（基础数学专业论文）由点群决定的单因子的中心.pdf

须j 士学位论文 m 魄s 丁e r st h b s l s 摘要 r b r a u e r 首先创建了有限群的块理论许多著名的数学家为丰富这个理论做 出了重要的贡献；其中以j a l p e r i n 和m b r o u 6 提出的块的局部理论最为深刻； b r a u e r 子对是块的局部理论研究的基本对象在块的局部理论的框架下，所谓的 幂零块是最简单的为了决定幂零块的代数结构，l p u i g 细化b r a u e r - 子对得到了 点群，形成点群理论，并完整地解决了幂零块的代数结构 为了方便，很多有限群的表示论专家在他们的工作中都对系数域做了充分大的 假设因此相关工作在任意域上的表现形式也是非常令人感兴趣的；这也符合有限 群的表示论与其他代数对象的表示论，如代数表示，相互融合借鉴的趋势在这个指 导思想下，本文主要研究了由自中心化局部点群决定的单因子的中心之间的关系 关键词：中心，单因子，自中心化点群 a b s t r a c t r b r a u e r 矗r s te s t a b l i s h e dt h eb l o c kt l 瑚叮o ft h ef i l l i t eg m u p a f t e 聊a r d s ， m a n yf a m o u sm “h e m a t i c i a n sh a v em a d eg r e a tc o n t r i b u t i o 璐t ot h i st h e o w 锄o n g w h i c ht h el o c 越t h e o 珂0 fb l o c kp r o p o s e db yj a i p e r i na n dm b r o u 6i st h em o s 乇 p r o f o u n do n e b r a u e r - p 心sa r et h eb a s i co b j e c to ft h el o c a lt h e o r yo fb l o c l 【a n d i nt h e8 e z l s eo ft h i st h e o r y ，t h es oe a l l e dn 迅) o t e i l tb l o c ki st h e ：s i m p l 垮t 。 i no r d e r t od e t e r m i n et h ea l g e b r as t r u c t u r eo fn i l p o t e i l tb l o c k ，l p u i gr e f i n e db r a u e 卜p a i r s ， f o r m e dt h et h e o r ) ro fp o i n t e d g r o u p ，a n dc o m p l e t e l ys o l v e dt h ep r o b l e mo ft h ea l g e b r a s t r u c t u r eo fn i l p o t e r l tb l o e k f 0 r s i m p l i e i t y m a n yg r o u pr e p 硝e n t a t i 叩t h e o r 主s t sm a k eb i ge n o u 曲h y p o t h e s i s t og r o u n df i e l di nt h e i rw d r k t h e r e f b r ei ti si n t e r e s t i n gt oi i e s t i g a t ew h a th a p p e 璐 w h e nt kg r o u n d e l di 8s m a n ；t h a ta ；k 妁a c e 。