（基础数学专业论文）多次调和函数的性质及其应用.pdf

摘要 这篇文章主要是对复几何与复流形中的多次调和函数的性质及其应 用作一综述首先总结了半连续函数和次调和函数的定义及其性质，然 后在此基础上介绍了多次调和函数的定义及其性质，引入了正闭流的定 义，说明了正闭流与多次调和函数之间的联系 最后介绍了l e l o n g 数的定义及其相关结论利用l e l o n g 数研究多次调 和函数在奇点处的性质 关键词：多次调和函数；正闭流；l c l o n g 数 a b s t r a c t t h i s i sas l l r v e yo fr e s u l t s ，b o t hc l a s s i c a la n dr e c e n t ，o n b e h a v i o u ro f p l u r i s u b h a r m o n i c f u n c t i o n s t o g e t h e rw i t ht h er e l a t e dt o p i cf o rp o s i t i v ec l o s e dc u l 3 e n t s f i r s tw eg i v et i l ed e t i i f i t i o no f s e l n i c o n t i n u o u sa n ds u b h a n n o n i ef u n c t i o n sa n dt h ep r o p - c r t i t i c so ft i l es c n l i e o n t i r l u o u sa n ds u b h a s m o n i cf u n c t i o n sa n dt h e ni n t r o d u c et h en o t i o n o fp l u r i s l l b h a r m o n i c ( p s hf o rs h o r t ) f u n c t i o n sa n dt h ep r o p e r t i t i e so fp s hf u n c t i o n s ，t h e n w eg i v et h ed e f i n i t i o no fc l o s e dp o s i t i v ec u r r e n t sa n dt h er e l a t i o nb e t w e e np s hf u n c t i o n s a n dc l o s e dp o s i t i v ec u r r e n t so f ( 1 ，1 ) 一b i d e g r e e a tl a s t ，w cg i v et w od i f f e r e n td e f i n i t i o n so f l e l o n g n l l g n b o ra n dt h e i rr c l a t i o n sh i t ht h ep r o p ( r t l o so fl e l o n gn l l m h e r s f s t u d yt h e p r o p e r t i e so fp s hf u n c t i o n sa tt h e i rs i n g u l a r i t i e s k e yw o r d s ：p l u r i s u b h a x m o n i cf l m c t i o n s ；e l o s e dp o s i t i v ec u r r e n t s ；l e l o n gn u m b e r i i 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。埘本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承拦。 