（基础数学专业论文）单或多复变亚纯函数的唯一性理论.pdf

原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：盔盛硷日期：型堑z 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：碴盛硷导师签名： 山东大学硕士学位论文 单或多复变亚纯函数的唯一性理论 李晓玲 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 芬兰数学家rn e v a n l i n n a 所创立的亚纯函数值分布理论。也称n e v a n l i n n a 理论。堪称 = 十世纪最重大的数学成就之一，它不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础，而且对数学的许 多分支的发展，交叉和融合产生了重大而深远的影响随着n e v a n l i n n a 理论自身的不断发 展，以它为主要研究工具的亚纯函数唯性理论取得了蓬勃的发展 本文主要介绍作者在扈培础教授的精心指导下。就复数域c 上的单复变亚纯函数涉及微 分多项式的唯性问题，以及m 维复欧氏空间c “上的多复变亚纯函数涉及公共值集的同题 所做的部分研究工作全文共分三章 在第一章中。作者扼要介绍了本文的研究背景，n e v a n l i n n a 基本理论以及唯一性理论 的基本结果文中给出了亚纯函数，的平均值函数m ( r ，) ，极点计数函数n ( r ，) ，特征函数 t ( r ，) 以及n k ( r ，) ，( r ，) 等定义，还介绍了公共值。小函数，截断重数，公共值集等基 本概念 在第二章中，作者研究了复数域c 上的非常数亚纯函数与其线性微分多项式具有公共 值的唯性问题，改进了r b r i i c k ，g g u n d e r s e n l z y a n g ，q c z h a n g ，以及a h h a i - k h a l a d i 的结果，主要结论如下 定理1 ：设，为复数域c 上的非常数亚纯函数。唧= 1 ，2 ，m ) 均为，的小函 数，c ( ，) = n l 尸+ 锄，+ + ，( 呻( a m 0 ) 若，一口与c 一口的零点相同。且重级2 的相应零点的重级相同，并且 z 脚，) + 2 ( r ，多) + 2 ( r ，三) 2 p + 4 + ；+ f 最，p 1 ，与夕为整函数； ( ) n 2 p + 8 + ；+ 而4 ，p 2 等式p 缸= p ：，- 所表示的意义见本文第3 1 页。 o e 8o s 关键词。亚纯函数；唯性；公共值；线性微分多项式 2 山东大学硕士学位论文 u n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s o fo n e0 rs e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s l i x i a o l i n g ( s c h o fm a t h a n ds y s s d ，s h a n d o n gu n i ，j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fr o e r o m o r p h i cf u n c t i o n sf o u n d e db y 凡n e v a u l i n n a a f a m o u sf i n n i s hm a t h e m a t i c i a n i ss u r e l yo n eo ft h er o o s ti m p o r t a n ta c h i e v e m e n t si nm a t h e - n m t i c si nt h e2 0 t hc e n t u r y t h i st h e o r yi sc o n s i d e r e dt ob et h eb a s i so fm o d e r nr o e r o m o r p h i c f u n c t i o nt h e o r y , a n di th a sa v e r yi m p o r t a n te f f e c to nt h ed e v e l o p m e n ta n ds y n c r e t i s mo f m a n y m a t h e m a t i c a lb r a n c h e s e s p e d a l l y , t h en e v a n l i n n at h e o r ys u p p l i e 8av e r yp o w e r f u lt o o lt ot h e r e s e a r c ho ft h eg l o b a la n a l y t i