r d s 奶t ht h et r e n dt h a tg r o u pa n d a l g e b r ar e p r e s e n t a t i o 璐a 舱i n v o l v e di ne a c ho t h e r w i t ht h bs p i r i t ，w em a i n l y i n v e s t i g a t et h er e l a t i o nb e t w e e nt h ec e n t e r so fs i m p l ef a c t o r sd e t e r m i n e db ys e l f - c e n t r a l i z i n gp o i n t e d 斟o u p si nt 1 1 i sp 印e r c e n t e r s ，s e l f c e n t r a l i z i n gp o i n t e dg r o u p s ，s i m p l ef 如t o r s i i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声弱：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均己在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 日期：加莒年r 月。日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 日期：年月 日 导师张勘 日期：撕辑唧码日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程 ，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。回意途塞握奎匿溢厦! 旦堂生；旦= 生；旦三生筮壶! 作者签名： 日期：年月 目 导师张、如侮厶妒)导师签名：厶r f 印乙， 日期：乙舾分年厂月曰日 硬士学位论文 m a s 下e r st 珏e s l s 第一章引言 1 1 研究背景 r b r a u e r 首先建立了有限群的块理论，之后在文献 1 】中j a l p e r i n 和m b r o 僮 提出了有限群的块的局部理论，这个理论的基本研究对象是b r a u e r - 子对：若p 是 g 的一个p 一子群，6 尸是c b ( 尸) 的一个块，则( 只6 p ) 称为g 的b r a u e r - 子对 在块的局部理论的意义下，幂零块是最简单的块为了得到幂零块的代数结构， 1 9 8 1 年，在文献 2 】中l p u i g 提出了点群的概念，形成了点群理论为了方便，很 多有限群的表示论专家对他们的工作做了充分大的假设，比如代数闭域上幂零块， 在文献 3 】中，l p u i g 在代数闭域的假设下对它的源代数进行了研究随后，樊恽给 出了任意系数域上幂零块的定义，在文献【5 】中给出了它的源代数的刻画 沿着这样的思路，本文研究了由点群决定的单因子中心之间的关系点群和子 对之间也具有一定的关系，每个子对决定唯一一个点群，反之不然但是当点群为 自中心化点群时，点群和子对之间就存在一一对应关系而且当点群是自中心化点 群时，则它所对应的子对中的块就为幂零块在这种情况下，当我们研究由自中心 化点群决定的单因子的中心之间的联系时，这容许我们利用樊恽关于任意域上幂零 块的结果 1 2 主要结果 g 为有限群，k 是特征为p 的域，矾和只是k g 上的自中心化局部点群， qqp ，q 占cb 定理记号如上存在同构 z ( 圪g ( q 6 ) ) 竺( z 仡g ( b ) ) p c g ( 劭p b r 酽( 1 ) p 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二章基本的引理和定理 以下始终设x 是群，g 为有限群，z ( g ) 表示g 的中心( p ) = 9 g i 9 p = p 9 ，跏p ) ，k 是代数闭域，特征为弘p 为素数对任意一个k 一代数a ，我们记 为a 的所有可逆元组成的集合，p ( a ) 为a 的本元幂等元的a 。