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山东大学硕士学位论文 一类保形的有理三次插值样条 田 萌 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 中文摘要 这篇文章提供了一种显像科学数据的曲线插值方法，实现了插值曲线的保 形该类分段有理三次样条函数中的两族形状参数的存在为插值曲线保形提供了 可能在将对插值曲线的保形要求都转化为对两族形状参数的取值限制后，通过 选取合适的形状参数就能得到保形的插值曲线而且该插值样条函数形式固定唯 一，插值曲线整体上达到了g 1 连续 下面介绍一下本文的结构，共分五章： 第一章简述插值问题求解的历史及保形插值同题分析的现状，指出成像时自 动化程度不高，插值点位置约束过强及控制方法不够直观等是当前保形插值讨论 中存在的主要问题，这些问题限制了有理曲线在实际工程中的应用 第二章首先构造了分段有理三次样条： ( 1 一目) 3 t - ； + o ( i 一日) 2 ( 2 t ；t 五+ q ) + u ； ，d ，】 + 曰2 ( 1 一日) 【( 2 u 。u 。+ 。) + 1 一u i h i c i f + 1 + 臼3 u ， + l 文2 可= 矛函五五雨= 矿而砭一 其中0 = 扛一。：) h ：，u 。u ；为形状参数且i t ，q 0 ，这两族形状参数增强了插 值曲线的灵活性由于文章研究的是函数值 已知而导数值d 。未知的情况，故 在详细讨论q 的调节作用之前先给出了两种适用的导数值设定方法而第三 节得出的u 。= 地一时s i ( x ) 一，l ( 1 0 ) + + 1 0 等结论是以下进行保形插值分 析的理论基础 第三章讨论插值曲线的保形问题分四节依次讨论了插值曲线的保单调问 题、保凸问题、保正问题及给定区域的保形插值问题，这四类问题的解决都可 归结为在研究插值样条函数性质的基础上，将插值曲线保形问题转化为如何选 取合适的形状参数使其保形这样，对严格单凋数据，将插值样条函数的保单 调要求( z ) 兰o ( 茎0 ) 转变成为对吐的取值限制；妾，警而 对严格凸( 凹) 数据，通过分析保凸( 凹) 要求s ”( z ) o ( 0 ) 得到保形的充分 t 山东大学硕士学位论文 条件t 葡 ! 三，地者i 高分析s ( z ) 0 得到保正的充分条件t i m 麟( o ，一垒哮铲) ，q m a x ( o ，型蜀 i ) 得出上述结论后，结合将插值曲线约束 在两给定折线之问时t i l ，地的取值限铡，最终解决了给定区域的插值曲线保形同 题 第四章用两种方法分析了该类有理插值样条函数的逼近性质第一种方法以 p e a n o - k e r n e l 定理为工具，分析了用算术均差商定值孟得到的一类基于函数值的 有理三次样条在被插函数为伊连续及伊连续时的逼近误差而通过第二种方 法得出文中所构造的保凸插值捧条函数的逼近误差阶为o ( 炉) 。保单调插值样条 函数的逼近误差阶可达到o ( h 3 ) 第五章对前四章的内容进行了小结此外。本文给出了五组随机数据和三组 实验数据进行直观演示，验证了讨论结果的正确性 本文的刨新在于t 用分母为二次的有理三次样条函数实现保形曲线的自动生 成；分析并得出用算术均差商近似替代导数值也所得到分母为二次的有理三次 样条函数的逼近误差 关键词有理样条插值保形区域控制逼近 i i 山东大学硬士学位论文 as i u 心ep r e s e r v l n gr a r i o n a lc u b i c 玳t e r p o l a t i o ns p l i n e as m o o t hc u r v ei n t 日p o l a t i o ns c h e m ef o rt h ev i s u m i t m t i o no fs c i e t i f i cd a t ah a s b e e nd e v e l o p e di nt h i st h e s i s ，w h i c h 咖p r e s e r v et h ei n h e r i t e df e a t u r e sdad l a p e d d a t a t w of a m i h e so fp a r a m e t e r s ，i nt h ed e s c r i p t i o no ft h ep i e c e w i s er a t i o n a lc u b i c i n t e r p o l a t e 她h a v eb e e nc o n s t r a i n e dt op r e s e r v et h es h a p eo ft h ed a t am s h a p ec o n s t r a