学位论文作者签名： 圈期：2 0 0 7 年5 月2 0 目 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留、使胡学位论文的规定，学 校有权操留学位论文并向凰家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版删纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：磊黎笊 e i j 期：2 0 0 7 年5 月2 0 日 引言 1 9 4 2 年，pl e l o n g 和k o k a 分别发表了文章 9 j f l 7 i ，从而揭开了多次调 和函数的序幕个典型的多次调和函数的例子是1 0 9 其中，是全纯 映射映射，在其零点处的性质就相应的转化为多次调和函数崦i ，i 在奇 点处的性质 l e l o n g 将流的概念推广到了复空间，其中最重要的流是正闭流一个 典型的正闭流的例子是： 丁= i d ，一7 “= f 丽0 2 u 喝 d x 这里u p s h ( x ) n k 伍) 是复流形，p s h ( x ) 是x 上多次调和函数的全 体构成的集合) 反之，对于任意的正闭流t 雅1 , ：u - - 1 ( x ) ，都存在相应的多 次调和函数u ，将t 用上述形式表出( 见 3 1 ) 1 9 5 7 年，l e l o n g 证明了任意正闭流在其支撑中的每一点的迹测度都有 密度 1 0 1 他主要研究了解析簇上的积分流以及后来的r 上的积分流他 指出了簇的密度与重数一致【1 8 】( 他把它们称为l e l o n g 数) l c l o n g 数的概 念是代数中重数的概念在分析中的类比这个概念是非常重要的特别 是l e l o n g 数给出了现代复分析领域中分析与几何的联系( 见 1 l 】，f 13 】) ，它 是将代数闭链中的相交理论推广到流空间的重要工具 继l e l o n g 之后，y t s i u 1 5 1 和j p d e i i l a i l l y 【6 ，7 ，8 1 等对l e l o n g 数及正闭流 都有进一步的研究j p i ) e m a a l y 推广了l e l o n g 数的概念，此概念是流t 关于权妒的l e l o n g 数，其中妒是一个多次调和函数 随后，此领域更进一步的发展是m o n g e a m i 葩r e 算子技术这主要 是j p d e m a i l l y 的贡献在代数几何和数论等领域中都有很重要的应用 ( 1 1 9 ， 5 1 ， 1 2 1 ) 1 9 7 9 年，j o s e p hj k o h n 在研究弱拟凸域上的复n e u m a n n 问题时第一次 引入了乘子理想层1 9 8 9 年，a l a nm n a d d 在研究f a n o 流形( 即一k x 0 的紧复流形) 上的k t i h | e r - e i n s t c i n 度量的存在性问题时引入了另一类乘子 理想层n a d e l 的乘子理想层是用一个多次调和函数作为权重的迄今为 止，n a d e l 的乘子理想层在代数几何中有广泛的应用，如更一般的k o d a i r a 消灭定理和s t s i u 等人的著名工作【2 0 1 n a d e l 乘子理想层作为代数几何中的一个重要工具，已经解决了一些 分析中的重要问题例如，偏微分方程中先验估计偏差的程度和位置可 由乘子理想层来度量同时，它又开辟了用分析来解决代数几何问题的 一个新渠道，如y t s i u 给出了代数几何中许多长期公开问题的解或部分 解，如f u j i t a 猜想，p l u r i g e n e r a 的形变不变性等问题【2 0 】【2 1 1 ， 2 2 1 由此可见，多次调和函数在现代分析，微分几何和代数几何问题中都 有很重要的应用 但是，仍有很多问题没有解决如紧k i h l e r 流形整体形变的退化中的 乘子理想层理论和稳定性还没有发展，p l u r i g e n e r a 的形变不变性对于紧致 k a m e r 流形来讲仍是公开问题对于这方面的详细介绍请参考【2 0 1 本文主要是介绍这领域的一些基本的概念和基本的结论如多次调 和函数的定义和性质以及正闭流，l e l o n g 数的定义及相关结论 第一章多次调和函数 第一节预备知识 因为在现在的多复变，分析和几何的教材中都只给出了半连续函数 的概念，对其作详细介绍的书又比较少，因此这里我们先把半连续函数 的定义及性质做一系统的总结，并将其和连续函数做比较 约定：未经特殊说明，n 均为r n 中的子集 一、连续函数 我们用e 一5 语言叙述连续函数的定义 定义1 设函数f ：q r 对于点x o q ，若vf 0 ，| 6 0 ，当 q ，扭一x o l 6 时，有 ，( z o ) 一e 0 ，当z n ，陋一知i 0 ，当z n ，k 一跏i 0 ，当z q ，iz x oi 0 ，当z q ，i z x 0 l 0 的任意性，即得( i i ) ( n 净( i n ) ：由l i m s t t p f ( z ) = 。