炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷.doc

理科数学试题(附中版)炎德英才大联考湖南师大附中届高三月考试卷(二)数学(理科)命题人：吴锦坤张汝波审题人：黄祖军时量：分钟满分：分第卷一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.()已知集合，那么()() ()() ()()已知是虚数单位，复数满足，则的模是()() () () ()()下列命题正确的是()()(，)， ()()， ()() ()(，)，【解析】选项不正确，如取，有. 因为当时， ，所以选项不正确.当()时，()()，所以选项正确.由，得或，所以选项不正确. 故选.()已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图，侧视图，俯视图都是边长为的正方形，则该几何体的表面积为()() () () ()【解析】几何体为一个正方体割去了一个三棱锥后所得的几何体，结合数据得：().()运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于，则的取值范围为()() () () ()【解析】依次运行程序框图中的语句可得，；，；，.此时结束循环，输出的，则，故选.()从一副混合后的扑克牌(张)中随机抽取张，事件为“抽得红桃”，事件为“抽得为黑桃”，则概率()()() () () () ()若(，)称为二次元函数，已知(，)，则()的最大值等于()() () () ()【解析】由题意可将题目转化为已知实数，满足的约束条件求的最大值，作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影所示，由图知，当直线经过点()时，取得最大值，为.故选.()已知函数()是定义在上的奇函数，当时，().若，()()，则实数的取值范围为()() () () ()()在直角梯形中，分别为，的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上变动(如图所示).若，其中，则的取值范围是()() ()()(，)(，) ()【解析】以为坐标原点，、分别为，轴建立平面直角坐标系，依题意得()，()，()，()，()，设( ， )，依题意，即( ， )，两式相减得 ，.()已知函数()，把函数()的图象向右平移个单位，得到函数()的图象，若，是()在内的两根，则()的值为()() () () ()【解析】()，其中 ， .将函数()的图象向右平移个单位，得到()()的图象.由，是()在内的两根，知方程()在内有两个根，即直线与()的图象在内有两个交点，且，关于直线对称，所以，所以() .()若点(，)为抛物线上一点，过点作两条直线，分别与抛物线相交于点和点，连接，若直线，的斜率都存在且不为零，设其斜率分别为，则()() () () ()【解析】设点(，)，(，)，因为点(，)在抛物线上，所以，故直线的方程为，由得，此方程的两个根分别为，同理可得，化简得，故.()设曲线()在点(，)处的切线为，曲线在()在点(，)处的切线为.若存在，使得，则实数的取值范围为()() () () ()【解析】函数()的导数为()，的斜率为()，函数()的导数为()的斜率为()，由题设有从而有()()()，存在，得到，又，令导数大于得，故在()是减函数，在上是增函数，时取得最大值为；时取得最小值为.第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第()()题为必考题，每个试题考生都必须作答。第()()题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题，本大题共小题，每小题分，共分.()已知()，且()，则的值是.()若的内角满足 ，则 的最小值是.【解析】由 得，即， .()点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是.【解析】过点作于，连结，设，则有 ， ，.在中，由余弦定理得 ，在中，由勾股定理得 ，所以当时，取得最小值为.()设是双曲线(，)在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，若，设且，则双曲线离心率的取值范围是.【解析】设左焦点为，令，则，所以.因为，所以，所以，即.又因为 ，于是 得 .因为，所以 ，故，故.三、解答题：共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.()(本小题满分分)数列中，且，.()设，求证数列为等差数列；()求数列的前项之和.【解析】()由，则()()(常数)，故是以为首项，为公差的等差数列分()由()知，即，于是()()()()()，分故.分()(本小题满分分)如图，四棱锥，底面是直角梯形，底面，是边长为的等边三角形，.()求证：平面平面；()若点为中点，求二面角的余弦值.【解析】()是边长为的等边三角形，底面是直角梯形，又，.又底面，平面，平面，平面平面分()以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过且与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，则(，)，(，)，()，设平面的法向量为(，)，则取，(，)分为中点，则，设平面的法向量为(，)，则取，分由 .二面角的余弦值为分()(本小题满分分)计划在某水库建一座至多安装台发电机的水电站，过去年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在以上，其中不足的年份有年，不低于且不超过的年份有年，超过的年份有年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.()求在未来年中，至多年的年入流量超过的概率；()水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系：年入流量发电机最多可运行台数若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【解析】()依题意：()，()，()，分由二项分布，在未来年内至多一年年入流量超过的概率为：()() ；分()记水电站年总利润为(万元)，由于水库年入流量总大于，所以至少安装台，情形：安装台发电机：一台发动机运行的概率为，利润 ， ；分情形：安装台发电机：当时，只能台发电机运行，此时 ，则( )()，当时，两台发电机运行，此时 ，则( )()，故的分布列为： 从而 ；分情形：安装台发电机：当时，只能台发电机运行，此时 ，则( )()，当时，台发电机运行，此时 ，则( )()，当时，台发电机运行，此时 ，则( )()，从而的分布列为： 则 ；分总上分析，要年利润均值最大，应该安装台发电机分()(本小题满分分)如图，已知椭圆：()的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：()()，设圆与椭圆交于点与点.()求的最小值，并求此时圆的方程；()设点是椭圆上异于，的任意点，且直线，分别与轴交于，点，为坐标原点，求证：为定值.【解析】()依题意，得，则，则椭圆方程为：，分显然，点，关于轴对称，不妨设(，)，(，)()，则(，(，)()，分而点，在椭圆上，则，则()，又，则时，取得最小值分此时，所以取最小值时，圆的方程为()分()设(，)，则直线的方程为：()，令得，同理可得：，故分又点，在椭圆上，故()，()，代入得：，所以，为定值分()(本小题满分分)已知函数()，函数() ，.()若曲线()与直线相切，证明：()()；()若函数()与()的图象有且仅有一个公共点(，)，证明：.【解析】()设曲线()与直线相切与点(，)，则，分而点(，)在曲线()上，将点代入得，分令()()() ()，则()，分当()时()，函数()单调递减，当(，)时()，函数()单调递增，故函数()的最小值为()，即()()；分()()()() ，由题意函数()有且仅有一个零点，因为()，()，则()为(，)上的增函数，且其值域为，故()在(，)上有唯一的零点，设为，则当(，)时()，则()单调递减，当(，)时()，则()单调递增，从而函数()在处取得最小值，又函数()有唯一零点，则必有，所以：消去整理得：() ，令()() ，显然为其零点，而()()，故()在()上单调递增，在(，)上单调递减，而()，() ，所以()在()内有且仅有一个零点，在，)内无零点，从而()的零点一定小于，即分请考生在第()()题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。()(本小题满分分)选修：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角).以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位，建立极坐标系.圆的极坐标方程为 ，设直线与圆交于，两点.()求圆的直角坐标方程与的取值范围；()若点的坐标为()，求的取值范围.【解析】()圆的直角坐标方程分把代入得 分又直线