i n t sa r er e s t r i c t e do ns h a p ep a r a m e t e r st oa s s u r et h es h a p ep r e s e r v a - f i o no ft h ed a t a 啾mr a t i o n a l 搬s c h e m eh a s8 u n i q u er e p r e s e n t a t i o mm d e g r e eo fs m o o t h n e s sa t t a i n e di s 伊 t h j st h e s i si sc o m p o s e do ff i v ep a r t s i nc h a p t e r1 ，t h ea u t h o rg i v 氆 c o n c i s ed e p i c to ft h eh i s t o r yo fi n t e r p o l a t i o n s a dt h ec u r r e n ts i t u a t i o no fs h a p ep r e s e r v i n gs t u d y t h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e m s r e s t r i c t i n gt h er a t i o n a ls p l i n e su s a g ea 弛d d i c i e a c yo fa u t o m a t i o n , a d d i t i o n a lr e - s t r i c t i o no i ld a t ae t c i nc h a p t 口2 ，t h ea u t h o rp u t sf o r w a r dt h ed e f i n i t i o no ft h ep i e c e w i s er a t i o n a l f u n c t i o n ： s = ( 1 - o ) 3 q + 0 ( 1 一2 【( 2 t q + 地) 五+ q 乜列 + 萨( i 一口) 【( 2 t q + 蛳) + l 一乜c “i 】+ 萨地 + l ( 1 一日) 2 t i + 2 啦地口( 1 一+ 萨珥 h e r e 口；0 一向) ，t i ，t l ia l es h a p ep a r a m e t e r sa n dt l ，q 0 ，w h i c hc a nc h a n g e t h es h a p eo fc u r v e i nm o s ta p p l i c a t i o n s 。t h ed e r i v a t i v ep a r a m e t e r sd ia r en o tg i v e n a n dh e n c em u s tb ed e t e r m i n e df r o mt h ed a t as ot w oc h 9 i c e sa r em e n t i o n e di nt h e s e c o n ds e c t i o n i nt h et h i r ds e c t i o nw eg e tt ；q - + c o ，最( 功- 五( 1 一口) + 五+ l p ， 8 0t h ee f f e c t i v e n e s sf o rt h es h a p ec o n t r o lc a nb es 嘲h e r ea n dt h a ti st h et h e o r e t i c a l f o u n d a t i o no fs h a p e - p r e s e r v i n ga n a l y m t h es h a p ep r e s e r v a t i o no ft h ei n t e r p o l a t i o ns p l i n ei ss t r e s s e di nc h a p t e r3 h a d d i t i o n a lt od i s c u s st h es h a p e - p r e s e r v i n go fm o n o t o n i cd a t a , c o n v e xd a t aa n dp o 争 i t i v ed a t a , t h ep r o b l e m st oc o n s t r a i nt h er a t i o n a li n t e r p o h t i o nc u _ r v 器t ol i es t r i c t l y i i i 山东大学硕士学位论文 a b o v eo rb e l o w 