1 吨 s u pf c x ) 直接可得 z _ 却 d _ i | t0 0 ，了z 。n ，0 ，) 于是根据f ( c ) 的定义有 f ( c ) ，z o 盛f ( c ) 但一z o ( 当n o o ) ，f ( c ) 为闭集，应有2 0 f ( c ) 矛盾 证毕 注( 1 ) 上半连续与下半连续是对偶的概念一方有什么结论，另一方 也有相应的结论 定理2 给出了半连续概念的又一等价形式其中未用e 一6 语言，只用 了闭集的概念这就使半连续的概念可以推广到定义域为一般拓扑空间 的实值函数 定义3 设函数，：n r ，其中。为一般地拓扑空闻若对于v c r 集 合仁n ：，( z ) c ) 为开集，则称，为n 上的下半连续函数 兰、上半连续函数的性质 定理3 ( 运算性质) 设， g 为n 上的实值上半连续函数，h 为n 上的下 半连续实值函数，则 ( 1 ) 它们的和，+ 9 在n 上为上半连续 ( 2 ) 一，在q 上为下半连续的 ( 3 ) 若9 0 ，则它们的积f g 在n 上为上半连续的若f 0 ， 0 ，则 在q 上下半连续 此定理利用上半连续的定义或其等价描述容易得证这里略去证明 定理4 ( 保号性质) 上半连续函数有局部保负性即：若，( 。) 在蛳处 上半连续，( o ) 0 ，使得z 一正知+ 6 ) 时有，( 刁 o ；同样下 半连续有局部保正性 这些由定义直接得到 注对于半连续函数，介值定理不成立例如 i1 ，当0 s z s ；， ( 1 1 ) f = 。 【0 ，当 0 使，( z ) 曼m , v xe n ( ，( z ) 在n 上达到上确界印：孔o n 使得f ( x o ) = s u p f ( ：z ) ， 证明1 a 利用有限覆盖定理证明结论 垤k n ，j 邻域 6 q 。= ( z 一以，z k + 以) 使得有 ，( ) f ( x k ) + 1 ( v x o x j 从n 的开覆盖 以。q 中可以选出有限子覆盖 仉。 i l 。，于是 m ：m 目 ，( 嘲+ 1 1 i = 1 ，2 ，n ) 便为r ( z ) 在q 上的上界 2 0 因为，( z ) 有上界，设s u p ( z ) = m 0 ，使得比q 有 南可 0 当n n 时有 ( 2 0 ) o ，当z n ，k z o 6 时有 ( z ) n ) = ，击( z ) 所以厶( z ) 递减 4 0 序列仉( 功) 有下界：对任颐腔固定的z ，在( 3 ) 式中令一= z ，可知 厶( z ) ，( z ) ( 对于一切n n 成立) 故垤q ，协( z ) ) 有下界 9 5 。由3 0 、4 0 知：9 ( z ) = l i m ( z ) 存在且9 ( z ) 之，( z ) 6 。证明9 ( z ) ，( z ) ：因f ( x ) 上半连续，v e 0 ，j 6 0 ，当一n ，i 一一z i 0 ，当” n 时，有k 一( 功i 6 于是由( 4 ) 式 ，( z ：( ) ) o 那 0 t 当z 1 ，z 2 n ，陋l z 2 o ，3 6 o ，当观，勉1 2 ，i z l 一钇i o ，孙 o 当 初，z 2 n ，j z 】一i u ( o ) 特别的，若“是调和函数，即“( n ) = 0 的 充分必要条件是“满足均值等式 p s ( u ；口，r ) = t ( o ) ，v 百( n ，r ) cn 现考虑( a ) 是一族径向对称的光滑核即p ( 。) = 烈，若n 是局部有界 的b o r e l 函数，得到 “+ a ( d ) = “+ e x ) p ( z ) c l a j b ( o 1 1 = 口h l 坶( qn ，e t ) 及t 弦m - 1 d t 因此若“是n 上局部有界的b o r e l 函数，满足均值等式即u 是调和函数， 由上式可知在n 。