（基础数学专业论文）带有可信性服务水平的模糊生产计划问题的研究.pdf

摘要 摘要 生产计划是在特定时间内对生产任务和进度的计划和安排在现实生产计划 中，由于测量误差和数据噪声，生产计划的参数往往具有模糊性，这时我们就需要 使用一套处理模糊不确定性的工具来研究生产计划问题本文正是基于可信性理论 对带有可信性服务水平的模糊生产计划问题进行了研究 本文首先建立了一类带有可信性服务水平的模糊期望值生产计划模型当需求 为相互独立的正态模糊变量时，该模型可以转化为具有确定约束条件的等价问题 此外我们还讨论了模型的逼近方法，并证明了逼近方法的收敛性并且设计了一个 基于逼近方法和粒子群算法的混合算法求解模型，最后通过一个数值例子来验证算 法的有效性然后，本文建立了一类带有可信性服务水平的模糊最小风险生产计划 模型，当需求为相互独立的r 模糊变量时，模型中的可信性约束条件可以转化为其 确定的等价约束，此外我们还讨论了模型的逼近方法及其收敛性问题，并且设计了 基于逼近方法和粒子群算法的混合算法求解模型，最后通过一个数值例子来验证算 法的有效性和可行性 本文的主要工作可以概括为以下三个方面： ( 1 ) 建立了两类生产计划模型一带有可信性服务水平的模糊期望值生产计划模 型和模糊最小风险生产计划模型 ( 2 ) 提出了在需求为正态模糊变量和r 模糊变量情形下将两类模型的可信性约 束转化为其确定的等价约束的方法 ( 3 ) 设计了基于逼近方法和粒子群算法的混合算法求解模型，并通过数值实验 来说明建模思想和算法的有效性。 关键词 生产计划可信性理论逼近方法粒子群算法可信性服务水平 a 1 ) s t l a 【t a b s t r a c t p r o d u c t i o np l a n n i n gi sv i e w e da st h ep l a n sa n da r r a n g e m e n t so ft h ep r o d u c t i o n m i s s i o na n dp r o g r e s si np r o d u c t i o ns c h e d u l e dt i m e i nr e a l - w o r dp r o d u c t i o np l a n - n i n gp r o b l e m s ，t h ep a r a m e t e r so ft h ep r o d u c t i o np l a n n i n gp r o b l e m sh a v ef u z z i n e s s b e c a u s eo fm e a s u r ee r r o r sa n dd a t an o i s e i nt h i st h e s i s ，w ee m p l o yc r e d i b i l i t yt h e o r y t os t u d yt h ef u z z yp r o d u c t i o np l a n n i n gp r o b l e mw i t hc r e d i b i l i t ys e r v i c el e v e l s f i r s to fa l l ，t h i st h e s i sp r e s e n t saf u z z ye x p e c t e dv a l u cp r o d u c t i o np l a n n i n g m o d e lw i t hc r e d i b i l i t ys e r v i c el e v e l s i nt h ec a s et h a tt h ef u z z yd e m a n d sa r ei n d e - p e n d e n tn o r m a lf u z z yv a r i a b l e s ，t h em o d e lc a n b ct u r n e di n t oi t se q u i v a l e n to n ew i t h d e t e r m i n i s t i cc o n s t r a i n t s a p p r o x i m a t i o na p p r o a c h ( a a ) t ot h em o d e li sd i s c u s s e d a n dt h ec o n v e r g e n c eo ft h ea ai sp r o v e d w cd e s i g nah y b r i da l g o r i t h mw h i c hi n t e - g r a t e sa aa n dp a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o n ( p s o ) a l g o r i t h mt os o l v et h ep r