矗细p i e c e w i s el i n e a rc u r v ea n db e t w e e nt w og i v e np i e c e w i s ef i n - e a rc u r v e sa l es o l v e d w h e n 越k dc u r v et ok e e pm o n o t o n e ，f ( z ) ( ) or e q l l i r 蕾 s h a p ep 咖e t e 聃t l i 老，q i nt h e 姗ew a y , ，( z ) o ( so ) r d u 晒 蜥p 8 跚e t _ 哪t 环等暑幻，仉揣s ( 而 0r e q u i r e ss h a p e p a r a m e t e m t i 瑚x ( o ，一纽2 1 6 ) ，q m a x ( o ，生瓣) a f t e rg e t t i n g t h e s er e s u l t s ，w e 静 h a n c or e s t r i c t i o no nt ，仉t h a tk e e p st h ec u r v eb e t w e e nt w og i v e np i e c 耐s el i n e a r c u r v e s t h u s 耽g e ti tt h a tp u t t i n gt h es h a p e - p r e s e r v i n gc u r v eb e t w e e nt w og i v e n p i e c e w i s el i n e a rc u r v e s t h ea p p r o x i m a t i o up r o p e r t i e so ft h er a t i o n a lc u b i cs p l i n ea r es t u d i e di nc h a p - t e r4 f i r s t l y ，w i t hp e a n o - k o r n e lt h e o r yw eg e tt h ea p p r c h n s t i o np r o p e r t i e so fa r a t i o n a ls p l i n eb a s e do nf u n c t i o nv a l u e so n l y w i t ha n o t h e rm e t h o d ，a no ( h 2 ) c o i l - v e r g e n c er e s u l ti so b t a i n e df o rc o n v e xp r e s e r v i n gs p l i n ea n d a l ld ( 护) c o n v e r g e n c e r e s u l ti so b t a i n e df o rm o n o t o n i cp r e s e r v i n gs p l i n e t h ef o u rc h a p t e r sa b o v ea r ec o n c l u d e di nc h a p t e r5 f i v es e t so fr a n d o md a t a a n dt h r e eg r o u p so fs c i e n t i f i cd a t aa r eu s e dt od e m o n s t r a t et h er e s e t s ，a n da l l s h a p e - p r e s e r v i n gc u r v e sa r ea u t o m a t i c a l l yg e n e r a t e d i nt h et h e s i s 砒c 缸g e ts l m p e - p r e s e r v i n gc u r v eb yt h ep i e c e w i s er a t i o 妯1s p l i n e 稍t hc u b i cn u m e r a t o ra n dq u a d r a t i cd e n o m i n a t o ra u t o m a t i c a l l y t h ea p p r o x i m a - t i o np r o p e r t i e so ft h em t 删s p i n ew h o s ed e r i v a t i v ep a r a m e t e r s 磊w e r t _ ! r e p l a c e d w i t ha r i t h m e t i ca v e r a g ed i f f e r e n c eq u o t i e n