（工程力学专业论文）基于渐进节点移动法的离散变量结构形状优化.pdf

山东建筑大学硕士学位论文 摘要 随着计算机技术的日益进步和优化算法的快速发展，将计算机和先进的优化思想 结合融合进工程结构领域，对结构( 或构件) 进行快速、准确的优化设计，己经成为当 前工程结构设计领域不可避免的趋势。同时，由于大多工程结构优化问题具有离散性、 不可微分性和非凸性等特点，而传统的优化算法对所优化的问题往往要求连续、可微、 非凹等前提条件，己不再适合用于工程结构优化问题的求解，故寻求合理的离散变量 结构优化设计方法在工程上有更大的意义。本文正是基于这样的背景之下，对离散变 量结构形状优化设计的方法与实现进行了研究。 本文系统介绍了传统优化算法和离散变量结构形状优化问题的进展，结合离散变 量结构优化设计的数学模型，详细阐述了离散变量结构优化设计约束条件的统一处理 及设计变量连接方案。对实际结构形状优化设计中常用的综合算法和分层算法进行比 较。综合算法考虑两类设计变量的耦合，但设计变量个数增加，不适合求解大型问题， 且可能出现收敛上的困难；分层算法将原问题分成规模较小容易求解的子问题，虽然 削弱了两类变量的耦合，一般只能得到局部最优解，但对于实际工程问题可以取得较 为满意的结果。 本文系统阐述了一种相对差商法和渐进节点移动法结合的分层求解策略。设计变 量分为截面积和节点位置两类变量，求解时分为两层，第一层截面变量视为离散，在 给定节点位置下用相对差商法对杆件截面进行优化，同时考虑了应力、局部稳定约束 和位移约束的重量最轻；第二层在第一层优化的基础上，假定截面尺寸不变，形状设 计变量视为连续，用渐进节点移动法优化结构形状，通过计算节点灵敏度系数确定需 要移动的节点和移动方向并确定移动步长，得到新的节点位置坐标，两层交替进行直 至满足收敛条件。该方法的数学模型更接近实际情况，通过算例验证了本方法在形状 优化中的可行性和优化程序结果的准确性。 本文将分层优化方法与商用有限元软件a n s y s 进行连接。分别用a n s y s 作为基 于该分层法对离散变量结构进行形状优化的有限元分析模块，分层法作为优化进程和 循环迭代的控制程序，进而提出了一套基于a p d l 的参数化建模、结构优化设计方法 与有限元软件衔接的解决方案，实现了优化设计的自动化。这部分工作对今后优化设 计的程序开发和软件实现具有参考意义。 关键词：形状优化，离散变量，相对差商法，渐进节点移动法，a p d l 山东建筑大学硕士学位论文 d i s c r e t es h a p eo p t i m u md e s i g no fs t r u c t u r e sb a s e do ne v o l u t i o n a r y n o d e ss h i f tm e t h o d l ix i a o h u a ( e n g i n e e r i n gm e c h a n i c s ) d i r e c t e db yl ux i a o y a n g a b s t r a c t t h er a p i dd e v e l o p m e n to fc o m p u t i n gt e c h n i q u ea n dt h eo p t i m i z a t i o na l g o r i t h m sh a v e f a s c i n a t e da n di n s p i r e dg e n e r a t i o n so fs t r u c t u r ee n g i n e e r st oo p t i m 妇v a r i o u ss t r u c t u r e sa n d t h e i rm e m b e r sb yc o m b i n i n g c o m p u t e rt e c h n o l o g ya n d a d v a n c e do p t i m a lm e t h o d s t h em o s to p t i m u mp r o b l e m so fe n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa l ed i s c r e t en o n - d i f f e r e n t i a b l ea n d n o n - c o n v e x h o w e v e r , t h et r a d i t i o n a lo p t i m u ma l g o r i t h m sr e q u i r et h ec o n t i n u o u s d i f f e r e n t i a b l ea n dc o n v e xc o n d i t i o