o p o s e d m o d e l an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ed e s i g n e d h y b r i da l g o r i t h m t h e n ，w ep r o p o s eaf u z z ym i n i m u m - r i s kp r o d u c t i o np l a n n i n g m o d e lw i t hc r e d i b i l i t ys e r v i c el e v e l s w h e nt h ef u z z yd e m a n d sa r ei n d e p e n d e n t g a m m af u z z yv a r i a b l e s ，t h ec r e d i b i l i t yc o n s t r a i n t so ft h em o d e lc a nb et u r n e di n t o t h e i rd e t e r m i n i s t i ce q u i v a l e n to n e s w cd e s i g nah y b r i da l g o r i t h mw h i c hi n t e g r a t e s a aa n dp s ot os o l v et h ep r o p o s e dm o d e l an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s so ft h ed e s i g n e dh y b r i da l g o r i t h m t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i sc a nb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) t w ok i n d so fp r o d u t i o np l a n n i n gm o d e l f u z z ye x p e c t e dv a l u ep r o d u c t i o n p l a n n i n gm o d e lw i t hc r e d i b i l i t ys e r v i c el e v e l sa n df u z z ym i n i m u m - r i s kp r o d u c t i o n p l a n n i n gm o d e la r eb u i l t ( 2 ) i nt h ec a s e st h a td e m a n d s a r en o r m a lo rg a m m a f u z z yv a r i a b l e s ，t h em e t h o d s o ft h ec r e d i b i l i t yc o n s t r a i n t sb e i n gt u r n e di n t ot h e i rd e t e r m i n i s t i ce q u i v a l e n to r l e s a r ep r o p o s e d ( 3 ) ah y b r i da l g o r i t h mw h i c hi n t e g r a t e sa aa n dp s o i sd c s i g n c dt os o l v et h e p r o p o s e dm o d e l s ，m o r e o v e r ，an u m e r i c a le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h em o d e l i n g i d e aa n de f f e c t i x o ，l l e s so ft h ed e s i g n e dh 、b r i da l g o r i t h m k e y w o r d s p r o d u c t i o np l a n n i n g c r e d i b i l i t yt h e o r ya p p r o x i m a t i o n 印一 p r e a c hp a r t i c l es w a r mo p t i m i z a t i o nc r e d i b i l i t ys e r v i c el e v e l i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教育机构的学位或证书 所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了致谢。 