（基础数学专业论文）完备李超代数与广义witt型李超代数.pdf

摘要 相仿于李代数，中心为零且导子均为内导子的李超代数称为完备李超代数 在完备李代数研究的基础上，以前我们研究了完备李超代数的某些性质和结构 如；给出了李超代数完备的一个判定定理，此定理可应有于许多李超代数完备的 判断通过h e i s e n b e r g 超代数与半单李代数的扩张，构造了一类完备李超代数 从而丰富了完备李超代数的例子对偶部为约化李代数且偶部在奇部上的作用 是完全可约的李超代数的结构与完备性进行了较为系统的研究在此基础上我们 继续对完备李超代数进行讨论，主要内容如下： 研究了完备的可解李超代数，通过对幂零李超代数及其上的极大环面的研 究，得出极大秩的可解李超代数是完备的最后我们讨论了一类特殊的可解李超 代数一偶部完全可约地作用在奇部上的可解李超代数的结构与完备性 研究了h e i s e n b e r g 超代数及其导子代数与全形，给出了h e i s e n b e r g 超代数 的导子的具体矩阵形式及其全形的导于代数的具体形式证明了h e i s e n b e r g 超 代数的导子代数与其全形的导子代数是完备的 对无限维李超代数，我们给出一类广义w i t t 型李超代数的定义并讨论了它 的二上同调群 1 1 绪言 早在6 0 年代，李超代数就出现在数学的形变理论中【3 7 在理论 物理中，基本粒子与基本相互作用的最终统一，是物理学家特别是理论 物理学家们为之不懈奋斗的目标但是，大统一理论中存在着所谓等 级问题为此，物理学家们提出了超对称的大统一理论，由j w e s s 和 b z u m i n o 提出超对称性( 所谓超对称性是指玻色子和费米子之间的对 称性) ，他们将普通时空满足的p o i n c a r 6 李代数扩充为超p o i n c a r 6 代数 超对称性不仅排除了等级问题的困扰，而且在其他方面( 如核物理，超 引力 3 - 5 ) 亦有重大作用的从而开始了李超代数的研究 z 2 一阶化代数a = a 0 0 a i ( z 2 一阶化是指对任意，卢z 2 有，a 。山 a 。+ 口) 称为超代数 定义若超代数g = g a o g i 上的乘法运算 ，】满足： ( 1 ) 反交换性：k ，即卜一( 一1 ) 。4 h ，z 。 ； ( 2 ) 阶化j a c o b i 等式：( 一1 ) ”盼。，z p ，x , y 】+ ( - 1 ) 胁盼口，唧】，z 。】 + ( 一1 ) 1 4 陋7 ，z 。 ，。口】= 0 ，中x 。g 。，。口g 口，。1 g ，；，卢，1 6 ，i 则称g 为李超代数称g o 为g 的偶部，而g i 为g 的奇部显然9 6 是一 李代数，且g i 是9 6 一模 李超代数最早的例子是由a n i j e n h u i s 于1 9 5 5 年给出的因为李超 代数在物理学中有着重要的应用，并且与其他的数学分支有着深刻的联 系，特别是李超代数紧密地依赖于李代数，所以近年来对李超代数的研 究十分活跃 七十年代末，v g k a c 完成了特征零域上的有限维单李超代数的 分类 2 9 】_ 在 1 7 ，3 8 ，1 9 中分别给出了低维李超代数，典型实单李超代数 与可解李超代数的分类 中心为零且所有导子均为内导子的李代数称为完备李代数在1 9 5 1 年，s c h e n k m a n 证明了中心为零的李代数的导子塔定理在1 9 6 2 年n j a c o b s o n 也给出完备李代数的定义【2 6 ，指出复半单李代数与非交换二维 李代数完备 4 0 】证明了交换李代数的全形的中心为零且无外导子，所 以完备1 9 6 3 年g l e g e r 在 3 1 中讨论了无外导子的李代数的性质，给 出了一些可解完备李代数的例子，证得一个可解李代数g 完备当且仅当 d e r 9 = a d 9 8 0 年代以前所知完备李代数的很少，所以完备李代数的研 究几乎没有进展从8 0 年代的后期完备李代数的研究又渐趋活跃，孟 道骥，朱林生，姜翠波等对完备李代数的研究，使得完备李代数的研究 在8 0 年代后半期取得了丰富的结果 1 1 0 ，1 5 ，1 6 ，2 7 ，3 3 3 6 ，5 0 5 3 盂首先 对完备李代数的结构及分解唯一性做了研究 2 ，3 4 得出了完备李代数 的分解及其唯一性在【3 4 】中孟给出了李代数完备的一个判别定理，并 由此定理验证了复半单李代数的b o r e l 子代数及抛物子代数是完备的， 从而丰富了完备李代数的例子，对进一步研究完备李代数起到了重要 的作用他们也构造了一些完备李代数( 如幂零根基是交换李代数或交 换李代数与h e i s e n b e r g 代数的和等等) 其次他们对可解李代数的研究表 明可解完备李代数是由一个幂零李代数和其上的极大环面构成的，证 