（基础数学专业论文）负pinched流形中平行平均曲率子流形的刚性定理.pdf

浙江大学硝士学位论文负p i m ：h e d i , i 己形中平行平均曲率予流形的刚性定理 摘要 j 。s i m o n s 在1 9 6 8 年证疆了戳下著名鹃箨l 性定理：设掰n 为+ p 维单位球蕊s n + p 孛 的n 维紧致极小子流形。若s 曼弼n 一，则s i 0 ，即为众觏4 地大球面，或s 磐i = n i = r 。 c h e r n - d oc a m o - k o b a y a s h i 程1 9 7 0 年诞囔下匿定蘧：单位球聪s “9 ( 1 ) 中潢是s ! 焘翡n 维紧致投小子流形只有下面两稀： 1 s 4 ( 1 ) 中v e r o n e s e 曲面，邀时n = p = 2 ， 2 s ”1 f l 中的c l i f f o r d 极小超夔瑟。 h b l a w s o n 也独立得到了荚于极小怒曲面的类似结果。 1 9 9 8 年s h i o h a m a - x u 证明了完备子流形的广义刚性定理：设m n 是+ p 维完 冬擎连逶黎曼流形，孛n 臻嶷冬霹定蠢翁平 亍乎均夔率子淀影。设嚣秘s 分爨 为m n 的平均曲率和篇二基本形式模长的平方，h o 坝存在一个仅与n ，洧关的 正常数r ( ，p ) ( 0 ，1 ) ，使得当r ( n ，p ) k n 1 ，且 n h 2 十a l ( n ，p ) ( 1 一c ) + a 2 ( n ，p ) ( 日2 + 1 ) 描j 1 2 ( 1 一c ) 1 ，4 s 墨g ( n ，p ，h ) 一b l ( n ，p ) ( 1 一c ) 一。魄( 礼，p ) 【( 爿2 十1 ) 茸1 1 2 ( 1 一c ) 1 4 ， 其中e = i n f k “- ，a 坤必整体等距子神( 1 ) 。更逶一步， 1 如果s u p m s 0 ，则存谯常数n 嘛p ，h ) ( 量o ) ，托( n ，p ，日) ( 2o ) ，其巾 霹沁，p 。星) + 霹( n ，p ，h ) 0 ，使褥当q ( 甄p ，日) k n 茎豫( ，p ，嚣) ，量 n h 2 - 4 - a l ( n ，p ) ( d e ) + a 2 ( n ，p ) 融( ”一1 ) 一1 。驴】1 2 ( d c ) 1 4 s 曼g b ( 竹，p ，月。) 一b l ( n ，p ) ( d c ) 一吼( 扎，p ) 【扎( n 一1 ) 一1 日3 】1 2 ( d c ) 1 4 时，”p 必等距于l 毛n + p 进一步地，若s u p m s 1 鄹存在一个毁与p 帮嚣有关翡受嚣数r ( p ，嚣) ( 一1 ，0 ) ， 使得当一1 兰k n r ( p ，h ) ，且 n h 2 + a 1 ( 札，p ) ( 1 + c ) + a 2 m ，p ) f ( 月2 一1 ) 口1 1 2 ( 1 + c ) 1 4 茎s se b ，p ，j 手) 一b 1 ( 咒，p ) ( 1 十c ) 一( 戆，p ) 【( 日2 1 ) h t l 2 ( 1 + c ) 1 4 英孛c s u p k t 、f ，a + p 必夔接等距子嚣”9 f 1 ) ；雯避一步，热豢s u p m s ( n ，竭，那么婀”为全脐球面s 8 ( 1 们孑贮j ) 或s 4 ( t 、馒f 玎) 中的v e r o n e s e 曲面逡 里n ( n h ) = d ( 竹，盯，一1 ) 。 第0 页 街汪夫学硕士学位论文 受p 轨蘸d 藏影中平静串麓鸯枣子流影的嘲拉定理 a b s t r a c t j s i m o n sp r o v e dt h ef a m o u sr i g i d l t yt h e o r e mf o rm i n i m a ls u b m a n i f o l d si n1 9 6 8 ： l e tm sb ea nn - d i m e n s i o n a 2m a n i f o l dw h i c hi sm i n i m a l l yi m m e r s e di n8u n i ts p h e r e s n + 9 f 1 ) l e t s b e t