（基础数学专业论文）非线性常微分方程边值问题的解及其应用.pdf

曲阜师范大学硕士学位毕业论文 非线性常微分方程边值问题的解及其应用 摘要 非线性泛函分析是现代分析数学的一个重要分支，因其能很好的解释自皴 界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数学工作者的关注其中，非纷 性边值问题来源于应用数学和物理的多个分支，是目前分析数学中研究最为淫 跃的领域之一本文利用锥理论，不动点理论，拓扑度理论等研究了几类微贫 方程奇异边值问题解的情况，得到了一些新成果 根据内容本论文分为以下几部分： 绪论介绍了完成本论文的主要背景以及用到的基本定义和基本引理 第一章利用锥拉伸与压缩不动点定理，给出了四阶微分方程奇异边值问题 c 2 o ，1 和c 3 o ，1 正解的存在性 第二章利用不动点指数定理和g r e e n 函数的性质，在较弱的条件下研究 了四阶微分方程奇异边值问题正解的存在性 第三章利用拓扑度理论，在与相应的线性算子第一特征值有关的条件下彩 得了四阶奇异边值问题非平凡解的存在性的结果 第四章利用锥上的不动点定理研究了一类非线性分数微分方程三点边催 问题正解的存在性及多解性 关键词：边值问题；解；不动点；拓扑度；锥 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 a b s tr a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i s m a t h e m a t i c s b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e n o m e n a ，m o r e a n dm o r em a t h e m a t i c i a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n gt h e m ，t h e n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mc o m e sf r o mal o to fb r a n c h e so fa p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dp h y s i c s ，a n di t i sa tp r e s e n to n eo ft h em o s ta c t i v ef i e l d st h a t i ss t u d i e di na n a l y z em a t h e m a t i c s t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n tt h e o r y ，a n dt o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r ya n ds oo n ，t oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f s e x r e r a lc l a s s e so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h e o b t a i n e dr e s u l t sa r ee i t h e rn e wo ri n t r i n s i c a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e su n d e rw e a k e rc o n d i t i o n s a c c o r d i n gt oc o n t e n t s ，t h ep a p e r i sd i v i d e di n t os e v e r a ls e c t i o n sa sf o l l o w s t h ei n t r o d u c t i o ni sm a i n l ya b o u tb a c k g r o u do ft h i sp a p e ra n di n t r o d u c e s t h ee l e m e n t a r yd e f i n i t i o n sa n dl e m m a sw h i c ha r eu s e di no u rp a p e r i nt h ef i r s tc h a p t e r ，t h ee x i s t e n c eo ft w oc 2 【o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n