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双二次多项式动力学 摘要 本文主要研究双二次多项式的动力系统。 在上世纪末，j c y o c c o z 对复动力系统理论作出了重要的贡献，其中之一就 是对二次多项式p c ( z ) = = 2 + c 的j u l i a 集和m a n d e l b r o t 集肘的局部连通性的研 究。在他的工作中，y o c c o z 引进了一种强有力的方法一一拼图技巧。利用这个技 巧，他得到了对c 8 m ，如果二次多项式p 。( 。) 不是无穷可重整化的，并且没有 抛物周期点，那么j u l i a 集j ( m ) 是局部连通的，并且8 m 在c 也是局部连通的。 差不多在同时，bb r a n n e r 和jh h u b b a r d 研究了三次多项式的动力系统。他 们用类似的拼图技巧，对三次多项式的j u l i a 集的连通性和完全不连通性作出了完 整的描述 这种拼图技巧现在被称为b r a n n e r - h u b b a r d y o c c o z 拼图理论。利用这个理论， f a u g h t 和h u b b a r d 研究了有i 临界不动点的单参数三次多项式族的j u l i a 集及其连 通迹的局部连通性。 上面各种情形中的多项式只有一个单临界点需要进行考虑对于更高次多项 式，譬如四次多项式，可能有多个临界点需要考虑，此时必须推广b r a n n e r h u b b a r d h c c o z 理论。ad o u a d y 曾建议对双二次多项式的动力系统进行研究，所谓双二次 多项式就是两个二次多项式的复合，也即偶四次多项式，在一个线型共轭下可以记 为 f ( z ) = 。4 + o z 2 + b ， 这里a ，b 是参数，点0 是它的一个临界点，另外还有两个对称的临界点土乏2 。 此时，有两个临界点需要考虑。但由于要考虑的两个临界点土4 写2 具有对称性， 这使得我们有可能推广b r a n n e r - h u b b a r d y o c c o z 理论来处理这种情形。 我们首先通过推广b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图理论，对双二次多项式的j u l i a 集的连通性进行了研究，得到了与b r a n n e r 和h u b b a r d 关于三次多项式j u l i a 集的连通性相类似的结果： 定理1 设，是双二次多项式，那么 ，j ，歹的j u l i a 集是连通的当鼠仅当f 的所有的临暴点鲢轨道都是有界的， f 纠，的j u l i a 集是完全不连通的当且仅当，的任何临界点不属于填充j u l i a 裳的 翅期分支内。 r 圳当，的临界点不满足条件r j ，r 到时，的j u l i a 袋有可数个非平凡的连通分 支，这藏，一令分支是乎凡的，如果它仅盎一令点组成。 对于( 3 ) ，我们进一步有：填充j u l i a 集包含临界点的周期分支及熬迭代逆象 逮珏予一个舂述蘧j u l i a 集懿二次多顼式懿葜兖j u l i a 纂，嚣葵 巍分支酆是单点。 其次，我们讨论了临界点0 为不动点的单参数双二次多项式族，该旅可表示为： l ( z 1 = 。4 2 c 2 。2 其中c 努参数。在这个参数表示下，o 为猫赛不凌点，努井两个关于0 点对称懿穗 界点为c 。 我们得羚鹃第二个结论是关手动力学平匿上五的j u l i a 集的鸯部述遵性： 定理2 设五的j u l i a 熊是连通的。如策五没有抛物周期点，且不是可赣整化的， 那么，( 五) 是局部连通的。 这照，五稚为可爨整化的定义为：存在单连通区域驴、u 及正熬数n ，使 得u cu ，u 包含临界点c 或一c ，贫：u 7 砷矿是一个二屡分支覆菔，且拟共 彤共规予一个露连通j u l i a 集的二次多项式。 进一步，我们考虑 在0 点的直按吸 f 域，得到 定理3 。如果是的j u l i a 集是避通的，那么五在0 点的直接吸；l 域是j o r d a n 曲 线，从而是局部连通的。 最露，我弱疆宠了攀参数双= 次多壤式菝 五：e c 的参数乎嚣豹连通迹朋 和捕获分支v 。由定义，连通谶m 是使j ( l ) 连通的参数c 的集合；一个捕获分 支v 是茨五蟾龉雾点e 属于0 点豹直接暖弓| 域竣其迭代递象的参数集鲍一个遥递 分支。包含0 的捕获分支称为主捕获分支，记为“o 。 我靛懿第三拿结论楚关于逐遗迹削懿连逶瞧。慰予e c 列，坡虢是是 关于。的b s t t c h e r 映射，并令 厂= = - 垂( c ) = 。( 、2 一l 钯) ， l l 其中v 厄一l i c 称为预陪临界点。设表示单位圆，则有 定理4 中：c 朋- - 9c 土是共形映射。因此，m 是单连通的， 利用h b c c o z 关于二次多项式族参数平面的拼图理论，我们研究了单参数族 在参数平面上的连通迹m 和捕获分支v 的局部连通性，得到 定理5 每个捕获分支的边界a v 都是j o r d a n 曲线，它们都是局部连通的。 