h es q u a r e d l e n g t h o f t h e s e c o n d f u n d a m e n t a l f o r m o f t h i s i m m e r s i o n i f s 寿rt h e n s ；o ，i | e ，m i s t o t a n yg e o d e s i c ，o r s 2 甄莒= r c h e r n d oc o m a - k o b a y a s h ip r o v e dt h ef o l l o w i n gt h e o r e mi n1 9 7 0 ：l e tm “b e a nn - d i m e n s i o n a lm a n i f o l dw h i c hi sm i n i m a l l yi m m e r s e di nau n i ts p h e r es 9 ( 1 ) i f si 南，t h e nmi so n eo ft h ef o l l o w i n gc o , s e s ： 1 t h ev e r o n e s es r f a c ei ns 4 2 t h ec l i f f o r dm i n i m a lh y p e r s u r f a c ei ns ”1 h b l a w s o np r o v e dt h es i m i l a rr e s u l to nm i n i m a lh y p e r s m f a e e s s h i o h a m a - x up r o v e dt h i st h e o r e mf o rc o m p l e t es u b m a n i f o l d si n1 9 9 8 ：f o rg i v e n p o s i t i v ei n t e g e r s ( 2 ) ，pa n d a n o n n e g a t i v ec o n s t a n t , ht h e r ee x i s t sa n u m b e rr ，p ) s u c ht h a t0 r ( n ，p ) 1 ，a n dsb et h es q u a r e d i e n g t ho ft h es e c o n df u n d a m e n t a lf o r m t h e r ee x i s t san u m b e rr 江，p ，h ) s u c ht h a t - 1 f ( 豫，p ，辩) 0 ，w i t ht h ef o l l o wp r o p e r t i e s ：i f - 1sj 豇v 量r ( 矬，p ，h ，a n di f n h 。十a l ( n ：p ) ( 1 + c ) 十a 2 ( n ，芦) f ( 嚣2 1 ) 日 1 2 ( 1 + c ) 1 4 s e ( 竹，p ，日) 一b l ( n ，p ) ( 1 + c ) 一b 2n ，p ) ( 日2 1 ) h 1 1 2 ( 1 + c ) 1 4 ， w h e r ee ：= s u p k j v ，t h e nni si s o m e t r i ct o 日n + p ( 一1 ) m o r e o v e r ，i f8 t t p m s ( 日) ：t h e n m i sc o n g r u e n t t o s ”( i 姐f 二了) o r t h e v e r o n e s es u r f a c e i n s 4 0 、倭f 了) 第5 页 浙江大学硕士学位论文 负p m c h e d i , i i i , 彤中平行平均曲雄子流形的踟性定理 o 前言 子浚澎豹豆麓粼毪是整搭徽分曩霞审瓣重荽谦繇之一。1 9 6 8 年，j s i m o n s | 芷 明了下述蕊名的刚性定理： 定理o 。l ( 6 1 ) 设肼n 为n 十弦维单位球蕊s ”畔：盼n 维紧致极小予流形。蓿ss 南，簧| j s ；0 ，氍戆全涮遗犬球蟊，或s * 三i = r 。 