（基础数学专业论文）亚纯函数的唯一性问题.pdf

福建师范大学陈侵凡填士学位论文 摘要 1 9 2 5 年，rn e v a n l i n n a 建立了亚纯函数的两个基本定理，开始了值分布理论的 近代研究几十年米，亚纯函数的值分布理论的新发展都是以n e v a n l i n n a 理论为基 础的在此基础上，本文研究了亚纯函数的唯一性问题全文共分如下六章： 第一章为绪论我们扼要介绍n e v a n l i n r m 理论 在第二章中、我们研究了亚纯函数的导函数具有四个公共小函数的唯一性问题， 改进了邱淦弟，袁文俊等人的结果，并解受丁李平等提出的一个猜想， 在第三章中，我们研究了具有两个或三个公共小函数的亚纯函数及其微分多项 式的唯一性问题，推广了邱洽弟等人的结果例子表明了定理所给的条件是必要的 在第四章中，我们研究了具有一个公共小函数的整函数及其微分多项式的唯一一 一眺问题，推广rr b r i i c k ，仇惠玲，a m e rhi ia 1 一k h a l a d i 等人的结果 在第五章中，我们研究了亚纯函数权分担三个公共值及导函数权分担一个公共 值的唯一陆问题，改进了k2 - o h g ea m e rhha i k h a l a d i 等人的结果 在第六章q ，我们研究了具有五个公共小函数的亚纯函数的唯一性问题推广 并改进了n e v a n l i n n a ，李玉华和乔建永等人的结果 关键词 亚纯函数，唯一性，整函数公共值，公共小函数，微分多项式 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 a b s t r a c t i n1 9 2 5 ，r n e v a n l i n n ae s t a b l i s h e dt w of u n d a m e n t a lt h e o r e m so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dt h es t u d yo ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm o d e r nt i m e ss t a r t e d s e v e r a ld e c a d e s ，t h ef u r t h e ra n dn e wd e v e l o p m e n to ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o no fm e r o - m o r p h i cf u n c t i o n sw o u l da l w a y sb eb a s e do i ln e v a n l i n n a st h e o r y i nt h i sp a p e r b a s e do nn e v a n l i n n a st h e o r y is o m ep r o b l e m si nt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc a nb es t u d i e da l s o ，t h ew h o l ep a p e ri sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ro ft h ep a p e rs t a r t sf r o mt h ep r e l i m i n a r ya n ds o m eb a s i ct h e - o r e n l sa n dr e s u l t si nn e v a n l i n n a st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i nc h a p t e r2w ed i s c u s st h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so ft h ed e r i v a t i v e so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r ef o u rs m a l lf u n c t i o n s ) w h i c hi m p r o v e ss o m er e s u l t sg i v e n b ygdq i u ，wjy u a na n ds oo n m o r e o v e r ，w er e s o h , eo n ec o n j e c t u r ep o s e db y pl ie t c i nc h a p t e r3w ea r em a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so fam e r o m o r p h i cf u n c t i o na n di t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a ls h a r i n gt w oo rt