（基础数学专业论文）李超三系的泛中心扩张.pdf

摘要 李超三系是李代数和李三系的自然推广，并且应用它解决了y a n g - b a x t e r 方程问 题本文首先介绍了李超三系的基本定义和相关概念，这是研究李超三系问题的依据 然后，我们给出了李超三系中心扩张和泛中心扩张的基本性质，并获得了其存在的条 件，李超三系泛中心扩张存在当且仅它是完备的并且构造了u c e 函数，进而证明了李 超三系的自同构群和导子提升的存在性 关键词：李超三系；中心扩张；泛中心扩张；自同构群和导子 i a b s t r a c t l i es u p e r t r i p l es y s t e m si st h e n a t u r a lp r o m o t i o no f l i ea l g e b r a sa n dl i et r i p l es y s t e m s ，a n d i ti sa p p l i e dt os o l v et h ep r o b l e mo fy a n g - b a x t e re q u a t i o n t h i sp a p e rf i r s ti n t r o d u c e st h e f u n d a m e n t a ld e f i n i t i o na n dr e l e v a n tc o n c e p t i o n so fl i es u p e r t r i p l es y 8 t e m s ，w h i c hi sc o n s i d e r e d t ob et h eb a s i so ft h es t u d yo fl i es u p e r t r i p l es y s t e m si s s u e t h e n t h eb a s i cp r o p e r t ya n d m a i nr e s u l t so ft h el i es u p e r t r i p l es y s t e m sw e r eo b t a i n e d ；w ea l s op r o v e dt h a tt h ee x i s t e n c e o ft h eu n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n si si fa n do n l yi ft h el i es u p e r t r i p l es y s t e m sa r ep e r f e c t ；t h e e x i s t e n c eo fl i f t i n go fa u t o m o r p h i s m sa n dl i f t i n go fd e r i v a t i o n so fl i es u p e r t r i p l es y s t e m sa r e v a l i d a t e db yt h eo b t a i n e dr e s u l t k e yw o r d s ：l ，i es u p e r t r i p l es y s t e m s ；c e n t r a le x t e n s i o n ；u n i v e r s a lc e n t r a le x t e n s i o n ； a u t o m o r p h i s m sa n dd e r i v a t i o n s i i 独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师指导下独立进行研究工作 所取得的成果据我所知，除了特别加以标注和致谢的地方外论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果对本人的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中作了明确的说明本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：l 噼 日期上牛西 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 r ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) ， 学位论文作者签名：猛至垄鲤巨指导教师签名：删 日期：鲨2 ：型! 日期：迎拿。