一共轭类组成的 集合j ( a ) 为a 的根 定义2 1 设a 是有单位元的k 一代数，若x 作用在a 上，即任意的o a ，z x ，扩a ，且这个x 一作用使a 是个右k x 一模对于所有的o ，6 a ，z x 有 ( n 6 ) z = 铲铲，此时称a 为仡上的x 一代数 定义2 2 设a 为k 上的x 一代数，日为x 的有限子群，定义a h = o a 1 0 = 口，v 日) 很明显a 日是a 的子代数，若日，g 是x 的子群，如果日g ，那么a g a 日 定义2 3 若日，g 是x 的子群，使日g ，定义t r g ：a 日一a g 为n 鲁( 口) = o $ ，g 日表示g 在日中的右陪集，我们把这个映射称为迹映射，记这个映 z g ? h 射的象为4 嚣，它是a g 的理想 迹映射有如下主要性质； 引理2 4 【1 ，命题2 1 】设a 为k 上的x 一代数，p ，日，g 是x 的子群， o a p ，6 a 日，贝0 有： ( 1 ) 若尸c 日那么n 多( o ) = t 罐( n 多( o ) ) ； ( 2 ) t r g ( n ) = 量，。t r 备n p 。( q 8 ) ； 8 h g p ( 3 ) n g ( o ) n 嚣( 6 ) = t r 嚣n 。一。p 。( n 8 6 ) s h g ? p 我们再来看看b r a u e r 映射的定义和性质； 2 颓士学位论文 m a s 舵r st h e s i s 定义2 5 设a 为k 上的x 一代数，g 是x 的有限子群，记a ( g ) = a g a 譬， 日 其中日跑遍g 的所有真子群，记b 偿为a g 到a ( g ) 的标准映射；若x 是有限 群，g 是x 的p 一子群，a 是群代数k x ，则a ( g ) 同构与k 以( g ) ，此时b 7 各为； b 略x ：k xhk c k ( g )uo o 、， 当z 属于c k ( g ) 时，召唯x ( 8 ) = 口，当。不属于c k ( g ) 时b r 铲( 8 ) = o 显然 b r 铲映射是从仡x 到k c 支( p ) 的圪一线性映射 引理2 6 【1 ，命题2 5 】若有限g 作用在群x 上，尸是g 的p 一子群，j 5 f r 矿 具有以下性质； ( 1 ) b 映射是个( p ) 一模同态，其中 r ( 尸) = g ( 尸) = 夕g b 一1 p 9 = p ) ； ( 2 ) 设日是g 的子群，p 日，则 ( t ) k e r ( b r 铲) n ( 从) 日= ( 以) 孑，q 跑遍日中与q 共轭的子群之外的所有 日的子群； ( i t ) ( 仡x ) p = 仡以( p ) o ( k x ) 是，r 跑遍p 的真子群； ( 谢) b 略x 诱导( k x ) p 到仡c k ( p ) 的代数同态 定义2 7 设r 是半单环，厶是冗的极小左理想，则 r = b 1o o ( 2 7 1 ) 其中b i 是所有与厶同构的r 的极小左理想的和我们把最称为冗的单因 子 由( 2 。7 1 ) 式有1 = 6 l + + k ，瓯最，易知玩是晟的单位元我们称鼠是 阮所对应的单因子 我们知道，设a 是，c 一代数，由幂等元的提升定理可知，若，是a 的理想，则 对于q p ( a ) ，有qc ，或q + j p ( a ，) 3 硕士学位论文 t a s t e r st h e s l s 特别的，令j = ，( a ) 则有p ( a ) 到a j ( a ) 的单因子的一一映射 事实上，对于任意的a p ( a ) ，则口垡j ( a ) ，由以上可知，口+ ，j 9 ( a 了( a ) ) ， 对于任意的q + ，存在唯一的p ( a j ( a ) ) 的本原中心幂等元e a 使( q + ，) e q = q + ， 我们把与e a 对应的单因子记为a ( 口) ，即得到一一映射： p ( a ) _ a j ( a ) 的单因子q a ( 口) 记为a 到a ( q ) 的标准同态映射，则有 引理2 8 设a 为k 上的x 一代数，j 是a 的理想，q p ( a ) ，则有qcj 当 且仅当& ( j ) o ) 证若qcj ，由& 的定义可知，& ( q ) o ) ， 所以( j r ) o ) 若& ( j ) o ) ，则有任意z 口，z + ，( a ) ( j + j ( a ) ) e nc ，+ j ( a ) ，即 z ，+ j ( a ) ，又因为z 不属于j ( a ) ，所以z j ，即qc ， 下面给出点群和局部点群的定义； 定义2 9 ( 1 ) 设a 为圪上的x 一代数，g 是x 的一个有限子群，q p ( a g ) 则称g 口是a 上的点群q 称为g 在a 上的个点记a ( g a ) = ( a g ) ( q ) ； ( 2 ) 若g a 和鳓都是a 上的点群，若日cg 且对q 存在歹p 使 巧= 歹= 力，则称鳓包含于g q ，记为cg a ； ( 3 ) 若p 是p 一子群，b 矽( ，y ) o ，则点群b 是局部的，或称7 是p 在a 上的局部点记z 纵( 尸) 为p 在a 上所有局部点群组成的集合 显然，点群之间的包含关系是可迁的如果g n 和是点群，其中日cg ， 那么炜cg a 等价于昂( q ) o ) ；事实上，若t a ，j 是a 日的一组本原正交 幂等元使得i = j i ，则有即( j ) = o ) ，对于歹j 一侥且函( j ) f o ) 等价于 j j jn p 1 2 i 由文献【2 中2 6 7 页可得 4 引理2 1 0 设a 为k 上的x 一代数，y 是p 在a 上的局部点当且仅当s ( 邻) = o ) ，q 是p 任意真子群 定义2 1 1 若已cg o 是极大的局部点群，则称只是g a 的亏点群 下面给出亏点群的等价刻划； 引理2 1 2 2 ，命题1 3 设a 为k 上的x 一代数，g a 是a 上的点群 ( 1 ) 如果p 是g 的一个极小子群使qca g ，那么存在7 z 纵( p ) ，使 b cg q ，且口cn g ( a p ，y a p ) ； ( 2 ) 局部点群b 包含于g a 是极大的当且仅当qca g ； ( 3 ) 群g 可迁的作用在包含于g q 的极大局部点群组成的集合上 引理2 1 3 【2 ，定理1 2 】设a 为k 上的x 一代数，g a 是a 上的点群，b 是 包含于g a 局部点群，令= g ( b ) p ， a 7 g ( f ) = 夕g 1 9 1 p 9 = p ) 9 1 7 夕= 7 ) ，则有 s ( a g ) = a ( b ) ，且s ( 竹g ( n ) ) = n ，( s ( o ) )o a p ，y a p 下面给出子对的定义和相关结论； 我们知道，有限群g 的块指的是圪g 的中心z ( k g ) = ( k g ) g 的本原中心幂等 元设a 为圪上的x 一代数，若6 是f 的一个本原幂等元，那么一定存在g 的 一个p 一子群d ，使得对于g 的任意k ，6 a 龛当且仅当d gk 这种d 称为 6 在g 中的亏群 定义2 1 4 记6 是g 的一个块，令q = 6 ) ，则q 是g 在k g 上的一个点，记 b 是g 口的一个亏点群，对于k g 上的任何局部点群q 6 ，满足酝cb 和g 的任 意元素z 满足( 轨) zcb ，我们有z = z u 其中z ( q ) 且“p ，则称6 是幂 零块 定义2 1 5 若p 是g 的一个p 一子群，b p 是( 尸) 的一个块，则( p ，b p ) 称 为g 的一个子对 5 硕士学位论文 m a s t e r st h b s 【s 定义2 1 6 若( 只b ) ，( q ，6 q ) 是g 的子对，我们称( q ，6 q ) 正规于( p ，6 p ) 记 为( q ，6 q ) 司( 只6 p ) 如果满足以下三条； ( 1 ) q q p ( 2 ) 6 q 在p 一共扼下稳定( 3 ) 6 p b r 妒( 6 q ) = 6 p 定义2 1 7 若( p ，6 p ) ，( q ，6 q ) 是g 的子对若存在整数n 1 和一系列的 g 的子对( r ：d ，b ) ( 忍，k ) 使( q ，幻) = ( 凰，b o ) q 司( 取，k ) = ( 只6 尸) ，则称 ( q ，幻) 包含于( p ，6 p ) 记为( q ，的) c ( p ，6 p ) 定义2 1 8 若6 是g 的一个块，那么子对( p b ) 称为6 一子对，若( 1 ，妨c ( 只6 p ) 一个6 一子对( d ，6 d ) 称为一个勖z 删6 一子对，若d 是b 的亏群 定义2 1 9 若6 是g 的一个块，( d ，6 d ) 是一个g 的勖f 伽j 6 一子对，f 是包 含于( d ，6 d ) 的子对组成的集合若6 一子对( p 6 p ) 和( q ，6 q ) 都包含于( d ，b ) 且( p ，6 p ) 夕= ( q ，的) ，夕g ，如果存在f 的一列元素( r 1 ，6 1 ) ( 忍，h ) ，对于每个 t ，1 i 佗，鲰( 玩) ，( 玩) 表示g 中兢的稳定子，有以下性质： ( 1 ) ( p i6 p ) c ( r 1 ，6 1 ) ； ( 2 ) ( p 6 p ) 9 ，肌c ( r ，6 1 ) ，任意1 is 他 ( 3 ) 9 = 夕1 鲰 那么( p ，6 p ) 和( q ，吣) 称为关于9f 一共轭 定义2 2 0 若6 是g 的个块，( d ，6 d ) 是一个g 的勋f d 伽6 一子对，f 是包 含于( d ，6 d ) 的子对组成的集合如果6 一子对( p 6 p ) 和( q ，6 q ) 都包含于( d ，6 d ) 且( p i6 p ) g = ( q ，幻) ，9 g ，则( 尸6 p ) 和( q ，6 q ) 关于9f 一共轭，那么f 称为g 中( d ，6 d ) 的共轭集 定义2 2 1 若6 是g 的一个块，( d ，6 d ) 是个g 的勖f d 叫6 一子对，f 是包 含于( d ，6 d ) 的子对组成的集合如果对于任何包含于( d ，6 d ) 的子对( p b ) ，存 在f 中的子对( 兄，) ，使( p ，6 p ) 和( 冗，6 r ) 在g 中共轭且( 冗，妇) 是( d ，6 p ) 的极 大子对，那么f 称为极大的 引理2 2 2 【l ，定理4 1 0 若6 是g 的个块，( d ，6 d ) 是一个g 的勖f 伽6 6 硕士学位论文 d a s t e r st h b s 瞎 子对，f 是包含于( d ，6 d ) 的子对组成的集合如果f 是极大的，那么f 是g 中 ( d ，6 d ) 的共轭集 定义2 2 3 若6 是g 的一个块，( d ，6 d ) 是个g 的s 可f 伽6 一子对，若日是g 的个子群，则日是( d ，6 d ) 的个6 一控制子群如果满足当( p 6 p ) ，( p 6 p ) 正z g 是包含于( d ，6 d ) 的6 一子对时存在z c ，g ( p ) ，日使z = 纠 引理2 2 4 若6 是g 的一个块，( d ，场) 是一个g 的勋f 删6 一子对，日是包 含与d 的子群那么以下等价： ( 1 ) 日是( d ，b ) 的一个6 一控制子群； ( 2 ) 若( 只6 p ) 是包含于( d ，b ) 的一个子对，那么( ) = ( 日n ( 6 p ) ) ( p ) ； ( 3 ) 若( 只6 p ) 是包含于( d ，6 d ) 的一个极大子对，那么( 6 p ) = ( 日n ( b ) ) c i g ( p ) 证首先假设( 1 ) 成立，若z ( 6 p ) ，那么 ( p ，6 p ) $ = ( p ，6 p ) ，由假设可知，存在z ( 尸) ，y 日使z = z 秒，但z ( 6 p ) ，所以芗= z 一1 z ( 6 p ) ，即 可日n ( 6 p ) 显然由( 2 ) 可得到( 3 ) ， 假设( 3 ) 成立，f 是包含于( d ，6 d ) 的极大子对组成的集合，有引理2 2 2 可得 f 是g 中( d ，6 d ) 的共轭集设( p ，6 p ) z ，( p 6 p ) 包含于( d ，6 d ) ，选择f 中的子对 ( r l ，6 1 ) ( r ，k ) 和职( 玩) ，1si 豫因此z = 9 l 鲰且有( p ，b ) f 一共轭 于( p 6 p ) 霉，每个吼= 磊玑，盔( 尼) ，玑日n ( 玩) ，那么! = ! ，1 日，因此 z = z 秒一1 c k ( p ) 且z = z 秒，z c k ( 尸) ，可日，即得到( 1 ) 定理2 2 5 若q 是z ( g ) 的一个p 一子群，6 是g 的一个块，q 是b 的一个亏 群，则6 是个幂零块 证设吼是g d 的亏点群，记酝对应的6 一子对旧，6 q ) ，下证q 对于( q ，的) 7 是6 一控制的 设任意子对( 日，6 日) c ( q ，的) ，则有 ( qn ( 咕) ) ( 日) = q ( h ) = ( 日) 事实上因为日cqcz ( g ) ，所以( 日) = g ， 又6 日z ( c g ( 日) ) = z ( g ) 所以( 咕) = g ， 即( qn ( 咕) ) ( 日) = ( 6 日) ， 由引理2 2 4 可知q 对于( q ，6 q ) 是6 一控制的。