h r e es m a l lf u n c t i o n s w h i c hg e n e r a l i z e ss o m er e s n l t sg i v e nb ygdq i ua n ds oo nm o r e o v e r t h ee x a m p l e s s h o wt h ec o n d i t i o no fo u rr e s u l t si sn e c e s s a r y i nc h a p t e r4w ei n v e s t i g a t et h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so fae n t i r ef u n c t i o na n d i t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a ls h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n ，w h i c he x t e n d ss o m er e s u l t s o b t a i n e db yrb r f i c k ，hlq i u ，a m e rh ha i k h a l a d ia n ds of o r t h i nc h a p t e r5 ju s i n gt h ei d e ao fw e i g h t e ds h a r i n g jw ep r o v es o m er e s u l t so n u n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r et h r e ev a l u e sw i t ho n es h a r e dv a l u e f o rt h e i rd e r i v a t i v e s ，w h i c hi m p r o v es o m er e s u l t sg i v e nb yk t o h g e ，a m e rh h a 1 k h a l a d ie t c i nt h el a s tp a r to ft h ep a p e rw ed e a lw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r ef i v es m a l lf u n c t i o n s ，w h i c hg e n e r a l i z ea n di m p r o v es o m e r e s u l t so b t a i n e db yn e v a n l i n n a ，yh l i ，j yq i a oa n ds oo n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i ef u n c t i o n ，u n i q u e n e s s 】e n t i r ef u n c t i o n ，s h a r e d v a l u e ，s h a r e ds m a l lf u n c t i o n ，d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l i i 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 中文文摘 本文研究亚纯函数的唯一性问题，首先，研究了亚纯函数的导函数具有四个公 共小函数的唯一性问题，改进了邱淦弟，袁文俊等人的结果，并解决了李平等提出的 一个猜想其次，研究了具有两个或三个公共小函数的亚纯函数及其微分多项式的 唯一性问题，推广了邱淦弟等人的结果例子表明了定理所给的条件是必要的第 三，研究了具有一个公共小函数的整函数及其微分多项式的唯一性问题，推广了r b r f i c k ，仇惠玲，a m e rh ha 1 一k h a l a d i 等人的结果第四，研究了亚纯函数权分担 三个公共值及导函数权分担一个公共值的唯一性问题，改进了kt o h g e ，a m e rh ha i k h a l a d i 等人的结果最后，研究了具有五个公共小函数的亚纯函数的唯一性 问题，推广并改进了n e v a n l i n n a ，李玉华和乔建永等人的结果 具体结果有- 在第二章中，我们得到了以下结果 定理21 1 设，与g 为两个超越亚纯函数，为一个正整数，6 j 0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果6 0 = 1 ，2 ) 为，( 2 ) 与9 ( ) 的c m 公共 小函数，i , j ( j = 3 ，4 ) 为，( ) 与( ) 的i m + 公共小函数， ( i ) 若i , j o o ( ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，则，( ) 5 9 ( “ ( i i ) 若q 4 i 。，则，( ) 5 9 ( ) 或者 ( ，( 。) 