【才 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 东北师范大学硕士学位论文 引言 李三系于2 0 世纪4 0 年代开始形成，经过几十年的发展，至今已是具有丰富、深刻 内容的数学分支李三系的发源地主要有微分几何、李代数及j o r d a n 代数等，其出现 与e c a r t a n 关于r i e m m a n 对称空间的工作有密切的关系，李三系可自然地由李代数， 李代数的对合自同构得到 李超三系的概念是在解物理上的y a n g b a x t e r 方程的过程中逐渐被引入的1 9 9 3 年，在文献【1 】中s u s u m u o k u b o 应用三元乘法解y a n g b a x t e r 方程进而，在【2 中 他给出了李超三系和左变换的定义，并且给出了许多具体的例子在 3 中他又讨论了 q u a s i c l a s s i c a l 李超三系，并且在给出了很多具体的例子后，将其应用于解y a n g b a x t e r 方程。虽然李超三系的概念很新，但它已被普遍接受李超代数是上个世纪由 物理学家提出来的基于李超代数与李代数的密切关系以及其在很多领域更加广泛的 应用，使得对于李超代数的研究迅速发展起来，并成为数学领域又一极其活跃的分支 单李超代数一直是人们最关注的也是要首先解决的重点v g k a c 早在二十世纪七十 年代就给出了单李超代数的分类，并详细讨论了典型单李超代数的根系、偶部分的构 造等一些问题正如李三系与李代数的关系一样，李超三系和李超代数也有着密切的 联系，物理学家通常称李超代数为忍一阶化李代数通常说来，l t 是一个幺f 一模，切 是一个一般的李代数李代数的很多重要的性质对李超代数未必成立，例如，李代数的 l i e 定理和l e v i 定理通常对李超代数都不成立又如，大家熟知的，一个半单李代数可 以分解成单李代数的直和，但这对李超代数并不成立，类似地李三系的一些结论对李 超三系也未必成立 泛中心扩张在李超代数中有很多的重要的理论文献 4 介绍了超代数泛中心扩 张的一些基本的概念和理论首先给出一些概念，李超代数的扩张指的是李超代数的 短正合列：0 一，二k 三l _ 0 满足a 是单射，p 是满射，且k e r # = j m 入扩张 ，：k _ l 叫做l 的中心扩张，如果k e r l l cz ( k ) a 的中心扩张，：k 7 _ l 叫做一 个泛中心扩张，如果对于任意的中心扩张，：k _ l ，存在唯一的一个同态g ：k k 7 满足：，og = ，7 然后得到了一个李超代数有泛中心扩张当且仅它是完备的同时构 造并证明了李超代数的张量积也是一个李超代数，利用这些又给出了李超代数的自同 构群和导子提升的基本结论，这些都是很有价值的结论在文献 6 】相应的给出了保角 李超代数的泛中心扩张概念，同样的给出了类似李超代数的一些关于保角李超代数泛 中心扩张和自同构群，导子提升的重要的理论文献【7 】利用类似的手段又给出了有两 1 东北师范大学硕士学位论文 个运算的代数的泛中心扩张、自同构群和导子提升的理论 本文基于李超三系与李超代数有着密切的关系，受到李三系、李超代数的启发，借 助李超代数构造和证明的一些方法和结论，来研究了李超三系的一些基本的概念和性 质，主要目的是研究李超三系的泛中心扩张，自同构群和导子提升问题泛中心扩张在 李超三系同样也是一个重要的研究课题，研究它们具有很高的理论价值我们获得的 一系列的结果，更好的补充了李超三系的理论 2 东北师范大学硕士学位论文 1 基本概念和记号 本文用h g ( v ) 表示邑一阶化的线性空间v 的所有汤一奇次元素的集合，显然 h g ( v ) = 瞻u 碍，其中历= _ - ) ，其中( 一1 ) 西= 一1 ，( 一1 ) - = 1 定义1 1 【2 】 若线性空间y ，满足v = 0 埒，即v 可分解为两个空间瞻和瞻 的直和，其中瞻= z v f fzf = 研，埒= 如v i izi = d ，用lzi 表示z 的阶化次数， 并记，izi _ p ，p 历，则称y 是汤一阶化线性空间 定义1 2 【2 】 一个玩一阶化线性空间y 被称作是一个李超三系，如果它有一个三 元运算，vxvxv 满足： ( 1 ) l 陋，y ，z 】i = izi + jyl + i 2i ，比，y ，z h g v ( 1 1 ) ( 2 ) b ，y ，2 l = 一( 一1 ) 渖l l l y ，x ，名】，v x ，y ，z h g v ( 1 2 ) ( 3 ) ( 一1 ) 圳m k ，y ，纠+ ( 一1 ) mj 刮陟，z ，纠+ ( 一1 ) k i i 掣l z ，z ，引= 0 ，比，y ，z h g v ( 1 3 ) ( 4 ) 【u ，u ，k ，y ，z 】= 【阻，t j ，卅，y ，2 1 + ( 一1 ) ( i u i + l 叫) 恤i p ，【仳，v ，引，习 + ( 一1 ) d 训+ i 叫) ( 陋i + l u l ) x ，y ， 乱，口，z 】 v x ，y ，u ，口h g v , z 矿( 1 4 ) 定义1 3 f 2 1 李超三系y 的中心定义为c ( v ) = 扛v l z ，v 卅= o 定义1 4 【2 】 设矿是李i f t t = $ ，妒e n d ( y ) 西，若 妒( k ，y ，z 】) = i 妒( z ) ，妒( y ) ，妒( 名) 】，v z ，g ，z v( 1 5 ) 则称妒为y 的同态，若妒是单( 满) 线性变换，则称妒为单( 满) 自同态若妒是既单 又满的自同态，则称为的自同构，y 的所有自同构构成的集合是一个群，我们把y 的自 同构群记为a 耐( y ) 定义1 5 1 5 】 对李超三系v ，i i d e n d ( y ) 万，9 z 2 ，若 d ( k ，y ，z 】) = 【d 0 ) ，y ，z + ( 一1 ) d i k ，d ( 秒) ，名】+ ( 一1 ) ( + 川) f d i 【z ，y ，d ( 名) 】( 1 1 6 ) 则称d 为李超三系的导子 令功( y ) 为y 的所有次数为秽的奇次导子组成的集合，p 易，定义 d ( v ) ：= 上踣( y ) o 工峙( y ) 称d ( v ) 的元素为y 的导子 定义1 6 f 5 】 李超三系y 的左，右乘变换是v v _ e n d ( v ) 的映设，满足： l ( x ，! ，) ( 2 ) = 【z ，y ，名】，v z ，y ，z v( 1 7 ) r ( z ，y ) ( 名) = ( 一1 ) i 。i ( 1 2 i + l 训) z ，y ，z 】，v z ，秽，z v( 1 8 ) 3 东北师范大学硕士学位论文 称l ( x ，可) ，r ( z ，y ) 是李超三系y 的左，右成变换 由( 1 4 ) 式知，l ( x ，耖) ( z ，y v ) 是李超三系y 的导子，我们把形如 d = l ( 甄，犰) ，x i ，轨矿 的导子称为y 的内导子y 的全体内导记为d o ( v ) 命题1 1 【5 】李超三系y 的导子全体d ( v ) 在运算 【d l ，d 2 】= d l d 2 一( 一1 ) 1 d l l + i d 2 i d 2 d i ( 1 9 ) 下是一个李超代数，称其为y 的导子超代数，其中d l ，d 2 h g ( d ( y ) ) 例：若a 是李超代数，则a 对于三元运算 成为李超三系， i x ，y ，z l = 【睁，鲥，翻，v x ，y ，z a 4 东北师范大学硕士学位论文 李超三系的中心扩张 首先介绍一些基本的概念 定义2 1李超三系的扩张是李超三系的短正合列 0 _ i 三k 三l _ 0 ( 2 1 ) 满足入是单射，弘是满射，且k e r # = i m a 定义2 2设两个扩张，：k l 与，7 ：k 7 一厶若存在一个李超三系的同态 g ：k 一使得f = ，7o g ，即下表可交换则称g 是l 的两个扩张的同态 特别的， k e r g 冬g - 1 ( k e r f ，) k 7 = g ( k ) + k e r f 7 ( 2 2 ) 事实上：v x k e r g 则夕( z ) = 0 ，由图表可交换，b ( z ) ) = ，( z ) ，故，( z ) = 0 ，故 z k e r r ，故k e r g k e r r v x k e r ，贝4f ( x ) = o , f 7 ( 9 ( z ) ) = 0 则夕( ) k e r r 7 ，故 z g - 1 ( k e r f 7 ) ，故k e r f g - x ( k e r r 7 ) z g - 1 ( k e r f 7 ) 贝09 ( z ) k e r f 7 ，故f og ( x ) = 0 则，( z ) = 0 ，故z k e r r 故g - 1 ( k e r r 7 ) k e r r 因为，7 是满同态，故，7 ( k 7 ) = l = f ( k ) = ，7 ( 9 ( k ) ) 故k = g ( k ) + k e r f 7 定义2 3扩张，：k _ l 是可分的，若存在李超三系同态8 ：l _ k 使1 0 8 = i d l 若存在唯一李超三系同态8 ：l _ k 使，os = i d l ，则称为扩张，：k 一三是唯一 可分的 定义2 4 扩张，：k _ 三叫做三的中心扩张，如果k e r # cz ( k ) 定义2 5 个中心扩张，：k _ l 叫做覆盖，如果k 是完备的，即k = 【k ，k ，k 】 定义2 6一个中心扩张，：k 7 一三叫做泛中心扩张，如果对于任意的中心扩张 ，：k 叶l 存在唯一的同态g ：k 7 一k 使得下表可交换 口 5 东北师范大学硕士学位论文 定义2 7覆盖，：_ l 叫做泛覆盖，如果对于任何一个中心扩张，：k l 存在唯一的同态g ：k 7 _ k 使得下表可交换 命题2 1李超三系五的两个泛中心扩张是同构的 证明：设仳：k _ l 是一个泛中心扩张，则可知存在唯一的同态使得下表可交换，u = 乱7o g 9 k - - - - ，k 7 设：k 7 一l 使得另一个中心扩张，则知存在唯一同态使得下表可交换，u 7 = 仳o9 7 g x f 啼k 由让( 夕7 9 ) = ( u 9 7 ) 9 = u t g = u ，u ( g g ) = ( u g ) 9 7 = u 9 7 = u 7 ，可知下表可交换 g o g k - + k 而下袭 i d k k - - - - - - - - - - k l 6 东北师范大学硕士学位论文 可交换，由泛性质知g g = i d k ，同理9 9 = i d k ，故得证 命题2 2 设f ：k 一三是李超三系的中心扩张 ( a ) 若， ) = f ( x ，) f ( v ) = f ( y 7 ) ，f ( z ) = f ( z 7 ) 贝9k ，y ，名】= k 7 ，可7 ，z ，】 ( b ) 若g 和9 7 是p k 的同态，使得f 。