进一步有 定理6 m 含有无穷多个m a n d e l b r o t 集的同胚像，并且o a a 在其余点是局部连通 的。 由此可以得到，如果m a n d e l b r o t 集是局部连通的，那么o a 4 也是局部连通 的。进一步，还得到了关于连通迹m 的其它一些拓扑结果。 关键词：双二次多项式，j u l i a 集，m a n d e l b r o t 集，连通迹，捕获分支，连 通性，局部连通性，拼图，翼，全纯运动。 b i q u a d r a t i cp o l y n o m i a ld y n a m i c s a b s t r a c t t h ep r e s e n tp h dd i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht h ed y n a m i c so fb i q u a d r a t i e p o l y n o m i a l s a tt h ee n do ft h el a s tc e n t u r y c j y o c c o zi sm a d es i g n i f i c a n tc o n t r i b u t i o n st o t h et h e o r yo fc o m p l e xd y n a m i c s ，o n eo fw h i c hi st h es t u d yo ft h el o c a lc o n n e c t i v i t y o ft h ej u l i as e t so fq u a d r a t i cp o l y n o m i a l sp cz 1 = z 2 + ca n dt h em a n d e l b r o ts e tm i nh i sw o r k ，y o c c o zi n t r o d u c e dap o w e r f u lp u z z l et e c h n i q u ea n do b t a i n e dt h er e s u l t t h a ti ft h eq u a d r a t i cp o l y n o m i a lp cz ) w i t hc o m ，w h i c hh a sn oi n d i f f e r e n tc y c l e ， i sn o ti n f i n i t e l yr e n o r m a l i z a b l e ，t h e nt h ej u l i as e t y ( p c ) o fp c i s l o c a l l yc o n n e c t e d w h i l eo mi sa l s ol o c a l l yc o n n e c t e da tc a l m o s ta tt h es a m et i m e bb r a n n e ra n dj h h u b b a r dd i s c u s s e dt h ej u l i as e t s o fc u b i cp o l y n o m i a l s w i t ht h es i m i l a rt e c h n i q u e ，t h e y g a v eac o m p l e t ed e s c r i p t i o no f t h e c o n n e c t i v i t ya n d t h et o t a l l yd i s c o n n e c t i v i t yo ft h ej u l i as e t so fc u b i cp o l y n o m i a l s n o wt h et e c h n i q u ed e v e l o p e db yb r a n n e r ，h u b b a r da n dy o c c o zi sc a l l e db r a n n e r - h u b b a r d y o c c o zp u z z l et h e o r y af u r t h e ra p p l i c a t i o no ft h ep u z z l et h e o r y ，d u et o f a u g h ta n dh u b b a r d ，i st h es t u d yo ft h ej u l i as e t sa n dt h ec o n n e c t e d n e s sl o c u so f ac u b i cf a m i l yw i t ho n ec r i t i c a lf i x e dp o i n t i na l lt h ea b o v ec a s e s ，t h ep o l y n o m i a l sh a v eo n l yo n ec r i t i c a lp o i n tt ob ec o n s i d e , e df o rt