1 9 7 0 年，s s c h e r n ，m d oc a r m o ，s k o b a y a s h i 进步证明了： 定理o 2 ( f 1 1 ) 若举位球面s ”+ p 中n 维紧致极小子滚形掰n 满足ssj = 馨，则m 8 为全测地予流形s ”，减s 4 中豹v e r o n e s e 醯帮，或酽+ 1 中的c h 拄出d 超曲面萨( 、俜) x 扩“( 、酱) ，= 1 ，n 一1 文章( 提出了燕于球面中闭极小曲丽数量曲率空隙的猜想，这是非常重要 的几何问题之一，此借许多的文章讨论这个问题。 子滚影熬平均蔻攀，第二蘩本形式瓣模长莛讨论予滚形戆鬟要置餐苓交量。 1 9 7 4 ，1 9 7 5 j 匠成桐的文章( 1 2 】) 对常平均曲率的子流形做了全面的研究，概括了当 时子流形的最新成果。文中很多问题现在依然值得研究。 鼹予球覆孛平行平均蠢率予流形熬嚣程离题，诲滋豫在1 9 9 3 年( | 罄到了下 面的结果： 定理0 3 设m n 怒n + p 维单使球面+ p e l ) 中的n 维紧致子流形，具有平行平均 淹率淘量。设 黎s 分鬟秀掰n 熬平均鸯率秘第二基本形式模长戆平方，其中嚣为 q e 零正常数如果存在只跟n ( 2 ) ，p 和h 有燕的常数g ( n ，p ，h ) ，满足： s g ( n ，p ，h ) 那么掰n 建下述猿形之一： ( 1 ) ( 访幸雨) ( 2 ) 铲+ 1 ( 1 ) 中的等参超曲面扩一1 ( 了霉i 幂) s 1 ( 志) 1 3 ) s n + l ( i ) 栩c l i f f o r d t d 、超魏疆萨 ；) 扩“( 警) ， 七= 1 一n 1 ( 4 ) s 3 ( r ) e e 平均曲率为常数凰的c l i 蜘r d 环面s 1 ( r 1 ) x s l 沁) ，其中r l ，r 2 = f 2 ( i + 嚣2 ) 士2 h o ( 1 + h 2 ) j 一，r = ( 1 十嚣2 一瑶) 一i i ，o 嚣i 膨， ( 5 ) s 4 ( 了i 扣) 中的、协o n e s e 曲面 避里 一 a = 赢函丑+ 辩2 置2 4 汹一l 楚， 第6 蕊 浙江大学硕士学位论文p i n c h e d 流彤中平行平均曲率子流形的刚性定理 g c n ，日，= a m i n n 日a l ( n ，封，；。十。，；。o ，v p p = 。1 ，, 。o ，r p p = ：。2 。a 。n 。d 日h ：。o 其中a ( ”，盯) = 孔十w 岛日2 一斯nn i - 玎2v 2 4 l 2 1 9 9 8 年，s h i o h a m a _ x u ( 州) 证明了完备子流形的广义刚性定理：设m ”是n + p 维 宠备攀连逶黎曼滚彩n 如孛搿疰完备霹定海熬平器平均夔率子淀形。浚纛s 分 别为m n 的平均曲率和第二基本形式模长的平方，o 则存在一个仅与n ，p 有关 的正常数0 t ( n ，p ) l ，鄹存在一个莰与n ，p 帮嚣有关豹受嚣鼗t ( 强热封) f i ，国，褒褥当一1 轴r ( n ，p ；竭，藏 n h 2 + a l ( 礼，p ) ( 1 + c ) + o ( n ，p ) 【( h 2 一1 ) 甘】1 胆( 1 十c ) 1 4 s sd ( p ，日) 一上五，p ) ( 1 十c ) 一岛( 吨p ) f ( 日2 1 ) h 1 1 。( 1 + c ) 1 4 ， 其孛e # 砷k n 、n ”p 必整体等题予拶却一1 ) 。更送步，懿果s u p , 醚s a 鹞置，器么谢”为全耪球蘑 l ，胡芋f 忑) ，羲s 4 i ，胡蓼= 蜀孛戆骁n e 8 e 蕊戮e 附注： 咖忍沪一高炉一蚓厕再瓣， a ( n 。嚣 = o ( 强嚣，一i ) ，蠢，露) = ( 豫，三t1 ) 第8 夏 鲞兰墨兰壅主釜焦熊查 壅垄竺! 堕查墅皇至童羔兰苎! 主茎量堂璺! 兰! 陵 1 基本公式 设财”是簿鼹浸入到。+ p 维黎爨流形妒却中静n 维完蠡连通的黎曼流形n 对 攒标孬热下终宠： 1 茎a ，b ，c n + p ，1 t ，j ，七一- n ，札+ l 雠，声，丁。礼+ p 在a m + p 中选取局部正交标架场 8 ) ，限制在m ”上，满足e l ，与埘“相 切。 。a ) 表示 e 的对偶标架场， 蝴曰) 是联络l f o r m 隈捌到m ”上： 设。( 。) ，b ( 。) 