一( 1 3 ) ( 9 ( ) 一a 3 ) i ( 2 一a 3 ) 2 且o 。与0 3 为，( 。) 的两个例外函数并满足“l + a 2 - - - 2 a 3 ，其中( a 1 ，a 2 ，a 3 ，0 4 ) 为 ( b l ，b 2 ，b a b 4 ) 的一个置换 特别地，在定理211 中( i ) 情况发生时，我们有下述更好的结果 定理21 2 设，与g 为两个超越亚纯函数，为一个正整数，( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 0 0 ) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果b 3 ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，( ) 与9 ( ) 的i m + 公共小函数，则，( 。) 5 9 ( “ 从定理2 1 2 ，立即得到下述推论 推论2 1 1 李平等的猜想成立 例设f ( z ) = e 。，g ( z ) = e ，k 为正偶数，则0 ，0 0 ，1 ，一1 为，( ) 与g ( ) 的，m 公共小函数，但，( ) 9 ( “故定理2 1 1 中的情况( i i ) 是可能发生的，而且也说明 了定理21 2 中的条件屯( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( ) 是必要的 i l l 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 在第三章中，我们得到了以下结果 定理3 1 1 设，为非常数亚纯函数，k 为一正整数，a l ，a 2 ，a 3 为，的三个判别 的不恒为o 。的小函数，l ( f ) = c k f c ) + c k l ，( k - 1 ) + + c o ，这里c o ，c l ，c k 为 ，的不恒为。的小函数，且c k 0 若，与l ( f ) 以a l ，a 2 为c m + 公共小函数，a 3 为i m + 公共小函数，则f 三l ( ，) 推论311 设，为非常数亚纯函数，k 为一正整数，a 1 ，a 2 ，a 3 为，的三个判别 的不恒为的小函数，若，与，( 砷以，a 2 为c m 公共小函数，a 3 为，m 公共 小函数，则f ；，( “ 例1 设f = 2 a e 2 2 ( e “一日) ，这里a ，b 均为有穷非零常数容易验证，0 ，a 为，与，7 的m 公共值，但，7 例2 设f = 0 2 + ( o z 2 一0 1 ) ( 一1 ) ，这里 啦= 了1 - 2 z 一“。一。1 e - 2 z + “2 = 一3互8 显然，7 ( r 哟) = s ( r ，) ，n ( r ，u ( f o , j ) = 0 ，j = 1 ，2 令a l = a ：，a 2 = n i ，则 t ( r ，a j ) = s ( n nj = 1 ，2 容易验证， ，7 一n l = e 2 z ( ，一a t ) ( ，一n 2 ) ，一a 2 = e 2 。( ，一a 2 ) ( ，一0 1 ) 于是，与，以a - ，a 2 为c m 公共小函数，但f ，7 下面，我们在对，的重极点进行限制后，得到了更一般的结论 定理312 设，为非常数亚纯函数，k 为一正整数，a 1 ，a 2 ，b l ，b 2 为，的不恒 为o 。的小函数，且a l a 2 ，b l 6 2 ，l ( f ) = c k ，( “4 - c k 一1 ，( 一1 + + c o f ，这里 c o ，c h 一，c k 为，的不恒为的小函数，且c k 0 若，与n ( f ) 以( a l ，b 1 ) ，( a 2 ，b 2 ) 为c m 4 公共小函数对，且 + ( 7 ，o o ) s ( n ，) ， 其中4 ( _ c o ) 表示，的重极点的计数函数，则 ( 口2 一1 ) l ( ，) 一( 6 2 6 1 ) ，ea 2 b l a l b 2 推论31 2 设，为非常数亚纯函数，k 为一正整数，a ，b 为，的两个判别的不 恒为。的小函数，l ( ，) = c k f ( + o k - 1 ，( 一1 + + c o l ，这里c o ，c 1 ，c k 为，的 不恒为c o 的小函数，且c k 0 若，与l ( ，) 以a ，b 为c m 公共小函数，且 | v + ( r ，o 。) s ( r ，f ) i v 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 其中 ，+ ( r ) 表示，的重极点的计数函数，则fel ( ，) 在第四章中，我们得到了以下结果 定理4 1 1 设，为满足_ ( ，1 f 7 ) = s ( n ，) 的非常数整函数，o ( 0 ，) 是 ，的一个小函数令l ( f ) = 岛，( “) + 岛一】，( ”一1 + + e l f 7 ，这里n 是一个正整数， c n ( o ) ，c n l ，c i 是，的小整函数如果，与l ( f ) 以a 为c m 公共小函数，则 ，一a i ( 1 一k a ) ( l ( f ) 一a ) ，这里1 一肛= e o ，是一个常数，口是一个整函数 从定理4 1 1 ，立即得到下述推论 推论411 设，为满足n ( r ，1 f ) = s ( r ，f ) 的非常数整函数，n ( 0 ，o 。) 