h ed y n a m i c so f p o l y n o m i a l sw i t hh i g h e rd e g r e e ，f o re x a m p l e t h eq u a r t i c p o l y n o m i a l s ，t h eb r a n n e r h u b b a r d y o c c o zp u z z l et h e o r ys h o u l db ee x t e n d e d a d o u a d yh a ds u g g e s t e dt os t u d yd y n a m i c so fb i q u a d r a t i cp o l y n o m i a l s b yd e f i n i t i o n ，ab i q u a d r a t i cp o l y n o m i a li st h ec o m p o s i t i o no ft w oq u a d r a t i cp o l y n o m i a l s ，s 0 i ti sa ne v e nq u a r t i cp o l y n o m i a l sw h i c hc a nb ew r i t t e na s f ( z ) = z 4 + a z 2 + b ， w h e t ea ，ba r ep a r a m e t e r s i ti s e a s yt os e et h a tl h a sac r i t i c a lp o i n ta t0a n dt w os y m m e t r i cc r i t i c a l l v p o i n t sa t 士v ，五2i fa 0 i nt h i sf a m i l y ，t w oc r i t i c a lp o i n t ss h o u l db ec o n s i d e r e d h o w e v e r ，b e c a u s eo ft h es y m m e t r yo ft h ec r i t i c a lp o i n t s 士、一。2 ，i ta l l o w su st o e x t e n db ia n n e r - h u b b a r d v o c c o zp u z z l et h e o r y t os t u d y o u rc a s e t i l ef i r s tr e s u l to fo u rw o r ki so nt h ec o n n e c t i v i t yo fj u l i as e t so fb i q u a d r a t i c p o l y n o m i a l s b ya ne x t e n s i o no fb r a n n e r h u b b a r d y o c c o zp u z z l et h e o r y ，ar e s u l t a n a l o g o u st ob r a n n e ra n dh u b b a r d si nt h ec u b i ce a s ei s o b t a i n e d t h e o r e m1 l e tfb eab i q u a d r a t i cp o l y n o m i a l ，t h e n fi ) t h ej u l i as e to ffi sc o n n e c t e di fa n do n l y 堪t h eo r b i t so fa l lc r i t i c a lp i o n t sa r e b o u n d e d 2 3t h ej u l i as e t 。ifi st o t a l l yd i s c o n n e c t e d 毽a n do n l y 毽e v e r yc o n n e c t e dc o m p o n e n t o ft h ef i l l e dj u l i as e to ffc o n t a i n i n gc r i t i c a lp o i n t si sn o tp e r i o d i cu n d e ri t e r a t i o n s ； ( 3 ) qfd o e s n o ts a t i s f yt h e c o n d i t i o n s ( 1 1a n d ( 2 ) ，t h e nt h ej u l i as e to ffh a s i f i n i t e l ym a n y n o n t r i v i a lc o n n e c t e dc o m p o n e n t s w h e r eac o m p o n e n ti 5t r i v i a li fi t c o n t a i n so n l yo n ep o i n t i i lt h ec a s ef 3 1 w ea l