th a v eb e e no b t a i n e d k e y w o r d s ：r a t i o n a ls p l i n e ，i n t e r p o l 8 t i o n ，s h a p ep r e s e r v i n g ，r e g i o nc o n t r o l l i n g ， a p p r c m m a t i o n i v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本沦文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：、蜀煎 日期：巡：堑 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：邂爨导师签名 专百 日期：趔：兰型 山东大学硬士学位论文 第一章引言 计算机辅助几何设计( c 嘶p l 船a i d e dg e o m e t r i cd e s i g n 简称c a g d ) 是 随着航空汽车等现代工业的发展与计算机的出现丙产生与发展起来的一仃新兴 学科该学科由c o o , ”( 1 9 1 2 - 1 9 7 9 ) t k 缸i e r ( 1 9 1 0 - 1 9 9 9 ) 等大师于加世纪6 0 年代 奠定理论基础。主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面信息的表示逼近， 分析和综合 ： 在产品初始设计阶段。攒述其外形的曲线常常只有大致形状或只知道它通过 一些空间点。所以曲线的表示及设计方法在设计和制造过程中起着基础性作用 给定一组有序的数据点最( itl ，2 ，n ) 。这些点可以是从某个形状上测量得到 的，也可以是设计员给出的若要求构造一条嚏线顺序通过这些数据点，称为对 这些数据点进行插值( i n t e r p o l a t i o n ) 若要求构造一条曲线使之在某种意义下最 为接近给定的数据点。称为对这些数据点进行逼近( a p p r a x i m a t i o n ) 我们主要来 看一下插值方法的发展历史 拉格朗日( l a f a , u g e ) 多项式擂值法是最古老的插值方法。牛顿( w t o n ) 擂 值法是拉格朗日插值法的等价形式。面随后出现的埃尔米特( h e r m i t , e ) 插值则是 拉格朗日插值法的一种广义形式对多项式插值来说，它是足够光滑的，但墅值 点禽多导致多项式插值曲线的次数愈高，计算也就愈复杂此外，由于多项式是 解析函数，某个型值点的微小变动可能引起插值益线在别处较大的变化，使计算 不稳定这些问题都促使新的插值方法的产生 样条丞效( s p l i n e 弛蛾i 强) 的概念由舍恩伯格( s c h o b e r g ) 于1 9 4 6 年首次 提出直到上世纪六十年代样条函数伴随着科学技术和计算机的飞速发展才广泛 应用于船舶飞机和汽车外形的放榉中。其中三次榉条函效是应用得最早研究 得最详细的一类样条函数由于实际同题中经常遇到大挠度曲线，1 9 6 3 年美国渡 音飞机公司的弗格森( f e r g u s o n ) 首次弓j 入三次参效样条曲线构造了组合曲线和弗 格森双三次曲面片，面他所采用的曲线曲面的参数形式从此成为形状数学描述的 标准形式1 9 6 4 年，美国麻省理工学院的孔斯【c o o 盥) 发表了个具有一般性的 曲面描述方法。给定围成封闭曲线的四条边界就可定x - 块曲面片而一经同世 就受到工业界和c a g d 学术界的广泛重视的贝齐尔( b 6 z i e r ) 曲线也是参效多项 式曲线，它是由法国工程师贝齐尔自1 9 6 2 年起独创的构造曲线曲面的新方法。 并于1 9 7 2 年正式发表贝齐尔方法用多边形控制血线形状，简单易用。又出色地 1 山东大学硬士学位论文 解决了整体形状控铜问题受到贝齐尔曲线启发。戈登( c o r d o n ) 里森费尔德 ( & 静田1 蠡嬲) 和福里斯特( f o n e s t ) 辱在1 9 7 2 - 1 9 7 4 年期间把b 样条函数扩张成参 敦形式的b 榉条曲线也使用了b 特征多边形来控铡b 样条曲线。从而使得贝 齐尔曲线成为它的个特殊情况b 榉条盘线具有局部支承性强的凸包性可 微性及变差减少等优秀性质 从2 0 世纪7 0 年代中期开始，非线性样条曲线引起了人们的兴趣在局部三 次样条曲线力学棒条曲线，圆弧样条曲线等几何样条曲线逐渐成熟的同时，有 理样条插值吸引了越来越多研究者的目光 1 9 7 3 年。s c b a b a d c 通过非线性方程组的解构造了( 2 2 ) 型有理样条。