是 ，的一个小函数令l ( f ) = c t l ，( “+ 岛一l ，( n - - 1 ) + + c l ，这里n 是一个正整数， ( o ) ，一1 ，c 1 是，的小整函数如果，与l ( f ) 以a 为c m 公共小整函数， 则，il ( ，) ，或者，一a ；c ( l ( f ) 一o ) ，a ；常数，这里c ( 0 ，1 ) 是一个常数 在第五章中，我们得到了以下结果 定理51 1 设，与g 是两个非常数的亚纯函数，分担( 0 ，1 ) ，( 1 ，。o ) ，( o 。，o 。) ， 如果，和g 分担( 0 ，o ) ，且6 f 2 ( o ，) 1 2 ，则，和g 满足下述关系之一： ( i ) f = - - g ， ( i i ) f g - - 1 ，( i i i ) ( ，一1 ) ( g 一1 ) ；1 ， ( i v ) ，+ g = - i ，( v ) ，! a g ，( v i ) f l = a ( g 一1 ) ， ( v i i ) ( a 一1 ) f + 1 】 ( a 一1 ) g a 】；一a ，这里 c o ，1 ) 定理5 12 设，与g 是两个非常数的亚纯函数，分担( 0 ，o 。) ，( 1 ，1 ) ，( o o ，。) ， 如果，7 和9 7 分担( 0 ，o ) ，且6 ( 2 ( 1 ，) 1 2 ，则i 和g 满足下述关系之一： ( i ) f - - g ，( i i ) f g = - - i ， ( i i i ) ( ，一1 ) ( 9 1 ) - 1 ， ( i v ) ，+ g - - 1 ，( v ) f = a g ，( v i ) ，一1 - a ( g 一1 ) ， ( v i i ) ( 4 1 ) 9 + 1 】( ( a 一1 ) f a i a ，这里a cc o ，1 ) 在第六章中，我们得到了以下结果 定理6 1 1 设，与g 是两个非常数的亚纯函数，b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为，与g 的五个互相判别的小函数若，一b 号g b a y = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) ，且 5 ， 5 ， 1 i m i n 著- ( r ，南) 蔷_ ( r ，南) 壶1 0 “ 2 ， 其中，一b j 辛9 一b a j = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 表示在不计重数之下，一b 的零点均为g b 的零点，则f - 9 v 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 定理6 12 设，与g 是两个非常数的亚纯函数，如0 = 1 ，2 ，3 ，4 ，5 ) 为，与g 的五个互相判别的小函数若b j ( j = 1 ，2 3 ，4 ，5 ) 为，与g 的i m 公共小函数，则 f = - g v i 一一 丝! 至堑丝 第1 章绪论 二十世纪二十年代，芬兰数学家rn e v a n l i n n a 所建立的亚纯函数n e v a n l i n n a 理论是研究亚纯函数唯一性理论的一个主要工具为此在本章中，我们将介绍n e v a n 1 i n n a 理论的一些基本定理和相关结果 1 - 3 1 1 特征函数与第一基本定理 1 1 1 特征函数 我们先引进正对数 定义1 1 1 对于z 0 ，定义 ，。s + z = m a x c 。s z ，。，= f 8 t ；妻： ， 容易看出，对于任意正数z 有 1 。g z ：1 。g + z 一1 。矿三 设函数f ( z ) 在r ( o r 。) 上亚纯，对于0 r r ，n e v a n l i n n a 引进 以下几个函数 定义1 1 2 = i z 2 ”1 。g + 1 1 ( r e ”) i d 目 m ( ，) 也记为m ( r ，= o o ) 或m ( r ，) ，是i ，( z ) j 的正对数在i zj = r 上的平 均值 定义1 1 3 ( r ，) = z 71 1 生掣d t + n ( 。，) l 。g r ， 这里n ( t ，f ) 表示( z ) 在上的极点个数，重级极点按其重数计算，n ( o ，) 表 示f ( z ) 在原点处极点的重级( 当f ( o ) 0 0 时，则n ( o ，f ) = o ) g ( r ，) 有时也记为g ( r ，= o 。) 或n ( r ，o 。) ，称为f ( z ) 极点的计数函数 堑塞堕翌奎兰堕丝垦堡主兰堡丝塞 定义1 1 4 t ( r ，) = m ( r ，) + n ( r ，f ) t ( r f ) 称为f ( z ) 的特征函数，显然它是非负函数 设n 为任一有穷复数，则赤在i z ls 尺上亚纯根据上述定义，n e v a n l i n n a 引进以下几个函数 定义1 1 5 m ( r ，击) = 去z “蚝+ 而栖瑚 帅，击，= z 7 监挚邮，击m 飘 这里n ( t ：了毛) 表示在h t 上，( z ) 一n 的零点个数，重级零点按其重数计算， n ( o ，丁b ) 表示，( z ) 一n 在原点的重级 n ( 。