s oh a v et h a te a c hc r i t i c a lc o m p o n e n ta n di t si n v e r s ei m a g e s u n d e ri t e r a t i o n sa r eh o m e o m o r p h i ct ot h ef i l l e dj u l i as e to faq u a d r a t i cp o l y n o m i a l w i t hc o n n e c t e dj u l i as e t e a c ho ft h eo t h e rc o m p o n e n t so fk ( f ) i sas i n g l ep o i n t n e x t w ed i s c u s saf a m i l yo fb i q u a d r a t i cp o l y n o m i a l sw i t ho n ep a r a m e t e rs o t i l a tt h ec r i t i c a lp o i n t0i saf i x e dp o i n t w ew r i t et h i sf a m i l yi nt h ef o r m l ( z 1 = 一一2 c 2 2 2 w h e r eci sap a r a m e t e r i th a so n ec r i t i c a lf i x e dp o i n t0a n dt w os y m m e t r i cc r i t i c a l p o i n t s - + - cu n d e rt h i sp a r a m e t e r i z a t i o n t h es e c o n dr e s u l ti so nt h el o c a lc o n n e c t i v i t yo ft h ej u l i as e to f ci ni t sd y n a n l i c a lp l a n e w eo b t a i n t h e o r e m2 l e tt h ej u l i as e t3 u a o l | c i sc o n n e c t e d jl s ch a sn op a r a b o l i cp e r i o d i c p o i n t sa n di sn o tr e n o r m a l i z a b l e ，t h e n ，( ，c ) i sl o c a l l yc o n n e c t e d h e r e | c i sr e n o r m a l i z a b l ei ft h e r ea r es i m p l yc o n n e c t e dd o m a i n sua n du ta n d ap o s i t i v ei n t e g e rns u c ht h a tu cu ，u c o n t a i n st h ec r i t i c a lp o i n tco r e ，a n d | ? u l _ u i saq u a d r a t i c l i k em a p p i n gw i t hc o n n e c t e dj u l i as e t f u r t h e r m o r e ，f o rt h ei n a m e d i a t e l ya t t r a c t i n gd o m a i na t0 ，w ec a nr e m o v et h e n o n r e n o r m a l i z a b l ec o n d i t i o n t h e o r e m3 ht h ej u l i as e th f c 、o f | ci s c o n n e c t e d t h e nt h eb o u n d a r yo ft h e i m m e d i a t e l ya t t r a c t i n g d o m a i no ff ca t0i soj o r d a nc u r v e h e n c ei ti s l o c a l l y c o n n e c t e d f i n a l l y ，w et u r nt ot h ep a r a m e t e rp l a n eo ft h ef a m i l y ，ca n ds t u d yt h ec o n n e c t e d n e s sl o c u sma n dt h ec a p t u r ec o m p o n e n t sv b yd e f i n i t i o n t h ec o n n e c t e d n e s s l o c u smi st h es e to ft h ep a r a m e t e rcs ot h a tt h ej u l i as e t ，( ，c ) i sc o n n e c t e d ， a n dac a p t u r ec o m p o n e n tvi sac o n n e c t e dc o m p o n e n to ft h es e to fcs ot h a tt h e c r i t i c a lp o i n tco f | cb e l o n g st ot h et h ef a t o uc o m p o n e n t so f | c c o n t a i n i n g0o ri t s i n v e r s ei m a g e su n d e ri n t e r a t eo ff 。