作者签名： 笙鏖墨日期：巡年互月上日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方格内打“”) 保护知识产权声明 本人为申请河北大学彳位所提交的题目为舞尊爹丢一8王，的学位 论文，是我个人在导师刘房夺指导并与导师合作下取得的研究成果，研究工作及取得 的研究成果是在河北大学所提供的研究经费及导师的研究经费资助下完成的。本人完全 了解并严格遵守中华人民共和国为保护知识产权所制定的各项法律、行政法规以及河北 大学的相关规定。 本人声明如下：本论文的成果归河北大学所有，未经征得指导教师和河北大学的书 面同意和授权，本人保证不以任何形式公开和传播科研成果和科研工作内容。如果违反 本声明，本人愿意承担相应法律责任。 声明人： 鎏丞墨日期：掣年月盘日 作者签名： 导师签名： 日期：- 2 丝旦2 - 年l 月l 日 日期：毕年月l 同 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 问题的提出及研究现状 生产计划一方面是指为满足客户要求的三要素“交期、品质、成本”而计划； 另一方面又使企业获得适当利益，而对生产的三要素“材料、人员、机器设备”的 适切准备、分配及使用的计划 生产是指一切社会组织将它的输入转化为输出的过程传统的生产只局限于物 质资料的生产，人们进行简单的计划即可进行生产进入2 0 世纪9 0 年代以来， 由于科学技术飞速进步和生产力的发展，顾客消费水平不断提高，生产者之间竞 争加剧，加上政治、经济、社会环境的巨大变化，使得需求的不确定性大大增强， 导致需求日益多样化在全球市场的竞争中，生产者面对一个变化迅速且无法预测 的买方市场，致使传统的生产与经营模式对市场剧变的响应越来越迟缓，因此， 新型高效的生产方式已经成为生产者越来越关注的问题，在这种背景下，越来越 多的学者致力于生产计划的研究，出现了各种各样的生产计划方式，如物料需求 计划( m a t e r i mr e q u i r e m e n t sp l a n n i n g ，m r p ) 1 1 , 2 】、层次生产计划( h i e r a r c h i c a l p r o d u c t i o np l a n n i n g ，h p p ) 1 3 , 4 】，供应链( s u p p l yc h a i n ，s c ) f 5 6 1 、聚合生产计 划( a g g r e g a t ep r o d u c t i o np l a n n i n g ，a p p ) 1 7 , 8 】等相继出现。 随着现代经济的飞速发展，生产计划已经受到越来越多生产者的高度重视由 于在现实的生产和管理中，我们会遇到各种各样的不确定性现象，这些不确定性在 很大程度上影响了生产计划的合理性众所周知，生产管理系统是包含人力和物力 的综合系统这样一个复杂的生产系统中包含着大量的不确定因素，例如原材料价 格、供应时间、产品的价格以及产品的需求等。如果生产者不考虑这些不确定性因 素，那么在决策是必须做大量的假设，在这些假设的前提条件下进行决策，往往与 实际情形有一定差距，有时甚至差距很大，最终生产者不可能得到一个满意可靠的 收入因此，生产者为了使产品有更强的竞争力并获取更多的利益，必须考虑生产 系统中的不确定因素。生产系统中的不确定现象常常表现为随机现象和模糊现象 众所周知，概率论是研究随机现象的理论工具。随着概率论和数学规划的发展，人 们开始研究将概率论与数学规划相结合的随机规划理论。随机规划因其完备的理论 性和实用性，已经渗透到生产和生活的各个方面。其中很多学者将随机规划理论应 河北大学理学硕十学位论文 用到生产计划问题的研究中例如， b i t r a n 【9 】研究了带有服务水平的随机生产计 划问题，考虑在需求为随机变量的情况下，将随机生产计划问题转化为近似的确定 生产计划问题；k e l l y , c l e n d c n c n d a r d c a u 1 0 】研究了随机需求、单机器单产品 的经济批量计划问题，目的旨在满足服务水平的条件下最小化调整设备费用和库存 费用之和；y i l d r i m ，t a n k a r a e s m c n 1 1 】研究了带有服务水平的随机生产计划和 产品来源问题，提出了一种滚动周期的方法来决策生产计划和产品来源问题，即生 产多少、在哪生产、什么时候生产、库存为多少的问题在众多学者的努力下，随 机生产计划的研究已经得到了长足的发展。但是，后来人们发现随机理论还不能完 全的描述生产计划的所有方面，在现实的生产计划过程中，还存在着另外一种不确 定现象一模糊现象人力因素是现实生产过程中不可或缺的因素，而人类对事物 的认识都具有一定的模糊性。因此生产者在制定生产计划时不得不考虑人类观察认 识问题的模糊性在这样现实的情况下，自1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h 1 2 】提出 模糊集概念以来，模糊集理论发展非常迅速且在现实生活中起着十分重要的作用。 