sa sw e l l a sc 3 o ，1 】p o s i t i v es o l u t i o n si se s t a b l i s h e df o rt h es i n g u l a rb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so ff o u r t ho r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m o fc o n ee x p a n s i o na n dc o n ec o m p r e s s i o no fn o r mt y p e i nt h es e c o n dc h a p t e r ，b yu s i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r ya n dt h e p r o p e r t i e so fg r e e n 7 sf u n c t i o n ，w ep r e s e n tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n s f o rac l a s so fs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so ff o u r t h o r d e rd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h ec o n d i t i o n su s e di nt h i sp a p e ra r ew e a k e r i nt h et h i r dc h a p t e r ，b yu s i n gt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y ，t h ee x i s t e n c e o fn o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rf o u r t h o r d e rs i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw i t h s i g n 。c h a n g i n gn o n l i n e a r i t i e si s c o n s i d e r e du n d e rs o m ec o n d i t i o n sc o n c e r n i n g t h ef i r s te i g e n v a l u e sc o r r e s p o n d i n gt ot h er e l e v a n tl i n e a ro p e r a t o r s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，b yu s i n gs o m ef i x e dp o i n tt h e o r e m s ，t h ee x i s t e n c e a n dm u l t i p l i c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rac l a s so ft h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u e 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 p r o b l e m so fn o n l i n e a rf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ec o n s i d e r e d 1 1 1 k e yw o r d s ：b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；s o l u t i o n s ；f i x e dp o i n t ；t o p o l o g - i c a ld e g r e e ；c o n e 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 符号说明 本文所用符号，除文中特殊说明外，均按如下规定； 1 兄表示实数集合 2 兄+ 表示非负实数集合 3 兄一表示非正实数集合 4 j p 表示n 维欧氏空间； 5 a q 表示q 的边界 6 q 表示q 的闭包 7 o ( ，) 表示不动点指数 8 口表示抽象空间的零元 1 0 c c d 表示集合c 