厂与) 也记为n ( t ，2n ) 或n ( t ，o ) ，n ( o ，丁笔) 也记为n ( o ，= 口) 或 n ( o ，。) ，( r ，了i 与) 有时记为n ( r ，f = n ) 或n ( t ，o ) ，称作，( z ) 的n 值点的计数 函数? 定义1 1 7 t 万1 ) = 吣，击) + ( r ，忑1 ) t ( t 7 广毛) 称为了( 方i 的特征函数 1 1 2 一些基本符号 设，与g 为开平面内的亚纯函数，c 为一复数，我们称，与g 以c 为c m ( i m ) 公共值，是指f c 与g c 的零点相同而且相应的重数也相同( 零点相同但不计重 数) 并称，与g 以。o 为c m ( i m ) 公共值，如果1 ，和1 g 以0 为c m ( i m ) 公 共值 用_ e ( r c ) ( 0 ( r ，c ) ) 表示，一c 与g c 的具有相同重数的公共零点的计数 函数，并且计及重数( 零点相同但不计重数) ；丙er ，c ) ( _ 0 ( r ，c ) ) 表示其精简形式，若 2 m 或 一一m 为记也 南 义m 定 篁! 兰丝垒 丙( r ，1 ( f c ) ) 一丙e ( r ，c ) = s ( r ，f ) 及丙( r ，1 ( g c ) ) 一丙e ( r ，c ) = s ( r ，9 ) ( 丙( _ l ( ，一 c ) ) 一n o ( 7 ，c ) = s ( r ，f ) 及( 7 + ，1 白一c ) ) 一1 v o ( 7 ，c ) = s ( r ，g ) ) ，则称，与g 以c 为 c m ( i m + ) 公共值 用s ( r ，f ) 表示o ( t ( r ，) ) ( r o 。，r 掣e ) 型的量，其中e 为r + 上的一个线性 测度有穷的集合设n 为亚纯( 整) 函数，若w ( r ，o ) = s ( r ，) ，则称a 为，的小( 整) 函数若f a 与g a 以0 为c m ( o m ，i m ，i m ) 公共值，则称，与g 以a 为 c m ( c m + ：i m ，m + ) 公共小( 整) 函数 设a ，b 分别为，与g 的小函数，若，一 公共值，则称，与g 以( 口，b ) 为c m ( c m 1 1 3 p o i s s o n j e n s e n 公式 n 与g b 以0 为c m ( c m ，i m ，i m + ) i m ，i m + ) 公共小函数对 在n e v a n l i n n a 理论中，下述p o i s s o n - j e n s e n 公式起着十分重要的作用 定理1 1 1 设函数，( ( ) 在r ( 0 r o o ) 上亚纯，n p ( p = 1 ，2 ，m ) 6 u ( = 1 ，2 ，一，n ) 分别为，( ( ) 在 r 内的零点和极点若z = ；r e ”为 r 内不与a 。乩相重的任意一点，则 l 。gl ，( 。) l = j ；j ( 2 ”1 。gi ，( 兄e 1 ，) j i i 二i i i ；：蒜d 妒 曹吲渊f 一瓢i 制| - u ， 定理1i1 中的公式( 1 11 ) 是复分析中的一个重要公式，由定理1 1 1 可以推 出 推论1 1 2 在定理1 1 1 的条件下，若厂( ( ) 在冬r 上没有零点和极点， 则对于任意点z ，= r r ，有 1 。g f ，( z ) 1 = ；z 2 ”1 。g f ，( r e i ，) 1 i 再二j j j i ；：i ；二：；f 再d 妒 这就是p o i s s o n 公式 推论1 1 3 在定理1 1 1 的条件下，若f ( o ) 0 ，o 。，则 z 吲邶肛去z “t 吲邶e 叼i 却一薹。s 而r + 壹v = l ，。s 高 这就是j e n s e n 公式 3 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 若，( o ) = 0 或0 0 ，设，( ( ) 在原点邻域内的l a u r e n t 展式为 ，( ( ) = “( 1 + c a + i ( 1 + 1 + ，c 0 显然雨 1 2 ”( o ，；) 一“( o ，) ， 命 玳，= 辨1 善ic 舻，( = o 显然9 ( ( ) 在r 上亚纯，且9 ( o ) 0 ，0 0 对9 ( ( ) 应用j e n s e n 公式( 1 1 3 ) ，并 注意到i g ( r e 如) j = l f ( r e 9 ) j ，则得 l 吲“l o g r 2 j i 0 2 ”l o g l 邶) | d 妒- z ，l 。g r + 。磊。忱而r 即 崦扣r = 并i 邶凇旷。黜s 而r + 。赢。l o g 南堋，) l 。啦 ( 1 ) 1 1 4 第一基本定理 引理1 1 4 设，( ( ) 在吲sn ( o r o 。) 