cs o l u t i o n so fc o m p l e xd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n da l s om a k e st h e r e s e a r c hf i e l di n o r ea c t i v ea n dp o p u l a ra f t e ri tw a ss u c c e s s f u l l y 印p l i e dt og e ti n s i g h ti n t ot h e s o l u t i o n so fc o m p l e xd i f f e r e n t i me q u a t i o n s w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h en e n l i n n at h e o r y i t s e l f , s o m ef l e wm a t h e m a t i c a lb r a n c h e sw i t hi ta st h e i rp r i n c i p a lt o o lh a v ea p p e a m l i nt h e l a t e1 9 2 0 s r n e v a n l i n n a 1 is t u d i e dt h ec o n d i t i o n sw i t hw h i c ham e m m o r p h i cf l m c t i o nc a nb e d e t e r m i n e db yt h et h e o r yj u s te s t a b l i s h e db yh i m s e l f , a n do b t a i n e dt h r e ec e l e b r a t e du n i q u e n e s s t h e o r e m sf o rm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，w h i c ha r eu s u a l l yc a l l e dn e 硼n l i n n a sf i v e - v a l u et h e o r e m a n dn e v a n l i n n a sf o u r - v a l u et h e o r e ma n dn e v a n l i n n a st h r e e - w d u et h e o r e m 撇l a u n c h e d t h ei n v e s t i g a t i o no fu n i q u e n e s st h e o r yo fm c r o m o r p h i cf u n c t i o n sa n di np a r t i c u l a rt h es h a r e d v a l u e so fm e r o r o o r p h i cf u n c t i o n s i nt h ep a s th a l fa c e n t u r y , i nj a p a n ，c h i n a ，g e r m a n y , e n g l a n d ，t h ef o r m e rs o v i e tu n i o n a n dt h eu n i t e ds t a t e s ，m a n ym a t h e m a t i c i a n sd e n o t e dt h e m s e l v e st ot h er e s e a r c hi n t ot h e u n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s a n dt h i ni tb e c a m e 蛐i m p o r t a n tb r a n c hi nt h e c o m p l e xa n a l y s i sf i e l d ，e v e nu pt i un o w ，w h i c hi ss t i l la c t i v e t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni sp a r to ft h ea u t h o r 8r e s e a r c hw o r ko nt h eu n i q u e n e s sp r o b - l e mo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n so v e rct h a t8 h a r ev a l u e sw i t ht h el i n e a rc o m b i n a t i o no ft h