包含于集合d ； 1 1 i n f 表示下确界，s u p 表示上确界； 1 2 e 表示属于，v 表示任意，j 表示存在，表示空集； 1 3 表示不等于，：= 表示定义，表示趋于； 1 4 ”i i 表示b a n a c h 空间中的范数，一般为上确界范数 1 5 c 0 ，1 】表示f 0 ，1 】上的全体连续的函数族 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 绪论 1 近代物理学和应用数学的发展，要求分析和控制客观现象的数学能力向着 富有全局性的高、精水平发展，从而使非线性分析成果不断积累，逐步形成了 现代分析数学的一个重要分支学科一非线性泛函分析 二十世纪以来，非线性泛函分析的发展取得了重大得突破首先b a n a c h 压缩映象原理，l e r a y - s c h a n d e r 拓扑度理论，抽象锥的不动点理论，临界点 理论的提出，促进了非线性常微分方程、偏微分方程边值问题的研究另一方 面，奇异常微分方程边值问题由于在物理学、应用数学、航天、生物等领域有 着广泛而重要的应用，也引起了众多数学家的重视世界上许多著名的数学家 用非线性泛函分析中的拓扑度理论，临界点理论、半序方法，上下解方法，不 动点理论、迭合度理论、单调迭代方法、拓扑横截度等理论和方法，对上述方 程进行了深入的研究，得到了许多新结果但由于对奇异常微分方程的研究存 在许多困难，所以现在仍然是非线性分析研究的一个较为前沿的方向 郭大均先生在专著【9 】中，对非线性泛函分析的几个重要课题和应用，作 了系统的概括和总结文献 1 5 】利用锥理论讨论了多种非线性问题，主要是近 年来发展起来的一些最新成果爱尔兰著名的数学家o r e g a nd 在专著【2 】 中对此类问题做了系统而详细的论述一方面实际问题中不断涌现出大量的微 分方程非线性边值问题需要人们去深入研究，另一方面近几十年来非线性分析 有了巨大发展，其丰富的理论和先进的方法日渐成熟所以，运用几十年来非 线性分析中发展起来的多种先进的分析工具，来研究微分方程奇异边值问题是 一个具有浓厚兴趣同时可希望获取有意义的新成果的研究课题 本论文主要利用非线性泛函分析的拓扑度方法研究微分方程边值问题，第 一章至第三章研究了四阶奇异边值问题解的存在性问题，其中前两章考虑正解 的存在性，后一章减弱非线性项的条件考虑非平凡解的情况目前，对于整数 阶微分方程研究结果比较多，但对于分数阶微分方程结果较少，第四章研究了 分数阶微分方程三点边值问题的正解本论文中第一章和第二章分别被国内核 心刊物非线性泛函非分析学报数学物理学报接收，第三章已投国外核 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 2 心刊物j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a la n a l y s i sa n da p p l i c a t i o n s 我们用到下列相关概念和定理： 定义0 1 1 ( i ) 设e 是一个实b a n a c h 空间如果p 是e 中的某非空 凸闭集，满足条件： ( a ) z p a 0 兮a z p ； ( b ) z p ，- - x p 号z = 0 ( 伊表示e 中的零元) ， 则称尸是e 中的一个锥 ( i i ) 给定e 中的一个锥后，则可对e 中的部分元素z ，y 引入半序关系如 下。石y ，如果y z p 易知。此序关系满足t 【a ) z y ，y z 号zsz ； ( b ) o z ，v o e ； ( c ) z y ，y zjz = ! ， 从而，使e 成为半序集 定义0 1 2e 1 ，赐是两个b a n a c h 空间，d c e l 设算子ta ：d _ e 2 ， 若a 将d 中任何有界集s 映成易中的列紧集a ( s ) ( i i pa ( s ) 是相对紧集， 亦即它的闭包a ( s ) 是j 1 2 中的紧集) ，则称a 是映d 入易中的紧算子 定义0 1 3 若算子。a ：d - - - 易是连续的而且又是紧的，则称a 是映 d 入岛中的全连续算子 引理0 1 1 ( 勒贝格控制收敛定理) 设 l ( e ) = 1 ，2 ，) ，且有 1 i r a = ，( z ) a e ， k - + + 若存在e 上的可积函数f 扛) ，使得 i ) i f ( x ) 0 e ，七= 1 ，2 ， 则 。卅l i m 。