明了极大秩的可解李代数是完备的，同时也存在非极大秩的可解完备李 代数 6 ，3 6 ，5 2 在 4 3 ，4 4 】中r c s t u r s b e r g 据 6 ，3 4 中的判定定理亦 给出一种构造任意维非极大秩可解完备李代数的方法若幂零李代数与 它上面的极大环面之和是完备的，则称此幂零李代数是可完备化的，可 完备化的幂零李代数的研究也取得了很多成果例如二步( t w o - s t e p ) 幂 零李代数的可完备化的研究 7 ，8 ，5 4 给出了特征零域上无限维的李代 数一广义k a c m o o d y 代数及其抛物子代数完备的充要条件同时从广义 k a c - m o o d y 代数及其子代数，v i r a s o r o 代数等也构造出了一些无限维的 完备李代数证明了完备李代数的l o o p 扩张仍是完备的 6 总之完备 李代数理论正在日趋完善 相仿于李代数，中心为零且导子均为内导子的李超代数称为完备李 超代数最近几年在完备李代数的基础上人们开始了完备李超代数的研 究 1 1 ，2 2 在 2 2 中将【3 4 】的完备李代数的分解及其唯一性推广到完备 李超代数上，证明了有限维完备李超代数也可分解为单完备理想的直和 且这种分解除次序外是唯一的 在【2 9 】中k a c 给出了所有单李超代数的导子代数，所以对于单李超 代数的完备性已经清楚了，其次由 2 9 】c h2 3 命题5 及c h3 2 2 易证 k i l l i n g 型非退化的李超代数是完备的 在( 5 5 中我们给出一个李超代数完备的判断定理及利用半单李代 数与h e i s e n b e r g 超代数构造了一类完备李超代数，在 1 3 ，1 4 l 中我们对偶 部在奇部是的作用是完全可约的李超代数的结构及完备性给出详细的 讨论。 虽然李超代数理论更多是在李代数理论的基础上发展起来的，但因 李代数仅是一类特殊的李超代数，所以李超代数的理论与李代数也有许 多差别，如：对李超代数未必存在l e v i 分解，单李超代数的k i l l i n g 型 未必是非退化，可解李超代数的不可约表示未必是一维的等等完备李 超代数的理论亦是如此，虽然李代数的许多理论可推广到李超代数上， 不同的如单李超代数及其抛物子代数未必是完备的，而且一个李超代数 的完备性与它的李代数的完备性并没有直接的联系，即存在完备的李超 代数其李代数不是完备的，也存在其李代数完备但本身不完备的李超代 数对完备李超代数的研究总是建立在完备李代数理论的基础之上的， 本文主要研究了如下内容： 可解完备李超代数方面，我们得出极大秩的可解李超代数是完备 3 的最后讨论了偶部在奇部的作用是完全可约的可解李超代数的某些 性质 h e i s e n b e r g 代数在李代数的研究中很重要，在【27 中均讨论了h e i s e n b e r g 代数与完备李代数之间的关系相应的h e i s e n b e r g 超代数也是值得 研究的在第二章中我们讨论了h e i s e n b e r g 超代数日及其导子代数d e r h 与全形b ( 日) 证明了h e i s e n b e r g 超代数的导子代数d e r h 与其全形的导 子代数d e r o ( h ) 是完备的 在 4 7 4 9 苏育才等人构造了一类无限维李代数一广义w i t t 型( 李) 代数，并讨论了它的导子，二上同调及同构等这些讨论对无限维李代 数的研究具有重要的意义为此，我们在第二部分里也讨论了一类无 限维李超代数广义型w i t t 李超代数，给出广义w i t t 型李超代数的定 义，讨论了它的结构和二上同调群，得出它的二上同调群为零 本文总假定f 是特征为零的代数闭域，g = 9 6o g i 是域f 上的有限 维李超代数，瓤g i ，c ( g ) ，d e r e l ，a d 9 分别表示g 的偶部，奇部，中心，导 子代数与内导子代数对任意z g ，记。= z o + z l ，其中g o ，。l g i 分别为。的偶部与奇部用c 表示复数域 4 第一部分完备李超代数的一些结果 第一章可解完备李超代数 对可解完备李代数的研究表明；可解完备李代数一定是幂零李代数 与它上面的极大环面之和但未必所有的幂零李代数与它上的极大环面 代数的和都是完备的，进一步探讨得出极大秩可解李代数是完备，同时 也存在非极大秩的可解完备李代数从而对幂零李代数与其极大环面之 和的研究对可解完备李代数的研究是很重要的 为了研究可解完备李超代数，首先我们也要研究幂零李超代数及其 极大环面子代数的性质，幂零李超代数与它的极大环面子代数的和何时 完备，极大秩时的情况等等 1 1幂零李超代数与极大环面 为此在这一节我们首先讨论李超代数偶导子的j o r d a n c h e v a l l e y 分 解，其次要研究幂零李超代数上的极大环面子代数的性质 引理1 1 设g 是域f 上的李超代数，若d ( d e r g ) o ，则对任意 茁，y g ；a ，b f ；n n 有 女 ( d 一( n + b ) i d 。) ( k ， ) = q “( d a i d 。) 