e i r 3 山东大学硕士学位论文 = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = ：= ：= ：= = d e r i v a t i v e s ，a n dt h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo ft w om e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n gs e t so v e rc ” i tc o n s i s t so ft h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w eb r i e f l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n di n f o r m a t i o no ft h et h e s i s r o m em a i n c o n c e p t s ，f u n d a m e n t a lr e s u l t sa n du s u a ln o t a t i o n sc o n c e r n e dw i t ht h i sd i s 8 e r t a t i o n i nc h a p t e r2 ，w ei m p r o v et h er e s u l t so f1 t b r i i c k ，g g u n d e r s e n l z y a n g ，q c z h a n ga n da h h a i - k h a l a d ib ys t u d yt h eu n i q u e n e s sp r o b l e mo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h a ts h a r ev a l u e sw i t ht h el i n e a rc o m b i n a t i o no ft h e i rd e r i v a t i v e s t h e 嘣nr e s i l l t 8a r et h e f o l l o w i n g ： t h e o r e m1 ：l e t ，b en o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i ef u n c t i o n so v e rc ，c ( 力i st h el i n e a r c o m b i n a t i o no fi t sd e r i v a t i v e s d e f i n e d f o l l o w i n g ： c ( ，) = a l l + a 2 f + + n ，l ，i 西) ( a m o ) w h e r e = 1 ，2 ，m ) a l et h es m a l lf u n c t i o no f f i f ，a n dcs h a r e ( n ，2 ) ，口0 ，a n dt h e ys a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o nf o ra ( 0 ，1 ) ， z 肌+ 飓( r ，；) + 飓( r ，z 1 ) 2 p + 4 + 昙+ 南，p 1 ，a n d 9a r e h o l o m o r p h i c f u n c t i o n s ； ( ) f l 2 p 十8 + 要+ 而4 ，p 2 k e yw o r d s ： m e r o m o r p h i cf u n c t i o n ；u n i q u e n e s s ；c o n l n l o nv a l u e ；l i n e a rc o m b i n a t i o no f derivatives 5 山东大学硕士学位论文 第一章前言及预备知识 1 1前言 上个世纪二十年代。rn e v a n l i n n a 1 l 通过对p o i s s o n - j e n s e n 公式的研究巧妙的引入了特 征函数的相关概念，并研究了亚纯函数间特征函数的关系。在此基础上创立了现代亚纯函数 值分布理论。也称n e v a n l i n n a 理论 n e v a n l i n n a 理论是二十世纪最重大的数学成就之一， 它不仅奠定了现代亚纯函数理论的基础，而且对数学的许多分支的发展交叉和融合产生了 重大而深远的影响随着n e v a n l i n n a 理论自身的不断发展，以它为主要研究工具的一些新的 函数论分支应运而生 我们知道一个多项式除了一个常数因子外，可由它的零点确定。