，f ea ( 茹) 如= 上，( z ) 如 引理0 1 2 ( a r z e l a - a s c o l i 定理) 为了fcc m ) 是一个列紧集，必须 且仅须f 是一致有界且等度连续的函数族 第一章四阶奇异边值问题两个正解的存在性 1 1 引言 f “( 4 ) = ，( t ，t ( t ) ，( t ) ) ，t ( o ，1 ) ， “o ) = u ( 1 ) = 0 ， ( 1 1 1 ) io 缸”( o ) 一b u ( o ) = 0 ，c u ”( 1 ) + d u ( 1 ) = 0 o r e g a n 在文【1 】中用拓扑横截定理给出了四阶奇异边值问题解的存在 性的充分条件文【6 】利用上下解方法和极大值原理，给出了次线性微分问题 ( 1 1 1 ) 在d i r i c h l e t 边界条件u ( 0 ) = u ( a ) = 0 和钍”( o ) = ”( 1 ) = 0 下c 2 【o ，1 】 和c 3 t o ，1 1 正解存在性的充分必要条件文【8 1 研究了( 1 1 1 ) 中的函数，不 含的奇异边值问题两个正解的存在性，而本章在当，含t ”且可分解为一 个超线性与一个次线性和的情况下，利用锥拉伸与压缩不动点定理，给出了四 阶微分方程奇异边值问题( 1 1 1 ) 至少有两个c 2 【o ，1 】和c 3 【o ，1 】正解的充分条 件，且推广了文【6 ，7 ，8 】的结果 1 2 预备知识及有关引理 为方便起见，我们列出本章使用的假设： ( h 1 ) 口0 ，b 0 ，c 0 ，d 20 ，a = 0 c + b d + b c 0 ( h 2 ) ( t ，“，t ，) = ( t ，u ，移) + 厶( t ，t ， ) ， c ( ( o ，1 ) x 【o ，+ o o ) ( 一o 。，o 】， 【0 + o o ) ) ，存在m 0 ，使 ( t ，m r ( 1 一t ) ，一m ) 0 ，t ( 0 ，1 ) o = 1 ，2 ) ，且存 在常数a a , p l ，a ：，p ：( o a lsp l ，0 a ：p ：，p 1 + p i 1 ) ，a 2 ，p 2 ，a ；，疋( 1 a 2 助 + o o ，1 a ：疋 + o 。) ，使得对于t ( 0 ，1 ) ，钍( 0 ，+ o o ) ， 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 4 ( 一o o ，0 ) ，任意0 c o 1 ，有 豸1 l ( t ，“， 1 3 ) f l ( t ，c o u ，t ，) s 露1 f l ( t ，t ， ) ， 1 ( t ，t ，) ( t ，让，c o t j ) 曼碚1 ( 。，t ，钉) ， ( 1 - 2 1 ) c 2 f 2 ( t ，u ，t ，) f 2 ( t ，c o u ，t ，) 碚2 五( t ，t ，”) ， c ：2 f 2 ( t ，t ， ) 厶( 厶u ，c o y ) 苟2 2 ( t ，让，t ，) 注1 2 1 由条件( 1 2 1 ) 可得，对于( 0 ，1 ) ，钍( 0 ，+ o 。) ，u ( 一o o ，o ) ， 任意c 0 21 ，有 命1 f l ( t ，t ，t ，) f l ( t ，c o u ，t j ) 1 f l ( t ，牡，u ) ， c 0 3 1 ，l ( 。，“，口) ( 岛“，c o t ，) - 4 1 0 ，“，u ) ， ( 1 2 2 ) c 。2 丘( t ，扎， ) h ( t ，匈u ， ) 2 h ( t ，t ，t ，) ， 备丘( t ，u ， ) ，2 ( t ，t ，c o u ) c 驴厶( t ，“，口) 注1 2 2 ( t t 2 ) 中的( 1 2 1 ) 式刻划了 的次线性，厶的超线性 对于函数f l ( t ，u ， ) = 羔l 2 1 仇 r ( ) u 啦一，这里0 m ，o r 0 ，t ( 0 ，1 ) ，s = 1 ，2 ，m ，r = 1 ，2 ，n ，2 ( t ，u ，u ) = f - 1 名1g l j ( t ) 驴庐，这里1 0 ，牡”( t ) 0 ，“”( t ) o ，d = 0 时，问题( 1 1 1 ) 的c 3 【0 ，1 ) 正解当6 = 0 ，d 0 时，问题( 1 1 1 ) 的c 3 ( o ，1 】 引理1 2 1 【9 j 设e 是b a n a e h 空间， e 中的有界开子集，使得0 q 1 ，酉cq 2 耳是e 中的个锥，q l ，都是 又设a ：k _ k 是全连续算子， 曲革师范大学硕士学位毕亚论文 如果下列条件之一满足。 ( 1 ) i ia ul i l lt 0 ，t 0 f 2 2 ； ( 2 ) 0a u1 1 1 lt 0 ，u a q l 且i ia ul i 0 ，d = 0 时。