n s t h u s ，t h et r a d i t i o n a lo p t i m u ma l g o r i t h m sa r cn o ts u i t f o rd e a l i n gw i t ht h ep r o b l e m so fo p t i m u m t h e n , i ti sm o s ts i g n i f i c a n tt h a tt os e e kr e a s o n a b l e m e t h o d so fs t r u c t u r eo p t i m u m b a s eo ns u c hab a c k g r o u n d , t h em e t h o d sa n dp r a c t i c eo f d i s c r e t es h a p eo p t i m u md e s i g no fs t r u c t u r e sh a v eb e e ns t u d i e di nt h i sp a p e r i nt h i sp a p e r , t h et r a d i t i o n a lo p t i m u ma l g o r i t h m sa n dt h ed e v e l o p m e n to fd i s c r e t es h a p e o p t i m u md e s i g no fs t r u c t u r e sa r ei n t r o d u c e db yt h en u m b e r m e t h o d so fd e a l i n gw i t hr e s t r i c t c o n d i t i o nt ou n i f ya n dt h ep l a n so fd e s i g nv a r i a b l ec o n n e c t i o na r ed e s c r i b e di nd e t a i lb y c o m b i n i n g t h em a t h e m a t i c mm o d e lo fd i s c r e t ev a r i a b l eo p t h n u md e s i g n t h e r ea r ea b o u tt w o s o r t so fm e t h o d si ns h a p eo p t i m a ld e s i g n , o n ei sc a l l e di n t e g r a t e dm e t h o & a n da n o t h e ri s c a l l e dm u l t i l e v e ld e c o m p o s i t i o nm e t h o d t w os o r t so fm e t h o d 锄c o m p a r e di nt h i sp a p e r , t h e i n t e g r a t e dm e t h o dc o n s i d e r st h ec o u p l i n go ft w os o r t sd e s i g nv a r i a b l e ，b u ti tm a yh a st h e d i f f i c u l t yo fc o n v e r g e n c ea n di sn o ts u i tf o rs o l v i n gl a g e rs c a l ep r o b l e m s 、历t 1 1t h ei n c r e a s eo f d e s i g nv a r i a b l en u m b e r s t h em u l t i l e v e ld e c o m p o s i t i o nm e t h o dd i v i d e st h eo r i g i n a lp r o b l e m i n t os o m ep a r t s ，w h i c hi si ns m a l ls c a l ea n de a c hc a nb es o l v e de a s i l y t h em u l t i l e v e l d e c o m p o s i t i o nm e t h o dc a i lu s u a l l yg e to p t i m a ls o l u t i o ni nt h es m a l lb e c a u s eo ft h ew e a k n e s s o ft w os o r t so fd e s i g nv a r i a b l e ，b u ti tc