题在。( ”，) 点截词曲率蜀v 的极小值和极大值tk a b c d ，域分 别是n ”4 ，m n 的曲率张量，r 。俐悬m n 的法曲率张擞。矗表示“的数量曲 率，h 和s 分别为第二基本形式和第二撼本形式模长的平方，s 为平均曲率向量，盯为 平均曲率。那么 h = 蛐。屿固如， p ，j = ；嗡e 0 ) h = ， 岛g = 殇烈+ 隰强+ 臻曝) ， 瑰删= 弱蒯十( 强a 磊+ h c , h 9 。， m n 的数量曲率可以写成 ( 1 ，1 ) ( 1 2 ) ( 1 3 ) f 1 4 ) r = 鳓+ n 2 h 2 一曼 ( 1 砖 0 定义1 i 鬻在m n 靛法从中平行，到称 “具有平移平均蓝率忍基。 假设 ”舆裔平行平均曲率，并且日不为零。那么选取e 。+ 1 平行于 ，就 有打z k + l ：静( 略“) = n h 。用点k 袭示矩阵( 嚣) n n ，就脊t r 砀2o ，卢n + 2 。 那么s 可以表示为两个部分的和：s * 8 辩+ 函，s 抒= 打磷+ l ，& = 。墨打郦。 口n + t 一一 第9 夏 口，弘 薛 1 j 曼v 穗 哆 窖啦 纛 。：委 l i 灏汪大学颈士学位论文p i n c h e d 彤孛平静串均鹰率手漉移斡嘲诬是毽 性质1 2 如果m n 具有平行平均曲率向量，那末或者hs0 ，或者日为非簿 常数，且风峨+ 1 = 凰+ l 凰+ ( 珞十1 。d ) 。x 。 m n 的联络怒由叶，的联络诱露的，对”p 和m “中的张量定义共变导数， 在文章【l2 】努谬缀瓣叙述，这里g l 恣蒺孛懿结栗： 礴一矗筠= 一甄玎女， ( 1 6 ) 弧一h 州g k = r 州州十删+ g 确捌， ( 1 7 ) mm 疗 = h i j a k k ”哮夔率张量k a b c d 静共瓷器数记秀茸撂c d d 蠢下覆靛定义： 定义1 3 若对于任意的a ，b ，g d ，e ，k a b 。d e 恒为零，贝f j 称流形p 是局部 对称的。 矩阵a = ( o 砑) 。的模长平方记为( a ) ，就有：n ( a ) 一t r a a k e 。刍，n ( a ) 。 n ( t 一1 a t ) 性震1 。4 ( 瞻汉) a 1 ，岛+ p 楚慰拣矩疼，若口一t r ( a 。南) ，= & 。一 ( 如j ，s = 民，就有： “ n ( a 。a z a z a 。) 十( 1 + ；s g n ( p 一1 ) ) s 2 ， “p8 ，辟 一 等号成立的条件罴：如，山非零矩降，丽且可以正交相似变换成对应磊和局的傣 数。其孛： a 。= a z = 010 10 0 0 o 0 000 菇j 岔页 o 0 o 0o o o o 0 l 0 0 浙江大学硕士学位论史 负p i n c h e d 流形中平行平均曲率子流彤的剐性定理 性质1 5 ( 【3 ) n 雉伽+ p ) 维黎曼流形，在点的截面曲率确v 满足。k n 6 那么在这一点就有下面的估计： ( 1 ) | 翰。酊i 墨一8 ) ，a b ， ( 2 ) k a b c dl 曼；0 一n ) ，a ，b ，c ，d 互不掇等 往囊l 。6 ( 潮) ，设a l ，一，8 。油l ，k 麓实数，满憩等式e i a i e 玩= o ，e 8 = a ，e b ；= b t 就有下筒的不等式成立： n ；跨| 渖一2 ) 融扣一1 ) l 一。b ， i 等号成立溜且仅当a b = 0 ，或者有n 一1 对慨，b d 是相同的。 注痰l ，7 ( 暖) 若突数a t ，8 。满是e 。a i = o ，剐 。；3l 量( n 一2 ) i n ( n 一) l 一5 ( 。搭 掣s 嵩c p 2 ， 下面酶三个命题是等价的： ( i ) ( 1 ，8 ) 的等式成立， ( i i ) ( 1 。) 戆等式斌立， m 焱少有n 1 个a 。是相等的。 ( 1 8 ) ( 1 9 ) 第j j 页 淅江大学硕士学位论文负p i n c h e d i t 己形中平行平均曲带子流彤的刚性定理 2 子流形的几何不等式 在下颟的两个几何不等式豹证明串，我们设材n 怒，串的紧致可定翔子流 形，具有平行平均曲率向量。对于s 的分量鼬有下述定理。 