但对于超越整函数和亚纯 函数来说仅仅考虑零点是不够的，因此如何唯一的确定一个函数的研究就显得复杂而有趣 所谓的函数唯性理论主要就是探讨在什么情况下只有个函数满足给定的条件，以及满足 给定条件的函数之间有什么关系 r n e v a n l i n n a 利用p o i s s o n - j e n s e n 公式给出了两个基本定理( 通常称为n e v a n l i n n a 第 一基本定理与n e v a n l i n n a 第二基本定理) ，并利用这两个基本定理研究了决定一个亚纯函数 所需要的条件。得到了三个著名的亚纯函数唯一性定理它们通常被称为n e v a n l i n n a 五值定 理n e v a n l i n n a 四值定理和n e v a n l i n n a 三值定理从此，亚纯函数唯性理论的研究拉开 了序幕。 半个多世纪以来，日本、中国德国，英国前苏联和美国等国家的许多知名学者如熊庆 来。杨乐，仪洪勋。扈培础，杨重骏。李平。w k h a y m a n ，f g r o s s ，m o z a w a ，e m u e s ， h u e d a ，g f r a n k ，n s t e n m e t z ，g g u n d e r s e n 在亚纯函数唯性理论方面做了大量研究工 作。取得了一系列引人注目的结果，使之成为复分析领域迄今仍比较活跃的一个重要分支； 其间所形成的独特的思想方法与研究技巧，为其它数学分支，如代数体函数，非阿基米德域 上的亚纯函数。乃至一般流形上的亚纯映射的唯性及相关问题的研究，提供了十分重要的 启示与借鉴 作者在扈培础教授的精心指导下。就复数域c 上的亚纯函数涉及微分多项式的唯性问 题，以及m 维复欧氏空间c m 上的亚纯函数涉及公共值集的问题做了一些研究工作 6 山东大学硕士学位论文 1 2n e v a n l i n n a 基本理论概要 我们首先介绍一下p o i s s o n j e n s e n 公式，它在n e v a n l i n n a 理论中起着十分重要的作用， 是n e v a n l i n n a 理论的基础p o i s s o n - j e n s e n 公式以下面定理的形式叙述 定理1 1 ：设函数，( c ) 在i ( | sr ( o r o o ) 上亚纯，= 1 ，2 ，m ) ，b ( 扩= 1 ，2 ，) 分别为，( ( ) 在j ( | 冗内的零点和极点若：= 1 e 0 为i ( 1 r 内不与，b 相 重的任意一点，则 1 0 9 l ，( 圳= 去z h l o g i f ( p c e 吲西熹如 + 喜o s i 筹i 一妻b g 憎r ( z 也- b p ) 该公式田让明参见1 2 1 特别的，当z = 0 时，若( o ) 0 ，则 崦i ，( o ) | = 去z 钉1 0 9 | ，( 舻) | 如一姜0 9 而r + 喜n 崦两r 这就是j e m e n 公式 若( o ) = 0 或o o ，设，( e ) 在原点邻域内l a u r e n t 的展式为 。 ，( e ) = 呶p + 呶+ i ( 1 + ，国0 ， 则 吣，r = 去z 知l o g i i ( 庇吲妒r 邑r k 南 、 十。磊丑o g 南m ，) l o g 兄 汶就是j e n s e n 公式的一般形式 n e v a n l i n n a 基于j e n s e n 公式引入了亚纯函数( z ) 的平均值函数m ( r ，) ，极点计数函 数( r ，) 与特征函数t ( r ，) 等相关概念下面我们介绍有关定义 7 山东大学硕士学位论文 对于z 0 ，定义z 的正对数 k s 培 葚 。 ( 正对数的性质参见【2 d 设，( 2 ) ( o o ) 为i z is r ( 0 r ) 上的亚纯函数，0 r r 定义1 2 1 q ：，如) 的平均值函数定义为 r e ( r , f ) = 去j ( 知l o 咖( r e 吲硼 设m ( r ， ) 类似定义，则由正对数的性质可知j e n s e n 公式中的积分项磊1j 0 2 。l o g i f ( e 幽。) & o 对应m ( r ，f ) 一m ( r ， ) 另外由正对数的性质易证 m ( r f j ) m ( r ，办) j = 1j = l m ( r 办) m ( r ，办) + l o g p 其中办( ：) 0 = 1 ，2 ，p ) 为p 个z r ( o r o o ) 上的亚纯函数 定义1 2 2 1 1 l ：y ( z ) 的极点计数函数定义为 肌，) ：f 亟掣d t 州o ，f ) l o g r 其中n ( t ，f ) 表示，( z ) 在i z l t 上的极点的个数，且重级极点按重数计算；n ( o ，) 表示，( z ) 在原点处的极点的重数( 当f ( o ) 0 0 时。