a nb es a t i s f i e di ne n g i n e e r i n g p r a c t i c e am u l t i l e v e ld e c o m p o s i t i o nm e t h o dc o m b i n e dw i md i f f e r e n c eq u o t i e n tm e t h o da n d e v o l u t i o n a r yn o d es h i f tm e t h o di se l a b o r a t e di nt h i sp a p e r d e s i g nv a r i a b l e sa r es e p a r a t e d l i 山东建筑大学硕士学位论文 i n t ot w ok i n d so fs e c t i o n a ls i z ea n dn o d a lp o s i t i o n t h es o l u t i o np r o c e s si sd i v i d e di n t ot w o s t e p s a tt h ef i r s ts t e p ，s u p p o s e dt h es e c t i o nv a r i a b l ei sd i s c r e t ea n da l ln o d a lp o s i t i o n sa r e u n c h a n g e a b l e t h eb a rs e c t i o n a ls i z e sa r eo p t i m i z e dt om a k et h ew e i g h to ft h es t r u c t u r e m i n i m i z e du n d e rc o n s t r a i n t so fs t r e s s ，d i s p l a c e m e n ta n dl o c a ls t a b i l i t y a tt h es e c o n ds t e p ， s u p p o s i n gt h es e c t i o na r c ak e e p i n gu n c h a n g e da n dt h es h a p ev a r i a b l ei sc o n t i n u o u s ，n e w n o d a lp o s i t i o n sa r eg o tb yu s i n ge v o l u t i o n a r yn o d es h i f tm e t h o do nt h eb a s i so ft h ef i r s ts t e p s o m en o d e sa r es e l e c t e da n dt h es h i f td i r e c t i o nt o g e t h e rw i t hs h i f ts t e pl e n g t hi sd e c i d e db y c a l c u l a t i n gt h es e n s i t i v i t yc o e f f i c i e n to fn o d e s t h et w os t e p sa l t e r n a t i v e l ye x e c u t e du n t i l c o n v e r g e n c e t h em o d e lo ft h i sm e t h o di sc l o s et ot h ep r a c t i c es i t u a t i o n i ti sv e r i f i e dt h a t t h i sm e t h o dh a sf e a s i b i l i t yi ns h a p eo p t i m a ld e s i g na n da c c u r a c yo fp r o g r a mr e s u l tb ys o m e e x a m p l e t h em u l t i l e v e ld e c o m p o s i t i o nm e t h o da r ec o n n e c t e dw i t hc o m m e r c i a ls o t 栅a r ea n s y s a n s y si su s e da sam o d u l eo ff i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n dt h em u l t i l e v e ld e c o m p o s i t i o n m e t h o dc o