定理2 1 ( f 7 1 ) 蜀表示步 空阕”忉的截露簦率，热皋在点x ( en “押) ，8 0 ) 秘6 ( ) 分鄹是i ( n 盼极大值粕极小值，商下面不等式成立： z ( ( s h - n i l 2 渤。+ 糊2 _ s 一蔫杀蟊( 岛一铲向卸( 喇卜妒础s 。 ( 2 1 ) 下面首先给出几个引理，再给出定理的证明 ；l 遴2 + 2 ；翰= ( 蕊1 ) 2 十材1 h 扩一a + b + g 。 ( 2 2 ) t j ，k2 j ，r 直： = n h t r h i + l f t r 量薹斗l 2 一鏊r ( 嚣。+ 1 王汤) 】2 ， b ：= ( 时1 嗡1 蒯k 十 矿1 嵫1 “) ， c ；= 三( 堞1 ) 2 一置( 蟛。1 镌+ l 妻 静+ 崎。1 + l 铥辅) + 打( 风+ 1 h e ) 2 一打( 硪+ 1 弼) 蚓如一俨凇删2 一g 一舞苦( s h - - n h 2 ) 女1 b 三n ( 一n h 2 ) 引理2 3 厶侧一丧嘶一，) ( 2 6 n + 1 6 p - 4 1 ) f m ( 渤掰 引理2 3 的证明一e ( 譬1 纸+ 玎缸女+ 第1 玛m 谚赫) = 一v t h ；n 。+ 1 蜀* l j + 嗡。1 j k ) 十 麓1 州，+ 嗽1 州j ， 第2 页 帮汪支学磺士譬镰论文囊缚n e 蹴雾中- t - 4 t 平均酶率予漉苇翡爨褴定理 定义一个1 。彤式u 爨。熬鼗度巍 那么就霄： “= ( 谨1 + l 妒p 罐1 + l 计胁 l j ，蠡 撕。= v ；h a ；。+ 1 k n + l j l j + 对1 弱删 ) i , j ，k c 一( 礤1 2 + ( 毽搿西j 搏+ 谋1 舔喇) 一瘫 j ，女珏 + 矿1 翰州晰 t ，一1 ，芦# t l + 1 m n 的平均曲率向量平行，则 由 l 固， 2 j 3 ) 和性质1 ，5 e 赫1 一1 倒 t ，j ， 譬1 = g ，礴 e ( 菇1 一。1 斌) + l 删 4 ， k 、 ( 玛* l j i j ) 2 ( 2 4 ) j l 域一l j 2 ( b - # 辑 另壶i j 。n - + 1 + 弱斗i 帮) 2 艺。褥翻 写( ，。蒜3 ) 2 十，罨嗽1 k n + i i j k 蛰一j 善霹+ ，游 z , j ，* 口i $ t ，j ，n 一，薹。磺+ i 诳一 堇霹删t ( 2 5 ) t j # *4 j 一去枢嚣一i j f 8 张一7 ) p 一。) 2 。 密( 1 4 ； 。蒜州域尹1 “蜀肼，删 j 堪。墓。+ ，( “矿1 “+ “g “葛1 ) k l a n + ，m ；一咖，蠹+ 。娘+ t m t 一函一1 ) n ( n 1 ) 固一珏) 2 嚣j 蓦委 浙汪麦学磺士学饿论文受厕赢d 流形申手行乎坶鸯率手流影的瓤幢定糕 此： 由于峭1 喝+ h 0 喵1 关于m ，i 怒对称的，- i 面k z 。+ l 竹t t 必子m ，i 是反对称的，阏 订薅蚤川( 嗡1 蠕蜘搿) 酗一2 。 由上面的计簿 c 一去n ( n 一1 ) ( 2 6 n + 1 6 p 一4 1 ) ( b 一“) 2 d i v w 根据散度定理，可褥： fc d m 一妄n ( # 一 + 1 6 p 41)f(b-a)2dm)(26n+16p-41 b - a ) 厶 一去心一 厶 证毕用d ( n ，p ) 淡示下面的常数 d ( n ，p ) ：= 一熹( n 一1 ) ( 2 6 n 十1 幼一4 1 ) 定理2 1 黪诞明盘；l 理22 j 8 b ( 2 2 斌，霹褥： 1 2 a 勖( 勋- n h 2 ) h a + 2 n i l t s 一鹅嚣( 翰一艘。淘+ q 两边积分，宵引理23 就可得到定理2 1 当p 2 时，对于有相应的不等式成立。 定理2 4 ( 吲) ，n “却的截面曲率记为硒v ，。) ，b ( 。) 分别是弱v 在。点的极大馕 窝投，l 、蓬，郡寒对予套下瑟不等式簸立： j k 曲融8 十2 n i l 2 一s 一；s g 伽一2 ) s ， 一( n 一2 ) n 5 ( n 一1 ) j 爿( s 玎n h 2 ) ( 2 6 ) 一e ( p ) ( 6 。) 】一f ( n ，p ) p n ) 2 d ms0 先证明几个g f 蠼。