= 扛r m ；d ( z ，c n ) 上，u t a = 就得到u 是光滑的，从 而有调和函数是光滑的类似的，若我们将均值等式变为不等式，且考 虑“为上半连续函数就会得到有关次调和函数的定义和性质下面给出 次调和函数的准确定义 定义2 函数u ：n 一【一m ，+ o o ) ，其中ncr n 为开集，“为上半连续函 数，下面的平均值不等式等价： ( a ) 札( z ) s 忍r 【叫( z ) ，v 百( o ，r ) cn ，v z b ( d ，r ) ； ( b ) t ( n ) p s ( “；口，r ) ，v 百( 口，r ) cf t ； ( c ) “( o ) p 日( “；a ，r ) ，vb ( d ，r ) cf t ； ( d ) 对于v a n ，总存在一列单调递减到零的序列( ) 满足 “( n ) p b ( n ；n ，r o ) ，v v ； ( e ) 对于v a n ，总存在一列单调递减到零的序列) 满足 t ( 口) u s ( u ；o ，) ，咖 满足上面性质之一的函数“称为n 上的次调和函数定义在n 上的所有 的次调和函数构成的集合记为s ( q ) 注若t c 2 ( q ，r ) 是次调和函数兮a u 0 事实上若a u 0 有p s ( “；d ，r ) = u ( 口) + 鬲1j o # n ( a u ，o ，t ) t d t “( n ) ； 若3 a q 使 ( n ) 0 ，则3 r 很小，使p s ( “d r ) 0 ，令，= ；r 则u ( d ) 芦b ( “；n ，t ) ( 回：争( e ) 若在 0 ，叫中存在f 使s ( “；n ，) 粕( “；o ，) ，从而得到t ( o ) 冬 船( “；n ，) 若不然，则对于【0 ，l 中v t ，有p s ( “；q ) 加( u ；口，) ， 得到蛐m ；d ，) = m 启t m - i j s ( u ；a ，r 。t ) d t t l b ( u ；a ，) ，矛盾 所以在1 0 ，h 】中取“，接着在【0 t 。1 中取k + 1 ，依次下去，就得到单调递减到 零的序列( t ，) ，满足u ( n ) sp s ( u 隅t 。) ( e ) 得证 要想得到( e ) 号( n ) 需要两个定理 定理3 设函数“：n 一【一o o ，+ 。o ) 是上半连续函数，满足上述定义中的 ( e ) 若u 在点z o n 达到最大值，则u 在z 。所在连通分支上为常值 1 6 证明假设f z 为连通集令w = 缸o ：”( z ) u ( x o ) 要证w = o 若w o ，则j c w 是连通集 由“是上半连续函数可知w 为开集取a a nn ，则n q w ，即 t f ( n ) = u ( x o ) 对于上述a , 3 r vi 一0 使u ( o ) i t s ( ；n ，) 在上述中，3 r 。使n 口( ，r 。) o 且n ( 叭- b ( a ，h ) ) o 所以由的连通性，得到a s ( a ，) 口( 由上可知中即有b ( n ，r 。) 中 的点又有其之外的点) 且因为n s ( a ，) 为s ( a ，) 中开子集，所以w o n s ( a ，) 不是零测集且 在n s ( a ，) 上， ( z ) u ( x o ) ；在s ( a ，) 上，t ( z ) “( 知) 因此 “( 8 ) sp s ( u , t l , ) 2 斋k 。) “( 批7 ( = ；南f a ( a , r ) n w ou ( z ) 如( z ) + 击上。) 跏川。“( z ) 加( z ) 孑南( z ( 。“( 知) + z ( 。、即。) n “) ) = u ( 知) 由此得到u ( 。) u ( x o ) 此与“( n ) ；u ( z o ) 矛盾 注上面定理使我们联想到解析函数的类似性质，下面我 f d x 结一下 ( 1 ) 解析函数在区域内部若取到最大模，则在整个区域上为常值 ( 2 ) 调和函数( q 连通) 若在一点z 。取到最大值，则“i n 为常值 ( 3 ) 次调和函数( n 连通) 若在一点z o 取到最大值，则“f n 为常值 定理4 ( 最大值原理) 若“是n 上的次调和函数( 满足上述定义中的 ( e ) ) ，则 s u p u = l i ms u p “( z ) ， n n 孔_ a i j u 且s u p u = s u p u 对于f z 的任意紧子集k 证明易得l i m s u p ( 。) s u p u 成立 n 孔_ 省2 u n 若” ”成立，则s u p u = s u p u 其中l c n 为紧子集即最大值在n 的紧子 1 7 集l 上达到 因此由上半连续性得到3 x o 厶使得s u p u = u ( z o ) ( 上半连续函数在紧子集 上可达到最大值) 由定理4 ，j c q ，x 0 其中连通，则“= u ) 所以s u p u = s u p u = u ( x a ) 一l i r a s u pu ( z ) s l i r a s u p( 2 ) ， n 工n o 弓o _ + 耐b u l j o 一尻2 u t o 。 