t h em a i nc a p t u r ec o m p o n e n t7 - 1 0i st h ec a p t u r e c o m p o n e n tc o n t a i n i n g0 t h et h i r dr e s u l ti sa b o u tt h ec o n n e c t e d n e s so f 川i nt h ep a r a m e t e r p l a n e f o r c c ml e t 妒cz ) d e n o t et h eb s t t c h e rm a p p i n go f ，ca t 。，a n dl e t 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ 一 西( c ) = 妒。( 、压一1 i c ) ， w h e r e 以一l i ci sc a l l e dt h ep r e c o c r i t i c a lp o i n t w eh a v e t h e o r e m4 中：c m - c i sac o n f o r m a lm a p p i n g h e n c e ，mi ss i m p l y c o n n e c t e d ，w h e r ea d e n o t e st h eu n i td i s k a p p l y i n g y o c c o z sp u z z l et e c h n i q u et ot h ep a r a m e t e r p l a n ef o rt h ef a m i l yo f ，c ： w es t u d ) , t h el o c a lc o n n e c t i v i t yo ft h eb o u n d a r yo ft h ec a p t u r ec o m p o n e n t sva n d t h ec o n n e c t e d n e s sl o c u smv o b t a i n t h e o r e m5 l eb o u n d a r yo fc a p t u r ec o m p o n e n t sa 1 ，a r ej o r d a nc u t v e s t h e ya r e a l ll o c a l l yc o n n e c t e d f u r t h e r m o r e ，w ea l s oh a v e t h e o r e m6 3 , 4c o n t a i n si n f i n i t e l ym a n ye m b e d d e dc o p i e so ft h em a n d e l b r o ts e t ， a n da 川i s l o c a l l yc o n n e c t e da ta n yo t h e rp o i n t s c o n s e q u e n t l y i ft h em a n d e l b r o ts e ti sl o c a l l yc o n n e c t e d t h e na mm u s ta l s o b el o c a l l yc o n n e c t e d m o r e o v e r ，v a r i o u so t h e rr e s u l t sa b o u tt h et o p o l o g yo fm a r e a l s o0 b t a i n e d v l k e y w o r d s ：b i q u a d r a t i cp o l y n o m i a l ，j u l i as e t ，m a n d e l b r o ts e t c o n n e c t e d i l e s sl o c u s ，c a p t u r ec o m p o n e n t ，c o n n e c t i v i t y ，l o c a l l yc o n n e c t i v i t y ，p u z z l e ，l i m b ，h o l o m o r p h i cm o t i o n 囝，双二度多项式单参数姨 ( 习= 一一舻一的连墨述 第一章引言 1 1 研究背景 从复球面到复球面上的解析映射( 有理函数) 迭代生成的动力系统的研究，可 以追溯到上世纪初。