当p 2 ，对于所有的芦”+ 1 ，( 13 ) ，( 1 咄( 1 7 ) 依然成立，首先计 算曼移 h 暴拳一( k 扫七 柳+ k 芦i j k k ) 十( 象巧+ 矗k m 柳b ) 十 ( 。，。o t j 瓿十 墨 麓 锄一 曼 篇喝一h k 。m h k m h i j ) 十 盏彤m 十( 是一 韪 嚣) h 惫 第列虿 湃汪灸学磺士擎缓论文 垒p i n c h e d 流彰中手择乎跨癣率子流移秘羽槛定壤 ；曲= ( ) 2 + 碣壕 i , j ，k ，f l # n + l ” t j ，卢n 十1 。 f 2 7 1 = w + x 七y + z w ：= 一( 日0 鳓一鳓玩) 一 打玩嘞j 2 ， n ，芦# 十1a ，口n + l x ：= n h 打( 砜- 1 明) 一叭碥+ 1 勘) 】2 ， 母n 十1口+ 1 k 珏。，纛州( 6 耘瓣t ) + 诚。，磊州h a h 8 r d a 彩 z ：= 墨( & 嚣) 2 一( 弼赢遣i + 嚣蠢j ；j ) 引理2 5 + t r ( h = + 1 昂) 2 口n + 1 打( 醒+ 。琊) 口 + l 渺一( 1 + ；$ 辨p 一2 ) ) ( t r h j ) 2 f l n + l x 2 n i l 2 一怖一2 ) n 一1 ) - ( 扣藤+ l n 日2 ) 一t r 嘏+ 1 打琊 序n + 1 引理2 。6 y 芝n 。 r 胃荟一i 白一2 ) 坼一1 ) 洳。) t 缁 鲜n + l。盛如+l 厶z 删一击叫咖一1 ) ( 2 6 n - 9 ) m ( b g 毽2 。8 懿溪臻、曾先定义下透这撵灏1 形式# 日：= ( & 鳓t + 0 鳓泓) i , j k ， # n j r l ( 2 8 ) 第茚页 澌汪大学硪士攀臻论文 囊p i n c h e d 漉影中乎蟹乎均婚率子流彤的壤蛙定理 得到： 一 ( 妃f ，5 9 n + l k 8 鞋嘶午h 岛k 匦j k 心 珏。k ( 嗡a 冬酬墙$ 由蛐( h + 琊批) 2 0 ( g ) 2 + 鳓矾 = ，j ，芦n + 1 。 j 岳 。 m ”其有平行平均曲率，则 一 礁豫 i , j , k ，口n + l 。 飞1 掰；纛哪确* 魄纛+ ：睇蟛 一去扫一1 ) ( n 一1 ) ( s n 一7 ) p a ；2 ， ( 2 1 0 ) 喝= o ，v j t 毒( 1 戥( 2 1 1 ) 察性震1 ，5 ，藏季霉剩 ：，礅谤 l ，口n + 1 。 由( 1 4 ) 帮性质l 。2 ( 2 1 1 ) 一( 鳓q ) 2 ，p 1 j ( 2 1 2 ) 一 ( p 一1 ) 札( 扎一1 ) 2 ( b o ) 2 t 7 、( 焉+ i h 3 ) 2 一t r ( 瑷。l 璎) f l n + lf l n + l ；磊。( 婿。1 丸象一垛1 “；) + ，彤e 舳，善n + l 霹+ 脚t1 ， ，日n 一1 。 ，脬 一；( p 一1 ) n ( 佗一1 ) 一。) 2 有( 28 ) ，( 29 ) ，( 2 ，lo ) ，( 2 。i 2 ) 和上面的不簿式，可得 z 一妻蕾一l ( n 1 ) ( 2 6 。一9 ) ( 5 一n ) 2 一巍。# ，( 2 。1 3 ) 则z d m 一去( p 1 ) n ( n 一1 ) ( 2 6 n 一9 ) 厶( 6 一。) 2 d m ，日i 理2 6 证毕。 给出下面两个常数 e ( 俺，p ) ：= ；( p 一2 ) ( 住一1 ) ， d 第j 艿页 浙江大学硕士学位论文负p i n c h e d 流形中平行平均曲率子流彤的刚性定理 f ( 唧) ：= 去( p 一 定理2 4 的证明由( 2 7 ) ，引理2 5 毋s i h a + 2 n i l 2 一s l s g n ( p e ( n ，p ) ( b n ) + z ， 2 ) 曲一( n 一2 ) n ( 一1 ) 一 h ( s h n 日2j 。1 由格林公式和引理2 6 ， f m s l h a + 2 n i l 2 一s 一 s g n ( p 一2 ) 曲一( n 一2 ) n i l ( n 1 ) 一1 h ( s h n h 2 ) ； e ( n p ) ( b n ) j f ( n ，p ) ( 6 一o ) 2 d m 曼0 证毕。 