5 z ，( d b i d 。) 一5 引， s = 0 k d 2 k 】= 蝶渺z ，d 扯8 们 s = 0 此引理的证明类似于 5 】的定理1 5 2 定理1 2 设d ( d e r g ) o ，则有d = d 。+ d 。，d 。，d 。分别为的半单部 分与幂零部分，且均为的多项式，则d 。，d 。( d e r g ) o 证由 5 的定理2 2 1 可知，存在唯一的一对线性变换d 。，风使得 d = d 。+ d 。，d 。，d 。分别为半单，幂零缌陛变换，且玩d 。= 风d 。 设d 的最低多项式为 ，( ) = ( 一a 1 ) h ( a 一入2 ) 2 - - ( a a 。) 。n 令， ( a ) = ，( a ) ( a 一凡) b ，则有g i ( a ) 使得 五( a ) 9 ，( a ) 兰1 ( m o d ( a a ；) ) 令 p ( a ) = 九 ( a ) ， q ( a ) = a p ( a ) f = 1 设g 对d 的根空间分解为 g = g 。( d ) + g ：( d ) + + g 。( d ) 显然，g 。( d ) 是d s = p ( d ) ，d n = q ( d ) 的不变子空间，且( 破一a i i d ) ( d ) = 0 故d 。是半单的又因d ：t ( 9 沁( d ) ) = 0 ，所以d 。是幂零的 若又有d = d 1 + d 2 ，d 1 d 2 = d 2 d l ，则d - ，d 2 均与d 可换，从而 均与d ，d 。可换，故d 。一d 。= d 。d 。即是半单的又为幂零的故有 d 。= d 1 ，d 。= d 2 6 对于d ( d e r g ) o ，由引理1 1 易证 【g 。( d ) ，g b ( d ) g 。( d ) 设z g ( d ) ，y g ( d ) ，则有 d 。 z ，y = ( 入i + a j ) 【茁，y 】= d 。x ，y + 【。，d 。】 从而d 。( d e r g ) o ，d 。= d d 。d e r g ) 6 口 定义若对李超代数g 的导代数序列( 或降中心序列) 存在一整数 ，使得g ( ) = 0 ( 或9 2 = o ) 则称g 为可解的( 或幂零的) 定义设n 是幂零李超代数，b 是d e r n 的交换子代数，使得b 的 所有的元素是n 的半单线性变换则称b 为n 的一个环面当b 是n 的 极大环面时，b 的维数称为n 的秩，用r a n kn 表示 从而，若b 是n 的极大环面，则d i m b = r a n k u 若d i m f ) = d i m n a ，n ，则称李超代数n 是极大秩的幂零李超代数 引理1 3 设n 是一幂零李超代数且t 是n 的极大环面则有 ( 1 ) g = t + n 是可解李超代数， ( 2 ) n 关于t 的根空间分解为 n = n 。， a e t 其中n 。= 。nl 陋，z 】= 乜0 ) z ，v t t ) ； ( 3 ) 存在n 的唯一生成元系 x l ，z 。) ，使得x i n 。l 茎is 弼 ( 4 ) 设= n t 1n 。o ) ，贝4 d i m b = r a n k a d i m n n ，n 】 证明( 1 ) ，( 2 ) 是显然的 7 ( 3 ) 显然，n 是一个完全可约的t - 模，且 n ，n 是一子模故存在 一子模c 使得n = c + n ，n 】则c 也是完全可约的t - 模因此存在c 的一 组基，即n 的一极小生成元系忙，z 。 ，使得( 3 ) 成立 ( 4 ) 若对所有的z i ，z 。) ，有 t ，z 以= 0 ，t t 则t = 0 因 此d i m t = r a n k a 1 7 ，d 。) = r a n k asn ，即( 4 ) 成立 8 51 2 主要结果 引理1 4 设g 是一李超代数，且d i m g 1 则 c ( g ) g 【1 ) - g ，g ( 1 ) 成立当且仅当g 不能分解成g 的一个交换理想和另一阶化理想的直和 证明设a 是一交换理想，g 是g 的另一阶化理想使得g = 。eg 则a c ( g ) 故g ( 1 ) = q og ，f i t og f = ( 州1 9 7 这意味着( 1 ) 不成立 相反，假设( 1 ) 不成立用a 表示g ( g ) n g ，g 在c ( g ) 中的补子空 间所以。是g 的非零的交换理想设【是+ 【g ，g 在g 中的补子空间 且g = 【- i - 【g ，g 】则g 是g 的一阶化理想，而且g = a og 若g ，0 ，则g 是交换理想。