1 9 7 8 年，z a d e h 1 3 】又提出了可能性理论，使得模糊理论更加完善和坚实。随后， 许多学者如n a m i a s 1 4 】和d u b o i s & p r a d e 【1 5 ，16 】进一步发展了这套理论在众多 学者的努力下，模糊规划的研究得到了迅速的发展由于模糊性是生产系统的一个 主要特点，因此大量学者利用模糊规划理论从不同的方面研究了生产计划问题，并 且得到了各种有意义的模型以及各种求解模型的方法随着模糊规划的发展，模糊 环境下的生产计划问题吸引了越来越多的学者。例如s h i n 【1 7 】应用三种模糊线性规 划模型来求解运输规划问题；t a n a k a i s 】提出了一种将基于指数分布可能性线性规 划问题转化为非线性最优化问题的方法；w a n g f a n gi t 提出了一种解决多目标 聚合生产计划问题的模糊线性规划方法有兴趣的读者还可以参阅f 肛2 1 】最近l i u & l i u1 2 2 】于2 0 0 2 年提出了一种自对偶的非可加测度一可信性测度，并通过可信 性测度和c h o q u e t 积分定义了期望值算子随后，l i u 2 3 】于2 0 0 4 年提出和完善了 可信性理论，形成了研究模糊现象的公理化数学体系作为可能性理论的发展，可 信性理论已经在模糊优化领域得到了广泛的应用 2 4 - 2 s 以可信性理论为基础的不 确定规划1 2 4 , 2 5 】为我们解决模糊决策系统下的生产计划问题提供了理论基础，并给 出了建模的新思路和新方法，这正是本文的主要研究动机 第1 章绪论 1 2 本文主要内容 随着模糊理论的发展和完善，模糊生产计划问题正在吸引着越来越多的学者， 使得模糊环境下的生产计划问题迅速发展起来最近，l i ul 矧提出和完善了可信 性理论，也为模糊生产计划问题的研究提供了一个更为优越的理论平台本文正是 基于可信性理论，提出了两类新的模糊生产计划模型一带有可信性服务水平的期 望值生产计划模型和带有可信性服务水平的最小风险生产计划模型 本文主要内容及结构安排如下； 第二章首先介绍了可信性理论的一些基本概念，把它们作为模糊生产计划问题 建模和求解的理论基础；另外介绍了服务水平的概念和衡量方法，并介绍了本文中 采用的服务水平的衡量方法；最后介绍了一种算法一粒子群算法 第三章首先建立了带有可信性服务水平的期望值生产计划模型，其次推导了当 需求为相互独立的正态模糊变量时，将模型的可信性约束转化为其确定的等价约 束；然后设计了基于逼近方法和粒子群算法( p s o ) 的混合算法求解模型；最后我们 给出一个数值例子来说明建模思想并验证算法的可行性和有效性 第四章首先建立了带有可信性服务水平的最小风险生产计划模型，其次推导了 当需求为相互独立的r 模糊变量时，将模型的可信性约束转化为其确定的等价约 束；然后设计了基于逼近方法和粒子群算法( p s o ) 的混合算法求解模型；最后我们 通过数值实验来验证算法的可行性和有效性。 在结论部分，我们对文章的工作进行了总结，简要地介绍了本文的一些创新点， 并对下一步可以继续开展的工作进行了展望 河北大学理学硕士学位论文 第2 章预备知识 本章首先介绍可信性理论的一些基本概念，它们作为建立模型和讨论模型性质 的理论基础；然后介绍服务水平的概念；最后介绍粒子群优化算法 2 1 可信性理论基本知识 自1 9 6 5 年美国控制论专家z a d e h1 1 2 】提出模糊集的概念，模糊集理论已经得到 长足发展，模糊技术几乎渗透到了所有领域。可能性理论由z a d e h1 1 3 】提出，许多 学者如n a m i a s1 1 4 ) 和d u b o i s & p r a d e1 1 5 , 1 6 1 对其发展起了重要作用 定义2 11 2 9 】假设r 为非空集合，p ( f ) 是r 的幂集，p o s 是定义在p ( r ) 上 的一个集函数。p o s 称为可能性测度，如果它满足下面的条件： p o s l ) p o s ( 0 ) = 0 ，p o s ( r ) = 1 ； p o s2 ) 对任意a i p ( r ) ，都有p o s ( u 涮a i ) = s u p 斛p o s ( a i ) ，其中i 是任意的指 标集 尽管可能性测度已经被广泛地应用，但是它没有自对偶性。最近，基于可能性 测度，l i u & l i u1 2 2 】提出了具有自对偶性的可信性测度 定义2 2 2 2 】设c r 是定义在p ( r ) 上的一个集函数，称它是一个可信性测度， 如果对任意的a p ( r ) ，有 c r ( a ) = 三( 1 + p o s ( a ) 一p o s ( a c ) ) ( 2 _ 1 ) 其中a 。