n ( o ，) = 0 ) 若厶( z ) 0 = 1 ，2 ，p ) 为p 个i z l r ( o r o o ) 上的亚纯函数，则对于1 r r 有 pp ( r ，办) ( r ，办) j = lj = l p p ( r 办) ( r ，厶) 8 山东大学硕士学位论文 设，( z ) 的零点计数函数( r ，；) 类似定义则j e i 嘲公式中的求和项三ml o g 南与 量1 0 9 南分别对应( r ；) 一n ( o ，；) l o g r 和( r ，) 一n ( o ，f ) l o g r 这样j e 姗公式可改写 l o g i c l = 仇( r ，) - m ( r ；) 一n ( r ，；) + ( r ，) 定义1 2 3 1 1 ：设t ( r ，) = m ( r ，) + ( r ，) ，r ( r ) = m ( r ；) + ( ) 由上可知j e n s e n 公式有形式 砘，) = 2 1 ( r ) + l o g c a 此形式说明j e n s e n 公式的核心是函数t ( r ，) ，有理由认为它是亚纯函数的一种特征。故 n e v a n l i n n a 称其为特征函数 由上面叙述的m ( r ，f ) 与n ( r ，f ) 的性质易得特征函数t ( r ，) 有性质； t ( r ，l j ) t ( r , f s ) j = lj = l pp t ( r 办) s t ( r 办) + l o g p 其中办( ：) 0 = 1 ，2 ，p ) 为p 个例z r ( o r o o ) 上的亚纯函数。1 sr r 在经典的函数论中，我们用最大模函数m ( r ，) = 孕学f ，( 力l 来刻翅整函数的增长性， 但对于亚纯函数来说，因为涉及到极点的情况。最大模函数失去效用，因此在n e v a n l i n n a 之前人们大多只研究整函数而很少涉及亚纯函数1 ln e v a n l i n n a 引入特征函数r ( r ，) 代替 m ( r f ) 来对亚纯函数进行研究。就克服了上述困难，而且对于整函数来说。特征函数与最大 模函数起到了同样的作用事实上。当，( 力为非常数整函数时。，( 2 ) 的特征函数t ( r ，f ) 与 最大模函数m ( r ，) 具有这样的关系( 参见【2 1 ) ： 口上 t ( r f ) l o g + m ( r ，f ) 若二三t ( r ，) ( o r r o o ) 因此有 l i m 嬲p ! 骘型! ：l i m 唧型掣 r + 菇l o g rr 柄l o g r 9 山东大学硕士学位论文 整函数的级经典性定义为p = l i m s u p 虹：警卫，这与利用特征函数给出的级定义a ，= r 1 l i m8 l l p 堕：竽相一致所以n e v a i l l i 腿a 完成了从整函数的增长性特征m ( r ，) 到亚纯函数 r + 的增长性特征t ( r ，) 的转变，为亚纯函数的研究建立了基础 设口为任一有穷复数。，( 2 ) ( o o ) 为 z l r ( o 月 o o ) 上的亚纯函数，则7 南 为m r ( o r o o ) 上的亚纯函数。从而r e ( r , 南) ，n ( r ，7 与) ，t ( r ，7 与) 可以根据定义 1 2 1 - 1 2 3 类似定义 利用j e n s e n 公式的特征函数形式。n e v a n l i n n a 建立了关于亚纯函数的n e v a n l i n n a 第一 基本定理 定理1 2 1 1 一a i ：( n e , n n n a 第一基本定理) 设，( z ) 于z p ( 0 0 ) 内亚纯，口为任一有穷复数，且，( z ) 穗，则对于0 r p ，有 t ( r 击) = t ( r i ，) + l o g 州0 r ) ( 1 1 ) 其中呶为赤在原点的l a u r e n t 展式( 按升幂排列) 中的第个非零系数而 l ( n ，r ) i l o g + i a l + l 0 9 2 证明；对于7 两1 二应用j e n s e n 公式的特征函数形式即有 t ( r 击) = 嘶卜口) + l o g c l 再由特征函数的性质得 t ( r ，一r ( r ，) + l o g + i 口i + l 0 9 2 及 显然立即有定理的结论 ( 1 1 ) 式通常简写为 其中o o ) 表示一个量。 t ( r ，) = t ( r , i 一口+ a ) t ( r i ，一口) + l o g + i a l + l 0 9 2 t ( r 击) = t ( r ，) + d ( 1 ) 当r o o 时它有界 1 0 ( 1 2 ) 山东大学硕士学位论文 由第一基本定理即得到n e v a n l i n n a 不等式 ( r ，万1 ) t ( r i ，) + d ( 1 ) 为了给出计数函数的下界。