上亚纯，在原点邻域内的l a u r e n t 展式为 f ( z ) = c a z l + “+ 1 2 1 + 1 + 一，c 0 ， 则对于0 r r 有 丁( r ，) = r ( r i ) + 1 0 9 以f ( 1 1 5 ) 公式( 11 5 ) 表示了亚纯函数，( z ) 与爿苟的特征函数之间的关系，这是j e n s e n 公式的另一种写法，所以也称它为j e n s e n - n e v a n l i n n a 公式利用公式( 1 1 5 ) 还可 以推出亚纯函数，( z ) 的特征函数丁( r ，) 与丌考i 的特征函数t ( r 丁与) 之间 的关系，这就是下面n e v a n l i n n a 关于亚纯函数的第一基本定理 4 定理1 1 5 设，( z ) 于h r ( o o ) 内亚纯若。为任一有穷复数，则对于 0 7 r 有 t ( 志) = 丁( r ，) + l o g c f + ( 叩) ， ( 1 1 6 ) 其中c a 为赤在原点的l a u r e n 展式中g - 个非零系数，而 j ( o ，r ) i l o g + l a l + l 0 9 2 ( 1 17 ) 公式( 116 ) 可简单写作 丁( ，亡) = 丁( n ，) + o ( 1 ) ( 1 1 8 ) 它表达了，对任一有穷复数a 3 丁( t 了毛) 与7 1 ( n ，) 仅仅相差一个有界量 1 2 第二基本定理 1 2 1 第二基本定理的一般形式 为了证明第二基本定理，我们引入一个引理，这个引理本身也是有意义的，以后 经常用到 引理1 2 1 设，( 。) 为i z l r 内非常数亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，g ) 为q 个判别的有穷复数，则对于0 r r 有 州n 妾去，= 圭j = l 嘶去m n z ， 下面我们叙述第二基本定理 定理1 2 2 设，( 。) 为i z l r 内非常数亚纯函数，口j u = 1 ，2 ，口) 为 q ( 2 ) 个判别的有穷复数，则对于0 7 r 有 州n ，) + 善州_ 去k 2 7 1 ( n ，) 1 ( r ) + 跗1 ，) ，( 1 22 ) 这里 1 ( r ) = ( 2 n ( r ，) 一( r ，) ) + ( r 1 击) ， ( 12 3 ) 跗1 ，) 砒争m ( r 蔫南) + d ( 1 ) ( 1 。 5 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 由于当a j 为有秀时有 ”( 7 ，赢= 丁( 删一( _ 赢) + 。( 1 ) 于是定理12 2 也可以叙述为 定理1 2 3 设f ( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，o = 1 ，2 ，q ) 为 q ( 3 ) 个判别的复数( 其中之一可以是o o ) ，则 ( q - 2 ) 丁( _ 胚( r ，南) 一l ( r ) + s ( m j = l 这里n i ( r ) 仍如( 1 2 3 ) 式表示 1 2 2 第二基本定理的另一形式 设函数，( z ) 于h r ( so o ) 内亚纯，o 为任意有穷复数，对于0 r r ，我 们以瓦( n 丁与) 表示在i z l r 内，( 。) 一。的零点个数，每个零点仅计一次，它有 时也记为瓦( n f = a ) 或再( r ，) 又记 砌，万1 ) = r 怨： 置 ， 矾击，：z 7 堑乏三盟州。，击m s r ， 称之为，( 2 ) 一a 的精简计数函数，或记为( ，f = n ) ，( n o ) 类似地有瓦( r ，) ( 或 瓦( r i ，= 。o ) ，瓦( r ，o 。) ) 以及( r ，f ) ( 或( r ，f = o 。) ，( r ，o o ) ) 下面叙述第二基本定理的另一较精确的形式 定理1 2 4 设，( z ) 为开平面上的非常数亚纯函数，奶0 = 1 ，2 ，一，口) 为 q ( 3 ) 个判别的复数( 其中之一可以是o 。) ，则 ( q - 2 ，) 善_ ( r ，鬲1 m ( 吖) ， 或 (g_2)丁(r1，)壹_(r，点)一0(r，；)+s(删，j=l 1 ( g 一2 ) 丁( 删砒击) 一0 ( r ，下) + s ( 删， 。 这里n o ( r i 乡) 表示，的零点但不是，一j u = 1 ，2 ，g ) 的零点的计数函数 6 第1 章绪论 1 2 3 第二基本定理的推广 在本节里，我们考虑将第二基本定理中的常数易为小函数的推广r n e v a n l i n n a 4 ) 曾经在含有三项计数函数的第二基本定理中将常数易为小函数他建立了 定理1 2 5 设函数f ( z ) 在开平面亚纯，a j ( z ) ( j = 1 ，2 ，3 ) 为f ( z ) 的小函数， 且互相判别，则 3 1 丁( n ，) 砘丁三) + s ( n ( 1 删 rn e v a n l i n n a 曾提出在第二基本定理的一般形式中，是否可以把常数都替换为 小函数对此问题，庄圻泰曾进行了研充特别地在整函数的情况，将问题彻底解决 事实上，庄圻泰f 5 】证明了 定理1 2 6 设f ( z ) 于开平面亚纯，a j ( z ) ( j = 1 ，2 - 一，q ) 均为f ( z ) 的小函 数且互相判别，则 ( ) t ( r ，) 妻j = l ，去) + 佩吖) 删m ( 1 26 ) 最近值分布论研究的一个重要成就是ns t e i n m e t z 6 l 解决了rn e v a n l i n n a l 9 2 5 年提出的在第二基本定理的一般形式中把常数都替换成小函数的问题，他证明了 定理l 2 7 设f ( z ) 于开平面超越亚纯，( 。) ( j = 1 ，2 ，q ) 为q 个判别的 f ( z ) 的小函数，e 为任意给定的正数，则 ( 1 2 7 ) +丁 去 m 。