表示集合a 的补集 三元组( r ，罗( r ) ，c r ) 称为可信性空间【3 0 】容易验证，c r 具有如下性质【2 3 1 ； c r l ) c r ( 0 ) = 0 ，且c r ( r ) = 1 ； c r 2 ) 单调性：对任意的a ，b p ( r ) ，有c r ( a ) c r ( b ) ； c r3 ) 自对偶性：对任意a p ( r ) ，有c r ( a ) + c r ( a 。) = 1 ； 第2 章预备知识 c r 4 ) 次可加性：对任意a ，b p ( r ) ，有c r ( aub ) c r ( a ) + c r ( b ) 模糊变量是可信性理论中的一个重要概念，其定义如下； 定义2 3i 删n 一维模糊向量定义为一个从可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 到n 一维 实向量的函数；如果n = 1 ，则称它为模糊变量 定义2 4f 3 1 】设矗f 2 ，靠为定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊变 量，若对实数集筑上的任意子集b 1 ，岛，b n ，有 c r 7 l f l ( 1 ) b 1 ，。( 7 ) b n ) = m i n ，c r 7 1 6 ( 7 ) 鼠】( 2 2 ) l t n 则称，f 2 ，岛为相互独立的模糊变量 定义2 5 3 0 】设为定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的竹一维模糊向量，则 它的联合隶属函数由下式给出 p ( z ) = ( 2 c r 7 r l 荨( v ) = z ) ) a1 ，z 蹰“ ( 2 3 ) 基于可信性测度，l i u l i u1 2 2 】定义了模糊变量的期望值 定义2 6 2 2 】设为定义在可信性空间( f ，p ( r ) ，c r ) 上的模糊变量，则定义f 的期望值为 t o of 0 e 匿】= c r r ) d r 一 c r r d r( 2 4 ) ，0j 一 其中m i n 铲c r _ ( r d r ，。c r 专r ) d r ) 0 ，m a x 整l ，t t = 1 不失一般性， ，邑己，则模糊变量的期望值为 e 旧= w t 6 i = l 假设矗i = 1 ，2 ，n 满足 其中权重w i ，i = 1 ，2 ，礼为 1 ，i i - - 1 、1 ，n n + 1 、 伽i2 互( 1 野心一m j = a x o 心) + 芝( 号野心一j m = i 觚+ l 如) 且肋= p 。+ 1 = 0 容易证明，w i 0 ，且：lw i = m a x l _ l 胁= 1 2 2服务水平概念介绍 ( 2 5 ) 服务水平是衡量不确定库存系统的一个重要指标，它关系到库存系统的竞争能 力有多种衡量服务水平的方法： ( 1 ) 整个周期内供货的数量整个周期的需求量； ( 2 ) 提前期内供货的数量提前期的需求量； ( 3 ) 顾客订货得到完全满足的次数订货发生的总次数； ( 4 ) 不发生缺货的补充周期数总补充周期数； ( 5 ) 手头有货可供的时间总服务时间； ( 6 ) 在随机环境下，取周期末的库存水平为非负的概率 在本文中，我们取周期末的库存水平为非负的可信性，称作可信性服务水平 2 3粒子群算法 粒子群优化算法【3 2 叫】是一种进化计算技术，有e b e r h a r t 博士和k e n n e d y 博 士发明。源于对鸟群捕食行为的研究 粒子群算法由于其算法简单、易于实现、参数少等特点，更重要的是它在优化 问题中的良好的表现，近年来成为了国际智能领域研究的热点。 粒子群算法模拟鸟群的觅食行为鸟群觅食时，从一地到另一地的迁徙过程中， 总是有一只鸟对食源的大致方向有较好的洞察力，同时在寻找食源的过程中，它们 通过自己独有的方式随时相互传递信息，特别是较好的信息。在好信息的指引下， 导致鸟群一窝蜂的奔向食源，在食源的所在地聚集。 粒子群算法从这种模型中得到了启示并用来求解优化问题在粒子群算法中， 搜索空间中的每一个解为一只鸟，我们称之为粒子，所有的粒子通过优化函数或目 第2 苹预备知识 标函数计算适应度值，每一个粒子还有一个速度来决定粒子的飞翔，所有的粒子通 过当前的最优粒子在可行区域中寻找最优解 粒子群算法初始化为随机产生一群粒子，然后通过叠代找到最优解在每一次 叠代中，粒子通过跟踪两个“极值”来更新自己第一个就是粒子本身所找到的最 优解，这个解叫做个体极值另一个极值是整个种群目前找到的最优解，这个极值 是全局极值找到这两个最优解之后，粒子通过以下公式更新自己的速度和位置 v ( t + 1 ) = k ( t ) + c l r l ( 只( t ) 一墨( ) ) + c 2 r 2 ( b ( f ) 一砥( t ) ) ， ( 2 6 ) x d t + 1 ) = x i ( ) + ( + 1 ) ，( 2 7 ) 