并讨 论了它的存在性、唯性及收敛性嘲随后王仁宏和吴顺唐构造了几种具有 线性结构的有理插值样条格式及几个特殊类型的有理样条插值盼列在实际应 用中除了要求构造的插值精度较高外，还希望所得插值曲线具有某种保形性保 形就是要求所得插值曲线能够显现原数据自身的信息一对平面一组有序点列，如 数据是单调的或者是凸的，就物理方面而言。希望得到的插值曲线也相应的是单 谓的或者是凸的 普通的样条插值能满足光滑性要求。但在保持原数据的形状信息方面是不足 的，也就是说它们不能保持原数据的形状我们可举例来看一下。给出数据组。 见表1 1 ( 数据随机取得) ：圈1 1 是甩h 嘲商t e 插值方法得到的。显然插值曲线没能保持原数据的单增 性由于h e r m i t e 插值是确定的插值( 即在给定的插值条件下。插值函数的形状是 确定的) ，这时如果应工程需要修改曲线的形状就必须惨改播值条件。两这往往又 是不允许的相信大家更易接受图1 2 中这样的插值曲线，此曲线仍然是依据表 1 1 中数据得出的，它就保持了原数据本身的单调递增性。同撵的，图3 3 ，3 637 分别是依据表3 4 ，3 6 ，3 7 ( 其中数据依次为单调递减数据，凸数据，凹数据) 得出的 h 锄i t e 插值曲线。显然这些插值曲线也没有达到保形效果 123456 78 0 02 05 06 01 0 51 7 0 2 5 02 6 0 1 0 01 0 o1 0 51 5 01 8 o5 0 05 5 0 7 0 0 表1 1 2 山东大学硕士学位论文 图l 1 图1 2 故此，有大批学者致力于样条函数的保形插值同题如g r e g o r y 在1 9 8 6 年 讨论了一类有理三次样条函效的保单调性及保凸性【硼d d b o u r g o 在1 9 8 9 年给 出了一种( 2 1 ) 型保凸有理样条插值格式嘲c l e m e n t s 在1 9 9 0 年研究了带正 变参数的复合( 3 1 ) 型有理插值样条函数，并讨论了它的保凸性陶s c h u m a k e r 讨论二次样条嘲以及b r o d l i e ，b u t t 讨论三次样条插值洲时都在插值效据间加 入样条节点以提供足够的自由度来保证保形同题解的存在性等等 近些年来。基于增加参数的考虑有理样条。特别是有理三次样条及它们在形 状控制中的应用已引起了广泛的兴趣这类插值样条函数中含有形状参致，使得 插值曲线更具灵活性g r e g o r y s s r f r a z 讨论了( s 2 ) 型及( s 3 ) 型有理样条插 值曲线的性质【蕾舶捌，段奇等在一系列文章中也详细分析了几类有理三次样条 函数( 分母为线性的有理三次样条。分母为线性的加权有理三次样条等) 的性质 弹喇但成像时自动化程度不高。控制方法不够直观等同题一壹限制着该类有 理曲线在实际工程中的应用随后s a r f r a z 在2 0 0 0 - 2 0 0 3 年问的一系列文章中给出 了带两族正变参数的( s s ) 型的保单增及保凸插值曲线的自动生成方法【萄- 删 本文在总结已有插值方法的基础上。详细讨论分母为二次，分子为三次的含 形状参数的有理三次样条通过分析有理样条的性质，选择合适的形状参数以使 有理三次插值样条函数满足一定的连续往( 连续) 和保形性弹调性保凸性、 保正性) 并实现插值血线的自动生成在此基础上，论文还将对保形插值曲线进 行区域控翩，并给出此类有理样条函数的逼近误差分析 3 山东大学硕士学位论文 第二章曲线的表示及性质 2 1 插值样条的构造 给出一组型值点 慨，五，武) ，i = 1 ，2 ，讨，其中瓤 0 若记在k ，瓢1 】上的s ( 功为& ( 司。从而得到& 仁) 的另一种表 达形式 s , c x ) = 器，渊 2 胪l 。 ( 2 1 5 ) 其中 只( = ( 1 一3 仇 + e ( 1 一目) 2 【( 2 m q4 - 耽) + 仇k 列 + 0 2 ( 1 一日) f ( 2 挑地- i - t ) 五+ i 一铷kd i + l 】4 - 萨饥 + l ， q ( 口) = ( 1 一田2 巩+ 2 v e e ( 1 一日) + 萨蛳 式( 2 1 5 ) 就是我们下面讨论中要用到的分段有理样条函数的表达式，其 中啦，被称为形状参数，其值的改变引起插值样条函数表达式的改变随即插 值曲线形状的改变特别的。当地= , p = 1 时，式( 2 1 5 ) 就简化为s i 0 ) = ( 1 一日) 3 + e ( 1 一日) 2 ( 3 五- i - j i t 凼) + 俨( 1 一( 3 五+ l 一_ i d i + 1 ) + 萨j 0 l 。即为三次 h e r m i t e 样条插值 2 2导数值的确定方法 在研究形状参数的调节作用前，大家观察s 0 ) 注意到其中除了地，q 这两类 变量外，还有一类变量d f 需要确定为使保形分析有意义。