n e v a n l i n n a 得到第二基本定理 定理1 3 【1 一a l ：( n e v a n l i n n a 第二基本定理) 设i ( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，吩0 = 1 ，2 ，口) 为口( 3 ) 个c u ) 中的 判别元素，则 ( 口_ 2 龇，) 骞( r ，南) 一l ( r m ( r ，) 其中 1 ( r ) = 2 ( r ，) 一( r ，) + ( r 7 1 ) ， 洲) - m ( r ，乡) + m ( r ，若q 鬲f r ) + d ( 1 ) ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 为了估计第二基本定理中的余项s ( r ，) ，我们需要研究m ( r 和的增长性，它由下述引 理表达由于手= 0 0 9 f ) 该引理被称为对数导数引理 引理1 1 纠：( 对数导数引理) 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，且f ( o ) 0 ，0 0 ，则对于0 r r o o ，有 m ( r ，等) 4 l o g + t ( r ，f ) + 3 l o g + 击+ 4 l o g + r + 2 l 矿；+ 4 l o g + l o g + 南+ 1 0 ( 1 6 ) 当i ( o ) = 0 或o o 时，引理1 1 同样成立。只需修正最后两个常数以及其它相应系数即 可对数导数引理的证明中p o i s s o n - j e n s e n 公式起到了关键性的作用 基于对数导数引理可得下面定理1 龟 定理1 4 1 2 1 ：设l ( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，s ( r , f ) 由( 1 5 ) 式确定则当 ( z ) 为有穷级时有 s ( r , f ) = o ( t ( r ，) ) ( r 一) 、 当，( 力为无穷级时有 s ( r ，) = o ( t ( r ，r ) ) ( r 一，譬e ) 1 】 山东大学硕士学位论文 其中e 是一个有穷线性测度的集合 设，为复数域c 上的非常数亚纯函数，以后我们以s ( r ，) 表示任意满足s ( r ，) = 0 ( t ( r ，) ) ( r 岳e ) 的量，其中e 指实数域中某个有穷测度集，每次出现未必相同 第二基本定理的一个简单应用为下述推论该推论通常被称为p i c a r d 定理 超越 推论1 1 1 2 l ：复数域c 上的非常鲞9 p 函数至多有两个广义p 1 c 8 r d 例外值 所谓的广义p i e a r d 例外值是如下定义的 定义1 2 4 1 2 1 ：设，( 2 ) ( ) 为复数域c 上的亚纯函数，o c u ) 若，( z ) 一口仅有有限多个零点，则称d 为，( z ) 的广义p i c a r d 例外值 对于第二基本定理，我们通常取g = 3 , a l = o o ，o - 2 = o ，a 3 = 1 ，就是下面的定理1 3 一定理1 3 1 2 1 ：设，( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，则 t ( r ，) s ( r ，) + ( r ；) + ( r ，丁与) 一l ( r ) + s ( n ，) ， ( 1 7 ) 其中n 1 ( r ) 由( 1 4 ) 式定义 为了进行更为精确的研究，我们引入下面定义 定义1 2 5 【z j ：设，为复数域c 上的非常效亚纯函效，口为任一夏敦，k n ut o o ， 眠( r 击) 表示m r 上，一口的零点计数函数。重级大于等于蠡时仅计七次。重级小于k 时，按重 数计算当a = 时。以 k ( r ，) 代替 特别的。当七= 1 时，记 l ( r ，丁笔) = 霄( r ，丁笔) ，l ( r ，) = 霄( r ，) 注意到 ( r ，) + ( r ，手) + ( r ，古) 一( 2 n ( r ，) _ ( r i ，) + ( r 多) ) 趔r ，) + ( r ，；) + ( r ，古) 一o ( r ，多) 1 2 山东大学硕士学位论文 其中0 ( r 多) 表示是，的零点但不是，或，一1 的零点的计数函数 由此可以得到第二基本定理的另一个更为精确的形式定理1 3 一 定理1 3 1 1 2 1 ：设f ( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数。则 嘶，) 研+ ( r ；) + ( r ，古) 一( 弓) + s ( r ，) ( 1 s ) 1 3唯一性理论基本结果及常用记号 在研究唯性同题时，我们通常考虑的是函数具有公共值的情况，所谓的公共值是如下 定义的t 定义1 3 1 1 1 3 1 ：设，与g 为复数域c 上的非常数亚纯函数，口c 若，一口与g 一口的零点相同。