其中，咒( ) 和k ( ) 分别表示粒子i 的第t 个分量的当前位置和速度， 只( t ) 和 b ( t ) 是粒子i 的第t 个分量的个体极值和全局极值， c l 和c 2 是学习因子，通常 c l = c 2 = 2 ，r l 和您为( 0 ，1 ) 之间的随机数 河北大学理学硕士学位论文 第3 章模糊期望值生产计划模型 本章首先建立一类新的模糊生产计划模型一带有可信性服务水平的模糊期望 值生产计划模型；其次在需求为相互独立的正态模糊变量时，将模型的可信性约束 转化为其确定的等价约束；然后设计了基于逼近方法和粒子群算法的启发式算法求 解模型；最后我们通过数值实验说明建模思想并验证算法的可行性和有效性本章 部分内容已发表于文献【3 5 】中 3 1 模型的建立 在这节里，我们将给出模糊环境下带有可信性服务水平的期望值生产计划模型 的数学描述在建立模型之前，我们首先介绍这个生产系统的特点和一些有关的规 定 在这个系统中有个产品来源( 工厂和承包商) ，同时生产产品的数量要满 足顾客的需求并且使得在丁周期内的费用最小。每周期内产品的需求具有不确定 性，这里我们通过具有已知可能性分布的模糊变量来描述 模型中用到的费用参数包括生产费用和库存费用，这些费用参数都具有不确 定性，我们通过具有已知可能性分布的模糊变量来描述另外，我们假设模糊需求、 模糊生产费用和模糊库存费用是相互独立的1 3 1 】 生产系统的服务水平是通过周期末库存水平非负的可信性的大小来衡量 为了建立带有可信性服务水平的模糊期望值生产计划模型，我们将采用下面的 指标、参数和决策变量 i ：产品来源的指标，t = 1 ，2 n ； t ：周期的指标，t = 1 ，2 ，t ； 兀：第i 个产品来源第t 个周期单位产品的模糊生产费用； 叩：第t 个周期单位产品的模糊库存费用； ：t 周期末的库存水平； ：t 周期产品的模糊需求； 啦：t 周期生产系统的可信性服务水平； q 第i 个产品来源第t 个周期产品的生产数量。 第3 章模糊期零侑争产计划模型 我们使用上面的记号，可以建立以下的产品来源丁周期的带有可信性服务 水平的期望值生产计划模型 m i ne l 叩矿+ e r i “i l = 1 i = lt = l j s t c r 厶o ) a ， t ：1 ，t ( 3 1 ) 鼠t 0 ，i = 1 ，n ，t = 1 ，t 口= m a x 0 ，厶) ，t = 1 ，t ， 其中厶= 厶一1 + 竺1 翰，。邑，模糊向量( 7 ) = ( 7 7 1 ( 7 ) 竹( 7 ) ，7 1 , 1 ( 7 ) t n , t ( 7 ) ， 1 ( 7 ) 丁( 7 ) ) 是由模型( 3 1 ) 中所有的模糊变量组成求解模型( 3 1 ) 需要确定生 产多少产品，由哪个产品来源提供在t 周期末剩余的产品可以在下一个周期继续 使用，并且这个多周期模型中的周期是相互联系的 3 2 模型的等价形式 在模型( 3 1 ) 中需求、生产费用和库存费用为模糊变量，为了求解模型的最优 解和最优值，我们需要计算模糊事件的期望值和可信性测度，如果模糊变量比较复 杂，那么约束检验是一个复杂的过程因此在某些情况下，把模型的可信性约束转 化为它们的清晰等价形式可以大大减少计算时间的复杂度，本文以正态模糊变量为 例来解释这一思想 首先我们有如下定理： 定理3 1 假设f 是一个参数为( n 盯) 的正态模糊变量，其可能性分布函数为 ，蜒( r ) = e x p ( 一( 7 一n ) 2 盯2 ) ，a 晚，仃 0 则对任意给定的置信水平“( 0 ，1 】，有 f ，f ，若口 0 5 ，c r f t ) q 当且仅当( t o ) 2 + 盯2i n2 口o ； f 剀若口0 5 ，c r t ) 0 ：当且仅当( t n ) 2 + 盯2i n2 ( 1 一q ) 0 证明：由f 的可能性分布和c r ) o l 的计算方法我们可以得到 f1 一 c x p ( - ( t 一口) 2 a 2 ) ，t n c r sz = 【；c x p ( - ( t n ) 2 盯2 ) ，t n 当n 0 ，k = 1 ，2 ，n 如果臂( 动= ( 动v0 和行( 动= 一 ( 动v0 ，k = 1 ，2 n ，则对任意给定的置 信水平q ( 0 ，1 ，有 ( a ) 当q 0 5 ，c r g ( x ，专) o ) 口当且仅当 n n 2n n 2 ( n 知疗( 砌一n 七疗( 动一o ( x ) ) + ( 盯* 疗( 动一盯七石( z ) ) ) l n 2 o ； k = l七= 1 七= 1 k = l ( b ) 当q 0 5 ，c r g ( x ，毒) 0 ) o z 当且仅当 隆k = l 删一妻k = ln 七付( x ) - f o ( x ) 11 、)2 i + ( 参蒯一 1 0 一 月 i 2 盯七石( z ) ) ) i n2 ( 1 一。) o 七= 1 证明：由于对( 动和石( 动的非负性和，( z ) = ( z ) 一疗( 动所以， 9 ( z ，专) = e 厂( z ) + ，0 ( 动 k - - 1 t l = 付( 砌一石( 动 + 矗( z ) = e 付( z ) + 疗( 动幻+ ，o ( 动 其中靠是参数为( 一钒，一仃七) ，七= 1 ，2 n 的正态模糊变量根据正态模糊变量的 计算法则1 纠9 ( z 墓) 一矗( 动也是一个正态模糊变量，参数是 ( ：。 