与阶化理想g 的直和 若g = 0 ，则g 是一交换李超代数因d i m g 1 ，g 是可分解的，且任 一理想都是交换的 口 引理1 5 设g 是一李超代数满足c ( g ) 0 ，且n 是满足以下条件 的阶化理想c o d i m a = 1 ，c ( g ) 口则【g ，g ( a ) 是e ( o ) 的真子集，即 g ，g ( d ) 】ce ( n ) 证明因c o d i m a = 1 ，我们可取e g 使得g = f e + a 使得 g ，g ( n ) 】_ f e ，e ( n ) - 因e ( g ) 口，故有g ( g ) g ( o ) 从而我们有 k e r ( a d e l c ( 。) ) 三c ( g ) 0 从而d i m c ( a ) d i m e ，c ( n ) 口 引理1 6 设g 一李超代数满足 g ，9 1 6 g o g ( g ) 0 9 ( 2 ) ( 3 ) 则d e r g a d g 若g 有如下形式的理想直和分解 g = f e og ( 4 ) 且 9 7 ，g 】_ g t( 5 ) c ( g ) = 0 ( 6 ) 则g 存在半单外导子若( 5 ) 和( 6 ) 有一个不成立，则存在外导子d 使 得d 2 = 0 证明我们首先证若g 满足条件( 4 ) ，( 5 ) 和( 6 ) ，则存在g 的半单外导 子 设d 是如下定义的线性变换对a f ，z g ，d ( a e + z ) = ae 对 a f ，x 9 7 显然，d 是g 的半单外导子在这种情况下，显然g 满足 ( 2 ) ，( 3 ) 和c ( g ) gg ( ” 一般的，假设g 满足( 2 ) ，( 3 ) 我们将考虑下列两种情形 1 ) c ( g ) 垡g ( “ 由引理1 4 ，g 有分解( 4 ) 若( 5 ) 不成立，则取d 使得 d ( g ) = f e ，d ( f e + ( g ) ( 1 ) = 0 显然，我们有d 2 = 0 ， d ( g ) ，g _ d ( g ，g 】) = 0 则d d e r g ，但对x ，y b ， 有a d x ( y ) g ( 1 ) _ ( g “因而dga d g 若( 6 ) 不成立，固定加e ( g ) ，x 0 0 定义d 如下 d ( ae + z ) = az o ，vz 9 1 ，a f 显然，d 2 ：0 ，且因c ( 0 1 ) e ( g ) ，g ( 1 ) = 9 1 1 ) ，有d d e r g 因eec ( g ) ，显 然d 是一外导子 1 0 2 ) c ( g ) g ( “ 此时，( 2 ) 意味着，存在g 的一阶化理想n 满足c o d i m a = 1 于是 a g ( 1 2g ( g ) 由引理1 3 ，我们有 g ，c ( o ) cg ( 8 ) 因g 满足( 2 ) ，可取e g d 使得e 隹n ，且z g 【0 ) 【g ，c ( a ) 】且我们可 定义一线性变换d 使得d e = z ，d ( 口) = 0 设d o ( e ) = z o ，d 。( e ) = 钆其中 d = d 0 + d 1 则d 2 _ 0 对x ，y o ，a ，p f ，我们有d ( 队e + x ，p e + 引) = 0 ， 目 d 0 ( ae + z ) ，pe + y + 盼e + z ，d o ( ue + 掣) 】= az o ，pe + y 】+ ne + 。，肛z o 与 = a p z o ，e + a 肛 e ，z o = 0 d 1 ( ae + x o ) ，pe + y 】+ n e + , t o ，d l ( ze + g ) + 【d l ( x 1 ) ，“e + y 一陋l d 1 ( 肛e + 可) = 盼z l ，e + y + 盼e + 2 7 0 ，pz l 】+ f 0 ，肛e + y 一 x l ，芦z 1 = ( e + ( e ，z l 】) = 0 从而，d d e r 9 若d a d g ，则存在a f 和z 口使得d = a d ( ae + z ) 但对d x = 0 ， 可得 a e ) z 卜协e + z ，茁】_ d x = 0 若a 0 ，则【e ，茁】= 0 故d e = 队e + z ，e 1 = 0 这与d e = g 0 相矛盾若a = 0 ，则d = a d z 又因d ( a ) = 0 ，所以有z g ( a ) 则 z = d e = 陋，e f l ，c l ( d ) 】而且，这也与z g ( o ) 【g ，c ( 嘲相矛盾故d 是g 的一个外导子 口 注若条件( 2 ) 改成 g ，g g ，则引理1 6 未必成立 例如设g = f c 阜乳阜f ，是三维h e i s e n b e r g 超代数，其中c g o ，f ，e g j ，【e ，f 】= c ， e ，e 】= f ，】= c ，e 1 = 【c ，f = 0 则g 是幂零的，且 g ( 1 ) = f c = ( b ( 1 ) ) b = 9 6 设d ( d e r g ) 6 ，则有d ( c ) = qc ，d ( e ) = 卢e ，d ( f ) = 7f ，其中 8 = 卢+ 1 但d 2 = 0 当且仅当d = 0 设d ( d e r g ) i 则有d ( c ) = 0 ，d ( e ) = ac ，d ( f ) = 卢c ，a ，卢f 故d = a d ( a f + 卢e ) a d g 于是，g 不存在外导子d 使得d 2 = 0 定理1 7 设g 是一李超代数，且( g ( 1 ) o 9 6 则g 是完备李超代数 当且仅当d e r g = a d g 证明由完备李超代数的定义，若g 完备，则有d e r g = a d g 相反，假设d e r 9 = a d g 若a ( g ) 0 ，则由引理1 , 6 有，d e r g a d g 这与假设相矛盾故g 是完备李超代数 口 51 3 极大秩可解李超代数 设n 是幂零李超代数，b 是n 的一个极大环面 定义n 对0 的由根向量组成的极小生成元系称为b - m s g 引理1 8 设i _ b + n 是极大秩的可解李超代数，且l 对b 的根空间的 直和为：【= b + 。e n 。，其中ac n 。= 。n l h ，。 _ q ( ) z ，vh 吐 则 ( 1 ) 存在n 的一b - m s g 巩，) 与的子集n = 0 1 1 ) ，0 l 。) 使 得 ，。t = a i ( h ) x i ，vh b ( 2 ) i - i 是旷的基 1 2 ( 3 ) 若。a ，则存在唯一的n 重组 h ，k ) ，k t z + ，使得： e 啦从而acb + p ) ， t ：l ( 4 ) 设川= k i ，p 是n 的幂零度( 即p 满足n p 一，0 ，n p = o ) 则 t = l 1 l o l i p ， ( 5 ) d i m n 。= 1 ，i = 1 ，n ， 证明( 1 ) 这是引理1 3 的直接结果 ( 2 ) 因f 是极大秩的，所以d i m b = d i m n n ，n 】 又因b 是极大环面，而且 钆，x 。) 是n 的一b - m s g ，则h 0 ，h = 0 当且仅当【h ，z 。】_ 0 ，1s is n 当且仅当啦( ) = 0 ，1 i 礼所以n 是自 的基 因是b + 的基且扛，z 。) 是一b - m s g ，故( 3 ) ，( 5 ) 成立 ( 4 ) 由n 的幂零度的定义可知 口 定理1 9 设n 是极大秩的幂零李超代数，b 是n 的极大环面则 l b + n 是可解完备李超代数 证明由引理1 8 的( 3 ) ，( 5 ) ，我们有0 仁a ， q 1 ) ，) n 0n 。= 口， 从而，【满足定理1 6 的条件( 1 ) 一( 5 ) ，所以【是完备李超代数 1 3 51 4 一类可解李超代数：偶部在奇部上的作用是完全可约的 在这一节里我们假设g = g o og i 是可解李超代数，且g o 在g i 上的 作用是完全可约的 命题1 1 0 2 9 ，命题1 3 3 李超代数可解当且仅当它的李代数可解 设g = 9 6 o g i 是一可解李超代数且9 6 一模g i 是完全可约的设 d i m g i = m 则g i 可写成： g i = f y 。 i = l 满足【x ，y e = a ( z ) 掣i ，vz 9 6 ，i l ，m ) 显然，凡是g o 的权从而g i 也可表示成 g = g b r m i = l 命题1 1 l 设g 如上所设，则 ( 1 ) 阶，g i g o ，8 硝uc ( g o ) n n ；其中n 是9 6 的幂零根基 ( 2 ) 【g o ，a 6 】q 。( g i ) ； ( 3 ) 假设【g o ，蚓是9 6 的极大幂零理想若c ( g ) = 0 ，则g ( 9 6 ) = 0 证由j a c o b i 等式可知，vx g o ，玑g ，y j g h ，有【x ， y i ，协】 = z ，玑】，珊 + 玑，扛，y j = 九( z ) 玑，y j 】+ ( 。) 玑，y j ，故【g i ，g t 】【g o ，g o u g ( g o ) 再由j a c o b i 等式可知，【g o ，9 6 】c 矗( g i ) 因粕】是釉的极大幂零理想，所以c ( 9 5 ) 8 5 ，g o ，而，蚓，蚓= 0 故g ( g o ) = 0 口 命题1 1 2 若d ( d e r g ) a ，则d ( 9 6 ) q 。