的振动响应的时候，横向应变“对结构响应在不同涡 旋作用下有不相同的影响。 上面着重考虑了横向应变对结构的振动响应的影响，从上文的讨论看，可以得到 以下结论