对( z ) n k 一石( 2 ) o e ，e 趋。 臂( x ) o r k 一疗( 动盯七 ) ，k = 1 ，2 n 由定理3 1 可得结论成立口 在模型3 1 中，根据库存平衡方程厶= 厶一1 + 墨1 鼢，t 一邑，t = 1 ，t ，可信 性服务水平 c r i , o 】q ，t = 1 ，r 可以转化为 crolt,i-ij = 1 j - - - - 1 t = 1 ，丁 c r + j 一岛o 江1 ，丁 lj 为简单起见，记白是参数为( a j ，) ，j = 1 ，2 t 的正态模糊变量。当模糊需求为 相互独立的模糊变量且q t 0 5 ，t = 1 ，丁时，由定理3 2 ，可信性服务水平可以 转化为如下的等价确定形式 ( 厶+ 喜骞黝，一骞) 2 + ( 喜乃) 2 n 2 c 1 一q 。，。，t = 1 ，t 因此模型( 3 1 ) 可以转化为如下的等价模型 r a i n e 焘q t 矿 + e 耋圭m x i l = 1 ， i 矿l +i n ，t ，ti l = 1 jl i = 1j 嚣氏，一暑t ) 2 ea j + 偿。卜i n 娩0 2 ， 1 + ，j 一 l + l o 2 ( 1 一q t ) ( 3 2 ) 惜1j 2 1 j 。1 v 2 1 翰0 ， p = m a x 0 ，i t ) ， 其中i t = 厶一l + 墨1 翰，t 一& ，t = 1 ，丁 i = 1 ，n ，t = 1 ，丁 t = 1 ，t 河北大学理学硕士学位论文 3 3 模型的逼近方法及粒子群算法 令 c ( x ， n ) ) = 圣。仇矿+ 墨，：。死，。观p 当r h ( 7 ) ，瓦，t ( 7 ) 和( 7 ) 是相互独立的模糊变量时，有 最m ，f ( 7 ) ) = e 圣。r h t + + e 丝，圣。蚋，t ( 3 3 ) ( 3 4 ) 令 d ( x ，( 7 ) ) = 担t1r h 矿，口( x ) = e d ( x ，善( 7 ) ) ( 3 5 ) 为了求解模型，由于e 墨。：，兀, t x i , t 】可以看作常数，我们只需要计算库存费用 d ：x _ e d ( x ，专( 7 ) ) ( 3 6 ) 由于库存费用函数中模糊变量是支撑无限的连续模糊变量，并且其清晰的数学表达 形式很难得到，因此我们用逼近方法计算费用函数口( x ) 对任意给定的x ，我们可 以分两种情况计算d ( x ) 在x 处的值。方法如下： 情况一：如果专= ( f l ，2 t 1 是一个离散的模糊向量，取每个值的可能性为 m ，i = 1 ，2 ，2 t ，并且m a x l 一 i 一 对每一个7 f ，有 白( 7 ) 一三 c j ( 7 ) 岛( 7 ) ， 其中j = 1 ，2 ，2 t 因此 i 岛( 7 ) 一( 幻( 7 ) i 由于专和e 。是2 t 维模糊向量，岛和已j 分别是它们的第j 个分量故对所有的 7 r ，有 e 。( 一y ) 一芒( 一y ) i i =堡，1 r ， s 该式表明模糊向量序列 e 。】- 一致收敛到模糊向量 下面我们给出一个例子来进一步解释逼近方法的过程。 例3 1 如果t = 2 ，7 7 1 = 叩2 = 1 ，l 和已是相互独立的正态模糊变量，它们的 可能性分布函数分别为e x p ( 一( r 一3 ) 2 o 5 2 ) ，7 2 ，4 ，和c x p ( - ( r 一6 ) 2 o 5 2 ) ，。r 【5 ，7 】在这种情形下，我们记乏= ( 1 ，2 ) 下面我们来确定离散模糊向量e 。= ( 已1 g ，2 ) ，s = l ，2 ，的可能性分布函数，其中模糊变量厶，i = 吼( 鳓，i = 1 ，2 ， 4 7 2 5 l 2 u u 、l，、l厂 札 u 一 一 h 了 如了 t t s s z z 1 2 七 砖 h 了 也了 ，j、，j、_， p p u u s s = i i 1 2 u n 堙 乳 弧 且并 河北大学理学硕士学位论文 首先我们确定模糊变量g 1 ，8 = 1 ，2 ，的可能性分布函数 当8 = 1 ，车1 在区间 2 ，3 ) 上取值时，模糊变量( ，1 取2 ，在区间 3 ，4 】上取值 时，模糊变量( 1 1 取3 因此有 1 , 1 ( 2 ) = p o s 2 l 3 】= 1 ；1 ，a ( 3 ) = p o s 3 1 4 ) = 1 当s = 2 ，模糊变量1 分别在区间 2 ，2 