法国数学家pf a t o u 和g j u l i a 进行了系统地研究。j u l i a 是 从映射迭代的周期点出发来研究复动力系统，而f a t o u 从正规族理论出发的角度研 究复动力系统，他们将动力学平面分为两个集合，现称为j u l i a 集和f a t o u 集，取 得了一系列深刻和优美的结果，形成了经典的f a t o u 一，j u l i a 理论。 沉寂了若干年之后，由于几何函数论、拟共形映射和t e i c h m f i l l e , 空间理论、 双曲几何等复分析工具的发展，以及计算机在数学中的应用，复解析动力系统重新 引起了人们的极大兴趣，特别是在上世纪八十年代，d s u l l i v a n 创造性地发展了 a h l f m s 在k l e i n 群上的思想，利用t e i c h m i i l l e r 空间理论成功地解决了复动力系统 中的f a t o u 猜想： 度大于1 的有理函数的稳定域( f a c o u 集的连通分支) 是最终周期的。 进而，s u l l i x - a n 对周期的稳定域进行了动力学分类，得到周期稳定域只有吸引 域、超吸引域、抛物域、s i e g e l 盘和h e r m a n 环五类，从而对有理函数在f a t o u 集 上的动力学给出了完整的刻划 随后ms h i s h i k m a 利用了拟共形手术给出了有理函数稳定域个数的精确的上 界估计。 j u l i a 集上的动力学性质是十分复杂的，对一类在j u l i a 集上具有某种扩张性 质的有理函数一称为双曲有理函数，其动力学性质相对简单，研究较为透彻。r m a r l 4p s a d 和ds u l l i v a n 利用全纯运动的a 引理对有理函数解析族的动力系统 的稳定性做了深入的研究，得到： 双曲有理函数的动力系统是结构稳定的，而结构稳定的有理函数在有理函数解 析族中是开的和稠密的。 进一步问： 1 双曲有理函数是否在有理函数的解析族中是开的和稠密的。 这是复鼹橱动力系统礤究瓣一令中心阔题，称为双基性蘩惩。复鼹辑动力系统 的许多重要工作都是围绕双曲性猜想展开的，s s m a l e 在展望= 十一世纪数学发展 g 雩涛葵碉为耨篷纪专褥簿决懿卡八个瓣题之一。 作为有理函数的特例，多项式动力系统除了有有理函数动力系统的性质外，还 有它的特殊性质：无努远点是宪全不变的超暖| 不动点，它有个完金不变酌超吸 引稳定域，即选代轨道趋向于无穷远点的点集，其余集称为填充j u l i a 集。而j u l i a 集是麓吸弓f 稳定域的边界，也是填充j u l i a 集的边弄。如果多磺式静度为d 1 ， 则由b s t t c h e r 定理，谯无穷远点的一个邻域内，存在一个局部共形共轭映射，使得 此多项式共形共轭于。如聚j u l i a 巢是连通的，则晚共形共轭映射可以共形延拓 到整个无穷远点的超吸引稳定域。如皋j u l i a 榘是局部连通的，则由c a r a t h 6 0 d o r y 定理，此共形共轭映射的逆可连续延掰为单位圆厨到j u l i a 集的半共轭，从而，可 以通过。“在单位圆周上的动力学性壤来研究多项式残j u l i a 嶷上的动力学性质， 因此，讨论多项式j u l i a 集的涟通性和局部连通性就极为重要。 凌上邀绝a 年代，a d o u a d y 拳羹j 珏h u b b a r d 对多项式动力系缓进行了系 统和深入的研究，他们通过引进等势线和外射线等，利用拓扑洋度量等方法，获得 了多磺式孝力系缓懿一系裂滋麴结暴。缝秘霹类多磺式凄力系统羲磷宠在复祭辑 动力系统中引入了极为重要冀整化概念。d o u a d y 和h u b b a r d 特别对二次多项式 阮( ：) 一。2 + c 翡露力系统避荦子了系统麓轻究，蘩裁了参数e 乎垂上逡遘迹鄂萋窦 的m a n d e l b r o t 集的性质，构造了m a n d e l b r o t 集的余巢到单位豳外的共形映射，从 丽证唆了m a n d e l b r o t 巢翡连遴往，著在参数平嚣上葶| 入了参数等势绞稷参数乡 象 线。通进一步证明，m a n d e l b r o t 集边界的局部连通性蕴含了= 次多项式族的双曲 往猜想。因此，m a n d e f b r o t 集或连遴述逮界静焉部连遗往研究龟是复动力系统酶 最重要问题之 j c 、b c c o z 利用簿势线和外射线对二次多项式乳的动力学平面进行划分，称 为y o c c o z 划分，从两终到了称为4 捞慰”的区域蒺，遴过引入“r 一溺数”对糖图 片间的映射进行了细致的组合分析，对其有连道的j u l i a 集的= 次多项式p 。，证明 了如暴不熊无限霹筵整化，劳且没窍撼物髑期点，那么它的j u l i a 爨是局部连通 的。进而在参数平面避行相应的划分和组合分析，得到如果c 在m a n d e l b r o t 集边 2 界上，并且地不能无限可重整化，那么m a n d e l b r o t 集边界在c 点是局部连通的。 