对于致cg 及罐c 轨，z g 其中置对应的6 子对为( 日，珏) ，则有( 丑，珏) c ( q ，的) ，( 日，培) zc ( q ，均) z g 由于q 是6 一控制的，则z = z uz ( 日) 让q 由幂零块的定义可得6 是 幂零的 由文献 2 】中2 6 7 页可知，对于k g 上包含于点群忌的任何个局部点群b 对应于个6 一子对( p ，6 p ) ，6 e 其中 6 p b r 妒( 7 ) = b r 垆( ，y ) 若已，轨是包含于r 的局部点群，则由阢c 马可 得( q ，) c ( p 6 p ) ，由文献 1 】可知，此时若q 司p 则有( q ，6 q ) q ( p ) 6 p ) 定义2 2 6 设q 是g 的p 一子群，仍是圪g 上的局部点群，则b r 铲( 6 ) p ( k c ，g ( q ) ) 存在唯一的k c r g ( q ) 的个块幂等元6 q ，使b 7 铲( 6 ) 6 q _ o ) 若z ( q ) 是6 q 在锯( q ) 的亏群，则称q 6 是自中心化局部点群 推论2 2 7 仉，b 是k g 上的局部点群且自中心化，轨，b 所对应的子对分别 为( q ，6 q ) ，( p ，6 p ) ，则幻，b 是幂零的 证由于仇是k g 上的自中心化点群，则z ( q ) 是的在( q ) 上的亏群，由 定理2 2 4 可得的是幂零的同理可得6 p 是幂零的 由文献【4 】可得 引理2 2 8 g a 是k g 上的点群，映射： 8 包含于g q 的局部点群) 一 6 一子对) ，6 q g _ ( q ，幻) 其中6 q b r 铲( 6 ) = b r 铲( 6 ) 为一一映射，若对于每个6 一子对酝，k c g ( q ) 均有唯一的不可约模特征标 定理2 2 9 g a 是k g 上的点群，映射： 包含于g a 的自中心化局部点群) _ 6 一子对) ，6 a 砚_ ( q ，吣) 其中6 q b 7 铲( 6 ) = b r 铲( 6 ) 为一一映射 证因为q 6 是自中心化局部点群，由推论2 2 7 可得6 q 为幂零的，则k ( q ) 6 q l ，( 仡( q ) 6 q ) 是一个单圪一代数，则k c g ( q ) 6 q 有唯一的不可约模特征标，由引理2 2 8 可得此映 射为一一映射 下面可得到点群和子对的一个重要结论； 定理2 3 0 若酝，只是k g 上的自中心化局部点群，gcb ，q 日p 则有 ( q ，) 司( p b ) 定理2 3 1 在心g 上，若只是g a 的亏点群，其中q = 6 ) ，6 是g 的一个块 幂等元，则有 z ( k g j ( z ( k g 6 ) ) 笺( k g ( 只) ) ) g b ) p = ( z ( k g ( 只) ) ) g 一p 9 磺士学位论文 m a s t e r st h e s l s 第三章主要结果 3 1 考虑两特殊点群 酝和b 是k g 上的局部点群且是自中心化的，仉cb ，qqp 仉，b 所对 应的子对分别为( q ，幻) ，( 只6 p ) 结论3 1 1 学( 们是k ( q ) 上的局部点群 证明因为q 是尸的正规子群，b r 铲将( 后g ) p 满射地映射到( 七( q ) ) p 又 7 是( 忌g ) p 的一个本原幂等元的集合，所以b 7 铲( 7 ) 也是( 后c r g ( q ) ) p 的一个本原 幂等元的集合 结论3 1 2 p ( q ) 1 i b q ) 是k ( q ) 上的点群 证明幻在z ( k ( q ) ) 中是本原的而吣( 斤( q ) ) p ( q cz ( k ( q ) ) ，所 以尸c g ( q ) p 口) 是尤c g ( q ) 上的点群 结论3 1 3 足呼cp ( q ) 加 证明因为b r 垆( 的b r 铲n ) ) = b r 垆( 6 q ) b r ；g ( 7 ) 又( q ，均) 司( 只6 p ) ，则 6 p b r 严( 幻) = 6 p ，则6 p b r 垆( 吣) b r ( ，y ) = 6 p b r 妒( ，y ) = b r 尹( 7 ) o 所以互玢妒( 幻b 学( ，y ) ) = b r 妒( 幻) b r 笋( 7 ) o ， 