且相应零点的重级相同( 忽略重级) ，则称，与g 分担n c m ( i m ) 此时也称a 为，与g 的c m ( i m ) 公共值 ，与g 分担0 0c m ( i m ) 是指1 f 与1 9 分担0c m ( i m ) 唯性理论研究的基础就是通过考虑函数分担公共值而得到的n e v a n l i n n a 五值定理。 n e v a n l i n n a 四值定理，n e v a u l i n n a 三值定理下面我们叙述这三个定理( 参考文献【1 1 - 3 1 ) 定理1 5 ：( n e v a n l i n n a 五值定理) 复数域c 上两个非常数亚纯函数分担五个判别的d 江公共值则它们必然恒等 定理1 6 ：( n e v a n l i n n s 四值定理) 复数域c 上两个非常数亚纯函数，与9 分担四个判别的c m 公共值，则，为9 的分式 线性变换 定理1 7 ：( n e v a n l i r m a 三值定理) 复数域c 上两个非常致亚纯函数，与9 分担0 ，1 ，o o c m 若f g ，则必有 ( i ) ，= e 雨- i ，g = 再e - 9 酉- - i 1 3 山东大学硕士学位论文 1 8 其中p 与，y 为整函数。且e 卢1 ，e 7 l ，e 9 ( i i ) t ( r ，9 ) = 0 ( t ( r ，) ) ( r 0 0 ，r 甓e ) ， t ( r ，矿) = o ( t ( r ，) ) ( r 0 0 ，r 车e ) ， t ( r ，) = o ( t ( r ，) ) ( r 0 0 ，r 叠司 对于第二基本定理。t ln e v a n l i r m a 还考虑了将常数易为小函数的情况。得到如下定理 定理1 8 l z ：设，( z ) 为复数域c 上的非常数亚纯函数，q ( 。) o = l ，2 ，3 ) 为，h g t j , i t i 数，则 t ( r ，) 喜霄( r ，忐) 删r i ，) ( 1 9 ) = l ，一。 所谓的小函数是如下定义的 定义1 3 2 【1 一a l ：设，与n 为复数域c 上的亚纯函数，若有t ( r ，口) = s ( r ，) ，则称a 为 ，的小函数 有了关于小函数的第二基本定理，唯性理论的研究就推广到了考虑分担公共小函数的 情况所谓的公共小函数是如下定义的 定义1 3 3 1 1 一a l ：设，与9 为任意两个复数域c 上的非常数亚纯函数 若口既为，的小函数也为9 的小函数，则称d 为，与9 的一个公共小函数 若口为，与9 的个公共小函数，一n 与g n 的零点相同，且相应零点的重级相同 ( 忽略重级) ，则称，与9 分担a c m ( i m ) 此时也称a 为，与g 的c m ( i m ) 公共小函数 1 4 山东大学硕士学位论文 第二章单复变亚纯函数的唯一性 2 1 引言及主要结果 如无特别声明，本章中的亚纯函数指的都是复数域c 中的单复变亚纯函数。cu ) 以e 记之 对于非常数亚纯函数或整函数，与其导数，姊 叼分担两个或三个值以及由此考虑 ，与其线性微分多项式分担二值或三值的情况，或，与，渤) ( 七b 如n 且k l ) 分担个值的情况，很多数学家进行了研究。如l r u b l e - c c y a n g ，g j a n k - e m u e s - l v o l k m a n n e m u e s - n s t e i n m e t z ，g f r a a k - g w e i s s e n b o r n 及p l i - c c ：y a n g ，其中不乏经 典的结果( 参考文献【2 1 【3 】) 但对于，与，功 n ) 仅分担一个值的情况。因为条件太少而不易构造辅助函数，从而 很难进行研究在该方面一个探索性而又极具影响的结果当推德国数学家扎b r i i c k 4 1 在1 9 9 6 年于国际著名数学杂志r e s u l t si nm a t h 上发表的下述两个结果 定理2 a ：设，为非常数整函数，p l ( ，) 为其超级，若m ( f ) + o o 且p l ( ) 岳n ，并 a | 与l i 会氇0c m 。弛| 三c f i 其中c 为一非零复数。，( 石) 的超级定义为p l ( ，) = h m 叩堕 篙；孑坳 r + 1 ， j，- 定理2 b 4 ：设，为非常数整函数，若，与，分担有穷非零复数口c m 并且满足 n c r , 专) = s ( r ，) ，则有 也：， p n 一 其中c 为一非零复数 同文献中。kb r f i c k 还提出了下述问题，之后被广泛称为r b r 证c k 猜想 r b r t i c k 猜想：设，为非常数整函数。p l ( ，) 为其超级。若m ( i ) + c 0 且p l ( ，) g n ， 并且，与，分担有穷复数口c m ，则 毫兰c | i a 1 5 ， 山东大学硕士学位论文 其中c 为一非零复数 显然l lb n i c k 猜想是针对定理2 a 中当，与，分担有穷非零复数bc m 的情况提出来 的。