综上可知s u p u = l i m s u pt ( 2 ) 2 n 知一扰 取i t = k o ，贝0s u p u = l i r as u p“( z ) 曼s u p u ( z ) k o j ( o j z 一8 釉 o k 可得s u p u = s u p u ( z ) ， 有了上面两个定理我们就可以证明定义中e ) 和o ) 的等价性了 证明e ) = a ) ：令u 是上半连续函数满足条件( e ) ，v 吾( 吼r ) c n ，由定理7 我们可以找到函数列6 , 0 ( d r ) ，r ) ，使得l 一“取v k ( z ) = s u p u ( f ) 一 e s ( a ，r l 七睡一z 1 ) 构造 fr ，i v 女1 伊( 百( n ，r ) ，r ) 在口( n ，r ) 上，( 1 4 ) h k = 【啦在s ( n ，r ) 上( 1 4 1 ) 则h k 在b ( 口，r ) 上调和，即a h = 0 所以有晒( o ，r 7 ) c b ( a ，r ) ，h k ( a ) = m ( h k r 7 ) 得到”一h i 在口( n ，r ) 上满足e ) 又因为l i m s u p ( u h k ) s t ( ) 一( f ) 0 z r s c a ，r ) 可得s u p ( 一h ) = l i ms u p ( t 一h k ) 0 b ( a r ) x 叫e 3 ( a ，r ) 则扣一h k ) l 口( 。，) s 0 最后得到在b ( n ，r ) 上，h k = p a ，p 小= b ( 。，喙( g 胁扛一如一口) 砸( ) 令k 0 0 ，由l e b e s g u e 单调收敛定理得：在b ( a ，r ) 上“s m ，h 由此n ) 得证我们就完整的给出了次调和函数五个定义等价性的证明 四、次调和函数的性质 定理5 对于任意递减的次调和函数序列( u t ) ，其极限函数u = 熙u i 也为次调和函数 1 8 证明“( z ) = i i m “k = i n f u k ( 对于数列，一列递减列的下确界为其极限) 由上半连续函数的性质得到u ( z ) 为上半连续函数由( “。) 是次调和函数 得 毗( z ) 似( ；为r ) = 南z ( 。) u k ( z ) 西( 巩 其中百( z ，r ) cn + 令k o o ，由l c b c g u e 单调收敛定理得到u ( z ) s , u s ( ”隅r ) ，由 此t s h ( n ) 定理6 设“1 邯s h ( n ) ，x ：孵一皿是凸函数，且x ( t l 知) 对于v 巧不 减，若x 可延拓到卜，+ o o ) p 一卜o 。，+ o 。) ，则x ( u l t e p ) s ( n ) 特别地：t 1 + + u p ，m a 】c t 1 1 t i p ) ，l o g ( e u l + + e u p ) s h ( a ) 证明因为每一个凸函数都是连续函数，所以x ( u 一嘶) 是上半连续函 数 x ( ) = s u p a ( ) ，其中a ( f ) = a l t l 十+ 唧知+ b 是x 图的一族支撑超平 面由于x 对每个t j 不减，于是a j 0 因此 即嘶( z ) + 6 p b ( a j u j + 6 ；z ，r ) p b 仅( “1 一u p ) ；x ，r ) v 百( z ，r ) c q 1 1 0 - ml j s p 对于所有a 取上确界，得到x ( u l 嘶) 蛐( x ( u p ) ；z ，r ) 均值不等式成 立，结论得证 例子中的前两个函数的凸性和不减性显然，只需证明第三个函数的 凸性 函数x ( f l ，) = l o g ( e t l + + e b ) 是凸的，因为 。曩，最白泸。