、j ) “的王俸是二次多项式族的双薅矬蘩想研究的一拿重大进鼹，煎获得了1 9 9 4 年的f i e l d s 奖。 对二次多项式动力系统还有更深入的研究，s u l l i v a n 对无穷可重整化的二次多 项式引入了“复雾”麴援念，ctm c m u l l e n ， ，l y u b i c h 秘蒋云平等人对此都 有一系列辩工俸，g l e v i n 衽s y o ns t r i e n 证踺了任意实二次多磺式j u l i a 蘩盼局 部连通性，g s w i a t e k 诞明了实二次多项式族的双曲性猜想。 a 。b r a n n e r 和j h h u b b a r d 研究了三次多项式动力系统及其涟通迹的拓扑。他 船首先诞鹾了三次多磺式参数空阕连懑迹是蕈连逶静。在动力攀平嚣上，蹙弼孀一 种和y o c c o z 的技巧类似但表述不同的“拼图”技巧，对三次多项式j u l i a 集的连通 性和完全不连通性给出了完整的描述。 扶奉纛上疆“ ! 重”技巧季鬟“f 一聪数”方法是等秘，h u b b a r d 将y o c c o z 懿王律 用他们自己的术语重新进行了“翻译”。我们将这种拼图技巧称为8 r a n n e r - h u b b a r d y o c c o z 拼图技巧。 上述戮究z 侮只涉及令蕈 羟赛点磐要送行考虑。霹三次以上粒多项式动力系 统，就需要考虑多个临界点。除了一十c ( c c ) 族，高次多项式的动力系统几乎没 有系统的研究成果。在上世纪末期，a d o u a d y 曾穗议研究双二次多项式的动力系 笺，掰疆双二次多项式燕嚣拿二次多矮式豹复合，鄹 ，( g ) 一p 1o p 2 ( o ) 这里的热。) = 。2 + ql = 1 ，2 矗e 。本蔫论文整想对双二次多顼式的动力系 统进行探讨。 1 2 主要结论 双二次多项式j u l i a 集的连通性 对荤令多矮式豹动力系统，它兹j u l i a 集戆连潺瞧是一令耄簧匏阕瑟。f a t o u 证明了； ( 1 ) 多项式的j u l i a 熊是连通的，琶腰条件是它的临界轨道是商界的 3 ( 2 ) 如果多项式的临界轨道都趋于无穷，那么它的j u l i a 集是完全不连通的。 由于二次多项式只有一个临界点，上述结论对二次多项式j u l i a 集的连通性给 出了完整的描述。 f a t o u 曾经猜想多项式的j u l i a 集完全不连通的充要条件是临界轨道都趋于无 穷。但被hb i o l i n 举的例子所否定。因此，多项式的j u l i a 集何时完全不连通也是 复解析动力系统中的一个重要问题。 b r a n n e r 和h u b b a r d 研究了三次多项式j u l i a 集的连通性。由于三次多项式有 两个临界点，存在一个临界点的轨道趋于无穷，另一个临界点的轨道有界的情形， b i - a l l l l e r 和h u b b a r d 利用环模的性质，他们的的“拼图”技巧，给出了三次多项式 j u l i a 集是完全不连通的判据，即三次多项式的1 u l i a 集完全不连通的充要条件是其 填充j u l i a 集包含临界点的连通分支在迭代下是非周期的。 我们讨论双二次多项式j u l i a 集的连通性。双二次多项式即为偶四次多项式， 在一个线性共轭下可以写为 这里，a ，b 是参数它有三个i 临界点，需要考虑一个l 临界点轨道趋于无穷，而另两个 临界点轨道有界的情形，上述b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图技巧不能直接应用。 但双二次多项式有下列特殊性质： ( 1 ) 它的一个i 舾界点是0 ，另外的两个l 临界点土= 五2 是关于原点对称的。 ( 2 ) 双二次多项式是偶函数，它们的逆像关于原点对称 由于这些特殊性质，使得我们有可能推广b r a n n e r - h u b b a r d y o c c o z 拼图技巧 我们得到了一个与b r a n n e r 和h u b b a r d 关于三次多项式j u l i a 集的连通性结论类 似的定理，给出了双二次多项式的j u l i a 集连通和完全不连通的充分必要条件： 定理1 2 1 _ 设，是双二次多项式，那么 “，的j u l i a 集是连通的当且仅当f 的所有的临界点的轨道都是有界的。 例，的j u l i a 集是完全不连通的当且仅当，的任何临界点不属于填充j u l i a 集的 周期分支内。 ，。纠当f 的临界点不满足条件r j 俐时，的j u l i a 集有可数个非平凡的连通 集。 4 对于( 3 ) ，我们进一步有：填充j u l i a 集包含临界点的周期分支及其迭代逆象 同胚于一个有连通， u l i a 集的二次多项式的填充j u l i a 集，而其他分支都是单点。 一族双二次多项式。j u l i a 集的局部连通性 关于多项式动力系统j u l i a 集的局部连通性，x 寸- - 次多项式p 。