一 +m 鍪，喧蕊南， 篓? 哪 u 八 锄 锵城 堡塞堡墼奎兰堕丝些堡圭兰堡垒塞 其等价形式为 口 ( q _ 1 矽( r 1 ，) ( n ，) + 善1 ( _ 去) + s ( r 1 ，) ( 1 21 0 ) ，= j 2 0 0 4 年，ky a m a n o i 8 把带精简密指量的n e v a n l i n n a 第二基本定理推广到小 函数的情形，从而完全解决了n e v a n l i n n a 问题他证明了 定理1 2 9 设f 为非常数亚纯函数，a 3 ( j = 1 ，2 ，口) 为f 的q 个互相判别 的小函数，则对任意正实数e ，有 q ， ( q - 2 - 妒( r j ，座善1 - ( n 去) r 蛆 ( 1 2 1 1 ) j 2 o 这里e 满足l d l o g l o g r o o 8 第2 章导数分担四个公共小函数的亚纯函数 第2 章导数分担四个公共小函数的亚纯函数 2 1 引言及主要结果 1 9 2 9 年，n e v a n l i n n a 证明了下述著名的四值定理 定理4 【4 】设，与g 为两个超越亚纯函数，a j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为四个判别的复数， 若e l j ( ，= 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，与g 的c m 公共值，则，为g 的一个分式线性变换 1 9 9 8 年，邱淦弟考虑了定理a 在亚纯函数的导数具有公共小整函数的情形，证 明了 定理b 【9 】设，与g 为两个超越亚纯函数，k 为一个正整数，b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为 ，与g 的四个互相判别的小整函数若b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，( ) 与9 ( ) 的c m 公共 小函数，则，忙) - - - - g ( “ 2 0 0 1 年，袁文俊等证明了 定理g 设，与g 为两个超越亚纯函数，为一个正整数，b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，与g 的四个互相判别的不恒为o o 的小函数如果b i ( j = 1 ，2 ，3 ) 为，( ) 与9 ( ) 的c a 4 公共小函数，b 4 为，( 与目的i m 公共小函数，则，( ) e 9 ( “ 近来，邱淦弟又把定理口中的小整函数推广到小函数的情形，证明了 定理d 【1 1 】设，与g 为两个超越亚纯函数，女为一个正整数，b j ( j = l ，2 ，3 ，4 ) 为，与g 的四个互相判别的小函数且为，与9 c 。) 的c m 公共小函数 ( i ) 若b j 知( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，则，( ) 5 9 ( “ ( i i ) 若a 4 - - o o ，则，( ) 5 9 ( 2 ) 或者 ( ，( 。) 一a 3 ) 扫) 一( 2 3 ) - - - - ( a 2 一a 3 ) 2 且o 。与a 3 为，( ) 的两个例外函数并满足口l + a 2 ；2 a 3 ，其中( a l ，a 2 ，0 3 ，a 4 ) 为 ( b l ，f 1 2 ，b 3 ，b 4 ) 的一个置换 最近，李平等对一阶导函数具有公共小函数的情形，得到了 定理e 【1 2 ) 设，与g 为两个超越亚纯函数，为一个正整数，b j ( j = l ，2 ，3 ，4 ) ( o 。) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果，7 与g 以b ( j = 1 ，2 ) 为c m 公共 小函数，b j ( j = 3 ，4 ) 为i m 公共小函数，则，5 9 同时，在文 1 2 】中李平等给出了下面的猜想 9 福建师范大学陈俊凡硕士学位论文 猜想设，与g 为两个超越亚纯函数，k 为一个正整数，b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( o 。) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果b j ( j = l ，2 ，3 ，4 ) 为，与9 7 的，m + 公共 小函数，则，7 2 9 7 本文改进了上述定理，证明了 定理2 1 1 设，与g 为两个超越亚纯函数，k 为一个正整数，6 ，( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果b j ( j = 1 ，2 ) 为，( ) 与g ( “) 的g m 公共 小函数，吩o = 3 ，4 ) 为，( ) 与g ( ) 的i m + 公共小函数， 倒若b i c o ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，则，( ) 5 9 ( “ 倒若a 4 - - ( 3 0 ，则，( 2 ) 3 9 t ) 或者 ( ，( ) 一a 3 ) ( g ( ) 一a 3 ) ；( n 2 一a 3 ) 2 且与a 3 为，( ) 的两个例外函数并满足a l + a 2 = _ 2 a a ，其中( a 1 ，a 2 ，a 3 ，n 4 ) 为 ( 6 1 ， ，2 ，6 3 ，“) 的一个置换 特别地，在定理2 1 1 中( i ) 情况发生时，我们有下述更好的结果 定理2 1 2 设，与g 为两个超越亚纯函数，为一个正整数，屯0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 0 0 ) 为，与g 的四个互相判别的小函数如果幻0 = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为，( ) 与9 ( 。) 的 i m + 公共小函数，则，( 。) e 9 ( “ 从定理2 12 ，立即得到下述推论 推论2 1 3 李平等的猜想成立 例设f ( z ) = e 2 ，g ( z ) = e ，k 为正偶数，则0 ，0 0 ，1 ，一1 为，( ) 与9 ( 。) 的i m + 公共小函数，但，( 9 ( ”故定理21 1 中的情况( i i ) 是可能发生的，而且也说明 了定理212 中的条件b j ( j = 1 ，2 ，3 ，4 ) ( 0 0 ) 是必要的 2 2 一些引理 引理2 2 1 1 a ) 设f 为非常数亚纯函数，a 3 ( j = 1 ，2 ，g ) 为f 的q 个互相判 别的小函数，则对任意正实数e ，有 q， ( q - 2 - e ) 聊 ，) _ ( r ，南) r 魍j = l 这里e 满足l d l o g l o g r o o 引理2 2 2 【1 q 设，与g 是两个不同的非常数亚纯函数，a 1 ，0 2 ，a 3 ，。4 为f 与 g 的四个互相判别的小函数如果f 与g 以a l ，a 2 为c m 公共小函数，a 3 ，a 4 为 i m + 公共小函数，则，是关于g 的q u a s i m s b i u s 变换 1 0 第2 章导数分担四个公共小函数的亚纯函数 引理2 2 3 设，与g 是两个非常数亚纯函数但，( ) g ( “，k 为一个正整 数，0 1 ，“2 ，a 3 ，a 4 为与g 的四个互相判别的小函数如果，( 。) 与g ( ) 以a l ，a 2 为 c m 公共小函数，a 3 ，a 4 为1 m + 公共小函数，则a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 中必有两个是，( ) 与 9 ( ) 的例外函数，而且其中之一恒为 证由于，( ) 与9 ( ) 以a 1 ，a 2 为c m 公共小函数，a 3 ，a 4 为i m 公共小函数， 根据引理222 可知，( ) 是关于9 ( ) 的q u a s i m 6 b i u s 变换 令 严) = = 筹尝o qa 3 9 p 十 与 m ：竺! ! ! ! 。 d 3 z + 4 这里。( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 是，与g 的四个互相判别的小函数若a ，a 2 ，a 3 ，a 4 中至多有 一个是，( 。与g 【的例外函数，不失一般性，设n ( r ，1 ( i ( ) 一n ，) ) s ( r ，( ) 0 = 1 ，2 ，3 ) ，则q u a s i m s b i u s 变换m ( x ) 存在三个不动的小函数，即m ( n j ) = n j u = 1 ，2 ，3 ) ，这意味着“l = 0 4 和n 2 = 0 3 = 0 从而，) 59 ( “，这是不可能的于是 2 “3 ，f 一4o f , y z , 有两个是，( ) 与口( ) 的例外函数如果这两个中没有一个恒为o o ， 不失一般性、设a j o o ( j = 1 2 ) 是，( ) 与g ( 的两个例外函数则由第二基本定理 得 ，、 t ( ，仆) ( r ，壮) + ( n 万万! 三i ) + 丙( r 可玎l _ 五) + s ( r ，忙) ( r 、严) + s ( n 严) 注意到( r ，( ) r ( r ，( ) ( + 1 ) ，我们容易得到丁1 ( r ，( ) = s ( t ，耐) ，这是一 个矛盾 这就完成了引理2 2 3 的证明 引理2 2 4 设，与g 为两个超越亚纯函数，k 为一个正整数，6 j 0 = 1 ，2 ，3 ) 为，与g 的三个互相判别的小函数如果幻0 = 1 ，2 ，3 ) 为，( 。) 与g ( ) 的i m 公 共小函数，则 s ( r ，【k ) = s