首先须保证d i 是有 界的在实际问题中若也已知，则可直接代入插值表达式( 2 1 5 ) 计算，而大多效 情况下d i 是未知的，这就需要我们来合理设定d 的值 一个粗略的想法是用差商替代微商，但这种方法产生的函不能保证单调性 故此我们引入常见的算术均差商近似定义法l 堋 将，( 筇展成n e w t o n 级数并取其前三项。令 ( 。) zf c x i 一1 ) + ( $ 一z 一1 ) ，k 一1 ，】+ ( 一2 一1 ) ( 一毛) ，k l ，善+ l l ，( 2 2 1 ) 或 ( = ，( + i ) - i - 扛一x i + 1 ) f x t + l ，j 十扛一+ i ) p x ) f l x , + i ，霸，衙一i 】( 2 2 2 ) 将式( 2 2 1 ) ，( 2 2 2 ) 分别求导，有 ( z ) = f i x l l ，如1 - i - 扛一z i - l - i - ? 一毛) ，b l ，甸，z i + 1 ，( 2 2 3 ) ( z ) = ，k + 1 ，毛1 + 忙一墨+ i + 王一毛) ，k + i ，而，2 1 j ( 2 2 4 ) 5 山东大学硕士学位论文 当i = 2 ，n 一1 时，由式( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 均有 纯，= 耸者竽 由式( 2 2 3 ) 知 ，- 1 ) = 厶一t k t 瓮三瓮， 于是 一盈+ 鱼糕 由式( 2 2 4 ) 知 ，( ) ；厶+ 风瓮鲁， 于是 = 岫+ 器， 故当氆一l o ( i = 2 ，i 一1 ) 时，可取d lt ) i 丽当l 0 且 s 卵( 1 ) = s g n 【l + l ( l - a 2 ) ( h i + j 1 2 ) 】时，可取出一( z 1 ) i 当，1 0 且 8 9 行【。一1 ) ；f 即【。1 + _ i i t l 1 ( 一l a 。一2 ) ( k 一2 + k 。i ) 】时，可取厶= ( h ) ， j a g f e g d 碍移k d e l l b o u r g o 营在】9 s 2 年得出这种方法提供的五将产生d 【 0 的逼近精度其中h f f i l 簪( 丘) ， 将上述讨论综合在一起，得到确定画的算法 定义 画： 0 如果u ：0 或蚺0 i 丙。q 手 f - l ，) ( 恕一；研， 其他情形， i = 2 。，n 1 d l ： 0 如果- = o 或卵叫啦) 妁似1 ) ， ， l 豸， 其他情形。 【2 2 5 ) ，lo 如果，l = 0 或s 弘( d 翁铲即n ( 。一1 ) ， d f i = i ， 其他攒形 啦= a i + ( i 一2 ) _ i l l ( i + k ) ， 嚷= a 。一1 + ( 。1 一n 一2 ) 。一l ( 。一2 + k 一1 ) 山东大学硕士学位论文 注意式( 2 2 5 ) 定义函不是e 陋l t 划上的连续泛函数这是因为当厶1 一。 或i o 时，均有l i m 函0 为了克服这缺点。我们采用n e w t o m p a d 6 逼 近的技巧。给出另个确定函的方法悯。 定义， 面：j 0 如果加以- l - - o , i 盈厶一i ( 铂1 一而一1 ) u + i 一五一) 其他情形， l = 2 ，n 一1 d 】：j 0 ，如果，3 一 = o ，( 2 2 6 ) l ；( 一z 1 ) l ( f 3 一 ) ， 其他情形， ，j 0 ， 如果厶一厶一2 ；0 ， i ：一l ( 如一曲) 皈一厶一2 ) ， 其他情形 其逼近精度为石一面= d ( 胪) ，d a z = d ( ) ，矗一= d ( ”，当到分为 等距时，d l 片= o ( 胪) ，d n 一= o ( h 2 ) 本文中若无特殊标明喀的定义方法则默认为采用式( 2 2 5 ) 定义函 2 3形状参数的作用分析 引入形状参数均，砘增大了曲线形状的灵活自由度，那该如何调节珥，地使插 值曲线满足人们的实际要求呢? 观察式( 2 1 5 ) 。经简单计算可得它的两种等价形式 ( 1 一口) 3 仇五+ 口( 1 一口) 2 ( 2 u , v i + 饥) 五- i - 地鬼画】 s 缸阳筹秽磊等嚣嵩篙等击仁s m岛2 百刁两了砸= 斫面万再再万矿刁洒函再丽干瓦：( 2 3 1 ) s ( 刁= 五( t 一+ 五+ t 一+ 旦! 二；些；乒罢；蔓盅i ；舍之；磊；铲( 。s 。) i 一fj 。让十z m u f i j 一口j 十口。啦 从式( 2 3 1 ) 可推出t 当q ，均一l 0 0 时。