第j 7 页 浙江大学硕士学位论文负p i n c h e & g 彤中平行平均曲率子流形的刚性定理 3 外围流形的刚性 这一节我们主要讨论m “为紧致黎曼流形时，外围流形及子流形的刚性问题。 设m “是中”- - p 平行平均曲率子流形，有h 1 。设 嘶罔= - - n 4 - 志日2糕饵豇砰 先证明p = l 的情形。 定理3 1 当p = 1 时，存在常数j 1 ( 心甘) ，一1 5 1 ( n ，h ) 0 ，使得当d 1 ( n ，h ) k n 一l 时，如果 n h 2 + 且( n ) ( 1 + c ) s a m ，h ) 一7 1 ( n ) ( 1 + c ) ， 其中c = s u p k n ，那么”p 整体等距于甘”+ 1 ( 一1 ) 。而且若s u p m s 0 ( 3 3 ) 比较( 3 1 ) 和( 3 3 ) 式，则( 3 1 ) 式取等号。且由定理2 1 ，一l a b c ，得到o = 一1 ， b 三c 。 有( 2 4 ) ，( 2 5 ) ，可知 h n + 1 k n _ a _ l j i j = _ _ j l n ( n 一1 ) 2 ( 6 一1 ) 2 = 一i l n ( n 一1 ) 2 ( 1 + c ) 2 ， o = h 藏1 + ； 。+ “k 女= 蕊1 则1 + c = 0 ，n ”+ p 整体等距于h “+ 1 ( 一1 ) 。由于( 3 3 ) 取等式，则 s = n h 2 ，或s = a ( n ，日) 若s u p m s a ( n ，日) ，则由定理o 4 ，m “为全脐球面扩( 了再b ) 。 下面的引理，将在高维时用到： 引理3 2m n 是j v n + 一中紧致可定向子流形，若 s ( n ，h ) 一皿1 ( c + 1 ) ， 则c = 一1 或者 1 h 一肾、d m | 。23)dmm ， j mj 其中a l ，。2 是正常数，有a 2 = d ( n ，p ) c q l ；o ( 。) ，b ( z ) 是对应z ( ) 点截面曲率的最 小值和最大值， 1 k n o ；c = s u p k 引理3 2 的证明由引理的假设，可以得到 一n n t ( c + 1 ) + 2 n i l 2 - s - 黼日( s - n h 2 v ) 1 2 。( 3 4 ) r6 l 一1 j 过程： 一礼+ 2 扎h 2 一( n ，日) 一号簧罟茜日+ 陋( m 日) 一n 日2 ) 1 2 + a ( n ，h ) 一s a i ( c + 1 ) = m ，h ) 一s 一( 2 1 ( c + 1 ) 第9 页 辩汪大学硕士学绞论文蠡m 。矗a d 流帮申乎露平均曲率手流形秘鞠注定理 由( 3 4 ) ， 一n + 2 n h 2 一s 一了n ( n - 2 ) ) h 。( s n h 2 ) 1 ，2 、，v t 一 a l ( c + 1 ) = 8 1 d ( n ，爹) ( e + 1 ) ， 这里8 2 = d ( n ，p ) 8 i 1 ， 由定理2 1 得到 f m ( s h 一删) - n + 2 n i l 2 - s 一耥( s 一群) 1 2 】( 3 5 ) - d ( n ，缈( c + 1 j ( b 一8 ) d ms0 霆 。 ( s 一n h 2 ) f n i l d ( 婶，p ) ( c + 1 ) j d ( 扎，p ) ( c + 1 ) ( b a ) d ms 0 j m 由此就得到c 一一1 或者 f i s h 。h 2 ) d m s 。2 l b 一) a m 兰鞍= 2 嚣，爱定疆2 + 1 帮2 ，4 山 ( s 一槲2 ) 协舻一s 一舞鸶廿( 翰一砰) 1 ，2 一( d ( n ，p ) + f ( n ，p ) ) ( b n ) 2 d m 曼0 则 ， s - n h 2 ) i n 。+ 2 。h 2 _ s 一：；! ；：二鐾亍h ，( 5 蠹一。酽) 1 2 l g ( 。；净一。) 2 r i mso j m 、，n 嚣一i j ( 3 7 ) 这里 g ( n ) 2 磊”m 1 ) ( 2 6 n 一9 ) - 用类似证明定理3 1 的方法，可以诞明下面的定理。 