( g i ) 且d ( g 沁) 瓢 1 4 证明设d ( d e r g ) o ，则对任意z 0 6 ，协g b ，有d k 蛳 = 阢) ，珊】+ 扛，d ( 训设d ( y a 2 k a j 瓠，则有 ( z ) a j a y k = d 扛) ，协】+ q a ) 弧 k k 比较等式两端有 a j ( x ) a j j y j = 【d ) ，协】+ a j j ) , j ( x ) y j ， 从而 d ( z ) ，y j = 0 且扛) a s t = a j k a k ( z ) ，v z 9 6 ，故若。妒0 ，则a 2b ， 故命题成立 口 命题1 1 3 若g 如前所设且9 6 的可解度为n ( 23 ) ( 即g 扩= 0 ，g 妒q o ) ，贝0g ( ) = g 扩，m 3 证明显然我们有： g ( 1 ) = 【g o ，9 6 + g i ，g i + 9 6 ，b i ， g ( 2 ) = g 乎+ o o ，9 i 1 1 ， g ( 3 ) = g 口 命题1 1 4 若9 6 非幂零，则g 完备当且仅当d e r g = a d o 证因【g ，g i = 【g 乱9 6 1 + o i ，g i 】n 由命题1 7 可知 口 命题1 1 5 设n 是g o 的幂零根基，若对g 存在g ，一九，使得 g 。，g 】0 ，贝0 【n ，g k = o 证若z n ，z 【g g b ，则kz 一( a 。( z ) + ( 。) ) z ，而这与n 幂零 矛盾 口 命题1 1 6 设g i = f y ，陌， 0 ，若蜘完备，则g 完备 证若【9 6 ，g i 】_ 0 ，则0 叭们g ( g o ) ，矛盾从而 9 6 ，g _ 0 15 由命题，则孙0 ，即存在h b ，使得a o 假设d ( d e r g ) 6 ，则d i o 。d e r g d = a , d 9 6 ，即d i 口6 = a d x ，z g o 设d ( hg ) = a d x ( y ，可j ) = 2 a ( z ) 甑比则d y = j 2 a ( 。) g = 陋，引，从而 d = a d x 因g o 是完备的可解李代数，故9 6 = b 牛n ，其中n ，b 分别是g d 的幂 零根基与极大环面 若d ( d e r g ) i ，且假设d ( 。) = 灿( 。) ，d y = z o 则d h i ，b = ( d h i ，吩】+ h i ，d h j 】= o ，vh i ，h j b ，即肛( i ) a ( b ) = 肛( j ) a ( 。) ，从而若 a ( h i ) 0 ，a ( 鬼) 0 ，则有嬲= 铡 因d h i ，z = 上) 。，毋】+ 【h i ，d x 】= h l ，d x l ，vh i b ，x n 。，v 。b + 有p ( 。) ( t ) = 肛( z ) a ( i ) 从而若a a ，贝0p ( z ) = 0 设d y = 。，有d i h ，y _ 【d h ，y 】+ 【h ，d 引，有 a ( h ) d y = 肛( ) b ，引+ a a 口( ) 比较两端有 a ( h ) a 2 x 2 x = p ( ) ，y + 2 2 a ( 丸) 茁2 ， 则肛( ) 陌，y = 一a 2 a ( h ) x 2 ，且o 2 a ，贝9a 。= 0 若茁n x ，贝0 即d y b 2 a ，若a ( ) 0 ，贝0d y = a 2 a x 2 = 一筹b ，】。 设z n ，由命题1 1 5 ，有d x ，y = d x ，y + kd y = 0 ，又因 【d x ，y 】n 2 a ，而kd y 】i t 3 x 从而 d x ，y _ 0 ，则d x = 0 此时对a ( h 1 ) 0 ，a ( h 2 ) 0 ，h l ，h 2 b ，设 黜a ( h l = 糕她 )a ( 2 ) q 则d = 一b a d y 1 6 口 例设o o = f z 轴呵是二维非交换李代数且g i = f z ，满足kz 】： z ，k2 】= y ，f y ，z 】- 0 ，陋，y = y + 则g 是完备的 此可解完备李超代数为非极大秩的 下面就9 6 为幂零李代数的情况来讨论： 命题1 1 7 若9 0 是非交换的幂零李代数，则g 的中心非零，从而g 非完备 证因【9 6 ，9 6 】n g ( 骊) 0 ，故【9 6 ，8 6 n g ( g o ) e ( g ) 口 此即为李超代数及其李代数均为非完备的一种情况 例若9 6 为交换李代数，则g 可能完备如：二维非交换的李超代 数g 满足： 9 6 = f 。，g i = 矿y ，p ，。】