g = f o9 7 则9 t p , p , p l = g l l p , p , p 特别的，最多存在一个从覆盖p l 到中心扩张，：k _ l 的同态 证明：( a ) 因为，( z ) = ，( z ，) f ( y ) = ，( ) ，f ( z ) = f ( z ，) ，故z 7 = x + a ，剪7 = y + b ，名= z t + c 其 中a ，b ，c k e r rcz ( k ) ，故陋7 ，y 7 ，z 7 】= k + 口，y + b ，c + 司= 陋，! ，z + o 即k ，y ，z 】= 【z 7 ，y 7 ，z t 】 ( b ) 因为f o g - 7 fo9 7 故，( 夕( z ) ) = f ( 9 7 ( 。) ) ，( 9 ( 剪) ) = f ( 9 7 ( 秒) ) ，( 9 ( z ) ) = f ( g 心) ) ，故 b ( z ) ，9 ( y ) ，夕( 名) 】= 【9 7 ( z ) ，9 7 ( ) ，9 7 ( z ) 】又因为g 和9 7 是同态，则9 k 可，z 】= 9 陋7 ，矿，z ，】由 z ，剪，z 得任意性知夕| 【p p ，p 】= g t l i p , p , p 如果存在两个同态g ，g 使得图下表可交换，即h = fog = f 09 7 9 ，g p - - - - - - + 因为，h 是覆盖则【p ，只p 】= p ，由( b ) 知g i p , p , p = g l | 【p p p 】，g l p = g r i p ，即g = 9 7 ，结论得 证 引理2 3设，：k _ l 是个中心扩张，并且l = 陋，l ，纠则下列结论成立 ( 1 ) k = 【k ，k ，吲+ k e r f 并且，：【kkk 】_ 三是一个覆盖 ( 2 ) z ( k ) = f - 1 ( z ( 三) ) 并且，( z ( k ) ) = z ( l ) 证明( 1 ) 因为f ( k ) = 厶l = 陋，l 纠，则f ( k ) = l = 【厶厶l 】= 【，( k ) ，( k ) ，( k ) ) = f k ，k ，吲，故k = k ，k k 】+ k e r f 显然，f i g ，k ，k 】一三是一个满射，对v x k e r k , k , k ，v y ，缸，t ，k ，由于k e r rcz ( k ) ，则p ，t ，钉】= 0 因为区k ，k 】ck ， 贝k ，【k ，k ，k 】，【k ，冠k 】 = 0 故z z ( k ，k ，k 】) ，即k e r f k , k ，k 】cz ( k ，k k 】) ，贝 f i g ，k 矧_ 三也是一个中心扩张而工= f ( k ) = f k ，k ，砟于是 【k ，k k 】= 【k ，k ，k 】+ k e r f ，【k ，k k 】+ k e r f ， k k ，k 】+ k e r f 】 = i | k ，k ，困，i k ，k ，k 】，【k ，k ，网】 则，：【k ，k ，k 】一工是一个覆盖 ( 2 ) 对于v z k 则z f - 1 ( z ( 工) ) k ，k ，k 】ck e r f ，特别的z ( k ) cf - 1 ( z ( 工) ) 7 东北师范大学硕士学位论文 对2 y - x ( z ( l ) ) ，则k ，k ，k ck e r rcz ( k ) ，可以得到 【k ，k ，团= 【z ，【k ，kk 】+ k e r r ，【k ，k ，k 】+ k e r r 】 =kf ke 硎，瞄k 捌】 = 【k ，区k 圈，团，k ，k 】+ 【瓦【z ，【k ，k ，k 】，k 】，k 】 + 【k ，k ，k ，【k ，k ，k 】，k 】= 0 那么zcz 僻) 因此f - 1 ( z ( l ) ) cz ( k ) ，就有y - 1 ( z ( 三) ) = z ( k ) ，( z ( k ) ) = z ( l ) 显然 成立 引理2 4 设，：k _ 工是一个中心扩张，并且l = 4 陋，l ，l 】则下面结论成立， ( 1 ) 如果g ：l m 是一个中心扩张，那么9o ，：k m 也是一个中心扩张 ( 2 ) 设，：k 一己是一个覆盖，并且g ：k _ k 7 是一个从中心扩张，：k 一乞到中 心扩张，：k 