n t r o l st h ep r o g r a mo fo p t i m i z ep r o c e s sa n di t e r a t i v e f u r t h e r m o r e ，as o l u t i o na b o u t t h ec o n n e c t i o no ff i n i t ee l e m e n ts o f t w a r ea n do p t i m a ld e s i g nm e t h o db a s e do na p d li s d e s c r i b e d o p t i m a ld e s i g nc o m e st oa u t o m a t i cb yu s i n gt h i sm e t h o d i th a sr e f e r e n c e m e a n i n gt ot h ed e v e l o p m e n to fp r o g r a ma n ds o f t w a r ea b o u to p t i m a ld e s i g n k e yw o r d s ：s h a p eo p t i m u md e s i g n , d i s c r e t ev a r i a b l e ，d i f f e r e n c eq u o t i e n tm e t h o d e v o l u t i o n a r yn o d es h i f tm e t h o d , a p d l h i 原创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是苯人在导师的指导下，独立进行研究 取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，论文中不合其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得山东建筑大学或其他教育机构的学位证书而 使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人承担本声明的法律责任。 学位论文作者签名：日期型2 中闫 学位论文使用授权声明 本学位论文作者完全了解山东建筑大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：山东建筑大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权山东建筑大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它手段保存、 汇编学位论文。 保密论文在解密后遵守此声明 学位论文作者签名： 导 师签 名： 山东建筑大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 结构设计作为工程设计的重要组成部分，一直受到人们的密切关注。一个优秀的 结构设计首先应确保工程结构据具有足够的可靠性即：满足工程结构的安全性，适用 性和耐久性的要求。在此基础上，还应该考虑方案的经济性，在可行设计方案中寻找 最优设计，从而做到经济实用。 传统的结构设计，其过程大致是假设一分析一校核一重新设计这样一个重复试算 的过程，以寻找满足结构设计要求的一个可行解为目标，显然满足设计要求的可行解 不止一个，但他们所表现出来的优劣性能往往相差很大。 结构优化设计则突破了传统的被动试算校核的格局，克服了经验、类比或采用许 多假设和简化导出的计算公式进行结构设计的诸多局限，它根据既定的结构类型、形 式、工况、材料和规范规定的各种约束条件，提出优化的数学模型，其模式是根据优 化设计的理论和方法求解优化模型，进行结构分析、优化设计、再分析、再优化，反 复进行，直到收敛。只有这种设计才能使材料的分布达到合理的状态，从而使结构设 计达到经济与合理的要求。结构优化设计充分利用了计算机技术、有限元分析和优化 方法三者之间的优势，使得结构设计快速而精确，可以大大缩短设计周期，显著提高 设计质量，获得相对较大的经济效益，而且它还可以解决传统设计方法无法解决的一 些复杂设计问题。所以，结构优化设计是结构设计的新发展、新成就，具有重要的工 程意义和广阔的应用前景【1 1 。 1 2 结构优化设计的分类及其发展概况 结构优化设计，按设计变量性质分，有连续变量优化设计和离散变量优化设计。其 中连续变量优化还有分布参数优化和离散参数优化；按难易的层次分，有截面( 或尺寸) 优化、形状优化、拓扑优化、布局优化和类型优化 2 , 3 1 。