已有很深入的研 究，对于三次多项式，h u b b a r d 和f a u g h t 研究了具有一个超吸引不动点的三次多 项式的单参数族，利用拼图技巧证明了这个不动点的直接吸引域的边界是局部连通 的。本质上，这只有一个临界点需要考虑。 对于一般的具有连通j u l i a 集的双二次多项式，j u l i a 集的局部连通性问题极 为复杂。本文研究一族特殊的双二次多项式的单参数族 l ( z ) = 一2 c 2 。2 ( 12 ) 其中r 1 为参数。在这个参数表示下，0 为超吸引不动点，另外两个关于0 点对称的 临界点为士_ 利用外射线、外等势线以及超吸引不动点o 的直接吸引域中的内射线、内等势 线对正的动力学平面进行y o c c o z 划分，通过对b r a n n e r h u b b a r d y o c c o z 拼图理 论的推广来处理两个对称的临界点，得到了丘的j u l i a 集的局部连通性： 定理1 2 2 设 的j u l i a 集是连通的。如果上没有抛物周期点，且是不可重整化 的，那么j ( 五) 是局部连通的。 这里，厂c 称为可重整化的定义为：存在单连通区域u 、u 及正整数1 7 , ，使 得l 7cu ，u 包含临界点c 或一c ，只：u 一u 是一个二层分支覆盖，且拟共 形共轭于一个有连通j u l i a 集的二次多项式 进一步，我们考虑 在0 点的直接吸引域边界的局部连通性，此时，不需要 不可重整化的条件，可得到 定理1 2 3 如果正的j u l i a 集是连通的，那么，c 在0 点的直接吸引域是j o r d a n 曲线，从而是局部连通的。 此外，本文还研究了对于具有连通j u l i a 集的双二次多项式单参数族，c ，o 点 直接吸引域内射线所定义的翼( 1 i m b ) 在，c 下的映射规律 一族二次多项式参数空间的连通迹 我们转而研究双二次多项式单参数族，c 的参数平面中的连通迹。对一个多项 式解析族，以多项式的系数为参数，其连通迹是具有连通j u l i a 集的多项式对应的 参数的集合。二次多项式族p 。的连通迹也称为m a n d e l b r o t 集。，c 的连通迹记为 m 对二次多项式族矶( 。) = 。2 + c ，d o u a d y 和h u b b a r d 利用b s t t c h e r 映射妒。( 2 ) 在临界值c 的值对m a n d e l b r o t 集的余集进行参数标准化。 对于三次多项式族，例如厶z ) = ：3 3 a 2 z ，它的临界点是士。，假设1 2 的轨 道趋于无穷，厶的临界值一2 0 3 关于参数a 不是单射。但临界值一2 0 3 的逆像除了 临界点a 外，还有一个逆像2 n 不是临界点，b r a n n e r 和h u b b a r d 称它为陪临界点 ( c o c r i t i c a lp o i n t ) 。因此，厶的b 6 t t c h e r 映射( z ) 可以解析延拓到2 0 的一个邻 域，所以妒。( 2 n ) 有定义。利用( 2 0 ) 可对连通迹的余集进行参数标准化。 现在对双二次多项式族l ( z ) = 一一2 a 2 2 2 连通迹川的余集进行参数标准化。 对给定c m ， 的临界值一c 4 关于c 不是单射，又一c 4 在丘下的逆象为土c ，都 是临界点，从而其b 6 t t c h e r 映射妒。( 。) 不能象三次多项式一样解析延拓到士c 。为解 决此问题，我们利用，c 是偶函数，考虑临界值关于0 的对称点c 4 的逆像1 ( c 4 ) ， 即 r 一r 一 钆2 = 以+ 1 c ；强4 = 士、以一l i c 它们都不是临界点，称为预陪临界点那么，妒。可以解析延拓到盈的邻域内。因 此，令 厂_ = = _ 一 圣( c ) = 妒。( 、2 1 钯) 则西( c ) 是c m 的解析函数记为单位园，我们得到 定理1 2 4 圣：龟m 叫a 五是共形映射因此，m 是单连通的 我们还在参数平面定义参数内外等势线和参数内外射线，并且讨论参数内外射 线的性质，为讨论连通迹的局部连通性作准备 一族二次多项式的连通迹的局部连通性 对双二次多项式族 的连通迹m 的捕获分支是其内点集的一个连通分支y ， 参数c y 当且仅当丘的临界点c 属于0 点的直接吸引域或其迭代逆象，包含0 的捕获分支称为主捕获分支，记为7 o 利用y o c c o z 关于二次多项式族参数平面的拼图理论，我们研究了单参数族，c 在参数平面上的连通迹川和捕获分支v 的局部连通性，得到 定理1 2 5 每个捕获分支的边界a v 都是j o r d a n 曲线，它们都是局部连通的。 6 进一步有 定理1 2 6 m 含有无穷多个m a n d m b r o t 集的同胚像，并且a 川在其余点是局部 连通的。 由此可以得到，如果m a n d e l b r o t 集是局部连通的，那么a m 也是局部连通 的。进一步，还得到了关于连通迹m 的其它一些拓扑结果。 7 第二章预备知识 2 1 极值长度和模 设n 是复平面的一个区域，r 是q 中一族可求长曲线。p ( z ) 是定义在q 上 正的b o r e l