7 一l 的同态，即，7og = ，那么是g ：k k 7 一个中心扩张，特别的，g 是 满的 9 k - - - - k 7 证明：( 1 ) 由于k e r ( fo g ) = y - 1 ( k e r g ) c 厂1 ( z ( l ) ) = z 似) ，故go ，：k m 也是 一个中心扩张 ( 2 ) 由，：k 7 _ l 是一个覆盖，可得【k 7 ，k 7 ，k 7 】= k = b ( k ) ，9 ( k ) ，9 ( k ) 】= g ( i k ，k ，团) 夕( k ) ，又g ( k ) k 7 ，故9 ( k ) = k 7 又因为，7 o9 = f 故比k e r 9 ，则 9 ( z ) = 0 ，故，( z ) = ，og ( x ) = 0 ，故z k e r r 即k e r gck e r r ，故g ：k _ k 7 是一个中 心扩张 引理2 5 设l 是一个李超三系，如果l z ( l ) 是完备的，那么z ( l z ( l ) ) = 0 证明：设中心扩张，：l _ l 膨( 己) 其中三胆( 三) 是完备的，则由引理2 3 ( 2 ) 知 ，( z ( l ) ) = z ( l z ( l ) ) ，下证k e r y = z ( l ) 比z ( l ) 贝4z + z ( l ) = 石，故f ( x ) = z + z ( l ) = 百，故z k e r f ，即z ( l ) k e r r v z k e r r 贝0 ，( z ) = 0 即z + z ( l ) = 6 即z z ( l ) ，故k e r r z ( l ) ，故k e r r = z ( l ) 故可得，( z ( l ) ) = y ( k e r f ) = 0 ，可得z ( l z ( l ) ) = 0 引理2 6设己是李超三系，下面结论等价 8 -ii_it ， 东北师范大学硕士学位论文 ( 1 ) l 是单连接的即的每一个中心扩张，：k _ 己存在唯一同态仃：l _ k 使得 fo 仃= i d l ，即中心扩张，：k 一三是可分的 ( 2 ) l 是中心闭连的即纪：l _ 工是一个泛中心扩张 证明：( 1 ) ( 2 ) 设三每一个中心扩张f ：k _ 三都存在唯一的同态盯：l _ k 使 得fo 矿= i d l ，由泛中心扩张的定义知与( 2 ) 等价 ( 2 ) 净( 1 ) 设纪：三一三是泛中性扩张，由泛中心扩张的定义知存在李超三系同态 盯：l _ k ，且fo 仃= i d l 故，：k - 啼l 是可分的 引理2 7设仳：l m 是一个泛中心扩张并且m 是完备的，则下列陈述成立 ( 1 ) l 是完备的 ( 2 ) z ( l ) = u - - 1 ( z ( a 彳) ) ，钍( z ( l ) ) = z ( 4 ) ， 一 证明：由引理2 3 可以知道t ：【l ，l ，l 】一m 是一个覆盖由u 的泛性质，存在唯一 一个同态，：l 一陋，引使得t o f = t 设i ：【l ，l ，l 1 _ l 是内设，那么io f 是一个同 态并且u ( i o f ) = 钍由乱是一个泛中心扩张，i o f = i d l ，我们得到l = i ( ，( l ) ) c 【l ，l ，纠， 即l = 【l ，l ，l 】 ( 2 ) 由引理2 3 这个结论显然成立 命题2 8设u ：l m 是一个泛中心扩张，那么三是一个单连接的 证明：设，7 ：l 7 一l 是一个中心扩张由引理2 4 ( 1 ) ，我们可以知道u o f ：l 7 - 寸m 是 一个中心扩张由乱的泛性质，存在唯一一个同态g ：l _ l 7 使得u = ( u o f 蚀= 乱( ，7 0 9 ) ， 我们可以得到f 7og = i d l 命题2 9设工和是李超三系，那么l n 有李超三系的结构使得 ， ( z l ，佗1 ) ，( 如，礼2 ) ，( 1 3 , n 3 ) 】= ( 一1 ) m 2 + 2 3 + 。3 1 1 ( 【z 1 ，1 2 ，z 3 】，k l ，n 2 ，佗3 】) 。( 2 3 ) 这里如l ，佗t n ，i = 1 ，2 ，3 命题2 1 0设f ：l _ m 是一个李超三系的同态，并且设9 ：n _ m 是一个 李超三系的中心扩张，那么p = ( 2 ，他) lxn i f ( z ) = 夕( 扎) ) 是一个李超三系，并且是 尸r 1 ：p l ：( f ，n ) _ ：是一个中一5 - 扩张中心扩张p r l ：p _ l 是唯一可分得当且仅当 存在唯一的李超三系同态h ：l _ 使得g oh = f 9 东北师范大学硕士学位论文 证明：v ( h ，佗1 ) ，( 1 2 ，n 2 ) ，( 1 3 ，n 3 ) p 贝4y ( 1 1 ) = g ( 仡1 ) ，y ( 1 2 ) = 9 ( 佗2 ) ，( z 3 ) = g ( n a ) ， 而 ( f 1 ，竹1 ) ，( 2 2 ，n 2 ) ，( 