最扛) 在节点而的邻域内被拉向 ( 而，五) 点，从而达到了控制节点处曲线形状的目的 从式( 2 3 2 ) 可推出t 当娥= t i 0 0 时，s ( z ) 一五( 1 一p ) + + 1 日，而这恰恰 是点，五) 和点( + l ，工+ 1 ) 之间的线性插值( 保单调，保凸但整体光滑度差) 7 山东大学硕士学位论文 而且由于此种形式简化了分子，故在后面调用样条函数时我们多采用式( 2 3 2 ) 形 式的表达式 下面我们以表2 1 中数据为例直观显示地，砘的调节作用 令t = q 一0 i ，1 ，1 0 ，1 0 0 ( ) ，对应代入式( 2 1 5 ) 则分别得到四条伊连续 的有理三次样条曲线池= 啦= l 时，为三次h e r m i t e 曲线) 。见图2 1 ，2 2 ，2 3 ，2 4 图z 1 表2 2 图z 2 图2 4 从图2 1 至图2 4 可看出，铒= 砜一o o 时。s ：f ( 砖一五( 1 一口) + 五+ l p 。摇 值曲线被拉向原数据组的控制多边形显然，这时的插值曲线是保形的，但并不 符合我们的光顺要求因为一般说来，外形的光顾性是必须要满足的。如果曲线 8 山东大学硬士学位论文 曲面不够光顺。则不能满足产品的设计要求，也就不便于加工所以我们必须科 学地调节t l ，她的大小，使碍插值曲线既光顾又保形。 在了解了形状参数t ，仇对插值曲线形状的影响后。我们就可通过试错法得 到较满意的保形曲线。见图2 5 表2 2 给出了生成图2 5 时t ，矾的取值但由 于试错法费时费力且结果会因人而异。故不适宜在工程中推广为实现保形曲线 的自动生成。我们下面分别讨论保单调、保凸、保正对形状参数的取值要求 图2 5 9 山东大学硕士学位论文 第三章有理插值样条的保形研究 3 1有理插值样条的保单调分析 我们先以单调递增数据为例进行分析 设f ( x ) 在区问a ，6 1 上有定义，区问睁，6 l 上给定的一个剖分为：d ；z t 勋 o ( 型值点严格单调递增) 时。解不等式组( 3 1 4 ) 得。 钧砉，铒等 ( s 工s ) 须注意若取坞= 画厶，吨= 函+ 1 厶，式( 2 3 2 ) 中分母q ( 目) 在0 ；0 或0 = i 时 可能取为零，故此我们不妨令- m = 应+ c i ，佻= 也+ l + c f 这里 c 0 如果破= o 或畦“。o t ( 3 l 7 ) i c i = 0 ，其他情形 由第二章第三节的分析知c i 0 时，不易取得过大，否则插值曲线会不够光顺 当然，为满足保单调条件式( 3 1 6 ) ，当& 0 时，我们还可以令t 珥= 地= z n a x ( 盛+ l z k ，喀i ) + 蟊， 这里 啦 o 如果画= d i “20 ， ( 3 j 8 ) l 儡= 0 ，其他情形 这里引入g t 是为避免当厶 0 但喀，凼+ l 同时取零时式( 2 3 2 ) 的分母为零同 样的，为保持插值曲线s ( z ) 的光顺性，岱不宜取得过大显然式( 3 1 7 ) ，( 3 1 8 ) 这两种定义都可保证钳，他 0 下面我们举具体的例子来看一下由式( 3 1 7 ) 定值u , i ，取c i = 0 1 ，则对 于表1 1 的数据得到图1 2 ，而图3 1 是由表2 1 中数据得出的保形插值曲线图 1 1 山东大学硕士学位论文 其中，自动生成图3 1 时d ，t ，q 的取值情况见表3 1 对于表1 1 的数据。图3 2 为接式( 3 1 5 ) 及式( 3 1 8 ) ( q = 0 0 1 ) ，代入式( 2 3 2 ) 所得到的插值曲线图表 3 2 给出了图3 2 中d ；i ，t 。q 的取值 图3 1 图3 2 4 0 0 0 0009 7 6 2 81 0 2 3 7 2 1 7 0 0 0 o 1 0 0 00 9 7 6 3 0 1 0 0 0 1 9 1 3 7 51 0 2 3 7 一 表3 1 l1234567 8 d f 003 4 1 6 7 3 8 0 3 02 4 0 7 92 9 9 6 4 1 3 4 0 2 81 6 5 9 7 2 牡t 宣忱 一2 0 5 0 0 0 0 8 4 5 15 7 0 4 50 6 0 8 62 1 4 4 4 4 1 1 0 6 5 一 表3 2 为得到保单调递减的插值曲线，分析的过程与上述单增情形类似简述如 下z 在具有剖分：口= 。l 。2 0 。则由式( 3 1 3 ) 知( z ) 0 的充分条件是g ， 山东大学硕士学位论文 0 ，j = 1 ，2 ，。5 由此同题转变为解不等式组 ( 2 魄+ 1 ) 一璃降lo 4 u i 地 一2 也d i 一2 。孟+ ls0 ( 2 u i + 1 ) 一d f 0 类似于单调递增效据的分析过程，得到插值曲线保持单减性的充分条件t 当厶= 0 时，血= d i + l = 0 ，最( 功= = 风1 ( 3 1 9 ) 当a 0 时。