萎，( e - x e t i - e 2 t j e - 2 x ) e y + 。点- e - 2 x e t j e t k ) e j 缸 = e x g 毋一e 一敏( 6 e o ) 2 + 又因为( 白e o ) 2 = ( 白e 等e 等) 2 e o e 缸，所以0 而函数是凸的等 价于其h e s s 矩阵是半正定的证毕 定理7 若q 是连通集，u s ( n ) ，那么“= 一。c 或者u 工k ( n ) 证明由次调和函数是上半连续函数，得到次调和函数总是局部上有 界的 记= 扛n l ，n ( 。) l “( z ) l 一o o 在w 上几乎处处 成立因为若z ，则3 b ( x ，r ) c n ，使得，b ( 。) i “( z ) l 。o 取b ( x ，) ，对于 v y b ( z ，) 有厶( “9 1 “( 司i 厶扛，) l t ( z ) i o ，脚是在口( o ，r ) 中一致稠密的概率测度肼= 专由于 t + 脚2 五( 咿) “( h 烈( ”) ：厂 。( 9 ) 烈( ) o t m r ”j e ( o ，r ) = p b ( “；n ，r ) 因此上述等价性得证 t i a 扣。，r ) a = ( u a p c ) ，r ，得到t 风e ( 见，r ) ns h ( a 。) 由前面的结论，得到u * p e * 砌关于口不减，由对称性u * p e + 砌= u 砌+ a 关于e 不减由u t 风= 慨“t 风t 啊，得u + 风关于e 不减 r l t 风( d ) = 口h l l i b ( u ；a ，e ) 烈p m - - i d t “( d ) j d 且l i r a s u p u * p c u 扣的上半连续性) 由此得“职“* p c = “ 一n f - u 对于第一条性质，因为u p c c * ( q 。，r ) n s ( q 。) ，所以p s ( “a ；o ，r ) 关 于r 不减，即p s ( “。p c ；a ，n ) s 似+ 风；n ，r 2 ) ，其中v r l r 2 令e 一0 ，得肛s ( “孤r t ) sp su ，n ，r 2 ) 即t s ( q o ，r ) 关于r 单调不减其它同前 面证明 定理9 若“s h ( a ) ，使得在q 的每个连通分支上“一。o ，那么a u 在广义函数意义下是一个正测度 证明因为u 风s h ( f l 。) n d * ( q 。，r ) ，所以a u p 。0 对于任意的测试函数，有 = ( 一x ) l o i - + ( 一1 ) l n i ，当e - 0 日寸 所以“t a ) 弱收敛于a u d ，( q ) 且a u 0 证毕 定理1 0 令“s a ( o ) n 工k ( n ) ，取o ，r ) c q 则 ( a ) g r e e n - r i e s z 公式仍然成立，即对于v x b ( o ，r ) 有 t ( z ) = l u ( ，) g r ( z ，y ) d x ( y ) 十， “( b ( z ，y ) d a ( y ) ，b ( o ，r 1j s ( o , r ) ( b ) ( h a r n a c k 不等武) 若在百( o ，r ) 上u 0 ，则对于v x b ( 0 ，r ) 有 。“( z ) s ，、“。) 耳( x , y ) d a y _ j s ( o ! ；：；i ：x i ；兽p s ( “；。，r ) r 1t 。一lj 若在百( o ，r ) 上t s0 ，则对于忱b ( o ，r ) 有 u ( z ) s j ，s ( o ，“( ”) p r ( z ，v ) a 一( v ) s ! ；：； ：；i ；婴p s ( “；。，r ) s 。 r )叮十p 有了次调和函数的定义及性质，我们就可以定义多次调和函数了 第三节多次调和函数 一、多次调和函数的定义和性质 定义1 函数”：q 一【一o o ，+ o 。) ，其中qc 妒为开集，若满足 i ) “为上半连续函数， i i ) 对于p 中任意的复直线l ，“m n l 为次调和函数， 则称“为多 次调和函数定义在n 上的多次调和函数的全体记为p s ( q ) 注( 1 ) i i ) 的一个等价说法：y a n ，f c l ， d ( a ，c a ) ，则 如) 去r 。