1 3 ，n 3 ) 】= ( 一1 ) 2 12 2 + 2 3 + 2 3 h ( 【j l ，1 2 ，t 3 ，【佗1 ，扎2 ，钆3 】) p 又，( 【f 1 ，1 2 ，z 3 ) = i f ( h ) ，y ( t 2 ) ，y ( t 3 ) 】= 活( 佗1 ) ，9 ( n 2 ) ，9 ( n 3 ) j = 9 ( h l ，n 2 ，佗3 】) 故p 是一个李超三系显然，p r l 是满同态v ( 1 ，凡) k e r p r l 则p r l ( t ，礼) = 0 = c 故9 ( 佗) = 州) = 0 故他k e r 9 z ( ) v ( h ，托1 ) ，( 1 2 ，死2 ) 有 0 ，佗) ，( z l ，仡1 ) ，( 1 2 ，佗2 ) 】= f ( o ，佗) ，( z 1 ，佗1 ) ，( 1 2 ，佗2 ) = ( f o ，z 1 ，z 2 ，f 死，佗1 ，铊2 】) = 0 故( z ，佗) z ( p ) 即k e r p r l z ( p ) ，p r l ：p l 是一个中心扩张 台设h ：l 一是一个李超三系同态，满足9 oh = ，令映射s ：工_ p 使得 s ( t ) = ( f ，危( f ) ) p v z l 下证s 是扩张p r l 的可分扩张首先s 的定义合理， 事实上州) = 9 ( 忍( z ) ) 且 ( 【l l ，1 2 ，2 3 】，h t l ，1 2 ，2 3 】) ( ( f 1 ，1 2 ，z 3 1 ，( ( z 1 ) ，九( z 2 ) ， ( z 3 ) 】) = 【( 1 1 ，危( 2 1 ) ) ，( z 2 ， ( 1 2 ) ) ，( 1 3 ，忍( f 3 ) ) ) 】 = 【8 ( z 1 ) ，8 ( t 2 ) ，s ( z 3 ) j 又v l l - p r l ( s ( 1 ) ) = p r l ( z ，九( f ) ) = z ，即p r los = i d l ，p r l ：p _ l 是可分的 兮设p r l ：p l 是可分扩张，则p r l0 8 = t 丸令h ：l 一使得h = p r 2 0 8 ( l 三 p 粤n ) 显然是李超三系同态，下证满足可交换 设8 ( t ) = ( m ，佗) ，其中y ( m ) = 夕( n ) 于是( f ，九( 2 ) ) = ( 2 p r 2 8 ( t ) ) = ( 2 ，p r 2 ( m ，礼) ) = ( z ，佗) ，又z = i d l ( t ) = p r l s ( t ) = p r l ( l ，佗) = ? n ，故( f ，九( j ) ) = ( 7 n ，佗) = s ( ：) v l l ，( 夕o ) 0 ) = 9 ( ( z ) ) = g ( p r 2 s ( 1 ) ) = g ( p r 2 ( m ，n ) ) = 夕( n ) = ，( m ) = y ( 1 ) 故g 0h = ，证毕 引理2 1 1 设三和m 是李超三系，并且设l 是单连接的如果u ：l m 是一 个李超三系的中心扩张，那么u ：厶一m 是一个泛中心扩张 证明：令9 ：n _ m 是一个李超三系的中心扩张，由引理2 1 0 由于l 是单连接的， 我们可以得到p r l ：p l 是一个中心扩张那么存在唯一一个同态h ：l 一使得 岔0h = u ，证毕 引理2 1 2设l m 是李超三系，并且设u ：l _ m 是一个中心扩张，那么下列结 论等价 ( 1 ) r 是单连接的， ( 2 ) u ：l m 是泛中心扩张 证明：( 1 ) 号( 2 ) 设夕：m _ ，p r l ：p _ 是中心扩张，由已知p r l ：p 一三是唯一 可分的由引理2 1 0 存在唯一的h ：l 一使得9 oh = 仳，故u ：l m 是泛中心扩张。 1 0 东北师范大学硕士学位论文 ，l 工呻 ( 2 ) 号( 1 ) 设，7 ：l 7 _ l 是一个中心扩张，由引理2 3 ( 1 ) uo ，是m 的中心扩张因为 乱是泛中心扩张，则有唯一的李超三系同态g ：l l 7 ，使得下表可交换即 。f ) = 让， 故，og = i d l ，故二是单连接的 引理2 1 3 设，：_ 三和g ：l _ m 是李超三系的中心扩张那么g o f ：k _ m 是一个泛中心扩张当且仅当，：k _ 工是一个泛中心扩张 证明：乍由，：k _ 三是中心扩张，则由引理2 4 和命题2 7 知k 和l 都是完备的， 从而go ，：k _ m 是李超三系的中一t , - 扩张由，：耳_ l 是泛中心扩张由图下表知 go ，：k _ m 也是泛中心扩张 | 耳 夕爿 m 兮由go ，：k m 是泛中心扩张，由上表可交换性知，：k _ 己也是泛中心扩张 定理2 1 4l 和l ，都是完备的李超三系，并且分别有泛中心扩张u ：k l 和 ”：k 7 一三7 ，那么l 归( 厶) 型l 7 z ( l 7 ) 营k 型k 7 证明：由图表 k ll z ( l ) 0j 妒 k ，j 二一- l i z ( l ，) 1 1 l m u 东北师范大学硕士学位论文 可以分别得到，= 丌。