在给定结构的类型、材料、布局 拓扑和外形几何的情况下，优化各个组成构件的截面尺寸，使结构最轻或最经济，通常 称为尺寸优化，它是结构优化设计中的最低层次；如果让结构的几何也可以变化，例如， 把桁架和刚架的节点位置或连续体边界形状的几何参数作为设计变量，优化又进入了一 个较高的层次，即所谓的结构形状优化；进而再允许对桁架节点联结关系或连续体结构 的布局进行优化，则优化达到更高的层次，即结构的拓扑优化；如果将截面、形状、拓 扑三个层次综合起来，即对结构的布局形式进行优化，求得最佳的拓扑、形状和截面分 山东建筑大学硕士学位论文 布就是布局优化研究的内容。显然，随着结构优化层次的提高，其难度也越来越大。 优化设计理论与方法的发展情况。结构优化设计从马克斯威尔理( m a x w e l l ，1 9 8 0 ) 和米歇尔( m i c h e l l ，1 9 0 5 ) 桁架出现起已有百年，从史密特( s c h m i t ) 用数学规划来解决结构 优化设计算起亦有4 0 多年历史，特另l i 是过去的3 0 年内，在理论和算法方面都取得了长足 的发展。应用优化的领域涉及航空航天、机械、土木、水利、桥梁、汽车、铁路、轻工 纺织、能源工业以及军事工业等诸多方面，主要处理那些具有复杂结构系统的设计，如 飞机、卫星、机器人、射电远望镜等，或者大规模的工程建设，如大坝、桥梁、核电站， 或者产量大的汽车、机械和轻工产品以及创新型的产品设计【4 】。在连续变量优化设计中， 截面优化已趋成熟，形状优化有一些论文发表，但尚不成熟；拓扑优化的论文较少，布 局优化的论文更少，类型优化的几乎没有。采用的方法很多，主要有准则法和规划法两 大类。离散变量优化设计发展缓慢，截面优化对稍大规模的问题尚缺少有效的方法。至 于形状优化、拓扑优化和布局优化则少得多，而且都不成熟。 结构优化设计的应用情况。结构优化设计的发展偏重于理论和方法的研究，实际应 用远远落后于理论的发展。目前国内外应用优化设计的主要是飞机结构，国内对输电塔 和拱坝也有一些应用，至于其他结构应用则较少。 1 3 离散变量结构优化的发展及其现状 离散变量优化设计最基本的特点是设计变量的离散性，由此导致其数学模型中的目 标函数和约束函数的不连续性，从而将连续变量优化的数学模型转化为不可微的，可行 域转化为可行集，连续变量优化中许多有效的解析数学算法和优越条件失去了意义，如 各种梯度算法中的敏度分析法、k - t 条件等。这样，离散变量优化的数学模型必然是一 非凸规划，从而各种对偶算法也失去了其有效性。 离散变量优化设计的难点在于：解析的数学工具显得力所难及，必须采用组合数学 方法，而离散变量结构优化设计问题在组合优化数学中属n p 困难问题【5 j 。 离散变量优化设计采用的方法可分为三大类：精确算法如枚举法、隐枚举法、 g o m o r y 的割平面法f 6 1 、达金( d a k i n ) 的改进的分支定界法 7 1 、巴拉斯法和动态规划法等； 近似算法即可以求得可行解，且可以估计其与全局最优解的最大误差的算法如一维装 箱问题的首次适合的f f 算法、( o 1 ) 规划的相对差商算法等：启发式算法，即可以求得 可行解，且无法估计其与全局最优解的最大误差的算法，这种算法较多，可以分为两类： 第一类是组合算法，这类算法只计算各个组合对应的目标函数值并检查其是否满足约束 山东建筑大学硕士学位论文 条件，通过对各个组合对应的目标函数值的比较，选出最优解，( 0 1 ) 规划法就是这类算 法，该法的优点是大大地缩减了原问题的许用集合，设原问题的许用集合中的元素为m ， 设计变量为刀，则将总组合数由m ”降为2 一，大大地减少了计算工作量。其缺点是不能保 证收敛于最优解，但实践证明它能得到较好的可行解。近些年来发展起来的遗传算法 ( g a ) 也属于该类算法，逼近全局最优解的性质是该法的优点，但在此领域中的致命缺点 是结构重分析次数太多( 超静定问题) 对于规模较大、且离散集元素较多的问题，则需 要上千次重分析，这是无法承受的。第二类是附加离散性条件的连续变量优化设计方法， 连续优化解的圆整法是这类算法中最简单的情况，其优点是可以利用比较成熟的连续变 量的优化方法，其缺点是其解不是离散变量的最优解，有时相差甚远。 1 4 结构优化设计的渐进方法 渐进结构优化设计理论与方法( e v o l u t i o n a r ys m a c u a eo p t i m i z a t i o n ) 最早是由澳大利 亚华裔学者谢忆民1 8 】于1 9 9 3 年提出的，主要用于解决连续体的拓扑优化问题。随后该方 法得到了荣见华等人的发展，成功应用于包含应力、位移( 刚度) 、临界应力和动力学约 束的众多结构拓扑优化领域。与均匀化方法、变密度法不同的是，e s o 方法属于准则法 而后者属于数学规划法。e s o 方法主要工作量是形成用于删除单元的判断参数，即结构 特性灵敏度，随后根据灵敏度判断单元的删除和保留。