= y ，y 】= 0 ，i x ，y 】= y 命题1 1 8 若g o 为交换的李代数且d i m 9 6 = n ，则g 完备当且仅当 d i m g i = n ，使得，y 1 】= 0 且d i m a d x l g i1 茁g o ) = n 证可设g o 的基为 ，z 。) ，而g i 的基为 y 一，) ，而且满足： z ；，口i 】= 虮，v i l ，n 则g = m ，其中g ，= 如耳f 玑为上例的二维非交换李超代数，此时 vi ，g 。为g 的单完备理想 反之，由c ( g ) = 0 有 g i ，g i = 0 ，即g i = m f 3 = f 玑， 玑，y j 】= 0 ，v i ，1 j m 而且d i m a d z l g ilz g o ) = m = 礼 口 此为李超代数完备而其李代数非完备的情况 此李超代数亦可看成交换李超代数与其上的极大环面子代数的和 而且是极大秩的 1 7 第二章h e i s e n b e r g 超代数与完备李超代数 由于h e i s e n b e r g 超代数广泛应用于理论物理中，而且h e i s e n b e r g 超 代数的结构清楚所以对h e i s e n b e r g 超代数就可具体研究 本章我们讨论h e i s e n b e r g 超代数的导子代数，全形及全形的导子代 数的结构及完备性得出h e i s e n b e r g 超代数的导子代数与其全形的导子 代数是完备的李超代数，而h e i s e n b e r g 超代数的全形非完备 定义若李超代数g = g d og i 满足： ( 1 ) g ，g = 舫= c ( 8 ) ； ( 2 ) d i m c ( 9 ) = 1 则称g 是h e i s e n b e r g 超代数 由( 2 ) ，知c ( g ) = c ，其中c 是g o 的非零中心元 由( 1 ) ，知g 上存在一对称c 值双线性型妒使得 z ，y 】= 妒( z ，可) c ，x ，y g ( 1 ) 定理2 。1 设g = 8 a og i 是一h e i s e n b e r g 超代数，则 ( 1 ) 若d i m g i 是偶数，则存在g 的一齐次基底扛”。，c ) ，使得妒 在此基底下的矩阵是 ( 昙m 其中厶是佗阶单位矩阵 ( 2 ) 若d i m g i 是奇数，即d i m g i = 2 n + 1 ，则存在g 的一齐次基底 ，。z 。一c ) ，使得妒在此基下的矩阵是 w ，= 以下我们用h = 凰。历，d i m h i = 2 n 表示奇维数的h e i s e n b e r g 超代 数，用h ，= 塌。倒，d i m h ；= 2 n + 1 表示偶维数的h e i s e n b e r g 超代数 52 1h e i s e n b e r g 超代数的导子代数 在这一小节我们具体地讨论h e i s e n b e r g 超代数的导子代数的结构， 得出h e i s e n b e r g 超代数的导子代数是一完备李超代数 设a 是日( 或h ) 的一个线性变换也用4 表示a 在基底 钆，。孙，c ) ( 或 轧，。轨，z ，c ) ) 下的矩阵则a 是( 2 n + 1 ) x ( 2 n + 1 ) ( 或( 2 n + 2 ) ( 2 n + 2 ) ) 矩阵设是( i ，j ) 一位置的元素为1 ，其他为0 的矩阵。 引理2 2d ( d e r h 当且仅当 a bc0 、 肚1 i 曾n - - ，ae ；0 ) 其中b = 一b ，f = 一f ，2 0 = a 证明d ( d e r h ，) o 当且仅当d x ，y 】- d x ，引+ kd y ，即妒( 。，y ) d c = ( 妒( d ，y ) + 妒( $ ，d ) ) c 1 9 这意味着d c = a c ， c 从而d ( d e r h ) o 当且仅当 a m ( b ) = d m ( 讪) h - 彳) d ( 2 ) s 懈等b 2 ) = d i a g ( 1 2 。+ 1 ，2 ) ，t o = c i o 1 b = 一b ，f = 一f ， j 口 。=o o o o ) d 【c ，。 _ 【d c ，。】- k c ，d x = 【d c ，3 7 - 0 ，v 茁嘎； 由( 3 ) 式引理成立 口 c 。= c e 甜 2 0 定理2 4 设9 是一h e i s e n b e r g 超代数，则d e r 9 是单完备李超代数 证明显然 d e r g = s + o + r n 而且s 同构于单李代数s o ( m 一1 ，c ) h 是单s 一模由定理4 6 ，d r e g 是完 备李超代数 因s 是单李代数且t 。是单s 一模，所以d e r g 的真理想为s - f r n ，功o h ， t 。