让：k 一肛( l ) 和，_ 7 r 7 0 ：k 7 _ 二7 膨( 己，) 要证明结论只需 证存在且是同构当且仅当妒也存在且也是同构由命题2 1 3 知，= f f o u ：k _ l z ( l ) 和7 = 丌o 缸7 ：k 7 _ l 7 胆( 三7 ) 是泛中心扩张，如果妒：工z ( l ) _ 工7 胆( l 7 ) 是一个同构那 么由2 4 它们的泛中心扩张也是同构相反的，设西：k _ k 7 是一个同态，因为l z ( l ) 是无中心的，并且由2 3 ( 2 ) 知丌ou ( z ( k ) ) = z ( l z ( l ) ) = 0 辛z ( k ) = k e r ( _ ro 让) 则类 似的，z ( k 7 ) = k e r ( t r ou ，) 因此k e r ( t r 7 u ) = 1 ( k e r ( 1 r 7 u ，) = 咖_ 1 ( z ( k ，) ) = z ( k ) = k e r ( t r0u ) 因为7 ro 钆和丌7 钆7 妒是满射，妒存在并且是同构，证毕 为了构造李超三系a 的泛覆盖，我们介绍3 上循环设 0 _ c 三b 二a 。0 是a 的中一5 - 扩张，x l ，x 2 ，。 是a 的同源基则我们选i ，z ，z 乞b 使得丌( z ：) = 兢，i = 1 ，2 ，佗 设7 r ：a _ 啼b 是一个映射，使7 r ( 甄) = z ：，i = 1 ，2 ，n 则有7 r 7 r 7 = i d a ，并且7 r 是 同构 丌( 扛：，z ：，z ：。】) = 【丌( z ：，) ，丌( z ：。) ，7 r 7 。) 】 = k t 】，x i 2 ，z t 3 】 并且7 r ( 陋t l ，2 f 2 ，z 1 8 】7 ) = 【茁t 1 ，z i 2 ，z t 3 】，贝0 有7 r ( 【z 赴，z t 2 ，z 1 3 】7 一k ：l ，z ：2 ，z ：3 】) = 0 即【正n ，z t 2 ，正i 3 】7 一 饿。，z ：。，z ：。】k e r 7 r = z ( d ) cz ( b ) 对于i ，必b ，可以得到 阮，以。，兢。】7 ，昧必】= 【z ：，z ：。，z ：。】，暑，i ，必】 设妒：a a a _ c 是一个映射，满足 妒( z 1 ，z 2 ，z 3 ) = z 1 ，x 2 ，x 3 7 一陋i ，z ：，z 钥( 2 4 ) 如果有i ，j ，使得i j ，如= k x j ，k f ，有妒( z l ，x 2 ，x 3 ) = 0 定理2 1 5设妒是一个映射，则下面等式成立 ( 1 ) l ，o ( x l ，x 2 ，x 3 ) = - ( - 1 ) 1 x l 慨i 妒( x 2 ，x l ，x 3 ) ( 2 5 ) ( 2 ) ( 一1 ) 1 。3 1 1 z l l 妒( z l ，x 2 ，x 3 ) - 4 - ( 一1 ) t 霉1 1 1 2 2 1 r e ( x 2 ，z 1 ，z 3 ) + ( 一1 ) m z 2 1 1 茁a l l ，a ( x 3 ，z 1 ，x 2 ) = 0 ( 2 6 ) ( 3 ) 妒( z l ，z 2 ，【y l ，y 2 ，剪3 】) = 妒( f z l ，z 2 ，玑 ，y 2 ，y 3 ) + ( 一1 ) ( 1 茹l i + l 霉2 ) i y l l 妒( 箩l ，f z 】，x 2 ，剪2 】，y 3 ) + ( 一1 ) ( 渖1 1 + 1 2 2 i ) ( i 掣1 i + i 抛1 ) 妒( 妙1 ，y 2 ，陋1 ，x 2 ，可3 】) ( 2 7 ) 其中妩，犰a ，i = 1 ，2 ，3 1 2 东北师范大学硕士学位论文 证明：( 1 ) 对于甄，y i a ，i = 1 ，2 ，3 ，我们有 o ( x l ，x 2 ，z 3 ) = 陋1 ，z 2 ，x 3 7 一【z i ，z ：，z 3 】 = 一( 一1 ) i 。i i z 2 i x 2 ，z l ，z 3 】7 一( 一1 ) i 霉l i i 。