e s o 方法实现优化的优点是物理 概念明确，实现容易，可以直接在己有商业有限元软件上迭代实现；缺点是由于是利用 了小摄动量计算灵敏度，迭代计算次数多，效率低州阳。 近几年来，e s o 方法作为一种概念己经推广至结构形状优化，如：文献1 9 1 d p 提出的 连续体形状优化方法；王栋，张卫红，姜节胜等人将之推广至桁架结构的形状优化设计 中，分别进行了静力学，动力学约束下的桁架结构形状优化，取得了较好效果【l o 】。文献 【9 】尝试了利用e s o 方法进行桁架结构的拓扑优化，该方法可以实现结构的拓扑优化，但 计算量大，收敛速度慢。文献 1 2 1 利用e s o 方法的概念，建立了一种拓扑优化方法，并 与文献【1 0 】结合提出了一种桁架结构拓扑、形状和尺寸组合优化的方法。 总之，e s o 方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代过程在计算机上实现，该法 的通用性很好，不仅可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状和拓扑优化，无论 应力、位移刚度优化，或振动频率、响应，临界压力优化都可遵循e s o 的统一原则和简 单步骤进行【1 1 闱。本文就是采用e s o 法发展而来的渐进节点移动法，与a n s y s 的a p d l 语言相结合，实现结构的形状优化。 山东建筑大学硕士学位论文 1 5 优化方法的实现途径 结构优化设计是- f - 随着计算技术发展而兴起的交叉学科，主要涉及运筹学及系统 科学、计算力学( 有限元技术) ，软件工程、材料科学等领域。结构优化设计过程往往需 要进行较大规模的运算，它的最终实现一般是通过计算机来完成的，相应结构优化设计 软件的开发也成为了结构优化工作者所关注的重要环节。归纳起来，结构优化设计软件 的实现可以分为两个途径，即：编制结构优化设计专用软件和通过对已有有限元软件二 次开发来实现。一个典型的结构优化软件分析流程如图1 1 ： 图1 1 结构优化软件分析流程 考虑到结构优化设计与有限元技术( f e m ) 有着密不可分的联系，在结构优化软件发 展方面另一个比较通行的做法，是将结构优化软件包作为一个模块与以有限元技术为核 心的计算机辅助工程( c a e ) 软件相集成。这样处理的优点是一方面可以充分利用c a e 中 成熟、可靠的有限元计算功能，避免软件重复开发；另一方面，c a e 软件和c a d 软件一 般实现了无缝结合，从而使优化技术亦能在形状复杂的几何体的优化中得到应用。在一 山东建筑大学硕士学位论文 些著名的商业c a e 软件中如：a n s y s ，a b q u a s ，n a s t r a n ，m a r c 等都包含有很强 的结构优化设计功能模块。为处理一些更复杂的情况，c a e 软件一般还提供了内置的宏 语言以及与其他高级语言的接口，便于用户进行二次开发应用。 本文就是以常用的大型通用有限元软件a n s y s 为平台，提出形状优化基于 a n s y s 的计算解决方法，以供科研和工程设计人员解决实际问题时参考。在利用优化 算法对结构进行优化时，利用有限元分析软件代替人工编制的程序，能大大节约求解 时间，提高计算结构的可靠性。将渐进结构优化法与a n s y s 结合，能充分发挥两者的 优点，具有优化效率高、效果好、实用性强等优点，更有利于优化理论和方法的实际 工程应用。 1 6 论文主要工作及意义 本文就离散变量结构形状优化的算法和算法的程序实现方面做了以下工作： 1 ) 总结了离散变量结构形状优化的理论与方法，并系统研究了正确建立优化问题数 学模型的要点和方法； 2 ，) 本文结合工程实际，提出一种不同于以往把截面变量和形状变量全部视为连续和 全部视为离散的优化方法，本方法分为两个层次，第一层截面设计变量( 杆件截面积) 取为离散值，用相对差商法优化结构的杆件截面；第二层固定杆件截面积，设计变量( 节 点坐标) 视为连续变量，用渐进节点移动法优化结构形状，两层交替进行，直至满足收 敛条件或结构重量不再增加。1 通过算例验证了本方法在形状优化中的可行性和优化程序 结果的准确性； 3 ) 根据离散变量结构的特点，建立了以结构杆件自重为目标函数，杆件内力和节点 位移以及局部稳定为约束条件的优化模型，在该数学模型中对约束条件进行归一，转化 为单约束问题： 4 ) 本文完成了分层优化方法与a n s y s 软件的连接，用a n s y s 软件作为基于渐进法 对离散变量结构进行形状优化中的有限元分析模块，同时，应用a n s y s 参数化设计语言 a p d l 编制基于渐进节点移动法对离散变量结构进行形状优化的程序，实现整个优化过 程的自动进行，从而保证了优化工程中的计算效率和精度。