若 ，1 0 ( 1 一t ) f ( t ，m t ( 1 一t ) ，- m ) d t m j 0 成立，则问题( 1 1 1 ) 至少有两个c 3 o ，1 ) 正解缸l ( t ) ，u 2 ( t ) 满足 0 r 0u 10 m l | 也l l 冗， 其中r r 是常数，m 由( h 2 ) 给出，f f 钍= m 2 = s u pi t ，( t ) t e o ，i j ( i i ) 当b = d = 0 时，若 ，1 0 t ( 1 一t ) ( t ，m t ( 1 一t ) ，一m ) d t 0 时，若 0 t ，( t ，m t ( 1 一t ) ，- m ) d t m ( 1 3 4 ) 成立，则问题( 1 1 1 ) 至少有两个c 3 c o ，1 】正解“l ( t ) ，坳( t ) 满足( 1 3 2 ) 式 定理1 3 2 假设条件( h 1 ) 和( h 2 ) 满足，若 。 f 0 1 ( t ，胁( 1 一t ) ，一m ) d t 瓦m ( 1 3 5 ) 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 6 成立，则问题( 1 1 1 ) 至少有两个c 3 【0 ，1 】正解u l ( t ) ，u 2 ( t ) 满足( 1 3 2 ) 式其 出 m o2 o 0 ，d = 0 ( 1 ) 我们首先推导下式成立 牌( 1 一) j cf ( s , m s ( 1 8 ) ，一m ) d 8 = o 任意 0 ，由( 1 3 1 ) 式，存在如 0 ，对v t 愉，1 ) ，有 ( 1 一s ) ，( 5 ，m s ( 1 8 ) ，一m ) d s o ( 1 3 1 2 ) 令 p = u l u c 2 【o ，1 】，u ( o ) = “( 1 ) = 0 ，u ( t ) t ( 1 一t ) l u l o ， 一, i t i p ( t ) t ( 1 一t ) l u l 2 ， 则p 为c f l o ，l 】中的锥易知g l ( t ，8 ) 和g 2 ( t ，s ) 满足 g 1 ( t ，8 ) l2 志+ 6 ) ( 1 一声) ，v ( t ，s ) j o 7 0 ， ( 1 3 1 3 ) g 2 ( t ，8 ) 2 = a ( 1 一卢) ， v ( t ，8 ) , oxj o ， ( 1 3 1 4 ) g l ( t ，8 ) 2t ( 1 一t ) g l ( r ，s ) ，v t ，丁，s z ( 1 3 1 5 ) g 2 ( t ，8 ) t ( 1 一t ) g 2 ( r , 8 ) ，v t r ，8 z ( 1 3 1 6 ) 对于固定u p ，有 ，11 t ( 1 一t ) l u i o t o ) = g 2 ( t ，s ) ( - u ”( s ) ) d s ；i u l 2 t ( 1 一t ) ( 1 3 1 7 ) j 0 o 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 8 对p ，t , 1 0 ，有 “( t ) = z 1 6 k ( 岛s ) ( 一可”( s ) ) 幽2z 4 岛( ，s ) ( 一( s ) ) 幽e ；一a ) 。， ( 1 3 1 8 ) 从而 e ；( 卢一口) l t 上1 2 i 训o ；l u l 2 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 9 m a x 1 ，l 害1 ，由( 1 2 1 ) 一( 1 2 2 ) ，( 1 3 2 0 ) 一( 1 3 2 1 ) 和( 1 3 1 7 ) 式得 ，( t ，t | ( t ) ，u ”( t ) ) = f l ( t ，t ( t ) ，( t ) ) + f 2 ( t ，u ( t ) ，( t ) ) 鳞 ( t ，警，川) ) 坩，2 ( t ，盟c l ) ，一a ，( ；f u f 2 ) 1 1 f 一 - ，t ( z ， ，f ( 1 一f ) ，u ”( f ) ) + 2 一 2 ( ；j 牡i 。) 1 2 f 一 2 ，j ( t ， f t ( 1 一t ) ，缸”( t ) ) o ，m r ( 1 一t ) ，- 1 “1 2 ) + 2 ，2 ( t ，m t ( 1 一t ) ，一i 札1 2 ) - 毋一( 1 牡1 2 ) 彳一t ( t ，m t ( 1 一t ) ，一订) + ：聋一屯( i u l 2 ) m 一，2 ( t ，m r ( 1 一t ) ，一 f ) 曼，+ 正厂1 0 ，m r ( 1 一t ) ，一m ) + 2 + 正，2 0 ，m t ( 1 一t ) ，一m ) m a x 1 ，鲁) ，类似于( 1 3 2 2 ) 式，有 ( t ，t ( t ) ，( t ) ) 出k 2 f ( t ，m r ( 1 一t ) ，一m ) ， 其中= m a x 孝+ 正，c ： 2 邮：) 从而 i a u ( 圳k 2f o ig 2 ( s ，s ) d sz 1 ( 1 一r ) ，( r ，m 丁( 1 一r ) ，一m ) 打 + o o ， j ( a “) ”( t ) j 如，( 1 8 ) ( 8 ，m s ( 1 一s ) ，- m ) d s 0 ，j 6 = 6 ( ) ， 当i t l t 2 i 占( 不失一般性，不妨假设0 t 1 t 2 1 ) 时，有l g 2 ( t 2 ，s ) 一 g 2 ( h ，s ) j 南，则对v u b ，由( 1 3 1 ) 式，有 1 a t ( t 2 ) 一a 乱( t 1 ) l ：z 1 i g ：( 坛s ) 一g 。