定理3 3 巍筘= 2 薅，存在一个鬻数一i 如眩h ) 0 ，使n 当o g ( n ，量) 羔妇 一1 ，且 乱日2 + 岛( n ) ( 1 十c ) 墨s a ( 礼，h ) 一地( 牲) ( 1 + c ) ， 时，n “忡整体鳟距于日“+ 2 ( 一1 ) ，其中c = s u p k n 。并且如果8 u p ms 0 = ( n 爿) ，那 么m “为全脐球丽s “( 了杀i ) 。这里 第船页 浙江大学硕士学位论文p i n c h e d i l & 形中平行平均曲率子流形的刚性定理 岛( n ) = 7 2 ( n ) = ；n ( n 一1 ) ( 2 6 n 一9 ) ， 如( n ，h ) = ( a ( n ，h ) 一n h 2 ) ( 国( n ) + 加( n ) ) 一1 1 下面讨论p 3 的情形。 定理3 4 当p 3 时，存在如( n ，p ，日) ( 一1 ，o ) ，使得当如( n ，p ，日) 兰k 一1 时， 如果 n h 2 + 风( 忆p ) ( 1 + c ) + 风( n ，p ) 【( 日2 1 ) 日】1 2 ( 1 + c ) 1 4 s g ( n ，p ，h ) 一7 3 ( n ，p ) ( 1 + c ) 一7 4 ( n ，p ) 【( 月2 1 ) 日】1 ，2 ( 1 + c ) 1 ，4 ， 其中c = s u p k n ，那么”p 整体等距于月1 押( 一1 ) 。而且，若s u p s n ( n ，h ) ，则m ” 为全脐球面伊( 了霄1 f i ) ，或s 4 ( 了杀i ) 中的v e m n e s e 曲面。这里 蹦，g ，耻倦鬻- 4 l ? i 裳 其他常数见后边的附录。 定理3 4 证明假设c 一1 ，我们有下面的证明。d z y 趣2 4 厶研“”二：器翥0 i ，二一：蒲1 ：= j ：厂5 1 f ( n) d m 是曾0 一俨诤 c s 固 一e ( 礼，p ) ( 1 + c ) 】一，p ) ( 1 + c ) 2， 、。 这里由s = 踟+ 曲n h 2 十研，则 ；n h 2 一；s 。n 日2 一s 一； 由假设可知 s g ( 乱，p 日) 一y a ( n ，p ) ( 1 + c ) 墨( 礼，h ) 一血l ( 札，p ) ( 1 + c ) 由引理32 和施瓦兹不等式 如h 研s h n 日2 诤8 m i h；。(。m。a(x。s，piv)o；l(日m(日)。fm1(s)(h1+-。n)ilv02)11 ：m ) ( 3 9 ) 兰 ；n ( 血2 ( 礼，p ) ) i 日( 。h 2 1 ) ( 1 + c ) ；v 0 1 ( 汀) 、7 其中推导是，由引理32 ， ( s 日一n h 2 ) d m o t 2 ( c + 1 ) v 0 1 ( m ) ， 第舢页 浙江大学硕士学位论文负p i n c h e d 流彤中平行平均曲率子流形的刚性定理 又有毋s n h 2s g ( n ，p ，日) 一n h 2 ；n ( 日2 一1 ) 可得： h m a x s i v o l ( m ) f m ( s h n h 2 ) d m 一 兰；n ( “2 ( n ，p ) ) j 1 日( 日2 1 ) ( 1 + c ) j l v 0 1 ( m ) 结合( 3 s ) n ( 3 9 ) ，就z 0 i ： 如曲m(-1)+m5，n，il日2)-(12+sc-)e一(nf,p(佗)，(1)+(c+)-el p p 1 c ) 2 d m 兰0 ( 3 1 0 ) m ，日) ( 1 + c ) i f ( 佗，) ( + c ) 2 兰 、 其中 e l ( 哪，h ) ：= ；n ( n 一2 ) ( n 1 ) 一；d ( ”) ( ”) 一；( h 2 - 1 ) h 另外有： g ( n ，p ，h )1 3 ( n ，p ) ( 1 一；陋( n ，p ) 他m ，p ) f ( h 2 1 ) 日 女 + c ) ；( 一2 n + 5 n i l 2 ) + f ( n p ) j ( 1 + c ) ， = ；e l ( n ，p ，日) ， 则： s5 ( 一2 n + 5 n i l 2 ) 一；旧(