而且当 镑- c ( a , c e c , c o ) 成立时。，必为有穷级受此启发，g g u n d e r s e n - l z y a n g 5 1 在1 9 9 8 年针对有穷级整函 数的情况。部分地解决了rb r i i c k 猜想 定理2 b 相比于定理2 a 或r b r i e k 猜想而言，由于去掉了级的限制而增加了对，7 零 点的限制。因而其研究方法必然会有所不同1 9 9 8 年。q c z h a n g l o l 改进了定理2 b ，得 到如下结果 定理2 c ：设，为非常数亚纯函数，七为正整数若，与，( 砷分担有穷非零复数8 c m ，并且 2 霄( r ，) + ( r 专) + ( r i 击) 0 + 口( 1 ) ) 丁( r ，佧) 对于a ( 0 ，i ) 成立。则有 二! = 一 ，( ) 一口 其中c 为一非零复数 2 0 0 4 年，a h h a i - k h a l a d i q 通过引入小函数，得到如下结果 定理2 d ：设，为非常数整函数，口( o ，o o ) 为，的个小函数若，与厂分担a c m 并且满足( r i 门= s ，) ，则有 # 三i 一 一q a 。 其中l 一：= e 口，七为一非零复数，口为一整函数 由定理2 d ，若定义，( z ) ：= a e x p ( _ r ( 1 一赤) d z ) + b ，其中1 一南= e a 锄为一非 零复数，n ( 2 ) 为非常数整函数) ，a ( 0 ) 与b 为两个复数。则易知( r a l ) = s ( r ，) 且 ，与，分担口c m 此例说明若将定理2 b 中的非零值a 替换成小函数口( 口o ，o d ) 盹 ，一口与，一口之比不一定是一个非零复数因而定理2 d 是定理2 b 的个改进与推广 在本章中。作者通过引入线性微分多项式考虑权分担的情况得到以下定理2 1 和定理2 2 以及两个推论，它们是rb r i i c k ，q c z h a n g 与a h h a i - k h a l a d i 结果的改进 1 6 山东大学硕士学位论文 为了更清楚的介绍我们的结果，这里我们引入下面定义 定义2 1 ：设，为非常数亚纯函数，的线性微分多项式定义为 ( ，) = a l ! + n 2 ，+ + 口m ，呻( o ) ( 2 1 1 ) 其中“= 1 ，2 ，厕均为，的小函数 定义2 2 i s l o l ：设，( z ) 与夕( z ) 为非常数亚纯函数。口c ，七n o o o ) 若f d 与9 一口的零点相同。且重级南的相应零点的重级相同，则称f 与9 分担口 权七，也称，与9 分担( 口，七) 定理2 1 ：设，为非常数亚纯函数，c ( ，) 定义如( 2 1 1 ) 式若，与c 分担有穷非零 复数n 权2 ，并且 一 、2 斯，) + 2 ( r 多) + 2 ( r ，丢) ( a + o ( 1 ) ) 毗c ) ( 2 1 2 ) 对于a ( 0 ，1 ) 成立，则有 鲁三c ， c 一口一 其中c 为一非零复数 在定理2 1 中，若c ( ，) = ，( 舢，则只需要，与，( 埘分担8 权2 ( 不需c m ) ，且 2 霄( r ，) + ( r 专) + ( r 万1 ) 0 + “1 ) ) t ( r ，埘) 对于a ( 0 ，1 ) 成立，就有 + 朽鄞， 即q c z h 觚g 的定理2 c 是定理2 1 的个推论。因而可以说定理2 1 是对q c z h a n g 结果的一大改进 定理2 2 ：设，为非常数亚纯函数，c ( ，) 定义如( 2 1 1 ) 式d ( o ，0 0 ) 为，的个 小函数若，与c 分担a c m ，且满足 霄( r ，) + ( r 专) = s ( r ，) ， 擘三l 一 c 一口一 口 1 7 山东大学硕士学位论文 其中七为一复常数，且满足 霄( r ，一：) + ( r 南) = 跳，) 显然a h i - i a i - k h a l a d i 的定理2 d 是定理2 2 的个推论。因而定理2 2 是a h h a i - k h a l a d i 结果的一个改进 定理2 1 与定理2 2 还有下面两个推论 推论2 1 ：设，为非常数亚纯函数，c ( ，) 定义如( 2 1 1 ) 式若，与c 分担非零值n c m ，且 2 ( r ，) + 霄( r ，专) + 2 ( r ，丢) 0 + 。( 1 ) ) t ( r ，) ( 2 1 3 ) 对于a ( 0 ，1 ) 成立，则有 害- - - - - - c ， c 一口 其中c 为一非零复数 推论2 2 ：设，为非常数整函数，l ( f ) 定义如( 2 1 1 ) 式且系数= 1 ，2 ，m ) 均为 ，的小整函数，d ( o ，o o ) 为，的个小整函数若，与分担口c m ，且( r i 乒) = s ( r ，) ， 则或者f 三c ，或者也e - a