( 九s ) 胁0 1 ( 1 一r ) ，( r ，m 丁( 1 一下) ，一肘) 打 0 ，当 t 2 一t l 6 l 时，有 上b ( 1 一s ) ，( s ，m 邮一s ) 一m ) 幽 0 ，当t 2 一t l 而时，有 ( t 。- - h ) f c 卜“”缸， 一s ) ， 彘( 1 3 2 7 t l m s ( 1 - m ) d s 1 32 70 ) ，( s ， 一s ) ， 蠹 ) u m 2 取6 = m i n 6 l ，如，南) ，当t 2 - t l 石时，由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 6 ) 一( 1 3 2 7 ) 式，得 i ( a - ) 一( a 札) i2 寿中一。z ) j c ( 6 + n s ) ，( 8 ，u ( s ) ，t ”( s ) ) 如 1i，n + ( 1 一t 2 ) ( 6 + n s ) ，( s ，u ( s ) ，( 8 ) ) d s + o ( t 2 一t 1 ) ( 1 一s ) ，( s u ( s ) ，( s ) ) d 一r 2 ( b + a t l ) ( 1 刊m 州s n ，( s ) ) d s l t , 1 一( t 2 - - t 1 ) ( 如一h ) k 2 ，( s ，m s ( 1 8 ) ，- m ) d s + ( t 2 一h ) k 2 ( 1 一s ) ，( 岛m s ( 1 8 ) ，一m ) d s + 2 ( 1 一s ) y ( s ，m s ( 1 一s ) ，- m ) d s m a x l ，击) ，类似于( 1 3 2 2 ) 式。有 ，( t ， l l n 0 ) ，( t ) ) 疵k 3 f ( t ，m r ( 1 一t ) ，一 ，) ( n = 0 ，1 ，2 ，) ， ( 1 3 2 8 ) 其中k 3 - - - - - m a x , + t ；1 , ) ( a u 。) ”( t ) 一( a u o ) ”( t ) l s o ( 1 一s ) l ，( s ，“n ( s ) ，乱：( s ) ) 一，( s ，u o ( s ) ，“：( s ) ) id s ，t 正、1 2 9 。 1 f 3 ) i a u 。( ) 一a u o ( t ) l z 1 g 。( s ，s ) d s z l ( 1 一下) | ，( r ，( 丁) ，缸：( r ) ) 一，( r ，铷( 下) ，u ；p ) ) 1 a t ，t z ( 1 3 3 0 ) 由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 8 ) 一( 1 33 0 ) 式以及l e b e s g u e 控制收敛定理，可推出i i a u 。一a u oi i - 0m - o o ) ，即a ：p _ p 是连续算子 综合上面的( 1 ) 一( i i i ) 知，a ：p _ p 是全连续算子 ( 4 ) 对于i t p i i “f i _ i t 1 2 = m ，则0 u ( t ) s ；l u l 2 t ( 1 t ) m t ( 1 一t ) 由( 1 3 1 ) 和( 1 3 2 0 ) 一( 1 3 2 1 ) 式，知 l ( a u ) ”o ) i ( 1 一a ) f ( s ，m s ( 1 一s ) ，- m ) d s m 取常数c 4 1 使c 4 2 1 当t l p i iui i = i u l 2 m 暖( p o ) 】- 1 m ，t j o 时，c 4 u ”( t ) - c 4 t ( 1 - t ) l u 2 一c 4 2 l 缸1 2 1 ，使c 5 e 2 1 ，当u p ，0 秕i i = i u l 2 m ，t 而时， i u l o m ，c 5 u , ”0 ) - c s t ( 1 一t ) l u l 2 一c 5 s 2j t l l 2 m 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 1 4 令s 2 冠= u p ：t l i 埘，则e h 为x = c 2 f 0 ，1 】中的有界开集，对 v u c 9 f l r n p ，由( 1 3 3 3 ) 和( 1 3 3 4 ) 式，知 i ia u u = i a u l 2 5 ，上讹“( s ) ，t 如 ( 1 3 3 6 ) ，n 1 1 j d d i e 1 ( 卢一q ) 沁+ 1 e ； 2 c 4 一疋订一如见l 牡l ；2 r = 0ui i 取 r = m t n 警， ( 卢一a 严+ 1 e 尹1 c s “m 咄l + 正，n 南) m 令q ，= t p ：0t ll | r ) ，则q ，为x = c 2 【o ，1 】中的有界开集，对 v u 独，n 尸，由( 1 3 3 3 ) 和( 1 3 3 5 ) 式，知 ，卢 i la ul | = l a u 22e 1 ( 8 ，“( s ) ，u n ( s ) ) 如 j o ( 1 3 3 7 ) e 1 ( 一d ) 一- + 1 “z c 5 一正朋一扣，+ p ：n 扭成1 + 正2 彳= f i “f f 由( 1 3 3 1 ) 一( 1 3 3 2 ) 和( 1 3 3 6 ) 一( 1 3 3 7 ) 式及引理1 2 1 可得，算子a 在p 中至少有两个不动点u z ( t ) ，u 2 ( t ) 满足 0 r 0 “li i m 0 ，d = 0 ( i i i ) b = 0 ，d 0 证明过程与( i i ) 完全类似定理1 3 1 证毕 定理1 3 2 的证明假设( 1 3 5 ) 式成立。锥p 如定理1 2 1 的证明中所定 义，对于固定“p ，由( 13 5 ) 和( 1 3 2 2 ) 式，知 r 1，1 g ( t ，s ) f ( s ，u ( s ) ，( s ) ) d s m o k l ，o ，m s ( 1 一s ) ，一m ) d 8 o o ，t z j 0j 0 ( 1 3 4 1 ) 其中g ( t ，s ) ，m o 分别由( 13 7 ) 和( 1 3 6 ) 式给出因此，积分方程 l r l u ( 0 = a u ( t ) = g 2 ( t ，s ) g ( 岛7 - ) ，( r ，札( 7 - ) ，u ”( 7 - ) ) d t d 8 ( 1 - 3 4 2 ) j 0j 0 的右边有意义我们首先证明积分方程( 1 3 4 2 ) 有两个c 2 1 0 ，1 】正解满足( 1 3 2 ) 式 易证函数v ( t ，8 ) 满足性质 g ( t ，8 ) 自，( t ，8 ) j o j o ，( 1 3 4 3 ) 其中e 4 = 去( n q + 【c ( 1 一卢) + a 1 类似定理1 3 1 的证明，可证a ：p _ 尸是全连续算子而且3 0 r m i iu l j ，v u p ，i lu i j _ r 对于“p ，i iu0 = i u i 2 = m ，则t ( t ) i t 1 2 t ( 1 一t ) m r ( 1 一t ) ，一( t ) 川2 = m ，由( 1 3 5 ) 和( 1 3 2 0 ) 一( 1 3 2 1 ) 式，知 ，l i ( a 仳) ”( ) i = g ( t ，s ) ，( s ，u ( s ) ，( s ) ) 幽 j 0 1 ( 1 3 4 5 ) l、， ，( s ，m s ( 1 一s ) ，一m ) d s m a x 1 ，嘉 ，因0 l , 1i i o ；( 2 ) 任意z p n 魂，m 0 ，有 z a x m b x ，则l ，p n q ，p ) = o 引理2 2 3 1 1 6 l 设尸是实b a n a c h 空间e 中的一个锥，b ：e _ + e 是 曲阜师范大学硕士学位毕业论文 it ( 4 ( t ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， 【钍( o ) = t ( 1 ) = ( o ) = 钍( 1 ) = 0 g 。，s ，= 石11 f 。s 。2 。( 。1 一- 。t ，) ：2 。 扣( t - 一s d ) + + 。2 。( ，1 一- s ) 司t ，, ：茎；三：茎：c z z ， 对任意0 8 1 ， ( s ) 定义为； g 扣( s ) ，s ) 一0 ( m 。a x 。g ( t ，s ) 易证 巾，= 瞎舞： 且当0 8 ；时，0 8 v ( 8 ) 1 ，当；ss1 时，0 v ( 8 ) s 1 不难证明，对任意0 s 1 ， g ( 口( s ) ，s ) s 2 ( 1 一s ) 2 ( 2 2 2 ) 上述结论可见文【1 4 】 弓l 理2 2 4 1 1 4 1 当t 【0 ，1 】，s 【0 ，1 】时， g ( ) g ( 口( 8 ) ，8 ) a ( t ，s ) g ( ( s ) ，s ) ， 其中q ( t