：i x i ，z i ，z 纠 = 一( 一1 ) i z l i l z ：l m ( x 2 ，x 1 ，z 3 ) ( 2 ) ，( 3 ) 的证明类似于( 1 ) 定义2 7设ac 是李超三系，那么映射 妒：a axa _ c 叫做a 的3 _ 上循环，如果垆满足( 2 5 ) 一( 2 7 ) 注f l o 】：如果妒是a 的3 - 上循环，c 是a b e l 李超三系，设b ：= aoc 有下面得运算 k 1 + a l ，x 2 + a 2 ，茁3 + a 3 】= 【x l ，x 2 ，x 3 】+ 妒( z 1 ，x 2 ，x 3 )( 2 8 ) 对于任意的翰a ，a i g i = 1 ，2 ，3 由定义2 7 我们容易得到b 是一个李超三系设 i ：c _ b ，i ( z ) = z ，比c ； 订：b _ a ，霄( z + 口) = a ，x c ，n a ， 那么i ，丌是李超三系的同构并且 0 一c 三b 二a 叶0 ( 2 9 ) 是a 的中心扩张 定理2 1 6设a 是李超三系，a 有泛覆盖当且仅当a 是完备的，即a = 【a ，a ，a 】 证明：如果a 有泛覆盖，则存在一个中心扩张 0 一c 三b 三a _ 0 并且b = 【b ，b ，b 】则有 a = 7 r ( b ) = 丌( b ，b ，b 】) = 【r e ( b ) ，7 r ( b ) ，7 r ( b ) 】 = 【a ，a ，卅 故a 是完备的 1 3 一 东北师范大学硕士学位论文 一。_ 。_ - 。_ 。_ - 。_ 。- 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ l - - _ _ _ _ _ - _ - - _ _ - _ _ _ - _ - _ _ _ - 一 反过来，设s 是a q a a 的阶化子空间，s 中元素满足 x lox 2 y l ，y 2 ，y 3 一 x l ，z 2 ，y 1 oy 2 圆y 3 一( 一1 ) ( i 掣l i + i x 2 ) y s x 圆p 1 ，z 2 ，y 1 oy 3 一( 一1 ) ( j 霉1j + i x 2j ) ( j 掣l i + l y 2 1 ) y 1 圆y 2 圆k 1 ，。2 ，纠 其中翰，物a ，i = 1 ，2 ，歹= 1 ，2 ，3 记v = apa a s 是一个a b e l 的李超三系设 妒：a a a y 满足 妒( z l ，x 2 ，x 3 ) = 石西瓦蕊； ( 2 1 0 ) 则妒是a 的一个冬上循环那么我们有中心扩张 0 一v 三b 二a _ 0 其中b = aov 考虑a 的任意一个中，l - 扩张y ，是a b e l 李超三系 0 一三b ，互a _ 0 是a 的一个中心扩张b 7 = a 7 + ( y ，) a 7 是t ( y 7 ) 的补集令a 7 = a ，i 7 ( y 7 ) = y ，则 b = a o 可以得到，是4 的孓上循环，：axa a _ 令映射 那么有 而另一方面 妒o ：v _ v ，伽( 妒( z l ，x 2 ，z 3 ) ) = ，( z 1 ，x 2 ，z 3 ) 妒7 ：b _ b 7 ，妒7 ( z + 口) = z + 妒o ( 勘) ，。a ，口v 妒7 ( 陋1 + v l ，x 2 + v 2 ，z 3 + v 3 ) = 妒( 陋l ，x 2 ，x 3 1 + 妒 l ，z 2 ，z 3 ) ) = 陋1 ，x 2 ，x 3 】+ f ( x l ，x 2 ，z 3 ) 【妒( z l + 秒1 ) ，妒( x 2 + u 2 ) ，妒7 ( z 3 + 3 ) 】 = x l + 妒o ( 移1 ) ，x 2 + 伽( 移2 ) ，x 3 + 妒o ( ) 】 = 陋1 ，z 2 ，x 3 】+ ， 1 ，x 2 ，x 3 ) 则妒7 ：b _ b 7 是李超三系的同态我们可以得到下面图表可交换： 1 4 东北师范大学硕士学位论文 b - - - - - - - b 因为7 r 7 妒 + t ，) = 7 r 7 + 伽( 口) ) = z = 7 r 0 + t ，) ，那么7 r 7 妒7 = 7 r 则妒7 是一个同态从覆盖 0 _ v 三b 三a _ 0 。 到中心扩张 0 一_ i ib ，互a _ 0 我们记b = b ，b ，引因为a = 陋，a ，a ，那么b = b + v 并且 f b = 【b ，b ，b 】= b + vb + vb 】 = 【b ，b ”，b 】 这说明b 是完备的，并且丌( b ) = a 令= b nk 那么 0 一v 二b ga _ 0 ( 2 1 1 ) 是a 的一个中心扩张，其中i = i 咖，丌，= 丌咖，记= 妒7 i b 那么下面图表可交换 掣t b 7 ，- _ b t 因此，( 2 1 1 ) 是a 的泛覆盖，证毕 1 5 a 丌 东北师范大学硕士学位论文 1 、l i c e 函数 3 李超三系的自同构和导子提升 设李超三系l ，我们定义张量积lol 圆l ，是f 上的超模用b = b l 表示由中 l l 圆l 如下形式的元素组成的子模( z ，y ，z ，t ，f 三) z y 圆名+ ( 一1 ) k i l y l y z 2 ( 1 ) l 正l zpy 圆z + ( 一t ) l v t l ；l yp zoz + ( 一1 ) l 。t l u t z z9y u o u p ，y ，z 】一心， ，z 】o y 圆z 一( 1 ) ( 1 善i + m ) 1 2 i x 圆【u ，口，引pz 一( 一1 ) ( 1 t i + 川) ( k i