5 ) ， 2 5 ，3 ) ， 3 ，3 5 ) 和 3 5 ，4 上取值， 模糊变量( 2 1 分别取2 ，2 5 ，3 和3 5 因此有 性为 地，1 ( 2 ) = p o s 2 1 2 5 ) = c - 1 ；2 ，l ( 2 5 ) = p o s 2 5 1 3 ) = 1 ； 屹，1 ( 3 ) = p o s 3 l 3 5 ) = 1 ；2 ，1 ( 3 5 ) = p o s 3 5 1 4 ) = e 一1 一般的，模糊变量g ，1 取s ，k 1 = 2 s ，8 + 1 ，4 s ，并且g ，1 取k l s 的可能 同样，由( s ，1 的定义，有 1 一 已，1 l ，8 = 1 ，2 ， 类似的，我们可以得到已，2 的可能性分布为 v s ，z ( 譬) = s ，2 与荨2 的关系如下 5 s 七2 6 s 6 s 后2 7 s 2 一l 。 g ，2 f 2 ，s = 1 ，2 ， 1 4 ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 3 4 一 胁 胁 一 一 2 3 孔， ， 5 ) 讥 畔 v 一 学 一 一 p p 陇 旺 ，-j(1【 i i 纽。 蚝 铲 ，二 旧 回 v 一 回 学 一 一 p p x x ，、【 第3 章模糊期钽值半产计划模型 由( 3 9 ) 和( 3 n ) ，我们可以得到模糊向量e 。= ( g ，l ，( s ，2 ) 的可能性分布，k 如 下 p 。( 争，譬) = e x p ( 一( 墨1 笋一3 ) 2 o 5 2 ) ac x p ( 一( 丘笋一6 ) 2 0 5 2 ) ， 2 s k 1 3 s ， 5 s k 2 6 s e x p ( 一( 鱼 一3 ) 2 o 5 2 ) ae x p ( 一( 导一6 ) 2 o 5 2 ) ， 2 s k 1 3 s ， 6 s k 2 茎7 s e x p ( - ( k 一3 ) 2 o 5 2 ) ac x p ( 一( 丘笋一6 ) 2 o 5 2 ) ， 3 s k 1 4 s ， 5 s k 2 6 s c x p ( 一( 导一3 ) 2 o 5 2 ) 八e x p ( 一( 譬一6 ) 2 o 5 2 ) ， 3 s k ，4 s ， 6 s k 2 7 s 另外，由( 3 1 0 ) 和( 3 1 2 ) 可以得到 e 。一拈以i 再i i 砑 等， 上式表明离散的模糊变量序列 e 。) 一致收敛到连续模糊变量 下面我们将讨论逼近方法的收敛性。逼近方法的收敛性将在下面以定理的形式 给出 定理3 3 考虑模糊生产计划问题( 3 2 ) 假设模糊变量系数是连续有界的模 糊向量并且 e 。】是用上述逼近方法得到的一列离散模糊向量，那么对任意给定的 可行解z ，有 l i m e ( d ( z ，e 。( 7 ) ) = e e d ( z ，( 7 ) ) 】 u 一 la 证明在给定可行解x 和模糊变量系数专的每个实现值善( ，y ) 后，由定理的假 设条件，可知本定理满足l i u 2 6 】定理3 的条件。因此定理结论成立证毕 口 下面我们通过一个例子帮助读者理解定理结论。 例3 2 如果t = 2 ，7 7 1 = 叩2 = 1 ，= ( 1 j 2 ) 是例3 1 定义的模糊向量，并且 。】- 是用逼近方法得到的善的一列离散的模糊向量。由 丁 d ( x ，专( 7 ) ) = 7 7 t 口， 河北大学理学硕士学位论文 有 且 只需得到 d ( x ，( 7 ) ) = 1 + 2 ， d ( 茁，e ( 7 ) ) = g ，1 + ( 。，2 。l i m 。e c d ( z ，e 。( ，y ) ) - 【d ( z ，( 7 ) ) ， s + 由文献别可知，参数为( a ，盯) 的正态模糊变量的期望值是a 因此根据期望 值算子的线性p 彰，有 e 泛1 + 2 = ek 1 】+ e 陈2 = 9 由例3 1 ，模糊变量( s ，l 的可能性分布为( 3 9 ) 因此，我们可以通过( 3 8 ) 得到权重 如下 同样根据( 3 7 ) ，我们可以得到 。，1 的期望值如下 4 s e ，- 】= 叫七，譬= k l = 2 s 叫_ i c ，譬= 曼- 4 - 3 s - 1 2 2 s 。 类似的，根据已，2 的可能性分布( 3 1 1 ) ，我们可以利用( 3 8 ) 和( 3 7 ) 得到如下 权重和期望值 e ，2 = 7 56 s 一1 w k 。譬= w k 。巫8 k 2 = 5 sk 2 - - - 5 8 由模糊变量的独立性i s “，我们可以得到 由此可得 5 s 知2 6 s ， 6 s 七2 7 s ，s l + w k 2 譬= 3 + 1 6 s - 丁1 k 2 = 6 s e 【 5 ，1 + g ，2 = e g ，1 + e 【g ，2 。l i m 。【 s ，l + g ，2 =