本文重点研究了基于a n s y s 附带的a p d l 语言的参数化建模以及与优化方法衔接的途径，建立正确的有限元模型提 交a n s y s 进行结构分析，输入与优化有关的参数编写a p d l ，并按需要提取二次开发的 数据，实现渐进法与有限元软件的集成； 山东建筑大学硕士学位论文 5 ) 采用本文提出的方法控制优化进程，用a p d l 语言建立参数化模型和优化控制文 件，对常见的平面和空间桁架进行了形状优化。 本课题的主要意义： 优化设计是结构设计的新发展、新成就，它能使材料的分布达到合理的状态，从 而使结构设计达到经济与安全的要求。由于离散变量比连续变量更具有实用性，当前 基于离散变量的结构优化设计在国内外已成为研究的热点。目前，在土建结构领域， 虽然结构优化设计大多集中在其理论与方法的研究，但是随着工程技术人员对优化设 计的进一步了解及借助计算机这一功能强大的有力工具，离散变量结构优化设计以其 无法比拟的优势，一定享有广泛的应用前景与发展潜力。 由于平面、空间桁架是较为简单的结构形式，目前基于离散变量的截面优化方法 多数是针对它进行的研究，然而，实际结构要比桁架复杂得多，如何针对其特殊性， 充分利用已有的研究成果加以改进，值得探讨。需要指出的是，离散变量结构的形状 优化设计迄今尚无十分成熟有效的方法。从构造优化模型的方法来看，现有的形状优 化方法可分为综合解法与分级解法两类。前者虽兼顾了两类变量的耦合，但增加了设 计变量的个数，不适于解大型问题，而且可能出现收敛上的困难；后者虽削弱了两类 变量的耦合作用，一般只能收敛到原问题的局部最优解，但对于实际工程而言，局部 最优解已经足够，是可以接受的。 由于优化的实际工程应用远远落后于理论和方法的进展，因此寻求优化理论、方 法的实际工程应用的必要性与紧迫性尤为突出，本课题着眼于应用现有比较有效的理 论与算法，结合成熟的商业有限元软件，实现理论、算法的实际工程应用。基于a p d l 的参数化建模的方法，优化方法与有限元软件的衔接，程序模块的开发等对软件开发 人员和工程设计人员具有一定的参考价值。 山东建筑大学硕士学位论文 第2 章离散变量结构形状优化问题概述 2 1 引言 形状优化设计的目的就是寻找使目标函数最小的结构外形和各元件的尺寸。同截面 优化相比形状优化增加了描述结构几何外形的设计变量( 对杆系结构来讲就是节点坐标， 对连续体结构来说就是描述结构边界形状的控制参数) ，从而设计空间的维数升高，较之 只进行截面优化可以得到更优的目标函数值。但优化设计的难度也随之增加了。首先， 设计变量的数目增多；其次，截面变量与形状变量对目标函数和约束函数而言具有不同 的非线性性质，两者的量纲量级也不同，两类变量的耦合会导致收敛上的困难；再次， 引入形状变量会使约束函数的非线性程度提高，要构造有效的算法、减少重分析次数就 更为困难；最后，对于离散变量结构问题，由于截面面积只能取离散值，因此问题就成 为一个非线性混合一离散变量优化问题，求解起来比较困难。鉴于以上种种原因，离散 变量结构的形状优化至今尚无成熟有效的方法【l ，6 8 】 1 9 6 8 年t o a k l e y 蝴割平面方法【1 4 】对塑性框架作了离散变量的结构优化设计，以后 很多学者都是使用枚举法或者整数规划法对框架或者桁架进行结构优化设计。这些算法 都属于指数算法，计算工作量的大小和问题规模大小有很大的关系，当设计变量较多时， 即使使用当前最强的计算机也很难完成任务。 1 9 7 0 年，b e r k e 提出了d o c 方法【1 4 1 ，它是以k u l m - t u c k e r 最优条件和结构有限元方法 为基础来构造模型以达到最优设计的优化方法。这种方法能很好地反映各类基本约束的 数学特征和结构性态，在迭代过程中具有迭代次数少，而且迭代次数和设计变量无关等 优点。 1 9 8 9 年，孙焕纯等【”】提出了离散变量结构优化设计的二进制数法，即o 1 规划法，该 方法不需要解任何方程，从而大大节省了机时。同年田家熙提出了随机格点搜索法，将 随机方向法、复合形法、网格搜索法结合起来，适用于求解全离散、均匀离散变量的优 化问题。 1 9 9 2 年，秦义校等针对桁架结构优化设计时存在多种离散变量和多种约束条件的情 况，将改进的离散变量直接搜索方法和结构有限元分析相结合，提出了适用于桁架结构 优化设计的优化方法，同时研制了该方法的应用软件m a d o p ，论文指出该方法的解确 实可靠，可直接为工程所用【1 4 1 。 1 9 9 5 年孙焕纯等1 2 3 应用序列两级算法研究了离散变量桁架结构的形状优化。 山东建筑大学硕士学位论文 1 9 9 8 年，高峰等【6 刀用遗传算法对离散变量桁架结构进行了多变量、多工况的结构形 状遗传优化设计。 1 9 9 9 年，石连拴等【2 5 】提出了以相对差商法为基础的离散变量结构形状优化设计的综 合算法；邓华，董石麟【5 3 1 采用二级算法对空间网壳结构进行了形状优化分析。 