即吣b r 铲( 7 ) o 由两点群包含的定义可得b ，铲( 1 ) c 尸c r g ( q ) t 幻 结论3 1 4 铲h ) 是p ( q ) 的亏点群 证由于我们正在假设仉是自中心化点群，所以吣作为k ( q ) 的块的亏群 是z ( q ) ，而且( q ) = z ( q ) 另一方面，由于b r 笋q ( b 带( ，y ) ) = b r 笋( 7 ) o ， 1 0 所以p 必须包含在p ( q ) b 口) 的一个亏群t 中；而且由块的覆盖性质，我们有 tn ( q ) = z ( q ) 从而t = r np ( q ) = 尸( tn ( q ) ) = p 最后由于r 占g ( 们是局部的，所以p b r 铲是p c 0 ( q ) b q ) 的亏点群 3 2自中心化点群决定的单因子中心 定理3 2 1 记号如上，存在同构 z ( k g ( 轨) ) 竺( z k g ( b ) ) p c g ( 铆r 铲( 1 ) 伽 证明在3 1 中，我们得到在仡( q ) 上，酽是p c r g ( p ) 9 q 的亏点群，由定 理2 3 l 有 z ( k ( 珐( q ) 6 q ) 了( z ( k ( 强( q ) 6 q ) ) 掣( k ( q ) ( 岛学( 7 ) ) ) p ( 口) p 口管( 7 ) 坳 笺( z ( 圪( q 慨酬萨水) 叼1 ) ) p 又6 q 是幂零的，所以z ( k g ( 钆) ) 笺z ( k ( q ) 6 q ) 了( z ( k ( q ) 的) ) 而且k ( q ) ( 岛够h ) ) 垡 ( k g ) ( 只) 参考文献 【1 】j a 1 p e r i na n dm b r o 砸，l o c a lm e t h o d si nb l o c kt h e o r y a n n a l so fm a t h e m a t i c s 1 1 0 ，1 4 3 1 5 7 ( 1 9 7 9 ) 2 l p u i g ，p 0 i n t e dg r o u p sa n dc o 璐t r u c t i o no fc h a r a c t e r s m a t h z 1 7 6 ，2 6 5 _ 2 9 2 ( 1 9 8 1 ) 3 】l p u i g ，n i l p o t e n tb l o c k sa n d t h e i rs o u r c ea l g e b r e s i i l v e n tm a t h 9 3 ，7 7 - 1 1 6 ( 1 9 8 8 ) 【4 】y u nf a n ，t w oq u e 8 t i o n so nb l o c k sw i t hn i l p o t e n tc o e 伍c i e n te x t e n t i o n a l g e b r a c o l l o q u i u m 4 ：4 ，4 3 9 - 4 6 0 ( 1 9 9 7 ) 5 】y l l nf 芒m ，t h es o u r c ea l g e b r 勰o fn i l p o t e n tb l o c k so v e ra r b i t r a r yg r o u n d f i e l d s j a l g e b r a 1 6 8 ，6 0 昏6 3 2 ( 1 9 9 4 ) 【6 】m b r o u 6 ，c h a r a c t e r sa n dl o c a ls t r u c t u r ei ng a l g e b r a ，j a 1 9 e b r a 6 3 ，3 0 昏 3 1 7 ( 1 9 8 0 ) 7 】y u 黼觚gz h o u ，b 龉i c am 砸t ae 叫v e l e n c e sl o c a ll e 油j a l g e b r a 2 9 8 ，4 9 孓 5 0 6 ( 2 0 0 6 ) 【8 】c h a r e l 鹤w c u r t i s ，i r y i n g ，r 崩n e r ，r e p r e s e n t a t i o nt h e o 珂o ff i l l i t eg r o u p sa n d a