撕= d , + c i ，地= d f + i 氐+ c ， 或 饥= 佻= = a x c d d , k ，五+ l a , ) + 儡 ( 3 1 1 0 ) ( c i ，g 的定义见式( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ) 注意此时式( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 提供的定义方法皆可保证d 0 ，总结上述结论； 定理1 给出一纽单调数据 ，五) ) ，i = 1 ，2 ，n 。若i = 0 则按式( 3 1 1 9 ) 定 义插值曲线；否则，按式( 3 1 1 0 ) 定值t i ，q ，也由式( 2 2 5 ) 或式( 2 2 6 ) 确定， 代入插值表达式( 2 3 2 ) 则可得到该单调数据组的保形插值曲线 下面我们令插值曲线s ( z ) 中形状参数蛳= d , 厶，q = 正+ i a 。给出数值 例子说明用凼的精确值及式( 2 2 5 ) 和式( 2 2 6 ) 提供的五对逼近误差带来的影 响 例设，扛) = ，对区间【0 , i 】三种剖分：5 等分，1 0 等分。2 0 等分此时节点 间距分别为h = 0 2 ，0 i ，o 0 5 在每一种剖分下，分别取也= ，：，式( 2 2 5 ) 中的喀 及式( 2 2 6 ) 中的正进行计算由式( 2 1 5 ) 建立的有理样条s ( 。) 与f ( x ) = 矿的最 大误 精确噍 式( 2 2 5 ) 孟式( 2 2 6 ) 吐 误差e l 协= 0 2 ) 0 1 0 2 5 8 1 0 00 1 1 3 4 3 1 0 20 1 6 2 2 8 1 0 3 误差马饥= 0 1 ) 0 6 7 3 5 2x1 0 60 1 5 6 8 4 1 0 30 2 1 0 3 1 1 0 4 误差马( = 0 0 5 ) 0 4 3 1 5 3 1 0 70 2 0 6 5 8x1 0 4 0 2 6 7 6 5 1 0 5 e 1 e 2 1 5 2 3 0 7 2 3 27 7 1 6 e t | e 3 1 5 6 0 8 7 5 9 27 8 5 8 表3 3 e = m a x i 矿一s ( z ) i ，o i 从表3 3 可看出，当d f 取精确值时，误差比马马+ l 1 6 ，而产生误差马的 剖分问距是易+ l 的剖分问距的2 倍，因此逼近误差为o ( h 4 ) ，当也用式( 2 2 5 ) 山东大学硕士学位论文 或式( 2 2 6 ) 定值时，马局+ 1z8 ，故此时的逼近误差为o ( h 3 ) 详细证明见第 四z e 下面我f 订实俩展示保单减播值鹭线的自动生硬取一缀单i 爵递减鼗据( 数据 随机取得) 。见表3 4 图3 3 为该组数据的h e r m i t e 插值，图3 4 为依据定理t 取盘= 0 1 得到的保形插值曲线，图3 5 为取毋= 0 0 1 时的插值曲线表3 5 为 图3 4 ，3 5 中南，地，地的取值情况。d i 依据式( 2 2 6 ) 取得 12 3 4567 0 0 2 0 8 ，01 3 0 1 3 52 0 02 1 0 7 5 o 5 5 0 5 5 05 3 04 0 0 3 2 0 2 5 0 表3 4 囝3 ，4 图3 3 1 4 圈 3 5 山东大学硕士学位论文 i l234567 杰枷0 0 0 00 o0 0- 3 8 1 3 3 1 0 6 6 6 7 - 4 3 0 7 7 2 4 5 0 0 0 图3 4q 4 1 0 0 0 一o 1 0 0 0 0 1 4 6 78 6 6 6 70 6 1 5 4 一 仇 0 1 0 0 0 9 6 3 3 30 4 1 0 33 5 0 0 03 5 0 0 0 一 图3 5 t k = 饨 4 0 0 0 0 9 5 3 3 30 4 1 0 3 8 6 6 6 73 5 0 0 0 一 成 表3 5 事实上。我i 丁来看该有理插值样条函数的保单调条件。注意到式( 3 1 3 ) 可写 其中， g = 岛= 岛= c l ：l i = g j = 塞c k 1 ( 1 一口) 叫 阳= 芝1 厕广一 ( 3 1 1 1 ) 蟊 2 v i ( 2 v t + 啦) i 一啦吨+ l l ， 2 蚀仇( t + 仇) 厶+ ( 2 t i 轧) 2 l + 4 地饥i q q ( 也+ d i + 1 ) 一2 啦让( u d i + ! + 让西) ， 2 m ( 2 u , v , + q ) 厶一仉函1 ， 也+ i 观察式( 3 1 1 1 ) 发现无论是保单调递增时要求o 20 。还是保单调递减时 要求50 我们都可将其归为个充分条件叫 2 饥：竺生：掣 ( 3 ，1 1 2 ) 这时若我们令她= ，则得到了厶0 时的另一个保形( 单增或单减) 充分条 仟 t ：地：堡些9 a ( 3 - t 3 ) t = 地= 一 u 将其代入式( 2 3 2 ) ，得到 叫，