m 做膨 若f s ( d ，r ) = “( n ) p s ( “；口，r ) ，因此p s h ( 2 ) cs h ( a ) ( 2 ) 我们考虑过能否把i ) 去掉，因为i i ) 中“叩l 为的次调和函数， 即有“( 1 n 。为上半连续函数，但是单由这一点不能保证n 在整个nc 上为上半连续函数 定理l ( 基本性质) ( a ) 尸s ( q ) cs ( n ) 若p s h ( a ) ，则有 “( n ) 南上f v ) 锨p ) v n 绣r e 且( 钍m ) 关于s 单调递增，u = l i m u - 以 ( d ) 令l ，2 ，坳p s h ( a ) 且x ：一r 为凸函数，满足x ( q ，t 2 ，亡p ) 对 任意t ；均为递增的，若x 可连续延拓到【一0 0 ，+ o o ) p 一【一0 0 ，+ o o ) ，则 x ( u 1 ，u 2 ，t 峰) p s ( o ) 特别有u l + u 2 + + 2 肇，m a x ( u l ，- 一，。l p ) ，l o g ( e ”1 + + 酽) 均为n 上的多次调和函数 ( e ) 若u p s ( n ) ，在n 的连通分支上“。o ，则k ， 蚓2 。曩。最瓣 为一正测度 反之，若a ( n ) 且满足对于k ，日”( f ) 为一正测度，则总存在唯 一的函数”p s h ( f 1 ) n l l o e ( f 1 ) ，使得 为与u 相伴的分布 上述性质的证明同次调和函数，这里略去 多次调和函数的概念可以推广到复流形上，我们有 定理2 若垂：x y 为全纯映射且口p s h ( y ) ，则 o 垂p s h ( x ) 特别有蚝i i i p s h ( x ) ，v ，俨( x ，o x ) ，一般地1 0 9 ( 1 i 。t + + l 厶 p s h ( x ) 二、凸性与多次调和函数的关系 定理3 设n = ”+ ，其中鹕 是r n 中的开集，若“( ) 是n 上只与 z = r e z 有关的多次调和函数，则w jz u ( z ) 是凸的 证明若“伊( n ，r ) ，。= z + i y ，则 心) ( 乩豢札 由此得到 萨“1i ，2 “ 石孺i 2 i 丽 对于k 瓦 日u ( 。水) = 笔磐白矗= ；豢瓮岛矗。( u 是多次调和函数) 所以“( z ) 是凸函数 若u 为一般函数时，考虑u t 凤( z ) 显然u - a ( z ) 也只与z 有关因此 u n ( z ) ，z 毗是凸函数又因为u ( ：) = j “+ n ( z ) ，所以n 为凸函数 注若“为多次调和函数，我们先考虑“萨( n ，r ) 的情况，对于一般 情况我们用u * 戊又因为“= ! i r a n * 戊，所以对于前面的特殊情况一般也 对 推论1 若u 是开圆盘d ( a ，r ) = n d ( a j ，岛) cc ”上的多次调和函数，则 p ( u ；r 1 i i ) = 西萨1z ”u ( n + r - e 帆，。- + q e 1 ) 枷纸 r e ( u ；r l r n ) = s u pu ( z l ) z 6 d ( a ，r ) 是关于( 1 0 9 r 。，崦r 。) 的凸函数，且对每个变量不减，其中r j 0 ，记仇= 口+ m 陇s h ( w a ) 在a n w 上，令址= 一o o ，则将陇延 拓到了上，记为豇，此外，玩也满足平均值不等式 若n w a ，r d ( a ，a u c w ) ，则玩( n ) s p s ( 玩；n ，r ) ， 若n 彬r 0 ，n = 1 因为壬+ ( r s i o e s l 砜l a l n 印 砜p ) = n i 岛i 瓦l a p 咿 k ， 其中肠= 西+ o “+ ，讹可v ，所以圣“a p , p w 是强正形式若“是正形 式，s 是w 的p 维子空间，如果圣s 一垂( s ) 是同构，则u i v ( s ) 是正形 式，( 圣+ u ) s = ( 垂f s ) ”f 州s ) 是正形式，得到妒“是正形式如果面f s 不是同 构，则( 圣u ) s = 0 ，一样得到结论 二、正流 定义3 设x 是一光滑流形，维数是m t 是v p ( x ) 上的线性函数，并 且满足在d p ( k ) 上是连续的，其中k c cx ，我们称这样的线性函数的全 体为维数为p 的流空间，记为珥( x ) 一p x = 嘭( x ) ：= 矿( x ) 的对偶空 间，。口，m