2 0 0 1 年石连拴等【刚讨论了动应力和动位移约束下的离散变量形状优化设计问题，用 两类变量统一考虑的离散变量结构形状优化设计的综合算法进行了求解。同年，王藏柱 等1 4 9 】对输电铁塔进行了形状优化。 2 0 0 2 年，王栋等【3 3 】提出一种渐进结构优化法，通过分离设计变量，分别采用渐进节 点移动法和满应力法优化桁架结构的形状和尺寸。 2 0 0 6 年，隋允康【2 2 1 用一种层次分解方法对桁架结构进行了形状优化；陈芸【6 9 】应用遗 传算法对桁架结构进行了形状优化研究。 2 2 结构优化设计的数学模型【1 5 l 2 2 1 目标函数 优化设计的目的就是要设计出最优的结构。要评价一个结构设计方案的优劣，必 须要有一个评价设计方案优劣的函数，称为目标函数。目标函数是设计变量的函数， 是对设计方案进行比较选择的指标，也就是判断设计方案优劣的标准。在优化设计 中，我们一般总是要求目标函数f ( x ) 最小。在某些问题中( 如使用寿命、有效载重、 安全系数等) 要求目标函数最大。为统一处理起见，可人为地在数学上规定目标函 数为f ( x ) 的形式，这样就可以将求最大值的问题转化为求最小值。 很多工程结构的优化设计是在满足所有约束条件的前提下以降低结构的重量为 目标的。例如，在钢结构设计中，结构的重量越轻，消耗的材料就越少，一般地说 工程造价就越低。同时，钢结构重量降低还可减少基础的承重，改善基础的受力情 况。在各种运输设备中( 如各种车辆、飞机等) ，降低设备自身的重量即可提高有效 载重量，提高能源利用率。目前结构优化设计所研究的多属于最轻设计。结构最轻 设计的目标函数可写为： m i n w = o 形 ( 2 1 ) 扫d 式中，刀为结构的单元数：p 。为第f 单元材料的容重；k 为第i 单元的体积。 山东建筑大学硕士学位论文 对于等截面梁、杆等细长类单元，形可写为 k 2 4 l , 式中，4 为单元横截面面积；为单元厚度。 对于平面应力、板、壳类单元，形可写为 k 24 t 式中，4 为单元表面积：z 为单元厚度。 写为 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 对于既有梁单元又有板、壳单元的组合结构，可由( 2 2 ) 式和( 2 3 ) 式将目标函数 mn m i n w - 易4 乃+ 乃4 0 i - - 1 i - 1 式中，m ，分别为梁、杆类单元及板、壳类单元的个数。 ( 2 4 ) 在有些情况下，以最轻重量作为目标函数就不合适了。例如在钢筋混凝土结构 设计中，最轻设计会得出不合理设计。因为从重量上来说混凝土的重量占绝对优势， 而从材料价格来说，钢筋确占较大比重。为了使重量最小，而得出的设计必然是截 面很小、钢筋很密的结构，这显然在造价上是不经济的，施工上也不方便。对于这 类问题，我们一般以造价为目标函数。文献 4 6 3 提出了钢筋混凝土框架结构最低造 价的目标函数为 。 m m i n w = c 6 ，f l + ( 2 5 ) i=1户l 式中，c 0 ，乞分别为第f 根梁和第j 根柱单位长度的价格。 在工程优化设计中，除了以上提到的两类目标函数外，有时还会遇到可靠性最 大、应力集中系数最小、最大应力最小等类型的目标函数，也有多个目标函数的情 形。因此，在实际工程设计问题中，应当取怎样的目标函数应根据具体情况进行分 析，依据起决定作用的因素来确定。 只考虑其数学形式，目标函数可分为线性函数与非线性函数两种。线性目标函数 ( 最轻重量目标函数属此类) 是设计变量的线性函数。可利用它的这一线性性质，构 造简单、有效的算法。 山东建筑大学硕士学位论文 2 2 2 设计变量 在一个结构设计方案中，全部参数可分为3 种类型，即设计参数、性态参数和 中间参数。设计参数是设计中的自变量，通常由设计者主动选择；性态参数是结构 的各种性态变量，例如应力、位移、自振频率等等，是设计参数的因变量，设计者 不能直接选出所需要的性态参数，而只能靠结构分析来描述；中间参数是由设计参 数求性态参数运算中的一些量。例如单元的应力是一个性态参数求应力时所需的 内力就是一个中间参数。 在优化过程中，针对具体问题，往往将设计参数中的一部分事先给定，例如在 截面优化设计中，结构的坐标给定，结构中杆件连接关系给定，材料给定，这称为 确定参数。而调整另一部分设计参数( 截面面积) ，这些可调整的设计参数，称为设 计变量。 结构设计时的设计变量在物理意义上可分为以下几类t ( 1 ) 确定截面几何特性( 即截面的尺寸、面积和惯性矩等) 的截面变量； ( 2 ) 确定结构几何形状的节点坐标变量； ( 3 ) 确定材料的弹性系数和容量等的材料变量； 、 ( 4 ) 确定结构各节点间有无单元连接的拓扑变量。 目前的优化设计研究工作大都是优化截面几何特性的截面优化，这方面做了大 量工作，理论和方