，显然这些理想都非完备从而定理得证 口 事实上，hca d g g 是$ + 功一模且是子模g j 和c c 的直和 定理2 5 a d f g ，是g i 到k 的模同构映射 证明易证 a d 锄= e r a ，n + i ，a d x n + i = e m , i ，i5 礼， a d z = e m m hm = d i m g ；d i m 0 1 = 2 n - 4 - 1 故a d i 。，是g i 到t 。的线性同构映射 对d g + 1 ：0 ，z g i ，有d ( x ) g i 和 d ，a d x 】_ a d d ( x ) 定理得证口 2 2h e i s e n b e r g 超代数的全形 李代数的全形的研究对完备李代数理论很重要，如可解完备李代数 一定是幂零李代数的全形的子代数 2 2 j 中讨论了李超代数的全形 h e i s e n b e r g 超代数的全形的性质也是值得讨论的以下我们就讨论h e i s e n b e r g 超代数的全形及全形的导子代数的完备性 定义设。是一李超代数且b ( g ) = g o d e r 9 在b ( g ) 上定义括积如 下： 1 陆+ d ，v + e j = 陋，鲥+ d y 一( 一1 ) 。口e 。+ f d ，e ，其中z g 日，d ( d e r g ) a ；口，p z 2 则b 幻) 是李超代数称b ( g ) 为g 的全形 以下仅讨论g = h 时的情况 用2 表示h e i s e n b e r g 超代数日，的全形， 设b o 是5 的c a f t a n 子代数，令 n ? 2 e i i e n + l ，n + 一( e f + 1 ，1 一e n + i + l , n + i + 1 ) ，i = 1 ，2 ，礼一1 设 a a 。 使得 2 f 一1 ( 。t ( q ；) 乙：。= i 1 0 i 0 10o 210 00一1 00o oo 0 o - 22 12 则n = a 1 ，) 是5 的单根系，a o 是$ 的根系这里s 。，= c e “+ l e n + i + l ，n + i ，i = 1 ，2 ，札一1 ；5 n 。= c 2 ( e 2 n + 1 一e 2 n + 1 ，2 n ) 对a a o ，q 可如下扩张成b = b o + 功上的线性函数：8 l 。= 0 令血。v + l = ，o 且设+ 1 0 使得 。+ i ( 。? ) = - - 1 ，+ l ( 掣) = 0 ，i = 2 ，3 ， 则 ，。+ 与 。 ，a 。v 。 分别是0 + 与n 的基底令 n + 啦一1 + 2 ，i = 1 棚一1 j + i 2 2 n2 = 吩 m + 卢 1 1 废+ n a 1 1 芦 则有 历州= 卢t + o z t 引理2 6 ( 1 )b 是的c a r t a n 子代数 ( 2 ) d i m 。= 1 ，i = 1 ，n ， 卢。= c e 2 n + 2 p + c z n + t ，风+ l = c e 2 n + 2 ，n “+ c x i ，i = 1 ，礼 一觑= 0 ，i = 1 ，2 n ，卢2 。+ 1 = c z + c e 2 n + 2 ，2 n + 1 ，口1 + 风+ l 其中。= = 。i 【h ，。】= a ( h ) 。，v h b ) ( 3 ) = 0 + 。，其中= a o u 卢，仍1 ，卢l + 1 8 n + 1 ) ( 4 ) 功和 地，i = 1 ，n + 1 ) 生成 引理2 7 设d ( d e r ) b 使得d ( b ) b 则 ( 1 ) d ( e 。= 九e d ( e 咄) = 一九e q ，i = 1 ，n ( 2 )若d x n + l = a l z n + l ，d e 2 n + 2 ，1 = a 2 e 2 n + 2 ，1 ，贝9 a 1 = a 2 ，d e q n + 】= a 1 e o 。+ l ，v e q n + 1 o 。+ l ， 且存在h 。b 使得d = a d h o 证明因【】引理1 3 与s 是半单的，故( 1 ) 是显然的 假设 则 d ( e 2 ，n + i e 1 ，n + 2 ) = a e 2 一+ 1 一e l ，n + 2 ，d ( e 1 2 一e n + 2 ，n 十1 ) = 弘e 1 2 一e n 十2 ，n 十l d x 2 = d e 2 ，n + l e l ，n + 2 ，x n + 1 = ( ) 、+ a 1 ) x 2 d x l = d e 1 2 一e n + 2 n 十1 ，x 2 = ( a + a 1 + “) z 1 d c = d z t ，z 。+ l 】= ( p + a + 2 a 1 ) c 2 3 d c = d e 2 n + 2 ，1 ，2 7 1 = ( p + a + a 1 + a 2 ) c 从而 l = a 2 所以我们可设d e 。= a 。+ 。e 。 因 a ，n 。+ ) 是b + 的基底，所以存在一